Persamaan Garis Singgung [PDF]

Citation preview

Persamaan Garis Singgung Sekarang kita akan menentukan persamaan garis singgung yang melalui titik A(x1,y1) pada lingkaran yang memiliki persamaan x2 + y2 = r2, yaitu lingkaran yang berpusat di titik (0, 0) dan berjari-jari r. Perhatikan gambar (ilustasi) berikut.



Persamaan Lingkaran



x2 + y2 = r2



Catat bahwa setiap garis singgung Tepat akan menyentuh 1 (satu) titik di lingkaran. Oleh karena itu kita bisa menarik garis dari titik singgung tersebut ke pusat lingkaran yang juga akan membentuk Jari-jari Lingkaran. Persamaan Garis Singgung Lingkaran 1 Persamaan garis singgung yang melalui titik A(x 1, y1) pada lingkaran x2 + y2 = r2 adalah x1x + y1y = r2. Contoh Soal : Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (2, –3) pada lingkaran x2 + y2 = 13. Jawab : Dik : x1 = 2, y1 = –3 dan L = x2 + y2 = 13 Maka : x 1 x + y 1 y = r2 2x + (-3) y = 13 2x - 3y = 13 2x - 3y - 13 = 0



Persamaan Garis Singgung Lingkaran 2 persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik A(x1, y1) pada lingkaran yang berpusat di titik (a, b) dan berjari-jari r.



Dari ilustarsi diatas kita bisa menentukan Rumus nya yaitu : Jika L = (x – a)2 + (y – b)2 = r2 , maka persamaan garis singgungnya adalah : (x – a)(x1 – a) + (y – b)(y1 – b) = r2. Contoh Soal Tentukan persamaan garis singgung pada Lingkaran L = (x - 1)2 + (y - 4)2 = 25 dan Titik singgung A (-3 , 1) . Jawab Dik : x1 = -3, y1 = 1 L = (x - 1)2 + (y - 4)2 = 25 a = 1 , b = 4 dan r2 = 25 Maka (masukan ke persamaan) (x -1) (-3 - 1) + (y - 4) (1 - 4) = 25 (x-1) (- 4) + (y - 4) (-3) = 25 -4x + 4 - 3y + 12 = 25 -4x - 3y + 16 = 25 -4x - 3y + 16 - 25 = 0 -4x - 3y - 9 =0 atau 4x + 3y = 9 = 0



Contoh soal pembahasan persamaan lingkaran 1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat (3,4) dan berjari-jari 6 ! Jawab : (x - 3)2 + ( y - 4)2 = 62 Û x2 + y2 - 6x - 8y - 11 = 0 2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat (2,3) dan melalui titik (5,-1) ! Jawab : Persamaan lingkaran yang berpusat (2,3 ) adalah (x - 2)2 + ( y - 3)2 = r2 Melalui titik (5,-1) maka : (5 - 2)2 + (- 1- 3)2 = r2 Û r2 = 25 Jadi persamaan lingkarannya : (x - 2)2 + ( y - 3)2 = 25 atau x2 + y2 - 4x + 6y - 12 = 0 3. Diketahui titik A(5,-1) dan B(2,4). Tentukan persamaan lingkaran yang diameternya melalui titik A dan B ! Jawab :



4. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2,-3) dan menyinggung garis 3x - 4y + 7 = 0 !



5. Tentukan pusat lingkaran x2 + y2 + 4x - 6y + 13 = 0 ! Jawab :



6. Tentukan jari-jari lingkaran x2 + y2 - 4x + 2y + c = 0 yang melalui titik A(5,-1) ! Jawab :



7. Tentukan jari-jari dan pusat lingkaran 4x2 + 4y2 + 4x - 12y + 1 = 0 !



8. Tentukan m supaya lingkaran x2 + y2 - 4x + 6y + m = 0 mempunyai jari-jari 5 ! Jawab :



9. Agar garis y = x + c menyinggung lingkaran x2 + y2 = 25 maka tentukan c ! Jawab :



10. Tentukan a agar garis y = x + a menyinggung lingkaran x2 + y2 - 6x - 2y + 2 = 0 ! Jawab :



11. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 yang melalui titik (7,1) ! Jawab :



12. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 - 4x + 6y - 12 = 0 di (5,1 ) ! Jawab :



13. Garis singgung di titik (12,-5) pada lingkaran x2 + y2 = 169 menyinggung lingkaran (x - 5)2 + ( y - 12)2 = p . Tentukan p ! Jawab :



14. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (3,2) dan menyinggung sumbu Y ! Jawab :



15. Diketahui lingkaran l berpusat di (-2,3) dan melalui titik (1,5). Jika lingkaran L diputar searah jarum jam terhadap titik O(0,0), kemudian digeser ke bawah sejauh 5 satuan,90 maka tentukan persamaan lingkaran yang dihasilkan ! Jawab :



16. Jika titik (-5,k) terletak pada lingkaran x2 + y2 + 2x - 5y - 21 = 0 , maka tentukan k ! Jawab : 25 + k 2 - 10 - 5k - 21 = 0 k = - 1 atau k = 6 17. Tentukan jari-jari lingkaran yang melalui titik-titik A(5,0), B(0,5) dan C(-1,0) ! Jawab :



18. Diketahui lingkaran dengan persamaan x2 + y2 + bx - 6y + 25 = 0 dan b < 0 menyinggung sumbu X. Tentukan nilai b ! Jawab :



19. Lingkaran x2 + y2 - 2 px + q = 0 yang mempunyai jari-jari 2, akan menyinggung garis x – y = 0 bila nilai p yang positif = …… Jawab :



20. Tentukan persamaan lingkaran yang sepusat dengan lingkaran x2 + y2 - 4x + 6y - 17 = 0 dan menyinggung garis 3x – 4y + 7 = 0 ! Jawab :



21. Garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 di titik (-3,4) menyinggung lingkaran dengan pusat (10,5). Tentukan jari-jarinya ! Jawab :



, maka22. Jika jari-jari lingkaran L adalah r dan A suatu titik pada L sehingga Ð BAC = 45 tentukan luas daerah yang diarsir !



persamaan garis singgung



(1)persamaan garis singgung pada kurva



di titik (- 1, 0)



gradien garis singgung persamaan garis yang bergradien m dan melalui titik (a,b) adalah y – b = m(x – a) yaitu : y – 0 = 1(x – (-1)) y=x+1



(2)persamaan garis singgung kurva gradien garis y = 2x + 3 adalah dimana jadi titik singgungnya (3,0) persmaan garis singgung : y-b=m(x-a)



yang sejajar garis y = 2x + 3 karena sejajar maka



y-0=2(x-3) y=2x-6



(3)persamaan garis singgung lingkaran



yang melalui titik



(5,1)



persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di (a,b) melalui titik



(4)persamaan garis singgung lingkaran



terhadap garis



karena tegak lurus maka



persamaan garis singgung yang bergradien m adalah jadi :



dan



yang tegaklurus