Barisan Dan Deret [PDF]

Citation preview

20. BARISAN DAN DERET A. BARISAN ARITMETIKA DAN GEOMETRI U1, U2, U3, … ,Un adalah barisan suatu bilangan yang memiliki ciri khusus sebagai berikut Barisan



Ciri utama



Suku tengah



Rumus suku ke–



Sisipan k bilangan



n Ut = 12 (a + U2k – 1) , Aritmetika Beda b = Un – Un – 1



Un = a + (n – 1)b



k letak suku tengah,



bbaru =



y−x k +1



rbaru =



k +1 y x



banyaknya suku 2k–1



Geometri



Rasio r =



Un U n −1



Ut =



Un = arn–1



a ⋅ Un ,



dengan t = ½(n + 1)



Catatan : 1.



x dan y adalah dua buah bilangan yang akan di sisipkan k buah bilangan



2. U1 = a = suku pertama suatu barisan 3.



Pada barisan aritmetika berlaku Um – Uk = (m – k)b



SOAL 1. UN 2012/A13 Barisan geometri dengan U7 = 384 dan rasio = 2. Suku ke–10 barisan tersebut adalah… A. 1.920 B. 3.072 C. 4.052 D. 4.608 E. 6.144 Jawab : E 2. UN 2012/D49 Barisan geometri dengan suku ke–5 adalah 1 1 dan rasio = , maka suku ke–9 barisan 3 3 geometri tersebut adalah …. A. 27 B. 9 1 C. 27 1 D. 81 1 E. 243 Jawab : E



PENYELESAIAN U7 = ar6 = 384, maka U10 = U7 · r3 = 384·23 = 384·8 = 6.144.................................................(E)



1 , maka 3 U9 = U5 · r4 U5 = ar4 =



4



1 1 ·  3 3 1 = ………………………………….(E) 243



=



SIAP UN IPA 2014 Baris dan Deret http://www.soalmatematik.com SOAL 3. UN 2011 PAKET 12 Suku ke–4 dan ke–9 suatu barisan aritmetika berturut–turut adalah 110 dan 150. Suku ke– 30 barisan aritmetika tersebut adalah … a. 308 b. 318 c. 326 d. 344 e. 354 Jawab : b



PENYELESAIAN Cara I ………. Tentukan nilai a dan b U9 = a + 8b = 150 U4 = a + 3b = 110 _ 5b = 40 b = 8 maka a = 110 – 3b = 110 – 3(8) = 86 U30 = a + 29b = 86 + 29(8) = 86 + 232 = 318 …………...(b)



Cara II……. Tidak usah di cari nilai a U30 = U9 + 21b = 150 + 21(8) = 150 + 168 = 318 4. UN 2011 PAKET 46 Cara I ………. Tentukan nilai a dan b Suku ke–6 dan ke–12 suatu barisan U12 = a + 11b = 65 aritmetika berturut–turut adalah 35 dan 65. U6 = a + 5b = 35 _ Suku ke–52 barisan aritmetika tersebut 6b = 30 adalah … b = 5 maka a = 35 – 5b = 35 – 5(5) = 10 a. 245 U52 = a + 51b = 10 + 51(5) b. 255 = 10 + 255 = 265 …………...(c) c. 265 d. 285 Cara II……. Tidak usah di cari nilai a e. 355 U52 = U12 + 40b = 65 + 40(5) Jawab : c = 65 + 200 = 265 Gunakan rumus umum suku ke–n 5. UN 2010 PAKET A/B U2 + U15 Diketahui barisan aritmetika dengan Un + U40 = 165 adalah suku ke–n. Jika U2 + U15 + U40 = 165, (a + b) + (a + 14b) + (a + 39b) = 165 maka U19 = … 3a + 54b = 165 a. 10 a + 18b = 55 b. 19 U19 = 55 ………..(d) c. 28,5 d. 55 e. 82,5 Jawab :d 6. UN 2010 PAKET A/B Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmetika dengan beda tiga. Jika suku kedua dikurangi 1, maka terbentuklah barisan geometri dengan jumlah 14. Rasio barisan tersebut adalah … a. 4 b. 2 c. 12 d. – 12 e. –2 Jawab : b



•



a , a + 3, a + 6



: Barisan aritmetika



•



a , a + 3 – 1, a + 6 a , a + 2, a + 6



: Barisan Geometri



•



a + a + 2 + a + 6 = 14 : Deret Geometri 3a + 8 = 14 3a = 6 a=2 a+2 U2 Rasio : r = = a U1 2+2 = = 2 …………(b) 2



•



337 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Baris dan Deret http://www.soalmatematik.com SOAL 7. UN 2009 PAKET A/B Barisan bilangan aritmetika terdiri dari 21 • suku. Suku tengah barisan tersebut adalah 52, sedangkan U3 + U5 + U15 = 106. suku ke–7 barisan tersebut adalah … a. 27 b. 30 • c. 32 d. 35 e. 41 Jawab : c



•



PENYELESAIAN U3 + U5 + U15 = a + 2b + a + 4b + a + 14b 106 = 3a + 20b……………….(1) 106 = 2a + (a + 20b) 106 = 2a + U21 U21 = 106 – 2a …………….(2) Substitusikan pers. (2) ke rumus Ut Ut = 12 (a + U21) 52 = 12 (a + 106 – 2a) 104 = 106 – a a = 106 – 104 = 2 Substitusikan a = 2 pers. (1) 106 = 3a + 20b 106 = 3(2) + 20b 20b = 106 – 6 = 100 b=5 Jadi, U7 = a + 6b = 2 + 6(5) = 32 ………………….(c)



1) x, y, z…………..…: barisan aritmetika 8. UN 2009 PAKET A/B Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. z + 2 = 4x z = 4x – 2 Jika suku ketiga ditambah dua, dan suku kedua dikurangi dua, diperoleh barisan • beda b geometri. Jika suku ketiga barisan aritmetika y–x=z–y ditambah 2 maka hasilnya menjadi empat kali y – x = (4x – 2) – y suku pertama. Maka suku pertama deret y + y = 4x + x – 2 aritmetika tersebut adalah … –5x + 2y = – 2 ……………………..(1) a. 4 b. 6 2) x, (y – 2), (z + 2) ……….: barisan geometri c. 8 • Rasio r d. 12 y−2 z+2 e. 14 = x y−2 Jawab : b y − 2 4x − 2 + 2 = x y−2 y−2 4x = x y−2 4x2 = (y – 2)2 2x = y – 2 2x – y = – 2 ………………………(2) •



Dari pers. (1) dan (2) –5x + 2y = – 2 | × 1 ⇔ –5x + 2y = – 2 2x – y = – 2 | × 2 ⇔ 4x – 2y = – 4 –x = –6 x=6



+



Jadi, U1 = 6 ……………………………(b)



338 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Baris dan Deret http://www.soalmatematik.com



B. Masalah Berkaitan dengan Barisan Aritmetika dan Geometri SOAL 1. UN 2007 PAKET A • Bakteri jenis A berkembang biak menjadi dua • kali lipat setiap lima menit. Pada waktu lima belas menit pertama banyaknya bakteri ada 400. Banyaknya bakteri pada waktu tiga puluh lima menit pertama adalah … bakteri a. 640 b. 3.200 • c. 6.400 d. 12.800 e. 32.000 Jawab : c



PENYELESAIAN r=2



U 15 = U3 = 400 5



U3 = ar2 400 = a·22 400 = a·4 a = 400 = 100 4



U 35 = U7 = ar6 5



= 100×26 = 100×64 = 6.400 ……………………..(c)



2. UN 2004 Populasi suatu jenis serangga setiap tahun • r=2 menjadi dua kali lipat. Jika populasi serangga tersebut saat ini mencapai 5000 ekor, maka • a = 5.000 10 tahun yang akan datang populasinya sama U10 = ar9 = 5.000 × 29 dengan … a. 2.557.500 ekor = 5.000 × 512 b. 2.560.000 ekor = 2.560.000 …………………………(b) c. 5.090.000 ekor d. 5.115.000 ekor e. 5.120.000 ekor Jawab : b



339 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Baris dan Deret http://www.soalmatematik.com



C. DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI U1 + U2 + U3 + … + Un adalah penjumlahan berurut (deret) suatu barisan dengan ciri khusus sbb Deret



Jumlah n suku pertama Sn = 12 n(a + Un)



Aritmetika



……………jika a dan Un



diketahui = 12 n(2a + (n – 1)b) …………..jika a dan b diketahui Sn =



Geometri



a ( r n − 1) ………………… jika r > 1 r −1



=



a (1 − r n ) …………………jika r < 1 1− r



Catatan: 1. Antara suku ke–n dan deret terdapat hubungan yaitu : • Un = Sn – Sn – 1 • U1 = a = S1 2. Terdapat deret takhingga suatu barisan geometri yaitu: a • S∞ = 1− r SOAL-SOAL DERET ARITMETIKA SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2013 Diketahui suatu deret aritmetika dengan suku u7 = a + 6b = 16 ke–3 = 4 dan suku ke–7 = 16. Jumlah 10 u3 = a + 2b = 4_ suku pertama deret tersebut adalah … 4b = 12 A. 115 b=3 B. 125 C. 130 • u1 = u3 – 2b = 4 – 2(3) = –2 D. 135 • u10 = u7 + 3b = 16 + 3(3) = 25 E. 140 • un = 12 n(a + un) Jawab : A u10 = 12 × 10(–2 + 25) = 5 (23) = 115………………..(A) 2. UN 2013 Diketahui barisan aritmetika dengan suku ke–3 adalah 11 dan suku ke–8 adalah 31. Jumlah 20 suku pertama barisan tersebut adalah … A. 800 B. 820 C. 840 D. 860 E. 870 Jawab : B



u8 = a + 7b = 31 u3 = a + 2b = 11 _ 5b = 20 b=4 • • •



u1 = u3 – 2b = 11 – 2(4) = 3 u20 = u8 + 12b = 31 + 12(4) = 79 un = 12 n(a + un) u20 = 12 × 20(3 + 79) = 10 (82) = 820………………..(B)



340 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Baris dan Deret http://www.soalmatematik.com SOAL 3. UN 2013 Diketahui suku ke–3 dan ke–7 suatu barisan aritmetika berturut–turut adalah 12 dan 32. Jumlah 8 suku pertama barisan tersebut adalah … A. 312 B. 172 C. 156 D. 146 E. 117 Jawab : C 4. UN 2013 Suku ke–4 dan suku ke–12 dari barisan aritmetika berturut–turut 36 dan 100. Jumlah 20 suku pertama dari deret aritmetika tersebut adalah … A. 164 B. 172 C. 1.640 D. 1.760 E. 1.840 Jawab : D



PENYELESAIAN u7 = a + 6b = 32 u3 = a + 2b = 12 _ 4b = 20 b=5 • • •



u1 = u3 – 2b = 12 – 2(5) = 2 u8 = u7 + b = 32 + 5 = 37 un = 12 n(a + un) u8 = 12 × 8(2 + 37) = 4 (39) = 156………………..(C)



u12 = a + 11b = 100 u4 = a + 3b = 36 _ 8b = 64 b=8 • • •



u1 = u4 – 3b = 36 – 3(8) =1 2 u20 = u12 + 8b = 100 + 8(8) = 164 un = 12 n(a + un) u20 = 12 × 20(12 + 164) = 10 (176) =1.760………………..(D)



5. UN 2013 Diketahui suku ke–3 dan suku ke–8 suatu barisan aritmetika berturut–turut adalah 2 dan –13. Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah … A. –580 B. –490 C. –440 D. –410 E. –380 Jawab : D



u8 = a + 7b = –13 u3 = a + 2b = 2_ 5b = –15 b = –3 • • •



u1 = u3 – 2b = 2 – 2(–3) = 8 u20 = u8 + 12b = –13 + 12(–3) = –49 un = 12 n(a + un) u20 = 12 × 20(8 – 49) = 10 (–41) = –410………………..(D)



6. UN 2013 Diketahui suku ke–4 dan suku ke–9 suatu deret aritmetika berturut–turut adalah 15 dan 30. Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah … A. 960 B. 690 C. 460 D. 390 E. 360 Jawab : B



u9 = a + 8b = 30 u4 = a + 3b = 15_ 5b = 15 b=3 • • •



u1 = u4 – 3b = 15 – 3(3) = 6 u20 = u9 + 11b = 30 + 11(3) = 63 un = 12 n(a + un) u20 = 12 × 20(6 + 63) = 10 (69) = 690………………..(B)



341 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Baris dan Deret http://www.soalmatematik.com SOAL 7. UN 2013 Diketahui suku ke–3 dan suku ke–6 suatu barisan aritmetika berturut–turut adalah 8 dan 17. Jumlah 21 suku pertama deret tersebut adalah … A. 630 B. 651 C. 665 D. 670 E. 672 Jawab : E 8. UN 2013 Diketahui deret aritmetika dengan suku ke–3 dan ke–6 berturut–turut adalah 30 dan 51. Jumlah 15 suku pertama barisan tersebut adalah … A. 625 B. 755 C. 975 D. 1.050 E. 1.150 Jawab : C 9. UN 2012/A13 Jumlah n suku pertama deret aritmatika dinyatakan dengan Sn = n2 + 5n. Suku ke–20 dari deret aritmetika tersebut adalah… A. 44 D. 38 B. 42 E. 36 C. 40 Jawab : A



10. UN 2012/C37 Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan Sn= 2n2 + 4n, Suku ke–9 dari deret aritmetika tersebut adalah … A. 30 D. 42 B. 34 E. 46 C. 38 Jawab : C



PENYELESAIAN u6 = a + 5b = 17 u3 = a + 2b = 8 _ 3b = 9 b=3 • • •



u1 = u3 – 2b = 8 – 2(3) = 2 u21 = u6 + 15b = 17 + 15(3) = 62 un = 12 n(a + un) u21 = 12 × 21(2 + 62)



= 21 (32) = 672………………..(E) u6 = a + 5b = 51 u3 = a + 2b = 30_ 3b = 21 b=7 • • •



u1 = u3 – 2b = 30 – 2(7) = 16 u15 = u6 + 9b = 51 + 9(7) = 114 un = 12 n(a + un) u15 = 12 × 15(16 + 114) = 15 (65) = 975………………..(C)



Cara Biasa Sn = n2 + 5n S2 = 22 + 5(2) = 14 U1 = S1 = 12 + 5(1) = 6 _ S2 – S1 = U2 = 8 b = U2 – U1 = 8 – 6 = 2 U20 = a + 19b = 6 + 19(2) = 44 ………………………(A) Cara Cepat : Sn = n2 + 5n ⇒ Un = 2n + (5 – 1) = 2n + 4 U20 = 2(20) + 4 = 44 Cara Biasa Sn = 2n2 + 4n S2 = 2(2)2 + 4(2) = 16 U1 = S1 = 2(1)2 + 4(1) = 6 _ S2 – S1 = U2 = 10 b = U2 – U1 = 10 – 6 = 4 U9 = a + 8b = 6 + 8(4) = 38 ………………………(C) Cara Cepat : Sn = 2n2 + 4n ⇒ Un = 2—2n + (4 – 2) = 4n + 2 U9 = 4(9) + 2 = 38



342 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Baris dan Deret http://www.soalmatematik.com SOAL 11. UN 2012/D49 Jumlah n suku pertama deret aritmatika dinyatakan dengan Sn = n2 + 3n. Suku ke–20 deret tersebut adalah…. A. 38 D. 50 B. 42 E. 54 C. 46 Jawab : B



PENYELESAIAN Cara Biasa Sn = n2 + 3n



12. UN 2012/E52 Jumlah n suku pertama deret aritmatika 5 2 3 dinyatakan dengan Sn = n + n. Suku 2 2 ke–10 dari deret aritmatika tersebut adalah…. A. 49 1 B. 47 2 C. 35 1 D. 33 2 E. 29



Cara Biasa



Jawab : A



S2 = 22 + 3(2) = 10 U1 = S1 = 12 + 3(1) = 4 _ S2 – S1 = U2 = 6 b = U2 – U1 = 6 – 4 = 2 U20 = a + 19b = 4 + 19(2) = 42 ………………………(B) Cara Cepat : Sn = n2 + 3n ⇒ Un = 2n + (3 – 1) = 2n + 2 U20 = 2(20) + 2 = 42



Sn =



5 2 3 —2 + —2 = 13 2 2 5 3 U1 = S1 = —12 + —1 = 4 2 2 S2 =



S2 – S1



=



U2 = 9



b = U2 – U1 = 9 – 4 = 5 U10 = a + 9b = 4 + 9(5) = 49 ………………………(A) Cara Cepat : 5 3 5 3 5 Sn = n2 + n ⇒ Un = · 2n +( – ) 2 2 2 2 2 = 5n – 1 U10 = 5(10) – 1 = 49



13. UN 2008 PAKET A/B • Suku keenam dan kedua belas suatu deret • aritmetika berturut–turut adalah 43 dan 85. Jumlah dua puluh lima suku pertama deret tersebut adalah … a. 1.290 b. 2.210 c. 2.200 • d. 2.300 e. 2.325 Jawab : d



5 2 3 n + n 2 2



U12 = a + 11b = 85 U6 = a + 5b = 43 _ 6b = 42 b=7 a + 5b = 43 a + 5(7) = 43 a = 43 – 35 = 8 1 Sn = 2 n(2a + (n – 1)b) S25 = 12 × 25(2 × 8 + (25 – 1) × 7) = 12 × 25(16 + 24 × 7) = 25(8 + 12 × 7) = 25 × 92 = 2.300 ……………………(d)



343 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Baris dan Deret http://www.soalmatematik.com SOAL 14. UN 2007 PAKET B • Diketahui suatu barisan aritmetika, Un menyatakan suku ke–n. Jika U7 = 16 dan U3 + U9 = 24, maka jumlah 21 suku pertama dari deret aritmetika tersebut adalah … a. 336 b. 672 • c. 756 d. 1.344 e. 1.512



a + 5b = 12 a + 5(4) = 12 a = 12 – 20 = –8



•



Sn = 12 n (2a + (n – 1)b)



Jawab : b



PENYELESAIAN U3 + U9 = a + 2b + a + 8b 24 = 2a + 10b 12 = a + 5b ⇔ a + 5b = 12 U7 = a + 6b = 16_ _ –b = –4 b=4



S21 = 12 ·21 (2(–8) + 20·4) = 21(–8 + 10·4) = 21(–8 + 40) = 21(32) = 672 ………………………..(b) 15. UN 2007 PAKET A • Suku ke–5 sebuah deret aritmetika adalah 11 dan jumlah nilai suku ke–8 dengan suku ke– 12 sama dengan 52. Jumlah 8 suku yang pertama deret itu adalah … a. 68 b. 72 • c. 76 d. 80 e. 84



a + 4b = 11 a + 4(3) = 11 a = 11 – 12 = –1



•



Sn = 12 n (2a + (n – 1)b)



Jawab : c



U8 + U12 = a + 7b + a + 11b 52 = 2a + 18b 26 = a + 9b ⇔ a + 9b = 26 U5 = a + 4b = 11 _ 5b = 15 b=3



S8 = 12 ·8 (2(–1) + 7·3) = 4 (–2 + 21) = 4(19) = 76 ………………………...(c)



16. UAN 2003 Jumlah sepuluh suku pertama deret log 2 + log 6 + log 18 + log 54 + … adalah … a. 5 log(4·310) b. 5 log(2·39) c. log(4·310) d. log(4·345) e. log(45·345) Jawab : e



•



a = log 2



•



b = log 6 – log 2 = log( 62 ) = log 3 Sn = 12 n (2a + (n – 1)b)



•



S10 = 12 · 10(2·log 2 + 9 log 3) = 5(2·log 2 + 9 log 3) = 5(log 22 + log 39) = 5log (4 ·39) = log (4 ·39)5 = log(45 ·345) ………………………….(e)



344 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Baris dan Deret http://www.soalmatematik.com



SOAL



SOAL-SOAL DERET GEOMETRI PENYELESAIAN



1. UN 2012/A13 Suku ke–3 dan suku ke–7 suatu deret geometri berturut–turut 16 dan 256. Jumlah tujuh suku pertama deret tersebut adalah… A. 500 B. 504 C. 508 D. 512 E. 516 Jawab : C



U3 = ar2 = 16 U7 = ar6 = 256 Sehingga: U7 256 ar 6 • = = 2 U3 16 ar 4 r = 16 r =2 • ar2 = a· 22 = 16 a=4 •



2. UN 2008 PAKET A/B Diketahui suku kedua dan suku keenam suatu deret geometri dengan suku positif berturut– turut adalah 6 dan 96. Jumlah lima suku pertama deret tersebut adalah … a. 72 b. 93 c. 96 d. 151 e. 160 Jawab : b



• • •



•



•



a(r n − 1) 4(2 7 − 1) = r −1 2 −1 = 4(128 – 1) = 508 ...............................(C) U6 = ar5 = 96 U2 = ar = 6 U 6 ar 5 96 = = U2 ar 6 4 r = 16 r=2 ar = 6 a×2=6 a=3 a( r n − 1) Sn = r −1 S7 =



5 S5 = 3(2 − 1)



2 −1



= 3(32 – 1) = 93 …………….………(b)



345 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Baris dan Deret http://www.soalmatematik.com



D. Masalah Berkaitan dengan Deret Aritmetika dan Geometri SOAL 1. UN 2013 Sebuah bola tenis dijatuhkan dari ketinggian * 2 m dan memantul kembali menjadi ( tinggi sebelumnya. Panjang lintasan bola tenis tersebut sampai berhenti adalah … A. 8 m B. 16 m C. 18 m D. 24 m E. 32 m Jawab : C



PENYELESAIAN •



Cara biasa h = 2, r = 45 =



•



a=



•



Stot = h + Snaik + Sturun = h + 2(S∞)



4 5



4 5



h=



m n



×2 =



8 5



2 ⋅ 85 2a =h+ =2+ 1 − 54 1− r =2+



16 5 1 5



= 2 + 16 = 18 …………..(C)



Cara Cepat •



2. UN 2013 Sebuah bola dijatuhkan ke lantai dari ketinggian 5 m dan memantul kembali , dengan tinggi * dari ketinggian semula. Panjang lintasan bola tersebut sampai bola berhenti adalah … A. 25 m B. 30 m C. 35 m D. 45 m E. 65 m Jawab : C



n+m ×h n−m 5+4 × 2 = 9(2) = 18 = 5−4 Cara biasa Stot =



,



•



h = 5, r =



•



a = h = ×5 =



•



Stot = h + Snaik + Sturun = h + 2(S∞)



, *



, *



=h+



*



=



m n 15 4



2 ⋅ 15 2a 4 =5+ 1 − 34 1− r =5+



30 4 1 4



= 5 + 30 = 35 …………..(C)



Cara Cepat •



n+m ×h n−m 4+3 × 5 = 7(5) = 35 = 4−3



Stot =



346 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Baris dan Deret http://www.soalmatematik.com SOAL 3. UN 2013 Sebuah bola dijatuhkan ke lantai dari , ketinggian 4 m dan memantul kembali * dari ketinggian semula. Panjang lintasan bola tersebut sampai berhenti adalah … A. 12 m B. 16 m C. 24 m D. 28 m E. 32 m Jawab : D



PENYELESAIAN Cara biasa



,



•



h = 5, r =



•



a = h = ×4 = 3



•



Stot = h + Snaik + Sturun = h + 2(S∞)



,



,



*



*



=h+



*



=



m n



2a 2⋅3 =4+ 1 − 34 1− r =4+



2⋅3 1 4



= 4 + 6(4) = 28 …………(D)



Cara Cepat •



4. UN 2013 Seutas tali dipotong menjadi 8 bagian. Panjang masing-masing potongan tersebut mengikuti barisan geometri. Potongan tali yang paling pendek 4 cm dan potongan tali yang paling panjang 512 cm. Panjang tali semula adalah … A. 512 cm B. 1.020 cm C. 1.024 cm D. 2.032 cm E. 2.048 cm



• •



•



n+m ×h n−m 4+3 × 4 = 7(4) = 28 = 4−3



Stot =



Geometri n = 8, u1 = 4, u9 = 512 u 8 ar 7 512 = = u1 a 4 7 r = 128 = 27 r=2 S8 =



Jawab : B



5. UN 2013 Seutas tali dipotong menjadi 9 bagian. Panjang masing-masing potongan tersebut mengikuti barisan geometri. Potongan tali yang paling pendek 4 cm dan potongan tali yang paling panjang 1.024 cm. Panjang tali semula adalah … A. 512 cm B. 1.020 cm C. 1.024 cm D. 2.032 cm E. 2.044 cm Jawab : E



• •



•



a(r n − 1) 4(2 8 − 1) = r −1 2 −1 = 4(256 – 1) = 1.020 ..............................(B)



Geometri n = 9, u1 = 4, u9 = 1.024 u 9 ar 8 1024 = = u1 a 4 8 r = 256 = 28 r=2 S9 =



a(r n − 1) 4(2 9 − 1) = r −1 2 −1 = 4(512 – 1) = 2.044 ..............................(E)



347 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Baris dan Deret http://www.soalmatematik.com SOAL 6. UN 2013 Hasil produksi suatu pabrik setiap tahunnya meningkat mengikuti aturan barisan geometri. Produksi pada tahun pertama sebanyak 200 unit dan pada tahun keempat sebanyak 1.600 unit. Hasil produksi selama enam tahun adalah … A. 6.200 unit B. 6.400 unit C. 12.400 unit D. 12.600 unit E. 12.800 unit Jawab : D 7. UN 2012/A13 Tempat duduk pertunjukan film di atur mulai dari depan ke belakang dengan banyak baris di belakang lebih 4 kursi dari baris di depannya. Bila dalam gedung pertunjukan terdapat 15 baris terdepan ada 20 kursi, maka kapasitas gedung pertunjukan tersebut adalah….. A. 1.200 tempat duduk B. 800 tempat duduk C. 720 tempat duduk D. 600 tempat duduk E. 300 tempat duduk Jawab : C 8. UN 2012/B25 Sebuah pabrik memproduksi barang jenis A pada tahun pertama sebesar 1.960 unit. Tiap tahun produksi turun sebesar 120 unit sampai tahun ke–16. Total seluruh produksi yang dicapai sampai tahun ke–16 adalah ... A. 45.760 B. 45.000 C. 16.960 D. 16.000 E. 9.760 Jawab : A



• •



PENYELESAIAN Geometri u1 = 200, u4 = 1.600 u 4 ar 3 1.600 = = u1 a 200 3 r = 8 = 23 r=2



a(r n − 1) 200(2 6 − 1) = r −1 2 −1 = 200(64 – 1) = 12.600.............................(D)



•



S6 =



• •



baris terdepan 20 ⇒ U1 = 20 banyak baris di belakang lebih 4 kursi dari baris di depannya ⇒ b=4 gedung pertunjukan terdapat 15 baris ⇒ S15



•



n (2a + (n − 1)b) , maka: 2 15 (2 ⋅ 20 + 14 ⋅ 4) S15 = 2 = 15(20 + 28) = 15(48) = 720 ........................................................(C)



Sn =



• • •



Tahun pertama 1.960 ⇒ U1 = 1.960 Tiap tahun produksi turun 120 ⇒ b = 120 Total produksi sampai tahun ke–16 ⇒ S16



n (2a + (n − 1)b) , maka: 2 16 (2 ⋅ 1960 + 15 ⋅ 120) S16 = 2 = 16(1960 + 900) = 16(2860) = 45.760 ...................................................(A) Sn =



348 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Baris dan Deret http://www.soalmatematik.com SOAL 9. UN 2012/C37 Keuntungan seorang pedagang bertambah setiap bulan dengan jumlah yang sama. Jika keuntungan pada bulan pertama sebesar Rp46.000,00 dan pertambahan keuntungan setiap bulan Rp18.000,00 maka jumlah keuntungan sampai bulan ke–12 adalah … A. Rp1.740.000,00 B. Rp1.750.000,00 C. Rp1.840.000,00 D. Rp1.950.000,00 E. Rp2.000.000,00 Jawab : A 10. UN 2012/D49 Harminingsih bekerja di perusahaan dengan kontrak selama 10 tahun dengan gaji awal Rp.1.600.000,00. setiap tahun Harminingsih mendapat kenaikan gaji berkala sebesar Rp.200.000,00. Total seluruh gaji yang diterima Harminingsih hingga menyelesaikan kontrak kerja adalah …. A. Rp.25.800.000,00. B. Rp.25.200.000,00. C. Rp.25.000.000,00. D. Rp.18.800.000,00 E. Rp.18.000.000,00 Jawab : C 11. UN 2011 PAKET 12 Seorang penjual daging pada bulan Januari menjual 120 kg, bulan Februari 130 kg, Maret dan seterusnya selama 10 bulan selalu bertambah 10kg dari bulan sebelumnya. Jumlah daging yang terjual selama 10 bulan adalah … a. 1.050 kg d. 1.650 kg b. 1.200 kg e. 1.750 kg c. 1.350 kg Jawab: d



• • •



PENYELESAIAN Bulan pertama 46.000 ⇒ U1 = 46.000 pertambahan keuntungan setiap bulan 18.000 ⇒ b = 18.000 Jumlah keuntungan sampai bulan ke–12 ⇒ S12



n (2a + (n − 1)b) , maka: 2 12 (2 ⋅ 46000 + 11 ⋅ 18000) S12 = 2 = 6(92000 + 198000) = 6(290000) = 1.740.000 ...............................................(A) • Gaji awal 1.600.000 ⇒ U1 = 1.600.000 • Kenaikan gaji berkala sebesar 200.000 ⇒ b = 200.000 • kontrak selama 10 tahun ⇒ S10 Sn =



n (2a + (n − 1)b) , maka: 2 10 (2 ⋅ 1600000 + 9 ⋅ 200000) S12 = 2 = 10(1.600.000 + 900.000) = 10(2.500.0000) = 25.000.0000...........................................(C) Sn =



Dari soal diketahui a = 120, dan b = 10 Maka : 10 (2a + 9b) S10 = 2 = 5(2 · 120 + 9 · 10) = 5(240 + 90) = 1.650 ………………………………..(d)



12. UN 2011 PAKET 46 Suatu perusahaan pakaian dapat Dari soal diketahui a = 4000, dan b = 50 menghasilkan 4.000 buah pada awal Maka : produksi. Pada bulan berikutnya produksi 12 dapat ditingkatkan menjadi 4.050. Bila S12 = 2 (2a + 9b) kemajuan tetap, maka jumlah produksi dalam = 6(2 · 4.000 + 11 · 50) 1 tahun ada … = 6(8.000 + 550) a. 45.500 buah = 6(8.550) b. 48.000 buah = 51.300 ……………………………….(d) c. 50.500 buah d. 51.300 buah e. 55.500 buah Jawab : d



349 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Baris dan Deret http://www.soalmatematik.com SOAL 13. UN 2009 PAKET A/B • Sebuah ayunan mencapai lintasan pertama • sejauh 90 cm, dan lintasan berikutnya hanya mencapai 85 dari lintasan sebelumnya.



PENYELESAIAN a = 90 r = 85 S∞ =



Panjang lintasan seluruhnya hingga ayunan berhenti adalah … cm A. 120 D. 250 B. 144 E. 260 C. 240 Jawab : c



a 90 = 1 − r 1 − 58 =



90 3 8



= 90 × 83 = 30 × 8 = 240 ………….(c)



14. UN 2008 PAKET A/B Diketahui lima orang bersaudara dengan selisih umur yang sama. Anak termuda berusia 13 tahun dan yang tertua 33 tahun. Jumlah usia mereka seluruhnya adalah … a. 112 tahun b. 115 tahun c. 125 tahun d. 130 tahun e. 160 tahun Jawab : b 15. UN 2007 PAKET B Sebuah bola pingpong dijatuhkan ke lantai dari ketinggian 2 meter. Setiap bola itu memantul ia mencapai ketinggian ¾ dari ketinggian yang dicapai sebelumnya. Panjang lintasan bola tersebut hingga bola berhenti adalah … meter a. 17 b. 14 c. 8 d. 6 e. 4 Jawab : b 16. UN 2006 Seseorang mempunyai sejumlah uang yang akan diambil tiap bulan yang besarnya mengikuti aturan barisan aritmetika. Pada bulan pertama diambil Rp1.000.000,00, bulan kedua Rp925.000,00, bulan ketiga Rp850.000,00, demikian seterusnya. Jumlah seluruh uang yang telah diambil selama 12 bulan pertama adalah … a. Rp6.750.000,00 b. Rp7.050.000,00 c. Rp7.175.000,00 d. Rp7.225.000,00 e. Rp7.300.000,00



• • • •



n=5 a = 33 U5 = 13 Sn = 12 n(a + Un) S5 = 12 × 5(a + U5) = 12 × 5(33 + 13) = 12 × 5 × 46 = 115 ………………(b)



•



h=2



•



r = 34



•



a = 34 h = 34 ×2 = 32



•



Stot = h + Snaik + Sturun = h + 2(S∞) =h+



2 ⋅ 32 2a =2+ 1− r 1 − 34 =2+



3 1 4



= 2 + 12 = 14 …………..(b)



• • •



a = 1.000.000 b = 925.000 – 1.000.000 = –75.000 Sn = 12 n (2a + (n – 1)b) S12 = 12 · 12{2(1.000.000) + 11(–75.000)} = 6(2.000.000 – 825.000) = 6(1.175.000) = 7.050.000 ………………………..(b)



Jawab : b



350 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Baris dan Deret http://www.soalmatematik.com SOAL 17. UN 2004 8



Nila ∑ (2n + 3) = … n =1



a. 24 b. 28 c. 48 d. 96 e. 192 Jawab : d 18. UN 2005 Diketahui suku ketiga dan suku kelima dari deret aritmetika berturut–turut adalah 18 dan 24. Jumlah tujuh suku pertama deret tersebut adalah … a. 117 b. 120 c. 137 d. 147 e. 160



PENYELESAIAN 8



∑ (2n + 3) =



n =1



∑ 2n +



n =1



8



∑3



n =1



= 2(1 + 2 + 3... + 8) + 3·8 = 2· 12 · 8·(1+8) + 24 = 72 + 24 = 96 ……………………(d)



• •



U5 = a + 4b = 24 U3 = a + 2b = 18_ _ 2b = 6 b=3



•



a + 2b = 18 a + 2(3) = 18 a = 18 – 6 = 12



•



Sn = 12 n (2a + (n – 1)b) S7 = 12 · 7 (2·12 + 6·3)



Jawab : d



19. UN 2005 Seutas tali dipotong menjadi 5 bagian menurut deret geometri. Jika yang terpendek 10 cm dan yang terpanjang 160 cm, panjang tali semula adalah … cm a. 310 b. 320 c. 630 d. 640 e. 650 Jawab : a



8



• • •



•



20. UN 2004 • Jumlah lima suku pertama suatu deret • geometri adalah 93 dan rasio deret itu 2, hasil • kali suku ke–3 dan ke–6 adalah … a. 4.609 b. 2.304 c. 1.152 d. 768 e. 384 Jawab : c •



= 7(12 + 3·3) = 7(12 + 9) = 7(21) = 147 …………………………..(d) n=5 a = 10 U5 = 160 = a·r4 160 = 10·r4 r4 = 16 r=2 a( r n − 1) Sn = r −1 10( 2 5 − 1) S5 = 2 −1 = 10(32 – 1 ) = 10(31) = 310 ……………………..…(a) S5 = 93 r=2 a( r n − 1) Sn = r −1 a( 25 − 1) S5 = 2 −1 93 = a(32 – 1) 93 = 31a a = 93 =3 31 U3· U6 = ar2· ar5 =3·22·3·25 =3·4·3·32 = 1.152 …………………………….(c)



351 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Baris dan Deret http://www.soalmatematik.com SOAL 21. UAN 2003 • Jumlah n suku pertama suatu deret adalah Sn = 3n2 – 5n. Suku kesepuluh deret tersebut • adalah … a. 250 b. 245 c. 75 d. 60 e. 52 Jawab : e



PENYELESAIAN Sn = 3n2 – 5n = n(3n – 5) U10 = S10 – S9 = {10(3×10 – 5)} – {9(3×9 – 5)} = 10×25 – 9×22 = 250 – 198 = 52 ………………………………..(e)



22. EBTANAS 2002 log x2 + log x3 + log x4 + log x5 = 4 log 2 + 6 log 3 Jika x6 = 162 adalah suku keenam suatu deret log (x2· x3 · x4 · x5) =2(2 log 2 + 3 log 3) geometri, log (ar· ar2 · ar3 · ar4) =2(log 22 + log 33) log x2 + log x3 + log x4 + log x5 = 4 log 2 + 6 log a4r10 = 2(log 22·33) log 3, maka jumlah empat suku pertama deret 2 log a2r5 = 2(log 22·33) tersebut sama dengan … log a2r5 = log 22·33 a2r5 = 22·33 …………………….(1) a. 80 23 b. 80 c. 27 d. 26 23



•



x6 = 162 ar5 = 162 = 2·81 = 2·34 …………….(2) dari (1) dan (2)



a 2r 5



e. 26 Jawab : d



ar 5



=



2 2 ⋅ 33 2 ⋅ 34



a = 23 •



substitusikan a = 23 ke pers. (2) ar5 = 2·34 { 23 ·r5 = 2·34}× 32 r 5 = 35 r=3



•



deret 4 suku pertama S4 = U1 + U2 + U3 + U4 = a + ar + ar2 + ar3 = 23 + 23 ·3 + 23 ·32 + 23 ·33



=



2 3



+ 2 + 6 + 18 = 26 23 …………(d)



352 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Baris dan Deret http://www.soalmatematik.com SOAL 23. UAN 2003 Seorang ayah membagikan uang sebesar Rp100.000,00 kepada 4 orang anaknya. Makin muda usia anak, makin kecil uang yang diterima. Jika selisih yang diterima oleh setiap dua anak yang usianya berdekatan adalah Rp5.000,00 dan si sulung menerima uang paling banyak, maka jumlah uang yang diterima oleh si bungsu adalah … a. Rp15.000,00 b. Rp17.500,00 c. Rp20.000,00 d. Rp22.500,00 e. Rp25.000,00



• • •



PENYELESAIAN S4 = 100.000 b = –5.000 Sn = n· 12 (2a + (n – 1)b) S4 = 4· 12 {2a + 3(–5.000)}



•



100.000 = 2(2a – 15.000) 50.000 = 2a – 15.000 2a = 50.000 + 15.000 2a = 65.000 a = 32.500 ……………... sulung Bungsu = U4 = a + 3b = 32500 + 3(–5.000) = 32.500 – 15.000 = 17.500 ………………..(b)



Jawab : b



353 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN