![Makalah Persamaan Dan Bidang Singgung Bola [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/makalah-persamaan-dan-bidang-singgung-bola.jpg)
3 0 839 KB
MAKALAH GEOMETRI ANALITIK RUANG PERSAMAAN BOLA
OLEH: KELOMPOK 3 NILAM SARI (E1R019001) AENUN JARIYAH (E1R019005) BESTY VALENTINA ISYANA(E1R019032) BUNIAL KHAWARIZMI (E1R019033) CARMELITA K. NAYANINGTYAS (E1R019035)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MATARAM 2021 1
DAFTAR ISI
HALAMAN SAMPUL ..........................................................................................................1 DAFTAR ISI.......................................................................................................................... 2 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang ................................................................................................................3 B. Rumusan Masalah ...........................................................................................................3 C. Tujuan ............................................................................................................................. 4 BAB II PEMBAHASAN A. Persamaan Bola...............................................................................................................5 B. Bidang Singgung pada Bola ........................................................................................... 11 C. Soal-Soal yang Diselesaikan ........................................................................................... 19 BAB III PENUTUP A. Kesimpulan .....................................................................................................................24 B. Saran ............................................................................................................................... 25 DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................26
2
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Matematika merupakan salah satu ilmu yang luas cakupannya dan bukan hanya sekedar bisa berhitung tetapi mencakup beberapa kompetensi yang menjadikan mahasiswa tersebut dapat memahami dan mengerti tentang konsep dasar matematika. Salah satu mata kuliah dalam pendidikan matematika adalah “geometri analitik bidang”. Geometri adalah ilmu yang membahas tentang hubungan antara titik, garis, sudut, bidang dan bangun-bangun ruang. Geometri terutama terdir dari serangkaian pernyataan tentang titik-titik, garis-garis, dan bidang-bidang, dan juga planar (proyeksi bidang) dan bendabenda padat. Geometri dimulai dari istilah-istilah yang tidak terdefenisikan, defenisidefenisi, aksioma-aksioma, postulat-postulat dan selanjutnya teorema-teorema. Geometri analitik adalah suatu cabang ilmu matematika yang merupakan kombinas anatar aljabar dan geometri. Dengan membuat korespondensi antara persamaan matematika secara aljabar dengan tempat kedudukan secara geometri diperoleh suatu metode pemecahan masalah geometri yang lebih sistematik dan lebih tegas. Masalahmasalah geometri akan diselesaikan secara aljabar (atau secara analitik). Sebaliknya gambar geometri sering memberikan pemahaman yang lebih jelas pada pengertian hasil secara aljabar. Dalam hal ini juga memungkinkan menyelesaikan masalah aljabar secara geometri, tetapi model bentuk geometri jauh lebih penting daripada sekedar penyelesaian, khususnya jika bilangan dikaitkan dengan konsep pokok geometri. Sebagai contoh, panjang suatu segmen garis atau sudut antar dua garis. Jika garis dan titik secara geometri diketahui, maka bilangan yang menyatakan panjang atau besar sudut antara dua sudut antara dua garis pada hakekatnya hanyalah nilai pendekatan suatu pengukuran. Tetapi metode aljabar memandang bilangan itu sebagai perhitungan yang eksak (bukan pendekatan).
B. Rumusan Masalah Permasalahan dalam makalah ini adalah pembahasan geometri yang khusus pada ruang yaitu geometri analitik ruang yang mencakup tentang materi bola, ketentuan pada bangun ruang bola, persamaan bola. Disamping itu juga bagaimana pembahasan tentang bidang singgung pada bola dan bidang kutub pada bola. 3
C.
Tujuan Tujuan pembuatan makalah ini adalah untuk membantu kita memahami bangun ruang pada bola dan bidang singgung pada bola serta materi terkait dengan bola.
4
BAB II PEMBAHASAN A. PERSAMAAN BOLA Bola adalah himpunan titik-titik yang berjarak sama dari suatu titik tertentu. Selanjutnya jarak yang sama itu disebut jari-jari bola dan titik tertentu itu disebut titik pusat bola. Bola dengan pusat O (titik asal) dan berjari-jari r ( Gambar 8.3), persamaannya dapat diperoleh dengan cara mengambil sebarang titik P(x, y,z) pada bola. Sehingga: 〈 |
|
| |
√
Karena (
〉 | |
jari-jarinya,
) sebarang titik pada bola,maka setiap ) pada bola berlaku
titik(
. Ini berarti bahwa persamaan bola dengan
pusat O dan berjari-jari r adalah:
𝒙𝟐
𝒚𝟐
𝒛𝟐
𝒓𝟐
Contoh: Persamaan bola dengan pusat O dan berjari jari 5adalah .Selanjutnya kita akan mencari persamaan bola dengan jari-jari r dan titik pusat (
).
Ambil sebarang titik (
)pada bola maka vektor | |
|
|
| |
maka
setiap
)sebarang titik(
〉
〈 | |
Karena (
〈
(
titik )
pada
〉〈 )
pada bola
(
)
(
bola
yang
〉 ) memenuhi
memenuhi
persamaan
berarti persamaan bola dengan jari-jari dan titik pusat (
)adalah:
5
persamaan tersebut.
Hal
ini, ini
(
)
(
)
(
)
Contoh : Carilah persamaan bola yang berpusat di titik (
)dan melalui titik(
)!
Jawab: )
Jari-jari bola adalah jarak dua titik(
(
)dan melalui titik(
(
)
)
(
),
yaitu ( )
√(
(
)
(
√
( )
√(
)
(
)
) (
)
(
)
) √ √
Persamaan bola yang dicari adalah persamaanbola dengan jari-jari 3 dan berpusat dititik(
)yaitu: (
)
(
)
(
)
, yang jika dijabarkan menjadi
0 Jadi, persamaan bola yang berpusat di titik (
)dan melalui titik(
6
)adalah
Rumus umum persamaan bola, yaitu (
)
(
)
(
)
dapat ditulis
sebagai berikut:
Jika diambil simbol lain misalnya : dan Maka persamaan bola itu dapat ditulis sebagai
Nampak
di
sini
bahwa
persamaan
bola
adalah
suatu
dan
jari-jari
persamaan
kuadrat
dari
dengan
dalam x, y, dan z dengan ciri-ciri: 1. tidak memuat suku-suku xy, xz atau yz, dan 2. koefisien-koefisien Kita
akan
selalu sama.
menentukan
koordinat
titik
pusat
persamaan
.Persamaan
ini
dengan perlengkapan kuadratdari x, y dan z sebagai berikut: )
M( (
)
(
( )
) (
(
)
)
.
7
bola
diubah
Dari
persamaan
yaitu
ini
kita
mudah
(
:
menentukan
)sebagai
titik
titik
pusat
pusatnya
dan
dan
jari-jari
sebagai
bola,
jari-jarinya
√
adalah: Catatan:
i.
Jika
, maka
. Kondisi ini memperlihatkan bentuk
, maka
. Kondisi ini memperlihatkan bahwa
, maka
. Kondisi ini memperlihatkan bahwa
bola nyata. ii.
Jika bentuk bola berupa titik.
iii.
Jika bola yang berbentuk imajiner.
Contoh : Tentukan pusat dan jari-jari bola dengan persamaan . Jawab: Dengan proses perlengkapan kuadrat, persamaan bola diubah menjadi: . (
)(
)(
(
)
Jadi,bola berpusat di titik (
(
) )
(
)
) dengan jari-jari .
Tentu boleh pula dengan menggunakan rumus yang diperoleh dari atas,menentukan titik pusat bola
(
)yaitu :
(
(
.
)
(
Jari-jari bola adalah
√ 8
)
(
))
(
)
√ (
)
(
)
(
)
√ √
Persamaan sebuah bola dapat pula ditentukan melalui 4 buah titik yangletaknya tidak sebidang. Sekarang kita akan mencari persamaan bola yangmelalui titik-titik ( (
)
,
(
)
,
(
)
,
yaitu
sebagai
), berikut:
Misalkan persamaan bola yang melalui titik-titik ini adalah:
Maka keempat titik yang diketahui memenuhi persamaan ini, yaitu: 1) 2) 3) 4) Agar lima persamaan ini mempunyai penyelesaian untuk A, B, C, dan D,maka harus dipenuhi:
|
|
|
|
Persamaan determinan ini adalah persamaan kuadrat dalam x, y, dan zyang merupakan persamaan bola yang melalui 4 titik yang diketahui. Contoh: Tentukan persamaan bola yang melalui titik ( )(
) 9
)(
)(
Jawab: Persamaan bola adalah:
(
|
( ) | ( ) ( ) (
) (
|
)
|
)
| |
| |
Baris ke-2, 3, dan 5 masing-masing dikurangi baris ke-4, makadiperoleh:
| |
| |
Baris ke-2 dibagi 2, baris ke-3 dibagi 2 dan baris ke-4 dibagi 4, maka diperoleh:
| |
| |
Ekspansikan menurut kolom ke-5, maka diperoleh:
|
|
|
|
Dari bentuk yang terakhir ini dapat diperoleh bentuk persamaan bola yang dimaksud, yaitu: (
)
atau
10
A. BIDANG SINGGUNG PADA BOLA Diketahui suatu bola dengan persamaan (
)
(
)
(
)
dan suatu
titik (
) pada bola. Akan dicari persamaan bidang singgung pada bola di
titik (
). Bidang singgung di titik T dan jari-jari bola melalui T saling tegak lurus. ) pada bidang singgung (lihat Gambar 8.5).
Selanjutnya, ambil sebarang titik V(
̅̅̅̅
〈
〉 pada bidang singgung Pusat bola adalah ( ̅̅̅̅
(
)maka:
)
Karena ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ maka ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ (̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 〈
〉〈 (
)(
〉 )
( (
)( )(
) )
Ini adalah persamaan bidang singgung yang dicari
Contoh :Tentukan persamaan bidang singgung pada bola ( dititik (
)
(
)
(
)
)!
Jawab: Titik (
)terletak pada bola, sebab koordinat-koordinatnya memenuhi pada persamaan
bola . Maka persamaan bidang singgung pada bola di titik ( (
)( (
)(
) )
( (
)(
)
(
)(
)
(
11
) adalah )( )(
) )
(
Misalkan
)
(
(
)
(
)
)pada bola dengan persamaan
.
Kita akan mencari persamaan bidang singgung bola di adalah (
) Vektor arah jari-jari
T. Titik pusat bola
(
) .
Karena bidang singgung bola melalui T tegak lurus pada jari-jari
, maka vektor arah
dapat dipandang sebagai vektor normal dari bidang singgung itu. Jadi persamaan bidang singgung yang dicari adalah persamaan bidang yang melalui titik (
) dengan vektor
normal (
)yaitu :
((
)(
(
)
)(
)
(
)(
)
Dengan penjabaran, maka akan diperoleh: (
)
(
)
(
(
)
) (
)
(
Yang merupakan persamaaan bidang singgung bola di (
12
)
( )
)
)
Contoh:Tentukanlah persamaan bidang singgung pada bola dititik (
)
Jawab : Periksalah titik T terletak pada bola ,maka persamaan bidang singgung bola di T adalah (
)
(
)
(
)
Contoh :Tentukanlah persamaan bidang-bidang singgung pada bola ( (
)
)
(
)
yang titik singgungnya adalah titik-titik potong garis dengan bola tersebut
Jawab: Dicari lebih dulu titik-titik potong garis dan bola. Dengan substitusinilai (
)
(
(
)
) ( (
)
) (
(
(
)
)(
diperoleh
)
(
)
(
)
)
atau Substitusi nilai
dan
diperoleh titik potongnya adalah
ke (
sehingga ) dan ( 13
)
(
Persamaan bidang singgung di ( (
) 3(
)
)(
)
(
)
)(
) (
Melalui suatu titik
(
(
)(
(
Persamaan bidang singgung di (
) )
(
)(
)
)(
)
) ( )
)( (
) )
( (
)
) diluar sebuah bola
dapat dibuat bidang singgung yang tak terhingga banyaknya. Misalnya titik
(
salah satu titik singgungnya ,maka persamaan bidang singung yang melalui S adalah 14
)
( Karena (
)
(
)
(
)
) pada bidang singgung ini,maka dipenuhi (
Titik (
)
(
)
(
)
) terletak pada bola ,maka berlaku
Dari dua persamaan terakhir ini dengan memandang bahwa (
)adalah sebarang titik
singgung pada bola, maka setiap titik singgung pada bola berlaku
{
(
)
(
)
(
)
Dua persamaan terakhir ini menyatakan suatu persamaan lingkaran. Sekarang diambil sebarang titik ( (
)pada bidang
)
(
)
(
)
(
(
)
)
maka berlaku bahwa (
)
Dari persamaan terakhir ini dapat disimpulka bahwa titik (
) memenuhi persamaan ( (
)
(
)
)
Persamaan terakhir ini adalah persamaan bidang yang memuat semua titik singgung dari bidang kerucut dengan puncak Selain itu dapat disimpulkan pula bahwa bidang (
)
(
)
(lihatGambar 8.6). (
)
, merupakan himpunan titik-titik puncak kerucut selubun
15
gpada bola yang bidang lingkaran singgungnya terlerak pada (
) Dengan tidak
memandang titik , bidang (
bidang disebut bidang kutub dari
dan
)
(
)
(
)
disebut titik kutubnya.
Jika T di luar bola, maka bidang kutubnya memotong bola, jika T pada bola,maka bidang kutubnya merupakan bidang singgung dan jika T di dalam bola,maka bidang kutubnya tidak memotong bola. Suatu garis melalui T memotong sebuah boladi satu atau dua titik. Kuasa titik T terhadap bola adalah hasil kali panjang ruas-ruas garis yang menghubungkan titik T dengan titik-titik potong garisyang melalui T pada bola tersebut. Dari Gambar 8.7, dapat ditentukan bahwa kuasa titik T terhadap bola adalah: |
||
|
|
||
| |
||
|
(| |
|| |
| |
)(|
|
)
|
dengan r adalah jari-jari bola. Sehingga dapat disimpulkan bahwa apabila| kuasanya positif. Jika|
|
|
maka T terletak di luar bola dan
maka T terletak pada bola dan kuasanya nol dan jika|
|
maka T di dalam bola dan kuasanya negatif.
Misalkan dan bola dengan persamaan (
) dan bola dengan persamaan , dengan pusat
dengan
, maka
16
(
)dan jari jari r
|
|
(
)
(
)
(
)
(
(
)
Jadi kuasa titik (
)
(
)
) terhadap bola dengan persamaan adalah
(
Contoh : Selidiki apakah titik
)terletak pada, didalam atau di luar bola-bola
berikut ini a). (
) +(
)
(
)
b). jawab : a). Kuasa titik (
) terhadap bola (
) +(
pertama kita mensubstitusikan titik-titik ( (
) +(
(
) +( )
)
(
)
(
)
) pada persamaan bola
)
( )
1+ Ditemukan nilai 1, dimana 1
maka (
)terletak di luar bola
17
adalah
b). Kuasa titik
(
) terhadap bola
adalah pertama kita mensubstitusikan titik-titik ( yang koefisien-koefisien
(
,
,
adalah 1. Jadi kuasanya adalah
(
)
Ditemukan nilai (-4,5), dimana(
)pada persamaan bola
)
)
maka (
18
)terletak di dalam bola.
SOAL-SOAL YANG DISELESAIKAN A. Persamaan Bola 1. Tentuksn persamaan bola dengan pusat Penyelesaian : Diketahui : Titik pusat : ( ) Jari - jari : Ditanya : Persamaan bola ? ( ) ( ) ( ) ( (
(
(
)) )
(
(
) )
)
( (
(
) dan jari jari
) )
(
)
(
)
Jadi persamaan bolanya adalah Jika menggunakan geogebra maka ilustrasinya seperti dibawah ini
1. Jika diketahui persamaan bola yaitu .Tentukan titik pusat dan jari-jari bola ! Penyelesaian: Mencari titik pusat bola (
)
(
( )
( )
(
19
))
(
)
!
Jadi titik pusat bola adalah (
)
Mencari jari-jari bola √
√ ( )
√ ( )
( )
(
)
(
(
√ √
Jadi diperoleh jari jari bola yaitu 5
B. Bidang singgung Bola 1. Tentukan persamaan bidang singgung pada bola di titik (
)!
20
)
)
Penyeelesaian: Titik (
) pada bola, jadi dapat dipakai kaidah membagi adil (
)
( )( (
)
(
)
)
( )(
(
)
( )
) ( )(
(
)
)
Dimana ; (
)
(
) sehingga diperoleh;
Jadi, persamaan bidang singgung nya adalah
2. Tunjukan bahwa bidang
menyinggung bola . Tentukan titik singgung bidang V dan bola S!
Penyelesaian: Menunjukan sebuah bidang menyinggung bola dapat dilakukan dengan memperlihatkan jarak puast bola dengan bidang sama dengan jari-jari bola (r) Diketahui :
Jadi,
, dimana
(
Jari-jari bola
(
) √
Jarak titik P dengan bidang
(
)
) |
( )
( )
(
√
(
)
21
)
|
√
Jarak pusat bola dengan bidang sama dengan jari-jari bola (r) yaitu 3. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa bidang V menyinggung bola S. Menentukan titik singgung Menentukan persamaan (parameter) garis g yang melalui pusat bola dan tegak lurus V Pusat bola (
) vektor normal bidang
⃗⃗⃗⃗⃗
[
]
{
(
)
(
Substitusikan nilai (
)
(
)
(
)
(
)
ke g, diperoleh :
Jadi, titik singgungnya adalah (
)
3. Persamaan bidang singgung pada bola titik A= (1, -2, 0) adalah …. Penyelesain : Titik (
) pada bola, jadi dapat dipakai kaidah membagi adil 22
di
(
(
)
(
)(
(
)
)
)
(
( )(
(
)
)
) (
(
)(
)
Dimana ; (
) ( )
(
) sehingga diperoleh; (
)
( )
(
( ))
(
Jadi, persamaan bidang singgung nya adalah Ilustrasi :
23
(
))
(
( ))
)
PENUTUP A. Kesimpulan. Bola
adalah
tertentu.
himpunan
Selanjutnya
titik-titik
jarak
yang
yang sama
itu
berjarak
sama
disebut
jari-jari
dari bola
suatu
titik
dan
titik
tertentu itu disebut titik pusat bola. Persamaan bola dengan pusat O dan berjari-jari r adalah (
. Persamaan bola dengan jari-jari )Adalah (
)
(
)
(
)
) Sebagai titik pusatnya
√
dan sebagai jari-jarinya adalah:
Suatu bola dengan persamaan (
)
bidang singgung pada bola di titik ( saling tegak lurus adalah (
.
(
Titik pusat dan jari-jari bola, yaitu :
dan titik pusat
(
)
(
)
, persamaan
) Dimana titik T dan jari-jari bola melalui T
)(
)
(
)(
)
(
)(
Pada bola dengan persamaan
. Kita akan
mencari persamaan bidang singgung bola di (
adalah
)
(
) Vektor arah jari-jari
). Titik pusat bola (
)
. Karena bidang singgung bola melalui T tegak lurus pada jari-jari
, maka vektor arah
Dapat dipandang sebagai vektor normal dari bidang singgung itu. Jadi persamaan bidang singgung yang dicari adalah persamaan bidang yang melalui titik ( (
Dengan vektor normal (
)
(
)
) Yaitu
)
(
Melalui suatu titik (
)
) Diluar sebuah bola
dapat dibuat bidang singgung yang tak terhingga banyaknya. Misalnya titik (
) Salah satu titik singgungnya ,maka persamaan bidang singung yang melalui
S adalah Bidang
(
) (
( )
) (
( )
) (
)
,
merupakan himpunan titik-titik puncak kerucut selubun gpada bola yang bidang lingkaran singgungnya terlerak pada (
) Dengan tidak memandang titik , bidang 24
( dari
dan
)
(
)
(
)
disebut bidang kutub
disebut titik kutubnya.
Kuasa titik
(
) Terhadap bola dengan persamaan
adalah
B. Saran. Kami membuat makalah ini untuk menjadi pembelajaran bersama. Kami mengambilndari beberapa sumber, jadi apabila pembaca menemukan kesalahan dan kekurangan makakami sarankan untuk mencari informasi dari referensi yang lebih baik.
25
DAFTAR PUSTAKA Sukirman. 2016. Geometri Analitik Bidang dan Ruang. Tangerang Selatan: Universitas Terbuka.
26
