Materi Lingkaran NEW [PDF]

Citation preview

TUJUAN PEMBELAJARAN Tujuan pembelajaran pada materi lingkaran ini, siswa diharapkan: 



Dapat menyebutkan unsur-unsur dan bagian-bagian lingkaran;







Dapat menemukan nilai phi;







Dapat menentukan rumus serta menghitung keliling dan luas lingkaran;







Dapat menentukan panjang busur, luas juring, dan luas tembereng;







Dapat menggunakan hubungan sudut pusat, panjang busur, dan luas juring dalam pemecahan masalah;







Dapat mengenal hubungan sudut pusat dan sudut keliling jika menghadap busur yang sama;







Dapat menentukan besar sudut keliling jika menghadap diameter dan busur yang sama.



RINGKASAN MATERI PENGERTIAN LINGKARAN Mari perhatikan bentuk roda motor atau mobil, CD, jam weeker dan juga koin uang logam. Benda-benda tersebut berbentuk lingkaran.



Lingkaran adalah kumpulan titik-titik yang membentuk lengkungan tertutup dimana jarak antara titik-titik tersebut sama terhadap titik tertentu. Titik tertentu itu dinamakan titik pusat dan jarak yang sama tersebut dinamakan jari-jari lingkaran. Perhatikan gambar di samping, panjang garis lengkung yang tercetak tebal yang berbentuk lingkaran tersebut disebut keliling lingkaran, sedangkan daerah arsiran di dalamnya disebut bidang lingkaran atau daerah lingkaran.



1



A. Unsur-unsur lingkaran Lingkaran mempunyai beberapa bagian. Bagian-bagian lingkaran yang merupakan unsurunsur lingkaran adalah sebagai berikut : 1. Titik Pusat Titik pusat adalah sebuah titik yang terletak di tengah-tengah lingkaran. Titik pusat ditunjukkan oleh O.



2. Jari-jari (r) Jari-jari adalah ruas garis dari titik pusat ke lengkungan lingkaran. Biasanya dinotasikan dengan r yang merupakan singkatan dari radius dan artinya jarak. Jari-jari lingkaran pada gambar di samping ditunjukkan oleh garis OA, OB, OC, dan OD. 3. Diameter (d) Diameter (d) adalah ruas garis lurus yang menghubungkan titik dari lengkungan yang satu dengan titik lengkungan yang lain dan melalui titik pusat. Besarnya diameter sama dengan dua kali jari-jari. Diameter ditunjukkan oleh garis BD. 4. Busur Busur adalah ruas garis lengkung yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran. Berdasarkan gambar, garis lengkung BA, BC, BD, AC, AD dan CD merupakan contoh busur. 5. Juring Juring adalah daerah yang dibatasi oleh sebuah busur dan diapit oleh dua buah jari-jari. Juring pada gambar disamping ditunjukkan dengan daerah yang berwarna biru yaitu AOB. 6. Tali Busur Tali bususr adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran. Tali busur ditunjukkan dengan ruas garis CD. 7. Tembereng Tembereng adalah daerah diantara busur dan tali busur pada lingkaran. Tembereng ditunjukkan dengan daerah berwarna merah antara busur CD dan tali busur CD



2



8. Apotema Apotema adalah ruas garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan tali busur



lingkaran tersebut. Ruas garis



yang dibentuk bersifat tegak lurus dengan tali busur. Apotema ditunjukkan dengan ruas garis OD. B. Keliling dan Luas Lingkaran Lintasan yang dilalui roda sepeda dari titik A sampai kembali ke titik A lagi disebut satu putaran penuh atau satu keliling lingkaran. Sebelum menghitung keliling lingkaran, kita akan mencoba menemukan nilai  (pi). 1. Menemukan Pendekatan Nilai  (phi) Untuk menemukan pendekatan nilai  (phi) dengan cara membuat lingkaran dengan ukuran diameter bebas. Lalu mengukur keliling lingkaran menggunakan bantuan benang dengan cara menempelkan benang pada bagian tepi lingkaran, dan kemudian panjang benang



diukur menggunakan penggaris. Jika kegiatan tersebut dilakukan dengan cermat dan teliti keliling



maka nilai diameter akan memberikan nilai yang mendekati 3,14. Untuk selanjutnya, nilai keliling diameter



disebut sebagai konstanta  ( dibaca: phi). 𝐾𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 =𝜋 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟



Menurut penelitian yang cermat nilai  = 3,14159265358979324836 ... Jadi, nilai  hanyalah suatu pendekatan. Jika dalam suatu perhitungan hanya memerlukan ketelitian sampai dua tempat desimal, pendekatan untuk  adalah 3,14. Coba bandingkan nilai  dengan pecahan



22 7



Bilangan pecahan



3,142857143. Jadi, bilangan



22 7



22 7



jika dinyatakan dalam pecahan desimal adalah



dapat dipakai sebagai pendekatan untuk nilai  .



2. Keliling Lingkaran Keliling sebuah lingkaran sebanding dengan diameter. Perbandingan antara keliling dan diameter lingkaran mendekati nilai  (dibaca: phi). Nilai dari 𝜋 =



22 7



atau = 3,14 .



Keliling sebuah lingkaran dapat ditentukan dengan rumusan sebagai berikut: K =𝜋 d →𝐾=𝜋𝑑 3



→ 𝐾 = 2𝜋𝑟 Keterangan : K : keliling 𝜋=



22 7



d : diameter



= 3,14



r : jari-jari



3. Luas Lingkaran Luas lingkaran merupakan jumlah dari luas daerah yang berada di dalam busur lingkaran. Jika lingkaran dibagi menjadi juring-juring yang tak terhingga banyaknya, kemudian juring-juring tersebut dipotong dan disusun seperti Gambar



maka hasilnya akan mendekati bangun persegi panjang. Perhatikan bahwa bangun yang mendekati persegi panjang tersebut panjangnya sama dengan setengah keliling lingkaran dan lebar persegi panjang adalah jari-jari lingkaran. Jadi, 1



Luas lingkaran = Luas persegi panjang, dengan p = 2 × 𝐾𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 dan l = jarijari lingkaran. Sehingga, Luas lingkaran = p x l 1



= 2 × 𝐾𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 × 𝑟 =



1 × 2𝜋𝑟 × 𝑟 2



= 𝜋 𝑟2 Adapun rumusan luas lingkaran dapat ditulis sebagai berikut: 𝐿 = 𝜋 𝑟2 =



1 𝜋 𝑑2 4



Contoh : Sebuah lingkaran diameternya 14 cm, tentukan : a. Jari-jari 4



b. Keliling, dan c. Luasnya. Pembahasan : Diketahui, d=14 cm sehingga 𝑑



a. 𝑗𝑎𝑟𝑖 − 𝑗𝑎𝑟𝑖(𝑟) =



2



=



b. 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 (𝐾) = 𝜋 𝑑 =



14



= 7𝑐𝑚



2 22 7



× 14 𝑐𝑚 = 44 𝑐𝑚



1



c. 𝑙𝑢𝑎𝑠 (𝐿) = 4 𝜋 𝑑 2 1



=4×



22 7



𝑙𝑢𝑎𝑠 (𝐿) = 𝜋 𝑟 2 × 142



=



= 154 𝑐𝑚2



22 7



× 72



= 154 𝑐𝑚2



C. Sudut Pusat, Panjang Busur, Luas Juring, dan Luas Tembereng Sudut pusat adalah sudut yang terbentuk dari dua buah jari-jari yang saling berpotongan pada pusat lingkaran. Apabila misalnya kita mengambil perbadingan sudut pusat AOB dan sudut Pusat COD , panjang busur AB dan panjang busur CD, serta luas juring OAB dan luas juring OCD pada gambar (i). Maka penulisan perbandingannya dapat ditulis sebagai berikut : 𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 sudut AOB 𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 sudut COD



=



̂ panjang AB ̂ panjang CD



=



luas juring OAB luas juring OCD



Panjang busur dan luas juring pada suatu lingkaran berbanding lurus dengan besar sudut pusatnya. Sekarang, misalkan besar sudut COD = satu putaran penuh = 360º, maka panjang busur CD = keliling lingkaran = 2r, dan daerah OCD = luas lingkaran = r2 dengan r jari-jari, akan tampak seperti Gambar (ii), sehingga diperoleh: ̂ 𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 sudut AOB panjang AB luas juring OAB = = 360° 2πr π r2 Dengan demikian, hubungan antara sudut pusat, panjang busur, dan luas juring adalah sebagai berikut.



5



𝐬𝐮𝐝𝐮𝐭 𝐩𝐮𝐬𝐚𝐭



=



𝐬𝐮𝐝𝐮𝐭 𝐬𝐚𝐭𝐮 𝐩𝐮𝐭𝐚𝐫𝐚𝐧



𝐩𝐚𝐧𝐣𝐚𝐧𝐠 𝐛𝐮𝐬𝐮𝐫 𝐤𝐞𝐥𝐢𝐥𝐢𝐧𝐠 𝐥𝐢𝐧𝐠𝐤𝐚𝐫𝐚𝐧



=



𝐥𝐮𝐚𝐬 𝐣𝐮𝐫𝐢𝐧𝐠 𝐥𝐮𝐚𝐬 𝐥𝐢𝐧𝐠𝐤𝐚𝐫𝐚𝐧



Contoh: Jika sebuah lingkaran dengan sudut pusat 30° dan jari-jari 14 cm maka tentukan: a. Keliling lingkaran



c. Luas lingkaran



b. Panjang busur



d. Luas juring



Pembahasan: Diketahui, sudut pusat = 30° dan r = 14 cm sehingga a. Keliling (K) = 2 π r = 2 × b.



sudut pusat sudut satu putaran



30° 360°



=



88 cm 30°×88 cm 360° 22 7



sudut pusat sudut satu putaran 30°



=



× 14 = 88 cm



panjang busur keliling lingkaran



=



c. Luas (L) = π r2 =



360°



7



panjang busur



Panjang busur =



d.



22



= 7,33 cm



× 142 = 616 cm2



=



luas juring luas lingkaran



luas juring 616 cm2



Luas juring =



30°×616 cm2 360°



= 51,33 cm2



Langkah-langkah untuk menentukan luas tembereng suatu lingkaran adalah sebagai berikut: 1. Menentukan luas juring. 2. Menentukan panjang tali busur. 3. Menentukan panjang apotema. 4. Menentukan segitiga yang terbentuk dalam lingkaran. Luas segitiga dalam lingkaran =



𝟏 𝟐



× panjang tali busur × panjang apotema



5. Menentukan luas tembereng. Luas tembereng = luas juring – luas segitiga 6



Contoh: Sebuah lingkaran dengan sudut pusat 60°, jari-jari OA = OC = 10 cm, dan panjang apotema OB = 8 cm. Maka tentukan: a. luas lingkaran, b. luas juring, c. panjang tali busur, d. luas segitiga AOC, dan e. luas tembereng pada lingkaran



Pembahasan: Diketahui sudut pusat 60°, jari-jari 10 cm, dan panjang apotema 8 cm, sehingga: a. Luas lingkaran = π r2 = 3,14 × (10 cm)2 = 314 cm2 b. Luas juring = c. BC



60° × 314 cm2 360°



= 52,33 cm2



= √OC2 − OB2 = √102 − 82 = √100 − 64 = √36 = 6 cm



Jadi, panjang tali busur (AC) adalah 2 × BC = 2 × 6 cm = 12 cm d. Luas segitiga AOC



= =



1 2 1 2



× panjang tali busur (AC) × panjang apotema (OB) × 12 𝑐𝑚 × 8 𝑐𝑚



= 48 cm2 e. Luas tembereng



= luas juring – luas segitiga = 52,33 cm2 – 48 cm2 = 4,33 cm2



7



D. Sudut-sudut pada Lingkaran Sudut-sudut pada lingkaran dapat dibedakan menjadi sudut pusat, sudut keliling, dan sudut antara dua tali busur. 1. Sudut pusat dan sudut keliling Sudut pusat adalah sudut yang terbetuk dari dua buah jari-jari yang saling berpotongan pada pusat lingkaran. Sudut pusat pada gambar di bawah ditunjukkan oleh sudut AOB. Adapun sudut keliling adalah sudut yang terbentuk dari dua buah tali busur yang saling berpotongan di satu titik pada keliling lingkaran. Sudut keliling pada gambar di samping ditunjukkan pada sudut CPD.



Hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling adalah sebagai berikut : Jika sudut pusat dan sudut keliling mengadap busur yang sama, maka besar sudut pusat = 2 x besar sudut keliling (Seperti pada gambar).



Sifat-sifat sudut pusat dan sudut keliling adalah sebagai berikut : a. Besar sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran adalah 90º (sudut siku-siku). b. Sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama besarnya sama atau



1 2



sudut



pusat. c. Jumlah sudut keliling yang saling berhadapan adalah 180º. 2. Sudut antara dua tali busur Sudut yang terbentuk akibat perpotongan dua tali busur akan berpotongan di dalam dan di luar lingkaran. Berikut ketentuan sudut akibat perpotongan dua tali busur. a. Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran adalah



1 2



jumlah sudut pusat yang berada di depan dan di belakangnya. b. Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran adalah selisih sudut pusat yang terletak diantara kedua tali busur tersebut. 8



Contoh : 1. Jika sudut pusat AOB adalah 60º dan sudut pusat DOC adalah 30º. Tentukan besarnya sudut AEB, sudut DEC, sudut AED, dan sudut BEC pada gambar di samping!



Pembahasan : 1



a. Sudut AEB = 2 × (𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝐴𝑂𝐵 + 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝐷𝑂𝐶) 1 × (60° + 30°) = 45° 2 b. Sudut DEC sama dengan sudut AEB karena saling bertolak belakang sehingga =



besarnya sudut DEC adalah 45º. 1



c. Sudut AED = 2 × (360° − (𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝐴𝐸𝐵 + 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝐷𝐸𝐶)) 1 × (360° − (45° + 45°)) 2 1 = × (360° − 90°) 2 =



= 135° d. Sudut BEC sama dengan sudut AEB karena saling bertolak belakang sehingga besarnya sudut BEC adalah 135º. 2. Jika sudut pusat BOC besarnya 70º dan sudut pusat DOE besarnya 20º. Tentukan besarnya sudut BAC! Pembahasan : 1



Sudut BAC = 2 × (𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝐵𝑂𝐶 − 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝐷𝑂𝐸) 1



= 2 × (70° − 20°) = 25°



9



DAFTAR PUSTAKA Basri, Darmawan,dkk. 2009. Matematika untuk SMP/MTs Kelas VIII Semester Genap. Solo : CV Harapan Baru. Nuharini, Dewi. 2008. Matematika Konsep dan Aplikasinya untuk Kelas VIII SMP dan MTs. Surabaya : JePe Press Media Utama.



10



TUGAS PENGEMBANGAN MEDIA PEMBELAJARAN MATEMATIKA HANDOUT MATERI LINGKARAN UNTUK KELAS VIII SEMESTER II



OLEH KELOMPOK 3:



KELAS A REGULER PAGI KELAS A REGULER PAGI SEMESTER IV 1. BAIQ LIKA ASMARINDA (E1R015007) 2. MUHAMMAD IEUAN SABIAN (E1R015039) 3. NANA ROSSANA BARKAH (E1R015042)



PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MATARAM 2017 11



KATA PENGANTAR Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT yang telah melimpahkan kenikmatan berupa rezeki dan kesehatan sehingga tugas mata kuliah Pengembangan Media Pembelajaran Matematika ini dapat terselesaikan dengan baik. Kami dapat menyelesaikan tugas ini dengan lancar tanpa ada halangan yang berarti itu semua semata-mata karena pertolongan dari-Nya. Kami menyadari bahwa selama penyusunannya, baik pada tahap persiapan, pelaksanaan, hingga penyusunan, terdapat berbagai kendala dan hambatan. Oleh karena itu, kami sangat mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca selaku penilai. Pada akhirnya kami berharap agar makalah ini dapat dipergunakan sebagaimana mestinya serta bermanfaat bagi kita semua. Aamiin.



Mataram, 27 Maret 2017 Penyusun,



Kelompok 3



12 ii



DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL ........................................................................................................... i KATA PENGANTAR ........................................................................................................ ii DAFTAR ISI ...................................................................................................................... iii



RINGKASAN MATERI A. Uusur-unsur Lingkaran ......................................................................................2 B. Keliling dan Luas Lingkaran ..............................................................................3 C. Sudut-sudut pada Lingkaran ...............................................................................5 D. Sudut Pusat, Panjang Busur, Luas Juring dan Luas Tembereng.........................8 DAFTAR PUSTAKA



13 iii