Materi Pertidaksamaan Nilai Mutlak PDF [PDF]

Citation preview

PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK Harga jual TV B umumnya adalah 𝑅𝑝3.500.000,00. Distributor menyarankan agar dijual dengan harga yang bervariasi, dengan sesilih 5% dari harga jual TV B pada umumnya. Dapatkah Anda menemukan variasi harga jual TV B? Agar anda bisa menyelesaikan masalah di atas dengan mudah, Anda harus memahami dan menguasai konsep pertidaksamaan nilai mutlak. Sebelum kita mempelajari pertidaksamaan nilai mutlak, lebih dahulu kita mengulang dasar-dasar pertidaksamaan linear. Pertidaksamaan linear diselesaikan menggunakan sifat-sifat berikut: Sifat 1: Jika 𝑎 > 𝑏, maka (i) 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐 (ii) 𝑎 − 𝑐 > 𝑏 − 𝑐 Sifat 2: Jika 𝑎 > 𝑏, maka (i) 𝑎𝑝 > 𝑏𝑝, 𝑝 > 0 (ii) 𝑎𝑝 < 𝑏𝑝, 𝑝 < 0 Sebelum mempelajari pertidaksamaan nilai mutlak, perlu anda ingat kembali materi SMP mengenai pertidaksamaan linear dengan mengamati beberapa contoh soal berikut ini. Contoh Soal 1.15 Tentukan penyelesaian pertidaksamaan: a. 2𝑥 + 3 > 5 b. 2 − 3𝑥 < 𝑥 − 6 c. 𝑥 + 1 + 2𝑥 − 3 ≤ 7 Penyelesaian: a. 2𝑥 + 3 > 5 ↔ 2𝑥 > 5 − 3 2𝑥 > 2 𝑥>1 Jadi, penyelesaian pertidaksamaan 2𝑥 + 3 > 5 adalah 𝑥 > 1. b. 2 − 3𝑥 < 𝑥 − 6 ↔ −3𝑥 − 𝑥 < 6 − 2 −4𝑥 < 4 𝑥 > −1 Jadi, penyelesaian pertidaksamaan 2 − 3𝑥 < 𝑥 + 6 adalah 𝑥 > −1. c. 𝑥 + 1 + 2𝑥 − 3 ≤ 7 ↔ 3𝑥 − 2 ≤ 7 3𝑥 ≤ 9 𝑥≤3 Jadi, penyelesaian pertidaksamaan 𝑥 + 1 + 2𝑥 − 3 ≤ 7 adalah 𝑥 ≤ 3. Contoh Soal 1.16



Tentukan penyelesaian pada pertidaksamaan di bawah ini. a. 3 < 2𝑥 − 1 < 5 b. 𝑥 + 2 < 2𝑥 + 1 < 3𝑥 − 1 Penyelesaian: a. 3 < 2𝑥 − 1 < 5 Semua ruas ditambah dengan 1 3 + 1 < 2𝑥 < 5 + 1 4 < 2𝑥 < 6 Semua ruas dibagi dengan 2 2 2 Ingat: “dan” artinya memenuhi keduanya sehingga dicari irisannya.



Jadi, penyelesaiannya dari pertidaksamaan 𝑥 + 2 < 2𝑥 + 1 < 3𝑥 − 1 adalah 𝑥 > 2. Setelah kita mengingat dan memahami cara menyelesaikan pertidaksamaan linear, selanjutnya tidak terlalu sulit bagi kita menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak. kerjakan aktivitas berikut ini agar Anda memahami konsep pertidaksamaan nilai mutlak secara mandiri. Aktivitas Siswa 2: Diskusi Memahami konsep pertidaksamaan nilai mutlak Anda telah mengetahui bahwa nilai mutlak dari suatu bilangan 𝑥 merupakan jarak 𝑥 yang diukur dari titik awal 0. Misalnya |𝑥| = 2 akan dipenuhi oleh dua bilangan, yaitu 𝑥 = 2atau 𝑥 = −2. Sekarang tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak |𝑥| ≤ 2. Untuk dapat menyelesaikan permasalahan tersebut, lengkapilah titik-titik berikut ini. a. |𝑥| ≤ 2 dapat Anda ubah dalam bentuk kalimat menjadi:



Mencari semua titik yang jaraknya kurang dari ... satuan yang diukur dari titik ... b. Lengkapilah garis bilangan berikut ini kemudian arsirlah yang memenuhi pertidaksamaan |𝑥| ≤ 2.



...



−2



...



...



0



1



...



...



4



Garis Bilangan |𝒙| ≤ 𝟐 c. Berdasarkan garis bilangan yang telah Anda lengkapi, maka penyelesaian dari |𝑥| ≤ 2 adalah −2 … 𝑥 … 2. d. Jika 𝑎 positif, maka secara umum dapat disimpulkan bahwa: |𝑥| ≤ 𝑎 ↔ ⋯ ≤ 𝑥 ≤ ⋯ . Sekarang gunakan bentuk |𝑥| ≤ 𝑎 yang telah Anda simpulkan pada aktivitas sebelumnya untuk menyelesaikan pertidaksamaan di bawah ini. Contoh Soal 1.17 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ini. a. |𝑥| ≤ 9 b. |𝑥 − 5| < 4 c. |2𝑥 + 1| < 5 Penyelesaian: a. |𝑥| ≤ 9 ↔ −9 ≤ 𝑥 ≤ 9 HP = {𝑥|−9 ≤ 𝑥 ≤ 9, 𝑥 ∈ 𝑅} b. |𝑥 − 5| < 4 ↔ −4 < 𝑥 − 5 < 4 −4 + 5 < 𝑥 − 5 + 5 < 4 + 5 1 5} b. |𝑥 − 3| ≥ 7 ↔ −(𝑥 − 3) ≤ −7 atau 𝑥 − 3 ≥ 7 𝑥 − 3 ≤ −7 atau 𝑥 − 3 ≥ 7 𝑥 − 3 + 3 ≤ −7 + 3 atau 𝑥 − 3 + 3 ≥ 7 + 3 𝑥 ≤ −4 atau 𝑥 ≥ 10



HP = {𝑥 ≤ −4 atau 𝑥 ≥ 10} c. |3𝑥 + 1| ≥ 2 ↔ 3𝑥 + 1 ≤ −2 atau 3𝑥 + 1 ≤ 2 3𝑥 + 1 − 1 ≤ −2 − 1 atau 3𝑥 + 1 − 1 ≥ 2 − 1 3𝑥 ≤ −3 atau 3𝑥 ≤ 1 1



𝑥 ≤ −1 atau 𝑥 ≥ 2 1



HP = {𝑥 ≤ −1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ≥ 3} d. |2 − 9𝑥| ≥ 11 ↔ 2 − 9𝑥 ≤ −11 atau 2 − 9𝑥 ≥ 11 2 − 9𝑥 − 2 ≤ −11 − 2 atau 2 − 9𝑥 − 2 ≥ 11 − 2 −9𝑥 ≤ −13 atau −9𝑥 ≥ 9 𝑥≥



13 9



atau 𝑥 ≤ −1



HP = {𝑥 ≥



13 9



𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ≤ −1}.



Sifat-sifat |𝑥| ≤ 𝑎 ↔ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 atau 𝑥 ≤ 𝑎 dan 𝑥 ≥ −𝑎 daan |𝑥| ≥ 𝑎 ↔ 𝑥 ≥ 𝑎 atau 𝑥 ≤ −𝑎 berlaku untuk pertidaksamaan nilai mutlak yang mengandung satu tanda nilai nilai mutlak. Dengan demikian: 1. |𝑎𝑥 + 𝑏| ≤ 𝑐𝑥 + 𝑑 ↔ −(𝑐𝑥 + 𝑑) ≤ 𝑎𝑥 + 𝑏 ≤ 𝑐𝑑



atau



𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ −(𝑐𝑥 + 𝑑) 2. |𝑎𝑥 + 𝑏| ≥ 𝑐𝑥 + 𝑑 ↔ 𝑎𝑏 ≥ 𝑐𝑑 atau 𝑎𝑏 ≤ −(𝑐𝑥 + 𝑑) Contoh Soal 1.19 Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan di bawah ini. a. |2𝑥 − 1| < 𝑥 + 2 b. |𝑥 + 2| > 2𝑥 + 1 Penyelesaian: a. |2𝑥 − 1| < 𝑥 + 2 ↔ 2𝑥 − 1 < 𝑥 + 2 dan 2𝑥 − 1 > −(𝑥 + 2) 2𝑥 − 𝑥 < 2 + 1 dan 2𝑥 − 1 > −𝑥 − 2 𝑥 < 3 dan 3𝑥 > −1 1



𝑥 > 3 dan 𝑥 > − 3



𝑎𝑥 + 𝑏 ≤ 𝑐𝑥 + 𝑑



dan



1



Kata “dan” artinya ada di keduanya sehingga penyelesaiannya adalah − 3 < 𝑥 < 3. b. |𝑥 + 2| > 2𝑥 + 1 ↔ 𝑥 + 2 > 2𝑥 + 1 atau 𝑥 + 2 < −(2𝑥 + 1) −𝑥 > −1 atau 𝑥 + 2 < −2𝑥 − 1 𝑥 < 1 atau 3𝑥 < −3 𝑥 < 1 atau 𝑥 < −1



Kata “atau” artinya ada di salah satu atau di keduanya sehingga penyelesaiannya adalah 𝑥 < 1. Soal-soal pertidaksamaan kuadrat dapat diselesaikan menggunankan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, sebagai berikut. 1. 𝑥 2 < 𝑎2 ↔ |𝑥| < 𝑎 2. (𝑎𝑥 + 𝑏)2 < (𝑐𝑥 + 𝑑)2 ↔ |𝑎𝑥 + 𝑏| < |𝑐𝑥 + 𝑑| Contoh Soal 1.20 Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan di bawah ini. a. (𝑥 − 2)2 < 9 b. 𝑥 2 − 6𝑥 ≥ 0 c. |2𝑥 + 1| < |𝑥 + 3| Penyelesaian: a. (𝑥 − 2)2 < 9 ↔ |𝑥 − 2| < 3



−3 < 𝑥 − 2 < 3 −3 + 2 < 𝑥 − 2 + 2 < 3 + 2 −1 < 𝑥 < 5 b. 𝑥 2 − 6𝑥 ≥ 0 𝑥 2 − 6𝑥 + 9 − 9 ≥ 0 (𝑥 − 3)3 − 9 ≥ 0 ↔ (𝑥 − 3)2 ≥ 9 ↔ |𝑥 − 3| ≥ 3 𝑥 − 3 ≤ −3 atau 𝑥 − 3 ≥ 3 𝑥 ≤ 0 atau c. |2𝑥 + 1