MATEMATIKA [PDF]

Citation preview

MATEMATIKA



I.



PELUANG



A. PENGERTIAN PELUANG SUATU KEJADIAN Peluang suatu kejadian adalah perbandingan banyaknya titik sampel kejadian yang diinginkan itu dengan banyaknya anggota ruang sampel kejadian tersebut. Peluang disebut juga dengan nilai kemungkinan.



B. RUANG SAMPEL Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin pada suatu percobaan/kejadian. Contoh: Pada pelemparan sebuah dadu, maka ruang sampelnya adalah S = {1,2,3,4,5,6}



C. TITIK SAMPEL Titik sampel adalah anggota-anggota dari ruang sampel atau kemungkinan-kemungkinan yang muncul. Contoh: Pada pelemparan sebuah dadu, maka titik sampelnya : (1), (2), (3), (4), (5), dan (6)



RUMUS PELUANG SUATU KEJADIAN :



D. CONTOH SOAL 1. Apabila ada Sebuah dadu yang dilempar dengan sekali, maka tentukan peluang munculnya mata dadu 6 tersebut! Jawab : Banyaknya titik sampel n(s) = 6 Pada sempel yang ada dititik bernilai 6 n(A) = 1



P(A) = =



𝑛(𝐴) 𝑛(𝑆) 1 6



Jadi, peluang munculnya mata dadu 6 adalah 2.



1



6 Apabila Sebuah kantong yang berisikan 4 kelereng merah, kemudian 3 kelereng biru, dan 5 kelereng hijau. Maka Dari tiap kelereng akan diambil satu kelereng. Tentukan peluang terambilnya kelereng berwarna biru !



Jawab : Apabila diketahui titik sampel n(s) = 3+ 4+ 5 = 12 Titik sampel kelereng biru n(A) = 3 𝑛(𝐴) P(A) = 𝑛(𝑆) 3 = 12 1 = 4 Jadi, peluang terambilnya kelereng berwarna biru adalah 3.



1 4



Berapakah peluang kejadian munculnya angka genap dari angka 1 2 3 4 5 ? Jawab: Ruang sampel S ={1, 2, 3, 4, 5}; n(S) = 5 A = {kejadian muncul angka genap} = {2, 4}; n(A) = 2 P(A) = =



𝑛(𝐴) 𝑛(𝑆) 2



5 4. Dua buah uang logam dilempar undi sebanyak 50 kali. Berapakan frekuensi harapan muncul satu angka dan satu gambar?



Jawab: n = 50 kali S = {(A,A) (A,G) (G,A) (G,G)} → n (S) = 4



A = kejadian muncul satu angka dan satu gambar = {(A,G) (G,A)} -> n (A) = 2 𝑛(𝐴) P(A) = 𝑛(𝑆) 2 = 4 5. Seorang anak pedagang telur memiliki 200 butir telur, karena kurang berhati-hati, lalu 10 butir telur pecah. Semua telur diletakan didalam peti. Jika sebutir telur diambil secara acak. Tentukan pelung yang akan terambilnya telur yang tidak pecah! Jawab: Banyaknya titik sampel n(S)= 200 Titik sampel telur yang tidaak pecah n(A) = 200-10 P(A) = = =



II.



𝑛(𝐴) 𝑛(𝑆) 190 200 19 20



KISARAN NILAI PELUANG



A. Pengertian kisaran nilai peluang Kisaran nilai peluang dapat diartikan sebagai perkiraan kemungkinan munculnya suatu kejadian di dalam sebuah ruang sampel.



RUMUS :



Keterangan Rumus :



N (A) = banyaknya anggota A



N (S) = banyaknya anggota S (ruang sampel) P (A) = peluang kejadian (muncul A)



B. CONTOH SOAL : 1. Tentukan peluang munculnya angka ganjil pada pelemparan sebuah dadu! Jawab: Dik: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} N (S) = 6 A = muncul dadu dengan angka ganjil A = {1, 3, 5} N (A) = 3 Dit : Peluang = .... ? Jawab



Jadi, peluang munculnya angka ganjil dari pelemparan sebuah dadu adalah



1 2



2. Pada pelemparan sebuah dadu, hitunglah peluang munculnya mata dadu lebih dari 4 Jawab: n(S) = 1, 2, 3, 4, 5, 6 = 6 Misalnya kejadian muncul angka lebih dari 4 adalah A, maka A = { 5, 6 } sehingga n(A) = 2 P(A) =



𝑛(𝐴) 𝑛(𝑆)



P(A) = P(A) =



2 6 1 3



3. Lima belas kartu diberi nomor 1 sampai dengan 15. Kartu-kartu tersebut dikocok, kemudian diambil satu kartu secara acak (kartu yang telah diambil kemudian dikembalikan lagi). Tentukan peluang terambil kartu berangka genap Jawab: Ruang sampelnya adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15} Misalkan, A adalah himpunan kejadian terambil kartu berangka genap maka A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} sehingga n(A) = 7.



4. Sebuah dadu dilemparkan. Hitunglah peluang munculnya mata dadu bilangan prima Jawab: Karena bentuk dadu simetris dan tidak berat sebelah, maka setiap sisi dadu memiliki peluang yang sama untuk muncul. Kejadian yang mungkin muncul adalah 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 sehingga n(S) = 6 misalkan C adalah kejadian munculnya mata dadu berupa bilangan prima C = {2, 3, 5} maka n(C) = 3. P(A) =



𝑛(𝐴)



𝑛(𝑆) 3 = 6 1 = 2



5. Pada pelemparan sebuah dadu, hitunglah peluang munculnya mata dadu lebih dari 4 Jawab : Kita sama-sama tahu jika dadu itu simetris dan tidak berat sebelah, maka setiap mata dadu memiliki peluang yang sama untuk muncul. Kejadian yang mungkin muncul adalah n(S) = 1, 2, 3, 4, 5, 6 = 6



Misalnya kejadian muncul angka lebih dari 4 adalah A, maka A = { 5, 6 } sehingga n(A) = 2 𝑛(𝐴) P(A) = 𝑛(𝑆) 2 P(A) = 6 1 P(A) = 3 Jadi mata dadu lebih dari 4 yaitu 1/3



III.



PELUANG KOMPLEMEN A. Pengertian Peluang komplemen



Komplemen suatu himpunan adalah anggota yang tidak terdapat pada himpunan tersebut. kecuali anggota himpunan tersebut. Komplemen dari A dinotasikan RUMUS: P(Ac) + P(A) = 1 P(Ac) = 1 – P(A) Keterangan : P : Peluang A : Kejadian A (Lambang suatu kejadian) c : Komplemen suatu kejadian B. Contoh soal 1. Peluang hari ini hujan adalah 25%, tentukan peluang bahwa hari esok tidak hujan!! Jawab : Untuk menjawab soal seperti ini yang pertama harus dilakukan adalah menulis dulu hal-hal yang diketahui, dengan tujuan untuk mempermudah pengerjaan kita. Maka : Peluang hari ini hujan adalah 25 %, maka peluang kejadian A adalah 25 % : P(A) = 25% = 0,25



Kemudian kita masukan kedalam rumus menjadi : P(Ac) = 1 - P(A) P(Ac) = 1 - 0,25 P(Ac) = 0,75 P(Ac) = 75% Maka peluang bahwa hari esok tidak hujan adalah 75%.



2. Apabila sebuah dadu bermata 6 dilempar, maka peluang untuk tidak mendapat sisi dadu 4 adalah Jawab: Ada enam mata dadu, dengan sisi dadu 4 berjumlah satu maka, n(S) = 6 dan n(A) = 1 p(Ac) =



𝑛(𝐴) 𝑛(𝑠)



=



1 6



, sehingga peluang komplomen dari kejadian tersebut adalah



𝑃 (Ac) = 1 − 𝑃 (A) 𝑃 (Ac) = 1 𝑃 (Ac) =



1 6



5 6



Jadi peluang untuk tidak mendapatkan sisi dadu 4 adalah 3.



5 6



Andi melemparkan sebuah dadu bermata 6. Hitunglah peluang Andi untuk tidak mendapatkan sisi dadu 3! Jawab : P(Ac) = 1 - P(A) 3 P(Ac) = 1 6 =



6 3 6 6



=



3 6



4. Pada pelemparan 3 buah uang sekaligus, tentukan peluang munculnya paling sedikit satu angka ! Jawab: Cara komplemen S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}, maka n(S) = 8 Misal kejadian paling sedikit satu angka adalah A. Ac = {GGG}, maka n(Ac) =1 𝑛(𝐴) 1 P(Ac) = = 𝑛(𝑠) 8 P(A) = 1 – P(Ac) = 1 –



1 8



7



=



8



5. Dari seperangkat kartu remi (bridge) di ambil ecara acak satu lembar kartu. Tentukan peluang terambilnya kartu bukan As Jawab : Banyaknya kartu = n(s) = 52 Banyaknya kartu As = n(A) = 4 4 P(A)= 52 1 = 13 Peluang bukan As = p(Ac) = 1 - (PA) 1 =113 12 = 13



IV.



FREKUENSI HARAPAN A. Pengertian frekuensi harapan



Frekuensi harapan suatu kejadian adalah harapan banyaknya muncul suatu kejadian dari sejumlah percobaan yang dilakukan (n). RUMUS: Fh = P(A) x n Keterangan: Fh P A n



= Frekuensi harapan = Peluang = Kejadian A (hanya lambang suatu kejadian) = Banyaknya suatu percobaan



B. contoh soal 1. Jika sebuah dadu dilempar 60 kali. Berapakah frekunsi harapan munculnya mata dadu 3 ? Jawab : S = { 1.2.3.4.5.6} n (S) = 6 A = dadu kurang dari 3 Maka A = { 1,2 } n(A)=2 2. Tiga buah logam berisi gambar (H) dan angka (1) dilempar bersama-sama sebanyak 80 kali. tentukanlah harapan munculnya ketiga-tiganya angka ? Jawab : Soal seperti ini pertama hitung dahulu jumlah seluruh nilai kejadian, seluruh kejadian kita lambangkan dengan S, maka : S = {HHH, HH1, H1H, 1HH, 11H, 1H1, H11, HHH} n(S) = 8 Muncul tiga-tiganya 1 hanyala satu yaitu {111}. maka : 1 = {111} n(A) = 1 Dan banyaknya percobaan yaitu sebanyak 80 kali maka : n = 80 Maka : Fh = P(A) x n



Fh =



𝑛(𝐴)



xn 𝑛(𝑆) 1 Fh = x 80 8 Fh = 10 Maka harapan munculnya tiga-tiganya angka sebanyak 10 kali. 3. Wedra melemparkan sebuah dadu sebanyak 180 kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya muka dadu bertitik ganjil, Jawab: N = 180 kali dan ruang sampel dari dadu tersebut adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} sehingga n(S) = 6, maka: Peluang munculnya muka dadu yang bertitik ganjil atau A= {1, 3, 5} atau n(A) = 3 adalah: 𝑛(𝐴) P(A) = 𝑛(𝑆) 3 P(A) = 6 1 P(A) = 2 Frekuensi harapan munculnya muka dadu bertitik ganjil yakni: Fh = P(A) × N 1 Fh = × 180 kali 2 Fh = 90 kali 4. Sebuah dadu di lempar undi sebanyak 100 kali. Frekuensi harapan muncul mata dadu lebih dari 3 adalah... Jawab: Penyelesaian: N = 100 Dadu n(S)= 6 A= kejadian muncul mata dadu lebih dari 3 =[ 4, 5, 6 ] n(A)= 3 Fh(A)= P(A) × N



𝑛(𝐴) = ×N 𝑛(𝑆) 3 = × 100 6 1 = × 100 2 = 50 Jadi Fh adalah 50



5. Wedra melemparkan sebuah dadu sebanyak 180 kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya muka dadu bertitik genap Jawab: N = 180 kali dan ruang sampel dari dadu tersebut adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} sehingga n(S) = 6, maka: Peluang munculnya muka dadu yang bertitik genap atau A= {2, 4, 6} atau n(A) = 3 adalah: 𝑛(𝐴) P(A) = 𝑛(𝑆) 3 P(A) = 6 1 P(A) = 2 Frekuensi harapan munculnya muka dadu bertitik genap yakni: Fh = P(A) × N 1 Fh = × 180 kali 2 Fh = 90 kali