Matematika Optimisasi - Optimasi Fungsi Multivarabel [PDF]

Citation preview

2/8/2021



Pendahuluan



Matematika Optimisasi Optimasi Fungsi Multivariabel



Fungsi obyektif dengan multivariabel dalam mencari nilai maksimal dan minimal dapat diselesaikan dengan persamaan diferensial parsial Contoh fungsi obyektif dengan multi variabel, yaitu variabel 𝑥 dan 𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑦)



Maria Gratiana Dian J., M.Sc.



Fungsi Obyektif PDP PDP pertama dapat ditulis: 𝜕𝑓 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑓 = 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑦 𝜕𝑦



PDP kedua dapat ditulis: 𝜕2 𝑓 𝜕𝑥 2



=



𝜕2 𝑓 𝜕𝑦 2



=



𝜕𝑓𝑥 (𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 𝜕𝑓𝑦 (𝑥,𝑦)



𝜕2 𝑓 𝜕𝑥𝜕𝑦



=



𝜕2 𝑓 𝜕𝑦𝜕𝑥



=



𝜕𝑦



= 𝑓𝑥𝑥 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥𝑥



(1)



= 𝑓𝑦𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑦𝑦



(2)



𝜕𝑓𝑦 (𝑥,𝑦) 𝜕𝑥



= 𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥𝑦



(3)



𝜕𝑓𝑥 (𝑥,𝑦) 𝜕𝑦



= 𝑓𝑦𝑥 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑦𝑥



(4)



1



2/8/2021



OPTIMASI FUNGSI MULTIVARIABEL TANPA KENDALA



PDP kedua dari: 𝜕2 𝑓 𝜕𝑥𝜕𝑦



=



𝜕2 𝑓 𝜕𝑦𝜕𝑥



=



𝜕𝑓𝑦 (𝑥,𝑦) 𝜕𝑥



= 𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥𝑦



𝜕𝑓𝑥 (𝑥,𝑦) 𝜕𝑦



= 𝑓𝑦𝑥 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑦𝑥



• Proses mencari nilai optimasi suatu fungsi dengan lebih dari satu variabel menjadi lebih kompleks dibandingkan optimasi dengan hanya satu variabel bebas • Masalah optimasi tanpa kendala berarti di dalam mencapai optimasi dari suatu fungsi tidak ada kendala (constraint) yang dihadapi



Memiliki nilai yang sama, sehingga dapat ditulis menjadi: 𝜕2𝑓 𝜕2𝑓 = 𝑓𝑥𝑦 = 𝑓𝑦𝑥 = 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦𝜕𝑥



Cara Penentuan Nilai Optimal Jika suatu fungsi dengan lebih dari satu variabel bebas dinyatakan dengan persamaan: y = f(x1, x2, x3,…,xn) Optimasi diperoleh dengan: 1. Necessary condition (syarat perlu) Dilakukan dengan menentukan turunan pertama dari fungsi untuk 𝛻𝑦 setiap variabel bebas harus sama dengan 0, 𝛻𝑦 = 𝑓𝑥 = 0 = 𝑓𝑥 = 0 𝛻𝑥3 𝛻𝑥1 . sehingga didapatkan nilai (a,b) 1



𝛻𝑦 = 𝑓𝑥2 = 0 𝛻𝑥2



3



. 𝛻𝑦 = 𝑓𝑥𝑛 = 0 𝛻𝑥𝑛



2. Sufficient condition (syarat cukup) Pengujian maksimum atau minimum dari suatu fungsi dapat dilakukan dengan menggunakan matriks Hessian berikut ini : 𝜕2𝑓 𝜕𝑥12 𝜕2𝑓 𝜕𝑥2𝑥1



𝜕2𝑓 𝜕𝑥1𝑥3 x1 x1 x2



xn



x2



x3



xn



fx2x3



Turunan ke-2 dimasukkan ke dalam matriks 𝜕2𝑓 𝜕𝑥𝑛2



2



2/8/2021



M1 = 𝑓𝑥11 𝑓𝑥11 M2 = 𝑓𝑥21 𝑓𝑥11 M3 = 𝑓𝑥21 𝑓𝑥31



𝑓𝑥12 𝑓𝑥22 𝑓𝑥12 𝑓𝑥13 𝑓𝑥22 𝑓𝑥23 𝑓𝑥32 𝑓𝑥33



det[M1]



Keputusan maksimum atau minimum suatu fungsi dilakukan dengan



det[M2]  rumus det 2x2 = ad-bc



Jika: a. Semua nilai diagonal + b. Semua nilai det[Mn] +



det[M3] rumus det 3x3



Jika: a. semua nilai diagonal -



Kriteria sbb:



b. nilai det[Mi] ganjil -



Fungsi minimum



Fungsi maksimum



nilai det[Mi] genap +



𝑓𝑥11 𝑓𝑥21



𝑓𝑥12 𝑓𝑥22



𝑓𝑥11 B = 𝑓𝑥21 𝑓𝑥31



𝑓𝑥12 𝑓𝑥22 𝑓𝑥32



A=



diagonal 𝑓𝑥13 𝑓𝑥23 𝑓𝑥33



det[Mi] ganjil, misalnya det[M3] det[Mi] genap, misalnya det[M2] *catatan: 𝑓𝑥11 = 𝑓𝑥1𝑥1



Contoh: Tentukan nilai optimal dari fungsi obyektif: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 6𝑦 Penyelesaian: 1. Necessary condition • Menentukan PDP pertama, yaitu: 𝜕𝑓 = 𝑓𝑥 = 2𝑥 + 2 𝜕𝑥 𝜕𝑓 = 𝑓𝑦 = 2𝑦 − 6 𝜕𝑥



• Menghitung nilai dari 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = 0  mencari nilai (a,b) 𝑓𝑥 = 2𝑥 + 2 = 0



𝑥 = −1 𝑓𝑦 = 2𝑦 − 6 = 0 𝑦=3 sehingga nilai 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = 0 terdapat pada nilai (-1, 3)



3



2/8/2021



2. Sufficient condition • Menentukan PDP kedua, yaitu 𝑓𝑥𝑥 , 𝑓𝑦𝑦 , dan 𝑓𝑥𝑦 𝜕𝑓 𝜕𝑥



𝜕𝑓 𝜕𝑦



𝜕2𝑓 𝜕𝑥 2 𝜕2𝑓 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕2𝑓 𝜕𝑦 2 𝜕2𝑓 𝜕𝑦𝜕𝑥



• Matriks Hessian



𝜕𝑓 𝜕𝑥



𝜕𝑓 𝜕𝑥



= 2𝑥 + 2 = 2𝑦 − 6



𝑓𝑥𝑥 = 2 𝑓𝑥𝑦 = 0 𝑓𝑦𝑥 = 0 𝑓𝑦𝑦 = 2



2 0



0 2



Semua diagonal + det[M1]= 2 det[M2] = (2x2)-(0x0)= 4 Semua nilai diagonal > 0 Semua determinan > 0, maka 𝑓(𝑥, 𝑦) mempunyai nilai minimum pada (-1, 3)



H=



Tugas: Nilai minimum dari fungsi obyektif 𝑓(𝑥, 𝑦) pada (-1, 3) adalah 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 6𝑦 𝑓 −1, 3 = (−1)2 + (3)2 + 2(−1) − 6(3) 𝑓 −1, 3 = −10



Tentukan nilai optimal dari fungsi obyektif: 1. f(x, y) = x 2 + 𝑦 2 − 4x + 8y 2. f x, y = 3x 2 + 2xy + 5x + 2y 2 + 7



Jadi, nilai optimal (minimum) dari fungsi obyektif 𝑓(𝑥, 𝑦) adalah 10



4