Matematika Integral [PDF]

Citation preview

Makalah matematika “Integral”



Di Susun Oleh: BAGUS GELIS PRATAMA PUTRA XII IPA 4 / 07



SMAN 3 SIDOARJO JL. DR DR.. WAHIDIN NO. 130 SIDOARJO www.sman3sda.sch.id



KATA PENGANTAR



Puji syukur atas kehadirat Tuhan YME yang telah melimpahkan rahmat dan hidayahnya, sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah Matematika tentang integral ini. Makalah ini disusun agar pembaca dapat memperluas ilmu matematika khusunya tentang integral, yang kami sajikan berdasarkan pengamatan dari berbagai macam sumber. Makalah ini disusun oleh penyusun dengan berbagai rintangan. Baik itu yang datang dari diri penyusun maupun yang datang dari luar. Namun dengan penuh kesabaran dan terutama pertolongan dari Tuhan YME akhirnya makalah ini dapat terselesaikan. Tak lupa kami ucapkan terima kasih yang sedalam-dalamnya kepada Bapak Wahyudi selaku Guru Matematika SMAN 3 Sidoarjo yang telah meluangkan waktu baik diwaktu jam pelajaran maupun diluar jam pelajaran untuk membimbing kami dalam menyelesaikan tugas ini. Semoga makalah ini dapat memberikan wawasan yang lebih luas kepada para pembaca. Makalah yang penulis buat ini masih sangat jauh dari kategori sempurna. Penulis menerima berbagai saran dan kritikan yang membangun demi kesempurnaan makalah ini.



Sidoarjo,November 2010 Penulis



2



INTEGRAL | Matematika



DAFTAR ISI



INTEGRAL KATA PENGANTAR ................................................................................................................... 2 DAFTAR ISI ............................................................................................................................... 3 BAB I PENDAHULUAN ............................................................................................................. 4 A.



LATAR BELAKANG ......................................................................................................... 4



B.



TUJUAN .......................................................................................................................... 4



BAB II MATERI POKOK ............................................................................................................ 5 A.



PENGERTIAN INTEGRAL ............................................................................................... 5



B.



INTEGRAL TAK TENTU .................................................................................................. 6 1.



Penyelesaian cara biasa .............................................................................................. 7



2.



Penyelesaian cara subtitusi .......................................................................................... 8



3.



Integral Parsial ............................................................................................................. 8



C.



Integral Tertentu ........................................................................................................... 9



D.



Integral Luas Daerah .................................................................................................. 11



1.



Menentukan Luas Daerah di Atas Sumbu-x ............................................................... 11



2.



Menentukan Luas Daerah di Bawah Sumbu-x............................................................ 12



3.



Menentukan Luas Daerah Yang Di Batasi Kurva Y=F(X) Dan Sumbu X..................... 14



4.



Luas Daerah yang Terletak Diantara 2 Kurva ............................................................. 15



E.



Menentuka Volume Benda Putar ................................................................................... 17 1.



Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi sumbu X ...................... 17



2.



Menentukan Volume Benda Putar yang diputar Mengelilingi Sumbu y ....................... 18



3.



Volume Benda Putar antara Dua Kurva...................................................................... 20



BAB III PARADE LATIHAN SOAL ............................................................................................ 22 A.



Parade Soal ................................................................................................................... 22



B.



Kunci jawaban ............................................................................................................... 27



BAB IV PENUTUP.................................................................................................................... 28 A.



Rangkuman ................................................................................................................... 28



B.



Rekomendasi................................................................................................................. 31



3



INTEGRAL | Matematika



BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang memiliki sifat universal, dimana matematika ini memiliki peran penting di semua bidang ilmu pengetahuan. Melalui perkembangan penalaran dan abstraksi, matematika berkembang dari pencacahan, perhitungan, pengukuran dan pengkajian sistematis terhadap bangun dan pergerakan benda-benda fisika. Matematika secara praktis mendaji salah satu kegiatan manusia sejak adanya rekaman tertulis. Kini, matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran/medis, dan ilmu sosial seperti ekonomi, dan psikologi. Matematika terapan, cabang matematika yang melingkupi penerapan pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplindisiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti statistika dan teori permainan. Para matematikawan juga bergulat di dalam matematika murni, atau matematika untuk perkembangan matematika itu sendiri, tanpa adanya penerapan di dalam pikiran, meskipun penerapan praktis yang menjadi latar munculnya matematika murni ternyata seringkali ditemukan terkemudian. Salah satu cabang dari Ilmu Matematika yang patut di pelajari adalah Integral. Integral adalah lawan dari proses diferensial. Integral terbagi atas beberapa jenis yaitu integral tertentu dan integral tak tentu. Perbedaan antara integral tertentu dan integral tak tentu yaitu jika integral tertentu memiliki batasan-batasan ,integral tak tentu tidak memiliki batasan –batasan. Penguasaan mata pelajaran Matematika khususnya mengenai integral bagi peserta didik juga berfungsi membentuk kompetensi program keahlian. Dengan mengajarkan Matematika khususnya dalam hal integral diharapkan peserta didik dapat menerapkannya dalam kehidupan sehari-hari dan mengembangkan diri di bidang keahlian dan pendidikan pada tingkat yang lebih tinggi.



B. TUJUAN Adapun beberapa tujuan dari dibuatnya makalah Matetatika Bab Integral ini pada peserta didik adalah sebagi berikut : 1. Agar Peserta didik dapat memahami konsep intrgral tak trentu dan integral tentu. 2. Agar peserta didik dapat menghitung Integral tak tentu dan integral tentu dari fingsi aljabar dan fungsi trigonometri yang sederhana. 3. Agar peserta didik dapat menggunakan Integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dan volume benda putar. 4. Membantu peserta didik dalam memahami dan menguasai materi Integral. 5. Sebagai sumber informasi tentang integral bagi para pembacanya,



INTEGRAL | Matematika



4



BAB II MATERI POKOK Mind Map



Integral



Pengertian



Cara integral



parsial



subtitusi



aplikasi



volume



biasa luas



panjang busur



A. PENGERTIAN INTEGRAL



Integral dapat di artikan sebagai kebalikan dari proses diferensiasi.. Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah ‘



∫’.



Agar lebih dapat di mengerti perhatikan pernyataan berikut : F1(x) = x2 + 5x – 6 maka F1’(x) = 2x + 5 F2(x) = x2 + 5x + 12 maka F2’(x) = 2x + 5 F3(x) = x2 + 5x +



maka F3’(x) = 2x + 5



Pada fungsi-fungsi fungsi yang berbeda konstanta di peroleh bentuk turunan / derivatif yang sama. Operasi dari F(x) menjadi F’(x) merupakan merupakan operasi turunan. Sedangkan untuk operasi sebaliknya dari F’(x) menjadi F(x) disebuit dengan INTEGRAL (anti turunan) Turunan



Y



Turunan



Y’ Integral



Y” Integral



5



INTEGRAL | Matematika



B. INTEGRAL TAK TENTU Integral tak tentu atau antiderivatif adalah suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru. fungsi ini belum memiliki nilai pasti (berupa variabel), atau batas atas dan batas bawah sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tak tentu ini disebut integral tak tentu. Adapun beberapa aturan yang dapat digunakan dalam penyelesaian integral :



•  =  •  ()  ()  = ()  ()  •    =







   



•    =















Integral Tak Tentu dari Fungsi Trigonometri Untuk merancang aturan integral tak tentu dari fungsi-fungsi trigonometri, perlu diingat kembali turunan fungsi-fungsi trigonometri sebagaimana diperlihatkan dalam tabel berikut



No



F(x)



F’(x) = f(x)



1



Sin x



Cos x



2



Cos x



-Sin x



3



Tan x



Sec2x



4



Cot x



-Cosec2x



5



Sec x



Tan x.Secx



6



Cosec x



-Cot x.Cosec x



Dengan menggunakan aturan integral tak tentu yang mempunyai sifat bahwa: F’(x) = f(x) dan turunan fungsi-fungsi trigonometri dalam table di atas, maka integral tak tentu dari fungsi-fungsi trigonometri dapat dirumuskan sebagai berikut :












cos   = sin  sin   = " cos  sec $   = tan  csc $   = " cot +c tan  csc   = " csc 



6



INTEGRAL | Matematika



Sedangkan aturan integral tak tentu dari fungsi-fungsi trigonometri dalam variabel sudut ax+b dapat dirumuskan sebagai berikut :




cos(5 B)  =







6



sin(5 B)








sin(5 B)  = " cos(5 B) 6
sec $ (5 B)  =







6



tan(5 B) 




cosec $ (5 B)  = " cot(5 B) 6 




tan(5 C ) sec(5 B)  = sec(5 B) 6 




cot(5 B) csc(5 B)  = " csc(5 B) 6



Dalam penyelesaiannya integral tak tentu memiliki 3 cara penyelesaian :



1. Penyelesaian cara biasa Secara umum: jika ' ′ =



() (



atau dy= y’ dx maka ./ = / = /0 .1



Jadi dapat disimpulkan :



@    =



1  A 1



Dengan x ≠ -1



Untuk mencari integral dari fungsi trigonometri perlu diingat kembali tentang turunan fungsi trigonometri, maka : 



= sin 5 = " 6 cos 5 7 = cos 5 =



 sin 5 6



7



Contoh soal : ;



1. √2  =  :  = :







;  :



;



 :



=



1 1 5



5



3 = 53  =2 3



2. 2 (3 " 1) = (6 $ " 2)  = 2 ? "  $



7



INTEGRAL | Matematika



2. Penyelesaian cara subtitusi Integral subtitusi pada prinsipnya sama dengan integral pemisalan. Prinsip integral Subtitusi ada 2 yaitu salah satu bagian dimisalkan dengan u ,sisanya yang lain (termasuk dx) harus diubah dalam du. Bentuk umumnya: D E()F. 0()  Misal G = () dan G = H ()  didapat



@ D(G) G



Contoh: 1. 4 ( $ 9)K  = L Misal : G =  $ 9 dan G = 2  Di dapat : 2 ( $ 9)K 2  = 2(G)$ G =



 M G ?







= ? ( $ 6)M



2. sin?  cos   = L Misal : G = sin  dan G = cos   Di dapat : sin?  cos   = G? G =



 N G N



=



 (sinN ) N







3. Integral Parsial Integral parsial atau pengintegralan sebagian berdasar pada turunan suatu fungsi hasil kali. Disebut Integral Parsial, karena sebagian bentuk dilakukan operasi turunan sebagian operasi Integral.



Bentuk rumus :



@ G Q = G Q " @ Q G



Bagian u dikerjakan operasi turunan dan bagian dy dikerjakan operasi integral, dengan bentuk O .P lebih sederhana dari bentuk P .P. 8



INTEGRAL | Matematika



Contoh :



1. 3 cos 2  = L



u = 3x dan du = 3 dx







= GQ " Q G



dv = cos 2x dan v = $ sin 2x











= (3 ) R$ sin 2S " R$ sin 2S (3  ) = ?



= $  sin 2



? N



? $



 sin 2 "



? $



sin 2 



cos 2



2. ∫(3x + 1)cos 2x dx = ... Diferensial



Integral



3x + 1



Cos 2x 



3



$







" Cos 2x



0



∫(3x + 1)cos 2x dx =



sin 2x N



1



/2(3x +1)sin 2x - (-3/4 cos 2x) + C =



1



/2(3x +1)sin 2x + 3/4 cos 2x) + C



C. Integral Tertentu Pengertian atau konsep integral tentu pertama kali dikenalkan oleh Newton dan Leibniz. Namun pengertian secara lebih modern dikenalkan oleh Riemann. Integral tentu adalah proses pengintegralan yang digunakan pada aplikasi integral. Pada beberapa aplikasi integral dikenal istilah batas bawah dan batas atas sebuah integral, batas inilah yang kemudian menjadi ciri khas sebuah integral dinamakan sebagai integral tertentu. Sebab berbeda dengan integral tak tentu yang tidak memiliki batas, maka pada integral tertentu ada sebuah nilai yang harus disubtitusi yang menyebabkan tidak adanya lagi nilai C (konstanta ) pada setiap hasil integral dan menghasilkan nilai tertentu.



Secara umum integral tentu dari sebuah fungsi dengan batas tertentu dapat dirumuskan sebagai berikut : b



Jika f kontinu pada [a,b], maka



b



∫ f ( x)dx = [ F ( x)] a = F (b) − F (a) dengan



F antiturunan



a



sebarang dari f, yakni suatu fungsi sedemikian sehingga F’=f.



INTEGRAL | Matematika



9



Suatu fungsi f yang kontinu terdefinisi untuk Interval [a,b] kita bagi menjadi n bagian yang sama dengan lebar. Jika di dalam subinterval ke-I [xi-1, xi] dan ada, maka limit itu dapat dinyatakan dengan b



∫



n



f ( x)dx = lim ∑ f (ε i )∆x n→∞



a



i =1



yang didefinisikan sebagai integral tertentu f dari a sampai b



SIFAT : b



b



b



∫ ( f ( x) ± g ( x))dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx a



a



b



a



b



∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx a b



a



∫ f ( x)dx = 0 a b



b



∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx a



a



b



∫



c



b



f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx, a < c < b



a



a



c



Jika f(x) ≥ 0 dalam interval a ≤ x ≤ b, maka ≥ 0 Jika f(x) ≤ 0 dalam interval a ≤ x ≤ 0, maka ≤ 0



Contoh : ?















1. T 5 "   = E5 "  $ F ?T = 15 " 4 = 10 $ $ $



$



2.  (4 " 3)  = = E2x2 – 3x)2 = { 2 (2)2 – 3(2)} – { 2(1)2 – 3(1)}



10



= {8-6} – {2-3} = 2 1 = 3 INTEGRAL | Matematika



D. Integral Luas Daerah



Misalkan L menyatakan himpunan semua bilangan L yang dapat diperoleh sebagai jumlah luas daerah persegi-panjang kecil sebagaimana dalam Gambar 12.2. Maka ‘luas daerah’ di bawah kurva y = f (x) mestilah lebih besar daripada setiap anggota L. Tampaknya masuk akal untuk mendefinisikan ‘luas daerah’ di bawah kurva y = f (x) sebagai bilangan terkecil yang lebih besar daripada setiap anggota L, yakni sup L.



1. Menentukan Luas Daerah di Atas Sumbu-x



Misalkan R adalah daerah yang di batasi oleh kurva y=f(x) , garis x=a, dan raris x=b , dengan F(x) ≥ 0 pada [a,b] maka luas daerah R adalah sebagai berikut.



11



INTEGRAL | Matematika



Contoh : 1. Hitunglah luas yang dibatasi oleh kurva y = x , sumbu X , garis x = 1 dan garis x = 2! Jawab :



jadi, luasny adalah



satuan luas



2. Tentukanlah luas daerah yang dibatasi kurva y=x+4, sumbu x, dan sumbu y Jawab:



= -{8-16} = 8 SL



2. Menentukan Luas Daerah di Bawah Sumbu-x



Misalnya S adalah daerah yg dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu x, garis x = a , dan garis x = b, dengan F(x) ≤ 0 pada [a,b] maka luas daerah S seperti yg telah di bahas pada subbab sebelumnya adalah sebagai berikut



12



INTEGRAL | Matematika



Contoh : 1. Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh garis



, sumbu x, garis x=4, dan



sumbu y. Jawab:



Daerah diatas adalah daerah S, luas daerah S adalah



(2-8)



2. Hitunglah luas daerah di bawah sumbu X yang dibatasi oleh kurva y=4-2x, sumbu X dan garis x=4. Jawab:



13



INTEGRAL | Matematika



3. Menentukan Luas Daerah Yang Di Batasi Kurva Y=F(X) Dan Sumbu X



Misalkan T adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu x, garis x=a, dan garis x=c, dengan f(x)>= 0 pada [a,b] dan f(x)