Makalah Momen [PDF]

Citation preview

MAKALAH Momen Dan Fungsi Pembangkit Momen ‘’Diajukan untuk memenuhi salah satu tugas Mata Kuliah Statistika Matematika’’



Disusun oleh: Kelompok 3



Epifani Diliati Ndraha



(19051045)



Rizky Putri Br.Nainggolan



(19051013)



DOSEN PEMBIMBING : ELFIRA RAHMADANI, M.Pd FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PENDIDIKAN MATEMATIKA V B UNIVERSITAS ASAHAN



2021/2022



KATA PENGANTAR



Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT karena dengan rahmat, karunia, serta taufik dan hidayah-Nya penulis dapat menyelesaikan makalah tentang “Momen dan Fungsi Pembangkit Momen ". Makalah ini diajukan guna memenuhi tugas mata kuliah Statistika Matematika . Pada kesempatan ini,kami mengucapkan terimakasih kepada semua pihak yang telah membantu sehingga makalah ini dapat diselesaikan dengan tepat pada waktunya. Kami sangat mengharapkan saran dan kritikan yang bersifat membangun dari para pembaca demi kesempurnaan makalah ini Semoga makalah ini dapat memberikan informasi dan bermanfaat untuk pengembangan wawasan dan peningkatan ilmu bagi kita semua.



Batu Bara ,



November 2021



Kelompok 3



DAFTAR ISI



KATA PENGANTAR .................................................................................... ii DAFTAR ISI ................................................................................................... iii



BAB I. PENDAHULUAN .............................................................................. 1 1.1



Latar Belakang ........................................................................................ 1



1.2



Rumusan Masalah................................................................................... 1



1.3



Tujuan ..................................................................................................... 2



BAB II. PEMBAHASAN ............................................................................... 3 2.1



Nilai Harapan (Momen).......................................................................... 3



2.2



Fungsi Pembangkit Momen…………………………………………….7



BAB III PENUTUP………………………………………………………….11 2.1



Kesimpulan ............................................................................................. 11



DAFTAR PUSTAKA…………………………………………………………12



BAB I PENDAHUAN 1.1



Latar Belakang Untuk menggambarkan hasil-hasil percobaan sebagai nilai-nilai numerik



secara sederhana, kita menggunakan apa yang disebut sebagai variabel acak. Jadi variabel acak dapat didefinisikan sebagai deskripsi numerik dari hasil percobaan. Variabel acak biasanya menghubungkan nilai-nilai numerik dengan setiap kemungkinan hasil percobaan. Karena nilai-nilai numerik tersebut dapat bersifat diskrit (hasil perhitungan) dan bersifat kontinu (hasil pengukuran) maka variabel acak dapat dikelompokkan menjadi variabel acak diskrit dan variabel acak kontinu. Varibel acak diskrit adalah variabel acak yang tidak mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang hanya memiliki nilai tertentu. Nilainya merupakan bilangan bulat dan asli, tidak berbentuk pecahan. Variabel acak diskrit jika digambarkan pada sebuah garis interval, akan berupa sederetan titik-titik yang terpisah. Contoh : 



Banyaknya pemunculan sisi muka atau angka dalam pelemparan sebuah koin (uang logam).







Jumlah anak dalam sebuah keluarga.



Varibel acak kontinu adalah variabel acak yang mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang dapat memiliki nilai-nilai pada suatu interval tertentu. Nilainya dapat merupakan bilangan bulat maupun pecahan. Varibel acak kontinu jika digambarkan pada sebuah garis interval, akan berupa sederetan titik yang bersambung membantuk suatu garis lurus. Contoh : 



Usia penduduk suatu daerah.







Panjang beberapa helai kain.



1.2



Rumusan Masalah 1. Bagaimana cara mencari nilai harapan (momen)? 2. Bagaimana cara mencari fungsi pembagkit momen?



1.3



Tujuan Adapun tujuan dari penulisan makalah ini antara lain : 1. Dapat mengidentifikasi nilai harapan. 2. Dapan mengidentifikasi fungsi pembangkit momen.



BAB II PEMBAHASAN



2.1



Nilai Harapan (Momen) Secara Garis besar pengertian momen dari variabel random x adalah harapan



matematis x. Pengertian secara formal didefinisikan sebagai berikut: Definisi 1 Jika x merupakan variabel random, maka momen ke r dari x (dinotasikan dengan ’r) didefinisikan : ’𝑟 = 𝐸(𝑥𝑟) Definisi 2 Andaikan X adalah suatu variabel random dengan distribusi probabilitas f(x). Nilai harapan atau ekspektasi matematika atau harapan matematis dari X, ditulis dengan E(x), didefinisikan sebagai berikut:



Variansi Variansi digunakan untuk mengukur variabilitas suatu distribusi kemungkinan. Variansi dari suatu variabel random X ditulis Var(X). Misalkan X variabel random dengan harapan matematis E(X), maka: 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) – (𝐸(𝑋))2 Teorema 1: Jika c suatu konstanta, maka Var(c)=0 Bukti : 𝑉𝑎𝑟(𝑐) = 𝐸(𝑐2) − (𝐸(𝑐))2 Ingat 𝐸(𝑘) = 𝑘, k konstanta



Maka, 𝐸(𝑐2) = 𝑐2 𝐸(𝑐) = 𝑐 𝑉𝑎𝑟(𝑐) = 𝐸(𝑐2) − (𝐸(𝑐))2 = 𝑐2 – 𝑐2 =0 Teorema 2: Jika X suatu variabel random dan c suatu konstanta maka 𝑉𝑎𝑟(𝑋 + 𝑐) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) Bukti : 𝑉𝑎𝑟(𝑋 + 𝑐) = 𝐸(𝑋 + 𝑐)2 – (𝐸(𝑋 + 𝑐))2 = E(X2 + 2cX + c2) – ((E(X) + c)2 = E(X2) + E(2cX) + E(c2) – (E(X))2 + 2cE(X) – c2 = E(X2) + 2cE(X) + c2 – (E(X))2 – 2cE(X) – c2 = E(X2) – (E(X))2 = Var(X) Teorema 3: Jika X suatu variabel random dan c suatu konstanta, maka: 𝑉𝑎𝑟(𝑐𝑋) = 𝑐2𝑉𝑎𝑟(𝑋) Bukti : Var(cX) =



E(c2X2) – (E(cX))2



=



c2 . E(X2) – (cE(X))2



=



c2 . E(X2) – c2(E(X))2



=



c2 . [E(X)2 – (E(X))2]



=



c2 Var(X)



Contoh 1: Berikut ini diberikan distribusi peluang dari peubah acak X X 0 1 2 3



f(x)



1 5



Hitunglah : 



Momen Pertama







Momen Kedua







Var(X)



1 5



2 5



1 5







Var(5X)



Penyelesaian 



Momen Pertama » ’ = 𝐸(𝑥)







Momen Kedua » ’2 = 𝐸(𝑥 )







Var(X) » 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) – (𝐸(𝑋))2







Var(5X)



𝑉𝑎𝑟(𝑐𝑋) = 𝑐2 𝑉𝑎𝑟(𝑋)



Contoh 2: Tentukan Var(X + 3) dari variabel random kontinu X dengan fungsi f(x)= x ,



;1