Materi Ruang Euclid Dan Ruang Hermit [PDF]

Citation preview

BAB II RUANG EUCLID DAN RUANG HERMIT II.1 RUANG EUCLID



Definisi 2.1: Misal V ruang vektor atas field ℜ, ℜ = himpunan semua bilangan real/nyata. Produk skalar ( hasil kali skalar ) pada V adalah suatu perkawanan yang mana untuk setiap pasangan elemen – elemen v,w ∈ V dikawankan (dihubungkan) dengan suatu skalar dalam ℜ, yang ditulis dengan atau v.w yang memenuhi sifat – sifat sebagai berikut : 1. = , untuk setiap v,w ∈ V 2. u,v,w ∈ V ⇒ = + 3. x ∈ ℜ, v,w ∈ V ⇒ < xu,v> = x



Definisi 2.2: Produk skalar pada V disebut definit positif, jika : 1. ≥ 0, untuk setiap v ∈ V, & 2. > 0 ⇒ v ≠ 0 Selanjutnya dari definisi definit positif di atas dapat disimpulkan, jika = 0, maka v = 0. Demikian juga jika v = 0, maka = 0. Sehingga definisi definit positif di atas dapat ditulis dengan bentuk lain yaitu : Definisi 𝟐. 𝟐𝟏 : Produk skalar pada V disebut definit positif, jika 1. ≥ 0, untuk setiap v ∈ V, & 2. = 0 ⇔ v = 0



Definisi 2.3: Produk skalar pada V disebut non degenerate, jika (∀ 𝑣 ∈ 𝑉) [{(∀ 𝑤 ∈ 𝑉). < 𝑣, 𝑤 > = 0} ⇒ 𝑣 = 0]



Akibat 2.1: Produk skalar yang definit positif pasti non degenerate.



Bukti : Andaikan produk skalar yang diketahui tidak non degenerate, maka : (∃ 𝑣 ∈ 𝑉) [{(∀ 𝑤 ∈ 𝑉). < 𝑣, 𝑤 > = 0} & 𝑣 ≠ 0] Diambil w = v, maka (∃ 𝑣 ∈ 𝑉) . = 0 & 𝑣 ≠ 0. Jadi (∃ 𝑣 ∈ 𝑉) . = 0 & 𝑣 ≠ 0. Padahal dikehatui (∀ 𝑣 ∈ 𝑉) . = 0 ⇒ 𝑣 = 0. Hal ini kontradiksi. Jadi yang benar produk skalar yang definit positif pasti non degenerate.



Contoh : 2.1 Misal 𝑉 = ℜ𝑛 Suatu pemetaan 𝑓 ∶ (𝑥, 𝑦) → 𝑥. 𝑦 yaitu yang mengawankan setiap pasangan x,y ∈ ℜ𝑛 dengan dot produk mereka adalah merupakan produk skalar yang definit positif. (Catatan : x,y ∈ ℜ𝑛 ⇒ 𝑥. 𝑦 = 𝑥1 𝑦1 + 𝑥2 𝑦2 + … + 𝑥𝑛 𝑦𝑛 2.2 Misal V ruang vektor dari fungsi – fungsi bernilai real yang kontinu pada pada interval [0,1]. 1



Didefinisikan : 𝑓, 𝑔 ∈ 𝑉 → < 𝑓, 𝑔 > = ∫0 𝑓(𝑡). 𝑔(𝑡)𝑑𝑡 Dengan sifat – sifat dari integral dapat diperlihatkan bahwa definisi di atas merupakan produk skalar yang definit positif.



Definisi 2.4: Ruang vektor atas himpunan semua bilangan real dengan produk skalar yang definit positif disebut Ruang Euclid ( Euclidean vektor space ).



Definisi 2.5: Misal V ruang Euclid. Elemen – elemen v, w ∈ 𝑉 disebut ortogonal, jika = 0, ditulis dengan v ⊥ w.



Misal S subset dari V, dimana V adalah ruang Euclid. 𝑆 ⊥ = himpunan semua elemen – elemen w ∈ 𝑉 yang tegak lurus dengan setiap elemen – elemen v ∈ 𝑆, atau 𝑆 ⊥ = {𝑤 ∈ 𝑉 | < 𝑤, 𝑣 > = 0, ∀ 𝑣 ∈ 𝑆 }. Dapat dibuktikan bahwa 𝑆 ⊥ merupakan ruang bagian V yang disebut ruang orthogonal dari S.



Bukti : Ambil 𝑤1 , 𝑤2 sebarang elemen dalam 𝑆 ⊥ dan 𝑘1 , 𝑘2 ∈ ℜ sebarang. Ambil v sebarang dalam S. < 𝑘1 𝑤1 + 𝑘2 𝑤2 , 𝑣 > = < 𝑘1 𝑤1 , 𝑣 > + < 𝑘2 𝑤2 , 𝑣 > = 𝑘1 . < 𝑤1 , 𝑣 > + 𝑘2 . < 𝑤2 , 𝑣 > = 𝑘1 . 0 + 𝑘2 . 0 = 0. Sehingga < 𝑘1 𝑤1 + 𝑘2 𝑤2 , 𝑣 > = 0, untuk setiap v ∈ 𝑆. Jadi 𝑘1 𝑤1 + 𝑘2 𝑤2 ∈ 𝑆 ⊥ . Jadi 𝑆 ⊥ ruang bagian dari V.







Sekarang ambil U adalah ruang bagian dari V yang dibangun oleh elemen – elemen S. Jika w tegak lurus pada S dan 𝑣1 , 𝑣2 ∈ 𝑆, maka < 𝑤, 𝑣1 + 𝑣2 > = 0. Demikian juga jika c ∈ ℜ , v ∈ 𝑆 , maka < 𝑤, 𝑐𝑣 > = 0. Sehingga w tegak lurus dengan kombinasi linier elemen – elemen dalam S. Jadi w tegak lurus pada U.



Contoh : 2.3



Misal ( 𝑎𝑖𝑗 ) adalah matriks m x n dalam ℜ. 𝐴1 , 𝐴2 , . . . . . , 𝐴𝑚 adalah vektor – vektor baris dari ( 𝑎𝑖𝑗 ). X = ( 𝑥1 , 𝑥2 , . . . . , 𝑥𝑛 )𝑇 adalah vektor kolom. Pandang sistem persamaan linier yang homogen yaitu : 𝑎11 𝑥1 + … … … … + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 0 𝑎21 𝑥1 + … … … … + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 0 ……………………………………… (∗) ……………………………………… 𝑎𝑚1 𝑥1 + … … … … + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 0}



Atau dapat juga ditulis ; 𝐴1 𝑋 = 0 ,



𝐴2 𝑋 = 0 … … … ,



𝐴𝑚 𝑋 = 0.



Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan diatas adalah ruang vektor atas ℜ. Misal W ruang vektor yang dibangun oleh {𝐴1 , … … , 𝐴𝑚 }. U = ruang vektor yang terdiri dari semua vektor – vektor dalam ℜ𝑛 yang tegak lurus dengan 𝐴1 , 𝐴2 , . . . . . , 𝐴𝑚 . Maka U adalah ruang vektor dari penyelesaian sistem persamaan ( * ). Perlu dicatat bahwa {𝐴1 , 𝐴2 , . . . . . , 𝐴𝑚 } boleh tak bebas linier, sehingga dim ( W ) ≤ m.



Selanjutnya dim ( U ) = dim ( 𝑊 ⊥ ) disebut dimensi ruang solusi dari sistem persamaan linier yang homogen.



Definisi 2.6 : Misal V ruang Euclid. Panjang ( norm ) dari suatu elemen 𝑣 ∈ 𝑉, ditulis dengan ∥ 𝑣 ∥, didefinisikan sebagai ∥ 𝑣 ∥ = √< 𝑣, 𝑣 > dan diambil suatu bilangan ≥ 0. Jika 𝑣 ∈ 𝑉 dan ∥ 𝑣 ∥ = 1, maka v disebut vektor satuan. 𝑣



𝑣



Jika 𝑣 ∈ 𝑉 dan 𝑣 ≠ 0, maka ∥𝑣 ∥ = vektor satuan, sebab ∥ ∥𝑣 ∥ ∥ =



∥𝑣 ∥ ∥𝑣 ∥



= 1.



Sekarang ambil 𝑣𝑖 ≠ 0 ∈ 𝑉, dimana i = 1, 2, …, n. Misal 𝑣𝑖 saling tegak lurus yaitu < 𝑣𝑖 , 𝑣𝑗 > = 0, untuk 𝑖 ≠ 𝑗, Misal 𝑐𝑖 = komponen dari v sepanjang 𝑣𝑖 yaitu 𝑐𝑖 =







.



Maka v – c1v1 – c2v2 - . . . – cnvn tegak lurus dengan v1,v2, . . . , vn, karena < v – c1v1 –. . . – cnvn, v1> = < v,v1> - c1 - … - cn



= < v, v1 > -



. < v1, v1 >



= < v, v1 > - < v, v1 > = 0. Secara sama, < v - c1v1 - ………… - cnvn, v2 > = 0, ⋮ < v - c1v1 - ………… - cnvn, vn > = 0.



Definisi 2.7: Misal V ruang Euclid, {𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 } basis dari V dinamakan basis ortogonal, jika < vi, vj > = 0, untuk setiap i ≠ j. Khususnya jika ∥ 𝑣𝑖 ∥ = 1, untuk setiap i, maka basis ini disebut basis ortonormal. Contoh : 2.4 Vektor – vektor satuan standard dari ℜ𝑛 dengan dot produk biasa adalah basis ortonormal dari ℜ𝑛 .



Teorema 2.1 : Jika V ruang Euclid yang berdimensi hingga, W ≠ V ruang bagian dari V dan {𝑤1 , 𝑤2 , … , 𝑤𝑚 } adalah basis orthogonal dari W, maka terdapatlah vektor – vektor 𝑤𝑚+1 , 𝑤𝑚+2 , … … , 𝑤𝑛 dalam V sedemikian sehingga, {𝑤1 , … , 𝑤𝑚 , 𝑤𝑚+1 , 𝑤𝑚+2 , … , 𝑤𝑛 } adalah basis ortogonal dari V. Bukti : Teorema ini dibuktikan dengan induksi matematik pada 𝑘 (𝑘 = 1,2, … . , 𝑛 − 𝑚). {𝑤1 , … … … , 𝑤𝑚 } basis orthogonal dari W, jadi {𝑤1 , … … … , 𝑤𝑚 } bebas linier, karena W ⊆ V maka 𝑤1 , … . , 𝑤𝑚 ∈ 𝑉. Jadi pasti dapat ditemukan 𝑣𝑚+1 , … . . , 𝑣𝑛 ∈ 𝑉 sedemikian sehingga {𝑤1 , … , 𝑤𝑚 , 𝑣𝑚+1 , … . . , 𝑣𝑛 } adalah basis dari V. Tentu saja basis ini bukan basis ortogonal. Sekarang misal 𝑊𝑚+1 adalah ruang vektor yang dibangun oleh {𝑤1 , … , 𝑤𝑚 , 𝑣𝑚+1 }. Jika diambil 𝑤𝑚+1 = 𝑣𝑚+1 − 𝑐1 𝑤1 − … − 𝑐𝑚 𝑤𝑚 dimana 𝑐1 =



< 𝑣𝑚+1 , 𝑤1 > < 𝑣𝑚+1 , 𝑤𝑚 > , … … … … , 𝑐𝑚 = < 𝑤1 , 𝑤1 > < 𝑤𝑚 , 𝑤𝑚>



Maka 𝑤𝑚+1 tegak lurus dengan 𝑤1 , … … … , 𝑤𝑚 . Pasti 𝑤𝑚+1 ≠ 0 sebab andaikan 𝑤𝑚+1 = 0, maka 𝑣𝑚+1 − 𝑐1 𝑤1 − … … , 𝑐𝑚 𝑤𝑚 = 0 berarti { 𝑣𝑚+1 , 𝑤1 , … … , 𝑤𝑚 } tak bebas linier, kontradiksi dengan { 𝑣𝑚+1 , 𝑤1 , … … , 𝑤𝑚 } bebas linier. Jadi 𝑣𝑚+1 = 𝑤𝑚+1 + 𝑐1 𝑤1 + … … + 𝑐𝑚 𝑤𝑚 . Sehingga 𝑣𝑚+1 terletak dalam ruang yang dibangun oleh { 𝑤1 , … … , 𝑤𝑚 , 𝑤𝑚+1 }. Jadi { 𝑤1 , … … , 𝑤𝑚 , 𝑤𝑚+1 } basis ortogonal dari 𝑊𝑚+1 . Jika benar untuk r = k, maka benar untuk r = k + 1. Menurut induksi hipotesa maka benar untuk r = k, jadi { 𝑤1 , … … , 𝑤𝑚 , 𝑤𝑚+1 , … … , 𝑤𝑚+𝑘 } basis ortogonal dari 𝑊𝑚+𝑘 . Jadi proses diulang sampai dimensi dari 𝑤𝑚+𝑘 = dim (V) = n. Jadi jika m + k = n, maka k = n – m. Dengan proses yang sama seperti diatas maka dari 𝑣𝑚+𝑘+1 akan didapat



𝑤𝑚+𝑘+1 sedemikian sehingga , { 𝑤1 , … … , 𝑤𝑚+1 , … … , 𝑤𝑚+𝑘+1 } basis ortogonal dari 𝑊𝑚+𝑘+1 . Jadi benar untuk setiap n ( terbukti ). Selanjutnya proses diatas tersebut proses ortogonalisasi Gram – Schmidt.



Akibat 2.2 : Jika V ruang Euclid yang berdimensi hingga dan V ≠ { 0 } , maka V mempunyai basis ortogonal. Bukti : Misal dim (V) = n, karena V ≠ { 0 } maka terdapatlah 𝑣1 ≠ 0 ∈ 𝑉. Selanjutnya jika W ruang bagian dari V yang dibangun oleh { 𝑣1 } adalah basis dari W. maka menurut Teorema 2.1 didapat { 𝑣1 , 𝑣2 , … … … , 𝑣𝑛 } basis ortogonal dari V. Selanjutnya jika { 𝑣1 , … … … , 𝑣𝑚 } basis sebarang dari V, maka dengan proses ortogonal dari V sebagai berikut : 𝑤𝑚+1 = 𝑣𝑚+1 − 𝑐1 𝑤1 − … − 𝑐𝑚 𝑤𝑚 , dimana 𝑐1 =



< 𝑣𝑚+1 , 𝑤1 > < 𝑣𝑚+1 , 𝑤𝑚 > , … … … … , 𝑐𝑚 = < 𝑤1 , 𝑤1 > < 𝑤𝑚 , 𝑤𝑚 >



Sehingga ; 𝑚 = 0 ⇒ 𝑤1 = 𝑣1 . 𝑚 = 1 ⇒ 𝑤2 = 𝑣2 − 𝑐1 𝑤1 = 𝑣2 −



< 𝑣2 , 𝑤1 > .𝑤 < 𝑤1 , 𝑤2 > 1



𝑚 = 𝑛 − 1 ⇒ 𝑤𝑛 = 𝑣𝑛 − 𝑐1 𝑤1 − … … … − 𝑐𝑛−1 𝑤𝑛−1 = 𝑣𝑛 −



< 𝑣𝑛 , 𝑤1 > < 𝑣𝑛 , 𝑤𝑛−1 > . 𝑤1 − … … .𝑤 < 𝑤1 , 𝑤1 > < 𝑤𝑛−1 , 𝑤𝑛−1 > 𝑛−1



Jadi, { 𝑤1 , 𝑤2 , … … … , 𝑤𝑛 } basis ortogonal dari V. Demikian juga jika basis ortogonal diketahui, maka dapat ditentukan basis ortonormalnya yaitu dengan membagi setiap vektor basis dengan panjangnya.



Contoh : 2.5. Tentukan basis ortonormal dari ruang vektor yang dibangun oleh {𝐴 = ( 1,1,0,1), 𝐵 = (1, −2,0,0), 𝐶 = (1,0, −1,2)} Penyelesaian : 𝐴′ = 𝐴 = (1,1,0,1) 𝐵′ = 𝐵 −



𝐵. 𝐴 𝐴 𝐴. 𝐴



= (1, −2,0,0) −



(1, −2,0,0). (1,1,0,1) . (1,1,0,1) (1,1,0,1). (1,1,0,1)



1 4 5 1 ) (1,1,0,1) = ( , − , 0, ) 3 3 3 3 𝐶. 𝐴 𝐶. 𝐵 ′ 𝐶′ = 𝐶 − . 𝐴 − ′ ; . 𝐵′ 𝐴. 𝐴 𝐵𝐵 = ( 1,0, −1,2 ) = (1, −2,0,0) − ( −



4 −5 1 (1,0, −1,2). ( , (1,0, −1,2). ( 1,1,0,1 ) 3 3 , 0, 3) (4 , − 5 , 0, 1) − . (1,1,0,1)– 4 5 1 4 5 1 (1,1,0,1 ). (1,1,0,1 ) (3 , − 3 , 0, 3) . (3 , − 3 , 0, 3) 3 3 3 3 2 4 5 1 = (1,0, −1,2) − (1,1,0,1) − . ( , − , 0, ) 42 3 3 3 3 9 4 5 1 = (1,0, −1,2) − (1,1,0,1) − ( , − , 0, ) 7 7 7 4 2 7 6 = (− , − , − , ) 7 7 7 7 4



5



1



4



2



7 6



Jadi {𝐴′ = (1,1,0,1), 𝐵 ′ = (3 , − 3 , 0, 3) , 𝐶 ′ = (− 7 , − 7 , − 7 , 7)} adalah basis ortogonal dari ruang vektor yang dibangun oleh {𝐴, 𝐵, 𝐶}. Selanjutnya 𝑋 =



𝐴′ ∥ 𝐴′ ∥



=



(1,1,0,1) √1+1+0+1



=



1 √3



(1,1,0,1)



1 𝐵′ 3 (4, −5,0,1) = 1 (4, −5,0,1) 𝑌= = 1 ∥ 𝐵′ ∥ √42 3 √16 + 25 + 1 1 𝐶′ 7 (−4, −2, −7,6) = 1 (−4, −2, −7,6) 𝑍= = 1 ∥ 𝐶′ ∥ √105 7 √16 + 4 + 49 + 36 Jadi {𝑋, 𝑌, 𝑍} adalah basis ortonormal dari ruang vektor yang dibangun oleh {𝐴, 𝐵, 𝐶}.



Teorema 2.2: Misal V ruang Euclid dan dim ( V ) = n. Kemudian W ruang bagian dari V dan dim ( W ) = r. 𝑊 ⊥ = ruang ortogonal dari W. Maka dim (𝑊 ⊥ ) = n – r dan V = 𝑊⨁𝑊 ⊥ , atau dim (V) = dim (W) + dim (𝑊 ⊥ ). Bukti : Jika 𝑊 = {0} atau W= V, tak ada yang perlu untuk dibuktikan. Selanjutnya jika W ≠ V dan W ≠ {0}. Ambil {𝑤1 , … , 𝑤𝑟 } basis ortonormal dari W, maka menurut Teorema 2.1



terdapatlah 𝑢𝑟+1 , … , 𝑢𝑛 dalam V sedemikian sehingga, {𝑤1 , … , 𝑤𝑟 , 𝑢𝑟+1 , … , 𝑢𝑛 } basis ortonormal dari v. Akan dibuktikan bahwa {𝑢𝑟+1 , … , 𝑢𝑛 } basis ortonormal dari 𝑊 ⊥ . Ambil 𝑢 ∈ 𝑊 ⊥ sebarang, maka terdapatlah skalar – skalar 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑟 , … , 𝑥𝑛 dalam ℜ sedemikian sehingga, 𝑢 = 𝑥1 𝑤1 + … + 𝑥𝑟 𝑤𝑟 + 𝑥𝑟+1 𝑢𝑟+1 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑢𝑛 . Karena u tegak lurus pada W maka < 𝑢, 𝑤1 > = 0 < 𝑥1 𝑤1 + … + 𝑥𝑛 𝑢𝑛 , 𝑤1 > = 0 𝑥1 . < 𝑤1 , 𝑤1 > + ⋯ + 𝑥𝑛 . < 𝑢𝑛 , 𝑤1 > = 0 𝑥1 = 0. Secara sama didapat, 𝑥2 = 0, … , 𝑥𝑟 = 0 Jadi 𝑢 = 𝑥𝑟+1 𝑢𝑟+1 + . . + 𝑥𝑛 𝑢𝑛 , berarti u sebagai kombinasi linear dari {𝑢𝑟+1 … , 𝑢𝑛 }. Sebaliknya, ambil kombinasi linear sebarang dari {𝑢𝑟+1 … , 𝑢𝑛 }, yaitu: 𝑢 = 𝑥𝑟+1 𝑢𝑟+1 + . . + 𝑥𝑛 𝑢𝑛 , maka < 𝑢, 𝑤1 > = < 𝑥𝑟+1 𝑢𝑟+1 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑢𝑛 , 𝑤1 > = 𝑥𝑟+1 . < 𝑥𝑟+1 , 𝑢𝑟+1 > + ⋯ + 𝑥𝑛 . < 𝑢𝑛 , 𝑤1 > = 𝑥𝑟+1 . 0 + ⋯ + 𝑥𝑛 . 0 = 0 Secara sama, < 𝑢, 𝑤2 > = 0 , … , < 𝑢, 𝑤𝑟 > = 0 Jadi u tegak lurus pada W, sehingga 𝑢 ∈ 𝑊 ⊥ Karena u sebarang, maka {𝑥𝑟+1 , … , 𝑢𝑛 } membangun 𝑊 ⊥ . 𝑢𝑟+1 … , 𝑢𝑛 saling tegak lurus dan panjangnya = 1, sehingga {𝑢𝑟+1 … , 𝑢𝑛 } basis ortonormal dari 𝑊 ⊥. Jadi dim (𝑊 ⊥ ) = n – r, atau dim ( V ) = dim ( W ) + dim (𝑊 ⊥) Selanjutnya ambil v ∈ V sebarang, maka v = kombinasi linear secara tunggal dari {𝑤1 , … , 𝑤𝑟 } + kombinasi linear secara tunggal dari {𝑢𝑟+1 … , 𝑢𝑛 } Maka v dapat dinyatakan secara tunggal sebagai w + u dengan w ∈ W dan u ∈ 𝑊 ⊥. Jadi V = W (+)𝑊 ⊥ .



Contoh : 2.6.Ambil V = ℜ3 . Misal {𝐴, 𝐵} adalah bebas linier dalam ℜ3 . Maka ruang vektor yang tegak lurus dengan A & B adalah bedimensi satu, selanjutnya jika {𝑁} basis dari ruang ini,maka setiap basis yang lain dari ruang ini adalah berbentuk {𝑡𝑁}, dimana 𝑡 ≠ 0 ∈ ℜ. Sekali lagi pandang ℜ3 , jika 𝑡 ≠ 0 ∈ ℜ3 , maka ruang vektor yang tegak lurus dengan N adalah ruang vektor yang berdimensi dua yaitu suatu bidang yang melalui titik pusat 0.



II.2 RUANG HERMIT Definisi 2.8 : Misal V ruang vektor atas field ℂ, dimana ℂ = himpunan semua bilangan kompleks. Suatu produk Hermit pada V adalah suatu aturan ( cara ) yang mana untuk setiap pasangan elemen – elemen v, w ∈ V dikawankan dengan suatu bilangan kompleks, ditulis dengan < v,w >, yang memenuhi sifat – sifat sebagai berikut : 1. (∀ 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉). < 𝑣, 𝑤 > = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ < 𝑤, 𝑣 >. Dimana ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ < 𝑤, 𝑣 > = bilangan kompleks sekawan. 2. u,v,w ∈ 𝑉 → < u,v + w > = < u,v > + < u,w > ̅ . < 𝑢, 𝑣 > 3. ∝ ∈ ℂ → < ∝ 𝑢, 𝑣 > = ∝ < 𝑢, 𝑣 > & < 𝑢, ∝ 𝑣 > = ∝ ̅ bilangan nyata, maka ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ Sekarang perhatikan bahwa jika ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ < 𝑤, 𝑣 > dan ∝ < 𝑤, 𝑣 >= < 𝑤, 𝑣 > ̅ = ∝. dan ∝



Jadi definisi produk Hermit pada V di atas sesuai dengan definisi produk skalar pada V ( di mana V = ruang vektor atas field ℜ ). Karena ℜ ⊆ ℂ , maka produk skalar pada V adalah subset dari produk Hermit. Jadi produk skalar pada V pasti produk Hermit.



Definisi 2.9 : Produk Hermit pada V disebut definit positif, jika : 1. (∀ 𝑣 ∈ 𝑉). < 𝑣, 𝑣 > ≥ 0 2. . < 𝑣, 𝑣 > 0 ⇒ 𝑣 ≠ 0 Atau dapat juga ditulis dengan bentuk lain yaitu :



Produk Hermit pada V disebut definit positif, jika 1. (∀ 𝑣 ∈ 𝑉). < 𝑣, 𝑣 > ≥ 0 2. . < 𝑣, 𝑣 > 0 ⇒ 𝑣 = 0



Contoh : 2.7 Ambil 𝑉 = ℂ 𝑛 , Jika 𝑋 = (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) & 𝑌 = (𝑦1 , … , 𝑦𝑛 ) dalam ℂ 𝑛 , maka < 𝑋, 𝑌 > = 𝑥1 ̅̅̅ 𝑦1 + … + 𝑥𝑛 ̅̅̅ 𝑦𝑛 = ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 . 𝑦̅𝑖 Dapat dibuktikan bahwa < X,Y> adalah produk Hermit pada ℂ 𝑛 yang definit positif. Bukti: 1. < X,Y > = < ̅̅̅̅̅ 𝑌, 𝑋 >, sebab < ̅̅̅̅̅ 𝑌, 𝑋 > = ∑𝑛𝑖=1 ̅̅̅̅̅̅̅ 𝑦𝑖 . 𝑥̅𝑖 = ∑𝑛𝑖=1 𝑦̅𝑖 . 𝑥𝑖 = ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 . 𝑦̅𝑖 = < 𝑋, 𝑌 > 𝑛 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 2. < Z,X+Y> = ∑𝑛𝑖=1 𝑧𝑖 (𝑥 ̅𝑖 + 𝑦̅𝑖 ) 𝑖 + 𝑦𝑖 ) = ∑𝑖=1 𝑧𝑖 (𝑥



= ∑𝑛𝑖=1 𝑧𝑖 . 𝑥̅𝑖 + ∑𝑛𝑖=1 𝑧𝑖 . 𝑦̅𝑖 = < 𝑍, 𝑌 > + < 𝑍, 𝑌 > 3. < cX,Y > = ∑𝑛𝑖=1(𝑐𝑥𝑖 ) 𝑦̅𝑖 = 𝑐. ∑𝑛𝑖=1( 𝑥𝑖 𝑦̅𝑖 ) = 𝑐 . < 𝑋, 𝑌 > 𝑛 < X,cY > = ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 . ( 𝑐𝑦 ̅̅̅̅) ̅) 𝑖 = 𝑐̅. ∑𝑖=1( 𝑥𝑖 𝑦 𝑖 = 𝑐̅ . < 𝑋, 𝑌 >



4. < X,X > = 𝑥1 ̅̅̅ 𝑥1 + 𝑥2 𝑥 ̅̅̅2 + … + 𝑥1 𝑛 = (𝑎1 + 𝑏1 𝑖)(𝑎1 − 𝑏1 𝑖) + … + (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 𝑖)(𝑎𝑛 − 𝑏𝑛 𝑖) = 𝑎12 + 𝑏12 + … + 𝑎𝑛2 + 𝑏𝑛2 > 0, dan < X,Y> = 0 ↔ X = ( 0,0,…, 0 )



Definisi 2.10 : Ruang vektor atas himpunan semua bilangan kompleks dengan produk Hermit yang definit positif disebut ruang Hermit ( Hermition Vektor Space ). Jadi ruang Euclid adalah ruang Hermit.



Definisi 2.11: Misal V ruang Hermit. Panjang ( = norm ) dari suatu elemen v ∈ V, ditulis dengan ∥ 𝑣 ∥, didefinisikan sebagai ∥ 𝑣 ∥ = √< 𝑣, 𝑣 >. Karena < 𝑣, 𝑣 > ≥ 0 dan sama dengan bilangan nyata, maka √< 𝑣, 𝑣 > selalu ada dan diambil suatu bilangan ≥ 0.



Untuk selanjutnya definisi – definisi tentang ortogonal, vektor satuan, basis ortogonal, basis ortonormal, ruang ortogonal, pada ruang Hermit didefinisikan sama seperti pada ruang Euclid. Demikian juga Teorema 2.1 dan Teorema 2.2 pada ruang Euclid, berlaku pula pada ruang Hermit. Bukti analog pada ruang Euclid.



SOAL – SOAL LATIHAN 1. Tentukan suatu basis ortonormal untuk ruang bagian dari ℜ3 yang dibangun oleh vektor – vektor berikut : a. (1,1,-1) dan (1,0,1) b. (2,1,1) dan (1,3,-1) 2. Tentukan suatu basis ortonormal untuk ruang bagian dari ℜ4 yang dibangun oleh vektor – vektor berikut : a. (1,2,1,0) dan (1,2,3,1) b. (1,1,0,0), (1,-1,1,1) dan (-1,0,2,1) 3. Dalam soal berikut, kami mempertimbangkan ruang vektor dari fungsi – fungsi berharga real kontinu pada interval [0,1]. Kami mendefinisikan produk skalar dari dua fungsi f,g dengan aturan 1



< 𝑓, 𝑔 > = ∫ 𝑓(𝑡)𝑔(𝑡)𝑑𝑡 0



Dengan menggunakan sifat – sifat baku integral, buktikan bahwa ini merupakan suatu produk skalar. 4. Misal V adalah ruang bagian fungsi – fungsi yang dibangun oleh dua fungsi f,g sedemikian sehingga f(t) = t dan g(t) = 𝑡 2 . Tentukan suatu basis ortonormal untuk V ! 5. Misal V adalah ruang bagian yang dibangun oleh tiga fungsi i,t, 𝑡 2 (dimana i adalah fungsi konstan ). Tentukan basis ortonormal untuk V ! 6. Tentukan suatu basis ortonormal untuk ruang bagian dari ℂ 3 yang dibangun oleh vektor – vektor berikut : a. (1,i,0) dan (1,1,1) b. (1,-1,-i) dan (i,1,2)



7. a). Misal V adalah ruang vektor dari semua matrix n x n atas ℜ, dan didefinisikan produk skalar dari dua matrix A, B dengan < 𝐴, 𝐵 > = 𝑡𝑟 ( 𝐴𝐵 ), dimana tr adalah notasi dari “ trace “ ( jumlah elemen – elemen diagonal ). Tunjukkan bahwa ini merupakan suatu produk skalar dan bahwa ia adalah non-degenerate ! b). jika A adalah matrix simetri real, tunjukkan bahwa tr ( AA ) ≥ 0, dan tr ( AA ) > 0 jika A ≠ 0. Jadi trace menentukan ( merupakan ) produk skalar yang definit positif pada ruang dari matrix – matrix simetri real ! c). Misal V adalah ruang vektor dari matrix – matrix simetri real n x n. Berapa dimensi V ? Berapa dimensi ruang bagian W yang terdiri dari matrix – matrix A sedemikian sehingga tr ( A ) = 0 ? Berapa dimensi dari komplemen ortogonal 𝑊 ⊥ relatif terhadap produk skalar definit positif butir (b) ? 8. Misal V adalah ruang vektor berdimensi m hingga atas ℜ, dengan produk skalar yang definit positif. Misal {𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑚 } adalah himpunan elemen – elemen V, dari norm 1, dan saling tegak lurus ( yaitu : < 𝑣𝑖 , 𝑣𝑗 > = 0 jika i ≠ j. Anggap bahwa untuk setiap v ∈ V berlaku 𝑚 2



∥ 𝑣 ∥ = ∑ < 𝑣, 𝑣𝑖 >2 𝑖=1



Tunjukkan bahwa {𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑚 } adalah basis dari V ! 9. Misal V adalah ruang vektor berdimensi hingga atas ℜ, dengan produk skalar yang definit positif. Buktikan hukum parallelogram, untuk sebarang elemen – elemen v,w ∈ V. ∥ 𝑢 + 𝑣 ∥2 + ∥ 𝑢 − 𝑣 ∥2 = 2 ( ∥ 𝑢 ∥2 + ∥ 𝑣 ∥2 )!