Makalah Parabola [PDF]

Citation preview

BAB I PENDAHULUAN



1.1 Latar Belakang Dalam bidang matematika, sebuah parabola adalah bagian kerucut yang merupakan irisan antara permukaan suatu kerucut melingkar dengan suatu bidang datar. Parabola ini dapat dinyatakan dalam sebuah persamaan:



Atau secara umum, sebuah parabola adalah kurva yang mempunyai persamaan:



sehingga



dengan nilai A dan B yang riel dan tidak nol 1.2 Rumusan Masalah 1. Apa yang dimaksud dengan Parabola? 2. Bagaimana persamaan yang terdapat dalam Parabola? 3. Bagaimana Gerak Parabola? 1.3 Tujuan 1



Mengetahui Pengertian Parabola.



2



Mengetahui persamaan Parabola.



3



Mengetahui Gerak Parabola.



1



BAB II PEMBAHASAN 2.1 Pengertian Parabola Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya sama terhadap suatu titik tertentu dan garis tertentu. Titik –tertentu itu disebut titik api ( fokus ) dan garis tertentu itu disebut direktriks.



Parabola merupakan irisan antara kerucut dan bidang datar



2.2 Persamaan Parabola 2.2.1 Persamaan Parabola yang berpuncak di O(0,0) dan fokus F(p,0) Y Q (-p,y)



P(x,y)



C



Sumbu Simetri : y = 0



O



F (p,0)



X



C1



2 Direktriks : x = -p



Dari gambar diatas, O(0,0) merupakan puncak parabola, garis g adalah direktriks parabola dengan persamaan direktriks x = -p, F(p,0) merupakan fokus parabola, Sumbu x merupakan sumbu simetri parabola dengan persamaan parabola y = 0 dan CC1 adalah panjang lactus rectum dari parabola. Misalkan P(x,y) adalah sembarang titik pada parabola, berdasarkan definisi parabola maka berlaku : Jarak PF = jarak PQ



( x  p )2  ( y  0 )2 



( x  p )2



( x  p )2  y 2  ( x  p )2 x2  2 p x  p2  y2  x2  2 p x  p2



x2  x2  p2  p2  2 p x  2 p x  y 2  0



4 p x  y 2  0



y2  4 p x Dengan demikian persamaan parabola yang berpuncak di O(0,0) dengan fokus F( p,0)adalah



y2  4 p x



3



Catatan : 1



Jika p > 0 maka parabola terbuka kekanan



2



Jika p < 0 maka parabola terbuka kekiri.



3



Dengan : - Puncak (0,0) - Fokus F ( p,0 ) - Persamaan direktriks : x = -p - Persamaan sumbu simetri : y = 0



2.2.2 Persamaan Parabola yang berpuncak di O(0,0) dan fokus F (0,p)



Y . P ( x,y )



. F ( 0,p ) C1



C



X



. Q ( x,-p)



Direktriks : y = - p



Sumbu Simetri : x = 0



Misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik pada parabola, berdasarkan definisi parabola berlaku : Jarak PF = jarak PQ



( x  0) 2  ( y  p ) 2 



( y  p )2



x 2  ( y  p) 2  ( y  p ) 2



4



x 2  y 2  y 2  p 2  p 2  2 py  2 py  0



4 p y  x 2  0 x2  4 p y Dengan demikian persamaan parabola yang berpuncak di O(0,0) dengan fokus F(0,p)adalah



x2  4 p y Catatan : 1



Jika p > 0 maka parabola terbuka keatas.



2



Jika p < 0 maka parabola terbuka kebawah.



3



Dengan : - Puncak (0,0) - Fokus F ( 0, p ) - Persamaan direktriks : y = - p - Persamaan sumbu simetri : x = 0 Y



2.2.3



P (A(a,b) x,y) Persamaan parabolaQyang berpuncak di ( -p+a ,y+b )



C



. F ( p+a ,b )



Sumbu Simetri : y = b A (a,b)



C1 O



X



5 Direktriks : x = - p+ a



Persamaan parabola yang berpuncak di A(a,b) adalah :



( y  b) 2  4 p  x  a 







Catatan : 1



Jika p > 0 maka parabola terbuka kekanan



2



Jika p < 0 maka parabola terbuka kekiri.



3



Dengan : - Puncak (a,b) -



Fokus F ( p+a , b )



-



Persamaan direktriks : x = - p + a



( x  a) 2  4 p  y  b 



-



Persamaan



sumbu



simetri : y = b Catatan : 1



Jika p > 0 maka parabola terbuka keatas.



2



Jika p < 0 maka parabola terbuka kebawah.



3



Dengan : - Puncak (a,b) - Fokus F ( a , p + b ) - Persamaan direktriks : y = - p + b



6



- Persamaan sumbu simetri : x = a Contoh 1. Tentukan koordinat fokus dan persamaan sumbu simetri, persamaan direktriks dan



y2  8 x panjang lactus rectum dari persamaan parabola



!



Jawab :



y2   8 x Diketahui pers. Parabola



, dimana persamaan umum



y2  4 p x parabola



adalah



.



Sehingga



diperoleh



4p x 8x , maka p = - 2 < 0. Jadi parabola terbuka ke kiri. Dari hasil yang didapat , diperoleh : -



Fokus parabola di F ( p , 0 ) = ( -2 , 0 )



-



Persamaan direktriks : x = - p = - (-2 ) = 2



-



Persamaan sumbu simetri : y = 0



-



Dari fokus F ( - 2 , 0 ) , x = - 2 , diperoleh



y 2   8.( 2)  16



y4 , sehingga diperoleh



. Jadi



koordinat titik-titik ujung lactus rectumnya adalah



7



-



( 2 , 4 ) dan ( -2 , - 4 ).Dengan demikian panjang lactus rectumnya adalah 2 . 4 = 8.



Contoh 2 Tentukan persamaanparabola jika titik puncaknya ( 2 , 3 ) dan titik fokusnya ( 6 , 3)! Jawab : Diketahui titik puncak ( 2 , 3, ) = ( a , b ), maka diperoleh a = 2, b = 3, Titik fokus



F ( 6,3) F ( p  a ,b )







p+a=6, p+2=6,



p=4



Jadi persamaan parabolanya adalah



( y  b) 2  4 p  x  a  ( y  3) 2  4.4  x  2  ( y  3) 2  16  x  2  Contoh 3 Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, sumbu simetri dan persamaan



y2  4x  4 y  8  0 direktriks dari persamaan parabola



!



Jawab :



8



y2  4x  4 y  8  0 y2  4 y  4x  8



 y  2   22  4 x  8 2  y  2  4x  8  4 2  y  2  4x  4 2



 y  2  2  4( x 1)  y b  2  4 p ( x  a )







4 p = 4, p = 1



a = 1 , b = - 2, dengan demikian diperoleh : - Titik puncak ( a, b ) = ( 1, -2 ) - Titik fokus F ( p + a , b ) = ( 2, -2 ) - Persamaan direktriks : x = - p = - 1 - Persamaan sumbu simetri : y = b = -2



2.3 Gerak Parabola Gerak Parabola (Perpaduan GLB dan GLBB) Gerak parabola adalah gerak yang membentuk sudut tertentu terhadap bidang horizontal. Pada gerak parabola, gesekannya diabaikan, dan gaya yang bekerja padanya hanyalah gaya berat atau percepatan gravitasinya saja. Jenis-Jenis Gerak Parabola



9



 Gerakan benda berbentuk parabola ketika diberikan kecepatan awal dengan sudut teta terhadap garis horisontal, sebagaimana tampak pada gambar di bawah. Dalam kehidupan sehari-hari terdapat banyak gerakan benda yang berbentuk demikian.diantarany gerak bola basket yang dilemparkan secara vertikal, gerakan bola tenis, gerakan bola volly, gerakan lompat jauh dan gerakan peluru yang ditembakan dari permukaan bumi menuju titik tertentu.  Gerakan benda berbentuk parabola ketika diberikan kecepatan awal pada ketinggian tertentu dengan arah sejajar horisontal, sebagaimana tampak pada gambar di bawah. Beberapa contoh gerakan jenis ini yang kita temui dalam kehidupan sehari-hari, meliputi gerakan bom yang dijatuhkan dari pesawat atau benda yang dilemparkan ke bawah dari ketinggian tertentu.  Gerakan benda berbentuk parabola ketika diberikan kecepatan awal dari ketinggian tertentu dengan sudut teta terhadap garis horisontal. BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya sama terhadap suatu titik tertentu dan garis tertentu. Titik –tertentu itu disebut titik api ( fokus ) dan garis tertentu itu disebut direktriks. 10



Persamaan Parabola  Persamaan Parabola yang berpuncak di O(0,0) dan fokus F(p,0)  Persamaan Parabola yang berpuncak di O(0,0) dan fokus F (0,p) 3.2 Saran Adapun saran yang dapat penulis berikan adalah Agar pembaca biasa mengetahui apa yang di maksud degan parabola beserta rumus dasar dari parabola. Diharapakan juga kepada pembaca untuk memberikan masukan terhadap makalah yang telah di buat, meskipun masih sangat jauh dalam menuju kesempurnaan.



11



DAFTAR PUSTAKA



PUSTAKAGiancolli, Dauglas C.2001.Fisika Edisi v jilid II. Jakarta: Erlangga Halliday dan Resnick dkk.1997. Fisika jilid 2 Edisi 3. Jakarta : Erlanggahttp://id. wikipedia.org/w/index.php?title Gerak Parabola=5250454” http//.www.google.Gerak



Parabola.co.idZaelani,Ahmad.2006.



Fisika



Until



SMA/MA.Bandung: CV.YRAMAWIDYA



12