Materi 1 SPLTV [PDF]

Citation preview

RINGKASAN MATERI SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV)



Pengenalan Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) merupakan system persamaan yang disusun oleh tiga persamaan linear dengan tiga variabel atau peubah yang sama. Sama seperti SPLDV, sistem persamaan linear tiga variable juga dapat diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari. SPLTV dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan berbagai masalah yang berkaitan dengan model matematika berbentuk SPLTV.



Prinsip Dasar SPLTV Sebelum menyelesaikan suatu masalah melalui model matematika, ada baiknya kita kembali mengingat konsep dasar dari sistem persamaan linear tiga variable. Sistem persamaan linear tiga variable memiliki tiga bariabel yang sama yang nilainya belum diketahui secara jelas. Dalam sistem persamaan, variabel-variabel yag ada dalam tiap persamaan saling berhubungan satu sama lainnya. Artinya variabel-variabel tersebut harus memiliki nilai yang sama untuk semua persamaan yang menyusun sistem tersebut. Bentuk umum SPLTV biasanya ditulis dengan bentuk sebagai berikut: ax + by + cz = d ex + fy + gz = h ix +jy +kz = l Dari bentuk di atas, x, y dan z merupakan variable atau peubah yang nilainya belum diketahui sedangkan a, b, c, d, e, f, g, h, I, j, k, dan l merupakan bilangan-bilangan real yang sudah diketahui nilainya. Penyelesaian sistem persamaan linear tiga variable artinya menemukan nilai x, y, dan z yang memenuhi ketiga persamaan penyusun sistem. Dengan kata lain, nilai tersebut harus menyebabkan ketiga persamaan bernilai benar. Suatu SPLTV dapat diselesaikan dengan beberapa metode seperti substitusi, metode eliminasi, metode campuran (eliminasi dan substitusi), dan metode determinan. Berdasarkan pemaparan di atas, maka berikut beberapa langkah dalam merancang model matematika yang berbentuk SPLTV: 1. Identifikasi tiga besaran yang belum diketahui nilainya 2. Nyatakan besaran tersebut sebagai variabel dengan pemisalan 3. Rumuskan SPLTV yang merupakan model matematika dari masalah 4. Tentukan penyelesain SPLTV yang terbentuk 5. Tafsirkan nilai yang diperoleh sesuai pemisalan sebelumnya



Contoh soal: Campuran 3 kg beras A, 2 kg beras B, dan 2 kg beras C dijual seharga Rp19.700,00. Campuran 2 kg beras A, 1 kg beras B, dan 2 kg beras C dijual Rp14.000. Sedangkan campuran 2 kg beras A, 3 kg beras B, dan 1 kg beras C dijual seharga Rp17.200,00. a. Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut! b. Hitunglah harga tiap kg beras A, B, dan C. Jawab Misal: a = harga beras per kg beras A b = harga beras per kg beras B c = harga beras per kg beras



Seperti pada sistem persamaan linier dua variabel, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier dan linier tiga variabel dapat juga diselesaikan dengan menggunakan metode : 1. eliminasi 2. substitusi 3. gabungan eliminasi dan substitusi 4. Metode Determinan (dibahas terpisah)



Contoh 1: Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier x + y + z = 12 2x – y + z = 6 3x + 2y – z = 8 dengan metode eliminasi ! Jawab : x + y + z = 12 …………. (1) 2x – y + z = 6 …………. (2) 3x + 2y – z = 8 …………(3) Eliminasi untuk mendapatkan nilai z , yaitu dengan langkah-langkah: 1. Kita eliminasi variabel z dari persamaan (1) dan (2) x + y + z = 12 2x – y + z = 6   x + 2y 2.



= 6 ………….. (4)



Kita eliminasi variabel z dari persamaan (1) dan (3) atau (2) dan (3) Missal kita pilih persamaan (2) dan (3) 2x – y + z = 6



3x + 2y – z = 8 + 5x + y



= 14 ………….. (5)



3. Kita eliminasi persamaan (4) dan (5)  x + 2y 5x + y



x1 



=6



x + 2y = 6



= 14 x 2  10x + 2y = 28   11x = 22 x = 2



Eliminasi untuk mendapatkan nilai y, melalui langkah-langkah: 1. Kita eliminasi variabel y dari persamaan (1) dan (2) x + y + z = 12 2x – y + z = 6 + 3x +



2z = 18 ………….. (4)



2. Kita eliminasi variabel y dari persamaan (1) dan (3) atau (2) dan (3) Missal kita pilih persamaan (2) dan (3) 2x – y + z = 6 x 2  4 x  2 y  2 z  12 3x + 2y – z = 8 x1  3x + 2y – z = 8 7x



+



z = 20 ………… (5)



3. Kita eliminasi persamaan (4) dan (5) 3x + 2z = 18 7x + z = 20



+



x7  21x + 14z = 126 x3  21x + 3z = 60  11z = 66 z = 6



Eliminasi untuk mendapatkan nilai x, melalui langkah-langkah: 1. Kita eliminasi variabel x dari persamaan (1) dan (2) x + y + z = 12 x 2  2x + 2y + 2z = 24 2x – y + z = 6



x1  2x – y + z = 6  3y + z = 18 ………….. (4)



2. Kita eliminasi variabel x dari persamaan (1) dan (3) atau (2) dan (3) Misal kita pilih persamaan (2) dan (3) 2x – y + z = 6 x3  6x – 3y + 3z = 18 3x + 2y – z = 8 x 2  6x + 4y – 2z = 16  7y + 5z = 2 ………… (5) 3. Kita eliminasi persamaan (4) dan (5) 3y + z = 18 7y + 5z = 16



x5  15y + 5z = 90 x1  7y + 5 z = 2  22y



= 88 y = 4



Contoh 2: Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier x + y + z = 12 2x – y + z = 6 3x + 2y – z = 8 dengan metode substitusi ! Jawab :



x + y + z = 12



 x = 12 – y – z



Bentuk x = 12 – y – z disubstitusi ke 2x – y + z = 6 dan 3x + 2y – z = 8 Bentuk x = 12 – y – z disubstitusi ke 2x – y + z = 6 2(12 – y – z) – y + z = 6 24 – 2y – 2z – y + z = 6 3y – z = 18 atau 3y + z = 18 ……….*) Bentuk x = 12 – y – z disubstitusi ke 3x + 2y – z = 8 3(12 – y – z) + 2y – z = 8 36 – 3y – 3z + 2y – z = 8 y – 4z = 28 atau y = 28 – 4z y = 28 – 2z disubstitusi ke *) yaitu 3y + z = 18 3(28 – 4z) + z = 18 84 – 12z + z = 18 11z = 66 z=6 Nilai z = 6 disubstitusi ke y = 28 – 4z = 28 – 24 =4 Nilai y = 4 dan z = 6 disubstitusi ke x = 12 – y – z = 12 – 4 – 6 =2 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah



2,4,6 



Contoh 3: Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier x + y + z = 12 2x – y + z = 6 3x + 2y – z = 8 dengan metode gabungan eliminasi dan substitusi! Jawab : x + y + z = 12 …………. (1) 2x – y + z = 6 …………. (2) 3x + 2y – z = 8 …………(3) 1. Kita eliminasi variabel z dari persamaan (1) dan (2) x + y + z = 12 2x – y + z = 6   x + 2y



= 6 ………….. (4)



2. Kita eliminasi variabel z dari persamaan (1) dan (3) atau (2) dan (3) Missal kita pilih persamaan (2) dan (3) 2x – y + z = 6 3x + 2y – z = 8 + 5x + y



= 14 ………….. (5)



3. Kita eliminasi persamaan (4) dan (5)



x1 



 x + 2y



=6



x + 2y = 6



5x + y



= 14 x 2  10x + 2y = 28   11x = 22



x = 2 4. Nilai x = 2 disubstitusi ke (4) atau (5) Misal kita pilih (5), maka 5x + y = 14 5.2 + y = 14 y = 14 – 10 y=4 5. Nilai x = 2 dan y = 4 disubstitusi ke (1), (2), atau (3) Misal kita pilih persamaan (1), maka x + y + z = 12 2 + 4 + z = 12 z = 12 – 6 z=6



Latihan 1. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linier berikut dengan metode a. substitusi



x  2 y  z  7   x  y  2 z  5 2 x  y  z  6  b. eliminasi



2 x  4 y  2 z  8  4 x  2 y  2 z  8 6 x  2 y  2 z  6  2. Tentukan Himpunan penyelesaian sistem persamaan linier berikut dengan metode gabungan eliminasi dan substitusi



2 x  4 y  2 z  26  4 x  2 y  2 z  10  2 x  4 y  2 z  8 