![Matematika Teknik Analisis Vektor [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/matematika-teknik-analisis-vektor.jpg)
5 0 870 KB
KATA PENGANTAR Materi Kuliah Analisis Vektor yang meliputi Vektor Konstan, Fungsi Vektor, Diferensial Vektor dan Integral Vektor mempunyai peranan yang sangat penting bagi para fisikawan dan rekayasawan untuk membantu menyelesaikan permasalahannya. Oleh sebab itu mahasiswa teknik perlu mendapat pengetahuan tentang materi ini, sebagai salah satu bagian dasar untuk melatih kemampuan rekayasa mereka. Buku ajar yang berjudul Analisis Vektor ini disusun untuk membantu mahasiswa dalam memahami pokok bahasan di atas, sehingga proses belajar mengajar mata kuliah yang dimaksud bisa berjalan dengan lebih baik. Penyajian dan pembahasan materi dalam Buku Ajar ini diharapkan dapat dengan mudah diikuti dan dipahami oleh semua mahasiswa. Untuk itu, dalam setiap pokok bahasan, penyusun berusaha memberikan beberapa contoh soal yang dapat diselesaikan mahasiswa sebagai latihan. Di bagian akhir dari diktat ini diberikan daftar pustaka untuk membantu bagi yang ingin mempelajari lebih lanjut, agar mendapatkan pemahaman yang lebih mendalam. Buku Ajar ini tentu saja memiliki banyak kekurangan, untuk itu penyusun sangat mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari pemakai
Buku
Ajar
ini
untuk
lebih
menyempurnakan
penyajian
selanjutnya. Akhirnya, penyusun berharap agar Buku Ajar ini dapat benarbenar bermanfaat.
Malang, Agustus 2003
Penyusun
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR DAFTAR ISI
i
ii
BAB I : VEKTOR KONSTAN
1
1.1
Pengertian Tentang Vektor dan Notasi Vektor
1.2
Aljabar Vektor
1.3
Vektor Posisi Dalam Bidang dan Ruang
1.4
Perkalian Antar Vektor
1.5
Penggunaan Vektor Dalam Geometri
2
BAB II : FUNGSI VEKTOR
4
10 20
28
2.1
Fungsi Vektor
28
2.2
Kurva Vektor
29
BAB III : DIFERENSIAL VEKTOR
34
3.1
Derivatif atau Turunan dari Fungsi Vektor
3.2
Interpretasi Dari Derivatif Vektor
3.3
Gradien, Difergensi dan Curl
3.4
Penggunaan Gradien, Difergensi dan Curl
BAB IV : INTEGRAL VEKTOR 4.1
Integral Garis
4.2
Teorema Green
4.3
Medan Gaya Konservatif
4.4
Integral Luasan
4.5
Teorema Divergensi Gauss
4.6
Teorema Stokes
DAFTAR PUSTAKA
1
35 38
56
56 69 76
84 106
111
34
100
41
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw BAB I
VEKTOR KONSTAN POKOK BAHASAN : ! Pengertian tentang vektor dan notasi vektor ! Aljabar vektor ! Vektor posisi dalam bidang dan ruang ! Perkalian antar vektor ! Penggunaan vektor dalam geometri 1.1. Pengertian Tentang Vektor dan Notasi Vektor Beberapa besaran (quantities) dalam fisika mempunyai besar (magnitude) dan arah (direction), sebagai contoh misalnya lintasan dan kecepatan sebuah obyek yang bergerak, gaya yang bekerja pada suatu benda, medan listrik maupun medan magnet suatu titik dan lain sebagainya. Besaran yang mempunyai besar dan arah disebut dengan vektor (vector). Sementara besaran yang hanya mempunyai besar (magnitude) saja seperti massa, waktu maupun temperatur disebut dengan skalar (scalar). Notasi vektor dan teknik-teknik dengan menggunakan analisis vektor sangat berguna untuk menjelaskan hukum-hukum fisika dan aplikasinya baik dalam bidang (dimensi dua = R2) maupun ruang (dimensi tiga = R3).Dalam penyajiannya sebuah vektor biasa digambarkan sebagai segmen atau ruas garis yang berarah sebagai berikut :
B v
v
=
AB = AB = AB
A
=
titik pangkal (initial point)
B
=
titik ujung (terminal point)
A
Panjang vektor v =
v
= AB
:
menyatakan besarnya vektor atau panjangnya vektor v
dan tanda panah dalam AB menyatakan arah vektor.
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
1
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw Ada 3 jenis vektor : a. Vektor Bebas (free vector) : vektor yang boleh digeser sejajar dirinya dengan panjang dan arah tetap. b. Vektor meluncur (sliding vector) : vektor yang boleh digeser sepanjang garis kerjanya, misalnya gaya yang bekerja sepanjang garis lurus. c. Vektor terikat (binding vector) : vektor yang terikat pada sistem koordinat yang menunjukkan posisi tertentu. Kecuali bila digunakan untuk menyatakan letak atau posisi, pada umumnya orang bekerja dengan vektor bebas. 1.2. Aljabar Vektor Vektor nol (null vector) Ditulis 0 adalah vektor yang panjangnya nol sehingga arahnya tak tentu (karena ujung dan pangkalnya berimpit) Kesamaan 2 vektor Dua vektor dikatakan sama jika mempunyai panjang dan arah yang sama. Kesejajaran 2 vektor Dua vektor dikatakan sejajar atau paralel jika garis-garisnya sejajar, arahnya bisa sama atau berlawanan. Vektor-vektor yang segaris merupakan vektor-vektor yang paralel. Penjumlahan vektor Penjumlahan vektor bisa dilakukan dengan mengikuti aturan jajaran genjang atau aturan segi banyak (poligon) Misalnya: a.
A
A
B
A+B=C B
C
atau
A
C
B Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
2
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
A B
B ⇒
b.
C
D
C E = A + B+ C + D
A D
E
B
A
C
c.
A + B+ C + D + E = 0
E D
Jumlah dari vektor-vektor yang merupakan sisi-sisi dari sebuah segi banyak tertutup selalu nol jika arah sisi-sisi tersebut berurutan. Penggandaan vektor dengan skalar Jika m = besaran skalar dan A = vektor yang panjangnya | A | maka : m A = vektor yang panjangnya m kali panjangnya A dan arahnya sama dengan vektor A jika m positif, atau berlawanan dengan arah vektor A jika m negatif Pengurangan vektor Pengurangan vektor dilakukan dengan menambahkan lawan dari vektor yang mengurangi
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
3
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw Jadi:
A
A − B = A + (− B) A ⇒
B
⇒
−B
B C = A −− B
A
Jika A = B maka A − B = 0 Hukum-hukum yang berlaku dalam Aljabar Vektor Jika A, B, C adalah vektor dan m, n adalah skalar maka 1. A + B = B + A
(komutatif terhadap jumlahan)
2. A + (B + C) = (A + B) + C
(asosiatif terhadap jumlahan)
3. Terdapat vektor 0 sehingga: A + 0 = 0 + A = A
(ada elemen netral)
4. Terdapat vektor − A sehingga: A + (− A ) = 0
(ada elemen invers)
5. (mn) A = n (m A )
(asosiatif terhadap perkalian)
6. m(A + B) = m A + m B
(distributif terhadap perkalian)
7. (m + n) A = m A + n A
(distributif terhadap perkalian)
8. 1 (A ) = A
(ada invers dalam perkalian)
2.3. Vektor Posisi dalam Bidang dan Ruang Teorema Dasar Dalam Vektor : Setiap vektor C pada bidang dapat ditulis secara tunggal sebagai kombinasi linier sembarang 2 vektor A dan B yang tidak paralel dan bukan vektor nol. Atau:
C = m A + n B dengan m, n adalah skalar yang tunggal
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
4
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw Bukti :
P1
P C = OP = OP1 + OP 2
C A O
B
P2
OP1 paralel dengan A sehingga OP1 = m A C = mA + n B OP 2 paralel dengan B sehingga OP 2 = m B Dalam hal ini m, n adalah skalar yang tunggal. Karena jika tidak tunggal maka C akan bisa ditulis sebagai berikut :
C = m1 A + n1 B = C = m2 A + n2 B (m1 - m2) A + (n1 - n2 ) B = 0 Karena A dan B bukan vektor nol dan tidak paralel maka,
→ m1 = m2 m1 - m2 = 0 n1 - n2 = 0 → n1 = n2 Teorema dasar ini juga berlaku untuk vektor-vektor dalam ruang (R3), sehingga untuk sembarang vektor D dapat ditulis :
D = m1 A + m2 B + m3 C dengan A , B dan C adalah vektor-vektor yang tidak paralel, bukan vektor nol dan tidak sebidang. Dua vektor A dan B dikatakan saling bergantung secara linier (dependent linear) jika terdapat skalar m dan n yang tidak nol dan m A + n B = 0 Kejadian ini akan terjadi jika : 1. A dan B merupakan vektor nol atau 2. A dan B paralel (sejajar)
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
5
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw Contoh : Buktikan bahwa garis yang menghubungkan titik tengah dua sisi sebuah segitiga adalah sejajar dengan sisi ketiga dan panjangnya sama dengan 1/2 dari panjang sisi ketiga tersebut. M titik tengah AC
C
N titik tengah CB
AB = AC + CB
N
M
MN = MC + CN = 12 AC + 12 CB = 12 (AC + CB) B
A
= 12 AB
sehingga MN // AB dan panjang MN = ½ panjang AB Vektor satuan (unit vector) Vektor satuan adalah vektor dengan panjang 1 satuan panjang.
a=
A = vektor satuan dari A A
dan A = A a Vektor basis satuan Perhatikan suatu sistem koordinat XOY dalam R2 dan pilih 2 vektor satuan i dan j sebagai basis yang masing-masing sejajar dan searah dengan sumbu x dan
y positif dan berpangkal di O. y
j O
i
x
maka vektor i dan j disebut dengan vektor-vektor basis di R2 Di R3 : sebagai vektor basis yang sejajar dan searah dengan sumbu z dinyatakan dengan vektor k. Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
6
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw z
k i
j
y
x Vektor posisi a. Vektor Posisi dalam R2 Jika i dan j adalah vektor-vektor basis di R2 yaitu vektor satuan yang masing-masing sejajar dan searah dengan sumbu X dan sumbu Y dan berpangkal di titik 0 dalam R2. Maka sembarang vektor r dari titik 0 ke titik P(x,y) dalam bidang XOY selalu bisa dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor basis i dan j . y ry j = y j
P(X,Y)
r j O
i
rx i = x i
x
Sehingga : r = rx i + ry j = x i + y j rx i = x i
;
ry j = y j disebut vektor-vektor komponen
rx = x
→ komponen vektor r pada sumbu X (proyeksi r ke sumbu X)
ry = y
→ komponen vektor r pada sumbu Y (proyeksi r ke sumbu
X) Vektor r = x i + y j disebut vektor posisi titik P , karena komponenkomponennya merupakan koordinat yang menunjukkan posisi titik P. Panjang dari r = | r | =
x2 + y2
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
7
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw b. Vektor Posisi dalam R3 : Vektor-vektor basis dalam R3 adalah vektor-vektor satuan i , j dan k yang masing-masing berimpit dan searah dengan sumbu-sumbu X, Y dan Z positif dan berpangkal di titik 0. . z P(x,y,z)
r k j
y
i O
x
r =xi+yj+zk
merupakan vektor posisi dari titik P(x,y,z)
x = proyeksi OP ke sumbu X y = proyeksi OP ke sumbu Y z = proyeksi OP ke sumbu Z Panjang dari r = | r | =
x2 + y2 + z2
Secara umum untuk sembarang vektor A = Ax i + Ay j + Az k dalam R3 , berlaku : z 2
2
Panjang A = A = A x + A y + A z
A zk i
Vektor satuan a =
γ β α
2
A 2
2
Ax + A y + Az
2
y Ayj
A xi
x
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
8
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw Dengan : " Ax, Ay; Az disebut bilangan arah vektor A " Sudut-sudut α ; β ; γ yang dibentuk vektor A terhadap sumbu x, y, z positif disebut arah vektor A " Cosinus sudut-sudut tersebut disebut cosinus arah. dengan:
cos α =
cos β =
cos γ =
Ax 2
2
Ax + Ay + Az
2
Ay 2
2
2
2
2
Ax + Ay + Az Az 2
Ax + Ay + Az
=
=
=
Ax A Ay
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
A Az A
Menyatakan Suatu Vektor Dalam Koordinat Tegak
z
OP1 = x1i + y1j +z1k P1 (x1 , y1 , z1 )
OP 2 = x2i + y2j + z2k P2 (x 2 , y 2 , z 2 )
O
x
y
P1P2 = OP1 − OP 2 = (x2i + y2j z2k) – (x1i + y1j z1k) = (x2 – x1)i (y2 – y1)j + (z2 – z1)k Sembarang vektor P1P2 dalam sistem koordinat bisa dinyatakan
sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor basis dengan komponenkomponennya adalah komponen vektor
posisi
titik ujung dikurangi
komponen vektor titik pangkalnya.
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
9
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
P1P2 = (x 2 − x1 ) 2 + (y 2 − y1 ) + (z 2 − z1 ) = panjang vektor P1P2
SOAL-SOAL 1. Tentukan vektor satuan yang sejajar dengan jumlah (resultan) dari vektor-vektor
r1 = 2i + 4j – 5k r2 = i + 2j + 3k 2. Tunjukkan bahwa vektor-vektor :
A
=
3i + 2j + k
B
=
i + 3j + 5k
C
=
2i + j – 4k
akan membentuk sebuah segitiga 3. Ambil sembarang segi 4 ABCD Titik-titik P, Q, R, S adalah titik-titik tengah sisi AB; BC; CD dan DA Buktikan bahwa PQRS menyusun suatu jajaran genjang. (Cukup dengan membuktikan bahwa PQ = RS atau QR = PS ) Q
B
"
C
" ∠
P
R
O
∠
!
S
!
D
1.4. Perkalian Antar Vektor a. Hasil Kali Skalar (Dot product / Scalar Product)
Ditulis: A ! B = A B cos θ Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
; θ = sudut antara vektor A dan B
10
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
B
A θ
θ
B
A
A cos θ
B cos θ
Proyeksi A pada B
Proyeksi B pada A
• Sifat Hasil Kali Skalar : 1. A ! B = B ! A 2
2. A ! A = A cos 0 = A
2
3. A ! (B + C) = A ! B + A ! C 4. (A + B) ! C = A ! C + B ! C Dalam R3 :
z (krn //)
i ! j = j! k = k ! i = 0
(krn ⊥)
Karena :
k i
i ! i = j! j = k ! k = 1
y j
i ! i = i i cos 0 = 1 i ! j = i j cos 90° = 0
x Jika:
A
=
Axi + Ay j + Azk
B
=
Bxi + By j + Bzk
A ! B = (A x i + A y j + A z k ) ! (B x i + B y j + Bz k) A ! B = A x B x + A y B y + A z Bz • Sudut Antar 2 Vektor : Karena A ! B = A B cos θ
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
11
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
cos θ
=
A!B ==> AB
A! B AB
θ = arc cos
Contoh : A=
3i + 6j + 9k
B =
-2i + 3j + k
A ! B = 3(-2) + (6)(3) + (9(1) = 21
A = 32 + 6 2 + 9 2 = 3 14 B = 22 + 32 + 12 = 14 cos θ =
A!B 21 21 1 = = = A B 3 14 . 14 42 2
• Vektor-vektor Yang Tegak Lurus dan Vektor-vektor Yang Paralel □ Vektor-vektor yang tegak lurus (yaitu cos θ = 0) ––> A ! B atau A ⊥ B Atau jika : Ax Bx + Ay By + Az Bz = 0 □ Dua vektor paralel jika komponen-komponennya sebanding atau jika :
Ax Ay Az = = B x B y Bz
• Hasil Kali Skalar Untuk Menghitung Usaha Dalam fisika, usaha = gaya × jarak perpindahan Jika gaya dan jarak perpindahan tidak sejajar
W = F cos θ.d F
= F! d
θ
d F cos θ
d= d
Contoh : Diketahui :
F = 2i + 2j – 4k adalah gaya yang bekerja pada benda yang bergerak dari titik (1,0,1) ke titik (2,4,2) Tentukan besarnya usaha yang dilakukan oleh gaya F Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
12
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw Jawab:
W = F! d d
=
(2–1)i + (4–0)j + 2(2–1)k = 2i + 4j + k
W
=
(2i + 2j – 4k) ! (2i + 4j + k) = 4 + 8 – 4 = 8 satuan usaha
b. Hasil Kali vektor (Cross Product / Vector Product Ditulis: A × B = C hasilnya berupa vektor
A×B
Dengan A × B = A B sin θ
A C
θ
A
B B
B θ A
C B× A
Arah dari A × B ditentukan berdasarkan aturan tangan kanan atau sekrup putar kanan. Sifat hasil kali vektor: "
A×B≠B×A A × B = –(B × A)
anti komutatif
"
(kA) × B = k(A × B) = A (kB)
"
A × (B + C) = (A × B) + (A × C) (A + B) × C = (A × C) + (B × C)
Dalam R3
z
i × i = i i sin θ dengan cara yang sama
k i
y
j
i×i=j×j=k×k=0
i × j = i j sin 90° = 1
x
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
13
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw sehingga:
Jika :
i×j=k
;
j × k = i;
k×i=j
j × i = -k
;
k × j = -i
;
A
=
Ax i + Ay j + Az k
B
=
Bx i + By j + Bz k
A×B = =
i × k = -j
(Ax i + Ay j + Azk) × (Bx i + By j + Bzk) (AyBz – AzBy) i – (AxBz – AzBx) j + (AxBy – AyBx) k
atau:
A×B =
i Ax Bx
j Ay By
k Az Bz
dan
A × B = A B sin θ =
(A ! A )(B ! B)− (A ! B)
2
Contoh :
A = 2i – j + k B = i – 3j + 4k A ! A = 22 + 32 + 42 = 6 B! B = 2 + 3 + 4 = 9 i j k = i (−4 + 3) − j(8 − 1) + k (−6 + 1) A × B = 2 - 1 1 = i − 7 j − 5k 1 -3 4 A × B = 12 + 7 2 + 5 2 = 1 + 49 + 25 = 75 Aplikasi dari Hasil Kali Vektor "
Menghitung Torsi/Momen Dalam mekanika momen/torsi dari gaya F terhadap titik Q didefinisikan sebagai:
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
14
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
m = Fd
F
dengan d
jarak (dalam arah ⊥)
=
antara titik Q ke garis gaya F
Q
d
L
r d
Q
F θ
θ
Jika: r = adalah vektor yang menghubungkan titik Q ke titik sembarang pada garis gaya F ; θ = sudut antara r dengan F
Maka d = r sin θ dan
m = F r sin θ = F × r Jika m = M , maka
M = F× r = vektor momen dari gaya F terhadap titik Q Contoh :
y Tentukan vektor momen dari gaya F terhadap titik O
r 0
'
(2,1) '
'
'
F
x
(4,-2) Jawab:
F = r
=
(4 – 2) i + (–2 –1) j + 0k = 2i – 3j + 0k (2 – 0) i + (1 – 0) j + 0k = 2i + j + 0k
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
15
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
i j k M = 2 - 3 0 = i(0) − j(0) + k(2 + 6) = 8k 2 1 0 M = 64 = 8 c. Hasil Kali Skalar Tripel (Triple Scalar Product) Jika:
A =
Ax i + Ay j + Az k
B =
Bx i + By j + Bz k
C =
Cx i + Cy j + Cz k
A ×C = Ay By
Az i − Ax Bz Bx
Az j + Ax Bx Bz
Az Cx − A x Bz Bx
A × B! C = Ay By Ax = Bx Cx
Ay By Cy
Ay k By
Az Cy + Ax Bx Bz
A y Cz By
Az Bz Cz
→ disebut hasil kali skalar triple, karena hasilnya merupakan skalar. Dalam hasil kali skalar tripel berlaku sifat:
(
)
(
)
1. A × B ! C = B × C ! A = C × A ! B sehingga:
(A × B)! C = A ! (B × C)
Nilai hasil kali ini hanya bergantung pada urutan siklus dari vektornya letak tanda × dan ! nya tidak mempengaruhi hasilnya. Jika urutan vektornya ditukar maka tandanya akan berubah. Sehingga:
A × B ! C = −B × A ! C = −B ! A × C 2. Hasil kali skalar tripel: A × B ! C = 0 bila dan hanya bila A, B dan C sebidang. Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
16
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw Bukti: a. A × B ! C = 0 ⇒ A, B dan C sebidang Jika A × B ! C = 0 maka A × B ⊥ C atau salah satu dari A, B atau C vektor nol Berarti: i. Apabila salah satu dari A, B atau C vektor nol, maka pasti
A, B dan C sebidang ii. Apabila A × B ⊥ C maka C bisa diletakkan sebidang dengan
A dan B sehingga A, B dan C sebidang b. Jika A, B dan C sebidang ⇒ A × B ! C = 0 Jika A, B dan C sebidang, maka A × B ⊥ C sehingga A × B ! C = 0 • Arti Geometris Dari A × B ! C Diberikan vektor A, B dan C
A = OA B = OB C = OC
C B
O
A
P = A×B A×B
=
luas jajaran genjang OADB
A × B ! C = P ! C = P C cos θ Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
17
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
C cos θ = tinggi C di atas bidang OADB Jadi A × B ! C = volume bidang 6 (paralel epipedum) OADB – CEFG yang disusun oleh A, B dan C
Catatan:
A' 0
Luas jajaran genjang OABC =
B
θ)
OB AA' = OB OA sin θ = OB × OA
C
A Contoh :
(
)(
)(
)
Buktikan bahwa A + B ! A + C × A + B = 0 Bukti: Misalkan
A+B=u A+C = v
Maka : u ! v × u = volume paralel epipedum dengan sisi-sisi u, v, u Karena kedua sisinya merupakan vektor yang sama maka ketiga vektor tersebut sebidang sehingga : u ! v × u = 0 d. Hasil Kali Vektor Tripel (Triple Vector Product) Hasil kali vektor tripel adalah :
(A × B)× C A × (B × C )
Tanda kurung diperlukan di sini karena nilai akan berubah jika letak kurangnya ditukar. Misalkan : (i × i) × j = 0 × j = 0 i × (i × j) = i × k = –j
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
18
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw Sifat Hasil Kali Vektor Triple :
( ) ( ) A × (B × C ) = (A ! C )B – (A ! B)C (A × B)× C = (A ! C)B − (B ! C)A
1. A × B × C ≠ A × B × C 2.
Contoh : 1. Jika:
A =
2i + 2j – k
B =
i+j+k
C =
3i + j – 2k
(
)
Hitung : A × B × C
(
A × B× C
;
)
Jawab:
i a. A xB = 2 1
j 2 −1
i ( A xB ) xC = 1 3
i b. B × C = 1 3 A! B×C =
= i − 3 j − 4k
j −3 1
j −1 1 i 2 1
= i (2 − 1) − j (2 + 1) + k (−2 − 2)
k 2 1
k −4 −2
= i (6 + 4) − j (−2 + 12) + k (1 + 9) = 10i − 10 j + 10k
k = i (2 − 1) − j (−2 − 3) + k (1 + 3) 1 = i + 5 j + 4k −2 j 2 5
k = i (8 + 5) − j (8 + 1) + k (10 − 2) −1 = 13i − 9 j + 8k 4
2. Buktikan : A × [A × (A × B)] = (A ! A )(B × A ) Bukti : Misalkan A × B = C
(
Maka A × B × C
)
= =
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
(A ! C)A − (A ! A )C (A ! C × B)A − (A ! A )(A × B) 19
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw = = =
( ) ( )( ) − (A ! A )(A × B) (A ! A )(B × A ) 0 A − A ! A A×B
1.5. Penggunaan Vektor Dalam Geometri a. Persamaan Garis Dalam R3: Andaikan l sebuah garis yang melalui titik P1(x1,y1,z1) dan sejajar dengan sebuah vektor v = Ai + Bj + Ck. Maka l merupakan tempat kedudukan semua titik P(x,y,z) sedemikian hingga P1P sejajar dengan v
"
P ( x, y , z ) V = Ai + Bj + Ck P ( x1 , y1 , z1 ) Jadi titik P (x,y,z) terletak pada garis l bila dan hanya bila P1P = t v dengan t adalah suatu skalar. Atau: (x – x1)i + (y – y1) j + (z – z1) k
=
t (Ai + Bj + Ck)
=
t Ai + tBj + tCk
Ini berarti :
x − x1 = tA y − y1 = tB z − z1 = tC
x = x1 + tA y = y1 + tB z = z1 + tC
Persamaan parameter garis yang melalui titik (x1,y1,z1) dan paralel dengan vektor v .
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
20
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw Atau:
t=
x − x3 x − x1 x − x2 = = A B C
Persamaan standard garis yang melalui titik (x1, y1, z1) dan paralel dengan v = Ai + Bj + Ck
Dalam hal ini v = Ai + Bj + Ck disebut vektor arah garis l dan A, B, C merupakan bilangan arah garis. Jika salah satu dari A, B dan C nol Mis. A = 0 maka x – x1 = 0 x = x1 Persamaan standardnya ditulis :
y − y1 z − z1 ; dan = B C
x = x1
Contoh : Tentukan persamaan garis melalui A ( 5,4,1) dan B (3, 1, 6) ⇒ Vektor arah garis v = AB = –2i – 3j + 5k Misalkan titik sembarang pada garis adalah P(x1,y1,z1) dan titik tertentu yang terletak pada garis diambil titik A(5,4,1) maka Persamaan standard garis:
x − 5 y − 4 z −1 = = −2 −3 5 Atau:
x −5 y−4 = ⇒ 3x – 2y – 7 = 0 −2 −3 y − 4 z −1 ⇒ 5y – 3z – 17 = 0 = −3 5
∴Persamaan standard garis:
3x − 2 y − 7 = 0 5 y − 3 z − 17 = 0
Persamaan parameter garis:
x = 5 − 2t y = 4 − 3t z = 1 + 5t
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
21
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw Dalam R2 : Jika suatu garis mempunyai gradien (bilangan/tangen arah) = m maka vektor arah garis :
l = i + mj
b. Persamaan Bidang Vektor N ⊥ bidang W sehingga N
N
disebut Vektor Normal dari bidang w
Q ( x, y , z )
W
)
Jika N = Ai + Bj + Ck
P ( x1 , y1 , z1 )
PQ = (x – x1) i + (y – y1) j + (z – z1) k
→ PQ terletak pada bidang W
Sehingga PQ ⊥ N ⇒ N ! PQ = 0 Atau:
A(x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0
→ Persamaan bidang melalui titik (x1, y1, z1) dengan normal bidang N = Ai + Bj + Ck Contoh : 1. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik-titik P(3,2,1) ; Q(4,1,5) ; R(2,4,3). ⇒
vektor PQ dan PR terletak pada bidang PR = −i + 2 j + 2k
PQ = i − j + 4k
i j k N = PQ × PR = 1 − 1 4 = −10i + 6 j + k −1 2 2 ∴
Persamaan bidang: A(x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0 –10 (x – 3) – 6 (y – 2) + 1( z – 1) = 0 –10x – 6y + z + 41 = 0
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
22
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw "
Persamaan bidang dapat juga ditulis sebagai: Ax + By + Cz + D = 0 dengan N = Ai + Bj + Ck
2. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik T (4,1,-2); tegak lurus pada bidang u = 2x + 3y + z = 8 dan tegak lurus pada bidang v = x – y + 3z = 0 ⇒
u = 2x + 3y + z = 8
→
N U = 2i + 3 j + k
v = x – y + 3z = 0
→
N V = i – j + 3k
Dicari bidang w yang ⊥ bidang u dan v , berarti N w ⊥ N u dan N V Atau
i j k N w = N u × Nv = 2 3 1 = 10i + 5 j + 5k 1 −1 3 Persamaan bidang w: 10(x – 4) – 5(y – 1) – 5(z + 2) = 0 10x – 5y – 5z – 45 = 0 2x – y – z = 9 c. Menentukan jarak titik terhadap suatu bidang Diberikan sebuah titik P(r,s,t) yang berada di luar bidang V dengan V = Ax + By + Cz + D = 0 → Normal bidang N v = Ai + Bj + Ck
D ;0,0 terletak pada bidang tersebut. A
Jika A ≠ 0 ⇒ Titik Q −
D k = QP = r + i + sj + tk A
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
23
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw P(r,s,t)
N θ k d Q(-D/A,0,0) θ = sudut antara N dan k sehingga d = k cos θ
N ! k = N k cos θ = N d ⇒ d =
N !k N
sehingga:
D A r + + Bs + Ct A d= 2 A + B2 + C 2 atau
d=
Ar + Bs + Ct + D A +B +C 2
2
2
Jarak
titik
P(r,s,t)
ke
bidang
Ax + By + Cz + D = 0
Contoh : Tentukan jarak P(5,5,4) ke bidang ABC jika A = (2,4,2) B = (6,4,3) C = (0,5,1) ⇒ AC = -2i + j + k
AB = 4i + k Normal bidang N = AB × AC
= i j k = −1 + 2 j + 4k 4 0 1 − 2 1 −1 ∴ Persamaan bidang ABC Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
24
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw –(x – 0) + 2 (y – 5) + 4 (z – 1) = 0 –x + 2y + 4z – 14 = 0 Jarak titik P(5,5,4) ke bidang –x + 2y + 4z – 14 = 0
d= d =
− 1(5) + 2(5) + 4(4) − 14 1 + 4 + 16
=
− 5 + 10+!6 − 14 21
=
7 21
d. Persamaan Garis sebagai Perpotongan Dua Bidang Diberikan bidang v dengan normal N v Diberikan bidang w dengan normal N w
(w
v)
Nv "
Nw
Jika bidang v dan w berpotongan pada satu garis maka vektor arah garis tersebut akan ⊥ dengan N v maupun N w Sehingga jika vektor arah garis tersebut " maka " = N v × N w Contoh : Tentukan persamaan garis yang merupakan perpotongan bidang 2x + y – 2z = 5 dan 3x – 6y – 2z = 7 ⇒ v = 2x + y – 2z =5
→ Nv = 2i + j – k
w = 3x + 6y – 2z =5
→ Nw = 3i + 6j – 2k
Vektor arah garis:
L = Nv × Nw = i j k = −14i − 2 j − 15k 2 1 −2 3 −6 −2 Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
25
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw Ditentukan salah satu titik yang terletak pada perpotongan bidang. (i) 2x + y + 2z = 5 (ii) 3x – 6y – 2z =7 –––––––––––– – –x + 7y = –2 Misalkan diambil : y = 0 → –x = –2 x =2 (i).
2(2) + 0 – 2z = 5
Titik (2,0,-½ ) terletak pada garis potong 2 bidang.
–2z = 5 – 4 z=–½
Sehingga persamaan garis perpotongan kedua bidang :
x − 2 y − 0 z − 12 = = − 14 −z − 15 e. Sudut Antara Garis dan Bidang Jika:
" = ai + bj + ck → vektor arah garis " N = Ai + Bj + Ck → normal bidang v = Ax + By + Ck + D = 0 " N v)
θ
φ
cos θ = sin φ
N!" N"
=
Aa + Bb + Cc (A 2 + B 2 + C 2 )(a 2 + b 2 + c 2 )
= sin (90 – θ)
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
26
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
= cos θ =
Aa + Bb + Cc (A + B 2 + C 2 )(a 2 + b 2 + c 2 ) 2
Sehingga sudut antara garis " dengan vektor arah " = ai + bj + ck dengan bidang v dengan normal bidang N v = Ai + Bj + Ck adalah
φ = arcsin
Aa + Bb + Cc (A + B2 + C 2 )(a 2 + b 2 + c 2 ) 2
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
27
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw BAB II
FUNGSI VEKTOR POKOK BAHASAN : ! Fungsi Vektor ! Kurva Vektor 2.1 Fungsi Vektor Jika sembarang nilai skalar t dikaitkan dengan suatu vektor A, maka A bisa dinyatakan sebagai fungsi vektor dari t atau A(t), yaitu suatu vektor yang komponen-komponennya merupakan fungsi dari nilai skalar t. Dalam R2, fungsi vektor A (t) biasa ditulis dengan, A(t) = A1 (t) i + A2 (t) j Dalam R3, fungsi vektor A(t) ditulis dengan, A(t) = A1 (t) i + A2 (t) j + A3 (t) k Konsep fungsi vektor ini bisa diperluas, jika sembarang titik (x,y,z) di R3 dikaitkan dengan suatu vektor A, maka A bisa dinyatakan dalam bentuk fungsi vektor sebagai berikut: A(x,y,z) = A1(x,y,z) i + A2 (x,y,z) j + A3 (x,y,z) k Contoh fungsi vektor, misalnya persamaan dari gerakan bebas suatu partikel dalam ruang. Jika setiap titik dalam suatu ruang (R3) dikaitkan dengan suatu vektor, maka ruang tersebut disebut medan vektor. Contoh medan vektor, misalnya aliran fluida (gas, panas, air dan sebagainya) dalam suatu ruangan. Sembarang fungsi yang tidak dikaitkan dengan vektor disebut fungsi skalar, dan suatu ruang yang setiap titiknya tidak dikaitkan dengan suatu vektor disebut medan skalar. Contoh medan skalar, misalnya temperatur sembarang titik dalam suatu ruang atau batang besi, pada suatu saat.
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
28
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
2.2 Kurva Vektor Sebuah kurva berarah C dalam sistem koordinat kartesius, bisa disajikan dalam bentuk fungsi vektor: r(t)
=
[x(t), y(t), z(t)]
=
x(t)i + y(t)j + z(t)k
Pengambilan nilai t = to akan menunjuk suatu titik pada kurva yang posisinya ditentukan oleh vektor r(to), dengan koordinat x(to), y(to) dan z(to). Bentuk penyajian kurva vektor seperti di atas disebut dengan penyajian parametric dari kurva C, dengan t sebagai parameternya. Dalam mekanika, parameter t ini biasanya menyatakan waktu dalam satuan detik. CONTOH:
– Penyajian kurva berarah sebagai fungsi vektor
a. Persamaan Kurva Vektor yang berupa Garis Lurus Dengan persamaan parameter garis lurus Sembarang garis lurus l yang melalui titik A(a1, a2, a3) dalam ruang bisa disajikan dalam bentuk fungsi vektor: "
r(t)
=
x(t)i + y(t)j + z(t)k
; untuk t = 0 → t = t
x ( t ) = a1 + tb1 dan y( t ) = a 2 + tb 2
y( t ) = a 3 + tb 3 dengan a = a1 i + a2 j + a3k → vektor posisi titik A(a1, a2, a3) yang terletak pada garis l. b = b1 i + b2 j + b3k → vektor arah garis l Jadi, persamaan di atas menyatakan persamaan suatu garis yang melalui titik A dengan vektor posisi r = a dan arahnya sesuai dengan arah vektor b. Jika vektor b adalah vektor satuan, maka komponen-komponennya akan merupakan cosinus arah dari arah l. Dalam hal ini, | t | merupakan jarak setiap titik pada garis l terhadap titik A. Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
29
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw Contoh: 1. Kurva vektor yang berupa suatu garis lurus dalam bidang, yang melalui titik A(3,2) dengan gradien 1, ⇒ a = 3i + 2j b = i + j (garidien 1) sehingga:
x(t)
=
3+t
y(t)
=
2 + t dan
r(t) = x(t) I + y (t)j = (3+t)i + (2 + t)j Atau bisa juga ditentukan sebagai berikut: Persamaan garis yang melalui titik (3,2) dengan gradien 1 adalah : y – 2 = 1(x – 3) → y = x – 1 Jika,
x(t) = t untuk t = 2 → t = t y(t) = t – 1
Maka r(t) = x(t)I + y(t)j = ti + (t – 1)j 2. Kurva yang berupa garis lurus melalui titik A(1,0,2) menuju titik B(3,-4,1) ⇒ Titik awal (1,0,3) ––→
a
=
i + 0j + 2j
Vektor arah garis
b
=
(3 – 1)I + (– 4 – 0)j + (1 – 2)k
=
2i – 4j – k
x(t)
=
1 + 2t
y(t)
=
0 – 4t
r(t) = (1 + 2t) i – 4tj + (2 – t)k
z(t)
=
z–t
t =0→ t=1
b. Parabola (1). Parabola y = x2 ; -2 ≤ x ≤ 2
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
30
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
y
y = x2
-2
x
2
x(t)
=t
(x = t)
y(t)
= t2
(karena y = x2)
Sehingga : r(t) = ti + t2j , dengan t
= -2 → t = 2
(2). Parabola : y = x2 , z = 2 ; 0 ≤ x ≤ 2 ; di R3 z 2
x(t)
=
t ;t=0→ t=2
y(t)
=
t2
z(t)
=
2
r(t) = ti + t2j + 2k
c. Ellips/Lingkaran Persamaan umum Ellips dalam koordinat kartesius:
x 2 y2 + = 1, z = c di R3 a 2 b2
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
31
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
z
1
y
1
x
dibawa ke bentuk parameter, dengan : x (t) = a cos t y (t) = b sin t z (t) = c sehingga bentuk fungsi vektornya menjadi: r(t) = a cos t i + b sin j + c k Jika a = b = r, persamaan ellips diatas menjadi persamaan lingkaran:
x2 y2 + 2 = 1 atau x2 + y2 = r2 ; z=c di R3 2 r r dan persamaan fungsi vektornya : r(t) = r cos t i + r sin t j + c k d. Helix Putar Helix putar adalah suatu kurva yang berbentuk seperti spiral yang terletak pada silinder. Persamaan helix putar yang terletak pada silinder x2 + y2 = a2, dalam bentuk fungsi vektor adalah: r(t) = cos i + a sin t j + ct k
(c ≠0)
Jika c > 0 → bentuk helix mengikuti sekrup putar kanan Jika c < 0 → bentuk helix mengikuti sekrup putar kiri Misalnya: Persamaan helix r(t) = cos t i + sin t j + t k adalah persamaan dari helix putar kanan yang terletak pada silinder x2 + y2 = 1 dan berjarak vertikal 2π, artinya jika dihubungkan dengan garis vertikal (sejajar Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
32
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw dengan sumbu z) maka jarak dua titik pada helix akan merupakan kelipatan 2π.
Z
Z
Y
Y
X
X
a.
Helix putar kanan
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
b.
Helix putar kiri
33
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw Bab III
DIFERENSIAL VEKTOR POKOK BAHASAN : ! Derivatif atau turunan dari fungsi vektor ! Interpretasi dari derifatif vektor ! Gradien, divergendi dan curl ! Penggunaan gradien, divergendi dan curl 3.1 Derivatif Atau Turunan Aljabar Dari Fungsi Vektor Fungsi vektor A(t) dikatakan diferensiabel di titik t jika nilai limit berikut: lim
Δt → 0
A(t + Δt) − A(t) d = = A' (t) Δt dt
ada
Dalam hal ini, vektor A’(t) disebut derivatif (turunan) dari vektor A(t) Jadi, jika A(t) = A1 (t) i + A2 (t) j + A3(t)k, Maka
dA1 dA 2 dA 3 i+ j+ k dt dt dt = A'1 (t)i + A'2 (t) j + A'3 (t)k
A' (t) =
Rumus-rumus untuk derivatif Fungsi Vektor:
(cA)' = cA'
(c = konstanta atau skalar )
(A + B)' = A'+ B' (A ! B)' = A'!B + A ! B' (A × B)' = A'×B + A × B' (A B C)' = (A' B C) + (A B' C) + (A B C' ) Derivatif Parsial Fungsi Vektor Untuk fungsi vektor yang komponen-komponennya terdiri dari dua variabel atau lebih, misalnya: A(x,y,z) = A1(x,y,z)i + A2 (x,y,z) j + A3(x,y,z)k maka, bisa ditentukan derivatif parsial dari A(x,y,z) terhadap x, y atau z sebagai berikut:
∂A ∂A1 ∂A 2 ∂A 3 = i+ j+ k ∂x ∂x ∂x ∂x ∂A ∂A1 ∂A 2 ∂A 3 = i+ j+ k ∂y ∂y ∂y ∂y Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
34
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
∂A ∂A1 ∂A 2 ∂A 3 = i+ j+ k ∂z ∂z ∂z ∂z CONTOH: Diberikan fungsi vektor: φ (x,y) = a cos x i + a sin x j + y k ⇒
•
∂φ ∂x
=
a sin x i + a cos x j
∂φ ∂y
=
k
Jika φ = A, B
fungsi skalar =
fungsi vektor ; maka:
a.
d dA dφ (φ A) = φ + A dt dt dt
(A dan φ merupakan fungsi t)
b.
∂ ∂B ∂A (A ! B) = A ! + !B ∂t ∂x ∂x
(A dan B merupakan fungsi x, y dan z)
c.
∂ ∂B ∂A (A × B) = A × + ×B ∂x ∂x ∂x
(A dan B merupakan fungsi x, y, dan z)
3.2 Interpretasi Dari Derivatif Vektor a. Interpretasi geometris Jika C adalah kurva yang dinyatakan dalam bentuk fungsi vektor r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, maka: 1. Derivatif dari kurva C di P, atau
r' (t) =
d r(t) d x(t) d y(t) d z(t) = i= j+ k dt dt dt dt
merupakan vektor singgung (tangent vector) dari kurva C di P. 2. u =
r' r'
…………………..→
vektor singgung satuan (unit tangent)
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
35
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
r' (t0 )
C : r (t )
P
3. i =
∫
b
t = t0
r'!r' dt
a
→
panjang kurva C, ≤ t ≤ b (length of a
→
panjang busur a ≤ t (arc length of a
curve) 4. s(t) =
∫
t
a
r'!r' dt
curve) CONTOH: Diberikan fungsi vektor dari kurva yang berbentuk lingkaran sebagai berikut: r(t) = 2 cos t i + 2 sin t j 0 ≤ t 2 , maka: a) vektor singgung dari kurva di t =
r' (t) = -2 sin t i + 2 cos t j t =
π adalah 2
π 2
= -2i b) u =
- 2i - 2i = = −i − 2i 2
c) Panjang busur lingkaran (keliling lingkaran): 2π
∫
2π
r'!r'dt =
o
∫
sin 2 t + 4cost dt
o
2π
=
∫ o
2π
4dt =
∫
4 dt
o
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
36
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
2π o
= 2t
= 4π
b. Interpretasi dalam mekanika Jika C adalah lintasan suatu benda yang dinyatakan dalam bentuk fungsi vektor maka: "
v = r' =
dr (t ) dt
→
merupakan vektor kecepatan di suatu
→
laju (speed) atau besarnya kecepatan
→
vektor percepatan
titik t. "
v = r'!r' =
ds dt
di sautu titik t. "
a(t) = v'(t) = r''(t)
CONTOH : 1. Gerak Rotasi Jika C : r(t) = R cos ωt i + R sin ωt j ⇒ persamaan gerak sebuah partikel P yang bergerak melingkar berlawanan dengan arah jarum jam. •
Vektor kecepatan di sembarang titik pada lintasan tersebut. v(t)
•
= r'(t) = Rω sin ωt i + Rω cos ωt j
Kecepatan sudut (kecepatan angular)
v Rω = R 2 ω 2sin 2 ωt + R 2 ω 2 cos 2 ωt + = =ω R R •
Vektor percepatan =
a
=
-
= v' = –R ω2t i – R ω2 sin ωt j 2
r(t)
Jadi, | a | = | -ω r(t)| = ω2 R →
percepatan centripetal (dengan arah
menuju pusat lingkaran) 2. Tentukan persamaan lintasan partikel yang bergerak dengan vektor percepatan a = 2 i – 2 k, jika posisi awalnya dititik (-1,1,2) dan vektor kecepatan awalnya v(0) = j Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
37
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw ⇒
v(t ) = ∫ 2dt i + ∫ 0dt j + ∫ − 2dt k = (2t + c1 )i + c 2 j + (−2t + c 3 )k r (t ) = ∫ (2t + c1 )dt i + ∫ c 2 dt j + ∫ (−2 + c 3 )dt k = (t 2 + c1 t + c 4 )i + (c 2 t + c 5 ) j + (−t 2 + c 3 t + c 6 )k Kecepatan awal :
v(0) = (0 + c1 )i + c 2 j + (0 + c 3 )k = j → c1 = 0, c 2 = 1, c 3 = 0 ∴ v(t ) = 2t i + j − 2t k Posisi awal : r (0) = −i + j + 2k
r (0) = (0 2 + c1 .0 + c 4 )i + (c 2 .0 + c 5 ) j + (−0 2 + c 3 .0 + c 6 )k = c 4 .i + c 5 . j + c 6 .k = −i + j + 2k → c 4 = −1, c 5 = 1, c 6 = 2 ∴ r (t ) = (t 2 − 1)i + (t + 1) j + (−t 2 + 2)k 3.3 Gradien, Divergensi Dan Curl Didefinisikan suatu operator vektor ∇ (dibaca del atau nabla) sebagai berikut:
∇=i Jika
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + j +k = i+ j+ k ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
φ = φ (x,y,z) adalah fungsi skalar, dan A = (x,y,z) = A1 (x,y,z) i + A2 (x,y,z) j + A3(x,y,z)k adalah fungsi vektor yang mempunyai turunan pertama yang kontinu di suatu daerah.
Maka : 1. GRADIEN dari φ (x,y,z) didefinisikan dengan grad φ = φ∇
=
∂ ∂ ∂ i + j + k ∂y ∂z ∂x
=
i
=
∂φ( x, y, z ) ∂φ( x, y, z ) ∂φ( x, y, z ) i+ j+ k ∂x ∂y ∂z
∂φ( x, y, z ) ∂φ( x, y, z ) ∂φ( x, y, z ) + j +k ∂z ∂x ∂y
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
38
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw 2. DIVERGENSI dari A(x,y,z): div A = ∇ ! A
∂ ∂ ∂ + j +k ∂x ∂y ∂z
=
i
=
∂A1 ( x, y, z) ∂A 2 ( x, y, z) ∂A 3 ( x, y, z) + + ∂x ∂y ∂z
3. CURL atau ROTASI dari A(x,y,z): Curl A = ∇ × A
∂ ∂ ∂ + j + k × (A1i + A 2 j + A 3k ) ∂y ∂z ∂x
= i
i ∂ = ∂x A1 =i ∂ ∂x A2
j ∂ ∂y A2
k ∂ ∂z A3
∂ −j ∂ ∂z ∂x A3 A1
∂ −k ∂ ∂x ∂z A3 A1
∂ ∂y A2
∂A 3 ∂A 2 ∂A 3 ∂A1 ∂A 2 ∂A1 i − j − k − − − ∂z ∂y ∂z ∂x ∂y ∂y
=
4. Operator Laplace (LAPLACIAN) ∇2 dari φ ∇2 φ
=
div (∇φ) = div (grad φ)
=
∂ ∂ ∂ ∂φ ∂φ ∂φ i + j + k ! i + j + k ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x
=
∂2 φ ∂2 φ ∂2 φ ∂2 ∂2 ∂2 φ + + = + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
Rumus-Rumus : Jika
A, B fungsi vektor U,V fungsi skalar, maka
1. ∇ (U + V) = ∇U + ∇V atau grad (U + V) = grad U + grad V 2. ∇ ! (A + B) = ∇ ! A + ∇ ! B atau div (A + B) = div A + div B
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
39
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw 3. ∇ × (A + B) = ∇ × A + ∇ × B atau curl (A + B) = curl A + curl B 4. ∇ ! (UA) = (∇U) ! A + U (∇ ! A ) 5. ∇ × (UA) = (∇U) × A + U (∇ × A ) 6. ∇ ! (A × B) = B × (∇ ! A) − A (∇ ! B) 7. ∇ × (A × B) = (B ! ∇)A − B(∇ ! A ) − (A ! B)B + A(∇ ! B) 8. ∇ ! (A ! B) = (B ! ∇)A + (A ! ∇)B + B × (∇ × A) + A × (∇ × B) 9. ∇ ! (∇U ) = ∇2 U = dan ∇2 =
∂2U ∂2U ∂2U disebut Laplace dari U + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
∂2 ∂2 ∂2 disebut Operator Laplace + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
10. ∇ × (∇U) = 0
→ curl dari gradien U = 0
11. ∇ ! (∇ × A ) = 0 → divergensi dari curl A = 0 12. ∇ × (∇ × A ) = ∇(∇ ! A ) − ∇A 2 CONTOH: Misalkan
a.
b.
φ
=
x2 yz3
fungsi skalar
A
=
xz i – y2 j + 2x2 y k
fungsi vektor
=
∂φ ∂φ ∂φ i+ j+ k ∂x ∂y ∂z
=
2xyz3 i + x2 z3 j + 3x3 yz2 k
grad φ = ∇φ
div A = ∇ ! A = =
c.
curl A = ∇ × A =
∂ ∂ ∂ i + j + k ! ( xzi − y 2 j + 2 x 2 yk ) ∂y ∂z ∂x z – 2y + 0 = z – 2y
i ∂ ∂x xz
j ∂ ∂y − y2
k ∂ ∂z 2x 2 y
=
i (2x2 – 0) – j (4xy – x) + k (0 – 0)
=
2x2 i – (4xy – x) j
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
40
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw d.
e.
div (φA)
=
∇ ! (φA)
=
∂ ∂ ∂ i + j + k ! x 2 yz3 ( xz i - y 2 j + 2x 2 yk ) ∂y ∂z ∂x
=
∂ 3 4 ∂ ∂ (x yz )i − ( x 2 y 3 z 3 ) j + ( x 4 y 2 z 3 )k ∂x ∂y ∂x
=
3x2yz4 i – 3x2y2z3 j + 6x4 y2z2 k
(
curl (φA) = ∇ × (φA) = ∇ × x 2 yz 2 ( xz i − y 2 j + 2 x 2 k ) =
i ∂ ∂x 3 x yz3
j ∂ ∂y 2 3 2 -x y z
)
k ∂ ∂z 4 2 3 2x y z
= (4x4yz3 + 3x2 y3 z2) i – (8x3 y2 z3 – 4x3 yz3) j + (–2xy3z3 – x3z4) k 3.4 Penggunaan Gradien, Divergensi dan Curl a. Derivatif berarah (directional derivatve) Misalkan temperatur sembarang titik (x,y,z) dalam sebuah ruangan adalah T(z,y,z). besarnya T(x,y,z) tergantung pada posisi x, y, z dalam ruang tersebut. sehingga temperatur di suatu titik tertentu mungkin akan berbeda dengan temperatur di titik lainnya. Karena adanya perbedaan temperatur ini, maka bisa ditentukan besarnya rata-rata perubahan (laju perubahan) temperatur dari satu titik ke titik lainnya persatuan jarak (panjang). Besarnya laju perubahan temperatur sesaat di suatu titik, akan tergantung pada arah geraknya, atau ke titik mana yang akan dituju. Oleh sebab itu, laju perubahan ini disebut dengan derivatif berarah (directional derivative) Cara menentukan derivatif berarah: Diberikan suatu medan skalar yang dinyatakan fungsi Besarnya laju perubahan dari fungsi
(x,y,z).
(x,y,z) di titik (x0, y0, z0) persatuan
jarak (panjang), dengan arah gerak tertentu, misalkan vektor arah satuannya u = ai + bj + ck, bisa ditentukan sebagai berikut,
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
41
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
∇φ
φ = kons tan
θ)
u
dφ dalam arah u ds atau Duφ Persamaan garis melalui titik (x0, y0, z0) dengan vektor arah satuan u = ai + bj + ck, bisa dinyatakan dalam bentuk parameter
x = x o + as y = y o + bs z = z o + cs Sehingga sepanjang garis tersebut, x, y, z akan merupakan fungsi dari satu variabel s. Jika x, y, z di atas didistribusikan dalam fungsi φ (x, y, z), maka φ akan merupakan fungsi dari s, artinya sepanjang garis gerak di atas φ merupakan fungsi dari satu variabel s, sehingga
dφ bisa ds
dihitung.
dφ = Duφ ds u
=
=
∂φ dx ∂φ dy ∂φ dz ∂φ ∂φ ∂φ + + = a+ b+ c ∂x ds ∂y ds ∂z ds ∂x ∂y ∂z ∂φ ∂φ ∂φ i + j + k = (ai + bj + ck ) %"$"# x ∂y ∂z %∂" ""$"""# u ∇φ
Jadi,
dφ = D u φ = ∇φ ! u = grad φ ! u ds u
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
42
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw Definisi perkalian skalar, diperoleh:
dφ = ∇φ ! u = ∇φ u cos θ ; θ adalah sudut antara ∇φ dan vektor u ds u Karena u vektor satuan, maka | u | = 1, jadi
dφ = ∇φ cos θ nilai ini akan maksimum jika cos θ = 1 atau θ = 0°, ds u yaitu jika u searah dengan ∇φ. Harga maksimum dari
dφ adalah ∇φ ds u
CONTOH: 1. Tentukan derivatif berarah dari fungsi f = 2xy – z2 di titik (2, –1, 1) dalam arah menuju titik (3, 1, -1). Dalam arah manakah derivatif berarah ini akan berharga maksimum. Berapa nilai maksimumnya. ⇒ a. Vektor arah titik (2, -1,1) menuju (3,1,-1) = (3–2)i + (1+1)j + (-1-1)k = i + 2j – 2k. Vektor arah satuan = u =
∇f =
i + 2 j − 2 k i + 2 j − 2k = 3 1+ 4 + 4
∂ ∂ ∂ i+2j+k i+ j+ k = ∂x ∂y ∂z 3 = 2y i + 2x j – 2z k
Du f
(2,-1,1)
= ∇f
(2,-1,1)
= (2 y i + 2 x j − 2z k ) !
i + 2 j − 2k 3
=
1 3
(2 y + 4 x + 4) ( 2, −1, 1)
=
1 3
(−2 + 8 + 4) = 103 = 3,33
b. Nilai Duf di atas akan maksimum jika arah geraknya searah dengan ∇f, dan besarnya nilai maksimum =
∇f = 4y 2 + 4x 2 + 4z 2
= 4 + 16 + 4 = 2 6 ( 2 , −1, 1)
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
43
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw 2. Jika
(x,y,z) dalam ruangan pada suatu waktu tertentu. Tentukan laju
pertumbuhan temperatur sesaat di titik (2,-1,-1) jika bergerak ke arah titik (3,1,3) ⇒ Vektor arah satuan = u =
i + 2 j + 2k 1 = (i + 2 j + 2k ) 1+ 4 + 4 3
Laju perubahan temperatur di titik (2, -1, 1) dengan arah u =
Du f
(2,-1, 1)
=
1 ∇( xy 2 + yz3 ) ! (i + 2 j + 2k ) 3
=
1 [ y 2i + (2 xy + z 2 ) j + 3yz 2 k )! [i + 2 j + 2k ] 3
=
1 11 (1 − 8 + 2 − 6) = 3 3
Tanda negatif menunjukkan perubahan yang menurun artinya terjadi penurunan suhu jika bergerak dari titik (2, -1, 1) ke titik (3,1,3). b. Gradien sebagai vektor Normal Luasan Misalkan f(x,y,z) = C adalah persamaan luasan S dalam ruang (R3) dan fungsi vektor r (t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k adalah persamaan kurva yang terletak pada luasan S. Karena r(t) terletak pada f(x,y,z) = C, maka berlaku F[x(t), y(t), z(t)] = C dan
∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z ∂C + + = =0 ∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t ∂t ∂f ∂f ∂f dx dy dz i + j + k ! + + =0 ∂y ∂z dt dt dt ∂x ∇f !
d r(t) d r(t) = 0 → ∇f ⊥[ = t' (t)] dt dt
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
44
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
∇f
r' (t ) P
r (t )
Karena r(t) merupakan persamaan kurva pada luasan s, maka r'(t) =
dr merupakan singgung kurva r(t), yang berarti vektor singgung dt luasan S di titik tertentu. Jadi, ∇f ⊥ vektor luasan ——> berarti ∇f merupakan vektor normal luasan S di suatu titik. Dan n =
∇f = vektor normal satuan. ∇f
CONTOH: Tentukan vektor normal dari kerucut putaran: z2 = 4(x2 + y2) di titik P(1,0,2). ⇒ Persamaan luasan dalam bentuk f(x,y,z) = 0 adalah f(x,y,z) = 4(x2 + y2) – z = 0
∇f = ∇(4(x 2 + y 2 ) − z 2 ) = 8x i + 8 y j + 8z k
(1,0,2)
= 8i – 4k
n=
8i − 4k 8i − 4k 2i − k ∇f = = = ∇f 64 + 16 80 5
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
45
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw c. Penggunaan lain dari Gradien Misalkan A adalah suatu partikel dengan massa M yang terletak pada titik tetap Po(xo, yo, zo) dan B adalah suatu partikel bebas dengan massa m yang berada pada posisi P(x,y,z) dalam suatu ruang, maka B akan mengalami gaya tarik dari partikel A. menurut hukum Newton tentang gravitasi, arah gaya p adalah P menuju Po, dan besarnya sebanding dengan 1/r2, antara P dengan Po. Sehingga,
p=
c r2
c = GMm G = 6,67 = konstan
dan r = (x − x o ) 2 + (y − y o ) 2 + (z − z o ) 2
;
r≥0
Dalam hal ini, p merupakan suatu vektor dalam ruang. Jika vektor jarak dari P ke Po, r = (x – xo)i + (y – yo)j + (z – zo)k ; | r | = r dan −
r r = − = vektor satuan arah dari p r r (tanda minus menyatakan arah dari Po ke P)
maka vektor p = −
r r p = − (c / r 2 ) = = (c / r 3 ) r r r
= −c
x − xo y−y z−z i−c 3 o j −c 3 o k 3 r r r
———>
fungsi
vektor
yang
menyatakan
gaya
tarik
menarik antara dua partikel. Jika fungsi skala f(x,y,z) = c/r
;r≥0
merupakan potensial dari medan gravitasi tersebut, ternyata bisa dibuktikan bahwa grad f = p sebagai berikut:
∂
∂
∂
c
i+ j + k grad f = ∂y ∂y (x − x o ) 2 + (y − y o ) 2 + (z − z o ) 2 ∂x =
- 2(x − x o ) c i+ 2[(x − x o ) + (y − y o ) 2 + (z − z o ) 2 ]3 / 2 2
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
46
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
- 2(y − y o ) c j+ 2[(x − x o ) + (y − y o ) 2 + (z − z o ) 2 ]3 / 2 2
- 2(z − z o ) c k+ 2[(x − x o ) + (y − y o ) 2 + (z − z o ) 2 ]3 / 2 2
=
−
=
p
x − xo y − yo z−z c i− c j− 3 o c k 3 3 r r r
Selain itu bisa dibuktikan bahwa:
∂ 2 1 1 3(x − x o ) 2 = + r5 ∂x 2 r r 3 ∂ 2 1 1 3(y − y o ) 2 = + r5 ∂y 2 r r 3 ∂ 2 1 1 3(z − z o ) 2 = + r5 ∂z 2 r r 3 Jika dijumlahkan menjadi:
∂2 1 ∂2 1 ∂2 1 = + = ∂x 2 r ∂y 2 r ∂z 2 r =
3 (x − x o ) 2 + (y − y o ) 2 + (z − z o ) 2 + 3 r3 r5
=
3 r2 + 3 =0 r3 r5
Sehingga, karena f = c/r maka
∂ 2f ∂ 2f ∂ 2f + + = 0 atau ∇ 2f = 0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 Jadi medan gaya yang dihasilkan oleh sebaran massa partikel akan merupakan fungsi vektor (p) yang merupakan gradien dari fungsi skalar f (potensial dari medan gravitasi) dan f memenuhi sifat ∇2f = 0 Dalam elektrostatis, gaya tarik menarik antara dua partikel bermuatan Q1 dan Q2 adalah
p=
k r r3
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
(Hukum Couloumb)
47
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
dengan: k =
Q1Q 2 4πε
;
ε = konstanta elektrik
Dalam hal ini p adalah gradien dari fungsi potensial f = – k/r ; dengan ∇2f = 0 CONTOH: Jika potensial antara dua silinder konsentris adalah V(x,y) = 110 + 30 ln(x2 + y2) volt. Tentukan gaya listrik di titik P (2,5). ⇒ Vektor gaya elektrostatik p = grad V
p = 30
2x 2y 60 i + 30 2 j ( 2, 5) = = (2i + 5 j ) 2 2 x +y x +y 29 2
∴ Arah gayanya searah dengan arah vektor p
Penggunaan Difergensi Dalam aliran fluida: Perhatikan suatu aliran tak tunak (non-steady state) dari fluida termampatkan (compressible fluid), misalnya gas atau uap, dalam suatu ruangan. Karena termampatkan, maka besarnya
(densitas massa =
massa persatuan volume) akan tergantung pada koordinat x, y, dan z. Dan karena alirannya tak tunak maka (berubah-ubah dari waktu ke waktu). Jadi
juga tergantung pada t =
(x,y,z,t). Misalkan v(x,y,z) =
v1i + v2j + v3k adalah vektor kecepatan sesaat dari partikel fluida di suatu titik (x, y, z) Selanjutnya, ambil sembarang bagian volume yang sangat kecil dari ruangan tersebut, misalkan volume W seperti dalam gambar berikut.
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
48
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
ρv 3 + ∆ ρv 3 ρ v1
z
∆z
W)
ρv 2
∆x
∆y
ρv 2 + ∆ ρv 2
ρ v1 + ∆ ρ v 1
ρv 3
y
x
Karena terdapat aliran fluida yang compressible dalam ruangan tersebut, maka dalam volume W juga akan terjadi perubahan massa fluida. Untuk mengukur besarnya perubahan massa fluida dalam volume W, bisa dilakukan dengan mengukur besarnya selisih massa fluida sebelum masuk dan saat meninggalkan W persatuan waktu. Jika, massa fluida yang melewati salah satu sisi dari W Selama ∆t ≈ [komponen vektor kecepatan yang ⊥ dengan masingmasing sisi W] × ρ × [luas permukaan sisi tersebut] × [∆t) = fluks massa fluida pada masing-masing sisi W. Maka, untuk menghitung besarnya perubahan massa fluida yang melalui W, bisa dilakukan dengan menghitung jumlah fluks massa yang keluar dikurangi dengan jumlah fluks massa yang masuk dari masing-masing sisi W. "
"
Fluks massa yang masuk selama ∆t melalui: –
sisi kiri
=
ρv2 ∆x ∆z ∆t
–
sisi belakang
=
ρv1 ∆y ∆z ∆t
–
sisi bawah
=
ρv3 ∆x ∆y ∆t
Fluks massa yang keluar selama
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
t melalui: 49
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw –
sisi kanan
=
(ρv2 + ρv2) ∆x ∆z ∆t
–
sisi depan
=
(ρv1 + ρv1) ∆y ∆z ∆t
–
sisi atas
=
(ρv3 + ρv3) ∆x ∆y ∆t
Jumlah selisih massa fluida persatuan waktu persatuan Volume
=
(Σ yang keluar - Σ yang masuk)/volume/waktu
=
∇ρv1∆y∆z ∆t + ∇ρv 2 ∆x∆z ∆t + ∇ρv 3 ∆x∆y ∆t ∆x∆y∆z (∆t )
=
∇ρv1 ∇ρv 2 ∇ρv 3 + + ∆z ∆x ∆y
Karena volume W diambil sangat kecil, maka ∆x → 0 ∆y → 0 ∆z → 0
Jadi, besarnya perubahan massa fluida persatuan waktu persatuan volume dalam ruangan =
∇ρv 1 ∇ρv 2 ∇ρv 3 + + ∆x ∆y ∆z
lim ∆x → 0 ∆y → 0 ∆z → 0
∇ρv 1 ∇ρv 2 ∇ρv 3 = + + ∂x ∂y ∂z
∂ ∂ ∂ i+ j + k ! (∇ρv1i + ∇ρv 2 j + ∇ρv3 k ) ∂z ∂x ∂y
=
= ∇ ! ρv = div (ρv) Sementara itu, telah diketahui bahwa besarnya perubahan massa fluida persatuan waktu persatuan volume akan sama dengan laju perubahan (penurunan) densitas massa persatuan waktu, atau = Jadi, div ρv =
∂ρ ∂t
∂ρ ∂t
Atau
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
50
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
div ρv + ———→
∂ρ =0 ∂t merupakan persamaan kontinuitas dari aliran non-steady state dari fluida termampatkan
Jika alirannya tunak (steady state), yang berarti bahwa densitas massanya tidak tergantung pada t (tidak berubah dari waktu ke waktu), maka:
∂ρ = 0 —→ ∂t
div ρv = 0 ——→ merupakan kontinuitas untuk aliran steady state dari fluida termampatkan (compressible).
Untuk aliran steady-state dari fluida tak termampatkan (in compressible fluid), berarti
nya konstan (tidak tergantung pada x, y, dan z) maka,
div ρv = div v = 0
(ρ ≠ 0)
div v = 0 ——→ persamaan koninuitas dari aliran steady-state dari fluida tak termampatkan (incompressible fluid).
Penggunaan Curl Dalam gerak rotasi Misalkan sebuah benda berputar uniform dengan kecepatan sudut – (konstan) mengelilingi sumbu & .
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
51
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
Ω
P
v r
R
θ & O
Didefinisikan vektor kecepatan sudut Ω yang panjangnya
, sejajar
sumbu & dengan arah mengikuti arah majunya sekrup putar kanan terhadap gerakan benda. Jika R adalah vektor dari titik 0 di & ke sembarang titik P pada benda, maka "
radius putar titik P: r = | R | | sin θ |
sehingga, "
kecepatan linier titik P | v | = ω | R | | sin θ| = |Ω| |R | | sin θ | = | Ω × R |
Vektor v ini mempunyai arah ⊥ bidang yang dibentuk oleh Ω dan R, sehingga Ω, R, dan v membentuk sistem sekrup putar kanan. Jadi hasil dari perkalian Ω × R, selain memberikan besarnya nilai v juga akan menentukan arah dari v. Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
52
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw Jika titik 0 diambil sebagai titik asal koordinat, maka: R
=
xi + yj + zk dan
Ω
=
Ω1i + Ω2 j + Ω k
sehingga, v = Ω × R bisa ditulis v
=
(Ω2z + Ω3 y)i – (Ω1z - Ω2x)j + (Ω1y - Ω1x) k
dan
i j k ∂ ∂ ∂ curl v = ∇ × v = ∂x ∂y ∂z (Ω 2 − Ω 3 y) (Ω1 − Ω 3 x ) (Ω1 − Ω 2 x ) = 2 Ω1 i +2 Ω2 j + 2 Ω3 k = 2 Ω Jadi, Kecepatan sudut dari sebuah benda yang bergerak uniform = ½ curl dari kecepatan lintas sembarang titik.
SOAL-SOAL LATIHAN 1. Misalkan f = x2 + 9y2 + 4z2 g = xy3 z2 v = xz i + (y – z)2 j + 2xyz k w = 2y i + 4z j + x2z2 k Tentukan a. grad f di titik (3, -1, 0) Jawab
:
6i – 18j
b. ∇2f
Jawab
:
28
c. ∇f !∇g
Jawab
:
72 xy3 z2
∂2 g ∂x∂y
Jawab
:
3 y2 z2
e. ∇f ! v
Jawab
:
2x2 z + 18y (y – z)2+ 16 xyz2
f.
Jawab
:
2 x2 z
g. div v (curl v)
Jawab
:
–11
h. div (v × k)
Jawab
:
0
Jawab
:
–xi – 2(y – z)j – (2y – z)k
d.
i.
div w
curl (v × k)
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
53
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
j.
Dwf di (1, 1, 1)
Jawab
:
18 5
k. Dwg di (3, 0, –2)
Jawab
:
0
l.
Jawab
:
2y – z + 2xy + 2x2z
div (v + w)
2. Jika r(t) menyatakan persamaan kurva lintasan, dengan t = waktu. Tentukan vektor kecepatan, besarnya laju (speed) dan vektor percepatan di P[x(t); z(t)], jika a. r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k = ti + 3 t2j Jawab: v = i + 12 j + k ; | v | =
145 ; a = 6 j
b. r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k = ti + 3 t2j + tk, di titik P (4,12,4) Jawab: v = i + 3j + k ; | v | =
11 ; a = 0
3. Jika vektor posisi dari lintasan sebuah partikel dinyatakan dalam r = r(t) = t2i – 2tj + (t2 + 2t)k, t waktu.
a. Kapan (pada saat berapa) partikel akan melintas di titik (4,4,8). Jawab: t = 2 b. Tentukan vektor kecepatan dan laju partikel di saat melintasi titik (4,-4,8). Jawab: v = 4i – 2j + 6k; | v | = 2 14 c. Tentukan persamaan garis singgung dari kurva lintasan partikel tersebut, dan bidang normal dari kurva di titik (4,-4,8) Jawab:
(x – 4)/4 =
(y + 4)/(-2) = (z – 8)/6
2x – y + 3z = 36 4. Jika berangkat dari titik (1,1) dalam arah manakah fungsi φ = x2 – y2 + 2xy akan menurun dengan cepat (menurun secara maksimum). Jawab
=
–i
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
54
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
5. Jika diberikan medan skalar r = R=
x 2 + y 2 dan
x 2 + y 2 + z 2 , tentukan
a. Laplace ∇2 dari ln r
Jawab
: 0
b. Laplace ∇2 dari R
Jawab
: 2/R
6. Jika potensial antara dua silinder konsentris adalah V(x,y) = 110 + 30 ln(x2 + y2) volt. Tentukan arah garis-garis ekipotensialnya di titik P (2,5). Catatan: garis ekipotensial adalah garis yang tegak lurus dengan garis gaya elektrotatis.
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
55
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw BAB IV
INTEGRAL VEKTOR POKOK BAHASAN : ! Integral garis ! Teorema Green ! Medan Gaya Konservatif ! Integral luasan ! Teorema divergensi Gauss ! Teorema Stokes 4.1 Integral Garis (Line Integrals) Konsep integral garis merupakan generalisasi (perluasan) dari konsep integral tertentu
a
∫ f ( x)dx .
Dalam integral tertentu
b
a
∫ f ( x)dx , b
fungsi f(x) diintegrasikan sepanjang
sumbu x dari x = a sampai x = b, dengan f(x) adalah fungsi yang terdefinisi pada setiap titik pada sumbu x antara sampai b. Dalam integral garis, akan diintegrasikan suatu fungsi F sepanjang kurva C dalam ruang atau bidang, dan fungsi F adalah fungsi yang terdefinisi pada setiap titik di C. Kurva C, oleh sebab itu disebut sebagai ‘lintasan integrasi’. Lintasan integrasi C merupakan kurva licin (smooth curve) yang bisa dinyatakan dalam bentuk fungsi vektor: r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k ; a ≤ t ≤ b dan r(t) mempunyai derivatif kontinu,
r' (t)
=
dr dx ( t ) dy(t) dz(t) i+ j k = dt dt dt dt
=
x' (t) i + y'(t) j + z'(t) k
yang tidak nol Dalam hal ini C merupakan kurva berarah dengan: A :
r(a)
B
r(b)= t akhir dari C
:
=
titik awal dari C
Arah dari A ke B sepanjang C disebut arah positif dari C dan dalam gambar, arah ini ditunjukkan dengan tanda panah.
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
56
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw Jika A = B
C disebut kurva tertutup. B = r (b )
A = r (a ) B = r (b )
C : r( t )
A = r(a )
C
Definisi Integral Garis Integral garis dari suatu fungsi vektor F(r) sepanjang kurva C yang terdefinisikan pada a ≤ t ≤ b, didefinisikan sebagai:
∫ C F(r ) ! dr
∫
= =
∫
b
a
F[r ( t ) !
dr dt dt
b
a
F[r ( t ) ! r ' ( t )dt
Jika, r (t)
=
x(t) i + y(t) j + z(t) k
r' (t) = dr
=
F(r)
=
dr dx ( t ) dy( t ) dz( t ) i+ j+ k = dt dt dt dt
dx(t) i + dy(t) j + dz(t) k
F1 i + F2 j + F3 k
maka:
∫ C F(r ) ! dr
∫ C [F1dx ( t ) + F2 dy ( t ) + F3dz( t )]
= =
b
a
=
dy dz dx + F2 + F3 dt 1 dt dt dt
∫ F
∫ [F x ' ( t) + F y' ( t ) + F z' ( t)]dt b
1
2
3
a
"
Integral garis sepanjang lintasan C yang tertutup dinotasikan dengan
∫ F(r ) ! dr C
Contoh Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
57
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
1. Tentukan integral garis
∫ F(r ) ! dr , jika C
F(r) = – y i + xy j C :
adalah busur lingkaran seperti dalam gambar berikut dari titik A ke titik B.
⇒ C : r(t) =
B(0, 1)
Sehingga,
C
dan F[r(t)]= f' ∴
∫
C
=
x(t) =
cost t
y(t) =
sin t
0≤t≤
A(1, 0) 0
cost i + sint j
π 2
– sin t i + sin t cos t j – sin t i + cos t j
F(r ) ! dr =
∫
b
F[r ( t )] ! r ' ( t )dt
a
π/ 2
=
∫
a
[sin 2 t + sin t cos 2 t ]dt
π/ 2
= 0
∫
π/ 2
1 − cos 2t dt − ∫ 0 2
cos 2 t d cos t π/2
=
1 1 1 t − sin 2 t − cos 3 t 2 4 3 o
=
π 1 π 1 t −0−0+ = + 4 3 4 3
2. Tentukan nilai integral garis pada contoh 1, jika C : garis lurus yang menghubungkan A dan B
⇒
B(0, 1)Que Program Semi Fakultas Teknik Jurusan Mesin C Universitas Brawijaya
58
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw C : r(t) =
(1 – t) i + t j x(t)= =
1–t t
0≤t≤1
F[r(t)] =
–t i + t(1 – t) j
r'(t)
–i + j
∴
∫
C
=
1
1
0
0
∫ [t + t (1 − t )]dt =∫ [2t − t ]dt
F(r ) ! dr =
1
1 1 2 t2 − t3 = 1− = 3 0 3 3
= "
Dari dua contoh di atas terlihat bahwa nilai integral garis selain tergantung pada batas integrasi, juga tergantung pada lintasannya.
3. Tentukan
∫ F(r ) ! dr , jika c
F(r)=
zi+j+yk
C :
r(t) = cos t i + sin t j + 3t k,
0≤t≤2
⇒
∴
x(t)=
cos t
y(t)=
sin t
z(t) =
3t
∫
C
F[r(t)] =
3t i + cos t j + sin t k
r'(t) =
–sin t i + cos t j + 3 k
∫ [− 3t sin t + cos π/ 2
F(r ) ! dr =
0
π/2
π/2
]
t + 3 sin t dt
π/2 1 + t cos 2 t dt + 3∫ sin t dt 0 2
=
3∫
=
1 1 3[ t cos t − ∫ cos tdt ] + t + sin 2 t − 3 cos t 2 4
0
t cos t + ∫
2
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
0
59
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
2π
1 1 3t cos t − 3 sin t + t + sin 2 t − 3 cos t 2 4 0
=
Interpretasi Integral Garis Dalam MEKANIKA Usaha yang dilakukan oleh guru konstan F yang bergerak sepanjang vektor lurus d adalah W = F ! d Jika gaya F tidak konstan (merupakan fungsi variabel), dan bergerak sepanjang kurva C = r(t), maka besarnya usaha yang dilakukan oleh gaya F bisa ditentukan dengan menghitung nilai limit dari jumlah usaha yang dilakukan oleh F sepanjang segmen kecil dari C, jika C dibagi menjadi n buah segmen kecil-kecil sehingga setiap segmen mendekati garis lurus.
b = tn t3
t2
C
t1 a = t0
tm
t m+1
Untuk sembarang m; 1 ≤ m ≤ n, maka
∆Wm = F[r ( t m )]![r ( t m ) − r ( t m )] Sementara,
lim r ( t ) − r ( t ) m r ' ( t m ) = ∆t m → 0 ∆t m tm
= tm + 1 – tm
Jadi,
∆Wm ≅ F[r ( t m )] ! r ' ( t m )∆t m ] ! r ' ( t m )∆t m karena n → ∞ , maka: n
n
W = lim ∑ ∆Wm = lim ∑ F[r ( t m )] ! r ' ( t m )∆t m n →∞
m =1
n →∞
m =1
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
60
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
b
= a
∫ F[r( t )] ! r' (t ) dt
∴ Usaha W = ∫ F(r ) ! dr C
"
dr = v( t ) = vektor kecepatan dt
Karena
maka: W = "
b
∫
C
F(r ) ! dr = ∫ F[(r )] ! v( t ) dt a
Dari hukum Newton II : F = ma, bisa diturunkan F = m r''(t) = m v' (t) Sehingga, W = a
= a
= dengan
∫
b
∫
b
'
b v!v m v' ( t ) ! v( t ) dt = ∫ m dt a 2
[ ]
b
m 2' m 2 v dt = v 2 2 a
[
m 2 v(b) − v(a ) 2 2
]
m 2 v = energi kinetik 2
Bentuk-bentuk lain Integral Garis Bentuk-bentuk berikut merupakan kejadian khusus dari integral garis
∫ F(r ) ! dr , C
Jika
F
=
F1 i
∫ F(r ) ! dr = ∫ F dx
F
=
F2 j
∫ F(r ) ! dr = ∫ F dy
F
=
F3 k
Bentuk :
∫
C
C
C
C
C
1
2
∫ F(r ) ! dr = ∫ F dz C
C
3
b
f (r ) ! dt = ∫ f [r ( t )]dt a
C : r(t); a ≤ t ≤ b Merupakan bentuk khusus dari
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
∫ F(r ) ! dr , jika C
61
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
F
=
F1 i dan F1 =
f [r ( t )] , sehingga dx / dt f = F1
dx = F1x ' ( t ) dt
Jadi,
∫ F(r ) ! dr = ∫ F ! dx C
1
C
∫
=
C
f [r ( t )] dx dx / dt
b
= a
∫ f [r( t ) dt
Contoh Tentukan C :
∫ (x
2
C
+ y 2 + z 2 ) 2 dt jika
r (t) = cos t i + sin t j 3t k ; 0 ≤ t ≤ 2
⇒ f
=
r(t) =
(x2 + y2 + z2)2 cos t i + sin t j + 3t k x(t)=
cos t
y(t)=
sin t
z(t) =
3t
f[r(t)] =
[cos2t + sin2t + 9t2]2 = (1 + 9t2)2
∴ ∫ ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 dt =
∫
2π
=
∫
2π
=
t2
=
2π + 48π3 +
C
0
0
(1 + 9 t 2 ) 2 dt [1 + 18t 2 + 81t 4 ]dt 2π
+
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
6t3
81 + t 5 0
2592 5 π 25
62
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw Sifat-sifat a.
∫ k F(r) ! dr = k ∫ (r) ! dr
b.
∫ [F(r) + G(r) ! dr ] = ∫ F(r) ! dr + ∫ G (r) ! dr
c.
∫ F(r) ! dr = ∫
C
;
C
C
C
C
konstanta
C
F(r ) ! dr + ∫ F(r ) ! dr ; jika lintasan C dibagi menjadi
C1
C2
dua busur, yaitu C1, dan C2 dengan arah yang sama dengan arah C. Contoh Soal 1. Tentukan a. F
=
∫ F(r) ! dr ; jika C
y2 i – x4 j
C : r(t) = t i + t–1 j ; 1 ≤ t ≤ 3 b. F
=
y2 i
C : sepanjang kurva x2 + 4y = 4 dari (2, 0) ke (0, 1) c. F
=
3y i + x j
C : segmen garis lurus dari (0, 0) ke (2, 2½ ) ⇒ a.
x(t) = t y( t ) = t −1
∴ ∫ F(r) ! dr C
b.
F = t −2 i − t 4 j
r ' ( t ) = i − t −2 j
=
∫ [t
=
1 28 1 27 − 3 = 3 − − 1 + 3 = 3
3
−2
1
∫ F(r) ! dr = ∫ y dx
;
2
C
C:
C
x2 + 4y2
=
]
3
1 + t dt = − t + t 3 3 1 2
−1
2≤x≤0
4
4y2
=
4 – x2
y2
=
4 − x2 4
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
63
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
0
∫ F(r) ! dr C
0
4 − x2 1 1 dx = 4x − x 3 4 4 3 2
=
∫
=
1 8 4 0 − (8 − ) = − 4 3 3
2
c. y Persamaan
segmen
garis dari (0, 0) ke (2, ½), adalah:
(2, 12 )
1 2
y
x
=
2
(0, 0) x(t) = t 1 y( t ) t 4 F[r(t)] = r'(t) =
1 ,0≤x≤2 4
1 r(t) = t i + t j 4 3 ti–tj 4
i+
1 j 4 2
2 3 21 1 1 ∴ ∫ F(r) ! dr = ∫ t − t dt = ∫ t dt = t 2 = 1 C 4 2 4 0 0 0 4
2. Tentukan usaha yang dilakukan oleh harga F = xi – zj + 2yk yang bergerak sepanjang C : z = y4, x = 1; dari (1, 0, 0) ke (1, 1, 1) ⇒
x =1 y=t z=t
4
r(t) = i + tj + t4k ;
F[r(t)] =
i – t4j + 2t k
r'(t) =
j + 4t3k
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
0≤t≤1
64
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
∫[ 1
∴ W = ∫ F ! dr =
0
C
4
1
1
4
0
7 5
= 3. Tentukan
]
7 − t + 8t dt = ∫ 4 t dt = t 5 0 5 4
∫ (x
2
C
+ y 2 ) ds , jika
C : lintasan y = 2x dari (0, 0) ke (1, 2) ⇒
dx 2 + dy 2
ds = y =
2x
dy = 2dx
dx 2 + (2dx ) 2 = dx 5
ds =
∴ ∫ (x 2 + y 2 ) ds C
4. Tentukan
1
∫
=
5 5 31 5 5 x = 0 3 3
0
0≤x≤1 1
=
(x 2 + 4x 2 ) 5 dx = 5 5 ∫ x 2 dx
∫ y dx + x dy ; 2
;
2
C
0
jika
C : Lintasan trapezium seperti dalam gambar berikut
y (2,2)
C3
C2
(0, 1) C4
x
(0, 0)
C1
(0, 2)
⇒
∫ y dx + x dy = ∫ 2
2
C
C1
∫
C3
"
( y 2dx + x 2 dy) + ∫ ( y 2dx + x 2 dy) + C2
( y 2dx + x 2 dy) + ∫ ( y 2dx + x 2 dy) C4
Lintasan C1:
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
65
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
x=t y=0
∫
.......... → dx = dt .......... → dy = 0 0≤t≤2
∫
2
0
"
.......... → dx = dt .......... → dy = 0 0≤t≤2
0
2
∫
( y 2dx + x 2 dy) = ∫ ( t 2 0 + 4dt )
∫
4dt = 4t 0 = 8
C1 2
0
0
2
Lintasan C3:
x=t 1 y = +1 2 2≤t≤0
"
2
(0 dt + t 2 0) = ∫ 0 dt = 0
Lintasan C2:
x=t y=0
"
( y 2dx + x 2 dy) =
C1
0 1 1 2 2 + = ( y dx x dy ) ( t + 1) 2 dt ) + t 2 . dt ∫C3 ∫ 2 2 2 0 3 3 3 1 2 2 ∫2 ( 4 t + t + 1) = 12 t + 2 t + t = 8 4 0 − ( + + 2) = −6 4 2
→ dx = dt → dy =
1 dt 2
Lintasan C4:
.......... → dx = 0 x =0 .......... → dy = dt y=t 1≤ t ≤ 0
∫
C4 0
1
( y 2dx + x 2 dy) =
∫ (t
2
+ 0 + 0 2 dt ) = 0
∴ ∫ y 2 dx + x 2 dy = 0 + 8 − 6 + 0 = 2 C
5. Tentukan besarnya usaha dalam gerakan partikel yang menjalani lintasan satu putaran elips C dibuang dibidang XOY, jika elips tersebut berpusat di titik 0 dengan sumbu panjang 4 dan sumbu pendek 3, dan jika medan gayanya diberikan oleh: F = (3x – 4y + 2z)i + (4x + 2y – 3z2)j + (2xz – 4y2 + z3) k Persamaan ellips :
x 2 y2 + =1 32 4 2
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
66
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
x 2 y2 + =1 9 16 z
;
z=0
4 y
3
x
Misalkan
x = 3 cos t r ( t ) = 3 cos t i + 4 sin t j y = 4 sin t 0 ≤ t ≤ 2π z=0 F[r(t)] = r'(t) ∴W
[9 cost – 16 sint] i + [12 cost + 8 sint] j + [–16 sint] k
=
–3 sint i + 4 cost j
∫
=
2π
− 3 sin t (9 cos t − 16 sin t ) + 4 cos t (12 cos t + 8 sin t )dt
0
∫
=
2π
(−27 sin t cos t + 48 sin 2 t + 48 cos 2 t + 32 sin t cos t )dt
0
∫
=
2π
(48 + 5 sin t + cos t )dt
0
∫
=
0
2π
2π
(48dt + 5∫ sin t d ( sin t ) 0
2π
=
48t 0
5 2 2π si n t = 96π + 0 = 96π 0 2
Soal-Soal
∫ F[r ] dr jika:
1. Hitunglah F[r] =
C
[x + y] i + [y – x] j
a. C :
Parabola y2 = x dari [1, 1] sampai [4, 2]
b. C :
Garis lurus dari [1, 1] sampai [4, 2]
c. C :
Garis lurus dari [1, 1] ke [1, 2] dan dilanjutkan ke [4, 2]
2. Hutunglah
∫ F[r ] . dr jika C
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
67
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw F[r] =
[2x – y + 4] i + [5y + 3x – 6] j
a. C :
Sekeliling segitiga di bidang xoy dengan titik-titik sudut [0,0] [3,0], [3,2] yang dijalani berlawanan arah jaru jam.
b. C : 3. Hitunglah
Sekeliling lingkungan berjari-jari 4 dan berpusat di [0, 0]
∫ [x
2
C
+ y 2 ] ds jika
a. C :
Sepanjang busur lingkaran x2 + y2 = 4 dari [2, 0] sampai [0,2]
b. C :
Sepanjang sumbu x dari [0, 0] ke [1, 0] kemudian dilanjutkan ke [1, 1]
Jawab
34 ; 3
b. 11
2. a. 12 ;
b. 64
3. a. 4
b.
1. a.
;
;
c. 0
5 3
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
68
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw 4.2. Teorema Green Transformasi Integral Rangkap Dua Ke Integral Garis Integral rangkap dua yang meliputi suatu daerah dalam bidang XOY bisa ditransformasikan ke dalam integral garis sepanjang batas dari daerah tersebut atau sebaliknya. Transformasi tersebut dilakukan dengan teorema Green pada bidang. Transformasi dengan teorema Green ini penting
karena
bisa
digunakan
untuk
membantu
mengevaluasi
perhitungan integral dengan lebih mudah. Teorema Green : Misalkan R adalah daerah tertutup dan terbatas pada bidang XOY yang batas C nya
erdiri atas sejumlah kurva licin (smooth curve) yang
berhingga, misalkan F1(x,y) dan
F2(x,y) adalah fungsi-fungsi yang kontinu
dan mempunyai derivatif parsial
∂F2 ∂F1 dan ∂x ∂y
dalam
domain yang
memuat R, maka :
∂F2
∫∫ ∂x R
−
∂F1 dx dy = ∂y
∫ [ F dx + F dy ] = ∫ F ! dr C
1
2
C
Integrasi ini dilakukan sepanjang batas C di R. y C R x Apabila ditulis dalam bentuk vektor menjadi :
∫∫ [CurlF ] ! k R
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
dxdy
69
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
∫
= F ! dr C
F = F1(x,y) i + F2(x,y) CONTOH : Misalkan : F = (y2 - 7y) i + (2xy + 2x) j F1 = y2 - 7y F2 = 2xy + 2x C : lingkaran x2 + y2 = 1 y 1 -1
∂F2
R
x
-1
Ruas Kiri :
∫∫ ∂x
1
−
∂F1 dx dy = ∂y
∫∫ [(2 y + 2) − (2 y − 7)] dxdy
=9
R
∫∫
R
dxdy = 9 x luas lingkaran x2 + y2 = 1
= 9π Ruas Kanan : r(t) = cos t i + sin t j ; 0≤t≤2π x(t) = cos t y(t) = sin t F1[r(t)] = sin2 t - 7 sin t F2[r(t)] = 2 cos t sin t + 2 cos t r'(t) = - sin t i + cos t j
∫ F ! dr = C
2π
∫ [(sin
2
t − 7 sin t )(− sin t ) + (2 cos t sin t + 2 cost )(cos t )]dt
0
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
70
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
2π
∫ [− sin
=
3
t + 7 sin 2 t + 2 cos 2 t sin t + 2 cos 2 t ]dt
0
2π
2π
2 ∫ [(1 − cos t )d cos t
=
+
∫ [1 − cost ]dt
7 2
0
2π
-
0
∫
2 cos 2 td cos t
+
0
2π
∫ (1 + cos 2t )dt 0
= cos t =
7 2
2π
1 3
cos 3 t + 72 t − 74 sin 2t − 23 cos 3 t + t + 12 sin 2t Ι 0
⋅ 2π + 2π = 9π
Bukti Teorema Green : y
y d
C**
p(y)
v(x)
a
u(x)
q(y)
c
C* b
x
x
Misalkan R adalah daerah yang dibatasi oleh lengkung seperti dalam gambar, maka :
C = C* ∪ C**
a ≤ x ≤ b ; u(x) ≤ y ≤ v(x) c ≤ y ≤ d ; p(y) ≤ x ≤ q(y)
∂F ∫∫R ∂y1 dx dy =
∂F1 dy ∂y u ( x) v( x)
b
b
∫[ ∫ a
] dx = ∫ F1 ( x, y)
y =v ( x ) y =u ( x )
a
b
=
∫ [F [ x, v( x)] − F [ x, u( x)]] dx 1
1
a b
=
∫ F1[ x, v( x)]dx a
b
∫ F [ x, u ( x)]dx 1
a
a
= -
b
∫ F [ x, v( x)]dx - ∫ F [ x, u ( x)]dx 1
1
b
= -
a
∫ F [ x, y ]dx - ∫ F [ x, y ]dx 1
C **
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
1
C*
71
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
∫
= -
F1 ( x, y ) dx
C
Secara sama :
∂F2 ∫∫R ∂x dx dy =
∂F2 dx ∂ x p( y)
q( y)
d
∫[ ∫ c
] dy
d
=
∫ F ( x, y ) 2
x=q( y ) x= p( y)
c
d
=
∫ [F [q( y), y ] − F [ p( y), y ]] dy 2
2
c
d
=
d
∫ F [q( y), y ]dy - ∫ F [ p( y), y]dy 2
2
c
c
d
=
c
∫ F2 [q( y), y ]dy +
∫ F [ p( y), y]dy 2
c
=
∫ F [ x, y ]dy + ∫ F [ x, y]dy 2
2
C*
=
∴
∫∫
R
d
C **
∫
C
∂F2 dx dy ∂x
F2 ( x, y ) dy
∫∫
R
∂F2 dx dy = ∂x
∫
C
F2 ( x, y ) dy +
∫
C
F1 ( x, y ) dx
atau :
∂F2
∫∫ ∂x R
−
∂F1 dx dy = ∂y
∫ [ F dx + F dy ] = ∫ F ! dr 1
C
2
C
Luas Daerah Pada Bidang Sebagai Integral Garis Dalam Lintasan Tertutup Jika F1 = 0 F2 = x
, maka
dan
∫∫ dxdy R
=
∫
xdy
∫
ydx
C
jika F2 = y F1 = 0 sehingga,
∫∫ dxdy R
Karena maka,
∫∫ dxdy
, maka =
∫∫ dxdy R
1 2
R
= -
C
∫ ( xdy − ydx) C
= A = luas daerah yang dibatasi oleh bidang R
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
72
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
A=
∫∫ dxdy R
=
∫ ( xdy − ydx)
1 2
C
Luas Daerah Pada Bidang Dalam Koordinat Polar. Misalkan :
A=
x = r cos θ y = r sin θ
dx = cosθ dr - r sinθ dθ dy = sinθ dr + r cosθ dθ
∫∫ dxdy = ∫ ( xdy − ydx) ∫ [r cosθ (sin θdr + r cosθdθ ) − r sin θ (cosθdr − r sin θdθ )] ∫ [r cosθ sin θdr + r cos θdθ − r sin θ cosθdr − r sin θdθ ] ∫ [r cos θ dθ + r sin θdθ ] = ∫ r dθ 1 2
R
=
1 2
C
=
1 2
C
=
1 2
C
C
2
2
2
2
A= CONTOH : 1. Dengan
2
1 2
∫
C
2
2
1 2
2
2
C
r 2 dθ
menggunakan
teorema
Green
tentukan
sepanjang lintasan C, jika F = 3x2 i - 4xy j C : sekeliling segi 4 dengan batas 0 ≤ x ≤ 4 ; 0 ≤ y ≤ 1 berlawanan dengan arah jarum jam. Penyelesaian : y
(0,1)
∫
C
F (r ) ! dr
dengan arah
(4,1)
(0,0)
(4,0)
x
F = 3x2 i - 4xy j F1 = 3x2 F2 = 4xy
∫
C
→
∂F1
= 0
∂y ∂F2 → = -4y ∂y
F (r ) ! dr =
∫ [ F dx + F dy ] C
1
2
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
73
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
Teorema Green :
∂F2
∫ [ F dx + F dy] = ∫∫ ∂x 1
C
2
R
4
∂F1 dx dy ∂y
1
∫
=
−
∫ (−4 y − 0) dy dx =
0
0
4
∫
=
-2 dx = -2x
1
4
∫
-2y dx
0
0
= -8
0
0
2. Tentukan luas daerah yang dibatasi ellips Penyelesaian : y b -a A=
a 1 2
∫
C
( xdy − ydx) =
=
x2 y2 + =1 a2 b2
x = a cosθ → dx = - a sinθ dθ y = b sinθ → dy = b cosθ dθ
x 2π
∫ [a cos θb cosθdθ ) − b sin θ (−a sin θdθ )]
1 2
0
2π 1 2
1
2π
∫ [ab cos θ + ab sin θ ]dθ 2
=
2
0
1 2
∫ abdθ =
1 2
ab θ
0
3. Tentukan luas Kardioida r = a(1 - cos θ)
;
2π
= π ab
0
0 ≤ θ ≤ 2π
Penyelesaian : y a 2a
x -a
Luas Kardioida =
∫
1 2 C
r2 dθ
2π
=
1 2
∫ [a(1 − cos θ )]
2
dθ
0
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
74
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
2π
=
1 2
∫ [a
2
(1 − 2 cos θ + cos 2 θ )] dθ
0
2
=
a 2
2π 1 + cos 2θ θ θ dθ − + 2 sin ∫ 2 0
2π a2 [θ − 2 sin θ + 12θ + 14 sin 2θ ] = 2 0 2 2π a 3θ 1 = − 4 sin 2θ ] 2 2 0 2 a 3π a 2 [3π − 0] = = 2 2
SOAL-SOAL : 1. Dengan teorema Green tentukan
∫ [( x
2
C
− xy 2 )dx + ( y 2 − 2 xy )dy ]
dengan C : lintasan bujur sangkar dengan titik-titik sudut (0,0); (2,0); (2,2); (0,2) Jawab : 8 2. Dengan teorema Green tentukan
∫ [( x C
3
− x 2 y )dx + xy 2 dy ]
dengan C : daerah yang dibatasi lingkaran x2 + y2 = 4 16 Jawab : 120π 3. Dengan teorema Green tentukan
∫
C
dan x2 + y2 =
F (r ) ! dr , jika
F = xy2 i - x2y j C : batas daerah yang dibatasi oleh x ≥ 0 ; 0 ≤ y ≤ 1-x2 Jawab : -1/3 4. Tentukan luas daerah di kuadran I yang dibatasi oleh y = x dan y = x3 Jawab : 1/4 5. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh hiposikloida x 2 / 3 + y 2 / 3 = a 2 / 3 Persamaan parameternya adalah : x = a cos3t 0 ≤ t ≤ 2π y = a sin3t ; Jawab : 3π
a2 8
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
75
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw 4.3. Medan Gaya Konservatif. Integral Garis yang tidak tergantung pada bentuk lintasan Dalam bidang (R2) : Jika F(x,y) = F1(x,y) i + F2(x,y) j r = xi+yj dr = dx i + dy j Teorema : Syarat perlu dan cukup untuk
∫
C
F ! dr = ∫ F1 dx + F2 dy tidak C
tergantung pada bentuk lintasan C yang menghubungkan dua adalah : titik pada daerah R dalam bidang R2
∂F1 ∂F2 = ∂y ∂x atau jika bisa ditemukan suatu fungsi φ (x,y) sedemikian hingga :
∂φ = F1 ∂x ∂φ = F2 ∂y Kejadian khusus jika C lintasan tertutup dan
∫
C
∂F1 ∂F2 = ∂y ∂x
maka
F ! dr = 0
BUKTI : F ! dr = F1(x,y) dx + F2(x,y) dy Karena
∂F1 ∂F2 , maka pasti dapat ditemukan fungsi φ (x,y) = ∂y ∂x
sedemikian hingga :
∂φ = F1 ∂x ∂φ = F2 ∂y
,
sebab
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
∂F1 ∂ 2φ = ∂y ∂y∂x
=
∂F2 ∂ 2φ = ∂x ∂x∂y
76
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
∂φ ∂φ dx + dy = d φ ∂x ∂y
Jadi : F◦dr =
Misalkan C adalah lintasan dari (x1, y1) ke titik (x2, y2), maka
∫
Terbukti
( x2 , y 2 )
( x1 , y1 )
( x1 , y1 )
∫ dφ = φ
F◦dr =
C
( x2 , y 2 )
bahwa
nilai
integrasinya (batas C)
= φ (x2, y2) - φ (x1, y1)
integralnya
C
tergantung
pada
batas
dan tidak tergantung pada bentuk lintasannya. x1 = x2
Jika C lintasan tertutup, maka
∫
hanya
dan
y1 = y2
sehingga
F◦dr = 0
CONTOH : ( 2 ,1)
∫ [(2 xy − y
1. a. Buktikan bahwa
4
+ 3)dx + ( x 2 − 4 xy 3 )dy ] tidak tergantung
(1, 0 )
pada lintasan yang menghubungkan (1,0) dan (2,1). b. hitung nilai integral garisnya. Penyelesaian : a. F1 = 2xy - y4 + 3 F2 = x2 - 4xy3 Karena
∂F1 = 2x − 4 y 3 ∂y ∂F2 = 2 x - 4y3 ∂x
→ →
∂F1 ∂F2 , jadi integral garis tersebut tidak tergantung pada = ∂y ∂x
bentuk
lintasan.
∂φ = F1 ∂x
b. Dari ..............(i) Dari
maka
φ =
∫ (2 xy − y
4
+ 3)dx = x2y - xy4 + 3x + g(y)
x
∂φ = F2 maka ∂y
φ =
∫ (x
2
− 4 xy 3 )dy = x2y - xy4 + h(x)
y
..............(ii) Fungsi φ =
∫ F dx = ∫ F dy x
1
y
2
(i) = (ii) → x2y - xy4 + 3x + g(y) = x2y - xy4 + h(x) Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
77
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
g(y) = 0 h(x) = 3x
∴ φ = x2y - xy4 + 3x ( 2 ,1)
∴
∫ [(2 xy − y + 3)dx + ( x − 4 xy )dy] = φ 4
2
( 2 ,1)
3
(1, 0 )
=
x2y
-
xy4
+ 3x
(1, 0 )
( 2 ,1) (1, 0 )
= (22.1 - 2.14 + 3.2) - (12.0 - 1.0 + 3.1) = 8-3=5 2. Hitung
∫
C
F◦dr , jika :
F = (2xy3 - y2 cos x) i + (1 - 2y sin x + 3x2y2) j C : sepanjang parabola 2x = πy2 dari (0,0) ke (
π , 1) 2
Penyelesaian : F1 = 2xy3 - y2 cos x
-----------------
F2 = 1 - 2y sin x + 3x2y2 Karena
--------------------------
∂F1 ∂F2 , = ∂y ∂x
∂F1 = 6 xy 2 − 2 y cos x ∂y ∂F2 = −2 y cos x + 6 xy 2 ∂x
jadi integral garis tersebut tidak tergantung
pada bentuk
lintasan.
Mencari fungsi φ : Dari ............(i) Dari
∂φ = F1 maka φ = ∫ (2 xy 3 − y 2 cos x)dx = x2y3 - y2sinx + g(y) ∂x x ∂φ = F2 maka φ = ∫ (1 − 2 y sin x + 3x 2 y 2 )dy = y- y2sinx + x2y3 + h(x) ∂y y
..........(ii) Fungsi φ =
∫ F dx = ∫ F dy x
1
y
2
(i) = (ii) → x2y3 - y2sinx + g(y) = y - y2sinx + x2y3 + h(x) g(y) = y h(x) = 0 ∴ φ = x2y3 - y2sinx + y
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
78
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
∴
∫
C
F◦dr = φ
( π2 ,1)
=
x2y3
-
y2sin
x+y
( 0, 0 )
( π2 ,1) ( 0, 0 )
π2 3 2 π =( .1 − 1 . sin + 1 ) - (0 4 2
- 0 + 0) = 3. Hitung
∫
C
π2 π2 −1+1 = 4 4
F◦dr , jika
F = (x2y cosx + 2xy sinx - y2 ex) i + (x2 sinx - 2y ex) j C : keliling hiposikloida
x2/3 + y2/3 = a2/3
Penyelesaian : F1 = x2y cosx + 2xy sinx - y2 ex
-------
∂F1 = x 2 cos x + 2 x sin x − 2 ye x ∂y
F2 = x2 sinx - 2y ex
------
∂F2 = 2 x sin x + x 2 cos x − 2 ye x ∂x
Karena
∂F1 ∂F2 , = ∂y ∂x
pada bentuk
jadi integral garis tersebut tidak tergantung
lintasan.
Dan karena C lintasan tertutup maka
∫
C
F◦dr = 0
Dalam Ruang (R3) : Jika F(x,y) = F1(x,y) i + F2(x,y) j + F3(x,y) k r = xi+yj+zk dr = dx i + dy j + dz k Teorema : Syarat perlu dan cukup untuk F ! dr =
∫
C
∫
C
F1 dx + F2 dy + F3 dz tidak
tergantung pada bentuk lintasan C yang menghubungkan dua titik pada daerah R dalam ruan R3 adalah :
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
79
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
∂F1 ∂F2 = ∂y ∂x ∂F3 ∂F1 = ∂z ∂x ∂F ∂F2 = 3 ∂z ∂y
Atau : Curl F = ∇ x F = 0 bisa ditemukan suatu fungsi φ (x,y) sedemikian hingga :
∂φ = F1 ∂x
∂φ = F2 ∂y
;
atau jika
;
∂φ = F3 ∂z
BUKTI :
F ! dr = F1(x,y,z) dx + F2(x,y,z) dy + F3(x,y,z) dz Karena
∂F ∂F1 ∂F1 ∂F2 ; = 3 = ∂z ∂x ∂y ∂x
;
∂F ∂F2 = 3 ∂z ∂y
, maka pasti dapat ditemukan fungsi φ (x,y,z) sedemikian hingga :
∂F1 ∂ 2φ = ∂y ∂y∂x
∂φ = F1 ∂x ∂φ = F2 , ∂y ∂φ = F3 ∂z Jadi : F ◦ dr =
sebab
=
∂F2 ∂ 2φ = ∂x ∂x∂y
∂F1 ∂ 2φ = = ∂z ∂x∂z ∂F2 ∂ 2φ = = ∂z ∂y∂z
∂F3 ∂ 2αφ = ∂x ∂z∂x ∂F3 ∂ 2φ = ∂y ∂z∂y
∂φ ∂φ ∂φ dx + dy + dz = d φ ∂x ∂y ∂z
Misalkan C adalah lintasan dari (x1, y1, z1) ke titik (x2, y2, z2), maka
∫
C
F◦dr =
( x2 , y 2 , z 2 )
( x2 , y 2 , z 2 )
( x1 , y1 , z1 )
( x1 , y1 , z1 )
∫
dφ = φ
= φ (x2, y2, z2) - φ (x1, y1, z1)
Terbukti bahwa nilai integralnya hanya tergantung pada batas integrasinya
(batas
C)
dan
tidak
tergantung
pada
bentuk
lintasannya.
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
80
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw Kejadian khusus jika C lintasan tertutup dan Curl F = 0 maka
∫
C
F ! dr = 0
Jika F adalah medan gaya yang bekerja pada suatu obyek yang bergerak sepanjang
lintasan C, maka medan gaya F disebut
medan gaya konservatif apabila usaha yang dilakukan
oleh
gaya
F
untuk menggerakkan obyek sepanjang lintasan C tadi tidak tergantung pada bentuk lintasannya, tetapi hanya tergantung pada titik awal dan titik akhirnya saja. CONTOH : 1.a. Buktikan bahwa F = (2xz3 + 6y) i + (6x - 6yz) j + (3x2z2 - y2) k adalah medan gaya konservatif. b. Hitung usaha yang dilakukan oleh gaya F untuk menggerakkan benda dari titik
P(1,-1,1) ke titik Q(2,1,-1)
Penyelesaian : a. F medan gaya konservatif jika ∇ x F = 0 atau Curl F = 0
Curl F =
i ∂ ∂x
j ∂ ∂y
2 xz 3 + 6 y
k ∂ ∂z
6 x − 2 yx
= (-2y + 2y)i-(6xz2 -6xz2)j+(6-6)k
3x 2 z 2 − y 2
=0 Karena curl F = 0 , maka F merupakan medan gaya konservatif. b.
∂φ = 2 xz 3 + 6 y → φ = ∂x
∫
∂φ = 6 x − 2 yz ∂y
→ φ =
∫
(6x - 2yz) dy = 6xy - y2z + h(x,z) . .......... (ii)
∂φ = 3x 2 z 2 − y 2 → φ = ∂z
∫
(3x2z2 - y2) dz = x2z3 - y2z + k(x,y ........... (iii)
x
y
z
(2xz3 + 6y) dx = x2z3 + 6xy + g(y,z) ........... (i)
(i) = (ii) → x2z3 + 6xy + g(y,z) = 6xy - y2z + h(x,z) g(y,z) = - y2z h(x,z) = x2z3 (i) = (iii) → x2z3 + 6xy + g(y,z) = x2z3 - y2z + k(x,y) Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
81
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw g(y,z) = - y2z k(x,y) = 6xy
φ = x2z3 + 6xy - y2z
∫ F !dr = φ
∴W =
C
Q
= x2z3 + 6xy - y2z
P
( 4 ,1, −1) (1, −1,1)
= [ 42.(-1)3 + 6.(4).1 - 12.(-1)] - [ 12.(-1)3 + 6.1.(-1) - (-1)2. 1] = 15 2. Hitung usaha yang dilakukan oleh gaya F = y i + (x+y) j + z5 k
yang
sepanjang lintasan C : x2 + y2 = 1 dan z = y ,
bekerja
dari titik (0,1,1) sampai titik (1,0,0) Penyelesaian :
Curl F =
i ∂ ∂x
j ∂ ∂y
y
x+ y
k ∂ = (0 - 0)i - (0 - 0) j + (1-1)k = 0 ∂z z5
Karena curl F = 0 , maka F medan gaya konservatif → W =
∫
C
F ! dr = φ
(1, 0 , 0 ) ( 0 ,1,1)
Mencari fungsi φ :
∂φ =y ∂x
→ φ =
∫
y dx = xy + g(y,z)
∂φ = x+ y ∂y
→ φ =
∫
(x + y) dy = xy +
∂φ = z5 ∂z
→ φ =
∫
z5 dz =
x
y
z
(i) = (ii) → xy + g(y,z) = xy + g(y,z) =
............... (i)
1 2 y + h(x,z) 2
1 6 z + k(x,y) 6
............... (ii) ............... (iii)
1 2 y + h(x,z) 2
1 2 y + h(x,z) 2
(i) = (iii) → xy + g(y,z) =
1 6 z + k(x,y) 6
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
82
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
k(x,y) = xy + g(y,z) (ii) = (iii) → xy +
1 2 1 6 y + h(x,z) = z + k(x,y) 2 6
k(x,y) = xy + h(x,z) =
φ = xy + W=
∫
C
= -
1 6 1 2 1 6 z = xy + y + h(x,z) z 6 2 6
1 2 y 2
1 6 z 6
1 2 1 6 y + z 2 6
F ! dr = φ
(1, 0 , 0 )
= (xy +
( 0 ,1,1)
1 2 1 6 y + z) 2 6
(1, 0 , 0 )
= (0 + 0 + 0) - (0 +
( 0 ,1,1)
1 1 + ) 2 6
2 3
SOAL-SOAL : 1. Tentukan besarnya usaha W yang dilakukan oleh gaya F = yz i + xz j + xy k untuk
menggerakkan suatu partikel sepanjang garis lurus
dari P(1; 1,1; 1) ke Q(3; 3; 2). Jawab : 17 2. Hitung
∫
C
F ! dr , jika
F = 2xy i + (x2 + z) j + y k C : lintasan x2 + y2 = 1 ; z = x dari (1,0,1) ke (0,1,0) Jawab = 0 3. Hitung
∫ F !dr C
, jika
F = 3x2 e3y i + 3x3 e3y j - 3e-3z k C : keliling ellips 25x2 + y2 = 25 ; z = 0 berlawanan arah dengan jarum jam. Jawab = 0
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
83
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw 4.4. Integral Luasan / Integral Permukaan ( Surface Integrals) A. Penyajian Persamaan Luasan / Permukaan a. Penyajian Dalam Koordinat Kartesius z = f(x,y)
atau
g(x,y,z) =
0 Misalnya : z=
x2 + y2 + z2
atau
x2 + y2 + z2 - a2 = 0 x2 + y2 + z2 = a2
merupakan luasan dari bola dengan jari-jari a dan berpusat di titik O(0,0,0). z a a
y
a x
b. Penyajian dalam bentuk fungsi vektor r(u,v) = x(u,v) i + y(u,v) j + z(u,v) k , (u,v) ∈ R CONTOH : 1. Luasan berupa bidang segi empat 0 ≤ x ≤ a ; 0 ≤ y ≤ b ; z = c z c b
y
x(u,v) = u ; 0 ≤ u ≤ a y(u,v) = v ; 0 ≤ v ≤ b z(u,v) = c r(u,v) = u i + v j + c k
a 2. Luasan berupa bidang 0 ≤ z ≤ (a-x) ; 0 ≤ x ≤ a ; y = c
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
84
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw z a a-x
x(u,v) = u y(u,v) = c z(u,v) = v
y
a
c
3. Luasan berupa bidang
; 0≤u≤a ; 0 ≤ v ≤ (a-u)
r(u,v) = u i + c j + v k
x y z + + = 1 di oktan I a b c
z c b
y
b(1 − u / a) a
x(u,v) = u y(u,v) = v
; 0≤u≤a ; 0≤ v ≤
z(u,v) = c(1 - u/a - v/b) r(u,v) = u i + v j + c(1-u/a-v/b) k
4. Luasan berupa bidang y2 ≤ z ≤ c2 ;
0≤y≤c ; x=a
z c
x(u,v) = a 0≤u≤c y(u,v) = u ; u 2 ≤ v ≤ c2 z(u,v) = v ; r(u,v) = a i + u j + v k
z = c2 c
y
a 5. Luasan berupa bidang lingkaran z
c
y2 + z2 = a2
di x = c ;
x(u,v) = c y
y(u,v) = u cos v
;
0≤u≤a
z(u,v) = u sin v
;
0 ≤ u ≤ 2π
r(u,v) = c i + u cosv j + u sinv k x
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
85
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
6. Luasan berupa silinder putar : x2 + y2 = a2
;
-c ≤ z ≤ c
x(u,v) = a cos u y(u,v) = a sin u
; 0 ≤ u ≤ 2π
z(u,v) = v
; -c ≤ v ≤ c
r(u,v) = a cos u i + a sin u j + v k z c
a
y
a x
-c
7. Kerucut Putar : z =
x2 + y2
z2 = x2 + y2
;
0≤z≤c
z c
-c
x(u,v) = u cos v
c
y
y(u,v) = u sin v
;
0≤u≤c
z(u,v) = u
;
0 ≤ v ≤ 2π
r(u,v) = u cos v i + u sin v j + u k
x 8.
Luasan Bola : x2 + y2 + z2 = a2 ; di oktan I dan II a. z P u v x
P' x(u,v) = a cos v cos u
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
y ;0≤u≤π
86
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw y(u,v) = a cos v sin u
; 0 ≤ v ≤ π/2
z(u,v) = a sin v r(u,v) = a cos v cos u i + a cos v sin u j + a sin v k b.
z P v u
y
x
x(u,v) = a cos u cos v y(u,v) = a sin u sin v
;0≤u≤π ; 0 ≤ v ≤ π/2
z(u,v) = a cos u r(u,v) = a cos u cos v i + a sin u sin v j + a cos u k B. Bidang Singgung Dan Normal Luasan Untuk menghitug Integral Garis digunakan vektor singgung dari lintasan C, yaitu r'(t), sehingga integral garis bisa didefinisikan sebagai :
∫
C
b
F (r ) ! dr = ∫ F (r ) ! r ' (t )dt a
Secara sama , dalam menghitung Integral Luasan akan digunakan vektor normal luasan, yang akan ditentukan dari bidang singgungnya. Bidang singgung suatu luasan S di titik P di S yang dinotasikan dengan T(P), adalah bidang yang memuat garis singgung di titik P dari semua kurva di S yang melalui P. Untuk menentukan bidang singgung T(P) dari suatu luasan S yang dinyatakan dalam bentuk fungsi vektor r(u,v), bisa diturunkan dari kenyataan bahwa suatu kurva di S bisa dinyatakan dalam bentuk pasangan fungsi-fungsi kontinu sebagai berikut : ║ u = u(t) ║ v = v(t)
dan
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
87
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw Fungsi-fungsi u(t) dan v(t) tersebut menyatakan kurva atau lintasan yang terletak pada luasan S, sehingga u(t) dan v(t) akan memenuhi persamaan r(u,v), yaitu :
~ r (t) = r[u(t),v(t)]
→ persamaan kurva yang terletak pada luasan
S : r(u,v) Misalnya :
r (t) = a cos t i + a sin t j + ct k Karena Helix putar ~
terletak pada luasan
S yang berbentuk silinder dengan persamaan r(u,v) = a cos u i + a sin u j +vk. maka kurva atau lintasan yang berbentuk helix putar
tersebut bisa
dinyatakan dalam bentuk pasangan fungsi kontinu : ║u= t ║ v = ct yang memenuhi persamaan r(u,v) dari silinder di atas. Selanjutnya vektor singgung dari kurva ~ r (t) = r[u(t),v(t)] bisa ditentukan dengan dalil rantai :
dr ∂r~ du ∂~ r dv ~ = ru u' + rv v' = + r '(t) = dt ∂u dt ∂v dt Dengan mengambil satu titik P pada luasan S, perhatikan semua kurva pada S yang melalui P, yang masing-masing kurva tersebut bisa dinyatakan dalam bentuk pasangan fungsi-fungsi kontinu u(t) dan v(t). Selanjutnya dari semua kurva yang melalui P tersebut bisa ditentukan vektor singgung atau
~ r '(t) nya. Vektor-vektor singgung ini akan
membentuk satu bidang, yaitu bidang singgung T(P), asal ru dan rv ada dan keduanya tidak tergantung secara linier (tidak segaris), sehingga : N = ru x rv ≠ 0 yang berarti bahwa N ⊥ pada bidang singgung T(P), oleh karena itu N merupakan Vektor Normal dari luasan / permukaan S di titik P.
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
88
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
n
ru T(P)
rv
∴ Vektor Normal satuan dari luasan S = n =
S
r xr N = u v N ru xrv
Jika S disajikan dalam persamaan g(x,y,z) = 0 maka
:
n =
grad .g grad .g
CONTOH : 1. Tentukan vektor normal satuan dari luasan r(u,v) = (u+v) i + (u-v) j Penyelesaian : ru =
∂r =i+j ∂u
rv =
∂r =i-j ∂v i
N = r u x rv =
∴n=
− 2k 4
j
k
1 1 1 −1
0 0
= i (0) - j (0) + k(-2) = -2 k
= −k
2. Tentukan vektor normal satuan dari ellipsoida putar r(u,v) = cos v cos u i + cos v sin u j + 2 sin v k
; di sembarang titik.
Penyelesaian : ru =
∂r = - cos v sin u i + cos v cos u j ∂u
rv =
∂r = - sin v cos u i - sin v sin u j + 2 cos v k ∂u
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
89
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
i
N =
j − cos v sin u cos v cos u − sin v cos u − sin v sin u
k 0 2 cos v
= i (2cos2v cosu - 0) - j (-2cos2 v sinu - 0) + k (cosv sinv sin2u + cosv sinv cos2u) = 2cos2v cosu i + 2cos2v sinu j + cosv sinv k | N| =
4 cos 4 v cos 2 u + 4 cos 4 v sin 2 u + cos 2 v sin 2 v
=
4 cos 4 v(cos 2 u + sin 2 u ) + cos 2 v sin 2 v
=
4 cos 4 v + cos 2 v sin 2 v 4 cos 2 v + sin 2 v
= cosv
∴ n
= ( 2cos2v cosu i + 2cos2v sinu j + cosv sinv k) /
cosv
4 cos 2 v + sin 2 v = (2cosv cosu i + 2cosv sinu j + sinv k) /
4 cos 2 v + sin 2 v
3. Tentukan vektor normal satuan dari bola : x2 + y2 + z2 - a2 = 0 di titik P(x,y,z) sembarang. Penyelesaian : g = x2 + y2 + z2 - a2 = 0 grad g = (
∂ ∂ ∂ i+ j + k ) (x2 + y2 + z2 - a2) = 2x i + 2y j + 2z k ∂x ∂y ∂z
| grad g | =
∴n =
→
4 x 2 + 4 y 2 + 4 z 2 = 2a
2 xi + 2 yj + 2 zk 1 = (x i + y j + z k) a 2a
4. Tentukan vektor normal satuan dari kerucut putar : f(x,y,z) = -z +
x2 + y2 = 0
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
90
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw Penyelesaian :
x
grad f =
x +y 2
| grad f | =
∴n =
2
y
i +
x + y2 2
j - k
x2 + y2 + 1 = √2 x2 + y2
x2 y2 + +1 = x2 + y2 x2 + y2
x i+ 2 2 x + y 2
y
1
x2 + y2
j − k
C. Integral Luasan / Integral Permukaan Diberikan persamaan luasan S : r(u,v) = x(u,v) i + y(u,v) j + z(u,v) k
;
(u,v) ∈ R
dengan vektor normal luasan : N = ru x rv dan vektor normal satuan
: n =
N N
Integral Luasan dari suatu fungsi vektor F = F(x,y,z) meliputi luasan S (over S) didefinisikan sebagai berikut :
∫∫ F ! n dA = ∫∫ F [r (u, v)] ! N (u, v) dudv S
Dengan :
R
N(u,v) du dv = n |N| du dv
; karena n =
N N
|N| = | ru x rv | = luas jajaran genjang (segi empat) yang dibentuk oleh ru dan rv ( dengan sisi ru dan rv ) Sehingga
|N| du dv = elemen luas dA dari S
Jadi : n dA di S = n |N| du dv di R atau N dudv
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
di R.
91
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw CONTOH : 1. Tentukan integral luasan dari F = y i + 2 j + 2z k , meliputi luasan S yang berbentuk
silinder parabolis y = x2
Penyelesaian :
;
0 ≤ x ≤ 2 ; 0 ≤ z ≤ 3.
z 3 4
y
2 x Persamaan S dalam bentuk fungsi vektor :
x(u,v) = u
y(u,v) = u2 z(u,v) = v
; 0≤u≤2 ; 0≤v≤3
S : r(u,v) = u i + u2 j + v k ru = i + 2u j rv = k
i N = ru x rv =
1 0
j 2u 0
k 0 1
= 2u i - j
F[r(u,v)] = u2 i + 2 j + 2v k F[r(u,v)] ! N(u,v) = (u2 i + 2 j + 2v k ) ! (2u i - j) = 2u3 - 2
∫∫ F ! ndA = ∫∫ F [r (u, v)] ! N (u, v)dudv = S
R
3
=
3
3 2
∫ ∫ (2u
3
− 2)dudv
0 0
2 2 4 ∫0 ( 4u − 2u) 0 dv = ∫0 (8 − 4 − 0)dv = 4v
3
= 4.3 - 0 = 12
0
2. Tentukan integral luasan dari F = x2 i + 3y2 k ; meliputi luasan S yang merupakan bidang dengan persamaan x = y + z = 1 pada oktan I. Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
92
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw Penyelesaian :
z
Persamaan fungsi vektor : x(u,v) = u
;
0≤u≤1
y(u,v) = v
;
0 ≤ v ≤ 1-u
1
1
z(u,v) = 1-u-v
x
y
1
r(u,v) = u i + v j + (1-u-v) k ru = i - k rv = j - k
i
j
N = ru x rv = 1
0 1
0
k −1 = i + j + k −1
F[r(u,v)] = u2 i + 3v2 j F[r(u,v)] ! N(u,v) = (u2 i + 3v2 j ) ! ( i + j + k) = u2 + 3v2
∫∫ F ! ndA = ∫∫ F [r (u, v)] ! N (u, v)dudv S
1 1− u
=
∫ ∫ (u
2
+ 3v 2 )dvdu
0 0
R
= 1
1−u
0
0
2 3 ∫ (u v + v )
1
1
0
0
du = ∫ [u 2 (1 − u ) + (1 − u ) 3 ]du = ∫ [u 2 − u 3 + (1 − u ) 3 ]du =
1 3 1 4 1 u − u − (1 − u ) 4 3 4 4
1 0
=
1 1 1 1 − − = 3 4 4 3
Nilai dari integral luasan ini akan tergantung dari pemilihan vektor normal satuan luasan integrasinya ( ingat, untuk vektor normal satuan, selain n bisa juga dipilih -n). Sehingga integral luasan atau integral suatu fungsi terhadap / meliputi luasan S yang berarah, bisa dilakukan dengan memilih salah satu kemungkinan dari dari arah vektor normal satuannya. Arah dari n =
ru xrv ru xrv
dikatakan arah positif, sebaliknya -n disebut arah
negatif.
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
93
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw Jika kita mengubah arah dari S, yang berarti merubah n menjadi -n , maka setiap komponen dari n dikalikan dengan -1, sehingga hasil integralnya juga akan berubah menjadi -1 kali integral semula.\ Integral luasan ini biasanya muncul dalam masalah-masalah aliran fluida (flow problem). Jika F(x,y,z) = ρ(x,y,z) v(x,y,z) = ρv dengan : ρ = densitas massa fluida v = vektor kecepatan aliran fluida karena F ! n adalah komponen F dalam arah normalnya, maka :
∫∫ F ! n dA =
fluks massa fluida yang melintasi luasan S.
S
= besarnya massa fluida persatuan waktu yang melintasi luasan S. CONTOH : Hitung besarnya fluks massa dari air yang mengalir melintasi silinder parabolis S : z = x2 , 0 ≤ x ≤ 2 ; 3 ≤ y ≤ 5. Jika vektor kecepatan aliran air tesebut adalah v = -xyz i - 3z2j - k ; besarnya laju (speed) dihitung dalam meter perdetik dan densitas massa air ρ = 1 kg/liter. Penyelesaian : Persamaan fungsi vektor dari S : x(u,v) = u y(u,v) = v
; 0≤u≤2 ; 3≤v≤5
z(u,v) = u2 r(u,v) = u i + v j + u2 k
N = ru x rv =
→
ru = i + 2u k
;
rv = j
i
j
k
1 0
0 1
2u = (0-2u) - j (0) + k (1-0) = -2u i + k 0
F(x,y,z) = ρ v = 1 (-xyz i - 3z2j - k) = -xyz i - 3z2j - k F[r(u,v)] = -u3v i - 3u4 j - k
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
94
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw F[r(u,v)] ! N(u,v) = (-u3v i - 3u4 j - k ) ! (-2u i + k) = 2u4v -1
∫∫ F ! ndA = ∫∫ F[r (u, v)] ! N (u, v) dudv = S
R
2
5
∫ ∫ (2u
4
v − 1)dvdu
u =0 v =3
= 2
∫ (u 0
4
5
2
3
0
2
v − v) du = ∫ {[u (25) − 5] − [u (9) − 3]}du = ∫ [16u 4 − 2]du 2
4
4
0
2 512 16 5 u − 2u ) = − 4 = 98,4 5 5 0
= (
v dalam meter/detik ρ dalam kg/liter = 1000 kg/m3 A dalam m2 Jadi besarnya fluks massa air di atas = (98,4 m/dt)(1000 kg/m3)(m2) = 98.400 kg/detik. D. Integral Meliputi Luasan Tak Berarah a. Jika
Integran merupakan Fungsi Skalar dan Luasan Integrasi
merupakan Fungsi Vektor. Bentuk Integral Luasan :
∫∫ G (r )dA = ∫∫ G[r (u, v)] N (u, v) dudv S
R
G(r) = fungsi skalar dA
= |N| dudv = | ru x rv| dudv
yang dinyatakan
;
yaitu elemen luas dari luasan S
dalam persamaan r(u,v) = x(u,v)i + y(u,v)j + z(u,v)k
dengan arah tidak diperhatikan. Jika G(r) = 1 ; diperoleh :
A(S) =
∫∫ dA = ∫∫ A
ru x rv dudv
R
yang merupakan luas permukaan dari luasan S. Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
95
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw b. Jika Integran merupakan Fungsi Skalar dan Luasan Integrasi S merupakan
Fungsi Skalar z = f(x,y).
Sehingga : x = u y=v z = f(u,v) r(u,v) = u i + v j + f(u,v) k = [ u, v, f(u,v)] ru = [1, 0, fu] rv = [0, 1, fv] N = [1, 0, fu] x [0, 1, fv] = [ - fu ; -fv ; 1] |N| = | [ - fu ; -fv ; 1] | = Karena :
f u = fx =
∂f ∂x
fv = fy =
∂f ∂y
1 + fu + fv 2
2
, maka :
∂f ∂f ∫∫S G(r )dA = ∫∫* G[ x, y, f ( x, y )] 1 + ∂x + ∂y R 2
2
Dengan : R* =
dxdy
proyeksi
S
ke
bidang XOY Dan arah vektor normal N di S adalah arah positif. Jika G(r) = 1 , maka :
A( S ) = ∫∫ dA = ∫∫ S
R*
2
∂f ∂f 1 + + dxdy ∂x ∂y 2
S = proyeksi luasan S di bidang XOY CONTOH : 1. Tentukan
∫∫ G (r )dA ;
jika
G(r) = x + 1
S
S : r(u,v) = cos u i + sin u j + v k
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
;
0 ≤ u ≤ 2π
;
0≤v≤3
96
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
Penyelesaian : x(u,v) = cos u ;
y(u,v) = sin u ;
z(u,v) = v
G[r(u,v)] = cos u + 1 ru = -sin u i + cos u j rv = k
i
j
− sin u
N = ru x rv =
0
k 0 = i (cos u) - j (-sin u) + k (0) = cos u i + 1
cos u 0
sin u j
cos 2 u + sin 2 u = 1
|N| =
∴ ∫∫ G (r )dA =
3
2π
∫ ∫
3
2π
0
0
(cos u + 1) dudv = ∫ (sin u + u )
S
v =0 u = 0
2. Tentukan
∫∫ G (r )dA ;
jika
3
3
0
0
dv = ∫ 2π dv = 2πv
= 6π
G (r) = 1
S
S : persamaan bola dengan jari-jari a sebagai berikut r(u,v) = a cos v cos u i + a cos v sin u j + a sin v k -
; 0 ≤ u ≤ 2π ;
π π ≤v≤ 2 2 Penyelesaian : ru = -a cos v sin u i + a cos v cos u j rv = -a sin v cos u i - a sin v sin u j + a cos v k N(u,v) = ru x rv = a2 cos2v cos u i + a2cos2v sin u j + a2 cos v sin v k |N| = a2
cos 4 v cos 2 u + cos 4 v sin 2 u + cos 2 v sin 2 v cos 4 v + cos 2 v sin 2 v = a2
= a2
Karena G(r) = 1,
maka
cos 2 v = a2 cos v
∫∫ G (r )dA =
A(S)
S
∴ A(S) =
π / 2 2π
π /2
−π / 2 0
−π / 2
∫
2 2 ∫ a cos vdudv = a
= 2πa2 sin v
π /2
∫
2π
π /2
0
−π / 2
u cos v dv = a 2
∫ 2π cos vdv
= 2πa2 (1+1) = 4πa2
−π / 2
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
97
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw 3. Tentukan momen inersia I dari lapisan bola yang homogen dengan persamaan : S : x2 + y2 + z2 = a2 ;
massanya M, sepanjang sumbu z.
Penyelesaian : Jika μ = densitas massa luasan bola (massa persatuan luas) maka :
I =
∫∫ µD
2
dA
S
D = D(x,y,z) = jarak titik P(x,y,z) dipermukaan bola ke sumbu z. Jadi D2 = x2 + y2 Luas permukaan bola A = 4πa2
→
μ=
M M = A 4πa 2
r(u,v) = a cos v cos u i + a cos v sin u j + a sin v k x = a cos v cos u y = a cos v sin u z = a sin v D2 = x2 + y2 = a2 cos2v cos2u + a2 cos2v sin2u = a2 cos2v dA = |N| du dv = | ru x rv| dudv = a2 cos v du dv
M ∴ I = ∫∫ µD dA = 4πa 2 S
π / 2 2π
∫
2
M = 4π
−π / 2
M ∫0 a cos v dudv = 4π
π /2
4
M 2π cos v dv = ∫ 2 −π / 2 3
∫∫ G (r )dA ;
4. Tentukan
jika
π /2
3
π /2
∫
cos 3 v dv =
−π / 2
∫
−π / 2
2π
cos v ∫ dudv 3
0
2Ma 2 3
G (r) = x2 + y2
S
S : Kerucut putar z =
x2 + y2 ;
x2 + y2 ≤ 4
Penyelesaian : z2 = x2 + y2 z2 ≤ 4
→
-2 ≤ z ≤ 2
Untuk z = 2 → x2 + y2 = 4 Jadi proyeksi luasan S di bidang XOY berupa lingkaran : x2 + y2 = 4 Batas Integrasi : -2 ≤ x ≤ 2
;
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
98
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
4 − x2
0 ≤ y ≤ Jika : x = u
; -2 ≤ u ≤ 2
u2 + v2
z=
u2 + v2 k
r(u,v) = u i + v j +
u
ru = i +
N =-
|N| =
k
u + v2 2
v
rv = j +
4 − u2
; 0 ≤ v ≤
y=v
k
u2 + v2 u
v
i+
u 2 + v2
u2 + v2
j+k
u2 v2 + +1 = u2 + v2 u2 + v2
2
G[r(u,v)] = u2 + v2 4 −u 2
2
∴ ∫∫ G (r )dA =
∫ ∫
u = −2 v = 0
S
2
1 (u 2 + v 2 ) 2dvdu = 2 ∫ (u 2 v + v 3 ) 3 −2
4 −u 2
du 0
2
=
3 1 2 ∫ [u 2 4 − u 2 + (4 − u 2 ) 2 ]du 3 −2
Misalkan : u = 2 sin t
;
du = 2 cos t dt
∫∫ G (r )dA = S
u = -2 → t = -π/2 ;
u=2
→ t = π/2
π /2
2
1 [4 sin 2 t.2 cos t + (4 cos 2 t ) 3 / 2 ]2 cos tdt 3 −π / 2
∫
π /2
=
2
1 [16 sin 2 t cos 2 t + .16 cos 4 t ]dt 3 −π / 2
∫
π /2
=
2
8 1 1 [4 sin 2 2t + (1 + 2 cos 2t + + cos 4t )]dt 3 2 2 −π / 2
∫
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
99
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
π /2
8 [4(1 − cos 2t ) + (3 + 4 cos 2t + cos 4t )]dt 6 −π / 2
∫
=
2
=
π /2 1 1 8 2[4(t − sin 2t ) + (3t + 2 sin 2t + sin 4t )] 2 6 4 −π / 2
=
2[{4(
=
2[
π π π 8 π 8 − 0) + (3. + 0)}− {4(− − 0) + (3. − − 0)}] 2 6 2 2 6 2
4π 4π + 2π − (− − 2π )] = 8π 2 2 2
5. Contoh 4 di atas bisa juga dikerjakan dengan cara lain yaitu : z=
x2 + y2
; G = x2 + y2
Sehingga , 2
∂f ∂f ∫∫S G (r )dA = ∫∫* G[ x, y, f ( x, y)] 1 + ∂x + ∂y dxdy R 2
fx =
fy =
x x + y2 2
y x2 + y2
1+ fx + f y =
2 2
∂f ∂f ∫∫S G(r )dA = ∫∫* ( x + y ) 1 + ∂x + ∂y dxdy R 2
2
2
=
2
4− x 2
∫ ∫ (x
2
+ y 2 ) 2dxdy
x = −2 y = 0
dan seterusnya. 4.5. Teorema Divergensi Gauss Misalkan T adalah daerah yang terbatas dan tertutup dalam suatu ruang yang dibatasi
oleh luasan S yang berarah. Dan misalkan
F(x,y,z) adalah suatu fungsi vektor yang kontinu dan mempunyai derivatif parsial pertama yang kontinu dalam domain yang Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
memuat T, maka : 100
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
∫∫∫ divF ( x, y, z )dV = ∫∫ F ! dA T
S
n = vektor normal satuan dari luasan S dengan arah positif. Jika F(x,y,z) = F1(x,y,z) i + F2(x,y,z) j + F3(x,y,z) k n = cos α i + cos β j + cos γ k maka,
∂F1
∫∫∫ div F ( x, y, z ) dV = ∫∫∫ ∂x T
T
+
∂F2 ∂F3 dxdydz + ∂y ∂z
∫∫ [F cos α + F
=
1
2
cos β + F3 cos γ ] dA
S
∫∫ [F dydz + F dxdz + F dxdy]
=
1
2
3
S
CONTOH : 1.
∫∫ F ! ndA
Tentukan
dengan menggunakan teorema divergensi
S
Gauss, jika F = 7x i + - z k
dan
S : x2 + y2 + z2 = 4
→
bola berjari-jari 2
Penyelesaian :
∫∫ F ! ndA
=
S
∫∫∫ divF ( x, y, z)dV = ∫∫∫ (7 − 1)dxdydz T
T
= 6 x volume bola berjari-jari 2 = 6 x 2. Tentukan
∫∫ F ! ndA
= 6
∫∫∫ dxdydz T
3 π (2) 3 = 36 π 4
, jika F = xy2 i + y3j + 4x2z k
S
S : silinder x2 + y2 ≤ 4
;
0≤z≤5
Penyelesaian :
∂ ∂ ∂ i+ j+ k ! xy2 i + y3j + 4x2z k = y2+ 3y2+ 4x2 = 4x2+ 4y2 ∂y ∂z ∂x
div F =
= 4(x2+ y2) Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
101
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
∫∫ F ! n dA
=
S
5
4− x 2
2
1 4( x 2 + y 2 )dydxdz = 4 ∫ ∫ x 2 4 − x 2 + (4 − x 2 ) 3 / 2 dxdz 3 0 −2 5 2
∫ ∫ ∫
z = 0 x = −2
y =0
Misalkan : x = 2 sin t
; x = -2 → t = -π/2
dx = 2 cos t dt
∫∫ F ! ndA
; x= 2
→ t = π/2
5 π /2
= 4
S
1 (4 sin 2 t.2 cos t + .8 cos 3 t )2 cos tdtdz 3 0 −π / 2
∫ ∫
5 π /2
= 4
∫ ∫
(4 sin 2 2t +
0 −π / 2
π /2
5
= 4
∫[ ∫
8 1 1 [4(1 − cos 2t ) + (1 + 2 cos 2t + + cos 4t )d t ]dz 3 2 2 −π / 2
0
= 4 3. Hitung
16 cos 4 t )dtdz 3
5
5
0
0
∫ 8πdz = 32π z
∫∫ F ! n dA
= 160 π
; jika F = 2xy2 i + x cos z j - yz k
S
dan S : luasan yang membentuk volume tertutup yang dibatasi oleh luasan z = 1-x ;
0≤y≤2 ; di oktan I seperti dalam
gambar berikut : z 1 1-x 2
y
1 Penyelesaian :
∂ ∂ ∂ i+ j+ k ! 2xy i + x cos z j - yz k = 2y + 0 -y = y ∂y ∂z ∂x
div F =
Batas Volume T : x = 0 → x = 1 y=0→y=2
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
102
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw z = 0 → z = 1-x
∫∫ F ! n dA = S
1
2 1− x
1 2
1
1
2
1 ∫x=0 y∫=0 z∫=0 y dzdydx = ∫0 ∫0 y (1 − x) dydx = ∫0 (1 − x) y 0 dx = 2 ∫0 (1 − x)(4 )dx 1 2
(
=2 x−
1 2
x2
)
1
=
0
2
1 2
4. Model Aliran Panas (Flow Problem) Aliran panas yang terjadi pada suatu benda akan mengalir ke arah menurunnya temperatur/suhu (dari temperatur tinggi menuju temperatur rendah ).dari percobaan fisika ditunjukkan bahwa laju aliran panas akan proporsional dengan gradien dari
temperaturnya.
Hal
ini
berarti
bahwa kecepatan aliran panas V dalam suatu benda atau penghantar bisa dinyatakan dalam persamaan : V = - Κ grad U(x,y,z,t) dengan : U(x,y,z,t) = temperatur t
= waktu
Κ
= konstanta konduktivitas thermal dari benda /
penghantar Berdasarkan informasi ini akan diturunkan model matematis untuk aliran panas, yang disebut dengan persamaan panas (heat equation). Penyelesaian : Misalkan T adalah suatu daerah dalam penghantar / benda tersebut. S adalah batas luasan dari daerah T (i). Banyaknya panas yang melalui atau meninggalkan T persatuan
∫∫V ! n dA
waktu adalah :
S
dengan V◦n = komponen dari V dalam arah positif dari n.
∫∫V ! n dA = ∫∫∫ − Κ div( gradU ) dxdydz S
T
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
= -Κ
∫∫∫ ∇ U 2
dxdydz
T
103
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
dengan ∇ 2U = U xx + U yy + U zz
(ii). Total panas dalam T :
∫∫∫αρU
H=
dxdydz
T
dengan :
α = konstanta panas spesifik dari material pembentuk
benda /
penghantar
tersebut. ρ
=
densitas massa (massa persatuan volume) dari
material. Laju penurunan panas dari H : -
Besarnya
laju
∂H ∂U = − ∫∫∫αρ dxdydz ∂t ∂t T
penurunan
panas
=
banyaknya
panas
yang
meninggalkan T persatuan waktu Sehingga,
∫∫∫αρ T
→
∂U dxdydz = −Κ ∫∫∫ ∇ 2U dxdydz ∂t T
∫∫∫ (α ρ T
∂U − Κ∇ 2 U ) dxdydz = 0 ∂t
Karena persamaan ini harus dipenuhi untuk sembarang daerah T, maka integrand dari bentuk terakhir tersebut harus = 0. Jadi,
αρ
∂U − Κ∇ 2U = 0 ∂t
αρ
∂U = Κ∇ 2U ∂t
∂U Κ 2 = ∇U ∂t αρ
∂U = c 2 ∇ 2U ∂t
≈
dengan : c2 = Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
Κ αρ 104
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw Jika aliran panas tersebut tidak tergantung pada t ( aliran steady state
∂U =0 ∂t
), maka :
sehingga persamaan panas menjadi :
∇ 2U = 0 → disebut persamaan Laplace SOAL-SOAL : 1. Hitung
∫∫ F ! ndA ; jika F = x i + 2y
2
j - xz k
S
S : Luasan yang membatasi volume tertutup yang berupa 1/4 bagian silinder y2 + z2 = 4 ; 0 ≤ z ≤ 3 sebagai berikut ,
2. Hitung
∫∫ F ! ndA ; jika F = xy i - y j + 2z k S
S : Luasan yang membentuk volume tertutup yang dibatasi luasan z = 1-x2 ; 0 ≤ z ≤ 3 sebagai berikut ,
3.
Hitung
∫∫ F ! ndA ; jika F = xz i - sin y j + sin 2y k 2
S
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
105
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
S : Luasan yang membatasi volume tertutup berupa 1/4 bola di oktan I 4.6. Teorema Stokes Transformasi antara Integral Luasan dengan Integral Garis Misalkan S adalah luasan berarah dalam ruang dan batas-batas dari S adalah kurva C
yang tertutup, dan misalkan F = F(x,y,z) adalah fungsi
vektor kontinu yang mempu-
nyai derivatif parsial pertama yang
kontinu dalam domain yang memuat S, maka :
∫ F ! r ' ( s) dS = ∫∫ [CurlF ]! n dA
C
S
dengan : ▪ n = vektor normal satuan dari S Arah dari kurva C mengikuti arah dari n, sebagai berikut : n C C
n
n positif → arah C berlawanan arah dengan jarum jam n negatif → arah C searah dengan arah jarum jam. ▪ r' =
dr = vektor singgung satuan dari lintasan C ds
s = panjang busur C ▪ Dari
∫∫ F ! n dA = ∫∫ F ! N dudv S
; jika F digantikan dengan Curl F
R
dan N = N1 i + N2 j + N3 k = ru x rv maka,
∂F3 ∂F2 ∂F ∂F ∂F ∂F N 1 + 1 − 3 N 2 + 2 − 1 N 3 dudv − ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x
∫∫ CurlF ! n dA = ∫∫ S
R
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
106
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
=
∫ [F dx + F dy + F dz ] 1
2
3
C
R adalah proyeksi luasan S di bidang XOY yang dibatasi oleh kurva C . Catatan : Teorema Green dalam bidang (R2) merupakan kasus khusus dari Teorema Stokes,
jika F = F1 i + F2 j
Curl F ◦ n = Curl F ◦ k =
∂F2 ∂F1 − ∂x ∂y
Sehingga teorema Stokes menjadi :
∂F2
∫∫ ∂x
−
S
=
∂F1 dA = ∫ [F1dx + F2 dy ] ∂y
∫ F ! dr
C
CONTOH : 1. Tentukan
∫ F ! dr
, jika F = y i + xz3 j - xy3 k
C
C : lingkaran x2 + y2 = 4
di bidang z = -3
Penyelesaian : Karena kurva C yang membatasi S terletak pada bidang z = -3 , berarti sejajar dengan bidang XOY, maka n = k Sehingga ,
Curl F =
i ∂ ∂x
j ∂ ∂y
k ∂ ∂z
y
xz 3
− zy 3
Curl F ◦n = Curl F ◦ k = z3 - 1
=
i (-3zy2 -3xz2) - j(0) + k(z3 -1)
= -27 - 1 = -28 z = −3
∫ F ! dr
C
=
∫∫ − 28 dxdy =
-28
S
∫∫ dxdy
= -28 x luas lingkaran x2 + y2 = 4
S
= -28 x π 22 = -112 π
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
107
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw 2. Tentukan usaha yang dilakukan oleh gaya F = 2xy3 sin z i + 3x2y2 sinz j + x2y3cosz k dalam perpindahannya seputar kurva perpotongan antara paraboloida z = x2 + y2 dan
silinder (x-1)2 + y2 = 1.
Penyelesaian :
∫ F ! dr = ∫ F ! r ' (s)dS = ∫∫ [CurlF ]! ndA
Usaha =
C
Curl F
C
S
i ∂ ∂x
=
j ∂ ∂y
k ∂ ∂z
2 x 2 y 2 cos z 3 x 2 y 2 sin z
x 2 y 2 cos z
= i(3x2y2cosz - 3x2y2cosz) - j(2xy3cosz - 2xy3cosz) + k(6xy2sinz 6xy2sinz) = 0
∴W =
∫∫ 0 ! n
dA = 0
S
3. Tentukan
∫ F ! dr
, jika F = (2xz3 + 6y) i + (6x - 6yz) j + (3x2z2 + y2) k
C
C : Lintasan yang membatasi bidang x + y + z = 1 di oktan I. Penyelesaian :
Curl F =
i ∂ ∂x
j ∂ ∂y
2 xz 3 + 6 y
6 x − 2 yz
k ∂ ∂z
= i(2y+2y) - j(6xz2-6xz2) +
3x 2 z 2 + y 2
k(6-6) = 4y i Persamaan fungsi vektor luasan x + y + z = 1 , x(u,v) = u
;
0≤u≤1
y(u,v) = v
;
0 ≤ v ≤ 1-u
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
108
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
z(u,v) = 1-u-v r(u,v) = u i + v j + (1-u-v) k ru = i - k rv = j - k
N = ru x rv =
i
j
1 0
0 1
k −1
=
i+j+k
−1
Curl F[r(u,v)] = 4v i F[r(u,v)] ! N(u,v) = 4v
1 1− u
∫∫ CurlF ! n dA = ∫∫ Curl F [r (u, v)] ! N (u, v) dudv = ∫ ∫ (4v)dvdu S
0 0
R
= 1
∫ (2v ) 2
0
1− u 0
1
1
1 1 du = 2∫ (1 − u ) du = 2∫ [1 − 2u + u 2 ]du = 2[u − u 2 + u 3 ] 3 0 0 0 2
1 3
= 21 − 1 + =
2 3
SOAL-SOAL : 1.
Hitung
∫
C
F ! dr ; jika
F = 2x i + z j - y k
C : lintasan tertutup yang terdiri dari garis lurus dari (4,0,0) ke (4,2,0) dilanjutkan kurva z = 4 - y2 dari (4,2,0) ke (4,0,4) dilanjutkan ke garis lurus dari (4,0,4) ke (4,0,0) seperti yang digambarkan sebagai berikut , z 4
2
y
4 2. Hitung usaha yang dilakukan oleh gaya F = x i - z j + 2y k perpindahannya se-
pan
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
dalam
jang lintasan yang terdiri dari segmen109
DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw segmen lintasan lurus dari titik (0,0,0) ke
titik (0,1,0) dilanjutkan ke
lintasan x2 + y2 = 1 dari (0,1,0) ke (1,0,0) dilanjutkan dengan
lintasan
lurus ke titik (0,0,0) 3. Hitung usaha yang dilakukan oleh gaya F = xy i + y j + 2z k bekerja sepanjang
lintasan tertutup
B(0,0,1) dilanjutkan ke titik
C(1,0,1)
dari titik
yang
A(0,0,0) ke titik
kemudian ke titik D(1,0,0)
kembali ke titik A(0,0,0).
4. Hitung
∫
C
F ! dr
; jika F = y i + (x+z) j + y k
dan C : adalah lintasan tertutup berupa lingkaran x2 + z2 = 4 di y = 3
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
110
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR DAFTAR ISI
i
ii
BAB I : VEKTOR KONSTAN
1
1.1
Pengertian Tentang Vektor dan Notasi Vektor
1.2
Aljabar Vektor
1.3
Vektor Posisi Dalam Bidang dan Ruang
1.4
Perkalian Antar Vektor
1.5
Penggunaan Vektor Dalam Geometri
2
BAB II : FUNGSI VEKTOR
4
10 20
28
2.1
Fungsi Vektor
28
2.2
Kurva Vektor
29
BAB III : DIFERENSIAL VEKTOR
34
3.1
Derivatif atau Turunan dari Fungsi Vektor
3.2
Interpretasi Dari Derivatif Vektor
3.3
Gradien, Difergensi dan Curl
3.4
Penggunaan Gradien, Difergensi dan Curl
BAB IV : INTEGRAL VEKTOR 4.1
Integral Garis
4.2
Teorema Green
4.3
Medan Gaya Konservatif
4.4
Integral Luasan
4.5
Teorema Divergensi Gauss
4.6
Teorema Stokes
DAFTAR PUSTAKA
1
35 38
56
56 69 76
84 106
111
34
100
41
