Analisis Vektor [PDF]

Citation preview

TEKNIK DAN PRAKTIKUM TEGANGAN TINGGI



ELEKTROMAGNETIK



BAB I ANALISIS VEKTOR



Nama Anggota



: 1. Adi Putra Utama 2. Adri Pribagusdri 3. Ainun Nidhar



Kelas



: 4E



TEKNIK KONVERSI ENERGI POLITEKNIK NEGERI JAKARTA MARET, 2014



1



Analisis vektor adalah sebuah topik yang sebenarnya lebih cocok di jelaskan oleh para matematikawan. Sebagian besar mahsiswa jurusan teknik mempelajari mata kuliah analisis vektor secara lebih mendalam. Analisis vektor adalah sebuah topik matematika yang masih relatif „mudah‟. Topik ini menggunakan sejumlah simbol baru, sejumlah aturan baru, dan penuh jebakan ketelitian. A. Skalar dan Vektor Skalar merupakan sebuah besaran (kuantitas) yang nilainya dapat di persentasikan oleh sebuah bilangan nyata tunggal (positif maupun negatif). Variabel-variabel x, y dan z di gunakan dalam aljabar dasar adalah skalar-skalar. Tegangan listrik juga merupakan sebuah besaran skalar. Sebuah besaran skalar memiliki sebuah magnitudo dan sebuah arah di dalam ruang berdimensi dua dan berdimensi tiga. Gaya, kecepatan, percepatan adalah contoh-contoh besaran vektor. B. Aljabar Vektor Seperti halnya aljabar skalar, aljabar vektor juga memiliki aturan-aturan sendiri dalam pengoperasiannya. B A+B A



A



A+B



B Gambar B.1 Dua buah vektor dapat dijumlahkan secara grafis entah dengan menggambarkan keduanya bermula dari satu titik awal yang sama, kemudian membentuk sebuah jajaran genjang dari gambar tersebut, ataupun dengan menggambarkan kedua vektor bermula di titik ujung vektor pertama dan kemudian membentuk sebuah segitiga dari kedua vektor. Gambar B.1 mengilustrasikan penjumlahan dua buah vektor, yaitu A dan B. Dapat diperhatikan dengan jelas bahwa A + B = B + A, atau bahwa operasi penjumlahan vektor mengikuti hukum komutatif. Penjumlahan vektor juga memenuhi hukum asosiatif. A + (B+C) = (A+B) + C



2



Aturan untuk operasi pengurangan vektor dapat diturunkan secara sederhana dari aturan penjumlahan vektor-vektor karena, kita dapat menuliskan A - B sebagai A + (-B) ; tanda negatif untuk vektor B mengindikasikan bahwa vektor ini di balik arahnya, dan selanjutnya vektor ini dapat dijumlahkan dengan vektor A dengan cara seperti di atas. Sebuah vektor dengan sebuah skalar mengikuti pola hukum asosiatif dan hukum distributif dari aljabar skalar, sehingga kita dapat mengetahui bahwa (r + s)(A + B) = r(A + B) + s(A + B) = rA + rB + sA + sB C. Sistem Koordinat Persegi Dengan sistem koordinat persegi, kita menarik 3 buah garis sumbu yang saling tegak lurus antara satu sama lainnya, dan menamakan masing-masing sumbu ini x, y, z. Pendekatan yang paling umum adalah memilih sistem koordinat yang berorientasi – tangan kanan; yaitu dimana perputaran sumbu x (sejauh sudut yang tidak terlalu besar) menuju sumbu y akan mengakibatkan sebuah sekrup berorientasi – tangan kanan kita sebagai patokannya, maka ibu jari, jari telunjuk, dan jari tengah masing-masing mengindikasikan sumbu x, y, dan z secara berturut-turut. Gambar C.1a menggambarkan sebuah sistem koordinat persegi berorientasi – tangan kanan. Gambar C.1b memperlihatkan titik-titik P dan Q yang masing-masingnya secara berturut-turut memiliki koordinat (1, 2, 3) dan (2, -2, -1). Titik P dengan demikian adalah lokasi perpotongan antara bidang x = 1, bidang y = 2, dan bidangn z = 3, sedangkan titik Q adalah lokasi perpotongan bidang-bidang x = 2, y = -2, dan z = 1.



Gambar C.1 (a) sebuah sistem koordinat berorientasi tangan kanan. Jika jari tangan tangan yang melengkung ke dalam mengindikasikan arah perputaran sumbu x menuju sumbu y, maka ibu jari menunjukan arah sumbu z (b) lokasi titik-titik P (1, 2, 3) dan Q (2, -2, -1) 3



(c) elemen volume diferensial di dalam sistem koordinat persegi : dx, dy, dan dz secara umum adalah besaran-besaran defensial yang saling independen. D. Komponen-komponen Vektor dan Vektor Satuan Untuk menjabarkan sebuah vektor di dalam sistem koordinat persegi, marilah terlebih dulu kita memeperhatikan sebuah vektor r, yang bermula di titik pusat koordinat dan mengarah keluar menjauhinya. Satu cara yang cukup logis untuk memberi identitas pda vektor ini adalah dengan „memberikannya‟ tiga buah vektor komponen yang masingmasingnya memiliki arah sejajar dengan salah satu dari ketiga sumbu koordinat, dimana jumlah ketiganya adalah sama dengan vektor tersebut. Apabila vektor-vektor komponen r adalah x, y, dan z maka r = x + y + z.



Gambar D.1 (a) vektor-vektor komponen x, y, dan z untuk vektor r (b) vektor-vektor satuan di dalam sistem koordinat persegi memiliki magnitudo sebesar satu dan arah yang sama dengan sumbu terkait (c) vektor RPQ sama denga slisih vektor rQ - rP Sebuah vektor rP yang berawal dari titik pusat koordinat menuju P (1, 2, 3) akan dituliskan sebagai rP = ax + 2ay + 3az. Sebuah vektor dari titik P ke titik Q dapat ditentukan dengan menerapkan aturan penjumlahan vektor. Aturan ini memperlihatkan kepada kita bahwa vektor dari titik pusat ke P yang kemudian ditambahkan dari vektor P ke Q akan sama dengan vektor dari titik pusat ke Q. Oleh karenya, vektor dari P (1, 2, 3) ke Q (2, -2, 1) yang kita inginkan adalah RPQ = rQ – rP = (2 - 1)ax + (-2 - 2)ay + (1 - 3)az = ax – 4ay – 2az



4



Skalar-skalar komponen akan dijadikan sebagai magnitudo dan vektor-vektor komponen. Dengan penotasian ini, kita dapat menuliskan F = Fxax + Fyay + Fzaz. Ketiga vektor komponen bagi F, dengan demikian adalah Fxax, Fyay, Fzaz . Sembarang vektor B kemudian dapat dituliskan sebagai B = Bxax + Byay + Bzaz. Magnitudo vektor B ini, dituliskan sebagai |B| atau B saja, dapat dihitung dengan rumus :



|B| = √



Sebuah vektor satuan kea rah r adalah r/√



, dan sebuah vektor satuan yang



memiliki arah yang sama dengan vektor B adalah



aB =



=



√



Contoh 1.1 Tuliskan sebuah vektor satuan yang mengarah dari titik pusat ketitik G ( 2,-2,-1) Pemecahan, pertama tama kita menentukan vektor yang berawal di titikpusat menuju titik G, G = 2ax- 2ay-az Kemudian kita melanjutkan dengan menghitung magnitudo G, |G| = √



=3



Dan akhirnya, kita menuliskan vektor satuan yang diinginkan sebagai aG =



=



ax -



ay -



az = 0,667 ax - 0,667ay - 0,333az



D1.1 jika diketahui titk titik M (-1, 2, 1), N (3,-3,0) dan P (-2, -3, -4), tentukanlah : (a) RMN, (b)RMN +RMP, (c) |rM|, (d) aMP. (e) |2rP – 3rN| Jawaban (a) 4ax – 5ay – az ; (b) 3ax – 10 ay – 6az ; (c) 2,45 ;(d) -0,14 ax – 0,7 ay – 0,7az ; (e) 15,56



5



Jawab: a) RM + RMN = RN RMN = RN - RM = [3 – (-1)]ax + [-3-2]ay + [0-1]az RMN = 4ax – 5ay –az b) RP – RM = [-2-(-1)]ax + [-3-2]ay + [-4-1]az = -ax – 5ay – 5az Sehingga RMN + RMP = (4ax – 5ay –az) + (-ax – 5ay – 5az) = {4 + (-1)} ax + {-5 +(-5)} ay + {-1 +(-5)} az = 3ax – 10ay – 6az c) |rM| = √ d) aMP =



= 2,45



=



√



√



= -0,14ax – 0,7ay – 0,7az e) *2rP = 2[-2ax – 3ay – 4az] = -4ax – 6ay – 8az *3rN = 3[3ax – 3ay] = 9ax – 9ay *2rP – 3rN = (-4ax – 6ay – 8az) – (9ax – 9ay) = {-4 - 9} ax + {-6 +(-9)} ay + {-8 + 0} az = -13ax – 3ay -8az *|2rP – 3rN| = √



= 15,57



6



E. Medan Vektor Kita telah mengidentifikasikan medan vektor sebagai suatu fungsi dari sebuah vektor posisi. Secara umum magnitudo dan arah fungsiakan berubah dari satu titik ke titik lainya di dalam ruang, dan magnitudo dan arah ini langsung pada nilai nilai koordinat dititik yang berangkutan . Karena sejauh ini kita hanya membicarakan sistem koordinat persegi saja, maka kita boleh menyimpulkan bahwa nilai magnitudo dan arah medan vektor ditentukan oleh variabel variabel x,y, dan z.



Apabila sekali lagi kita mempresentasikan vektor posissi sebagai r, maka medan vektor G dapat dinyatakan dalam notasi fungsioal sebagai G (r); dibandingkan dengan medan skalar T yang dituliskan sebagai T (r).



D1.2 sebuah medan vektor S dinyatakan dalam sistem koordinat persegi sebagai S = {125 /[(x – 1)2 + (y – 2 )2 + (z + 1)2 ]} {(x – 1)ax + (y – 2 )ay + (z + 1)az }. (a) Tentukan nilai dan arah S dititik P (2,4,3) ; (b) carilah sebuah persamaan vektor satuan yang memiliki arah sama dengan S dititik P ; (c) tulislah sebuah permukaan F (x,y,z) dimana |S |=1



Jawaban (a) 5,95ax + 11,90 ay + 23,8 az ; (b) 0,218 ax + 0,436ay + 0,873az; (c) √



125



Jawab : a) S = {



}{



}



S={



}{



}



S = 5,95 (ax + 2ay + 4az) = 5,95ax + 11,9ay + 23,8az



b) aS =



√



=



√



= 0,218ax + 0,436ay + 0,873az 7



c) √



125



F. Hasil Kali Titik Untuk dua buah vektor A dan B hasil kali titik (dot produk) atau hasil kali skala ke dua vektor di definisikan sebagai penghasil perkalian antara magnitudo A , magnitudo B dan hasil cosinus dari sudut lancip yang diapit oleh keduanya.



A . B = |A| |B| cos θAB



Notasi titik yang melambangkan operasi ini muncul diantara kedua vektor, dan harus dituliskan tebal untuk menekan maknanya. Hasil dari operasi perkalian titik, atau perkalian skalar, ini adalah sebuah nilai skalar sebagaimana disiratkan oleh salah satu namanya dan perkalian ini mematuhi hukum komutatif A.B=B.A Karena tanda positif atau negatif di depan sudut apit tidak akan mempengaruhi nilai cosinusnya, persamaan A . B dibaca sebagai “A titik B “ atau “A dot B” Menentukan sudut apit antara dua buah vektor didalam ruang tiga dimensi adalah sebuah pekerjaan yang sebaiknya dihinndari, dan untuk alassan ini, maka didefinisi hasil kali. Bentuk ruang tiga dimensi biasanya tidak menggunakan bentuk umumnya. Bentuk yang lebih memudahkan dapat diturunkan dengan bantuan dua buah vektor yang telah diuraikan menjadi komponen-komponen koordinat perseginya, seperti misalnya A = Axax + Ayay + Azaz, dan B = Bxax + Byay + Bzaz. Karena hasil kali titik mematuhi hukum distributif A . B akan menghasilkan penjumlahan. Sembilan buah suku skalar, dimana masing-masing suku ini melibatkan perkalian titik dua vektor satuan dasar. Karena sudut apit antara dua buah vektor satuan dasar yang berbeda adalah 900. ax . ay = ay . ax = ax . az = az . ax = ay . az = az . ay = 0 Tiga suku selebihnya melibatkan perkalian titik antara dua vektor satuan dasar yang sama atau perkalian titik sebuah vektor satuan dasar dengan dirinya sendiri, yang menghasilkan nilai skalar satu. Hasil akhirnya dengan demikian adalah 8



A . B = AxBx + AyBy + AzBz Yang merupakan sebuah persamaan tanpa sudut apit. Sebuah vektor yang dikalikan titik dengan dirinya sendiri akan menghasilkan sebuah nilai skalar yang adalah kuadrat dari magnetudonya, atau 2



2



A . A = A = |A|



Dan vektor satuan manapun yang dikalikan titik dengan dirinya sendiri akan menghasilkan nilai satu, aA . aA = 1 Salah satu penggunaan terpenting perkalian titik adalah untuk menentukan skalar komponen sebuah vektor pada arah tertentu. Merujuk ke gambar F.1a, kita dapat memperoleh komponen (skalar) dari vektor b untuk arah yang sama dengan arah vektor satuan a yaitu B . a = |B| |a| cos θBa = |B| cos θBa Nilai komponen ini positif jika 0 ≤ θba ≤ 90 0 dan negatif jika 90 0 ≤ θba ≤ 1800 Jika kita lebih jauh lagi ingin menentukan vektor komponen dari b untuk arah yang sama dengan arah a, maka yang harus kita lakukan hanyalah mengalihkan komponen (skalar) yang diperoleh sebelumnya dengan a, sebagaimana diilustrasikan dalam gambar F.1b. Sebagai contoh komponen B pada arah ax adalah B . Ax = Bx , dan vektor komponen B untuk arah ini adalah Bxax atau (B . Ax) ax. Dengan demikian maslah menentukan komponen sebuah vektor untuk arah tertentu dapat disederhanakan mennjadi masalah mencari vektor satuan pada arah tersebut dan ini tentunya jauh lebih mudah



9



. Gambar F.1 (a) Komponen skalar dari vektor B untuk arah vektor satuan a adalah B . a (b) Komponen vektor dari B untuk arah vektor satuan a adalah (B . a)a



Contoh 1.2 Untuk memberikan pemahaman yang lebih baik terhadap definisi definisi dan operasi-operasi yang baru saja dijelaskan, marilah kita jelaskan contoh berikut. Bila diketahui sebuah medan vektor G = yax – 2,5xay + 3az dan sebuah titik Q (4, 5 ,2). Kita diminta menentukan: G di titik Q; komponen skalar G di Q pada arah vektor satauan aN =



(2ax + ay - 2az); komponen



vektor G di Q pada arah an ; dan terakhir, sudut θga yang diapit oleh G(rq) dan an. Pemecahan Dengan memasukan nilai nilai koordinat Q ke dalam persamaan vektor A kita dapatkan G(rQ) = 5ax – 10ay + 3az Berikutnya kita menentukan komponen skalar melalui operasi perkalian titik Kita mendapatkan G.aN = (5ax – 10ay + 3az ) .



(2ax + ay – 2az ) =



( 10 – 10 – 6 ) = -2



Komponen vektor yang diinginkan dapat diperoleh dengan cara megalikan komponen skalar dengn vektor satuan searah aN, (G . aN )aN = (-2)



(2ax + ay – 2az) = -1,333ax – 0,667ay + 1,333az



Sudut apit antara G ( rQ) dan aN dapat ditetukan sebagaiman berikut



10



G . aN = |G| cos θGa -2 = √



cos θGa



sehingga θGa = cos -1



= 99,9°



√



D 1.3 Tiga sudut bidang segitiga masing masing berada pada titik A(6, -1, 2), B (-2, 3, -4),dan C (-3, 1, 5),tentukan ; (a) RAB; (b) RAC; (c) sudut θBAC yang terletak dititik A; (d) vektor proyeksi RAB pada RAC. Jawaban (a). -8ax + 4ay – 6az ; (b) -9ax + 2ay + 3az ; (c) 53,6°



Jawab : a) RAB = RB – RA RAB = [-2 – 6]ax + [3- (-1)]ay + [-4 - 2]az RAB = -8ax + 4ay –6az b) RAC = RC – RA RAC = [-3 – 6)]ax + [1- (-1)]ay + [5 + (-2)]az RAC = -9ax + 2ay + 3az c) *RBC = RC – RB RBC = [-3 – (-2)]ax + [1- 3]ay + [5 - (-4)]az RBC = -ax - 2ay –9az *|RAB| = √



= 2√



*|RAC| = √



=√



*|RBC| = √



=√



2



2



2



* |RBC| = |RAB| + |RAC| – 2 |RAB| |RAC| cos θBAC √



2



=



√



2



+√



2



–2( √



cos θBAC



(√



11



86 = 116 + 94 – 208,844 cos θBAC θBAC = cos



-1



= 53,6°



G. Hasil Kali Silang Untuk dua buah vektor A dan B, sekarang kita akan mendefinisikan hasil kali silang (cross product )atau hasil kali vektor antara kedua vektor ini; yang dituliskan dengan notasi berupa sebuah tanda silang diantara kedua vektor yaitu A x B dan dibaca sebagai “A silang B” atau “ A cross B”. Hasil kali silang antara A dan B (yaitu A x B) adalah sebuah vektor dengan magnitudo sama dengan hasil perkalian magnitudo A, magnitudo B dan nilai sinus dari sudut lancip yang diapit kedua vektor; arah vektor A x B adalah tegak lurus terhadap bidang yang memuat A dan B, dan searah dengan pergerakan maju sebuah sekrup beorientasi tangan kanan ( yaitu kebawah atau masuk kedalam ) jika A diputar menuju B. Ilustrasi untuk konsep arah ini ditampilkan pada gambar G.1. Ingatlah bahwa vektor dapat digeser dan dipindahkan sesuka kita asalkan arah dan panjangnya dipertahankan tidak berubah guna membawa keduanya pada titik awal yang sama, dengan cara ini bidang yang memuat kedua vektor dapat didefinisikan, namun kita tidak perlu terlalu merepotkan hal itu karena untuk berbagai aplikasi yang ada didalam buku ini kita hampir selalu akan berurusan dengan vektor-vektor yang telah diberikan pada titik yang sama.



Dalam bentuk sebuah persamaan definisi hasil kali silang dapat dituliskan sebagai A x B = aN |A| |B| sin θAB



Dimana kita masih harus menambahkan sebuah pernyataan pelengkap yang mnjelaskan arah dari vektor setuan aN ,notasi subskrip N mengidentifikasi arah “normal”.



Gambar G.1 Arah A x B adalah searah dengan pergerakan maju sebuah sekrup berorientasi tangan kanan ketika tangan di putar menuju B Membalik urutan perkalian vektor A dan B akan menghasilkan sebuah vektor yang serupa 12



namun dengan arah yang berlawanan sehingga, kita dapat mengetahui bahwa hasil kali silang tidak bersifat komutatif karena A x B = - (A x B). Apabila definisi hasil kali silang diterapkan pada vektor vektor satuan ax x ay = az karena masing masing dari kedua vektor ax dan ay memiliki magnitudo satu keduanya saling tegak lurus dan perputan ax menuju ay menurut definisi sistem koordinat berorientasi tangan kanan mengidentifikasi arah sumbu z positif. Dengan cara yang sama kita dapat memperlihatkan bahwa ay x az = ax, dan az x ax = ay . Perhatikan sifat simetrik alfabetik yang terdapat pada perkalian sillang ketiga vektor ax, ay dan az dituliskan secara alfabetik x, y, dan z dan mengasumsikan bahwa ax akan muncul kembeli di dirutan setelah az, maka sebuah notasi perkalian silang (cross) dan sebuah tanda sama dengan dapat dituliskan pada kedua spasi jeda yang kosong diantara ketiga vektor. Bahkan pada kenyataanya, definisi sebuah sistem koordinat persegi tangan kanan dapat dibuat jadi lebih ringkas sekarang yaitu sekedar menuliskan persamaan ax x ay = az. Sebuah contoh sederhana untuk penerapan hasil kali silang dapat diambil dari ilmu geometri atau trigonometri. Untuk menghitung sebuah luas jajar genjang, hasil kali panjang dua sisi yang bersebelahan harus dikalikan lagi dengan nilai sinus sudut yang diapit kedua sisi tersebut. Menggunakan notasi vektor untuk kedua sisi jejar genjang ini (skalar) luasnya magnitudo dari vektor A x B atau |A x B|. Menghitung hasil kali silang menggunakan definisi yang diberikan untuknya ternyata lebih rumit ketimbang menghitung sebuah hasil kali titik menggunakan definisinya. Tidak saja harus menentukan sudut antara kedua vektor, namun juga persamaan untuk vektor satuan aN.kerumitan ini dapat dihindrkan dengan cara menguraikan kedua vektor menjadi vektor vektor komponenya dan kemudian menjabarkan hasil kali silang keduanya sebagai penjumlahan vektor sembilan suku hasil kali silang antara vektor vektor komponen tersebut. A x B = AxBxax x ax + AxByax x ay + AxBzax x az + AyBxay x ax + AyByay x ay + AyBzay x az + AzBzaz x ax + AzByaz x ay + azBzaz x az Kita telah mengetahui bahwa ax x ay = az , ay x az = ax dan az x ax = ay. Tiga suku yang melibatkan perkalian silang antara vektor vektor satuan yang sama ( ax x ax ,ay x ay, az x



13



az) adalah nol. Karena hasil kali sembarang vektor dengan dirinya sendiri menghasilkan nilai nol. Hasil ini dapat dituliskan secara lebih sederhana menjadi. A x B = (AyBz – AzBy)ax + (AzBx – AxBz)ay + (AxBy – AyBx)az Atau dituliskan dalam determin dalam bentuk determinan agar lebih mudah diingat :



AxB=



|



|



Sehingga jika A = 2ax – 3ay + az dan B = -4ax – 2ay + 5az, maka AxB=|



|



= [(-3)(5) – (1)(-2)]ax - [(2)(5) – (1)(-4)]ay + [(2)(-2) – (-3)(-4)]az = -13ax – 14ay – 16az D1.4 Tiga sudut sebuah segitiga masing masing berada pada titik A (6, -1, 2), B(-2, 3, -4) dan C (-3, 1, 5) carilah (a) RAB x RAC ; (b) luas daerah segitiga ; (c) sebuah vektor satuan yang tegak lurus terhadap bidang segitiga ini Jawaban (a) 24ax +78ay +20az ; (b) 42,0 ; (c) 0,268ax + 0,928ay + 0,238az



Jawab : a)



b) *RBC = RC – RB



14



RBC = [-3 – (-2)]ax + [1- 3]ay + [5 - (-4)]az RBC = -ax - 2ay –9az *| RAB | = √



= 2√



*| RAC | = √



=√



*| RBC | = √



=√



2



2



2



* |RBC| = |RAB| + |RAC| – 2 |RAB| |RAC| cos θBAC √



=



√



+√



2



–2( √



cos θBAC



(√



86 = 116 + 94 – 208,844 cos θBAC θBAC = cos



-1



= 53,6°



*Luas Segitiga =



= c) a(RAB x RAC) =



√



√



= 42, 02 m2



=



√



= 0,268ax + 0,928ay + 0,238az



H. Sistem Koordinat Silider Lingkaran Sistem koordinat silinder lingkaran adalah sebuah versi 3 dimensi dari sistem koordinat polar yang telah kita pelajari di dalam pelajaran geometri analitis di dalam sistem koordinat polar dua dimensi, sebuah titik dikenali letaknya untuk mendefinisikan jarak ρ dari titik tersebut ke pusat koordinat dengan suatu garis radius rujukan yang didefinisikan sebagai Ø = 0. Sistem koordinat silinder lingkaran yang merupakan sebuah sistem 3 dimensi, diperoleh dengan cara mendefenisikan pula jarak z dari titik tyersebut ke suatu bidang rujukan z = 0, yang mana bidang ini tegak lurus dengan garis ρ = 0. Untuk meringkaskan penamaan kita akan menyebut sistem koordinat silinder lingkaran sebagai sistem koordinat silinder saja.



15



Gambar H.1 (a) Tiga permukaan yang saling tegak lurus di dalam sistem koordinat silinder-lingkaran (b) Tiga vektor satuan untuk sistem koordinat silinder-lingkaran (c) Satuan volume diferensial di dalam sistem koordinat silinder-lingkaran; dr, ρdØ, dan dz adalah sistem elemen-elemen panjang Vektor vektor satuan didalam koordinat silinder juga saling tegak lurus .kita dapat mendefinisikan sistem koordinat silinder tangan kanan sebagai sebuah sistem koordinat silinder dimana aρ x aø = az atau bisa merajuk kearah pertambahan ρ, Ø, dan z dengan nilai diferensial dρ, dø, dan dz selanjutnya dua selubung silinder masing-masing radius dengan radius ρ dan ρ + dρ akan terbentuk begitu pula dua buah bidang radial Ø dan Ø + dø dan dua buah bidang horizontal z dan z + dz.luas daerah permukaan ini adalah ρ dρ dø, dρ dz dan ρ dø dz. Dan besarnya elemen volume adalah ρ dρ dø dz. Variabel variabel di dalam koordinat persegi dalam dihubungkan dengan variabel variabel dari koordinat silinder secara relatif muda. Merujuk ke gambar H.2 kita dapat melihat bahwa x = ρ cos Ø y = ρ sin Ø z=z



16



Gambar H.2 Hubungan antara variabel-variabel koordinat persegi x, y, z dan variabelvariabel koordinat silinder ρ, Ø, dan z. Tidak ada perbedaan untuk variabel z antara kedua sistem koordinat



Dari sudut panjang yang sebaliknya kita dapat pula menyatakan variabel variabel koordinat silinder dalam suku suku x, y, dan z. ρ=√



(ρ ≥ 0) -1



Ø = tan z=z



Kita akan memendang variabel jarak dari titik yang bersangkutan ke titik pusat koordinat yaitu ρ, sebagai nilai yang bernilai positif sehingga hanya tanda positif yang digunakan untuk nilai nilai akar pada persamaan di atas. nilai yang benar untuk sudut Ø ditentukan dengan menilik tanda positif / negatif dari nilai nilai x dan y. maka jika x = -3 dan y = 4 pastilah titik yang bersangkutan berada di kuadran 2 sehingga ρ = 5 dan Ø = 126,90 untuk x = 3 dan y = -4 maka Ø = -53,10 atau 306,90. untuk lebih jelasnya umpamakan sebuah vektor koordinat persegi. A = Axax + Ayay +Azaz Dimana tiap tiap komponenya adalah fungsi dari x, y, dan z dan kita sapat merubah vektor ini menjadi koordinat sillinder. A = Aρaρ + AØaØ + Azaz Yang komponen komponenya adalah fungsi dari ρ, Ø, dan z Untuk menentukan sembarang komponen dari sebuah vektor dari pertambahan sebelumnya kita telah mengetahui bahwa yang harus dilakukan adalah mengambil hasil kali titik antara vektor yang bersangkutan dengan vektor satuan yang menuju ke arah yang diinginkan sehingga Aρ = A . aρ dan AØ = A . aØ



17



Menjabarkan dua perkalian titik ini memberikan Aρ = (Axax + Ayay + Azaz).aρ = Axax . aρ + Ayay . aρ AØ = (Axax + Ayay + Azaz).aØ = Axax . aØ + Ayay .aØ Az = ( Axax + Ayay + Azaz).az = Azaz . az =Az Karena az . aρ dan az . aØ adalah nol.



aρ



aØ



az



ax .



cos ø



-sin ø



0



ay .



sin ø



cos ø



0



az .



0



0



1



Tabel H.1 Hasil kali antara vektor-vektorsatuan koordinat silinder dan vektor-vektor satuan koordinat persegi Untuk menyelesaikan transformasi komponen ini kita harus mengetahui hasil kali titik antara vektor-vektor satuan dari kedua sistem koordinat, yaitu ax .aρ, ay .aρ, ax .aØ, dan ay . aØ. Merujuk pada definisi hasil kali titik, dan mengingat bahwa vektor vektor saatuan memiliki magnitudo sebesar satu, maka hasil kali titik yang dicari adalah kosinus sudut antara dua vektor satuan yang terkait. Dari gambar H. 2 dan melalui analisis yang seksama kita dapat melihat bahwa sudut apit anatara ax dan aρ adalah Ø sehingga ax . Aρ adalah cos Ø.Akan tetapi sudut antara ay dan aρ adalah 900 - Ø, sehingga ay .aρ = cos (900 – Ø ) adalah sin Ø. Dengan demikian transformasi fungsi fungsi vektor dari koordinat persegi ke silinder, atau sebaliknya dapat dilakukan menggunakan persamaan dan merubah variabel-variabelnya. Dan kemudian menggunakan hasil kali titik vektor-vektor satuan dan merubah komponenkomponenya. Kedua langkah ini dapat dilakukan tanpa memperhatikan urutanya. 18



Contoh 1.3 Transformasikan vektor B = yax – xay + zaz dalam koordinat silinder. Pemecahan. Komponen-komponen yang baru adalah Bρ = B . aρ = y (ax . aρ ) – x (ay . aρ) = y cos Ø – x sin Ø = ρ sin Ø cos Ø – ρ cos Ø sin Ø = 0 BØ = B . aØ = y (ax .aØ ) - x (ay . aØ) 2



2



= -y sin Ø – x cos Ø = -ρ sin Ø –ρ cos Ø = -ρ B = -ρaØ + zaz D1.5 (a) tentukan koordinat persegi dari titik C (ρ = 4,4 ; Ø =-1150 ; z = 2) (b) tentukan koordinat silinder dari titik D (x = -3,1 ; y = 2,6 ; z = -3) (c) hitunglah jarak dari titik C ke D Jawaban (a) C ( x = -1,860 ; y = -3,99 ; z = 2); (b) D (ρ = 4,05 ;Ø = 1400 ; z = -3); (c) 8,36



Jawaban : a) *C (ρ = 4,4;  = -115°; z = 2) x = ρ cos Ø x = 4,4 cos (-115°) = -1,86 *y = ρ sin Ø y = 4,4 sin (-115°) y = -3,99 *z = 2 *Koordinat persegi C = (x = -1,86; y = -3,99; z = 2) b) *D (x = -3,1 ; y = 2,6 ; z = -3) 19



ρ=√ ρ=√



= 4,05 -1



* Ø = tan



-1



Ø = tan



= -39,986° = 140,014°



* z = z -- -3 *Koordinat silinder D (ρ = 4,05 ;Ø = 1400 ; z = -3) c) * RCD = RD – RC



= (-3,1 ; 2,6 ; -3) – (-1,86 ; -3,99 ; 2) = (-1,24 ; 6,59 ; -5)



*|RCD| = √



= 8,36



D1.6 Transformasikan ke koordinat silinder vektor-vektor (a) F = 10ax - 8ay + 6az di titik P (10, -8, 6) ; (b) G = (2x + y)ax – (y - 4x)ay di titik Q (ρ, Ø, z) ; (c) Tentukan komponen-komponen koordinat persegi dari vektor H = 20aρ – 10aØ + 3 az di titik P(x = 5, y = 2, z =-1) Jawaban (a) 12,81 aρ + 6az; (b) (2ρ cos2 Ø – ρ sin2 Ø + 5ρ sinØ cosØ)aρ + (4ρ cos2 Ø – ρ sin2 Ø - 3ρ sinØ cos Ø)aØ ; (c) Hx = 22,3; Hy = -1,857 ; Hz = 3



Jawab : a) * P(10, -8, 6) F = 10ax -8ay + 6a ρ=√ ρ=√



= 12,81 -1



* Ø = tan



-1



Ø = tan



= -38,66°



* z = z- 6 20



*aρ = 10(ax . aρ ) – 8 (ay . aρ) + 0 aρ = 10 cos Ø – 8 sin Ø aρ = 10 cos (-38,66°) – 8 sin (-38,66°) = 12,81 *aØ = 10(ax .aØ ) - 8(ay . aØ) aØ = -10 sin Ø – 8 cos Ø aØ = -10 sin (-38,66°) – 8 cos (-38,66°) = 4,28 x 10



-5



*az = Az = 6 *Koordinat silinder F = 12,81aρ + 6az b) *x = ρ cos Ø ; y = ρ sin Ø ; z = z * aρ = (2x + y)ax . aρ – (y - 4x)ay . aρ aρ = (2ρ cos Ø + ρ sin Ø)cos Ø - (ρ sin Ø - 4ρ cos Ø) sinØ 2



2



aρ = 2ρ cos Ø + ρ sin Ø cos Ø - ρ sin Ø + 4ρ cos Ø sinØ 2



2



aρ = 2ρ cos Ø + 5ρ sin Ø cos Ø - ρ sin Ø * aØ = (2x + y)ax . aØ – (y - 4x)ay . aØ aØ = (2ρ cos Ø + ρ sin Ø) (-sin Ø) - (ρ sin Ø - 4ρ cos Ø) cos Ø 2



2



aØ = -2ρ sin Ø cos Ø - ρ sin Ø - ρ sin Ø cos Ø + 4ρ cos Ø 2



2



aØ = -3ρ sin Ø cos Ø - ρ sin Ø + 4ρ cos Ø * az = Az = 0 2



2



* Koordinat silinder G = (2ρ cos Ø + 5ρ sin Ø cos Ø - ρ sin Ø) aρ – (-3ρ sin Ø cos Ø - ρ 2



2



sin Ø + 4ρ cos Ø) aØ c) * H = 20aρ – 10aØ + 3 az di titik P(x = 5, y = 2, z =-1) -1



Ø = tan



-1



Ø = tan



= 21,8°



* Hρ = Hx(ax . aρ ) + Hy(ay . aρ) 20 = Hx cos Ø + Hy sin Ø 20 = Hx cos (21,8°) + Hy sin (21,8°)



21



20 = 0,92 Hx + 0,37Hy … (1) * HØ = Hx (ax . aØ) + Hy(ay . aØ) -10 = -Hx sin Ø + Hy cos Ø -10 = -Hx sin (21,8°) + Hy cos (21,8°) -10 = -0,37Hx + 0,92Hy … (2) *Persamaan (1) dan (2) di eliminasi 20 = 0,92 Hx + 0,37Hy



x 0,37



7,4 = 0,3404 Hx + 0,1369Hy



-10 = -0,37Hx + 0,92Hy



x 0,92



-9,2 = -0,3404Hx + 0,8464Hy



-1,8 = 0,9833 Hy * -1,8 = 0,9833 Hy



Hy = -1,83



*20 = 0,92 Hx + 0,37Hy Hx =



20 = 0,92 Hx + 0,37(-1,83)



= 22,475



* Hz = 0



I. Sistem Koordinat Bola



Gambar I.1 (a) Tiga buah variabel koordinat bola (b) Tiga permukaan saling tegak lurus di dalam sistem koordinat bola (c) Tiga vektor satuan untuk sistem koordinat bola ar x aθ = aØ 22



+



(d) elemen volume diferensial di dalam sistem koordinat bola



Konsep sistem koordinat bola pada tiga garis sumbu koordinat persegi ( gambar I. 1). Pertama – tama, kita mendefisinikan jarak dari pusat koordinat persegi ke sembarang titik sebagai r. Permukaan r = konstanta adalah sebuah selubung bola. Variabel koordinat kedua adalah sudut θ yang terbentuk anatara sumbu z dan garis yang ditarik dari pusat koordinat ke titik yang dibicarakan. Permukaan θ = konstanta adalah sebuah selubung kerucut, dan kedua permukaan ini, yaitu kerucut dan bola, saling tegak lurus di semua titik perpotongannya di dalam ruang. Perpotongan kerucut dan bola membentuk sebuah lingkaran dengan jari – jari r sin θ. Koordinat θ menyerupai skema garis lintang (latitude), hanya saja garis lintang diukur dari khatulistiwa ( garis lintang 00 ) , sedangkan sudut θ diukur dari “kutub utara”. Koordinat ketiga Ø juga merupakan sebuah sudut dan sama persis dengan sudut Ø pada sistem koordinat silinder lingkaran. Sudut ini adalah sudut antara sumbu x dengan proyeksi garis dari titik pusat ke titik yang dibicarakan pada bidang z = 0. Sudut ini dapat diserupakan dengan skema garis bujur, namun arah pertambahan Ø adalah ke “ke timur”. Permukaan Ø = konstanta adalah sebuah bidang yang melewati garis θ = 0 ( sumbu z ). Dalam memahami sistem koordinat ini, sekali lagi kita harus memandang sembarang titik di dalam ruang sebagai lokasi perpotongan antara tiga buah permukaan yang saling tegak lurus yaitu, sebuah selubung bola, sebuuah selubung kerucut, dan sebuah bidang datar. Ketiga permukaan ini di perlihatkan dalam gambar I.1. Tiga vektor satuan kini dapat didefinisikan untuk sistem koordinat ini. Masing – masing vektor satuan tegak lurus terhadap salah satu dari ketiga permukaan yang disebutkan sebelumnya, dan arah menju ke pertambahan nilai koordinat yang bersangkutan. Vektor satuan ar, permukaan kerucut θ = konstanta dan bidang datar Ø = konstanta. Vektor satuan ini sejajar dengan garis bujur dan mengarah ke „ selatan‟. Vektor satuan ketiga aθ, adalah vektor satuan yang sama dengan yang ada didalam sistem koordinat silinder yang merupakan garis normal terhadap bidang datar dan garis tangent untuk kedua permukaan bola kerucut. Vektor satuan ini menunjuk kearah timur. Ketiga vektor satuan ini ditampilkan dalam gambar I.1. Vektor – vektor ini tentu saja saling tegak lurus dan sistem koordinat bola tangankanan dapat didefiniskan dengan 23



menuliskan ar x aθ = aø . Sistem yang kita bicarakan disini memang berorientasi tangan kanan ,dapat diketahui dengan menerapkan definisi hasil kali silang pada vektor – vektor dalam gambar I.1. Aturan tangan kanan menyatakan bahwa ibu jari, telunjuk dan jari tengah masing – masingnya mengindikasikan arah pertambahan nilai koordinat r, θ, dan Ø secara berurutan. (perhatikan bahwa koordinat silinder urutannya adalah ρ, Ø, dan z, sedangkan untuk koordinat persegi x, y ,dan z ). Sebuah elemen volume differensil di dalam sistem koordinat bola dapat dibentuk dengan memperbesar nilai – nilai r, θ dan Ø masing masing sebesar dr, dθ, dan dø. Sebagaimana ditunjukkan dalam gambar I.1 jarak antara kedua permukaan bola, yang masing – masingnya berjari – jari r dan r + dr , adalah dr jarak antara kedua permukaan kerucut, yang masing – masingnya memiliki sudut puncak θ dan θ +dθ adalah rdθ, dan jarak antara kedua bidang radial yang masing – masingnya pada berada pada sudut Ø dan Ø + d Ø dapat diketahui sebagai r sin θ dø melalui sedikit analisis trigonometri. Luas dari permukaan – permukaan yang membatasi elemen volume ini, dengan demikian adalah r dr dθ r sin θ dr dø, dan r2 sin dθ dø dan besarnya elemen volume ini adalah r2 sin dθ dø. Transformasi skalar – skalar dari sistem koordinat persegi ke sistem koordinat bola dapat dilakukan dengan mudah, menggunakan gambar I.1 untuk menghubungkan variabel – variabel dari kedua sistem koordinat : x = r sin θ cos Ø y = r sin θ sin Ø z = r cos θ Transformasi yang sebaliknya (dari koordinat bola ke koordinat persegi) dapat dilakukan dengan bantuan persamaan – persamaan r=√ θ = cos-1



(r ≥ 0) (0° ≤ θ ≤ 180°)



√ Ø = tan



24



-1



Variabel jari – jari r tidak pernah bernilai negatif dan variabel θ memiliki nilai yang berkisar antara 0o hingga 180o . Nilai sebenarnya dari sudut – sudut ini ditentukan dengan cara memeperhatikan tanda positif / negatif di depan x, y, dan z. Transformasi vektor–vektor , sebagaimana sebelumnya, melibatkan perkalian titik antara vektor–vektor satuan dari kedua sistem koordinat yang terlibat dalam transformasi, misalnya antara vektor –vektor satuan koordinat persegi dengan vektor–vektor satuan koordinat persegi dengan vektor – vektor satuan koordinat bola. Kita menentukan hasil kali titik ini dengan bantuan gambar I.1(c) dan sedikit analisis trigonometri. Karena hasil kali titik antara sebuah vektor satuan koordinat bola dengan sembarang vektor satuan koordinat persegi menurut definisinya adalah komponen vektor satuan bola tersebut yang searah vektor satuan persegi, maka hasil kali titik vektor – vektor satuan bola dengan az adalah az . ar = cos θ az . aθ = - sin θ az . aø = 0 Untuk hasil kali titik yang melibatkan vektor – vektor ax dan ay , kita terlebih dulu harus menentukan proyeksi vektor satuan bolanya pada bidang



xy dan kemudian mencari



komponen proyeksi ini untuk arah dan sumbu yang diinginkan ( x atau y ). Sebagai contoh ar . ax diperoleh dengan memproyeksikan ar pada bidang xy , yang menghasilkan sin θ untuk arah x ( memproyeksikannya lagi pada sumbu x). Proyeksi kedua ini menghasilkan sin θ cos Ø yang adalah hasil kali titik yang dicari. Hasil kali titik untuk vektor–vektor satuan sisanya didapatkan dengan cara yang sama dan semua hasilnya di tabulasikan di dalam tabel I.1



25



ar



aθ



aØ



ax .



sin θ cos ø



cos θ cos ø



-sin Ø



ay .



sin θ sin ø



cos θ sin ø



cos Ø



az .



Cos θ



-sin θ



0



Tabel I.1 Hasil kali titik antara vektor-vektor satuan koordinat bola dan vektor-vektor satuan koordinat persegi



Contoh 1.4 Ilustrasi untuk prosedur transformasi yang baru saj dijelaskan diatas dapat dilihat dalam contoh ini. Kita hendak mentransformasikan medan vektor G = (xz/y) ax ke dalam komponen – komponen dan variabel – variabel sisten koordinat bola. Pemecahan. Ketiga komponen koordinat bola dapat diperoleh dengan cara mengalihkan titik G dengan vektor – vektor satuan untuk koordinat bola, kemudian mengubah variabel – variabelnya dengan bantuan persamaan – persamaan. Gr = G . ar =



ax . ar =



sin θ cos Ø



= r sin θ cos θ



Gθ = G . aθ =



ax . aθ =



cos θ cos Ø



2



= r cos θ



GØ = G . aØ =



ax . aØ =



(-sin Ø)



= -r cos θ cos Ø



26



Sehingga, vektor G di dalam koordinat bola adalah G = r cos θ cos Ø (sin θ ctg Ø ar + cos θ ctg Ø aθ - aØ )



D1.7 Bila diketahui dua buah titik C (-3, 2, 1) dan D (r = 5, θ = 20°, Ø = -70°), tentukan : (a) koordinat bola dari titik C ; (b) koordinat persegi dari titik D ; (c) jarak dari titik C ke titik D. Jawaban : (a) C(r = 3,74 ; θ = 74,5° ; Ø = 146,3°) ; (b) D(x = 0,585 ; y = -1,607 ; z = 4,70) ; (c) 6,29



Jawab : a) * C (-3, 2, 1) r=√ r=√



= 3,74



* θ = cos



θ = cos



-1



√



-1



* Ø = tan Ø = tan



= 74,5°



√ -1



-1



= -33,69° = 146,31°



*Koordinat bola C(r = 3,74 ; θ = 74,5° ; Ø = 146,3°) b) * D (r = 5, θ = 20°, Ø = -70°) x = r sin θ cos Ø x = 5 sin (20°) cos (-70°) = 0,585 * y = r sin θ sin Ø y = 5 sin (20°) sin (-70°) =-1,607 * z = r cos θ z = 5 cos (20°) = 4,69 *Koordinat persegi D(x = 0,585 ; y = -1,607 ; z = 4,69) 27



c) RCD = RD - RC = (-3 ; 2 ; 1) – (0,585 ; -1,607 ; 4,69) = -3,585 ; 3,607 ; -3,69 | RCD | = √



= 6,28



D1.8 Transformasikan vektor-vektor berikut ini ke dalam koordinat bola pada titik-titik yang disebutkan ; (a) 10ax di titik P (x = -3, y = 2, z = 4) ; (b) 10ay di titik Q (ρ = 5, Ø = 30°, z = 4) ; (c) 10az di titik M (r = 4, θ = 110°, Ø = 120°)



Jawaban : (a) -5,57ar – 6,18aθ -5,55aØ ; (b) 3,90ar + 3,12aθ + 8,66aØ ; (c) -3,42ar – 9,40aθ



Jawab : a) * P (x = -3, y = 2, z = 4) r=√ r=√



= 5,385



* θ = cos



θ = cos



-1



√



-1



* Ø = tan Ø = tan



= 42,03°



√ -1



-1



= -33,69° = 146,31°



*Pr = Px (ax . ar) Pr = 10 (ax . ar) = 10 sin θ cos Ø Pr = 10 sin (42,03°) cos (146,31°) = -5,57 * Pθ = Px (ax . aθ) Pθ = 10 (ax . aθ) = 10 cos θ cos Ø Pθ = 10 cos (42,03°) cos (146,31°) = -6,18 28



* PØ = Px (ax . aØ) PØ = 10 (ax . aØ) = -10 sin Ø PØ = -10 sin (146,31°) = -5,55 *Koordinat bola -5,57ar – 6,18aθ -5,55aØ b) 10ay di titik Q (ρ = 5, Ø = 30°, z = 4) *Perubahan bentuk silinder ke bentuk persegi  x = ρ cos Ø = 5 cos (30°) = 4,33  y = ρ sin Ø = 5 sin (30°) = 2,5  Koordinat persegi C = (x = 4,33; y = 2,5; z = 4) *Perubahan dari bentuk persegi ke bentuk bola  r=√ r=√  θ = cos



= 6,403 -1



θ = cos



√ -1



 Ø = tan



= 51,34°



√ -1



Ø = tan



-1



= 30°



 Qr = Qy (ay . ar) Qr = 10 (ay . ar) = 10 sin θ sin Ø Qr = 10 sin (51,34°) sin (30°) = 3,9  Qθ = Qy (ay . aθ) Qθ = 10 (ay . aθ) = 10 cos θ sin Ø Qθ = 10 cos (51,34°) sin (30°) = 3,12  QØ = Qy (ay . aØ) 29



C = (x = 4,33; y = 2,5; z = 4)



QØ = 10 (ay . aØ) = 10 cos Ø QØ = 10 cos (30°) = 8,66  Koordinat bola 3,9ar + 3,12aθ + 8,66aØ c) 10az di titik M (r = 4, θ = 110°, Ø = 120°) * Mr = Mz (az . ar) Mr = 10 (az . ar) = 10 cos θ Mr = 10 cos (110°) = -3,42 * Mθ = Mz (az . aθ) Mθ = 10 (az . aθ) = -10 sin θ Mθ = -10 sin (110°) = -9,39 * MØ = Mz (az . aØ) MØ = 10 (az . aØ) = -10 (0) MØ = 0 *Koordinat bola -3,42ar – 9,39aθ



Latihan Soal : 1. Jika diketahui vektor-vektor M = -10ax + 4ay - 8az dan N = 8ax + 7ay - 2az , tentukan : (a) sebuah vektor satuan searah –M + 2N; (b) magnitudo dari 5ax + N – 3M; (c) |M| |2N| (M + N). Penyelesaian : a) *-M + 2N = P = -(-10ax + 4ay - 8az ) + 2(8ax + 7ay - 2az) -M + 2N = P = (10ax - 4ay + 8az ) + (16ax + 14ay - 4az) -M + 2N = P = (10 + 16) ax + (-4 + 14) az + (8 - 4) az -M + 2N = P = 26ax + 10ay + 4az *|–M + 2N | = |P| = √



= 28,142



30



* a|P| =



=



√



√



a|P| = 0,923ax + 0,355ay + 0,142az b) *5ax + N – 3M = Q = 5ax + (8ax + 7ay - 2az) – 3(-10ax + 4ay - 8az ) 5ax + N – 3M = Q = 5ax + 8ax + 7ay - 2az + 30ax - 12ay + 24az 5ax + N – 3M = Q = (5 + 8 + 30) ax + (7 - 12) ay + (-2 -24) az 5ax + N – 3M = Q = 43ax - 5ay + 22az *|Q| = √



= 48,56



c) |M| |2N| (M + N) = (√



) x (√



)x



(-10ax + 4ay - 8az + 8ax + 7ay - 2az ) |M| |2N| (M + N) = (6√ ) (6√ |M| |2N| (M + N) = (35√



) (-2ax + 11ay - 10az)



) (-2ax + 11ay - 10az)



|M| |2N| (M + N) = -580,483ax + 3192,65ay – 2902,413az 2



2



2. Sebuah medan vektor didefinisikan oleh G = 24xy ax + 12(x + 2)ay + 18z az . Jika diketahui dua buah titik P (1, 2, -1) dan Q (-2, 1, 3), tentukan : (a) vektor G di titik P; (b) sebuah vektor satuan searah G di titik Q; (c) sebuah vektor satuan dari titik Q ke titik P. Penyelesaian : 2



2



a) GP = 24xy ax + 12(x + 2)ay + 18z az 2



2



GP = 24 (1) (2) ax + 12{(1) + 2}ay + 18(-1) az GP = 48ax + 36ay + 18az 2



2



b) *GQ = 24xy ax + 12(x + 2)ay + 18z az 2



2



GQ = 24 (-2) (1) ax + 12{(-2) + 2}ay + 18(3) az GQ = -48ax + 72ay + 162az



* aGQ =



√



=



√



aGQ = -0,26ax + 0,39ay + 0,88az



31



c) *GQP = GP – GQ GQP = (48ax + 36ay + 18az) – (-48ax + 72ay + 162az) GQP = {48 – (-48)} ax + {36 – (72)} ay + {18 – (162)} az GQP = 96ax – 36ay – 144az



=



*aGQP =



√



√



aGQP = 0,54ax – 0,2ay – 0,811az



3. Jika diketahui titik-titik M (0,1, -0,2, -0,1), N (-0,2, 0,1, 0,3), dan P (0,4, 0, 0,1), tentukan; (a) vektor RMN; (b) hasil kali titik RMN . RMP ; (c) sudut apit antara RMN dan RMP. Penyelesaian : a) RMN = RN - RM RMN = (-0,2ax + 0,1ay + 0,3az) - (0,1ax – 0,2ay – 0,1az) RMN = {-0,2 – 0,1} ax + {0,1 – (-0,2)} ay + {0,3 – (-0,1)} az RMN = -0,3ax + 0,3ay + 0,4az b) *RMP = RP – RM RMP = (0,4ax + 0 + 0,1az) - (0,1ax – 0,2ay – 0,1az) RMP = {0,4 – 0,1} ax + {0 – (-0,2)} ay + {0,1 – (-0,1)} az RMP = 0,3ax + 0,2ay + 0,2az * RMN . RMP = G = {(-0,3 ax)(0,3 ax)} + {(0,3 ay)(0,2 ay)} + {(0,4 az)(0,2 az)} RMN . RMP = G = -0,09 + 0,06 + 0,08 = 0,05 c) * RNP = RP – RN RNP = (0,4ax + 0 + 0,1az) – (-0,2ax + 0,1ay + 0,3az) RNP = {0,4 – (-0,2)} ax + {0 – (-0,1)} ay + {0,1 – 0,3} az RNP = 0,6ax - 0,1ay - 0,2az 2



2



2



* |RNP| = |RMN| + |RMP | – 2 | RMN | |RMP | cos θNMP 32



2



2



2



(0,64) = (0,583) + (0,412) – 2 (0,583) (0,412) cos θNMP cos θNMP = -1



θNMP = cos (0,208) = 77,98° 2 4. Jika diketahui titik P (r = 0,8, θ = 30°, Ø = 45°), dan medan E = 1/r (cos Ø ar + sin Ø/sin



θ aØ ); (a) tentukan E di titik P; (b) tentukan |E| di titik P; (c) tentukan sebuah vektor satuan searah E di titik P. Penyelesaian :



(cos Ø ar + sin Ø/sin θ aØ )



a) E =



{cos (45°) ar + sin (45°)/sin (30°) aØ }



E=



E = 1,105 ar + 2,209 aØ



b) |E| = √ |E| = √



c) a|E| =



= 2,47



=



√



√



a|E| = 0,447 ar + 0,89 aØ



5. Nyatakan medan vektor satuan ax dalam komponen-komponen koordinat bola di titik: (a) r = 2, θ = 1 rad, Ø = 0,8 rad; (b) x = 3, y = 2, z = -1; (c) ρ = 2,5, Ø = 0,7 rad, z = 1,5.



Penyelesaian : a) r = 2; θ = 1 rad =



x 180° = 57,325°; Ø = 0,8 rad =



* Pr = Px (ax . ar)



Pr = (ax . ar) = sin θ cos Ø 33



x 180° = 45,86°



Pr = sin (57,325°) cos (45,86°) = 0,586 * Pθ = Px (ax . aθ) Pθ = (ax . aθ) = cos θ cos Ø Pθ = cos (57,325°) cos (45,86°) = 0,376 * PØ = Px (ax . aØ) PØ = (ax . aØ) = -sin Ø PØ = -sin (45,86°) = -0,718 *Koordinat bola 0,586ar + 0,376aθ -0,718aØ



b) x = 3, y = 2, z = -1



 r=√ r=√



= 3,741



 θ = cos



-1



θ = cos



-1



√



 Ø = tan Ø = tan



= 105,501°



√ -1



-1



= 33,69°



 Pr = Px (ax . ar) Pr = (ax . ar) = sin θ cos Ø Pr = sin (105,501°) cos (33,69°) = 0,802  Pθ = Px (ax . aθ) Pθ = (ax . aθ) = cos θ cos Ø Pθ = cos (105,501°) cos (33,69°) = -0,222  PØ = Px (ax . aØ) PØ = (ax . aØ) = -sin Ø PØ = -sin (33,69°) = -0,55 34



 Koordinat bola 0,802ar - 0,222aθ - 0,55aØ



c) ρ = 2,5; Ø = 0,7 rad =



x 180° = 40,127°; z = 1,5



*Perubahan bentuk silinder ke bentuk persegi  x = ρ cos Ø = 2,5 cos (40,127°) = 1,911  y = ρ sin Ø = 2,5 sin (40,127°) = 1,611  Koordinat persegi (x = 1,911; y = 1,611; z = 1,5) *Perubahan dari bentuk persegi ke bentuk bola  r=√ r=√



= 2,915



 θ = cos



-1



θ = cos



-1



√



 Ø = tan Ø = tan



= 59,03°



√ -1



-1



= 40,131°



 Pr = Px (ax . ar) Pr = (ax . ar) = sin θ cos Ø Pr = sin (59,03°) cos (40,131°) = 0,655  Pθ = Px (ax . aθ) Pθ = (ax . aθ) = cos θ cos Ø Pθ = cos (59,03°) cos (40,131°) = 0,393  PØ = Px (ax . aØ) PØ = (ax . aØ) = -sin Ø PØ = -sin (40,131°) = -0,644 35



(x = 1,911; y = 1,611; z = 1,5)



 Koordinat bola 0,655ar + 0,393aθ - 0,644aØ



36