Tugas Analisis Vektor Kumpul [PDF]

Citation preview

SOLVE PROBLEM



1. Jika a, b, dan c adalah vektor-vektor tak koplanar, maka tentukan apakah r1  2a  3b  c,



r2  3a  5b  2c , dan r3  4a  5b  c adalah bebas linier. Penyelesaian: Misalkan r3  k1r1  k2r2 , maka



4a  5b  c  k1 2a  3b  c   k 2 3a  5b  2c   2k1  3k 2 a   3k1  5k 2 b  k1  2k 2 c 2k1  3k 2  4.............................(*) 3k1  5k 2  5........................(**) k1  2k 2  1...............................(* * *) Dari persamaan (*) dan (**) diperoleh k1 = 5 dan k2 = -2. Substitusikan hasil dari persamaan (*) dan (**) ke persamaan (***). Karena memenuhi k1 = 5 dan k2 = -2 memenuhi persamaan (***) maka r1 , r2 , dan r3 dapat dinyatakan sebagai r3  5r1  2r2 (bergantung linier). 2. Sebuah vektor A = (2ax + 3ay + az) dan B = (ax + ay - az). Hitunglah : a. A + B b. A – B Penyelesaian: a. A + B = (2 + 1) ax + (3 + 1) ay + (1 – 1) az = 3ax + 4ay b. A - B = (2 - 1) ax + (3 - 1) ay + (1+1) az = ax + 2ay + 2 az



3. Diketahui vektor u = 2 i - 3 j + 5 k dan v = - 3 i - 5 j + 2 k membentuk sudut , maka nilai sin adalah ... Penyelesaian: | |



√



| |



√



√



=√ √



=√



u .v = | || |



Analisis Vektor



1



| || |



√



√



√



,



√



Jadi,



4. Sebuah vektor A = (2ax – 3ay + az ) dan vektor B = ( - 4ax – 2ay + 5az). Tentukan perkalian silang A x B ? Penyelesaian: | = -13 ax – 14 ay – 16 az



AxB=|



5. Jika A dan B adalah vektor-vektor yang diketahui, maka perlihatkan bahwa A  B  A  B . Penyelesaian:



 A  B   A  B 



A  B



2



A  B  A  A  2 A  B  B  B  A  B  A B cos .........(*) 2



2



2



 A  B  2 A B ..............................................................................(**) 2



2



Perhatikan persamaan (*), dimana 0o    180 o atau  1  cos  1. Hal ini berakibat A  B



2



maksimum pada saat   0o yaitu cos  1 . Dengan demikian,



A  B  ( A  B )2  A  B  A  B . 2



6. Jika ABCDEF adalah titik-titik sudut dari sebuah segi enam beraturan, maka carilah resultan gaya yang dinyatakan oleh vektor-vektor AB, AC, AD, AE, dan AF. Penyelesaian : Perhatikan gambar:



E



D



AB  AC  AD  AE  AF  ...? AB  AD  BD...............(*)



F



C



AC  AD  CD..............(**) A



Analisis Vektor



B



2



Substitusikan persamaan (*) dan (**) ke persoalan, maka diperoleh :



AB  AC  AD  AE  AF  AD  BD  AD  CD  AD  AE  AF  3 AD  AE  AF  BD  CD Karena ABCDEF segienam beraturan maka AE  BD DAN AF  CD . Akibatnya



3AD  AE  AF  BD  CD  3AD . Dengan demikian AB  AC  AD  AE  AF  3AD adalah resultan dari vektor-vektor tersebut.



7. Buktikan bahwa cos α =



| |̅



| ̅ | | ̅| | ̅ || |̅



!



Penyelesaian: ̅



̅



̅ ̅ ̅ ̅ ̅



̅



̅ ̅ ̅



( ̅



̅) ( ̅



̅)



| ̅|



| ̅|



| ̅|



̅ ̅



| ̅|



| ̅|



| ̅|



| ̅ || ̅|



| ̅|



| ̅|



| ̅|



| ̅ || ̅|



Berdasarkan persamaan di atas diperoleh : | |̅



| ̅ | | ̅| | ̅ || ̅|



( terbukti )



8. Carilah volume sebuah paralel epipedum yang sisinya dinyatakan oleh A= 2i-3j+4k, B= i+2jk, C=3i-j+2k.



Analisis Vektor



3



Penyelesaian:



Volume  A  B  C  2 3 4 A  B  C   1 2  1  2(4  1)  (3)(2  3)  4(1  6)  6  15  28   7 3 1 2 Jadi, volumeny  7 9. Jika gaya F = 2i - j + 3k bekerja pada titik (2,-1,1), tentukan torsi dari F terhadap titik asal koordinat! Penyelesaian: F = 2i - j + 3k r = (2,-1,1) – (0,0,0) = (2,-1,1) = 2i – j + k =rxF=|



|



= (-3i + 2j -2k) – (-2k –i -6j) = -2i + 8j 10. Untuk harga-harga a yang manakah A = ai - 2j + k dan B = 2ai + aj – k saling tegak lurus? Penyelesaian: A dan B saling tegak lurus maka



2a2 – 2a – 4



=0



2



a –a–2



=0



(a–2)(a+1)



=0



a = 2 atau a = -1 11. Diketahui u = 5 i + 3 j - k dan v = i + 3j – 2k dimana w = 3u – 4v maka panjang w adalah ... Penyelesaian: w = 3u – 4v = 3 [ 5, 3, -1] – 4 [1, 3, -2 ] = [ 15, 9, -3] – [4, 12, -8] = [11, -3, 5] | |



√



√



=√



√



Analisis Vektor



4



12. Sudut antara



= xi + ( 2x + 1)j - x



sama dengan



. Hitung nilai x ?



k dan



adalah 60°. Jika panjang proyeksi



ke



Penyelesaian: Panjang proyeksi



ke



=



=



x=



atau x = -1



13. Jika vektor u dan vektor v membentuk sudut |̅



̅



dimana | | = 4 dan | | = 20, maka



̅ |= ...



Penyelesaian: |̅



̅



̅ |= ̅



̅



| ̅|



= | ̅ | | ̅ |cos 60 + | ̅ | =(



)



= 40 + 16 = 56 Jadi,| ̅



̅



̅ |



14. A = (-1, 5, 4) , B = (2, -1, -2), C = (3, p, q). Jika titik A, B dan C segaris . Hitunglah nilai p dan q. Penyelesaian: Jika A, B dan C segaris maka



( 4, p-5, q-4) = k ( 3, -6, -6) Analisis Vektor



5



( 4, p-5, q-4) = ( 3k, -6k, -6k ) sehingga 3k = 4 k= sehingga p -5 = -6k = -8 p = -3 q – 4 = -6k = -8



dan



q=-4



15. Diketahui ̅



̅



saling tegak lurus, maka nilai



adalah ... Penyelesaian: Jika ̅



̅



̅ ̅



̅ ̅ (



)



jadi nilai t adalah -8.



16. Carilah proyeksi vektor



pada vektor



!



Penyelesaian: Misalkan ̅ =



dan ̅ =



Vektor satuan pada arah ̅, ̅



√



Proyeksi vektor ̅ pada arah ̅ = ̅ ̅



Analisis Vektor



6



17. Jika A= 4i - 3j + 3k dan B = - 2i + j - 2k carilah vektor satuan yang tegak lurus A dan B Penyelesaian:



18. Buktikan bahwa garis yang menghubungkan titik tengah dua buah sisi sebuah segitiga adalah sejajar sisi ketiga dan besarnya separuh dari besar sisi ketiga ini. Penyelesaian: Perhatikan Gambar :



C



E



D A



Karena ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ sehingga



⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗



B



⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )



⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗



⃗⃗⃗⃗⃗



⃗⃗⃗⃗⃗



⃗⃗⃗⃗⃗



⃗⃗⃗⃗⃗



⃗⃗⃗⃗⃗



⃗⃗⃗⃗⃗



⃗⃗⃗⃗⃗



⃗⃗⃗⃗⃗



⃗⃗⃗⃗⃗



⃗⃗⃗⃗⃗



⃗⃗⃗⃗⃗



⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗



Karena ⃗⃗⃗⃗⃗ merupakan kelipatan dari ⃗⃗⃗⃗⃗ maka kedua ruas garis tersebut sejajar, dimana besarnya juga akan mengikuti yaitu | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |



Analisis Vektor



| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.



7



19. Diketahui ̅ = 8 i + 2 j - 5k dan ̅ = 6 i - j + k maka proyeksi ̅ pada ̅adalah... Penyelesaian: | ̅|



√



̅. ̅= Proyeksi ̅ Jadi, proyeksi ̅



=√



√ ( ̅



) | |



̅



√



√ √



20. Buktikan bahwa garis yang menghubungkan titik-titik tengah dua buah sisi sebuah segitiga adalah sejajar dengan sisi ketiga dan besarnya separuh dari besarnya sisi ketiga ini ! Penyelesaian:



P, Q, R masing-masing merupakan titik-titik tengah dari



Analisis Vektor



8



21. Diketahui A =3i + j + 2k dan B = i– 2j – k adalah berturut-turut vektor-vektor kedudukan dari titik-titik P dan Q. Carilah persamaan bidang yang melalui Q dan tegak lurus PQ ? Penyelesaian: PQ = Q – P = (i– 2j – k) – (3i + j + 2k) = ( -2i, -3j, -6k ) Persamaan bidang yang melalui Q dan tegak lurus PQ ( xi + yj + zk ) . ( -2i, -3j, -6k ) = (i– 2j – k) . ( -2i, -3j, -6k ) -2x – 3y – 6z = -2 + 6 + 24 2x + 3y + 6z = 28 Jadi, persamaan bidang yang melalui Q dan tegak lurus PQ adalah 2x + 3y + 6z = 28



22. Buktikan bahwa sudut yang dibentuk dalam sebuah setengah lingkaran adalah siku-siku! Penyelesaian: Misalkan c adalah titik sembarang pada busur lingkaran dengan ⃗⃗⃗⃗⃗



⃗⃗⃗⃗⃗



⃗⃗⃗⃗⃗ = jari-jari



lingkaran. 







⃗⃗⃗⃗⃗



⃗⃗⃗⃗⃗



⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗



⃗⃗⃗⃗⃗



⃗⃗⃗⃗⃗



⃗⃗⃗⃗⃗



⃗⃗⃗⃗⃗



⃗⃗⃗⃗⃗



⃗⃗⃗⃗⃗



⃗⃗⃗⃗⃗



⃗⃗⃗⃗⃗



⃗⃗⃗⃗⃗



(⃗⃗⃗⃗⃗



(⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗



⃗⃗⃗⃗⃗



⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗



⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗



⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗



⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )



⃗⃗⃗⃗⃗



⃗⃗⃗⃗⃗



⃗⃗⃗⃗⃗⃗



Sehingga terbukti bahwa sudut yang dibentuk dalam sebuah setengah lingkaran adalah sikusiku.



23. Pada gambar dibawah OABC adalah bangun geometri segi empat. Titik P dan Q adalah titiktitik tengah ruas garis OB dan ruas garis AC. Analisis Vektor



9



Tunjukkan bahwa



Penyelesaian: Misalkan vektor-vektor posisi titik A, B, C berturut-turut 



= +



=2( – 



–



+( +



)+( –



)



)



Vektor posisi titik P diwakili oleh ruas garis berarah =½



= ½ , sebab titik P merupakan titik tengah



Vektor posisi titik Q diwakili oleh ruas garis berarah =½( +



), sebab titik Q merupakan titik tengah



Dengan menggunakan segitiga OPQ, diperoleh



)–½



=½( + =½( -



+



⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 ( -



) +



)



⃗⃗⃗⃗⃗ = 24. Diketahui vektor-vektor berikut: a = ( p, 1,



), b = ( 2, 2



, -2 ), c = ( 2, -2, 1 )



Jika panjang ̅ = enam kali panjang proyeksi vektor ̅ pada ̅ , maka nilai p? Penyelesaian: Panjang



̅ = 6 x proyeksi vektor ̅ pada ̅



Analisis Vektor



10



̅ ̅ | ̅|



√ 3=



p =1



25. Carilah jarak terpendek dari (6, -4, 4) ke garis yang menghubungkan (2, 1, 2) dan (3, -1, 4). Penyelesaian:



Misalkan : P(6.  4,4), Q(2,1,2), R(3,1,4)



P



Q



PQ  4i  5 j  2k



QR  (1,2,2)



PR  3i  3 j



QR  1  4  4  9  3



PS 



PQ PR QR



PQ XPR  PQ2 PR2  PQPR



2







16  25  49  9  12  152



 45(8)  (27) 2  810  729  81  9 PS 



9 3 3



26. Perlihatkan bahwa A=



2i  2 j  k  , B  i  2 j  2k danC  2i  j  2k  3



3



3



adalah vector-



vektor satuan yang saling tegak lurus! Penyelesaian:



Analisis Vektor



11



 1 22   22  12  1 9  3  1 A 3 3 3  1 12  22  22  1 9  3  1 B 3 3 3  1 22  12   22  1 9  3  1 C  3 3 3 21  22  12 2  4  2 0   0 33 9 9 (2)(2)  (2)(1)  (1)(2) 4  2  2 AC   0 (3)(3) 9 (1)(2)  (2)(1)  (1)(2) 2  2  4 BC   0 (3)(3) 9 A B 



Jadi A,B dan C adalah vector-vektor yang saling tegak lurus 27. Perlihatkan bahwa |



|



| |



| |



| |



Penyelesaian:



Karena



Sehingga



. . . . .(1)



Karena



Sehingga



Dari persamaan (1) diperoleh



Analisis Vektor



12



28. Vektor



= i + j + 2k dan



maka



.



Penyelesaian:



= i + 2j + 3k. Titik P pada garis AB sehingga



? A



B



p (x , y, z)



α



O



.



=



.



=



Sehingga



.



=



=



= = 29. Diketahui P = ( a, 0, 3 ), Q = ( 0, 6, 5 ) dan R = ( 2, 7, c ). Agar vector-vektor



tegak lurus



, maka hitunglah nilai a – c . Analisis Vektor



13



Penyelesaian: tegak lurus .



sehingga



=0



(0–a ,6–0,5-3).(2–0,7–6,c-5) =0 (-a,6,2).(2,1,c–5)=0 -2a + 6 + 2c – 10 = 0 -2a + 2c = 4 a – c = -2 30. Carilah persamaan bidang singgung terhadap permukaan z  xy di titik (2, 3, 6) . Penyelesaian: Misalkan x = u, y = v, z = uv adalah persamaan parameter dari permukaan. Vektor kedudukan dari sebarang titik pada permukaan adalah  r  u iˆ  v ˆj  uv kˆ



Maka



 rˆ ˆ  i  v kˆ u



Pada titik (2, 3, 6) maka



 rˆ ˆ  i  3 kˆ u



Normal n terhadap permukaan di titik ini adalah   r r n  u v



iˆ ˆj kˆ n  1 0 3  3iˆ  2 ˆj  kˆ 0 1 2 Vektor kedudukan dari titik (2, 3, 6) adalah Ro  2 iˆ  3 ˆj  6 kˆ Vektor keududukan dari sebarang titik pada bidang adalah R  x iˆ  y ˆj  z kˆ Analisis Vektor



14



Persamaan bidang yang dikehendaki adalah:



R  Ro   n  0



x iˆ  y ˆj  z kˆ 2 iˆ  3 ˆj  6 kˆ  3iˆ  2 ˆj  kˆ  0 x  2iˆ   y  3 ˆj  z  6kˆ  3iˆ  2 ˆj  kˆ  0



 3x  2  2 y  3  z  6  0  3x  6  2 y  6  z  6  0 3x  2 y  z  6 31. Carilah persamaan-persamaan untuk bidang singgung dan garis normal pada permukaan dititik ( 2, -1, 5 ) Penyelesaian :



di titik ( 2, -1, 5 ) = 4i - 2j – k



Persamaan bidang singgung :



Persamaan garis normal



32. Carilah persamaan untuk bidang yang ditentukan oleh titik-titik P (3, -2, 2), Q(4, -3, -2) dan R(-2, 4, 3) Penyelesaian: Analisis Vektor



15



Vektor posisi masing-masih titik adalah P : 3i – 2j + 2k Q : 4i – 3j – 2k R : -2i + 4j + 3k Misalkan S(x, y, z) adalah sebarang titik pada bidang, maka vektor posisi S : xi – yj +zk



PS  S  P  x  3i   y  2 j  z  2k PQ  Q  p  4  3i   3  2 j   2  2k  i  j  4k PR  R  P   2  3i  4  2  j  3  2k   5i  6 j  k











PS  PQ PR  x  3i   y  2 j  z  2k   i  j  4k    5i  6 j  k   x  3i   y  2 j  z  2k   23i  2 j  k   23x  3 21 y  2 z  2  23 x  69  21 y  42  z  2 23 x  21 y  z  29



  d   dB dA    A   B  jika A dan B adalah fungsi-fungsi diferensiabel. 33. Carilah ds  ds ds  Penyelesaian:



    d   dB dA   d   dB  d  dA    A  A      B   B  =   ds  ds ds ds ds  ds  ds           d  dB  dA dB  dA dB d  dA    = A            B ds  ds  ds ds  ds ds ds  ds          d 2 B dA dB dA dB d 2 A  = A 2      B ds ds ds ds ds ds 2    d 2B d2A  = A 2  B ds ds 2 34. Buktikan bahwa vektor n  ai  bj adalah vetor yang tegak lurus dari garis ax + by = c Penyelesaian:



Analisis Vektor



16



c  Garis ax + by = c memotong sumbu-x di titik A  , 0  dan memotong sumbu-y di titik B a   c   0,  dengan demikian:  ba 



c c OA  i dan OB  j a b c c BA  OA  OB  i  j a b c c n  BA  ai  bj   i   a b  ac cb  n  BA   i  j  b  a  ac cb  n  BA   i  j  b  a n  BA  c  c  0 Ini berarti n  BA atau vektor n  ai  bj tegak lurus garis ax  by  c 35. Jika A sebuah vector konstan, maka buktikan



.



Penyelesaian : Misalkan



Analisis Vektor



dan



dimana



adalah konstanta



17



 F  GF  FG 36. Buktikan    jika G  0 . G2 G Penyelesaian : F G F F G  F  G  F Gx  F   F   F  y G  F y z G  F z    G i  G j  G k  x i  j  k y z G2 G2 G2  G  x 1 1 GF  FG  2 Fx Gi  Fy Gj  Fz Gk  F Gx i  F Gy j  F Gz k  2 GF  FG   G G G2







 







37. Carilah persamaan untuk bidang singgung pada permukaan xz 2  x 2 y  z  1 di titik (1, -3, 2). Penyelesaian : Normal bidang singgung n   di mana  ( x, y, z)  xz 2  x 2 y  z  1



 xz 2  x 2 y  z  1



n          n , ,  x  y z   n  z 2  2 xy , x 2 , 2 xz  1















Normal di titik (1, -3, 2) maka n  4  6,1, 4  1



  2,1, 3 Jadi, persamaan bidang singgung tersebut adalah



V  2x  1   y  3  3z  2  0 V  2 x  2  y  3  3z  6  0 V  2 x  y  3z  1  0 38. Jika R  et i  ln t 2  1 j  tan tk maka carilah a)



dR dR d 2R d 2R , b) ,c) , dan pada t = 0. dt dt 2 dt dt 2



Penyelesaian : a)



dR 2t  e t i  2 j  sec2 tk  i  k untuk t = 0. dt t 1



Analisis Vektor



18











 d 2R  2 t 2  1  4t 2   t 2 b) e i  j  2 tan t sec tk  i  2k untuk t = 0. 2 2 2 dt    t 1 







c)



dR  12  12  2 dt



d)



d 2R  12  2 2  5 2 dt















2 39. Jika A  t ,t, 2t  1 , dan B  2t  3,1,t , maka carilah



d  A  B d  A  B d A  B d  A  dB dt  pada t = 0. , , , dt dt dt dt Penyelesaian:



d  A  B  dA dB   B  A  2t ,1,2 2t  3,1,t   t 2 ,t ,2t  1  2,0,1 dt dt dt 2 2  4t  6t  1  2t  2t  0  2t  1  6











pada t = 1.



i j k 2 A  B  t  t 2t  1  t 2  2t  1, t 3  4t 2  4t  3,3t 2  3t 2t  3 1 t











d A  B  2t  2,3t 2  8t  4,6t  3  0,7,3 dt











pada t = 1.



A B 



t



2







 2t  3   t  1  t  1  t 4  4t 3  12t  11 2



2



2



d A B 4t 3  12t 2  12  1 dt 2 t 4  4t 3  12t  11 pada t = 1.



Analisis Vektor



19



i dB A  t2 dt 2



j k  t 2t  1  t , t 2  4t  2,2t 0 1











dB   d  A  dt    1,2t  4,2  1,6,2 dt pada t = 1.



d2 40. A(t) = 3t i – (t + 4) j + (t – 2t ) dan B(t) = sin ti + 3e j – 3 cos tk. Carilah  A  B dt 2



2



-t



pada t = 0. Penyelesaian :



i j k A  B  3t 2  t  4 (t 2  2t )  {3t  12 cost  3t 2 e t  6te t }i  {(t 2  2t ) sin t  sin t 3e t  3 cost 9t 2 cost} j  {9t 2 e t  t  4sin t}k











3 cost  3t  12 sin t  6te t  3t 2e t  6e t  6te t , 2t  2sin t   d A  B   2  2 t 2 t dt  t  2t cost  18t cost  9t sin t ,18te  9t e  sin t  t  4 cost 











 3 sin t  3 sin t  3t  12  cost  6e t  6te t  6te t  3t 2e t  6e t  6e t     6te t ,2 sin t  2t  2 cost  2t  2 cost  t 2  2t sin t  18 cost  18t  d2  A  B   dt 2 sin t  18t sin t  9t 2 cost ,18e t  18te t  18te t  9t 2e t  cost  cost     t  4sin t 











  30,14,20



























        A  B  B    A  A    B 41. Buktikan …..! Penyelesaian:  Misalkan A  A1 iˆ  A2 ˆj  A3 kˆ  B  B1 iˆ  B2 ˆj  B3 kˆ



Analisis Vektor



20



iˆ   A  B  A1 B1



kˆ A3 B3



ˆj A2 B2



  A2 B3  A3 B2 iˆ   A3 B1  A1 B3  ˆj   A1 B2  A2 B1  kˆ















    ˆ  ˆ   A  B   iˆ  j  k    A2 B3  A3 B2 iˆ   A3 B1  A1B3  ˆj   A1 B2  A2 B1  kˆ y z   x      A2 B3  A3 B2    A3 B1  A1 B3    A1B2  A2 B1  x y z         A2 B3    A3 B2    A3 B1    A1 B3    A1B2    A2 B1  x x y y z z 











  A2 B3     A3 B1     A1B2      A3 B2     A1B3     A2 B1  x y z y z  x 



B A A2 B A B  B3  A2  3  3  B1  A3  1  1  B2  A1  2 x x y y z z



 A B A B A B    3  B2  A3  2  1  B3  A1  3  2  B1  A2  1  x y y z z   x A   A A   A  A A   B1   3  1   B2   1  3   B3   2  1  y  x  y   z  y  x  B  B  B  B B   B   A1   3  2   A2   1  3   A3   2  2 z  x  x  x  z  y 







   







  A A   A A  A    A  B1 iˆ  B2 ˆj  B3 kˆ    3  1  iˆ   1  3  ˆj   2  1  kˆ  y   z x  y    x   y











   B B   A1 iˆ  A2 ˆj  A3 kˆ    3  2  z   y       B  A  A  B .



































 ˆ  B1 B3  ˆ  B2 B2  ˆ    i      j k x  x     x   z







      Jadi, terbukti bahwa   A  B  B    A  A    B



Analisis Vektor







21



 d2A 42. Jika  6t iˆ  24t 2 ˆj  4 sin t kˆ , carilah A bila pada saat t = 0, diketahui bahwa 2 ds   d A A  2iˆ  ˆj dan  iˆ  3kˆ saat t = 0 . dt Penyelesaian:



 d2A  6t iˆ  24t 2 ˆj  4 sin t kˆ 2 ds



   d 2A dA  dt   Maka dt   dt 2  = 3t 2  C1 iˆ   8t 3  C2  ˆj   4 cos t  C3 kˆ Pada saat t = 0, maka



 dA  3(0)  C1 iˆ   8(0)  C 2  ˆj   a cos(0)  C3 kˆ dt  dA  C1 iˆ  C 2 ˆj   4  C3 kˆ dt  dA Karena diketahui  iˆ  3kˆ pada saat t = 0, maka dt



C1 iˆ  C2 ˆj   4  C3 kˆ  iˆ  3kˆ Sehingga diperoleh



C1 = -1 C2 = 0



 4  C3  3 C3  1 Dengan mensubstitusikan nilai dari C1, C2, dan C3 diperoleh



 dA  3t 2  1iˆ   8t 3  ˆj   4 cost  1kˆ dt Analisis Vektor



22



   dA  A     dt  dt 







 







= t 3  t  C1 iˆ   2t 4  C2 ˆj   4 sin t  t  C3 kˆ Pada saat t = 0, maka



 A  0  0  C1 iˆ   2(0)  C2  ˆj   4 sin( 0)  0  C3 kˆ   A  C1 i  C2 ˆj  C3 kˆ  Karena diketahui pada saat t = 0 A  2iˆ  ˆj , maka



 C1 i  C 2 ˆj  C3 kˆ  2iˆ  ˆj Sehingga diperoleh



C1 = 2 C2 = 1 C3 = 0



Dan dengan mensubstitusikan nilai C1, C2, dasn C3 diperoleh  A  t 3  t  21 iˆ   2t 4  1 ˆj   4 sin t  t kˆ



 



43. Carilah kelengkungan K untuk kurva ruang x    sin  , y  1  cos , z  4 sin  2 . Penyelesaian :







  



Vektor kedudukannya adalah r    sin  iˆ  1  cos  ˆj  4 sin  2 kˆ



 dr  1  cos iˆ  sin   ˆj  2 cos  kˆ 2 d



  



Analisis Vektor



23



 ds dr   12  2 cos  cos2   sin 2   4 cos2  2 d d



 



 1  cos   1  2 cos  1  4  2    1  2 cos  1  2  2 cos  4 2



  



 dr dr d 1  cos iˆ  sin   ˆj  2 cos  2 kˆ T   ds ds d 2



  



 1  cos  ˆ  sin   ˆ  i    j  cos  2 kˆ 2    2  Menurut rumus Frenet-Serret



 dT  kN ds



 dT  1  1  1   sin  iˆ   cos  ˆj   sin  2 d  2  2  2



 kˆ  



1  1  1     sin  iˆ   cos  ˆj   sin  2 kˆ dT dT d  2  2  2    ds ds d 2



 kˆ



1  1  1   sin  iˆ   cos  ˆj   sin  2 4  4  4  dT  kN ds



 dT kN ds



karena N merupakan suatu vektor satuan dalam arah nirmal, maka N  1 .



Sehingga persamaan di atas dapat ditulis



Analisis Vektor



24



 2 2 2 dT 1  1  1   k   sin     cos    sin 2  ds 4  4  4



 



 







1 1 1 sin 2   cos2   sin 2  2 16 16 16







1 1  1  1  cos  16 16  2 







3 1  cos 32 32







1 6  2 cos  64







1 6  2 cos 8



44. Carilah persamaan bidang singgung terhadap permukaan z  xy di titik (2, 3, 6) . Penyelesaian: Misalkan x = u, y = v, z = uv adalah persamaan parameter dari permukaan. Vektor kedudukan dari sebarang titik pada permukaan adalah  r  u iˆ  v ˆj  uv kˆ



Maka



 rˆ ˆ  i  v kˆ u



Pada titik (2, 3, 6) maka



 rˆ ˆ  i  3 kˆ u



Normal n terhadap permukaan di titik ini adalah n



  r r  u v



iˆ ˆj kˆ n  1 0 3  3iˆ  2 ˆj  kˆ 0 1 2



Analisis Vektor



25



Vektor kedudukan dari titik (2, 3, 6) adalah Ro  2 iˆ  3 ˆj  6 kˆ Vektor keududukan dari sebarang titik pada bidang adalah R  x iˆ  y ˆj  z kˆ Persamaan bidang yang dikehendaki adalah:



R  Ro   n  0



x iˆ  y ˆj  z kˆ 2 iˆ  3 ˆj  6 kˆ  3iˆ  2 ˆj  kˆ  0 x  2iˆ   y  3 ˆj  z  6kˆ  3iˆ  2 ˆj  kˆ  0



 3x  2  2 y  3  z  6  0  3x  6  2 y  6  z  6  0 3x  2 y  z  6 45. Hitunglah



 A  dr dimana A = (2x – y)i – (yz )j – (y z)k dengan S adalah permukaan 2



2



C



setengah bola x2+y2+z2=1, bagian atas dan C adalah batasnya Penyelesaian : Keliling C dari S merupakan lingkaranpada bidang XoY yang berjari-jari 1 dan berpusat di (0,0,0). Lintasan C dapat ditulis dalam koordinat polar: x = cos t, y = sin t, z = 0



0  t  2



Analisis Vektor



26



 A  dr   2 x  y dx  yz dy  y z dz 2



C



2



C



2



 2 cost  sin t  sin t dt







0



2



  2 sin t cost  sin t dt







2



0



2



cos 2t  1       sin 2t  dt 2  0 2 1 1      sin 2t  cos 2t  dt 2 2 0 1 1  2 1   cos 2t  sin 2t  t  4 2 0 2



1  1     0       0  0 2  2     A  dr   C



2 46. Hitunglah  ln r  .



Penyelesaian : Misalkan r  x 2  y 2  z 2



  x  y  z     ln   ln  x  y  z   x y



 2 ln r    2 ln



2



2



2



2



2



2



2



2



2



 



2



 x2  y2  z2



x



2



 y2  z2







2



x2  y2  z 2







x







1 r



2



 y2  z2







2



x2  y2  z2 



 z ln  2



2



x2  y2  z 2







x2  y2  z 2



x



2



 y2  z2







2



x2  y2  z 2



x







 y2  z2 1  2 x  y2  z2 1  x2  y2  z2







Analisis Vektor



2



2







2



27



47. Carilah vektor singgung satuan disebarang titik pada kurva r  a costi  a sin tj  btk , dimana a,b,dan  adalah konstanta. Penyelesaian :



T



dr dr



dt dt



.



dr  a sin ti  a costj  bk dan dt



dr  a 2 2 sin 2 t  a 2 2 cos2 t  b 2  a 2 2  b 2 dt Dengan demikian, T 



dr dr



dt







 a sin ti  a costj  bk



dt



a 2 2  b 2



.



48. Carilah kecepatan dan percepatan sebuah partikel yang bergerak sepangjang kurva r  2 sin 3ti  2 cos3tj  8tk pada sebarang t > 0. Carilah besar kecepatan dan percepatan.



Penyelesaian : r  2 sin 3ti  2 cos3tj  8tk maka



v



dr d 2r  6 cos3ti  6 sin 3tj  8k dan a  2  18 sin 3ti 18 cos3tj . dt dt



Besarnya kecepatan dan percepatan masing-masing adalah



v  36 cos2 3t  36 sin 2 3t  64  10 dan a  182 sin 2 3t  182 cos2 3t  18 .



d ( A  ( B  C )) 49. A  sin ui  cosuj  uk , B  cosui  sin uj  3k , dan C  2i  3 j  k , carilah du pada u = 0. Penyelesaian :



i j k B  C  cosu  sin u  3  sin u  9,6  cosu,3 cosu  2 sin u  2 3 1



Analisis Vektor



28



3 cos2 u  sin 2u  6u  u cosu, u sin u  i j k   A  B  C   sin u cosu u   9u  3 sin u cosu  2 sin 2 u,6 sin u   sin u  9  6  cosu 3 cosu  2 sin u sin u cosu  sin u cosu  9 cosu   d  A  B  C   6 cosu sin u  2 cos 2u  6  cosu  u sin u, sin u  u cosu  9  3 cos 2u    du 4 sin u cosu,6 cosu  cos 2u  cos 2u  9 sin u 



 2  6  1,9  3,6  1  1  7,6,6







50. Hitunglah integral permukaan



S



yz dS , dengan S adalah bagian bidang z  y  3 yang



terletak di dalam silinder x2  y2  1. Penyelesaian : z  y 3



z 1 y



z 0 x



2



 z   z  S yz dS = D yz  x    y   1dA  D y  y  3 2dA 2



 2  y 2  3 ydA D



Dengan menggunakan koordinat polar dalam menyelesaikan



 y



2



 3 ydA



dimana



D











x  r cos  , y  r sin  dan D   r ,  0  r  1,0    2 akibatnya







S



yzdS  2 



Analisis Vektor



2



0



 r 1



0



2



sin 2   3r sin  rdrd  2 



2



0



 r 1



0



3



sin 2   3r 2 sin  drd



29



 2



2



0



 r 1



3



0



sin 2  drd  2 



2



0



 3r 1



0



2



sin  drd











r 1 1  2 r 1 3 sin 2  r 4  d  2 0 r sin  r 0 d 0 4 r 0   2 1 2 2  cos 2  1 d  2   sin  d  0 0 2 2  1  2 2   sin 2     2  cos  0  2  0  



 2



2







1 4







1 8







1 2  2   2  1  1 8











2  4







  yzdS  S



2  4



51. Carilah usaha total yang dilakukan untuk menggerakkan sebuah partikel dalam medan gaya yang diberikan oleh F = 3xy i – 5 z j + 10x k sepanjang kurva x = t2 + 1 , y = 2t2 , z = t3 dari t = 1 hingga t = 2 Penyelesaian : usaha total : ʃc F. dx



= ʃc (3xy i – 5 z j + 10x k) . (dx I + dy j + dz k ) = ʃc 3xy dx – 5z dy + 10x dz ∫ ∫ = 303











52. Jika F  2 y, z, x 2 dan S adalah permukaan silinder parabolik y 2 8x dalam oktan pertama yang dibatasi oleh bidang-bidang y = 4 dan z = 6. Hitunglah



 F  n  dS . S



Penyelesaian : Normal satuan n 



Analisis Vektor



2x,0,2z 







4 x2  z 2







, maka n  k 



z 3



30



dx  dy 3  dx  dy nk z



  8,2 y,0







2  F  n  dS   2 y, z, x  S



6 4 64  4 y 2 4z  dy  dz    2 y   dy  dz 0 0 8 4



64  4 y 2



R



  16  2 z  dz  132 6



0



53. Hitunglah ∫ Penyelesaian: (



)



dengan mengintegrasi, ∫



∫



(



)



54. Tunjukkan bahwa F = (2xy + z3)i + x2j + 3xz2k adalah suatu medan



konservatif dan



tentukanlah kerja yang dilakukan untuk menggerakkan sebuah partikel di medan ini dari (1,2,1) ke (3,1,4). Penyelesaian : ● Gaya F adalah suatau medan konservatif jika dan hanya jika curl F =



xF 



i



j



k



 x



 y 2



 z



2 xt  z 3







xF=0







 i (0) - j 3z 2  3z 2  k 2x - 2x   0



3xz 2



x



F adalah medan konservatif ● Kerja yang dilakukan :



 F  dr   2 xy  z  dx  x



P2



P2



3



P1



P1



P2



P2







 



3



dy  3xz 2dz



2 3 2 3  F  dr   d x y  xz  x y  xz



P1



Analisis Vektor



P1



 



3,1, 4 



1, 2,1



 202



31



55. Hitunglah ∫



· dr dimana A = 3y i – x j dan C adalah potongan garis lurus dari (0, 0) ke



(2, ) . Penyelesaian : A = 3y i – x j dan r = x i + y j + z k ⇨ dr = dx i + dy j + dz k ∫



· dr = ∫



· (dx i + dy j + dz k)



persamaan parameter garis lurus (0,0) ke (2, ) :



.



r(x,y,z) = [(0,0) + (2, ) – (0,0)] t , dimana 0⩽ t ⩽1 , sehingga : x = 2t ⇨ dx = 2 dt dan y = t ⇨ dy = dt. Jadi ∫



· dr = ∫ =∫



dt – t dt = ∫



= t3 |



= 13 – 0 = 1



Analisis Vektor



t) 2 dt – (2t) dt



=∫ dt



.



32