Matematika Diskrit Tugas Kelompok [PDF]

Citation preview

Nama : Devanny Anggun Riantika (1815091042) Ni kadek sri nadi (1815091041) 1.



2.



Buktikan : a) A U (A Ո B) = A Jawaban : Misal : A = {1,2,3} B = {1,2,3,4,5} Maka : A Ո B = { 1, 2,3} AՈB=A A U A = A (terbukti) b) A Ո (A U B) = A AUB=5 A Ո S = A (terbukti) Dari pernyataan bahwa A merupakan himpunan mahasiswa Undiksha maka dari pemetaan yang mendefinisikan sebuah fungsi pada himpunan A merupakan nomor i saja karena dengan memetakan NIM maka mahasiswa tersebut diketahui berasal dari Universitas mana.



3.



Sebuah himpunan beranggotakan n elemen. Banyaknya himpunan bagian yang dapat dibentuk dari himpunan tersebut adalah 2n. (a) Buktikan banyaknya himpunan bagian tersebut dengan teori kombinatorial/teorema binomial. (b) Buktikan banyaknya himpunan bagian tersebut dengan induksi matematik.



Jawaban: (a)



Banyaknya himpunan bagian yang beranggotakan 0 elemen: C(n, 0) Banyaknya himpunan bagian yang beranggotakan 1 elemen: C(n, 1) Banyaknya himpunan bagian yang beranggotakan 2 elemen: C(n, 2) … Banyaknya himpunan bagian yang beranggotakan n elemen: C(n, n) n



Jumlah seluruh himpunan bagian =  C(n,k) = ? k=1



n



Menurut Teorema binomial: (x + y)n =  C(n,k) xn-k yk k=1



Dengan mengambil x = 1, y = 1, maka



n



 ( 1 + 1)n =  C(n,k) 1n-k 1k k=1



n







2n =  C(n,k) k=1



(b)



Basis induksi (n = 0) Untuk n = 0 (himpunan kosong) jelas benar sebab himpunan kosong hanya mempunyai mempunyai 20 = 1 himpunan bagian, yaitu himpunan kosong itu sendiri. Langkah induksi (n  0) Andaikan bahwa pernyataan “banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan yang beranggotakan n elemen adalah 2n“ adalah benar. Kita harus menunjukkan bahwa jumlah himpunan bagian dari himpunan yang beranggotakan n+1 elemen dalah 2n+1. Hal ini ditunjukkan sebagai berikut. Misalkan elemen ke-n+1 adalah a. Tinjau masingmasing dari 2n buah himpunan bagian yang sudah terbentuk. Untuk setiap himpunan bagian, buatlah himpunan baru yang anggotanya adalah seluruh anggota himpuna bagian tersebut ditambah dengan degan tambahan satu elemen a. Karena ada 2n buah himpunan bagian mula-mula, maka juga akan terdapat 2n himpunan bagian tambahan. Jumlah himpunan bagian seluruhnya adalah 2n + 2n = 2 . 2n = 2n+1.



Karena basis induksi dan langkah induksi sudah dibuktikan benar, maka terbukti banyaknya himpuna bagian yang dapat dibentuk dari sebuah himpunan beranggotakan n elemen adalah 2n.



4. Jawab : Diketahui : n (Matematika Dis krit) = 15 mahasiswa n (Kalkulus) = 71 mahasiswa n (geometri) = 56 mahasiswa n (Kalkulus Geometri)= 9 mahasiswa n (Matdis



Geometri) = 25 mahasiswa



n (MD) =115 –(MD



G)



= 115 – 25 = 90 115



71



n (K) = 71 – (K



9



15



G)



= 71 – 9 = 62 n (G) = 56 – 25 – 9 = 22 n (S) = 90 + 62 + 22 + 25 + 9= 208 Jadi banyaknya mahasiswa yang mengambil 3 pelajaran = 208 – 196 = 12



56



5. penyelesaiyan : │A U B U C U D│=│C│ + │B│ + │C│ + │D│ - │A n B│ - │A n C │- │A n D │- │ B n C │ - │B n D│ - │C n D│+ │A n B n C│ + │A n B n D│ + │A n C n D│ + │B n C n D│ - │A n B n C n D│ = 4 . 50 – 6.30 + 4. 10 – 2 = 58



6. Diketahui : 100



HMPS



74-8=66



SENAT



8



20-8=12



11



Dari 100 responden n(s) n(HMPS) = 74 orang n(SENAT) = 20 orang n(HMPS &SENAT)= 8 orang Ditanya: Berapa orang yang aktif di HMPS ?



Berapa orang yang aktif di SENAT? Berapa orang yang aktif di HMPS dan SENAT? Berapa orang yang memilih tidak aktif? Jawab: n(HMPS) = 74-8 = 66 orang n(SENAT)= 20-8= 12 orang n(HMPS&SENAT)= 8 orang n(tidak aktif)= 100-66-12 =14 orang



7. Diketahui : X : { 4,5,6 } Y :{ 4,5,6,7,8 } X  Y dan Y  Z X proper subset Y Y proper subset Z Y = { 4,5,6,7} atau X = { 4,5,6,8} karena Y harus memiliki semua elemen X dan memiliki sekurang-kurang 1 elemen Z 8. R = Himpunan biangan bulat (integer), (x,y) ɛR jika adalah kelipatan dari y Maka R1 = {(8,2),(4,2),(6,2)} Jawab : R bukan merupakan relasi reflektif karena pada relasi himpunan bilangan bulat (integer), (x,y)ɛ R jika x adalah kelipatan y. relasi reflektif adalah relasi yang menyatakan bahwa setiap relasi R merupakan dirinya sendiri namun pada R1 tidak mengandung unsur berpasangan dengan dirinya sendiri. R1 bukan merupakan relasi simetri karena pada pernyataan diatas dimana x R y tidak sama dengan y R x R1 bukan merupakan relasi antisimetris karena relasi R dikatakan bersifat antisimetris apabila (x,y) ɛR dan (y,x)ɛ R berlaku x=y R1 bukan merupakan relasi transitif karena R1 bukan merupakan relasi yang bersifat dan dimetris maka (x,y)ɛR1 dan y ɛR 9. Jawab : Buktikan (i) A (Ā B) = A Misal: A = { 1,3,5,7,9} S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} B = {2,4,6,8,10} Ā = {2,4,6,8,10}



Ā=B Ā



B=Ā



A U Ā = A U B (terbukti) (ii) A



(AUB) = A B



Misal: A = {1,3,5,7,9} B = {2,4,6,8,10} S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} Ā = {2,4,6,8,10} Ā=B ĀUB=B A



10.



B=A



(terbukti)



100



20



45



7 32



n(s) = 100 n(M)=32 n(B)=45



11



n(M&B)=15 n(M&F)=7 n(F&B)=10 Jawab : n(F) = 20 - n(M F) - n(P B) = 20 – 10 -7 = 3 n(M)= 32 - n(M F) - n(M B) = 32 – 7- 15 = 10 n(B)= 45 - n(M B) - n(F B) = 45 – 15 – 10 = 20 A. n ( mempelajari 3 bidang ) = n(F)+n(M)+n(B) + n(M F) + n(M B) + n(F B) + n(x) = 3 + 10 + 20 + 7 + 15 + 10 + 30 = 95  n (S) – n (total) = 100- 95 = 5 B. n ( mempelajari 1 ) = n(F)+n(M)+n(B) = 3 + 10 + 20 = 33