Makalah Tentang Statistika Dan Peluang [PDF]

Citation preview

BAB II PEMBAHASAN



A. STATISTIKA 1. Pengertian Stastistika Statistika adalah cabang ilmu matematika yang mempelajari bagaimana cara mengumpulkan dan menyusun data, mengelolah dan menganalisa data, serta menyajikan data dalam bentuk kurva atau diagram, menarik kesimpulan, dan mengambil keputusan yang didasarkan pada hasil pengelohan data. Statistika dibagi menjadi 2 macam, yaitu: a. Statistik deskriptif Statistik deskriptif adalah statistika yang melakukan kegiatan dari mengumpulkan, menyusun, menganalisa, mengelola, serta menyajikan data dalam bentuk kurva. b. Statistika inferensi Statistika inferensi adalah penarikan kesimpulan dalam statistika. Hasil dari data yang sudah diolah dan dianalisa yang disebut statistik. Dalam suatu penelitian, seluruh objek yang akan diteliti disebut populasi, sedangkan sebagian dari populasi yang benar-benar diamati disebut sampel atau contoh. Misalkan, kita akan meneliti apakah dampak dari curah hujan yang tinggi bagi petani di desa Margahayu. Karena di desa Margahayu ada 10 Rt, maka akan diambil secara acak 5 petani untuk diteliti. Dalam hal ini, petani desa Margahayu disebut populasi, sedangkan yang terpilih dari masing-masing Rt disebut sampel. Datum adalah setiap informasi atau keterangan yang diperoleh dari suatu penelitian. Kumpulan dari datum disebut data. Menurut jenisnya, data dibedakan menjadi 2 macam, yaitu: a. Data kualitatif Data kualitatif adalah data yang menunjukan sifat/keadaan objek atau berupa tidak berupa angka. Contoh: data tentang nilai sikap yang dinyatakan dengan “baik”, “cukup”, atau “kurang”.



3



b. Data kuantitatif Data kuantitatif adalah data yang menunjukan jumlah ukuran objek atau berupa angka. Contoh: data tentang tinggi badan, berat badan, nialai siswa.Menurut cara memperolehnya, data kuantitatif dapat dibedakan menjadi 2 macam, yaitu: 1) Data ukuran (data kontinu) Data ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur. Contoh: data tentang luas petak sawah. 2) Data cacahan (data deskrit) Data cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah, menimbang, atau menghitung bayak objek. Contoh: data tentang banyaknya penumpang kereta api x setiap harinya. 2. Penyajian Data Data yang sudah dikumpulkan dapat disajikan dalam bentuk tunggal, data kelompok atau data yang dikelompokan dengan tabel dan data yang disajikan dalam bentuk macam-macam diagram tergantung tujuan dibuatnya data tersebut. a. Data Tunggal Data tunggal adalah data yang disusun sendiri menurut besarnya. Contoh: data dari bilangan antara 1 sampai 40 yang berkelipatan 5 adalah: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35. b. Data Kelompok Data kelompok yang disajikan dalam bentuk tabel disebut tabel distribusi frekuensi. Contoh : Nilai



Titik tengah ()



Frekuensi ()



21 - 30



25,5



10



31 - 40



35,5



9



41 - 50



45,5



2



51 -60



55,5



7



61 – 70



65,5



19



71 – 80



75,5



19



81 – 90



85,5



19



91 – 100



95,5



15



4







Kelas Data yang terdiri atas 100 nilai amatan pada tabel di atas dikelompokan menjadi delapan kelas, yaitu kelas pertama 21 – 30, kelas kedua 31 – 40, kelas ketiga 41 – 50, kelas keempat 51 – 60, kelas kelima 61 – 70, kelas keenam 71 – 80, kelas ketujuh 80 – 91, kelas kedelapan 91 – 100.







Batas kelas Batas kelas ditentukan sebagai nilai-nilai ujung yang terdapat pada sebuah kelas. Nilai ujung bawah suatu kelas disebut batas bawah kelas, dan nilai ujung atas suatu kelas disebut batas atas kelas. Misalnya kelas pertama 21 – 30, batas bawahnya 21 dan batas atasnya 30.







Tepi kelas Tepi kelas ada 2, yaitu tepi bawah kelas dan tepi atas kelas. Tepi bawah = batas bawah -0,5 Tepi atas = batas atas +0,5 Misalnya kelas pertama 21 – 30, panjang kelasnya adalah 10.







Titik tengah kelas Titik tengah kelas adalah suatu nilai yang dapat dianggap mewakili kelas itu. Titik tengah = (batas bawah + batas atas)



1) Penyajian Data dalam Diagram a) Diagram Batang Penyajian data statistik dengan menggunakan gambar berbentuk balok atau batang disebut diagram batang. Batang-batang itu dapat dilikiskan secara tegak (diagram batang tegak) atau mendatar (diagram batang mendatar), tetapi antara satu dengan batang yang lainnya diberi jarak sehingga letak tiap batang tampak terpisah. Contoh:



5



Diagram Batang Nilai Ulangan Siswa Kelas XI 16 14 12 10 8 6 4 2



0 60-69



70-79



80-89



90-99



Gambar 1. Diagram Batang Nilai Ulangan Siswa Kelas XI



b) Diagram Garis Data yang disajikan dengan grafik yang berbentuk garis lurus disebut diagram garis atau grafik garis. Biasanya digunakan untuk menggambarkan kejadian yang berkesinambungan atau serba terus.



hasil panen padi tahun 2002-2007



Contoh : 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 2002



2003



2004



2005



2006



2007



tahun



Gambar 2. Diagram Garis Nilai Ulangan Siswa Kelas XI



6



c) Diagram Lingkaran Penyajian data statistik dengan menggunakan gambar yang berbentuk daerah lingkaran disebut diagram lingkaran. Diagram tersebut dapat dibuat dengan membagi lingkaran menurut data yang ada dan dengan menggunakan busur derajat dan membagi keliling lingkaran. Contoh:



Tabel 1. Data hasil penjualan berbagai barang di sebuah toko selama tahun 2007. Jenis Barang Setrika Listrik Kipas angin Pompa tangan Kompor gas Lemari Es Televisi Jumlah



, 43.2



Banyak barang 39 18 12 42 21 18 150



, 93.8



, 50.4



, 42.3 , 100.8



, 28.8



Gambar 3. Diagram Lingkaran Hasil Penjualan Berbagai Barang Di Sebuah Toko Selama Tahun 2007



7



d) Histogram dan Ogif Histogram adalah penyajian daftar distribusi frekuensi yang terdiri dari segiempat-segiempat yang asalnya pada sumbu mendatar. Polygon frekuensi komulatif adalah grafik yang menunjukan frekuensi komulatif. Jika polygon frekuensi kumulatif dimuluskan diperoleh kurva frekuensi kumulatif yang disebut ogif. Untuk frekuensi kumulatif kurang dari, grafiknya desebut ogif positif. Sedangkan untuk frekuensi kumulatif lebih dari, disebut ogif negative. 3. Ukuran Pemusatan Data Ukuran pemusatan data adalah ukuran untuk memberikan gambaran wakil data dari sampel yang diambil yang selanjutnya akan mewakili populasinya. Secara umum yang termasuk ukuran pemusatan data adalah: Mean (rata-rata hitung), Modus, dan Median. a. Ukuran pemustan data untuk tunggal 1) Rataan Hitung (Mean) Rataan dari suatu data adalah perbandingan jumlah semua nilai data dengan banyak data.



2) Modus Modus adalah nilai data yang paling sering munculatau nilai data yang mempunyai frekuensi terbesar. Contoh : Data 2,3,2,1,6,5,7,4,3,2,8 Maka modusnya adalah 2 3) Median Median adalah suatu nilai yang membagi data menjadi dua bagian yang sama banyaknya setelah data tersebut diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar. Median untuk jumlah data (n) ganjil



Median untuk jumlah data (n) genap



8



Keterangan: Me = Median n = jumlah data x = nilai data b. Ukuran pemustan data untuk kelompok 1) Mean Menentukan nilai rata-rata dari suatu data kelompok sama dengan mencari nilai ratarata data tunggal. Idenya adalah menjumlahkan semua data kemudian membagi dengan banyaknyanya data. Hanya saja, karena penyajian data kelompok diberikan dalam bentuk berbeda, maka rumus mencari nilai mean untuk data kelompok sedikit berbeda dengan cara mencari nilai mean pada data tunggal.



Keterangan: x = rataan hitung dari data kelompok fi = frekuensi kelas ke-i xi = nilai tengah kelas ke-i 2) Median Median adalah nilai yang membagi data terurut menjadi dua bagian yang sama. 𝑀𝑒



=



L+



½



n - fk . P fm



Keterangan : Me = Median L =Tepi bawah kelas median n =Banyak data fk =Frekuensi komulatif sebelum kelas median fm =Frekuensi kelas median p =Panjang kelas interval 9



3) Modus Modus adalah nilai data yang paling sering muncul atau frekuensinya paling besar. 𝑀𝑜



=



L + d1 . P d1 +d2



Keterangan : Mo = Modus L



= Tepi bawah kelas modus



d1 = Selisih frekuensi kelsa modus dengan frekuensi kelas sebelumnya d2 = Selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya p



= Panjang kelas interval



4. Ukuran Letak Data a. Kuartil Kelompok data yang sudah diurutkan (membesar atau mengecil) dibagi empat bagian yang sama besar. Ada 3 jenis yaitu kuartil pertama (Q1) atau kuartil bawah, kuartil kedua (Q2) atau kuartil tengah, dan kuartil ketiga (Q3) atau kuartil atas Untuk data tidak berkelompok.



Q i  nilai ke -



in  1 , i  1,2,3 4



Untuk data berkelompok



 in  -F   , i  1,2,3 Qi  L 0  c 4  f      Keterangan: L0 = batas bawah kelas kuartil F = jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas kuartil Qi f = frekuensi kelas kuartil Qi



10



Tabel 2. Contoh Kuartil Interval Kelas



Nilai Tengah (X)



Frekuensi



9-21



15



3



22-34



28



4



35-47



41



4



48-60



54



8



61-73



67



12



74-86



80



23



87-99



93



6 Σf = 60



Keterangan:  Q1 membagi data menjadi 25 %  Q2 membagi data menjadi 50 %  Q3 membagi data menjadi 75 % Sehingga :  Q1 terletak pada 48-60  Q2 terletak pada 61-73  Q3 terletak pada 74-86 Untuk Q1, maka :  1.60  - 11   4   54 Q1  47,5  13 8      



Untuk Q2, maka :  2.60  - 19   4   72,42 Q 2  60,5  13 12       Untuk Q3, maka :



 3.60  - 31     81,41 Q3  73,5  13 4 23      



11



b. Desil Kelompok data yang sudah diurutkan (membesar atau mengecil) dibagi sepuluh bagian yang sama besar. Untuk data tidak berkelompok



D i  nilai ke -



in  1 , i  1,2,3,...,9 10



Untuk data berkelompok Di  L 0



 in  -F   , i  1,2,3,...,9  c 10 f      



Keterangan: L0 = batas bawah kelas desil Di F = jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas desil Di f = frekuensi kelas desil Di



Tabel 3. Contoh Desil Interval Kelas 9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99



Nilai Tengah (X) 15 28 41 54 67 80 93



Frekuensi 3 4 4 8 12 23 6 Σf = 60



Keterangan : 



D3 membagi data 30%







D7 membagi data 70%



12



Sehingga : 



D3 berada pada 48-60



 3.60  - 11     58,875 D3  47,5  13 10 8        D7 berada pada 74-86  7.60  - 31   10   79,72 D7  73,5  13 23      



c. Persentil Untuk data tidak berkelompok



Pi  nilai ke -



in  1 , i  1,2,3,...,99 100



Untuk data berkelompok



 in  -F  Pi  L 0  c 100  , i  1,2,3,...,99  f      B. PELUANG 1. Pengertian Peluang Peluang atau kebolehjadian atau dikenal juga sebagai probabilitas adalah cara untuk mengungkapkan pengetahuan atau kepercayaan bahwa suatu kejadian akan berlaku atau telah terjadi. Probabilitas juga dapat diartikan sebagai angka yang menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu kejadian. Suatu percobaan yang dilakukan dengan tidak memperhatikan hasil yang akan diperoleh disebut tindakan acak dan kejadian yang muncul akibat tindakan acak disebut kejadian acak. Misalnya kita melempar satu keeping mata uang yang mempunyai dua sisi, yaitu sisi yang berangka dan sisi yang bergambar. Hasil dari percobaan itu hanya ada dua, yaitu mungkin muncul angka atau muncl gambar. Jadi peluang kejadian itu adalah angka dan gambar. Dari contoh diatas hasil yang



13



dimaksud adalah angka(banyaknya 1) dan banyaknya hasil yang mungkin ada dua, yaitu angka atau gambar. Jadi, nilai kemungkinan muncul angka =



𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑘𝑠𝑢𝑑 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑢𝑛𝑔𝑘𝑖𝑛



1



=2



2. Kaidah Pencacahan a. Aturan Perkalian Contoh : Ada tiga tempat yang menjadi tujuan study tour (Pandaan, Singosari, dan



Malang)



Dari Pandaan ke Malang terddapat banyak kemungkinan jalan yang dapat dilalui. Dari pandaan ke singosari ada tiga jalan, sedang dari singosari ke Malang terdapat dua jalan. Berapa kemungkinan jalan yang dapat dilalui? Jawab: P



S



1A



1B



2A



2B



3A



3B



M



b. Notasi Faktorial n! = 1 x 2 x 3 x 4 .... x (n-2) x (n-1) x n atau n! = n x (n-1) x (n-2) x .... x 4 x 3 x 2 x 1 Lambaxng n! (dibaca n faktorial) Contoh: 3! = 3 x 2 x 1= 6 c. Permutasi Cara menyusun secara urut (urutan diperhatikan)dari sebagian atau seluruh anggota himpunan yang disediakan. Contoh: Tentukan banyaknya susunan 2 huruf yang dapat terjadi dari 4 huruf (a,b,c,d) yang tersedia.



14



Jawab: n=4, r=2 nPr = 4P2= n!= 4!= 12 (n-r)!2! d. Kombinasi Rumus nCr =n!



r!(n!-r!) Contoh : Dari 5 siswa kelas 3 misalnya akan dipilh 2 orang untuk mengikuti lomba menyanyi. Berapabanyak cara untuk memilihnya?



5C2= 5!



= 10 cara 2!3!



3. Titik dan Ruang Sampel Suatu Kejadian Ruang sampel dari



suatu kejadian ditulis dengan symbol S. Ruang sampel adalah



himpunan yang anggotanya merupakan hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Titik sampel adalah anggota dari ruang sampel. Contoh : a. Dalam pelemparan sekepinguang logam, hasilnya mungkin muncul angka



atau



mungkin muncul gambar. Dari pelemparan itu kita peroleh : Ruang sampelnya adalah S = { A , G } Titik sampelnya adalah A Dan G b. Dalam pelemparan sebuah dadu bernomor 1 sampai dengan 6, maka kita peroleh : Ruang sampel nya adalah S = {1,2,3,4,5,6} Titik sampelnya adalah 1,2,3,4,5, dan 6



15



4. Menyusun Ruang Sampel Contoh 1 : Dalam pelemparan dua keeping uang logam. a. Dengan diagram pohon b. Dengan tabel 5. Peluang Suatu Kejadian Rumus :P(A) = n(A) N(S) Keterangan: P(A)= Nilai peluang kejadian A n(A)= Banyaknya kejadian A n(S)=Banyaknya anggota sampel kejadian Contoh: Sebuah dadu dilempar satu kali. a.Hitunglah peluang munculnya mata dadu genap! b.Hitunglah Peluang munculnya mata dadu komposit! Jawab: a. Banyaknya mata dadu genap 2,4,6, maka n(genap)= 3 Banyaknya hasil yang muncul dari mata dadu adalah 1,2,3,4,5,6, maka n(S)=6. Jadi, P(Genap)=n(genap) = 3 / 6 = 1 / 2 n(S) b. Banyaknya mata dadu komposit adalah 4 dan 6 ,maka n(komposit)= 6 Jadi, P(komposit)=n(Komposit) =2 / 6 = 1 / 3 n(S) 6. Frekuensi Harapan F(A) = n x P(A) Dimana F(A) = Frekuensi Harapan suatu kejadian n =Banyaknya Percobaan Contoh: Pada pelemparan 3 mata uang logam sebanyak 240 kali . Tentukan F(A) Jika 16



a.muncul dua gambar b.Paling sedikit dua gambar jawab a.n(s)= 23= 8 n(A)=3 P(A)=3/8 F(A)=240 .3 =90 kali b. n(S) = 8 n(A) = 4 P(A) =4/8 = ½ F(A) = 240 . ½ = 120 kali 7. Peluang Komplemen Suatu Kejadian Kolmplemen dari kejadian A adalah himpunan semua anggota ruang sampel yang bukan anggota dari kejadian A. A1= S-A n (A1)= n (S)- n (A) n (A1) = n (S) - n(A)



n (S)



n (S)



n(S)



P(A1) = 1 – P(A) 8. Peluang Kejadian Majemuk Suatu kejadian baru dapat dibentuk dari dua atau lebih kejadian yang lain dengan menggunakan operasi antar himpunan. Operasi antar himpunan yang dimaksud adalah operasi gabungan dan operasi irisan. Misalnya pada percobaan melempar mata uang logam sebanyak dua kali. A= kejadian muncukl angka = {AA,AG,GA} B= kejadian mncul gambar = {AG,GA,GG} Dari kejadian A dan B dapat dibentuk kejadian-kejadian baru sebagai berikut. (i) Gabungan kejadian A dan B 17



Ditulis



A ∪ B = {AA,AG,GA,GG}



Dibaca kejadian munculnya angka atau gaambar (ii) irisan kejadian A dan B Ditulis A ∩ B = {AG, GA} Dibaca kejadian munculnya angka dan gambar. a. Peluang Gabungan Dua Kejadian peluang gabungan dua kejadian (kejadian A dan B) dalam ruang sampel S dapat ditentukan menggunakan sifat-sifat gabungan dua himpunan . P(A ∪ B) =P(A) + P(B) – P(A ∩ B) b. Peluang Dua Kejadian yang Saling Bebas Kejadian A dan B disebut dua kejadian yang saling bebas jika kejadian A tidak tepengaruh oleh kejadian B atau sebaliknya B tidak terpengaruh oleh kejadian A. Misalnya sebuah mata uang logam dan sebuah dadu dilempar bersama satu kali. M= kejadian muncul mata ganjil pada dadu N= kejadian muncul gambar pada mata uang Kejadian munculnya



gambar pada mata uang tidak terpengaruh oleh kejadian



munculnya mata ganjil pada pada dadu. Begitu juga kejadian munculnya gambar pada uang. Oleh karena itu, kejadian M dan N saling bebas. Rumus P (M ∩ N) = P(M) . P(N)



18