Matematika Asuransi [PDF]

Citation preview

MAKALAH FUNGSI KEHIDUPAN KONTINU



Untuk Memenuhi Tugas Kelompok Mata Kuliah Matematika Asuransi II



Dosen Pengampu : Prof. Dr. Agus Widodo, M.Kes Oleh : 1.



Eva Uliartha N



(115090400111038)



2.



Dimas Prasetya



(145090400111024)



3.



Dian Novieriani



(145090401111003)



4.



Nadiyatul Mawardah



(145090401111007)



JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS BRAWIJAYA MALANG 2017



DAFTAR ISI DAFTAR ISI...................................................................................................................... i BAB I PENDAHULUAN ................................................................................................. 1 1.1 Latar Belakang ............................................................................................................. 1 1.2 Rumusan Masalah ......................................................................................................... 2 1.3 Tujuan ........................................................................................................................... 2 1.4 Batasan Masalah ........................................................................................................... 2 BAB II DASAR TEORI ................................................................................................... 3 2.1 Tingkat Kematian Sesaat ............................................................................................. 3 2.2 Anuitas Kontinu ........................................................................................................... 13 BAB III STUDI KASUS ................................................................................................... 17 3.1 Tingkat Kematian Sesaat .............................................................................................. 17 3.2 Anuitas Kontinu ............................................................................................................ 17 BAB IV KESIMPULAN ................................................................................................... 20 DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................................ 21



i



BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Pada umumnya masa depan manusia tidaklah pasti karena tidak seorangpun mengetahui kemungkinan-kemungkinan yang akan terjadi atas hidup manusia. Akan tetapi, manusia harus selalu berusaha sebaik-baiknya untuk menghadapi ketidakpastian tersebut serta berusaha untuk memperkecil akibat buruk dari ketidakpastian itu. Setiap orang pasti menginginkan kehidupan yang terjamin. Demikian juga seorang kepala keluarga tentunya ingin menjamin kesejahteraan keluarganya. Cara yang lazim dilakukan adalah menyimpan secara teratur sebagian tertentu dari penghasilan setiap bulan sebagai investasi yang akan digunakan untuk menjamin kesejahteraan keluarganya. Penyimpanan dapat dilakukan pada bank maupun pada perusahaan asuransi. Perusahaan asuransi adalah perusahaan yang menangani suatu kerjasama dari sejumlah besar individu yang saling menyetujui untuk membagi risiko kerugian secara individual yang mungkin terjadi. Perusahaan asuransi jiwa merupakan perusahaan asuransi yang bidang usahanya yaitu risiko keuangan sebagai akibat dari kematian orang yang mempertanggungkan jiwanya (Djojosoedarsono, 1997:73). Pada tingkat kematian sesaat sistem pembayaran santunan dilakukan dengan sistem pembayaran diskret, sedangkan untuk pembayaran yang dilakukan pada saat kematian terjadi dilakukan dengan sistem pembayaran kontinu. Anuitas (annuity) adalah serangkaian pembayaran yang dilakukan secara berkala. Anuitas dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu anuitas tentu (annuity certain) dan anuitas hidup (life annuity). Anuitas hidup merupakan suatu pembayaran jumlah tertentu yang dilakukan dalam selang waktu dan jangka waktu tertentu yang disertai dengan faktor kelangsungan hidup (survival). Dengan kata lain, anuitas hidup merupakan anuitas pasti yang disertai dengan faktor usia hidup. Faktor kelangsungan hidup sangat diperhatikan dalam aktuaria, karena pembayaran dan manfaat yang diberikan dalam asuransi jiwa atau dana pensiun berkaitan dengan usia hidup seseorang (bergantung pada hidup atau meninggalnya seseorang)



1



2



1.2 Rumusan Masalah Rumusan masalah dari makalah ini adalah : 1. Bagaimana kegunaan konsep kontinu pada fungsi-fungsi anuitas, asuransi, dan cadangan ? 2. Bagaimana penjelasan relasi lx dengan 𝜇 x ataupun fungsi-fungsi asuransi lainnya ?



1.3 Tujuan Tujuan dari makalah ini adalah : 1. Untuk mengetahui kegunaan konsep kontinu pada fungsi-fungsi anuitas, asuransi dan cadangan. 2. Untuk mengetahui relasi lx dengan 𝜇 x ataupun fungsi-fungsi asuransi lainnya.



1.4 Batasan Masalah Dalam makalah ini hanya membahas konsep kontinu pada fungsi anuitas, asuransi dan cadangan, serta relasi lx dengan 𝜇 x ataupun fungsi-fungsi asuransi lainnya.



BAB II DASAR TEORI 4.1 Tingkat Kematian Sesaat Tingkat kematian sesaat (force of mortality, Panitia Istilah Dewan Asuransi Indonesia menterjemahkan menjadi laju kematian), adalah tingkat kematian sesaat pada usia tertentu dan diberi symbol µx . Bila kita nyatakan bahwa lx adalah fungsi kontinu maka tingkat kematian sesaat. 𝑙



µx = - 𝑙𝑥 𝑥



1 𝑙𝑥



=-𝑙



𝑥



𝑑𝑥 𝑑𝑙𝑥



Atau



𝑑𝑥



= - lx . µx ………



(1)



Dari persamaan (1), dengan teori integral kita dapat 𝑥 𝑑𝑙𝑡



∫0



𝑥



𝑙𝑡 𝑑𝑡



= ∫0 −µ𝑡 𝑑𝑡



𝑥



𝑥



∫0 𝑑𝑙𝑛𝑙𝑡 = -∫0 µ𝑡 𝑑𝑡 𝑥



ln 𝑙𝑡 ] 𝑥0



= − ∫0 µ𝑡 𝑑𝑡 𝑥



ln 𝑙𝑥 = - ∫0 µ𝑡 𝑑𝑡 𝒙



atau 𝑙𝑥 = 𝑙0 . 𝒆− ∫𝟎 µ𝒕 𝒅𝒕 Jika kita integrasikan persamaan (1) dari α ke batas usia table mortalitas, yang mana x adalah α + t, maka 𝑤−𝛼 𝑑𝑙𝛼+𝑡



∫0



𝑤−𝛼



𝑑𝑡 = ∫0



𝑑𝑡



[ 𝑙𝛼+𝑡 ] 𝑤−𝛼0



−𝑙𝛼+𝑡 . µ𝛼+𝑡 𝑑𝑡



𝑤−𝛼



= − ∫0 𝑤−𝛼



𝑙𝑤 − 𝑙0 = − ∫0



𝑙𝛼+𝑡 . µ𝛼+𝑡 𝑑𝑡



𝑙𝛼+𝑡 . µ𝛼+𝑡 𝑑𝑡



Karena w adalah usia tertinggi dari table mortalitas maka 𝑙𝑤 = 0 , sehingga 𝑤−𝛼



𝑙𝛼 = ∫0



𝑙𝛼+𝑡 . µ𝛼+𝑡 𝑑𝑡



Atau 3



4 ∞



𝑙𝑥 = ∫0 𝑙𝑥+𝑡 . µ𝑥+𝑡 𝑑𝑡 ………… (2) Pandang bahwa 𝑑𝑥 = 𝑙𝑥 . 𝑙𝑥+1 (ingat 𝑑𝑥 adalah jumlah orang yang meninggal dari 𝑙𝑥 orang sebelum mencapai usia (x+1) tahun). 1



[ 𝑙𝛼+1 ] 10



= − ∫0 𝑙𝛼+𝑡 . µ𝛼+𝑡 𝑑𝑡 1



𝑙𝛼+1 − 𝑙𝛼 = − ∫0 𝑙𝛼+𝑡 . µ𝛼+𝑡 𝑑𝑡 Jika kita gantikan x dengan α maka 𝑙𝑥+1 - 𝑙𝑥 = - 𝑑𝑥 , yang mengakibatkan 1



𝑑𝑥 = ∫0 𝑙𝑥+𝑡 . µ𝑥+𝑡 𝑑𝑡 Jika pada persamaan (1), kita integralkan dari α sampai α+n yang mana x adalah α+t, maka x=(α+t) dx = d(α + t ) = dt



x=α



t=0



x=α+n t=n



𝑛



𝑛 𝑑



∫0 µ𝑥+𝑡 𝑑𝑡 = ∫0



𝑑𝑡



𝑙𝑚 (𝑙𝛼+𝑡 ) dt



= - [ ln (𝑙𝛼+𝑡 ) ] 𝑛0 = - ln 𝑙𝛼+𝑛 𝑙𝛼



𝑙𝛼+𝑛 𝑙𝛼



dt



𝒏



= 𝒆− ∫𝟎 µ𝜶+𝒕 𝑑𝑡



Bila perubah acak α kita ganti dengan x, akan didapat 𝑙𝑥+𝑛 𝑙𝑥



𝒏



= 𝒆− ∫𝟎 µ𝒙+𝒕 dt ……………. (3)



Dari persamaan (3) didapatlah 𝒏



nPx = 𝒆− ∫𝟎 µ𝒙+𝒕 dt Peluang nqx dapat dinyatakan nqx = 1 - nPx



5 𝒏



= 1 - 𝒆− ∫𝟎 µ𝒙+𝒕 dt Pandang persamaan sebelumnya bahwa, 𝑑𝑙𝑥 𝑑𝑥



= - lx . µ x



𝑑𝑙𝑥 = - lx . µx 𝑑𝑥 Jika diambil peubah acak x = α + t dan diintegrasikan dari α sampai α + n, x=(α+t) dx = dt



t=0



x=α



x=α+n t=n 𝑛



𝑛



∫0 𝑑𝑙𝛼+𝑡 𝑑𝑡 = − ∫0 𝑙𝛼+𝑡 µ𝛼+𝑡 dt 𝑛



[ (𝑙𝛼+𝑡 ) ] 𝑛0



= − ∫0 𝑙𝛼+𝑡 µ𝛼+𝑡 dt 𝑛



𝑙𝛼+𝑛 - 𝑙𝛼 = − ∫0 𝑙𝛼+𝑡 µ𝛼+𝑡 dt Atau 𝑛



𝑙𝑥+𝑛 - 𝑙𝑥 = − ∫0 𝑙𝑥+𝑡 µ𝑥+𝑡 dt Jika dibagi dengan 𝑙𝑥 , maka didapatlah nqx , yaitu 𝑙𝑥+𝑛 − 𝑙𝑥 𝑙𝑥 𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+𝑛 𝑙𝑥



𝑛



1



= - 𝑙 ∫0 𝑙𝑥+𝑡 µ𝑥+𝑡 dt 𝑥



𝑛



1



= 𝑙 ∫0 𝑙𝑥+𝑡 µ𝑥+𝑡 dt 𝑥



𝑛 𝑙𝑥+𝑡



= ∫0



𝑙𝑥



µ𝑥+𝑡 dt ……………(4)



Bila untuk persamaan (4) diambil n = 1, maka 1



qx = ∫0𝑛 tPx . µ𝑥+𝑡



qx = ∫0𝑛 tPx . µ𝑥+𝑡



dt dt 𝑛



Untuk peluang n|m qx = ∫0 tPx . µ𝑥+𝑡 dt ………….. (5)



6



Hampiran Tingkat Kematian Sesaat Dalam praktek kadang kadang tingkat kematian sesaat µ sukar dihitung, rumus yang biasanya ditempuh adalah sebagai berikut : 𝒏



Pandang nPx = 𝒆− ∫𝟎 µ𝒙+𝒕 dt Untuk n=1, maka didapat 𝟏



Px = 𝒆− ∫𝟎 µ𝒙+𝒕 dt Atau 𝟏



-ln Px = ∫𝟎 µ𝒙+𝒕 dt 𝟏



Integral (∫𝟎 µ𝒙+𝒕 dt) adalah merupakan pertengahan harga (mean value), tingkat kematian sesaat µ𝒙+𝒕 antara x dan x+1, yang mana asumsikan sama dengan µ𝒙+𝟏 , sehingga kita peroleh 𝟐



µ𝒙+𝟏 = -ln Px 𝟐



Tidak berbeda dengan soal tersebut, untuk 𝟏



2Px-1



= 𝒆− ∫−𝟏 µ𝒙+𝒕 dt



maka 𝟏



∫−𝟏 µ𝒙+𝟏 𝑑𝑡 = -ln (Px-1. Px) Ini disebabkan bahwa 𝟏



𝟎



𝟏



∫−𝟏 µ𝒙+𝒕 𝑑𝑡 = ∫−𝟏 µ𝒙+𝒕 𝑑𝑡 + ∫𝟎 µ𝒙+𝒕 𝑑𝑡 = -ln Px-1 - ln Px dan 𝟏



∫−𝟏 µ𝒙+𝒕 𝑑𝑡 = 2 µ𝒙 Oleh sebab itu 2µ𝒙 = - ( ln Px-1 + ln Px) 𝟏



µ𝒙 = - 𝟐( ln Px-1 + ln Px) 𝟏



= - 𝟐 . ln Px-1 . Px



2



Px-1 pandang



7 𝟏



= - 𝟐 . ln . ( 𝑙



𝑙𝑥



𝑥−1



𝟏



= - 𝟐 . ln



.



𝑙𝑥+1 𝑙𝑥



)



𝑙𝑥+1 𝑙𝑥−1



𝟏



= - 𝟐 ( ln 𝑙𝑥+1 - ln 𝑙𝑥−1 ) Hampiran lain (misalnya 𝑙𝑥 fungsi polinom berderajat 2 ), didapat dengan mempergunakan deret Taylor. Dengan menggantikan



𝑑𝑙𝑥 𝑑𝑥



( atau 𝑙′𝑥 ) pada persamaan (1) tingkat kematian sesaat µ𝒙



Pandanglah suatu fungsi polinom berderajat 2 maka : 𝑙𝑥+ℎ = 𝑙𝑥 + ℎ𝑙′𝑥 +



ℎ2 2!



1”x 1



Untuk h = 1, 𝑙𝑥+1 = 𝑙𝑥 + 𝑙′𝑥 + 2 1”x 1



Untuk h = -1, 𝑙𝑥−1 = 𝑙𝑥 − 𝑙′𝑥 + 2 1”x Dari persamaan h = 1 dan h = -1, apabila dikurangkan untuk kedua persamaan tersebut, didapat 𝑙𝑥+1 + 𝑙𝑥−1= 𝑙′𝑥 + 𝑙′𝑥 1



𝑙′𝑥 = ( 𝑙𝑥+1 - 𝑙𝑥−1) 2



𝑑𝑙𝑥 𝑑𝑥



1



= 2 ( 𝑙𝑥+1 - 𝑙𝑥−1) 1 𝑑𝑙𝑥



Jadi untuk tingkat kematian sesaat µ𝒙 , yang mana µ𝒙 = -𝑙



𝑥



𝑑𝑥



, dapat didekati dengan hampiran



yaitu 1



µ𝒙 = - 2𝑙 ( 𝑙𝑥+1 - 𝑙𝑥−1 ) 𝑥



Cara pendekatan lain, dapat dilakukan dengan memakai relasi diferensial D dan beda operator Δ. D = log ( 1 + Δ ) =Δ-



Δ2 2



+



Δ3 3



- ……..



Sehingga tingkat kematian sesaat 1 𝑑𝑙𝑥



µ𝒙 = - 𝑙



𝑥



1



𝑑𝑥



= - 𝑙 D𝑙𝑥 𝑥



8 1



1



1



= - 𝑙 ( Δ 𝑙𝑥 - 2 𝛥2 𝑙𝑥 + 3 𝛥3 𝑙𝑥 ……….) 𝑥



1



1



1



= - 𝑙 ( 𝑑𝑥 - 2 Δ 𝑑𝑥 + 3 𝛥2 𝑑𝑥 ……….) 𝑥



Contoh : Carilah hampiran tingkat kematian sesaat µ𝒙 , yang mana 𝑙𝑥 adalah fungsi polinom berderajat 4. Jawab : Dengan deret Taylor, untuk polinom berderajat 4 𝑙𝑥+ℎ = 𝑙𝑥 + ℎ𝑙′𝑥 +



ℎ2 2!



l”x +



ℎ3 3!



1”’x +



ℎ4 𝑖𝑣 𝑙 x 4!



Untuk 4



2



h = -2  𝑙𝑥−2 = 𝑙𝑥 − 2𝑙′𝑥 + 21”x - 3 1”’x + 3 𝑙 𝑖𝑣 x 1



1



1



1



1



1



h = -1  𝑙𝑥−1 = 𝑙𝑥 − 𝑙′𝑥 + 2 l”x - 6 1”’x + 24 𝑙 𝑖𝑣 x h = 1  𝑙𝑥+1 = 𝑙𝑥 + 𝑙′𝑥 + 2 l”x + 6 1”’x + 24 𝑙 𝑖𝑣 x 4



2



h = 2  𝑙𝑥+2 = 𝑙𝑥 + 2𝑙′𝑥 + 2 l”x + 3 1”’x + 3 𝑙 𝑖𝑣 x Dari keempat persamaan tersebut didapat bahwa 8



𝑙𝑥−2 - 𝑙𝑥+2 = - ( 4𝑙′𝑥 + 3 1”’x ) 1



𝑙𝑥−1 - 𝑙𝑥+1 = - ( 2𝑙′𝑥 + 3 1”’x ) Akhirnya 𝑙′𝑥 =



𝑙𝑥−2 − 𝑙𝑥+2 − 8 (𝑙𝑥−1 − 𝑙𝑥+1 ) 12



maka µ𝒙 = -



1 𝑑𝑙𝑥 𝑙𝑥 𝑑𝑥 1



= - 𝑙 𝑙′𝑥 𝑥



=-



𝑙𝑥−2 − 𝑙𝑥+2 − 8 (𝑙𝑥−1 − 𝑙𝑥+1 ) 12𝑙𝑥



atau µ𝒙 =



1 12𝑙𝑥



(8 (𝑙𝑥−1 − 𝑙𝑥+1 ) - (𝑙𝑥−2 − 𝑙𝑥+2 ) )



9



=



1



(7 (𝑑𝑥−1 − 𝑑𝑥 ) - (𝑑𝑥−2 + 𝑑𝑥+1 ) )



12𝑙𝑥



Contoh : Dengan memakai hampiran dari fungsi polinom berderajat 2 dan 4, hitunglah µ𝟒𝟎 , dimana 𝑙𝑥 mengikuti tabel mortalitas CSO 1941, Jawab : Untuk 𝑙𝑥 fungsi polinom berderajat 2. 1



µ𝒙 = - 2𝑙 (𝑙𝑥+1 − 𝑙𝑥−1 ) 𝑥



1



µ𝟒𝟎 = - 2𝑙



40



=



(𝑙41 − 𝑙39 )



(𝑙39 − 𝑙41 ) 2𝑙40



=-



888504−877883 2.883342



= 0,006011 Untuk 𝑙𝑥 fungsi polinom berderajat 4. µ𝒙 = µ𝟒𝟎 = =



1 12𝑙𝑥



[8(𝑙𝑥−1 − 𝑙𝑥+1 ) − (𝑙𝑥−2 − 𝑙𝑥+2 )]



8(𝑙39 − 𝑙41 )− (𝑙38 − 𝑙42 ) 12𝑙40 8(888504−877883)−(893382−872098) 12.883342



= 0,006007



Interpolasi Usia Pecahan lx adalah jumlah orang yang hidup tepat berusia x tahun. Untuk usia pecahan, lx+t = (1-t).lx + t.lx+1 = lx – t.lx + t.lx+1 = lx – t(lx – lx+1) = lx – t.dx



10



di mana 0 ≤ t ≤ x usia bulat. Dari persamaan tersebut (0 ≤ t ≤ 1), didapat tpx dan tqx sebagai berikut : Untuk 0 ≤ t ≤ 1 Maka tpx = =



𝑙𝑥+𝑡 𝑙𝑥 𝑙𝑥+𝑡 − 𝑡.𝑑𝑥 𝑙𝑥



=1–t.



𝑑𝑥 𝑙𝑥



= 1 – t . qx = 1 – tpx



tqx



= 1 – (1 – t . qx) = t . qx Untuk tingkat kematian sesaat, µx+t = 𝑙



1



𝑑𝑙𝑥+𝑡



𝑥+𝑡 𝑑(𝑥+𝑡)



𝑑𝑙



𝑥+𝑡 sedangkan 𝑑(𝑥+𝑡) =



=



𝑑𝑙𝑥+𝑡 𝑑𝑡 𝑑(𝑙𝑥 −𝑡𝑑𝑥 ) 𝑑𝑡



= -dx 1



Jadi µx+t = - 𝑙



𝑑𝑙𝑥+𝑡



𝑥+𝑡 𝑑(𝑥+𝑡)



=𝑙



𝑑𝑥



𝑥+𝑡



= =



𝑑𝑥 𝑙𝑥



.𝑙



𝑙𝑥



𝑥+𝑡



𝑞𝑥 𝑡 𝑞𝑥



𝑞



𝑥 = 1−𝑡.𝑞



𝑥



Contoh : Buktikan bahwa dx+t = (1 – t)dx + t . dx+1 Jawab :



11



dx+t = lx+t – lx+t+1 = (1 – t)lx + t.lx+1 – (1-t).lx+1 – t.lx+2 = (1-t)(lx – lx+1) + t(lx+1 – lx+2) = (1-t).dx + t.dx+1 Jika tqx = t.qx , 0 < t < 1 Buktikan bahwa 𝑞



𝑥 a. µx+t = 1−𝑡.𝑞



𝑥



b. tpx . µx+t = qx Jawab : a. tqx = t.qx maka lx+t = lx – t.dx tpx



= =



𝑙𝑥+𝑡 𝑙𝑥 𝑙𝑥 − 𝑡.𝑑𝑥 𝑙𝑥



= 1 – t.qx tqx = 1 – tpx = t . qx 1



𝑑(𝑙𝑥+𝑡 )



𝑥+𝑡



𝑑(𝑥+𝑡)



µx+t = - 𝑙 =𝑙



𝑑𝑥



𝑥 −𝑡.𝑑𝑥 𝑞𝑥



= 1−𝑡.𝑞



𝑥



𝑞



𝑥 b. tpx . µx+t = (1 – t.qx)( 1−𝑡.𝑞 ) 𝑥



= qx Hukum Mortalitas Hukum Mortalitas Gompertz Pada tahun 1825, Gompertz menyatakan bahwa tingkat kematian sesaat µx = B c x di mana B dan c adalah tetapan positif. Dari persamaan Gompertz itu, bila diintegralkan bahwa 𝑥 𝑥 ∫0 µ𝑡 𝑑𝑡 = ∫0 𝐵 𝑐 𝑡 𝑑𝑡 𝐵 𝑐𝑡 𝑥 = [ ln 𝑐 ] 0 𝐵 𝑐𝑥 𝐵 = ln 𝑐 - ln 𝑐 = - (cx – 1) ln g Yang mana diambil ln g = −



𝐵 ln 𝑐



12 𝑥



Jadi ∫0 µ𝑡 𝑑𝑡 = ln 𝑔𝑐



𝑥 −1 𝑥



Oleh sebab itu lx = l0.𝑒 − ∫0 µ𝑡 𝑑𝑡 (𝑒𝑥 −1)



= l0 . 𝑒 ln 𝑔 𝑥 = l0 . 𝑔(𝑒 −1) 𝑥 = k 𝑔𝑐 Untuk mana diambil k =



𝑙0 𝑔



Dengan adanya hukum mortalitas Gompertz, dapat diturunkan bahwa tpx



= 𝑔𝑒



𝑥 (𝑒 𝑡 −1)



Hukum Mortalitas Makeham Hukum mortalitas, yang dinyatakan oleh Makeham tahun 1860 bahwa tingkat kematian sesaat µx = A + B c x sama seperti hukum mortalitas Gompertz, maka 𝑥



𝑥



∫0 µ𝑡 𝑑𝑡 = ∫0 (𝐴 + 𝐵 𝑐 𝑥 ) 𝑑𝑡 = Ax +



𝐵 𝑐𝑥 ln 𝑐



𝐵



- ln 𝑐



= - ln sx – ln 𝑔𝑒 Yang mana ambil -



𝐵 ln 𝑐



𝑥 −1



= ln g dan



- A = ln s 𝑥 - ∫0 µ𝑡 𝑑𝑡 𝑥



Sehingga lx = l0.𝑒 − ∫0 µ𝑡 𝑑𝑡 𝑥



= l0 . 𝑒 ln 𝑠 +ln 𝑔 𝑥 = l0 . sx . 𝑔𝑐 −1 𝑥 Atau lx = k sx . 𝑔𝑐 Yang mana diambil k =



𝑐𝑥 −1



𝑙0 𝑔



Untuk hukum mortalitas Makeham, peluang hidup 𝑥



𝑡



= st . 𝑔𝑐 (𝑐 −1) besar tetapan positif adalah 0,001 < A < 0,003 10-6 < B < 10-3 1,08 < c < 1,12 Beberapa hukum mortalitas yang lain adalah : 1. Hukum mortalitas Abraham de Moivre (tahun 1825) lx – k(w – x) 2. Hukum mortalitas deret ukur ganda (tahun 1967) µx = A + B c x + M nx 3. Hukum mortalitas Makeham II (tahun 1889) µx = A + Hx + B cx 4. Hukum mortalitas Perk (tahun 1931) tpx



𝐴 +𝐵 𝑐 𝑥



µx = 𝐾𝑐 −𝑥 + 1 + 𝐷𝑐 𝑥



13



Contoh : 2



Carilah µx , jika diketahui lx = k sx 𝑤 𝑥 𝑔𝑐 Jawab : 2



𝑥



𝑥



l x = k sx 𝑤 𝑥 𝑔 𝑐 ln lx = ln k + x ln s + x2 ln w + cx ln g 𝑑(𝑙𝑛 𝑙𝑥 )



= ln s + 2x ln w + cx ln c ln g



𝑑𝑥



1 𝑑𝑙𝑥



µx = - 𝑙



𝑥



𝑑𝑥



𝑑



= - 𝑑𝑥 (lnlx) = - ln s – 2x ln w – cx ln c ln g Bila kita ambil A = - ln s, H = -2 ln w dan B = - ln gc Maka µx = A + Hx + Bcx 4.2 Anuitas Kontinu Anuitas kontinu Anuitas yang dapat dibayarkan setiap saat dan jumlah pembayaran setahun adalah 1. Simbol anuitas kontinu berusia x adalah a̅𝑥 . Persamaannya adalah : a̅x = ax +



1 2



Anuitas kontinu bila dinyatakan dalam bentuk integral adalah : ~



a̅x = ∫0 v t t p x dt ~ Dx +t



= ∫0



Dx



dt



Didefinisikan simbol komutasi kontinu ̅ x = ∫1 Dx+t dt D 0 dan



̅ x = ∑~ ̅ N t=0 Dx+t ~



= ∫0 Dx+t dt ̅ N



Anuitas kontinu a̅x dinyatakan dengan lambang komutasi kontinu : Dx x



̅x = Diperoleh rumus N



1 2



Dx + Nx+1



= Nx − Asuransi Kontinu



1 D 2 x



14



Dalam asuransi kita asumsikan bahwa uang pertanggungan (uang asuransi) dibayar pada akhir tahun polis. Akan tetapi pada praktiknya pembayaran uang asuransi tersebut tidaklah demikian, pembayaran tidak dilakukan pada akhir tahun kematian polis. ̅x. Simbol yang diberikan, dimana asuransi dibayarkan pada saaat meninggal adalah A Peluang dari seseorang berusia x yang meninggal diantara usia x+t dan x+ t 𝛿𝑡 adalah tp x



µx+t δt dengan mendiskontokan, di dapat: ~



̅ x = ∫ v t . tpx . µx+t dt A 0



̅ x didapat dengan mengalikan Jadi jelas bahwa nilai tunai ataupun premi tunggal bersih A faktor diskonto v t , kemudian diintegralkan atas t dari 0 sampai ~. Cadangan Kontinu Cadangan premi untuk asuransi kontinu, penulisannya tidak berbeda, bila dibandingkan dengan cadangan premi asuransi tidak kontinu. Misalkan untuk asuransi seumur hidup (whole life policy), cadangan prospektif asuransi seumur hidup tidak kontinu adalah tV(Ax)



= Ax+t − P(Ax) • äx+t



sedang untuk asuransi seumur hidup kontinu, cadangan kontinu adalah ̅(Āx) tV



̅ x ) • 𝑎̅x+t = Āx+t − ̅ P(A Āx+t



= [ 𝑎̅



𝑥+t



̅ x )] • 𝑎̅x+t ̅(A − P



̅ x+t ) − ̅ ̅ x )] • 𝑎̅x+t ̅(A = [P P(A Perlu diingatkan cadangan retrospektif untuk asuransi seumur hidup tV(Ax)



= P(Ax) •



(Nx −Nx+t ) Dx+t



−



(Mx −Mx+t ) Dx+t



cadangan retrospektif dari asuransi seumur hidup dengan pembayaran premi setiap saat ̅ x ) adalah (kontinu) ̅ P(A ̅x) ̅(A tV



=P•



̅ x −N ̅ x+t ) (N 𝐷x+t



−



̅ x −M ̅ x+t ) (M 𝐷x+t



Selanjutnya kita dapat menurunkan cadangan kontinu dari beberapa jenis asuransi, misalnya : 



Asuransi Dwiguna ̅(Āx:n⌉ ) tV



̅(Āx:n⌉ ) a̅x+t:n−t⌉ , t < n = Āx+n:n−t⌉ − P =1,t=n







Asuransi Berjangka ̅(Āx:n⌉ ) tV



̅(Āx́ :n⌉ ) a̅x+t:n−t⌉ , t < n = Āx́ +n:n−t⌉ − P



15



=1,t=n



Premi Kontinu Tarip premi asuransi jiwa dibayarkan sesuai dengan keinginan si pemegang polis (si tertanggung), yang mana dapat dibayarkan dalam tahunan, enam bulanan (semesteran), bulanan atau mingguan. Pandang simbol dibawah ini, ̅ Px



= Premi bersih kontinu asuransi seumur hidup. Uang asuransi (uang pertanggungan) dibayarkan pada akhir tahun polis.



̅(𝐴̅x ) = Premi bersih kontinu asuransi seumur hidup. Santunan (uang asuransi ataupun uang P pertanggungan) dibayarkan segera pada saat tertanggung meninggal dunia. Dari dua penulisan yang berbeda tersebut, dapat dikatakan bahwa pembayaran premi keduanya kontinu, yang mana dalam prakteknya tidak dilakukan. Dari modul sebelumnya, kita ketahui bahwa : P(Ax) = Px =



Ax ä x M



= Nx x



1



= ä – d x



maka ̅



̅(𝐴̅x ) = Ax P a̅ x



1



= a̅ – 𝛿 x



=



̅x M ̅x N



Telah diketahui dari modul sebelumnya, bahwa 𝐴̅x = 1 − 𝛿 a̅x tidak berbeda dengan Ax = 1– d ä x atau Ax(m) = 1–d(m) ä x (m) ̅(Āx:n⌉ ) , yang mana Untuk asuransi dwiguna, premi bersih kontinu diberi simbol P Ā ̅ P(Āx:n⌉ ) = a̅x:n⌉ x:n⌉



=



1– 𝛿a̅x:n⌉ a̅x:n⌉



= a̅



1



x:n⌉



–𝛿



̅(Āx:n⌉ ) menunjukkan penulisan yang tidak berbeda, antara Terbukti bahwa persamaan P



16 1 1 P(Ax) = ä – d dengan ̅ P(Āx:n⌉ ) = a̅ – 𝛿. x



x:n⌉



1 1 Atau secara umum penulisan P = ä – d dengan ̅ P(A)= a̅ – 𝛿.



BAB III STUDI KASUS 2



1. Carilah µx , jika diketahui lx = k sx 𝑤 𝑥 𝑔𝑐



𝑥



Jawab : 2



l x = k sx 𝑤 𝑥 𝑔 𝑐



𝑥



ln lx = ln k + x ln s + x2 ln w + cx ln g 𝑑(𝑙𝑛 𝑙𝑥 )



= ln s + 2x ln w + cx ln c ln g



𝑑𝑥



1 𝑑𝑙𝑥



µx = - 𝑙



𝑥



𝑑𝑥



𝑑



= - 𝑑𝑥 (lnlx) = - ln s – 2x ln w – cx ln c ln g Bila kita ambil A = - ln s, H = -2 ln w dan B = - ln gc Maka µx = A + Hx + Bcx 2. Buktikan bahwa dx+t = (1 – t)dx + t . dx+1 Jawab : dx+t = lx+t – lx+t+1 = (1 – t)lx + t.lx+1 – (1-t).lx+1 – t.lx+2 = (1-t)(lx – lx+1) + t(lx+1 – lx+2) = (1-t).dx + t.dx+1 Jika tqx = t.qx , 0 < t < 1 3. Buktikan bahwa 𝑞



𝑥 c. µx+t = 1−𝑡.𝑞



𝑥



d. tpx . µx+t = qx Jawab : c.



tqx



= t.qx maka lx+t = lx – t.dx



tpx



=



𝑙𝑥+𝑡 𝑙𝑥 𝑙 − 𝑡.𝑑𝑥



=𝑥



𝑙𝑥



17



18



= 1 – t.qx tqx



= 1 – tpx = t . qx 1



𝑑(𝑙𝑥+𝑡 )



𝑥+𝑡



𝑑(𝑥+𝑡)



µx+t = - 𝑙



𝑑𝑥



=𝑙



𝑥 −𝑡.𝑑𝑥



𝑞



𝑥 = 1−𝑡.𝑞



𝑥



d.



tpx



𝑞



𝑥 . µx+t = (1 – t.qx)( 1−𝑡.𝑞 ) 𝑥



= qx 4. Hitunglah a̅47 dengan menggunakan tabel mortalitas CSO 1941. Jawab : a̅x =



̅x N



̅ x = Nx − dan N



Dx



1 2



Dx



Maka dari tabel mortalitas CSO 1941 D40 = 328983,61 N40 = 6708572,66 Sehingga di peroleh a̅40 =



1 2



6708572,66− (328983,61) 328983,61



= 19,89181



̅ x = 1 − δa̅x , dimana δ = ln(1 + i) 5. Buktikan bahwa A Jawab : ~



̅ x = ∫ v t . tpx . µx+t dt A 0 ~



= ∫0 v t dt (− tpx ) dt Dengan memakai teori integral parsial, didapat : ~ t ̅ x = [−v t . tpx ]~ A 0 - ∫0 (− tpx ) v ln v dt



= 1 - δa̅x Dimana –ln v = ln (1+i) = 𝛿



19



̅ 50 ) dengan menggunakan tabel mortalitas CSO 1941 dan tingkat bunga 6. Hitunglah 20V(A aktuaria 2,5% Jawab : i



̅x) t V(A



≑ (1 + 2) tVx



̅ 50 ) 20V(A



≑ (1 + 0,0125) 20V50 ä



= 1,0125 (1 − ä 70 ) 50



= 0,502164



BAB IV KESIMPULAN Tingkat kematian sesaat 𝜇𝑥 , dimana diasumsikan bahwa lx kontinu. Lalu yang dimaksud 𝜇𝑥 adalah tingkat kematian (peluang) pada saat tertentu yang amat pendek, sedangkan usia x adalah pecahan dan hubungannya dengan serta tingkat kematian 𝜇𝑥+𝑡 . Anuitas kontinu maupun asuransi kontinu mempunyai rumus yang sepadan dengan bentuk diskrit, dimana untuk kontinu menggunakan integral dan diskrit menggunakan sigma. Secara umum cadangan adalah sejumlah uang yang harus disediakan oleh pihak asuransi dalam waktu pertanggungan dan digunakan untuk membayar santunan sesuai dengan kesepakatan pada awal kontrak.



20



DAFTAR PUSTAKA CATARYA, Indra 1988. Buku Materi Pokok ASURANSI II STAT4334/3 SKS/Modul 1-9. Jakarta: Karunika, Universitas Terbuka.



21