Makalah Pemodelam Matematika Fanny Brawijaya 1921600012 Simulasi Sistem [PDF]

Citation preview

MAKALAH SIMULASI SISTEM PEMODELAN MATEMATIKA DOSEN PENGAMPU : Mochammad Faid, M.Kom.



DISUSUN OLEH: FANNY BRAWIJAYA 1921600012 PROGRAM STUDI SISTEM INFORMASI (V) FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NURUL JADID



KATA PENGANTAR Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena berkat limpahan rahmat dan karunia-Nya kami dapat menyelesaikan makalah ini dengan tepat waktu. Makalah ini dibuat dalam rangka untuk memenuhi tugas mata kuliah Manajemen Keuangan Syariah dan sebagai pertanggung jawaban dari kami sebagai mahasiswa. Kami juga mengucapkan terima kasih kepada Mochammad Faid, M.Kom. selaku dosen pengampu yang telah memberikan tugas ini, sehingga kami mendapatkan banyak tambahan pengetahuan khususnya mengenai Simulasi Sistem Pemodelan Matematika. Kami telah mengumpulkan beberapa referensi untuk menunjang penyusunan makalah ini, namun kami menyadari bahwa di dalam makalah ini masih terdapat banyak kesalahan serta kekurangan. Sehingga kami mengharapkan saran serta masukan dari para pembaca demi tersusunnya makalah yang lebih baik lagi.



Kraksaan, 01 Oktober 2021



Penulis



BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Matematika adalah sebagai suatu bidang ilmu yang merupakan alat pikir, berkomunikasi, alat untuk memecahkan berbagai persoalan praktis, yang unsur-unsurnya logika dan intuisi, analisis dan konstruksi, generalitas dan individualitas, dan mempunyai cabang-cabang antara lain aritmetika, aljabar, geometri, dan analisis (Uno, 2010). Matematika juga dapat digunakan untuk bekal terjun dan bersosialisasi dalam masyarakat. Orang yang telah mempelajari ilmu matematika seharusnya mampu berpikir logis dalam menghadapi situasi di lingkungan masyarakat serta dapat menyelesaikan permasalahan dengan baik. Oleh karena itu, mata pelajaran matematika perlu diberikan kepada semua peserta didik mulai dari sekolah dasar sampai perguruan tinggi. Pemodelan



matematika



terbentuk



untuk



menyelesaikan



suatu



permasalahan di kehidupan nyata yang dapat diselesaikan dengan pendekatan matematis. Salah satu konsep yang sangat berguna dalam pemodelan matematika tentang fenomena di kehidupan nyata seperti laju pertumbuhan atau penyusutan, contohnya laju pertumbuhan penduduk, pertumbuhan uang yang ditabung di bank dan laju reduksi konsentrasi obat dalam cairan tubuh (Kartono, 2012). Salah satu kemampuan penting yang digunakan dalam memecahkan masalah matematika yaitu kemampuan pemodelan matematika. Kemampuan



pemodelan matematika merupakan kemampuan dalam menerjemahkan suatu permasalahan nyata dalam kehidupan sehari-hari ke dalam kalimat matematika (model matematika), dengan tujuan dapat menyelesaikan masalah tersebut dengan tepat. Pemodelan matematika memiliki peranan penting dalam berbagai bidang ilmu. Bidang ilmu tersebut di antaranya yaitu bidang biologi, bidang fisika, bidang ekonomi, bidang kesehatan, bidang pertanian dan



lain



sebagainya. Peranan pemodelan matematika dalam bidang biologi misalnya pada masalah ekologi atau dikenal dengan istilah rantai makanan. Peranan pemodelan matematika dalam bidang fisika misalnya pada perhitungan pengaruh gaya gravitasi. Dalam bidang ekonomi, pemodelan matematika digunakan dalam perencanaan keuangan. Dalam bidang kesehatan pemodelan matematika bisa digunakan dalam mendeteksi penyakit. Dalam bidang pertanian bisa digunakan dalam penjadwalan sistem pengairan sawah (irigasi). Pentingnya pemodelan matematika dalam dunia pendidikan terlihat dalam tujuan mata pelajaran matematika yang dikemukakan oleh Depdiknas (2006) yaitu (1) memahami konsep matematika, menjelaskan keterkaitan antar konsep dan mengaplikasikan konsep atau algoritma secara



luwes,



akurat, efisien, dan tepat dalam pemecahan masalah; (2) menggunakan penalaran pada pola, sifat atau melakukan manipulasi matematika dalam membuat generalisasi, menyusun bukti, atau menjelaskan gagasan dan pernyataan matematika; (3) memecahkan masalah yang meliputi kemampuan



memahami masalah, merancang model matematika, menyelesaikan model dan menafsirkan solusi yang diperoleh; (4) mengkomunikasikan gagasan dengan simbol, tabel, grafik atau diagram untuk memperjelas keadaan atau masalah;



(5)



memiliki sikap menghargai kegunaan matematika dalam



kehidupan, yaitu memiliki rasa ingin tahu, perhatian, dan minat dalam mempelajari matematika, serta sikap ulet dan percaya diri dalam pemecahan masalah



BAB II LANDASAN TEORI



2.1. Pengertian Model Model adalah suatu representasi miniatur atau sebuah formalisasi dalam bahasa tertentu dari suatu objek nyata (sistem, proses, peristiwa). Deskripsi atau analogi yang digunakan untuk membantu memvisualisasikan sesuatu yang tidak dapat diamati secara langsung. Sistem nyata adalah sistem yang sedang berlangsung dalam kehidupan, sistem yang sedang dijadikan titik perhatian dan dipermasalahkan. Aktivitas pemodelan dapat dilakukan dalam beberapa bahasa baik dengan kata-kata, gambar atau sketsa, model .sik, program komputer, atau rumus matematika. Dalam hal ini kita akan gunakan bahasa matematika. Pemodelan adalah proses kostruksi sebuah model dari suatu sistem nyata dalam bahasa formal tertentu. Konstruksi tersebut dapat berupa konstruksi gra.s, simbolik, simulasi, dan eksperimen. Model simbolik dapat merupakan suatu rumus atau persamaan. Model simulasi dapat berupa program komputer atau model atau protipe dari pesawat untuk mempelajari tekanan udara. Secara sederhana model matematika dapat dide.nisikan sebagai suatu konstruksi matematis yang didesain untuk mempelajari suatu fenomena tertentu di dunia nyata.



2.2. Model Matematika Model Matematika merupakan representasi matematika yang dihasilkan dari pemodelan Matematika. Pemodelan Matematika merupakan suatu proses merepresentasikan dan menjelaskan permasalahan pada dunia nyata ke dalam pernyataan matematis (Widowati & Sutimin, 2007 : 1). Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atati problem pada dunia real dalam pernyataan matematik, sehingga diperoleh pemahaman dari problem dunia real ini menjadi lebih tepat. Representasi matematika yang dihasilkan dari proses ini dikenal sebagai “Model Matematika”. Koiistruksi, analisis dan penggunaan model matematika dipandang sebagai salah satu aplikasi matematika yang paling penting. Proses pemodelan Matematika dinyatakan dalam diagram alur sebagai berikut :



Gambar 2.1. Proses Pemodelan Matematika



Berdasarkan



Gambar



2.1



dapat



diperoleh



langkah-langkah



pemodelan



Matematika adalah sebagai berikut : 1.



Menyatakan permasalahan nyata ke dalam pengertian Matematika. Pada langkah ini permasalahan yang terjadi di dunia nyata dimodelkan dalam bahasa matematis. Langkah ini meliputi identifikasi variabel-variabel dalam masalah dan membentuk beberapa hubungan antar variabel yang dihasilkan dari permasalahan tersebut.



2.



Membuat Asumsi Asumsi dalam pemodelan Matematika mencerminkan bagaimana proses berpikir sehingga model dapat berjalan.



3.



Formulasi persamaan/ pertidaksamaan Dengan pemahaman hubungan antar variabel dan asumsi, langkah selanjutnya yaitu memformulasikan persamaan atau sistem persamaan. Formulasi model merupakan langkah yang paling penting, sehingga terkadang diperlukan adanya pengujian kembali asumsi-asumsi agar dalam proses pembentukan formulasi dapat sesuai dan realistik. Jika pada proses pengujian kembali ditemukan ketidaksesuaian model, maka perlu dilakukan pengkajian ulang asumsi dan membentuk asumsi yang baru.



4.



Menyelidiki sifat dari solusi. Setelah membentuk formulasi model, langkah selanjutnya adalah menyelidiki sifat dari solusi yaitu menyelidiki apakah solusi sistem stabil atau tidak stabil .



5.



Interpretasi Hasil



Interpretasi hasil merupakan suatu langkah yang menghubungkan formula Matematika dengan kembali ke permasalahan dunia nyata. Interpretasi ini dapat diwujudkan dalam bentuk grafik yang digambarkan berdasarkan solusi yang diperoleh dan selanjutnya diinterpretasikan sebagai solusi dalam dunia nyata . 2.3 Perlunya Pemodelan Matematika 1.



Pemodelan sangat penting bagi dunia sains



2.



Para ilmuwan memiliki alasan praktis untuk melakukan pemodelan matematika



3.



Bagi seorang ilmuwan atau matematikawan, ada kegembiraan tersendiri ketika berhasil memcahkan suatu masalah melalui pemodelan matematika



2.4 Kriteria Model yang Baik 1.



Tingkat generalisasi yang tinggi dimana Makin tinggi makin baik serta kemampuan pemecahan masalah makin besar



2.



Mekanisme transparansi Diketahui mekanisme pemecahan masalah => rekonstruksi



3.



Potensial



untuk



dikembangkan



dengan



Membuka



kemungkinan



pengembangan model 4.



Peka terhadap perubahan asumsi. Tidak pernah berakhir, ada celah berasumsi



2.5 Skema Pemodelan Matematika



2.6 PrinsipPrinsip Pemodelan Matematika



1.



Elaborasi Pemodelan dapat dimulai dengan yang sederhana dan secara bertahap dielaborasi hingga diperoleh model yang representative.



2.



Sinektik Pemodelan dapat dikembangkan dengan metode yang dibuat untuk mengembangkan pengenalan masalah secara analogis.



3.



Iteratif



Pemodelan terkadang diperlukan pengulangan dan penijauan kembali



2.7 Langkah-langkah Kontruksi Model Matematika 1. Perumusan masalah yang menarik 2. Identifikasi variabel dan parameter yang berpengaruh 3. Tambahkan asumsi secukupnya jika diperlukan 4. Perumusan model matematika berdasarkan informasi yang tersedia 5. Kajian matematis terhadap model (Analisis dan Perhitungan) 6. Kesimpulan matematis 7. Interpretasi 8. Uji atau bandingkan dengan masalah nyata 9. Modifikasi model 2.8 Contoh Model Matematika Sederhana Fenomena nyata yang diamati:  3 tahun yang akan datang, 2 kali usia ayah adalah 4 tahun lebih muda dari 6 kali usia Ali. 8 tahun yang lalu, usia ayah adalah 7 kali usia Ali.  Identifikasi variabel dan parameter yang berpengaruh:



Misal x = umur ayah saat ini, y = usia Ali saat ini  Perumusan model matematika berdasarkan informasi yang tersedia: 2(x + 3) = 6y — 4 x—8 = 7y Perhitungan dan Kesimpulan 2(x + 3) = 6y — 4 ⇒ 2x — 6y = —10 ⇒ 2x — 6y = —10 x — 8 = 7y ⇒ x — 7y = 8 ⇒ 2x — 14y = 16 8y = —26 y = —4, 25 



Interpretasi: Usia Ali saat ini adalah -4,25 tahun







Bandingkan dengan fenomena nyata: Tidak mungkin usia seseorang negatif. Perlu modi.kasi model







Modifikasi model: = =



6(y + 3) — 4 7y







2(x + 3) x—8 Hasil:







Hasil: x = 1 dan y = -1. Masih tidak masuk akal Modifikasi lagi







2(x + 3) x—8 Hasil:



= =



6(y + 3) — 4 7(y — 8)



x = 43 dan y = 13. Nah, ini masuk akal. Hasil ini sudah benar? 



Uji Hasil: 1) 3 tahun yang akan dating, usia ayah 46 tahun, usia Ali 16 tahun. Apakah 2 kali usia ayah adalah 4 tahun lebih muda dari 6 kali usia Ali? 2 x 46 = 6 x 16 - 4?. Ternyata benar. 2) 8 tahun yang lalu, usia ayah 35 dan usia Ali 5 tahun. Apakah usia ayah adalah 7 kali usia Ali?



35 = 7 x 5? 



Kesimpulan Usia Ali saat ini adalah 13 tahun, sementara ayahnya berusia 43 tahun.



2.9 Klasifikasi Model Berdasarkan fungsi 1. Model Deskriptif Menjelaskan/menggambarkan kembali mekanisme yang terjadi/sistem nyata. Contoh: struktur organisasi, tampak atas tata letak fasilitas, laporan keuangan, peta, daftar isi 2. Model Prediktif Model yang menjelaskan: bila x terjadi maka akan ada. Contoh: Diagram pohon keputusan, antrian 3. Model Normatif Model yang memberikan jawaban .terbaik.dari alternatif yang ada (terikat pada nilai). Contoh: model optimasi Berdasarkan Struktur 1. Model Ikonik Model yang mempertahankan sebagian sifat-sifat .sik yang diwakili / dimodelkan, terkadang skala berbeda. Contoh: Layout fasilitas 2. Model anolog Fisik berubah, proses dapat dilihat dari persamaannya. Contoh: sistem peredaran darah dengan selang, jaringan lalu lintas dengan jaringan listrik 3. Model Simbolik Fisik dan proses sudah mengalami modi.kasi (behavior) dengan menggunakan simbol untuk menjelaskan dunia nyata. Contoh: rumus ABC, hukum Pithagoras



BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan Model matematika berbentuk persamaan differensial dapat menggambarkan pola dan perilaku penyebaran penyakit menular dalam suatu populasi. Namun, agar model matematika ini dapat memberikan sumbangan lebih banyak dalam menjawab keprihatinan para epidemiolog, diperlukan analisis kuantitatif atau penghitungan numerik



untuk



menemukan



penyelesaian



model



matematika



berbentuk persamaan differensial itu, agar model matematika itu dapat memberikan sumbangan lebih konkrit daripada sekedar wacana teoretis. Terdapat beberapa metode penghitungan numerik penyelesaian persamaan differensial, salah satunya adalah Metode Runge-Kutta Orde 4. Dibandingkan orde 2 dan 3, metode ini memiliki tingkat ketelitian lebih tinggi, karena menggunakan kemiringan terbobot lebih banyak. Namun, dalam analisis kuantitatif ini, diperlukan bantuan program aplikasi komputer, mengingat untuk satu kasus saja dapat terjadi proses iterasi penghitungan lebih dari 10000 kali. Selain membantu melakukan analisis kuantitatif berupa



penghitungan penyelesaian persamaan differensial sepanjang selang waktu yang diberikan, program aplikasi komputer dapat memberikan penggambaran visual mengenai perilaku penyakit menular yang diteliti. Penggambaran visual melalui diagram time-plot dan diagram bidang-fase dapat memberikan informasi bagi analisis kualitatif terhadap penyakit menular yang sedang diteliti, misalnya apakah perkembangannya menuju pada satu titik keseimbangan tertentu, atau seberapa cepat tingkat penyebaran penyakit, dan seterusnya.



DAFTAR PUSTAKA 1. Baiduri. 2002. Persamaan Diferensial dan Matematika Model. Malang: UMM press. 2. Baratawidjaya, Karnen Garna. 1988. Imunologi Dasar. Jakarta: UI. 3. Denise, Kirschner. 1996. Using Mathematics to understand HIV Immune



Dynamics. Noticesof the AMS. http://www.math.rutgers.edu/~sontag/sysbio_papers_readings/hivkirschner.  pdf. Diakses 07/01/2009. 4. Finizio dan Ladas. 1988. Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern. Jakarta:Erlangga.Hariyanto, dkk. 1992. Persamaan Diferensial Biasa. Jakarta: Universitas Terbuka.Kresno, Siti Boedina. 2003. Imunologi: Diagnosis dan Prosedur Laboraturium. Jakarta: UI.Kusumah, Yaya S. 1989. Persamaan Diferensial. Jakarta: Departemen Pendidikan danKebudayaa