Barisan Dan Limit Barisan [PDF]

Citation preview

BAB I PENDAHULUAN



1.1 Latar Belakang Di sekolah menengah barisan diperkenalkan sebagai kumpulan bilangan yang disusun menurut pola tertentu, misalnya barisan aritmatika dan barisan geometri. Biasanya barisan dan deret merupakan satu kesatuan pokok bahasan. Sekarang barisan dipahami dari sudut pandang analisis sebagai bentuk khusus dari fungsi. Sedangkan deret akan dibahas khusus pada bab yang lain. Sekarang pondasi jumlah riil sistem R telah diletakkan, dan siap untuk mengejar pertanyaan yang lebih bersifat analitik, dan akan di mulai dengan studi konvergensi urutan. Beberapa hasil awal mungkin akrab bagi pembaca dari kalkulus, tapi presentasi di sini dimaksudkan untuk menjadi pemahaman yang lebih dalam dan akan menyebabkan teorema lebih mendalam pula. 1.2 Rumusan Masalah 1. Bagaimana definisi suatu barisan bilangan real? 2. Bagaimana cara penulisan suatu barisan bilangan real? 3. Bagaimana operasi serta contoh operasi suatu barisan bilangan real? 4. Bagaimana definisi suatu limit barisan? 5. Bagaimana contoh soal serta pembahasan dari limit barisan? 1.3 Tujuan Penulisan 1. Sebagai syarat untuk mengikuti mata kuliah Analisis Riil I 2. Mengetahui definisi dari suatu barisan bilangan real 3. Mengetahui cara penulisan suatu barisan bilangan real 4. Mengetahui operasi serta contoh operasi suatu barisan bilangan real 5. Mengetahui definisi suatu limit barisan 6. Mengetahui cara penyelesaian dari contoh soal limit barisan 1.4 Manfaat Penulisan Dengan adanya makalah ini, pembaca mampu memahami tentang barisan bilangan real ( yang meliputi definisi, cara penulisan, operasi serta contoh) dan limit barisan (definisi, dan contoh).



Barisan dan Limit Barisan | 1



BAB II PEMBAHASAN



BARISAN DAN LIMIT BARISAN 2.1 Definisi Barisan Bilangan Real



Barisan dan Limit Barisan | 2



Barisan bilangan real adalah suatu fungsi bernilai real dengan domain himpunan bilangan asli N. Dengan kata lain, barisan di R mengawankan setiap bilangan asli n = 1, 2, 3, ... kepada suatu bilangan real. Jika X : N  R,



dimana setiap



n N



nilai fungsi



X  n



bisa ditulis sebagai berikut:



X  n  xn Dan disebut suku ke-n barisan X. Notasi barisan yang akan digunakan dalam makalah ini adalah:



 xn 



X



 xn : n   



, , Penulisan barisan menggunakan kurung biasa “( )” dimaksudkan untuk membedakannya dengan himpunan biasa yang ditulis menggunakan kurung kurawal “{ }”. Pada himpunan, anggota yang sama cukup ditulis satu kali. Sedangkan pada barisan, suku-suku yang berbeda ada kemungkinan bernilai



 xn  sama, dan semuanya harus ditulis. Sebagai contoh ambil barisan



x n    1



yang



n



X didefinisikan . Jadi barisannya adalah ( -1, 1, -1, 1, ...). Tetapi bila suku-suku ini dipandang sebagai anggota himpunan maka ditulis X



{ -1, 1 }.



2.2 Contoh Barisan dan Cara Penulisannya X   2,4,6,8,... 1) merupakan barisan bilangan genap. Dapat juga ditulis X   2n : n    sebagai:  1 1 1   1  X   , , ,... X : n    n   1 2 3  2) . Dapat juga ditulis sebagai:



2.3 Contoh Soal Barisan n  xn  x n    1   1 n : n   1) Barisan dengan , adalah...











Barisan dan Limit Barisan | 3



Penyelesaian: n 1 2 3 4 5 6 n x n    1 x n    1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   1 ,...,   1 ,... maka n  1,1,1,1,1,1,...,   1 ,... Sehingga diperoleh barisan :   1 n x  n  xn    1 n : n   n 2) Barisan dengan , adalah... Penyelesaian:   1 n   1 1 ,   1 2 ,   1 3 ,...,   1 n ,... xn  xn  n 1 2 3 n maka 1 1   1 n ,...  1, , ,..., 2 3 n











Sehingga diperoleh barisan :  xn  xn  3 3) Barisan konstan dengan adalah ... Penyelesaian: xn  3 maka diperoleh barisan : 3,3,3,3,... 1 xn   xn  n n  1 4) Barisan dengan adalah... Penyelesaian: 1 1 1 1 1 xn  xn  , , ,..., ,... n n  1 11  1 2 2  1 3 3  1 n n  1 maka 1 1 1 1 , , ,..., ,... 2 6 12 n n  1 Sehingga diperoleh barisan : 2.4 Operasi Barisan Bilangan Real



 xn 



Definisi: Diberikan barisan bilangan real



 yn  dan



, dan



 R



. Maka



dapat didefinisikan sebagai berikut:  xn    y n    xn  y n  (i)   x n     .x n  (ii)  xn   y n   ( x n y n ) (iii) . .



Barisan dan Limit Barisan | 4



 xn   yn 



 xn  yn



 



(iv)



  



yn  0 , asalkan



Contoh: xn 



  1 n n



1) Diketahui



yn  dan



1 n 2 2



, maka hitunglah operasi barisan



berikut:  xn    y n    xn  y n  a)  xn    y n    xn  y n  b)  x n . y n    xn . y n  c)  xn   x n    y n   y n  d) Penyelesaian: xn



n   1 



n



yn 



1 2 3 4   1   1   1   1  , , , ,...



1



2



3



4



maka



1 1 1 1 1  2 , 2 , 2 , 2 ,... n 2 1 2 2 2 3 2 4 2



1 1 1 x n  1, , , ,... 2 3 4



2



maka



1 1 1 1 y n  , , , ,... 3 6 11 18



Jadi,



 xn    y n    xn  y n  a) 1 1 1   1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1     1, , , ,...    , , , ,...     1  ,  ,  ,  ,...  2 3 4   3 6 11 18  3 2 6 3 11 4 18    



Barisan dan Limit Barisan | 5



2   3 1 3 1 11 3 9     ,  ,  ,  ,...   3 3 6 6 33 33 36 36 



 2 4 9 11     , , , ,...  3 6 33 36 



Jadi,



 x n    y n    x n  y n   



2 4 9 11   , , , ,...   3 6 33 36 



 xn    y n    xn  y n  b) 



1 1 1   1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1     1, , , ,...    , , , ,...    1  ,  ,  ,  ,...  2 3 4   3 6 11 18  3 2 6 3 11 4 18     3 1 3 1 11 3 9 2      ,  ,  ,  ,...  3 3 6 6 33 33 36 36   4 2 14 7     , , , ,...   3 6 33 36 



Jadi,



 xn    y n    xn  y n 



 4 2 14 7     , , , ,...   3 6 33 36 



 x n . y n    xn . y n  c) 



1 1 1    1, , , ,... 2 3 4  



 1 1 1 1  . , , , ,...  3 6 11 18 



1 1 1 1 1 1 1      1. , . , . , . ,... 3 2 6 3 11 4 18   1 1   1 1    , , , ,...  3 12 33 72 



Jadi,



 x n . y n    x n . y n   



1 1 1 1   , , , ,...   3 12 33 72 



 xn   yn  d)



 xn  yn



 



  



Barisan dan Limit Barisan | 6







1 1 1  1 1 1     1, , , ,...    1, , , ,...  2 3 4   2 3 4   1 1 1 1  1 1 1 1     , , , ,...  , , , ,...  3 6 11 18 3 6 11 18    



1 1 1 1 1 1 1      1 : , : , : , : ,... 3 2 6 3 11 4 18   6  4 18      3, , , ,...  2 3 4   4 9      3,3, , ,... 3 2  



Jadi,  xn   x n   4 9      3,3, , ,...   yn   yn   3 2 



xn 



1 n2



2) Diketahui Penyelesaian: 1 1 1 xn  2  2 , 2 n 1 2



,



  x n     .x n  . Tentukanlah



. Dimana



 2



1 1 1 1 1 , 2 ,...  1, , , ,... 2 4 9 16 3 4



Maka:   xn 



   . xn 



 1 1 1  2 1, , , ,...   4 9 16 



1 1 1     2.1,2. ,2. ,2. ,...  4 9 16    2 2 2    2, , , ,...   4 9 16   1 2 1    2, , , ,...  2 9 8 



  x n     .x n  Jadi,



 1 2 1    2, , , ,...   4 9 8 



Barisan dan Limit Barisan | 7



2.5 Definisi Limit Barisan  xn  x Diketahui barisan bilangan real. Suatu bilangan real dikatakan



 xn  limit barisan



jika untuk setiap



hingga untuk setiap



x



Jika



n N



dengan



limit dari suatu barisan



limit mendekati



x



 0



n  K  



 xn 



terdapat



K    



sedemikian



xn  x  



berlaku



.



 xn 



maka dikatakan barisan lim  x n   x



lim  x n   x



n 



. Dalam hal ini ditulis



memiliki



atau



atau



 xn   x .



Contoh: Tunjukanlah berdasarkan definisi limit barisan bahwa lim



1.



1 0 n



3  3n  1    2  2n  5 



lim 



2.



 2n   2  n 1



lim 



3.



 n2 1  1   2 2  2n  3 



lim 



4.



Penyelesaian: 1 lim  0 n 1.



Barisan dan Limit Barisan | 8



Menurut definisi limit barisan



 0



terdapat



n  K  



berlaku



xn  x  



Maka: 1 lim  0 n



menjadi:



1 0  n 



1 n xn 



Karena







1 n



mendekati 0, untuk sembarang



   1 1



dimana



1  0  n 2 maka







  0 n  , ,



.



1  n



Ini berarti lim



Terbukti bahwa



1 0 n



3  3n  1    2  2n  5 



lim 



2.



Menurut definisi limit barisan



 0



terdapat



n  K  



berlaku



xn  x  



Maka: 3  3n  1  lim    2  2n  5 



menjadi:



Barisan dan Limit Barisan | 9



3n  1 3   2n  5 2







2 3n  1 3 2n  5  2 2 n  5  2 2 n  5 







6n  2 6n  15  4n  10 4n  10







6n  2  6n  15 4n  10







 13 4n  10



  13



1 1 1   13   13 4n  10 4n n xn 



Karena



 dimana



1 n



mendekati 0, untuk sembarang



    13 13



  0 n  , ,



1  0  n  13



maka .  13 1 1     13   13   13  4n  10 4n n  13



Ini berarti 3n  1 3   2n  5 2



Sehingga 3  3n  1    2  2n  5 



lim 



Terbukti bahwa  2n   2  n 1



lim 



3.



Barisan dan Limit Barisan | 10



Menurut definisi limit barisan



 0



terdapat



n  K  



berlaku



xn  x  



Maka:  2n  lim   2  n 1



menjadi: 2n 2  n 1







2n  2 n  1 n 1







2 n  2n  2 n 1







2 n 1



 2



1 1  2 n 1 n xn 



Karena



 dimana



1 n



mendekati 0, untuk sembarang



   2 2



  0 n  , ,



1  0  n 2



maka . 2 1    2  2  n 1 n 2



Ini berarti 2n 2  n 1



Sehingga



Terbukti bahwa



. 2 n   lim   2  n 1



Barisan dan Limit Barisan | 11



 n2 1  1   2 2  2n  3 



lim 



4.



Menurut definisi limit barisan



 0



terdapat



n  K  



berlaku



xn  x   Maka:  n2 1  1   lim  2 2  2n  3 



menjadi:



n 1 1   2n 2  3 2 2











  



 



2 n2 1 1 2n 2  3   2 2n 2  3 2 2 n 2  3







2n 2  2 2n 2  3   4n 2  6 4n 2  6 



2n 2  2  2n 2  3 4n 2  6







5 4n 2  6



 5



1 4n  6 2



xn 



Karena dimana







   5 5



1 n



 5



1 1 1  5 2  5 2 n 4n n



mendekati 0, untuk sembarang



  0 n  , ,



1  0  n 5



maka 5 1 1 1    5 2  5 2  5  5  2 n 5 4n  6 4n n Ini berarti



Barisan dan Limit Barisan | 12



n2 1 1   2n 2  3 2



Sehingga 



lim 



Terbukti bahwa



. n 1  1   2 2 2n  3  2







BAB III PENUTUP



3.1 Simpulan 3.1.1 Definisi Barisan Bilangan Real Barisan bilangan real adalah suatu fungsi bernilai real dengan domain himpunan bilangan asli N. Dengan kata lain, barisan di R mengawankan setiap bilangan asli n = 1, 2, 3, ... kepada suatu bilangan



real. Jika X : N  R, dimana setiap



n N



nilai fungsi



X  n



bisa ditulis



sebagai berikut:



X  n  xn Dan disebut suku ke-n barisan X. Notasi barisan yang akan digunakan dalam makalah ini adalah:



X



 xn 



 xn : n   



, , Penulisan barisan menggunakan kurung biasa “( )” dimaksudkan untuk



membedakannya



dengan



himpunan



biasa



yang



ditulis



menggunakan kurung kurawal “{ }”. Pada himpunan, anggota yang sama cukup ditulis satu kali. Sedangkan pada barisan, suku-suku yang berbeda ada kemungkinan bernilai sama, dan semuanya harus ditulis.



3.1.2 Operasi Barisan Bilangan Real



Barisan dan Limit Barisan | 13



 xn  Definisi: Diberikan barisan bilangan real



 yn  dan



, dan



 R



. Maka dapat didefinisikan sebagai berikut:



 xn    y n    xn  y n  (i)



  x n     .x n 



(ii)



 xn   y n   ( x n



(iii)



(iv)



.



 x n     y n  



yn ) .



xn yn



 







yn  0 , asalkan



3.1.3 Definisi Limit Barisaan



 xn  Diketahui



barisan bilangan real. Suatu bilangan real



 xn  dikatakan limit barisan



jika untuk setiap



sedemikian hingga untuk setiap



n N



 0



terdapat



dengan



x



K    



n  K  



berlaku



xn  x  



Jika



x



 xn  limit dari suatu barisan



memiliki limit mendekati



lim  x n   x



x



 xn  maka dikatakan barisan lim  x n   x n 



. Dalam hal ini ditulis



atau



 xn   x atau



.



3.2 Saran Dalam



makalah ini kami menyadari masih terdapat banyak



kekurangan dan masih sangat membutuhkan penambahan-penambahan misalnya dalam pembahasan serta keterkaitannya dengan contoh yang mungkin membingungkan pembaca. Karena itu, kami mengharapkan saran Barisan dan Limit Barisan | 14



dan



kritik



yang



bernilai



positif



dan



membangun



untuk



lebih



menyempurnakan tugas kami selanjutnya.



Barisan dan Limit Barisan | 15