MATERI Limit Trigonometri [PDF]

Citation preview

Limit Trigonometri rumus hitung No Comments



1. Pengertian Limit Trigonometri Limit trigonometri adalah nilai terdekat suatu sudut pada fungsi trigonometri. Perhitungan limit fungsi trigonometri bisa langsung disubtitusikan seperti limit fungsi aljabar tetapi ada fungsi trigonometri yang harus diubah dulu ke identitas trigonometri untuk limit tak tentu yaitu limit yang apabila kita langsung subtitusikan nilainya bernilai 0, bisa juga untuk limit tak tentu tidak harus menggunakan identitas tetapi menggunakan teorema limit trigonometri atau ada juga yang menggunakan identitas dan teorema. Jadi apabila suatu fungsi limit trigonometri di subtitusikan nilai yang mendekatinya menghasilkan dan maka kita harus menyelesaikan dengan cara lain. Untuk menentukan nilai limit suatu fungsi trigonometri terdapat beberapa cara yang bisa dipakai : 1. Metode Numerik 2. Subtitusi 3. Pemfaktoran 4. Kali Sekawan 5. Menggunakan Turunan Penulisan nya adalah sebagai berikut :



Cara membaca dari limit di atas yaitu limit fungsi f(x) untuk x mendekati c.



2. Macam- Macam Trigonometri dan Identitasnya 1. Macam-macam trigonometri Berikut ini adalah nama-nama trigonometri yang kita kenal : 1. 2. 3. 4. 5. 6.



Sinus (sin) Tangen (tan) Cosinus (cos) Cotongen (cot) Secan (sec) Cosecan (Csc)



2. Rumus kebalikan



3. Identitas Trigonometri



4. Rumus Jumlah dan Selisih



5. Rumus Perkalian



6. Rumus sudut rangkap



3. Teorema limit trigonometri Ada beberapa teorema yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan limit trigonometri yaitu :



Teorema A



Teorema di atas hanya berlaku saat (x -> 0) .



Teorema B Terdapat beberapa teorema yang berlaku. Untuk setiap bilangan real c di dalam daerah asal fungsi yaitu :



Biasanya dalam soal limit fungsi trigonometri nilai terdekat dari limit fungsinya yaitu berupa sudut sudut istimewa yaitu sudut yang memiliki nilai sederhana. Untuk itu kita perlu mengetahui nilai-nilai sudut istimewa yang disajikan table di bawah ini :



Agar lebih jelas dibawah ini terdapat beberapa contoh soal limit fungsi trigonometri Contoh soal : 1. Selesaikan limit trigonometri berikut :



Jawab ; Melihat bentuk limit pada soal di atas kita dapat langsung mensubtitusikan nilai x.



2. Selesaikan limit trigonometri berikut :



Jawab : Melihat bentuk limit di atas makan kita dapat mengarahkan limit ke bentuk teorema A



Tetapi dalam soal fungsi sinus adalah 3x bukan x sebagaimana syarat dari teorema A. Maka kita dapat mengalikan fungsi dengan 1 agar nilainya tidak berubah



Dikali dengan 3/3 hal ini tidak merubah fungsi karena sama dengan di kali 1. Kemudian kita dapat memisalkan agar fungsi berbentuk seperti teorema A yaitu dengan memisalkan 3x. Misal y=3x maka y –> jika dan. hanya jika x–>0 sehingga :



3. Selesaikan limit trigonometri berikut : Nilai



Jawab : kita tidak dapat langsung mensubtitusikan nilai x ke fungsi dikarenakan haslnya akan 0 ini adalah contoh soal limit tak tentu. kita dapat memfaktorkan fungsi penyebut agar kita mendapat (x-2) sehingga berlaku teorema A



4. Selesaikan limit trigonometri berikut : Nilai = …



Jawab : jika kita subtitusikan maka nilainya 0 sehingga terlebih dahulu kita harus mengarahkan menjadi bentuk yang apabila kita subtitusikan nilainya ≠0 kita ubah fungsi menggunakan identitas sudut rangkap sehingga



1-cos4x=2sin 22x



5. Selesaikan limit trigonometri dibawah ini



Jawab : Karena apabila langsung di subtitusikan menghasilkan 0 maka kita perlu menyelesaikan soal di atas dengan mengubah ke bentuk identitas



Rumus dasar limit fungsi trigonometri, yaitu:



Dari rumus dasar diatas dapat dikembangkan rumus-rumus sebagai berikut:



Atau dapat disimpulkan:



Tentukanlah hasil setiap limit fungsi trigonometri berikut ini



jawab



Menyesuaikan dengan rumus limit fungsi trigonometri diatas, jika p = x – a maka untuk nilai x mendekati a diperoleh nilai p mendekati 0, sehingga:



02. Tentukanlah hasil setiap limit fungsi trigonometri berikut ini



jawab



Disamping rumus pengembangan di atas sering pula digunakan rumus rumus trigonometri lainnya yang telah dipelajari pada bab sebelumnya, yakni



Untuk lebih jelasnya pemakaian rumus-rumus di atas, ikutilah contoh soal berikut ini 03. Tentukanlah hasil setiap limit fungsi trigonometri berikut ini



Jawab



Terdapat pula limit fungsi trigonometri yang penyelesaiannya tidak menggunakan cara-cara seperti diatas. Sebagai contoh akan diberikan pada soal berikut ini : 04. Tentukanlah hasil setiap limit fungsi trigonometri berikut ini



Limit trigonometri:



Untuk cosinus: 1 – cos ax = 2 sin2 ½ ax (dari rumus cos 2x) cos ax – 1 = –2 sin2 ½ ax (dari rumus cos 2x) 1 – cos2ax = sin2ax (dari sin2x + cos2x = 1)



Bilangan e Bilangan e didapat dari:



e = 2,718281828… Rumus-rumus pengembangannya:



Kontinuitas



Suatu fungsi kontinu di x = a jika: 1. f(a) ada (dapat dihitung/real) 2. 3.



Limit fungsi trigonometri merupakan nilai paling dekat suatu sudut pada fungsi trigonometri. Mengenai bagaimana tata cara perhitungan limit fungsi trigonometri dapat secara langsung disubtitusikan seperti limit fungsi pada perhitungan aljabar. Akan tetapi tetap terdapat fungsi trigonometri yang harus diubah dulu ke identitas trigonometri untuk limit tidak tentu. Limit seperti itu yaitu suatu limit yang jika kita langsung subtitusikan nilainya akan bernilai 0.



Daftar Isi [Sembunyikan]  



1 Rumus Dan Limit Fungsi Trigonometri 2 Contoh Soal Limit Fungsi Trigonometri



Rumus Dan Limit Fungsi Trigonometri



Sebelum kita membahas tentang fungsi trigonometri secara lengkap, kita harus tahu dulu apa saja macam – macam dari trigonometri. Adapun macam – macam nama dari trigonometri yang sering kita gunakan diantaranya : 1. Sinus (sin) 2. Tangen (tan) 3. Cosinus (cos) 4. Cotongen (cot) 5. Secan (sec) 6. Cosecan (csc) Pelajari Lebih lanjut apa itu Aturan Sinus dan Cosinus



Dalam limit fungsi trigonometri, akan Anda temukan rumus kebalikan trigonometri, Rumus identitas trigonometri, rumus jumlah dan selisih trigonometri, rumus perkalian serta rumus sudut rangkap dalam trigonometri. Untuk rumus kebalikan dalam trigonometri sebagai berikut : Sinus ∝ = 1/ cosecan ∝ Cosinus ∝ = 1/ secan ∝



Tangen ∝ = 1/ cotangent ∝ Tangen ∝ = sinus ∝/ cosinus ∝ Cotangen ∝ = cosinus ∝/ sinus ∝



Dalam trigonimetri juga akan Anda temukan rumus jumlah dan selisih yang meliputi : Sinus (∝ + beta) = sinus ∝ cosinus beta + cosinus ∝ sinus beta Cosinus (∝ + beta) = cosinus ∝ cosinus beta – sinus ∝ sinus beta Tangen (∝ + beta) = tangen ∝ + tangen beta : (1 – tangen ∝ tangen beta) Sinus (∝ – beta)= sinus ∝ cosinus beta – cosinus ∝ sinus beta Cosinus (∝ – beta) = cosinus ∝ cosinus beta + sinus ∝ sinus beta Tangen (∝ – beta) = tangen ∝ – tangen beta : (1 + tangen ∝ tangen beta)



Dalam trigonimetri juga terdapat rumus perkalian. Rumus perkalian dalam trigonimetri sebagai berikut : 2 cosinus ∝ cosinus beta = cosinus (∝ + beta) + cosinus (∝ – beta) 2 cosinus ∝ sinus beta = sinus (∝ + beta) – sinus (∝ – beta) 2 sinus ∝ cosinus beta = sinus (∝ + beta) + sinus (∝ – beta) -2 sinus ∝ sinus beta = cosinus (∝ + beta) – cosinus (∝ – beta)



Dalam trigonometri juga terdapat rumus sudut rangkap yaitu sebagai berikut : Sinus (2 ∝)0 = 2 sinus ∝ cosinus ∝ Cosinus (2 ∝)0 = 1 – 2 sinus2 ∝ Tangen (2 ∝)0 = 2 tangen ∝ : (1 – tangen2 ∝)



Cotangen (2 ∝) = cotangen2 ∝ – 1 : 2 cotangen ∝ Selain rumus-rumus di atas, ada juga pembahasan tentang Rumus Turunan Trigonometri Rumus dasar limit fungsi trigonometri, yaitu:



Dari rumus dasar diatas dapat dikembangkan rumus-rumus sebagai berikut:



Atau dapat disimpulkan:



Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini: 01. Tentukanlah hasil setiap limit fungsi trigonometri berikut ini



jawab



Menyesuaikan dengan rumus limit fungsi trigonometri diatas, jika p = x – a maka untuk nilai x mendekati a diperoleh nilai p mendekati 0, sehingga:



Pembahasan: Teknik yang digunakan untuk mendapatkan nilai limit pada soal adalah mengalikan dengan akar sekawannya. Perhatikan proses pengerjaan di bawah.



b. Tipe 2: Perkalian Sinus dan Tangen