Materi 2 Barisan Tak Terhingga [PDF]

Citation preview

Materi 2 Barisan Tak Terhingga



Pendahuluan Istilah barisan telah dibahas untuk pertama kali dalam Kalkulus 1, dan muncul kembali dalam Kalkulus 2. Dengan bahasa yang sederhana suatu barisan a1 , a2 , a3 , a4, . . . adalah susunan bilangan yang terurut sesuai dengan urutan bilangan asli. Tepatnya, suatu barisan takterhingga adalah sebuah fungsi yang daerah asalnya adalah himpunan bilangan asli. Suatu barisan a1 , a2 , a3 , a4, . . ., dapat disajikan pula sebagai {𝑎𝑛 }∞ 𝑛=1 , atau lebih singkat {an}. Kadang-kadang, kita akan memperhatikan barisan yang terdiri dari semua bilangan asli yang lebih besar atau sama dengan bilangan asli yang disebutkan, misalnya b 0, b1 , b2 , b3 , . . . dan c8, c9, c10, . . . yang rumus umumnya dapat dituliskan sebagai {𝑏}∞ 𝑛=0 dan {𝑐𝑛 }∞ . 𝑛=8 Suatu barisan dapat dispesifikasikan dengan memberikan suku awal yang cukup untuk membentuk suatu pola, seperti pada barisan 1, 4, 7, 10, 13, . . . Dengan rumus eksplisit untuk suku ke-n, seperti pada an = 3n – 2 , n ≥ 1 Atau oleh rumus rekursi an = an-1 + 3 , n ≥ 2 , a1 = 1 Perhatikan bahwa ketiga rumusan di atas melukiskan barisan yang sama. Di bawah ini ada 4 rumus eksplisit berbagai barisan dan beberapa suku pertamanya. 𝑎𝑛 = 1 −



1 𝑛



, n≥1 1



𝑏𝑛 = 1 + (−1)𝑛 . 𝑛 , n ≥ 1 𝑐𝑛 = (−1)𝑛 +



1 𝑛



, n≥ 1



𝑑𝑛 = 0,999 , n ≥ 1



; 0, ½ , 2/3 , ¾ , 4/5 , 5/6 , . . . ; 0, 3/2 , 2/3 , 5/4 , 4/5 , 7/6 , 6/7 , . . . ; 0, 3/2 , -2/3 , 5/4 , -4/5 , 7/6 , -6/7 , ... ; 0,999 , 0,999 , 0,999 , 0,999 , . . .



Bila digambarkan dalam garis bilangan, tampak seperti gambar di bawah ini



Kekonvergenan : Perhatikan keempat barisan di atas. Nilai suku-suku dalam tiap barisan tersebut semakin mendekati 1. (lihat diagram pada gambar 1 di atas). Tetapi apakah mereka semua konvergen menuju 1? Jawaban yang benar adalah bahwa {an} dan {bn} konvergen menuju 1, sedangkan {cn} dan {dn} tidak demikian. Agar suatu barisan konvergen menuju 1, syaratnya yang pertama adalah bahwa nilai-nilai barisan itu harus mendekati 1.; kedua nilai-nilai tersebut harus tetap berdekatan, yang tidak dipenuhi oleh {cn}. Berdekatan artinya semakin lama semakin dekat, yakni, dalam sebarang tingkat ketelitian yang ditentukan, yang tidak dipenuhi oleh {dn}. Walaupun {dn} tidak konvergen menuju 1, yang betul dapat dikatakan bahwa barisan {dn} konvergen menuju 0,999. Sedangkan barisan {cn} tidak konvergen sama sekali ; barisan ini kita katakan divergen. Di bawah ini kita berikan definisi formalnya. Definisi : Barisan {an} dinamakan konvergen menuju L atau berlimit L dan ditulis sebagai : lim 𝑎𝑛 = 𝐿



𝑛→∞



Apabila untuk tiap bilangan positif 𝜀, ada bilangan positif N sehingga untuk n ≥ N → |an – L| < 𝜀 suatu barisan yang tidak konvergen ke suatu bilangan L yang terhingga dinamakan divergen.



Untuk melihat hubungan yang lebih erat antara barisan dan fungsi yang telah dipelajari pada kalkulus 1, perhatikan grafik an = 1 – 1/n dan a(x) = 1 – 1/x . Bedanya ialah bahwa peubah



dalam barisan (atau domain an ) adalah bilangan asli, sedangkan dalam fungsi a(x) domainnya adalah himpunan bilangan real. Dalam hal barisan kita peroleh lim 𝑎𝑛 = 1 ; 𝑛→∞



sedangkan untuk fungsi a(x) , dieroleh pula lim 𝑎(𝑥) = 1. Perhatikan arti 𝜀 dan N pada 𝑥→∞



grafik gambar 2 berikut ini



Contoh 1 : Buktikan, bahwa untuk p positif bulat (asli) maka 1 =0 𝑛→∞ 𝑛𝑝 lim



Penyelesaian : Pembuktian ini hampir jelas dari penyelesian sebelumnya, tetapi di sini akan diberikan 𝑝



pembutian formalnya. Andaikan diketahui 𝜀 > 0. Pilihlah N > √1⁄𝜀



. maka untuk n ≥ N



berlakulah : 1



|an – L|= |𝑛𝑝 − 0| =



1 𝑛𝑝



≤



1 𝑁𝑝




bn+1). Bukti ini dapat dilihat di bawah ini. Tiap pertidaksamaan setara dengan pertidaksamaan yang lain. 𝑛2 2𝑛



>



n2 >



(𝑛+1)2 2𝑛+1 (𝑛+1)2 2



2n2 > n2 + 2n + 1 n2 – 2n > 1 n(n – 2) > 1 Pertidaksamaan terakhir benar untuk n > 3. Oleh karena barisan menurun (persyaratan lebih berat daripada tak naik) dan terbatas oleh nol di bawah, maka menurut teorema D (barisan yang monoton), barisan itu mempunyai limit. Dengan menggunakan kaidah l’Hopital mudahlah ditunjukkan bahwa limit barisan tersebut adalah nol.



Latihan soal : Dalam soal no 1 - 10 diketahui rumus eksplisit an untuk barisan {an}. Tulislah dari tiap-tiap barisan itu lima suku pertama. Tentukan apakah barisan itu konvergen atau divergen. Apabila konvergen, tentukan lim 𝑎𝑛 𝑛→∞



𝑛



1. an = 2𝑛−1 2. an = 3. an = 4. an =



3𝑛+1 𝑛+ 2 4𝑛2 + 1 𝑛2 − 2𝑛+3 3𝑛2 + 2 𝑛+ 4 𝑛+ 4



5. an = 2𝑛2 + 6. an =



√𝑛 𝑛+ 1



1



𝑛



7. an = (-1)n 𝑛 +



1



𝑒𝑛



8. an = 2𝑛



9. an = (1/2)n + 2n 10. an = 1 + (0,9)n



Dalam soal no 11 – 15, tentukan rumus eksplisit untuk an ; tentukan apakah barisan itu konvergen atau divergen. Apabila konvergen tentukan lim 𝑎𝑛 𝑛→∞



11. 1/22 , 2/23 , 3/24 , 4/25 , . . . 12. -1 , 2/3 , -3/5, 4/7 , -5/9 , . . . 13. 1 ,



1 1−



1 2



1



,



1−



2 3



2



1 2−



1 2



,



1 1−



1 3



3−



,



4



,



32 − 22



2



,...



3 4



3



14. 1, 22 − 12 , 15.



,



3 4−



,...



4 2 − 32



,



1 4



4 5−



1 5



,...



Dalam soal no 16 – 20, tulislah empat suku yang pertama dari barisan {an}. Kemudian gunakan teorema D untuk membuktikan bahwa barisan konvergen 16. an =



4𝑛 − 3 2𝑛 𝑛



17. an = 𝑛 +



1



(2 − 1



1 𝑛2



) 1



18. an = (1 − 4) (1 − 9) … (1 − 1



1



19. an = 1 + 2! + 3! + . . . +



1 𝑛!



20. an+1 = 1 + ½ .an , a1 = 1



1 𝑛2



), n ≥ 2