Makalah Wulan [PDF]

Citation preview

KATA PENGANTAR



Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala rahmatNYA sehingga bisa menyelesaikan makalah tentang Pangkat, akar, logaritma serta banjar dan deret ini dapat tersusun hingga selesai. Tidak lupa penulis juga mengucapkan terimakasih atas bantuan dari pihak yang telah berkontribusi dengan memberikan sumbangan baik materi maupun pikirannya.



Dan harapan penulis semoga makalah ini dapat menambah pengetahuan dan pengalaman bagi para pembaca, Untuk ke depannya dapat memperbaiki bentuk maupun menambah isi papper agar menjadi lebih baik lagi.



Karena keterbatasan pengetahuan maupun pengalaman penulis, penulis yakin masih banyak kekurangan dalam makalah ini, Oleh karena itu penulis sangat mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari pembaca demi kesempurnaan makalah ini.



Tuban, 1 Oktober 2019 Penulis



DAFTAR ISI



HALAMAN JUDUL......................................................................................................... KATA PENGANTAR ………………………………………………………………….. DAFTAR ISI...................................................................................................................... BAB I PENDAHULUAN BAB II PEMBAHASAN A. PANGKAT.................................................................................................................... B. AKAR............................................................................................................................ C. LOGARITMA............................................................................................................... D. BANJAR & DERET ……............................................................................................. BAB III PENUTUP KESIMPULAN………………………………………………………………………….. SARAN…………………………………………………………………………………..



DAFTAR PUSTAKA……………………………………………………………………



BAB I PENDAHULUAN



A. LATAR BELAKANG makalah ini menjelaskan pengertian pangkat, akar, logaritma, banjar dan deret yang bahannya pernah Anda pelajari. Materi ini disajikan kembali untuk membantu Anda mengingat kembali sehingga Anda menjadi lebih paham tentang konsep ini. Di dalam modul-modul selanjutnya akan tampak bahwa konsep pangkat, akar dan logaritma sering sekali digunakan. Demikian juga untuk banjar dan deret. Dengan demikian pendalaman terhadap materi ini bukanlah merupakan pekerjaan yang sia-sia. Dengan mempelajari modul ini, Anda diharapkan mampu untuk memahami pengertian perpangkatan, akar, logaritma, banjar dan deret dan mampu memahami kaidah-kaidah yang berlaku serta penerapannya di dalam ekonomi.



B. RUMUSAN MASALAH a. pangkat b. akar c. logaritma d. banjar & deret C. TUJUAN Setelah mempelajari makalah ini, Anda diharapkan dapat: 1. mendiskripsikan pangkat, akar dan logaritma. 2. mengidentifikasikan pangkat, akar dan logaritma. 3. menyebutkan kaidah-kaidah yang berlaku dalam perpangkatan, akar dan logaritma. 4. menggunakan kaidah-kaidah pangkat, akar dan logaritma untuk menyelesaikan soal-soal 5. menjelaskan fungsi eksponensial. 6. membedakan pengertian banjar dan deret. 7. membedakan antara banjar hitung dan deret hitung. 8. membedakan antara banjar ukur dan deret ukur. 9. menentukan suku-suku banjar maupun deret. 10. menghitung jumlah suku



BAB II PEMBAHASAN



A. PANGKAT



1. PENGERTIAN Pangkat (atau eksponen) sangat berguna dalam matematika. Pangkat adalah cara singkat menulis perkalian yang berulang-ulang pada bilangan yang sama.



Contoh pangkat : 410 4 disebut basis, dan 10 merupakan pangkatnya. 410 berarti “kalikan 4 dengan dirinya sendiri sehingga ada 10 buah 4 dalam perkalian.” Karenanya 410 berarti 410 = 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 1048576 Bagaimana bila kita memiliki pangkat 1, atau 0, atau bahkan -1? Mari kita buat pola menggunakan contoh 94, sehingga kita dapat melihat kasus khusus ini. Saat kita meneruskan polanya, kita membagi dengan 9 untuk mendapatkan nilai baru 94 = 9 x 9 x 9 x 9 93 = 9 x 9 x 9 92 = 9 x 9 91 = 9 90 = 1 9-1 = 1/9 9-2 = 1/(9 x 9) 9-3 = 1/(9 x 9 x 9) Perhatikan kasus khususnya, 91 = 9 90 = 1 9-1 = 1/9 Secara umum, semua bilangan a, (kecuali 0) yang dipangkatkan 1 hasilnya adalah a. a1 = a setiap bilangan a, (kecuali 0) yang dipangkatkan -1 adalah 1/a. a-1 = 1/a



2. SIFAT – SIFAT 1. Mengalikan Bilangan Dengan Basis yang Sama Kita sering harus mengalikan seperti dalam contoh berikut: 29 x 26 Kedua bilangan ini memiliki basis yang sama (yaitu 2) dan bisa kita bayangkan perkaliannya : 29 x 26 = (2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2) x (2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2) Ada 9 buah 2 dalam kurung pertama dan 6 buah 2 dalam kurung kedua, sehingga digabungkan ada 9 + 6 = 15 buah 2 yang dikalikan. 29 x 26 = 29+6 = 215 (Jawabannya 32768) Secara umum, kita dapat mengatakan untuk sembarang bilangan a dan pangkat m dan n : am x an = am+n 2. Membagi bilangan dengan basis yang sama Sebagai contoh, mari kita bagi 98 dengan 92: 98/92 = (9 x 9 x 9 x 9 x 9 x 9 x 9 x 9)/(9 x 9) = 9 x 9 x 9 x 9 x 9 x 9 = 96 = 531441 Kita mencoret dua buah 9 dari pembilang dan dua buah 9 dari penyebut, menyisakan 6 buah 9 di pembilang (dan bilangan 1 di penyebut). Secara umum, untuk setiap bilangan a (kecuali 0) dan pangkat m dan n: am / an = am-n 3. Memangkatkan Pangkat Sebagai contoh, mari kita pangkatkan bilangan 53 dengan pangkat 9: (53)9 = 53 x 53 x 53 x 53 x 53 x 53 x 53 x 53 x 53 Dari contoh perkalian di atas, kita bisa melihat kalau ini akan memberi kita 527. Kita bisa melakukannya dengan (53)9 = 53×9 = 527 Secara umum, untuk sebarang basis a dan pangkat m dan n: (am)n = amn 4. Memangkatkan perkalian Contoh (4 x 3)3 = 43 x 33 Dalam kasus ini, dengan bilangan, akan lebih baik melakukan perkalian dalam kurung lebih dahulu baru dipangkatkan 3. Namun bila memakai huruf dalam aljabar, kita tidak dapat melakukan hal yang sama dan kita perlu tahu bagaimana menyederhanakannya. Secara umum: (ab)n= anbn 5. Memangkatkan pembagian Contoh : (1/9)2 = (12)/(92) Secara umum : (a/b)n = (an)/(bn)



6. Bilangan berpangkat negatif Untuk a ∈ R dan a ≠ 0 didefinisikan: a-n = 1/an Definisi ini berasal dari bentuk berikut. Misalkan : am : am + n = am - ( m + n) = a-n am : am+n = am / am an = 1 / an maka, a-n = 1/an 3.LATIHAN SOAL DAN PENYELESAIAN



1. 64 x 67 = 611 2. 47 / 43 = 47 – 3 = 44 = 256 3. (32)3 = 3 2x3 = 36 4. (3 x 4 )2 = 32 x 42 = 9 x 16 = 144 5. (3/5)2 = 32 / 52 = 9 / 25 6. 1/32 = 3 -2



B. AKAR 1. PENGERTIAN Akar merupakan bentuk lain untuk menyatakan bilangan berpangkat. Akar dari sebuah bilangan adalah basis yang memenuhi bilangan tersebut berkenaan dengan pangkat akarnya. Berdasarkan konsep pemangkatan, diketahui bahwa jika bilangan-bilangan yang sama (misalnya x) dikalikan sejumlah tertentu sebanyak (katakanlah) a kali, maka dapat ditulis menjadi xa , dalam hal ini x disebut basis sedangkan a disebut pangkat. Misalkan xa = m maka x dapat juga disebut sebagai akar pangkat a dari m, yang jika dituliskan dalam bentuk akar menjadi x = a√ . Jadi a√𝑚 = x sebab xa = m . Misalnya: sebab √9 = 3 sebab 32 = 9 Secara umum, bilangan berpangkat dan bentuk akar dapat dilihat pada hubungan berikut: a√𝒎 = x sebab xa = m . 2. KAIDAH-KAIDAH AKAR Ada beberapa kaidah dalam pengakaran suatu bilangan yaitu: 1. b√𝒙 = x1/b Contoh : √643 = 641/3 = 4 2. b√𝑥a = xa/b Contoh : 5√32 = 32/5 = 1,55



3. b√𝒙.𝒚 = b√ . b√𝒚 Contoh : 3√8 . 64 = 3√8 . 3√64 = 2 . 4 = 8 4. b√𝒙𝒚 = b√𝒙 / b√𝒚 Contoh : 3√864 = 3√8 / 3√64 = 2 / 4 = 0,5 3. KAIDAH PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BILANGAN BENTUK AKAR Bilangan-bilangan dalam bentuk akar hanya dapat dijumlahkan atau dikurangkan apabila akar-akarnya sejenis. Perhatikan kaidah berikut: mb√𝒙a ± nb√𝒙a = (m±n)b√𝒙a Contoh : 5√3 + 2√3 = 7√3



4. KAIDAH PERKALIAN DAN PEMBAGIAN BILANGAN BENTUK AKAR Kaidah perkalian dan pembagian bilangan bentuk akar adalah sebagai berikut: 1. b√𝒙 . b√𝒚 = b√𝒙. (Kaidah ini identik dengan kaidah pengakaran bilangan point 3). 3√8 . 3√64 = 3√8.64 = 3√512 = 8 2. b√𝒄√𝒙a = bc√𝒙a Contoh : √√156253 = 2.3√15625 = 5 3. b√𝒙 / b√𝒚 = b√𝒙𝒚 Contoh : √83 / √643 = √8643 = √183 = ½ 5. LATIHAN SOAL DAN PENYELESAIANNYA Sederhanakanlah : 1. √48 = √16.3 = 4√3 2. 2 √162 = 2√81.2 = 2.9√2 = 18√2 3. √108 + √48 = √36.3 + √16.3 = 6√3 + 4√3 = 10√3 4. 4√20 – 2√45 = 4√4.5 – 2√9.5 = 4.2√5 – 2.3√5 = 8-6√5 = 2√5 5. 4√6 (√3 + 5√2) = 4√18 + 20√12 = 4√9.2 + 20√4.3 = 12√2 + 40√3 6. (3√2 + √6) (3√2 – √6 ) = (3√2)2 + 3√12 – 3√12 – (√6 )2 = 18 – 6 = 12



C. LOGARITMA 1. PENGERTIAN Pada pembahasan pangkat, kita telah mempelajari mengenai bilangan berpangkat, misalnya 24 = 16, 2 disebut sebagai basis, 4 sebagai pangkat (eksponen), dan 16 sebagai hasil pemangkatan 2 oleh 4. Jika pertanyaannya dibalik, 2 pangkat berapa menghasilkan nilai 16, kita akan menjawab 4. Operasi kebalikan dari menentukan nilai pemangkatan menjadi menentukan pangkatnya disebut sebagai operasi logartima, yang dapat ditulis: 24 = 16 ⇔2log 16 = 4 Jadi logaritma merupakan bentuk perpangkatan juga. Secara definisi, logaritma menunjukkan pangkat yang dimiliki oleh suatu basis sehingga bentuk perpangkatan itu nilainya sama dengan bilangan tertentu. 2. PENEMU KONSEP DASAR LOGARITMA John Napier dari Merchiston adalah seorang bangsawan Skotlandia yang dikenal sebagai ahli matematika, fisika, dan astronomi. Dia adalah Laird dari Merchistoun yang ke-8. John Napier dikenal sebagai penemu logaritma. Dia juga menemukan apa yang disebut "Napier's bones" dan sebagai penggagas penggunaan titik desimal dalam aritmatika dan matematika. Biografi John Napier Lahir : 1550 Menara Merchiston, Edinburgh Meninggal : 4 April 1617 (umur 66-67) Edinburgh Kebangsaan : Skotlandia Bidang : Matematikawan Almamater : University of St Andrews Dikenal dalam : Logaritma, Napier's bones, Notasi desimal Dipengaruhi oleh : Henry Briggs 3. RUMUS DASAR LOGARITMA Jika x = an maka alog x = n, dan sebaliknya jika alog x = n maka x = an. Hubungan antara bilangan berpangkat dan logaritma dapat dinyatakan sebagai : alog x = n ↔ x = an dengan ketentuan :  a = bilangan pokok atau basis, a>0 ; a ≠1  x = yang dicari nilai logaritmanya, x>1  n = hasil logaritma Pembahasan : Transformasi bentuk pangkat ke bentuk logaritma: a) 23 = 8 → 2log 8 = 3 b) 54 = 625 → 5log 625 = 4 c) 72 = 49 → 7log 49 = 2



4. SIFAT-SIFAT LOGARITMA 1. Untuk a > 0, a ≠ 1, berlaku: alog a = 1, alog 1 = 0, log 10 = 1 Bukti: • Setiap bilangan apabila dipangkatkan dengan 1 hasilnya adalah bilangan itu sendiri. Jadi, a1 = a ⇔ a log a = 1 • Setiap bilangan tidak sama dengan nol apabila dipangkatkan nol hasilnya selalu satu. Jadi, a0 = 1 ⇔ a log 1 = 0 • Log 10 adalah suatu bentuk logaritma dengan basis 10 dan numerusnya 10. Jadi, log 10 = 1 Contoh : 2log 2 = 1 5log 5 = 1 2log 1 = 0 log 10 = 1 2. Untuk a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0 serta a, x, dan y ∈ R berlaku: alog x + alog y = alog xyalog xy = alog x + alog y Bukti: alog x = n ⇔ an = x alog y = m ⇔ am = y alog xy = p⇔ ap = xy Dari bentuk pangkat tersebut diperoleh xy = an am ⇔ xy = an+m ap = an+m ⇔ p = n+m Contoh : 2log (2.4) = 2log 2 + 2log 22 = 1 + 2 = 3 3. Untuk a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0 serta a, x, dan y ∈ R, berlaku: alog x/y = alog x – alog y Bukti: alog x = n ⇔ an = x alog y = m ⇔ am = y alogx/y = p ⇔ ap = x/y jadi, x/y = an - am⇔ x/y = an-m Contoh : 5log (25/125) = 5log 52 – 5log 53 = 2 – 3 = -1 4. Untuk a > 0, a ≠ 1, a, n dan x ∈ R berlaku: alog xn = n alog x Contoh : 3log 94 = 4 .3log 9 = 4 .3log32 = 4 . 2 = 8 5. Untuk a > 0, x > 0, y > 0, a, x, dan y ∈ R berlaku: alog b . blog x = alog x Contoh : 2log 5 .5log 2 = 2log 2 = 1 6. Untuk a > 0, serta a dan x ∈ R, berlaku: a alog b = b Contoh : 2 2log 5 = 5



7. Untuk a > 0, serta a dan x ∈ R, berlaku: alog b .blog a = 1 Contoh : 2log 7 . 7log 2 = 2log 2 = 1



Seperti telah disebutkan di atas nilai a sebagai basis harus merupakan bilangan yang positif dan tidak sama dengan satu. Dari sekian banyak bilangan, yang Logaritma Brigg, sedangkan logaritma dengan basis e yang nilainya e = 2.7182818 dinamakan logaritma alam atau Logaritma Napier. Logaritma Brigg ditulis 10 log x atau hanya log x tanpa mencantumkan basisnya. Sedangkan logaritma Napier menggunakan simbol In x. Baik Logaritma Brigg maupun Napier, keduanya tunduk pada kaidah-kaidah seperti yang telah ditulis di atas. Contoh : a) log 103 = log 103 – log 102 = 3 – 2 = 1 102 b) log 100 = log 102 = 2 c) log 3 10 = log 101/3 = 1/3 d) In 103 = 3log 10 = 3 e) In e = 1 f) In 1 = 0 6. LATIHAN SOAL DAN PENYELESAIAN 1. 7log (343/49) = 7log 343 – 7log 49 = 7log 73 – 7log 72 =3–2=1 2. 2log 48 – 2log = 2log 48 = 2log 16 = 2log 24 = 4 3. 2log (8 . 16) = 2log 8 + 2log 6 = 3 + 4 = 7 4. 5log 625 – 5log 125 = 5log 625/125 = 5log 5 = 1 5. Mengubah basis 2 menjadi basis 4 2log 16 = 2log 4 .4log 16 = 2 . 2 = 4 6. 2log 4 + 2log 6 = 2log 4 . 16 = 2log 64 = 2log 26 = 6 7. 2log 6 + 2log 18 – 2log 27 = 2log 6.18 = 2log 4 = 2log22 = 2 27 8. 2log 25 .3log 8 .5log 9 = 2log 52.3log 23. 5log 32 = 2.3.2 2log5. 5log3.3log 2 = 12



D. BANJAR DAN DERET Banjar dan Deret dapat di gunakan untuk penjumlahan, dan mengetahui konsep keseimbangan, dan dapat menghitung hitungan untuk suku ke-n. Banjar adalah sekumpulan bilangan (suku) yang memiliki pola tertentu. S1, S2, S3, ….. Sn



Di mana S1 : Suku ke-1 S2 : Suku ke-2 Sn : Suku ke-n Deret adalah penjumlahan semua suku pada suatu banjar. Dn = S1 + S2 + S3 +…+ Sn Di mana Dn : Deret ke-n A. Banjar Hitung Banjar hitung adalah banjar yang antara dua suku berurutan mempunyai selisih yang besarnya sama. Suku kedua merupakan suku pertama ditambah pembeda, suku ketiga merupa suku kedua ditambah pembeda, dan seterusnya. Banjar hitung : S1, S2, S3,…..,Sn Di mana S2 = S1 + b S3 = S2 + b b = Pembeda Suku pada banjar hitung dapat dicari dengan rumus : Sn = a + (n-1)b Di mana : a : Suku ke-1 n : Banyaknya suku b : Beda B. Deret Hitung Deret hitung adalah penjumlahan n suku pada banjar hitung. Dn = S1 + S2 + S3 +…+ Sn Contoh : Suatu banjar hitung memiliki suku-suku 5, 10, 15, 20….. Berapa deret keempatnya? D4 = S1 + S2 + S3 +S4 D4 = 5+10+15+20 D4 = 50 Untuk menghitung deret hitung dengan n yang lebih banyak tentu saja sulit dilakukan dengan cara di atas, untuk itu digunakan rumus : Dn = ½. n (a + Sn) Di mana : Dn = deret ke-n n = banyaknya suku



a = suku pertama Sn = suku ke-n C. Banjar Ukur Banjar ukur adalah banjar yang antara dua suku berurutan mempunyai hasil bagi yang besarnya sama. Suku kedua merupakan hasil kali suku pertama dengan bilangan tertentu (pengali), dan suku ketiganya merupakan hasil kali dari bilangan kedua dengan pengali, dan seterusnya. Suku pada banjar ukur dapat dicari dengan rumus : Sn = apn-1 Dimana : Sn : Suku ke - n n : Banyaknya suku a : Suku pertama p : Pengali



A.



Deret Aritmatika



Jumlah beruntun suku-suku suatu barisan aritmatika disebut sebagai deret aritmatika. Sebagai contoh : · Dari barisan aritmatika 1, 3, 5, 7, …, 99 dapat dibentuk deret aritmatika 1 + 3 + 5 + 7 + … + 99, · Dari barisan aritmatika 2, 4, 6, 8, …, 2n dapat dibentuk deret aritmatika 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2n. Dari contoh di atas dapat disimpulkan, jika u1, u2, u3, ... , un, merupakan suku – suku barisan aritmatika, maka u1 + u2 + u3 + ... + un dinamakan sebagai deret aritmatika. a. Rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika Jumlah n suku pertama deret aritmatika dilambangkan dengan Sn , dan Sn ditentukan oleh : Sn = u1 + u2 + u3 + ... + un-2 + un-1 + un Substitusikan u1 = a, u2 = a+b, u3 = a+2b , un-2 = un – 2b, un-1 =un – b; diperoleh Sn = a + (a+b) + (a+2b) + ... + (un – 2b) + (un – b) + un …(*) Jika urutan suku-suku penjumlahan pada persamaan (*) itu dibalik, diperoleh: Sn = un + (un – b) + (un – 2b) + ... + (a+2b) + (a+b) + a … (**) Jumlahkan masing masing ruas pada persamaan (*) dengan persamaan (**), sehingga diperoleh :



Berdasarkan hasil perhitungan tersebut, jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dapat ditentukan melalui hubungan sebagai berikut. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika u1 + u2 + u3 + ... + un ditentukan dengan menggunakan hubungan : Sn = n/2 (a+ un) Dengan n = banyak suku, a = suku pertama, dan un = suku ke-n. a. Sifat-sifat Sn pada deret aritmatika Jumlah n suku pertama deret aritmatika mempunyai sifat-sifat sebagai berikut. 1. Sn = n/2 (a+ un) merupakan fungsi kuadrat dari n (n bilangan asli) yang tidak memiliki suku tetapan. 2. Untuk setiap n bilangan asli berlaku hubungan Sn - Sn-1 = un (Suku ke-n). Contoh : 1) Hitunglah jumlah deret aritmatika 2 + 4 + 6 + … + 60. Jawab : Untuk menghitung jumlah deret pada soal di atas, perlu ditentukan terlebih dulu banyak suku atau n melalui hubungan un = a + (n-1)b. 2 + 4 + 6 + … + 60, a = 2, b = 2, dan un = 60 60 = 2 + (n-1) 2 ⇔ 60 = 2n ⇔ n = 30 S30 = 30/2 (a+ u30) = 15(2+60) = 930 Jadi, jumlah deret aritmatika 2 + 4 + 6 + … + 60 adalah S30 = 930



BAB III PENUTUP



A. KESIMPULAN  Pangkat (atau eksponen) sangat berguna dalam matematika. Pangkat adalah cara singkat menulis perkalian yang berulang-ulang pada bilangan yang sama.  Akar merupakan bentuk lain untuk menyatakan bilangan berpangkat. Akar dari sebuah bilangan adalah basis yang memenuhi bilangan tersebut berkenaan dengan pangkat akarnya.  Pada pembahasan pangkat, kita telah mempelajari mengenai bilangan berpangkat, misalnya 24 = 16, 2 disebut sebagai basis, 4 sebagai pangkat (eksponen), dan 16 sebagai hasil pemangkatan 2 oleh 4. Jika pertanyaannya dibalik, 2 pangkat berapa menghasilkan nilai 16, kita akan menjawab 4. Operasi kebalikan dari menentukan nilai pemangkatan menjadi menentukan pangkatnya disebut sebagai operasi logartima, yang dapat ditulis: 24 = 16 ⇔2log 16 = 4 Jadi logaritma merupakan bentuk perpangkatan juga. Secara definisi, logaritma menunjukkan pangkat yang dimiliki oleh suatu basis sehingga bentuk perpangkatan itu nilainya sama dengan bilangan tertentu.  Banjar dan Deret dapat di gunakan untuk penjumlahan, dan mengetahui konsep keseimbangan, dan dapat menghitung hitungan untuk suku ke-n.  Banjar adalah sekumpulan bilangan (suku) yang memiliki pola tertentu.  Deret adalah penjumlahan semua suku pada suatu banjar.



B. SARAN Penulis menyarankan agar pembaca tidak hanya mengetahui barisan dan deret aritmatika pada papper ini, namun juga memperbanyak latihan mengerjakan soal dan dapat membedakan barisan dan deret aritmatika serta geometri.



DAFTAR PUSTAKA



Widayat, Wahyu. 1993. Matematika Ekonomi. Yogyakarta :BPFE-Yogyakarta Departemen Pendidikan Nasional. 2006. Standar isi 2006. Mata Pelajaran Matematika. Jakarta :Pusat kurikulum. http://kamarulintangsakti.blogspot.com/2014/11/banjar-dan-deret.html Wirodikromo, Sartono. 2007. “Matematika Untuk SMA Kelas XII”. Jakarta : Erlangga.