Materi SPLDV & SPLTV [PDF]

Citation preview

SISTEM PERSAMAAN LINEAR



Kegiatan Belajar 1 I.



Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) SPLDV adalah suatu sistem persamaan yang terdiri dari dua persamaan linear yang memuat dua variabel dan berbentuk {



𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑝, 𝑞, 𝑟 ∈ 𝑅 dan 𝑎, 𝑏, 𝑝, 𝑞 ≠ 0 𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 = 𝑟



𝑥 + 𝑦 = 15 Contoh: a) { 𝑥−𝑦=1 𝑝+𝑞 =8 b) { 2𝑝 + 2𝑞 = 20 3𝑎 − 2𝑏 = 7 c) { 9𝑎 − 6𝑏 = 21 Penyelesaian SPLDV 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 Penyelesaian atau solusi atau jawab SPLDV { adalah pasangan (𝑥, 𝑦) yang 𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 = 𝑟 memenuhi SPLDV tersebut. 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 Jenis penyelesaian SPLDV { dapat dilihat dari hubungan antara 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑝, 𝑞, dan 𝑟 𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 = 𝑟 pada SPLDV itu. Ada 3 jenis penyelesaian SPLDV, yaitu 𝑎



𝑏



a) Jika 𝑝 ≠ 𝑞 dengan 𝑝 ≠ 0 dan 𝑞 ≠ 0 maka sistem persamaan linear ini mempunyai tepat satu pasang anggota dalam himpunan penyelesaiannya. Sistem persamaan ini dikatakan konsisten (bergantung linear). Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya adalah {(x, y)} 𝑎



𝑏



𝑐



b) jika 𝑝 = 𝑞 ≠ 𝑟 dengan 𝑝 ≠ 0, 𝑞 ≠ 0 dan 𝑟 ≠ 0 maka sistem persamaan linear ini tidak mempunyai anggota dalam himpunan penyelesaiannya atau himpunan penyelesaian sistem persamaan linear ini adalah himpunan kosong yang ditulis ∅ atau { }. Sistem persamaan ini dikatakan tidak konsisten. Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya adalah { } 𝑎



𝑏



𝑐



c) jika 𝑝 = 𝑞 = 𝑟 dengan 𝑝 ≠ 0, 𝑞 ≠ 0 dan 𝑟 ≠ 0 maka sistem persamaan linear ini mempunyai tak terhingga banyaknya penyelesaian. Sistem persamaan ini dikatakan sangat konsisten. Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya adalah {(𝑥, 𝑦)|𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑅} HO. SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL - YUNI



1



Adapun penyelesaian SPLDV dapat menggunakan 4 cara, yaitu (i) Cara eliminasi (ii) Cara substitusi (iii) Cara gabungan eliminasi - substitusi (iv) Cara grafik Contoh. 6𝑥 − 𝑦 = 14 Selesaikan sistem persamaan { 3𝑥 + 4𝑦 = −2 Penyelesaian. (i) Cara eliminasi {



6𝑥 − 𝑦 = 14 … … … 3𝑥 + 4𝑦 = −2 … … … ….



(1) (2)



Dengan mengeliminasi y pada persamaan (1) dan (2), diperoleh: 6𝑥 − 𝑦 = 14 |× 4| → 24𝑥 − 4𝑦 = 56 3𝑥 + 4𝑦 = −2 |× 1| → 3𝑥 + 4𝑦 27𝑥



= −2 = 54



𝑥



+



=2



Dengan mengeliminasi x pada persamaan (1) dan (2), diperoleh: 6𝑥 − 𝑦 = 14 |× 1| → 6𝑥 − 𝑦 = 14 3𝑥 + 4𝑦 = −2 |× 2| → 6𝑥 + 8𝑦 = −4 −9𝑦 = 18



-



𝑦 = −2 Jadi, penyelesaiannya adalah (2, −2) (ii) Cara substitusi {



6𝑥 − 𝑦 = 14 … … … 3𝑥 + 4𝑦 = −2 … … … ….



(1) (2)



Dari persamaan (1), diperoleh: 6𝑥 − 𝑦 = 14 ↔ 𝑦 = 6𝑥 − 14 Persamaan (1) disubstitusikan pada persamaan (2), diperoleh: 3𝑥 + 4(6𝑥 − 14) = −2 3𝑥 + 24𝑥 − 56 = −2 27𝑥 = 54 𝑥=2 𝑥 = 2 → 𝑦 = 6(2) − 14 = −2 Jadi, penyelesaiannya adalah (2, −2)



HO. SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL - YUNI



2



(iii) Cara gabungan eliminasi – substitusi 6𝑥 − 𝑦 = 14 … … … { 3𝑥 + 4𝑦 = −2 … … … ….



(1) (2)



Dengan mengeliminasi y pada persamaan (1) dan (2), diperoleh: 6𝑥 − 𝑦 = 14 |× 4| → 24𝑥 − 4𝑦 = 56 3𝑥 + 4𝑦 = −2 |× 1| → 3𝑥 + 4𝑦



= −2



27𝑥



= 54



+



𝑥 =2 𝑥 = 2 disubstitusikan pada persamaan (2), diperoleh: 3(2) + 4𝑦 = −2 → 4𝑦 = −8 𝑦 = −2 Jadi, penyelesaiannya adalah (2, −2) (iv) Cara grafik



6𝑥 − 𝑦 = 14 Penyelesaian dari { adalah titik potong grafik fungsi 6𝑥 − 𝑦 = 14 dan 3𝑥 + 4𝑦 = −2 3𝑥 + 4𝑦 = −2, yaitu (2, −2)



HO. SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL - YUNI



3



Penerapan SPLDV Contoh. 1



3



Empat tahun yang lalu umur Andi 2 umur Rudi. Empat tahun yang akan datang umur Andi 4 umur Rudi. a) Tentukan model matematika dari masalah tersebut b) Berapa umur Rudi sekarang? Penyelesaian. a) Model matematika dari masalah tersebut, sebagai berikut Misal umur Rudi sekarang adalah x tahun umur Andi sekarang adalah y tahun 1



{



𝑦 − 4 = 2 (𝑥 − 4)



………………



3



𝑦 + 4 = 4 (𝑥 + 4)



… … … ..



(1) (2)



b) Dari persamaan (1), diperoleh 1



1



𝑦 − 4 = 2 (𝑥 − 4) ↔ 𝑦 = 2 𝑥 − 2 + 4 1



↔ 𝑦 = 2𝑥 + 2 Persamaan (1) disubstitusikan ke persamaan (2), diperoleh 1 2



3



1



3



𝑥 + 2 + 4 = 4 (𝑥 + 4) ↔ 2 𝑥 − 4 𝑥 = 3 − 6 1



↔ − 4 𝑥 = −3 ↔ 𝑥 = 12 Jadi, umur Rudi sekarang adalah 12 tahun Latihan 1 7𝑥 − 𝑦 = −1 1. Selesaikan sistem persamaan { dengan menggunakan cara eliminasi. 3𝑥 + 2𝑦 = 2 3𝑥 − 5𝑦 = 7 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari { dengan menggunakan cara substitusi. 𝑥 − 3𝑦 = 1 3. Tentukan nilai



𝑝 + 3𝑞 = −3 2𝑝 − 𝑞 dari { 2𝑝 − 𝑞 = 15



dengan menggunakan cara gabungan



eliminasi – substitusi. 𝑥−𝑦



4. Hitunglah nilai (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦) dari sistem persamaan



3 {4𝑥−5𝑦 7



HO. SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL - YUNI



=



𝑦−1 4



=𝑥−7



4



2



5. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 1



(Petunjuk: misalkan 𝑥 = 𝑝 dan 6. Selesaikan {



1 𝑦



𝑥 {4



3



+𝑦 =0 9



− 𝑦 = −1 𝑥



= 𝑞)



𝑥+𝑦 = 3 dengan cara grafik 𝑥 − 𝑦 = −1



7. Didalam suatu gedung pertunjukan terdapat 200 orang penonton. Harga karcis setiap lembarnya ada yang berharga Rp2.000,00 dan ada yang berharga Rp3.000,00. Apabila hasil penjualan karcis adalah Rp510.000,00. Berapa banyak penonton yang membeli karcis dengan harga Rp3.000,00. 8. Suatu bilangan yang terdiri dari dua angka. Bilangan ini sama dengan tiga kali jumlah kedua angka tersebut ditambah 5. Angka kedua dikurangi angka pertama sama dengan 5. Tentukan bilangan tersebut. 9. Intan membeli 2 kg mangga dan 1 kg jeruk dengan harga Rp36.000,00. Nia membeli 1 kg mangga dan 1 kg jeruk dengan harga Rp27.000. a) Tulislah model matematika berbentuk SPLDV b) Tentukan harga 1 kg manga dan 1 kg jeruk c) Jika Putri membeli 2 kg mangga dan 3 kg jeruk, berapa yang harus dibayar Putri.



Kegiatan Belajar 2 II. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) SPLTV adalah suatu sistem persamaan yang terdiri dari tiga persamaan linear yang 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1𝑧 = 𝑑1 memuat tiga variabel dan mempunyai bentuk umum {𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 𝑧 = 𝑑2 𝑎3 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐3 𝑧 = 𝑑3 Contoh. 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = −5 a) {2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −1 𝑥+𝑦−𝑧 =3 𝑥+𝑦+𝑧+7



b)



𝑥+𝑦 𝑥+𝑦+𝑧−1 𝑦 𝑦+𝑧+9



{



𝑥−1



=2 =3



=4



HO. SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL - YUNI



5



1



1



1



1



1



1



1



1



1



+𝑦 =2 𝑥 c)



+𝑧=4 𝑥 {𝑦 + 𝑧 = 3



Penyelesaian SPLTV 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 𝑧 = 𝑑1 Penyelesaian atau solusi atau jawab SPLTV {𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2𝑧 = 𝑑2 adalah susunan terurut 𝑎3 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐3𝑧 = 𝑑3 tripel bilangan (𝑥, 𝑦, 𝑧) yang memenuhi ketiga persamaan tersebut. Adapun penyelesaian SPLTV dapat menggunakan 2 cara, yaitu 1) Cara substitusi 2) Cara eliminasi - substitusi 1. Penyelesaian SPLTV dengan cara substitusi Contoh. 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = −5 Tentukan himpunan penyelesaian dari {2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −1 𝑥+𝑦−𝑧 =3 Jawab. 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = −5 … (1) {2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −1 … (2) 𝑥+𝑦−𝑧 =3 … (3) Dari persamaan (2), diperoleh 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −1 ↔ 𝑧 = −2𝑥 − 𝑦 − 1 Persamaan (2) disubstitusikan ke persamaan (1), diperoleh 𝑥 − 𝑦 + 2(−2𝑥 − 𝑦 − 1) = −5 ↔ −3𝑥 − 3𝑦 = −3 ↔𝑥+𝑦 =1 ↔ 𝑦 = 1−𝑥



… (4)



Persamaan (2) disubstitusikan ke persamaan (3), diperoleh 𝑥 + 𝑦 − (−2𝑥 − 𝑦 − 1) = 3 ↔ 3𝑥 + 2𝑦 = 2



… (5)



Persamaan (4) disubstitusikan ke persamaan (5), diperoleh 3𝑥 + 2(1 − 𝑥 ) = 2 ↔ 𝑥 = 0 𝑥 = 0 disubstitusikan ke persamaan (4), diperoleh 𝑦 = 1 − 0 = 1 𝑥 = 0 dan 𝑦 = 1 disubstitusikan ke persamaan (1), diperoleh 𝑧 = −2(0) − 1 − 1 = −2 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(0, 1, −2)}



HO. SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL - YUNI



6



Latihan 2 Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut dengan menggunakan cara substitusi 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −2 1. { 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −6 𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 1 2. { −𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2 2𝑥 + 6𝑦 + 𝑧 = −6 4𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 11 { 3. 2𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = 9 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −6 2. Penyelesaian SPLTV dengan cara eliminasi - substitusi Contoh. 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = −5 … (1) { 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −1 … (2) 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = −3 … (3) Jawab. Dengan mengeliminasi z pada persamaan (1) dan (2), diperoleh 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = −5 |× 1| → 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = −5 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −1



|× 2| → 4𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = −2



−3𝑥 − 3𝑦



−



= −3



𝑥+𝑦



=1



𝑦 = 1−𝑥



… (4)



Dengan mengeliminasi z pada persamaan (2) dan (3), diperoleh 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −1 𝑥+𝑦−𝑧 = 3 3𝑥 + 2𝑦



=2



+



….. (5)



Persamaan (4) disubstitusikan ke persamaan (5), diperoleh 3𝑥 + 2(1 − 𝑥 ) = 2 ↔ 𝑥 = 0 𝑥 = 0 disubstitusikan ke persamaan (4), diperoleh 𝑦 = 1 − 0 = 1 𝑥 = 0 dan 𝑦 = 1 disubstitusikan ke persamaan (2), diperoleh 2(0) + 1 + 𝑧 = −1 ↔ 𝑧 = −2 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(0, 1, −2)} HO. SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL - YUNI



7



Latihan 3 Selesaikan sistem persamaan berikut dengan cara eliminasi – substitusi 2𝑥 + 𝑦 = −7 1. { 3𝑧 − 𝑥 = −5 2𝑦 + 𝑧 = −1 𝑥−𝑦−𝑧 =4 2. {𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = −4 𝑥+𝑦−𝑧 =0 𝑥+𝑦+𝑧+7 𝑥+𝑦 𝑥+𝑦+𝑧−1



3.



𝑦 𝑦+𝑧+9



{



𝑥−1 1 𝑥



2



4.



=2 =3



=4



1



1



+𝑦+𝑧 =5 3



4



− 𝑦 − 𝑧 = −11



𝑥 3



2



1



{ 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = −6 1



(Petunjuk: misalkan 𝑥 = 𝑎,



1



= 𝑏, 𝑦



1 𝑧



= 𝑐)



Penerapan SPLTV Contoh. Bentuk kuadrat 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 mempunyai nilai 3 untuk x = 3, 16 untuk x = 2, dan −4 untuk x = 0, tentukan a, b, dan c. Jawab. 𝑥 = 3 → 𝑎(1)2 + 𝑏(1) + 𝑐 = 3 ↔ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 3 … (1) 𝑥 = 2 → 𝑎(2)2 + 𝑏(2) + 𝑐 = 1 ↔ 4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 16 … (2) 𝑥 = 0 → 𝑎(0)2 + 𝑏(0) + 𝑐 = −4 ↔ 𝑐 = −4 𝑐 = −4 disubstitusikan pada persamaan (1), diperoleh 𝑎+𝑏−4= 3⇔𝑎+𝑏 = 7



… (3)



𝑐 = −4 disubstitusikan pada persamaan (2), diperoleh 4𝑎 + 2𝑏 − 4 = 16 ⇔ 4𝑎 + 2𝑏 = 20 ⇔ 2𝑎 + 𝑏 = 10 ⇔ 𝑏 = 10 − 2𝑎 … (4) HO. SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL - YUNI



8



Persamaan (4) disubstitusikan ke persamaan (3), diperoleh 𝑎 + 10 − 2𝑎 = 7 ⇔ −𝑎 = −3 ⇔𝑎=3 𝑎 = 3 disubstitusikan pada persamaan (4), diperoleh 𝑏 = 10 − 2(3) = 4 Jadi, nilai 𝑎 = 3, 𝑏 = 4 , dan 𝑐 = −4



Latihan 4 1. Keliling suatu segitiga adalah 26 cm. Sisi terpanjang lebih pendek 2cm dari jumlah kedua sisi lainnya. Apabila sisi terpanjang lebih panjang 4 cm dari sisi tengahnya, tentukan panjang ketiga sisi segitiga itu. 2. Ada tiga bilangan. Bilangan pertama ditambah bilangan kedua sama dengan dua kali bilangan ketiga. Selisih bilangan pertama dan ketiga sama dengan seperempat bilangan kedua. Apabila jumlah ketiga bilangan itu 15, tentukan ketiga bilangan itu. 3. Parabola 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 melalui titik-titik (1,1), (−1, −5), dan (3, 23). Tentukan nilai a, b, dan c, serta persamaan parabola tersebut.



SELAMAT BELAJAR



HO. SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL - YUNI



9



HO. SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL - YUNI



10