Matematika Turunan Dan Integral Fungsi Trigon [PDF]

Citation preview

MATEMATIKA TERAPAN “TURUNAN DAN INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI”



OLEH : KELOMPOK 4 ANGGOTA KELOMPOK :



1. ADIATHUL IQRA (18080003) 2. ANDRE FEBRIANDI (18080005) 3. HARRY MARTA IRSAL (18080018) 4. MAYA GUSTINA (18080024) 5. MUFTI BIMO FADOLLI (1308119) 6. PUJI MULIA SETIAWAN (18080030) 7. RIFA ESSA SYAFIRA (18080032) 8. RINADA WD SYAMRA (18080033)



JURUSAN TEKNIK PERTAMBANGAN FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NEGERI PADANG



1



KATA PENGANTAR



Puji syukur kehadirat Allah SWT yang senantiasa memberikan rahmat dan karuniaNya kepada penulis, sehingga tulisan ini dapat terselesaikan tepat pada waktunya. Dalam aspek kehidupan, kita senantiasa dipertemukan dengan sebuah permasalahan seputar angka yang mencakup luas kehidupan. Mulai dari bidang teknologi, ekonomi hingga sosial dan budaya, semuanya terhubung dalam salah satu bagian dari mata pelajaran matematika. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis menyajikan sebuah Makalah yang membahas tentang “Turunan dan Integral Fungsi Trigonometri”. Terima kasih penulis ucapkan kepada orang tua yang senantiasa mendoa’kan dan menyemangati penulis untuk menjadi generasi yang terbaik, kepada dosen yang memberikan bimbingan dan arahan dengan baik, serta kepada teman-teman sekalian. Akhir kata penulis mengaharapkan agar tulisan ini dapat menambah wawasan pembaca dan menjadi referensi untuk pembuatan tulisan yang lebih baik selanjutnya.



Padang, 25 November 2018



Penulis



2



DAFTAR ISI



KATA PENGANTAR….…………………………………………………………….2 DAFTAR ISI….……….….…………………………………………………………..3 BAB I PENDAHULUAN…………………………………………………………….4 I.1 Latar Belakang.…………………………………………………………..4 I.2 Maksud dan Tujuan……………………………………………………..4 BAB II ISI…………..………………………………………………………………..6 II.1 Turunan Fungsi Trigonometri...……………………………………….6 II.2 Integral Fungsi Trigonometri…………………………………………13 II.3 Quiz..….………………………………………………………………...20 BAB III PENUTUP……..…………………………………………………………..21 III.1 Kesimpulan...…………………………………………………………..21 DAFTAR PUSTAKA………………………………………………………………..22



3



BAB I PENDAHULUAN



I.1 Latar Belakang Turunan adalah salah satu cabang ilmu matematika yang digunakan untuk menyatakanhubungan kompleks antara satu variabel tak bebas dengan satu atau beberapa variabel bebaslainnya. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yangbersamaan oleh Newton dan Leibniz dari tahun 1665 sampai dengan tahun 1675 sebagai suatualat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika. Sir Isaac Newton(1642 - 1727) , ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 -1716), ahli matematika bangsa Jerman dikenal sebagai ilmuwan yang menemukan kembalikalkulus. Kalkulus memberikan bantuan tak ternilai pada perkembangan beberapa cabang ilmupengetahuan lain. Dewasa ini kalkulus digunakan sebagai suatu alat bantu yang utama dalammenyelesaikan berbagai permasalahan ilmu pengetahuan dan teknologi Integral adalah kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah “ ∫ “. I.2 Maksud dan Tujuan Adapun maksud dari pembuatan makalah ini adalah untuk atau sebagai syarat pemenuhan nilai mata kuliah matematika terapan. Tujuan dari pembuatan makalah ini adalah : 1. Menjelaskan pengertian turunan dan integral fungsi trigonometri 4



2. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan turunan da integral fungsi trigonometri. 3. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan turunan dan integral fungsi trigonometri dan penafsirannya.



5



BAB II ISI



II.1 Turunan Fungsi Trigonometri 1. Pengertian Turunan Fungsi Trigonometri Turunan Fungsi Trigonometri merupakan turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu, menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input. Turunan Fungsi Trigonometri juga merupakan persamaan turunan yang melibatkan fungsi-fungsi trigonometri, seperti sin, cos, tan, cot, sec, dan cosec. Pada dasarnya turunan merupakan limit suatu fungsi. Jadi, untuk menentukan turunan fungsi trigonometri, dapat dicari dengan menggunakan konsep limit fungsi sebagai berikut : 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ →0 ℎ



𝑓 ′ (𝑥) = lim



Dibawah ini merupakan rumus-rumus dasar turunan trigonometri, yaitu : 1) y = (sin x) maka y’ = (cos x) 2) y = (cos x) maka y’ = (-sin x) 3) y = (tan x) maka y’ = (𝑠𝑒𝑐 2 x) 4) y = (cot x) maka y’ = (−𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2 𝑥) 5) y = (sec x) maka y’ = (sec x tan x) 6) y = (cosec x) maka y’ = (- cot x cosec x) Pembuktian salah satu rumus-rumus dasar turunan trigonometri : 6



1) Menemukan rumus turunan fungsi sinus (f(x)= sin x, f’(x) = ?) f(x+h) = sin(x+h) = (sin x cos h)+(cos x sin h) f(x)



= sin x



f(x+h)-f(x) = (sin x cos h)+(cos x sin h)-sin x f(x+h)-f(x) = (sin x cos h)-sin x+(cos x sin h) f(x+h)-f(x) = -sin x(1-cos h)+(cos x sin h) 𝑓 ′ (𝑥) = lim



ℎ →0



= lim



𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ



− sin 𝑥(1−cos ℎ)+(cos 𝑥 sin ℎ) ℎ



ℎ →0



= lim [ − sin 𝑥(



1−cos ℎ



ℎ →0



= -sin x lim ( ℎ →0



ℎ



) + cos 𝑥(



1−cos ℎ ℎ



sin ℎ ℎ



)]



) + cos 𝑥 lim ( ℎ →0



sin ℎ ℎ



)



= -sin x(1-1)+cos x(1) = -sin x(0)+cos x = 0 + cos x = cos x (TERBUKTI)



1) Turunan Fungsi Sinus



7



- Jika y = sin x, maka y’ = cos x - Jika y = A sin f(x), maka y’ = A f’(x) cos f(x) - Jika y = A 𝑠𝑖𝑛𝑛 𝑓(𝑥), maka y’ = A n f’(x) cos f(x) 𝑠𝑖𝑛𝑛−1 f(x) Contoh : a. Tentukan turunan pertama dari f(x) = -4 sin x Penyelesaian : f(x) = - 4 sin x



f’(x) = -4 (cos x) = -4 cos x



𝑑𝑦



b. Tentukan 𝑑𝑥 dari fungsi y = 3 𝑠𝑖𝑛5 (𝑥 3 − 5𝑥 2 + 3) Penyelesaian : y = 3 𝑠𝑖𝑛5 (𝑥 3 − 5𝑥 2 + 3)



y’ = 3.5(3𝑥 2 − 10𝑥)cos(𝑥 3 − 5𝑥 2 + 3) 𝑠𝑖𝑛4 (𝑥 3 − 5𝑥 2 + 3) = (45𝑥 2 − 150x)cos(𝑥 3 − 5𝑥 2 + 3) 𝑠𝑖𝑛4 (𝑥 3 − 5𝑥 2 + 3)



2) Turunan Fungsi Cosinus



8



- Jika y = cos x, maka y’ = -sin x - Jika y = A cos f(x), maka y’ = -A f’(x) sin f(x) - Jika y = A 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑓(𝑥), maka y’ = -A n f’(x) sin f(x) 𝑐𝑜𝑠 𝑛−1 f(x) Contoh : a. Tentukan turunan pertama dari f(x) = 15 cos x Penyelesaian : f(x) = 15 cos x



f’(x) = 15 (-sin) x = - 15 sin x



𝑑𝑦



b. Tentukan 𝑑𝑥 dari fungsi y = 7cos(2𝑥 5 − 6𝑥 + 3) Penyelesaian : y = 7cos(2𝑥 5 − 6𝑥 + 3)



y’ = -7(10𝑥 4 − 6)sin(2𝑥 5 − 6𝑥 + 3) = -(70𝑥 4 − 42)sin(2𝑥 5 − 6𝑥 + 3)



3) Turunan Fungsi Tangen



9



- Jika y = tan x, maka y’ = 𝑠𝑒𝑐 2 x - Jika y = A tan f(x), maka y’ = A f’(x) 𝑠𝑒𝑐 2 f(x) - Jika y = A 𝑡𝑎𝑛𝑛 𝑓(𝑥), maka y’ = A n f’(x) 𝑠𝑒𝑐 2 f(x) 𝑡𝑎𝑛𝑛−1 f(x) Contoh : 𝑑𝑦



a. Tentukan 𝑑𝑥 dari y = 3 tan √𝑥 2 − 4𝑥 Penyelesaian : 1



1



1



Jika U = √𝑥 2 − 4𝑥 , maka U’ = 2 (𝑥 2 − 4𝑥)−2(2x-4) = √𝑥 2



1



−4𝑥 2



(2𝑥 − 4) =



𝑥−2 √𝑥 2 −4𝑥



Sehingga diperoleh turunan fungsi y adalah : 𝑥−2



y’ = 3(√𝑥 2



−4𝑥



3𝑥−6



) 𝑠𝑒𝑐 2 √𝑥 2 − 4𝑥 = √𝑥 2



−4𝑥



𝑠𝑒𝑐 2 √𝑥 2 − 4𝑥



10



4) Turunan Fungsi Cotangen (Cot) - Jika y = cot x, maka y’ = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 - Jika y = A cot f(x), maka y’ = -A f’(x) 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2 f(x) - Jika y = A 𝑐𝑜𝑡 𝑛 𝑓(𝑥), maka y’ = -A n f’(x) 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2 f(x) 𝑐𝑜𝑡 𝑛−1 f(x) Contoh : 𝑑𝑦



a. Tentukan 𝑑𝑥 dari fungsi y = 3 cot (9𝑥 4 − 3𝑥 2 + 5) Penyelesaian : y = 3 cot (9𝑥 4 − 3𝑥 2 + 5)



y’ = -3(36𝑥 3 − 6𝑥) 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2 (9𝑥 4 − 3𝑥 2 + 5) = (-108𝑥 3 + 18𝑥) 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2 (9𝑥 4 − 3𝑥 2 + 5)



5) Turunan Fungsi Secan (Sec) - Jika y = sec x, maka y’ = 𝑡an x sec x - Jika y = A sec f(x), maka y’ = A f’(x) tan f(x) sec f(x) - Jika y = A 𝑠𝑒𝑐 𝑛 𝑓(𝑥), maka y’ = A n f’(x) tan f(x) 𝑠𝑒𝑐 𝑛 f(x) Contoh : 𝑑𝑦



a. Tentukan 𝑑𝑥 dari fungsi y = 2 sec (𝑥 4 − 12𝑥 + 7) Penyelesaian : y = 2 sec (𝑥 4 − 12𝑥 + 7)



y’ = 2 (4𝑥 3 − 12)tan(𝑥 4 − 12𝑥 + 7)sec(𝑥 4 − 12𝑥 + 7)



= (8𝑥 3 − 24)tan(𝑥 4 − 12𝑥 + 7)sec(𝑥 4 − 12𝑥 + 7)



11



6) Turunan Fungsi Cosecan (Cosec) - Jika y = cosec x, maka y’ = -cot x cosec x - Jika y = A cosec f(x), maka y’ = -A f’(x) cot f(x) 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2 f(x) - Jika y = A 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑛 𝑓(𝑥), maka y’ = -A n f’(x) cot f(x) 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑛 f(x) Contoh : 𝑑𝑦



a. Tentukan 𝑑𝑥 dari fungsi y = cosec 2x Penyelesaian : 1



y = cosec 2x dapat diubah menjadi bentuk y = sin 2𝑥 Misal : u = 1, maka u’ = 0 v = sin 2x, maka v’ = 2cos2x, diperoleh : y’ =



𝑢′ 𝑣+𝑢𝑣′ 𝑣2



=



y = cosec 2x



(0)(sin 2𝑥)+(1)(2𝑐𝑜𝑠2𝑥) 𝑠𝑖𝑛2 2𝑥



𝑐𝑜𝑠2𝑥



1



= -2sin 2𝑥 sin 2𝑥 = -2cot2xcosec2x



y’ = 2 (-cot 2x cosec 2x) = -2cot2xcosec2x



12



II.2 Integral Fungsi Trigonometri 1. Pengertian Integral Fungsi Trigonometri Integral Fungsi Trigonometri merupakan integral yang memuat fungsi trigonometri. Dimana integral merupakan anti turunan atau invers dari turunan fungsi trigonometri. Integral Fungsi Trigonometri terbagi atas 2 bagian, yaitu : 1. Integral Fungsi Trigonometri Tak Tentu Merupakan integral yang tidak memiliki batas untuk variabel integrasinya. 2. Integral Fungsi Trigonometri Tertentu Merupakan integral yang memiliki batas untuk variabel integrasinya. Rumus-rumus penunjang untuk mengerjakan integral trigonometri : a. Sin (a+b)



=sin a cos b + cos a sin b



b. Sin (a-b)



=sin a cos b – cos a sin b



c. Cos (a+b)=cos a cos b – sin a sin b d. Cos (a-b)



=cos a cos b + sin a sin b



e. Tan (a+b) = f. Tan (a-b) = g. Sin 2a = 2 sin a cos a h.



Cos 2a = cos2 a – sin2 a



i. Tan 2a = j. Sin 2a = 1/2 – 1/2 cos2a k. cos 2a = 1/2 + ½ cos 2a



13



l. Sin2 x + cos2 x = 1 m. 1 + tan2 x = sec2 x n. Sin x cos x = ½ sin 2x o. Sin2x =1/2 – ½ cos 2x p. Cos2 x = 1/2 + ½ cos 2x q. Sin A cos B = ½ (sin(A+B) + Sin (A-B)) r. Cos A sin B = ½ (sin (A+B)- Sin (A-B)) s. Cos A cos B = ½ (Cos (A+B) + Cos (A-B)) t. Sin A sin B = -1/2 (Cos (A+B) – Cos (A-B))



14



2. Rumus Integral Fungsi Trigonometri Secara umum, jika suatu fungsi f(x) dalam bentuk trigonometri, maka integral tak tentu dari fungsi f(x) dapat diselesaikan dengan rumus dasar integral tak tentu, yaitu : ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) + 𝑐 ∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 =



1 𝑥 𝑛+1 + 𝑐 ; 𝑛 ≠ −1 𝑛+1



Dibawah ini merupakan rumus-rumus dasar Integral Fungsi Trigonometri : 1) ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝑐 2) ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝑐 3) ∫ tan 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐼𝑛(sec 𝑥) + 𝑐 = −𝐼𝑛(cos 𝑥) + 𝑐 4) ∫ cot 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐼𝑛(sin 𝑥) + 𝑐 = −𝐼𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥) + 𝑐 5) ∫ sec 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐼𝑛(sec 𝑥 + tan 𝑥) + 𝑐 6) ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑑𝑥 = 𝐼𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 − cot 𝑥) + 𝑐



15



1) Integral Fungsi Sinus 1



∫ sin 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑎 cos 𝑎𝑥 + 𝑐 1



∫ sin(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 = − 𝑎 cos(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝑐 1



a ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑎(− 𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑛−1 𝑢 cos 𝑢 +



𝑛−1 𝑛



∫ 𝑠𝑖𝑛𝑛−2 𝑢 𝑑𝑢) ; n ≥ 2



𝐴



∫ 𝐴 sin(𝐵𝑥 + 𝑘) 𝑑𝑥 = − 𝐵 cos(𝐵𝑥 + 𝑘) + 𝑐 Contoh : a. ∫ sin(2𝑥 − 3) 𝑑𝑥 = ⋯ Penyelesaian : 1



∫ sin(2𝑥 − 3) 𝑑𝑥 = − 2 cos(2𝑥 − 3) + 𝑐 2) Integral Fungsi Cosinus ∫ cos 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =



1 𝑎



sin 𝑎𝑥 + 𝑐 1



∫ cos(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 = 𝑎 sin(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝑐 1



a ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑎(𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑛−1 𝑢 sin 𝑢 + ∫ 𝐴 cos(𝐵𝑥 + 𝑘) 𝑑𝑥 =



𝐴 𝐵



𝑛−1 𝑛



∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑛−2 𝑢 𝑑𝑢) ; n ≥ 2



sin(𝐵𝑥 + 𝑘) + 𝑐



Contoh : a.



∫ 3 cos(6𝑥 + 2) 𝑑𝑥 = ⋯



16



Penyelesaian : 3



∫ 3 cos(6𝑥 + 2) 𝑑𝑥 =



6



sin(6𝑥 + 2) + 𝑐



1



= 2 sin(6𝑥 + 2) + 𝑐 3) Integral Fungsi Tangen ∫ 𝑎 tan 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑎 𝐼𝑛(sec 𝑢) + 𝑐 = -a In(cos u) + c ∫ 𝑎 tan(𝐴𝑥 + 𝐵)𝑑𝑥 =



𝑎 𝐴



In[𝑠𝑒𝑐(𝐴𝑥 + 𝐵)] + 𝑐



𝑎



= -𝐴 𝐼𝑛[cos(Ax + B)] + c 1



∫ tan(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 = − 𝑎 I𝑛[𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥 + 𝑏)] + 𝑐 1



= 𝑎 In[𝑠𝑒𝑐(𝑎𝑥 + 𝑏)] + 𝑐 Contoh : a. ∫ 3 𝑡𝑎𝑛(5𝑥 + 7) 𝑑𝑥 = ⋯ Penyelesaian : ∫ 3 𝑡𝑎𝑛(5𝑥 + 7) 𝑑𝑥 =



3 5



In[𝑠𝑒𝑐(5𝑥 + 7)] + 𝑐 3



= − 5 In[ 𝑐𝑜𝑠(5𝑥 + 7)] + 𝑐



4) Integral Fungsi Cotangen (Cot) 17



∫ 𝑎 𝑐𝑜t 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑎 𝐼𝑛(sin 𝑢) + 𝑐 = -a In(cosec u) + c ∫ 𝑎 𝑐𝑜tan(𝐴𝑥 + 𝐵)𝑑𝑥 =



𝑎 𝐴



In[𝑠𝑖𝑛(𝐴𝑥 + 𝐵)] + 𝑐



𝑎



= -𝐴 𝐼𝑛[cosec(Ax + B)] + c 1



∫ tan(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 = − 𝑎 I𝑛[𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 (𝑎𝑥 + 𝑏)] + 𝑐 1



= 𝑎 In[𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑥 + 𝑏)] + 𝑐 Contoh : a. ∫ 3 𝑡𝑎𝑛(5𝑥 + 7) 𝑑𝑥 = ⋯ Penyelesaian : ∫ 3 𝑡𝑎𝑛(5𝑥 + 7) 𝑑𝑥 =



3 5



In[𝑠𝑒𝑐(5𝑥 + 7)] + 𝑐 3



= − 5 In[ 𝑐𝑜𝑠(5𝑥 + 7)] + 𝑐 5) Integral Fungsi Secan (Sec) ∫ 𝑎 𝑠𝑒𝑐 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑎 𝐼𝑛(sec 𝑢 + tan 𝑢) + 𝑐 ∫ 𝑎 𝑠𝑒𝑐(𝐴𝑥 + 𝐵)𝑑𝑥 =



𝑎 𝐴



In[𝑠𝑒𝑐(𝐴𝑥 + 𝐵) + tan(𝐴𝑥 + 𝐵)] + 𝑐



1



∫ sec(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 = 𝑎 In[𝑠𝑒𝑐(𝑎𝑥 + 𝑏) + tan(𝑎𝑥 + 𝑏)] + 𝑐 ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =



1 𝑎



tan 𝑎𝑥 + 𝑐



∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝑐 ∫ 𝑎 𝑠𝑒𝑐 2 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑎 tan 𝑢 + 𝑐



18



𝑎



∫ 𝑎 𝑠𝑒𝑐 2 (𝐴𝑥 + 𝐵) 𝑑𝑢 =



𝐴



tan(𝐴𝑥 + 𝐵) + 𝑐



Contoh : a. ∫ 2 𝑠𝑒𝑐 3𝑥 𝑑𝑥 = ⋯ Penyelesaian : 2



∫ 2 𝑠𝑒𝑐 3𝑥 𝑑𝑥 = 3 𝐼𝑛(sec 3𝑥 + tan 3𝑥) + 𝑐 6) Integral Fungsi Cosecan (Cosec) ∫ 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑎 𝐼𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑢 − cot 𝑢) + 𝑐 ∫ 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝐴𝑥 + 𝐵)𝑑𝑥 =



𝑎 𝐴



In[𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝐴𝑥 + 𝐵) − cot(𝐴𝑥 + 𝐵)] + 𝑐



1



∫ 𝑐𝑜sec(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 = 𝑎 In[𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝑎𝑥 + 𝑏) − cot(𝑎𝑥 + 𝑏)] + 𝑐 1



∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑎 cot 𝑎𝑥 + 𝑐 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜t 𝑥 + 𝑐 ∫ 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2 𝑢 𝑑𝑢 = −𝑎 cot 𝑢 + 𝑐 𝑎



∫ 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2 (𝐴𝑥 + 𝐵) 𝑑𝑢 = − 𝐴 cot(𝐴𝑥 + 𝐵) + 𝑐 Contoh : a.



1



∫ 2 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2 (3 𝑥 − 6) 𝑑𝑥 = ⋯



Penyelesaian :



19



1



1



1



∫ 2 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2 (3 𝑥 − 6) 𝑑𝑥 = -2.3 cot(3 𝑥 − 6) + c = −6 cot (3 𝑥 − 6) + c II.3 Quiz 1. Tentukan turunan pertama dari fungsi y = 2 sin (𝑥 2 − 7𝑥 + 2)! 3



2. Tentukan turunan pertama dari fungsi y = -2 cos (𝑥 3 − 𝑥) ! 3. Tentukan turunan pertama dari y = 𝑠𝑒𝑐 3 𝑥 dengan menjabarkannya terlebih dahulu! 4. ∫ 3𝑥 cos(4 𝑥 2 + 5) = ⋯ 5. ∫ 2 sin(4𝑥 + 3) = ⋯



BAB III 20



PENUTUP



III.1 Kesimpulan Turunan Fungsi Trigonometri merupakan turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu, menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input. Turunan Fungsi Trigonometri juga merupakan persamaan turunan yang melibatkan fungsi-fungsi trigonometri, seperti sin, cos, tan, cot, sec, dan cosec. Integral Fungsi Trigonometri merupakan integral yang memuat fungsi trigonometri. Dimana integral merupakan anti turunan atau invers dari turunan fungsi trigonometri. Integral Fungsi Trigonometri terbagi atas 2 bagian, yaitu : 1. Integral Fungsi Trigonometri Tak Tentu Merupakan integral yang tidak memiliki batas untuk variabel integrasinya. 2. Integral Fungsi Trigonometri Tertentu Merupakan integral yang memiliki batas untuk variabel integrasinya.



DAFTAR PUSTAKA



21



Daud, Pinem Mhd. 2017. Kalkulus Untuk Perguruan Tinggi. Bandung: Rekayasa Sains. Ratnadewi, dkk. 2016. Matematika Teknik. Bandung: Rekayasa Sains. Effendi, Supomo, dkk. 1973. Matematika. Bandung: ITB. Rawuh, ITB, dkk. 1987. Calculus with Analytic Geometry, 5th Edition. Erlangga.



22