![Materi Tugas Logika Matematika [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/materi-tugas-logika-matematika.jpg)
16 0 180 KB
1 PENYEDERHANAA N OPERASIONAL PENYEDERHANAAN Operasi-operasi penyederhanaan dapat dilakukan dengan menggunakan Tabel
5-1 yang
berisi berbagai hukum logika, baik yang memiliki nama maupun tidak. Perhatikan operasi penyederhanaan berikut ini beserta hukum yang digunakan yang tertulis di sisi kanannya. Penyederhanaan eksposisi logika atau bentuk-bentuk logika ini dibuat sederhana mungkin. Contoh 1 ( A AW ) ( A A ) A(AA)
Zero of
A1
Tautologi
A
Identity
Contoh 2 ( A A ) ( ABC ) ( A A ) A( BC ))
Asosiatif
A ( B (B C ))
Distributif
A (( B B) ( BC ))
Distributif
A (1 ( B C ))
Tautologi
A ( B C )
Identity
Contoh 3 ((A (BC))A(A (B C))) A ((A ( BvC) ( Av ( Bv C)))vA
A 8
( (A ( BvC) v ( Av ( Bv C)))vA
De Morgar’s Law
(( Av ( BvC)) v( Av ( Bv C)))vA
De- Morgan's Law
(( Av( B C)) v ( A ( B C)))v De- Morgan's Law (( Av(B C) v (A (BC)vA
Law of Double N
( Av(B C) v (A(BC))vA
Asosiatif
( Av(B C) v Av(A (BC )
Komutatif
( Av (B C) v (Av(A (BC )))
Asosiatif
( Av (B C) v A
Assorption
Av( Av (B C)
Komutatif
(Av( Av (B C))
Asosiatif
(Av A)
Absorption
1
Tautologi
Contoh 4 ( A B) ((A B) A) ( Av B) v ( ( Av B)v A))
A-B
( A B)v( A B) v A))
De Morgan's Law
( AB)v(A B)v A))
La of Double N
( AB)v(A( A B))
Komutatif
( AB)v( Av ( A B))
Absorption
( AB)v( Av B)
Asosiatif
( Av B) v Av B
komutatif
A ( Av B) v B
Asosiatif
Av B
Absorption
Penyederhanaan akan berhenti pada bentuk ekspresi logika yang paling sederhana, dan sudah tidak mungkin disederhanakan lagi. Ekuivalen-ekuivalen sebenarnya memberikan
aljabar
dari
ekspresi-ekspresi, dan aljabar
tersebut merupakan suatu instance of class (atau type) dari aljabar yang dinamakan Aljabar Boole (Boolean algebras).
Menghilangkan perangkai “DAN” Sudah dibahas di atas, bahwa perangkai dasar sebenarnya hanya , dan . Jadi, semua perangkai, dapat dijelaskan hanya dengan tiga perangkasi dasar atau alamiah tersebut. Dengan demikian, perangkai implikasi (conditional) dan ekuivalen
(biconditional)
diganti dengan perangkai dasar. Untuk perangkai implikasi, dapat digunakan hukum logika pada tabel 5-1: (A B) AvB Sedangkan untuk perangkai ekuivalen, dapat digunakan hukum logika berikut: (2) (A B) (AB)v( A B) (3) (A B) (A B) (B A)
dapat
Contoh 5 Hilangkan tanda dari logika no: 3 di atas! (A B) (A B) (B A) ( AvB) ( AvB)
AB
( AvB) (Av B)
Komutatif
Contoh 6 Hilangkan tanda dan (dari ekspresi logika berikut ini: (A B) C) v ((CD) (BvD)) (( AvB) C) v ((C D) (BvD)) AB (( AvB) C) v (((C D) (D C)) (BvD))
AB
(( AvB) C) v ((( C v D) ( D v C)) (BvD))
AB
(( AvB) C) v (( C v D) ( D v C)) (BvD))
Asosiatif
Sekarang sudah hilang semua perangkat dan dari ekspresi logika yang diinginkan. Tetapi, apakah bentuk logika yang diperoleh masih bisa disederhanakan lagi? Hal ini bisa dicoba dengan hukum-hukum logika. \ Perangkai Cukup Perangkai cukup (sufficiently connected) sebenarnya hanya
ingin
menunjukkan
bahwa
ekspresi atau bentuk logika dengan perangkai apa saja dapat diubah menjadi ekspresi logika dengan memakai apa saja dapat diuba menjadi eskpresi logika dengan memakai perangkai dasar atau perangkai ilmiah, yakni , dan . Bahkan ekspresi logika dengan perangkai dapat diubah menjadi dan , dan bentuk logika dengan perangkai dapat diubah dengan memakai perangkai dan . Perhatikan contoh berikut :
Contoh 7 (A A) Av A
De Morgan’s Law
AvA
Law of Double Negation
Sampai di sini sudah terbukti, tetapi masih dapat disederhanakan : 1
Tautologi
Contoh 8 (Av A) A A
De Morgan’s Law
AA
Law of Double Negatio
Untuk contoh dengan perangkai dan dapat dilihat pada tebel 5-1 Sekarang bagaimana dengan perangkai Nand dan Nor yang tabel kebenarannya telah dibahas pada Bab 2 di atas? Apakah memang kedua perangkai tersebut perangkai cukup dan dapat dijelaskan hanya dengan , dan . ? Kita mulai dengan perangkai Nand – yang sebenarnya juga dapat ditulis (AB) -dengan membuat tabel kebenaran seperti berikut : A
A
A A
A
F
F
T
T
T
T
F
F
Tabel 1 kebenaran A/A dan A
Perhatikan tabel kebenaran tersebut, hasilnya ternyata : AA A Lalu lihat tabel kebenaran berikut ini : A
B
A B
(AB)(AB)
AB
F
F
T
F
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
F
T
T
F
T
T
Tabel 2 tabel kebenaran (AB)(AB) dan AB
Hasilnya ternyata : (AB)(AB) AB Dengan demikian perangkai Nand tergologn perangkai cukup, karena ia dapat dijelaskan denan perangkai dasar. Selanjutnya perangkai Nor yang sebenarnya dapat ditulis (AvB) apakah benar ia juga merupakan perangkai cukup. Lihat tabel kebenaran berikut ini: A
A
AA
A
F
F
T
T
T
T
F
F
Tabel 3 tabel kebenaran AA dan A Perhatikan tabel kebenaran tersebut, hasilnya : AA A Lalu lihat tabel kebenaran berikut ini :
A
B
AB
(AB) (AB)
AvB
F
F
T
F
F
F
T
F
T
T
T
F
F
T
T
T
T
F
T
T
Tabel 4 tabel kebenaran (AB) (AB) dan AvB Hasilnya ternyata : (AB) (AB) AvB Jadi, sebenarnya perangkai Nor juga perangkai cukup, karena ia juga dapat dijelaskan denan perangkai dasar. Bahkan ternyata perangkai Nand ekuivalen dengan perangkai Nor seperti yang dibuktikan dengan tebel kebenaran berikut : A
A
AA
A A
F
F
T
T
T
T
F
F
Tabel 5 tabel kebenaran AA dan A A Atau ternyata hasilnya cukup mengejutkan : AA A A Tetapi, bagaimana jika AA A A, apakah memang benar terbukti dengan tabel kebenaran?
STRATEGI PEMBALIKAN Sebelum membahas strategi pembalikan akan dibahas dahulu tentang konsistensi ekspersiekspersi logika yang berupa pernyataan. KONSISTENSI Table kebenaran memang sangat bermanfaat untuk membuktikan validasi ekspresi logika. Tetapi masalahnya table kebenaran memerlukan tabel yang sangat besar untuk menyelesaikan ekspresi logika yang memiliki banyak variasi proposisional. Kelemahan lain nya terletak pada logika proposisional, yang tidak bias menangani kerumitan bahasa yang dipergunakan sehari-hari walaupun untuk yang sederhana sudah cukup. Bahasa yang cukup rumit akan di tangani oleh logika preduktif. Contoh 1 Rani anak pintar jika rajin belajar.orang tua rani senang jika rani pintar. Rani juara kelas. Orang tua rani senang. Pernyataan di atas disebut konsistensi satu dengan lainnya. Jika semuanya bernilai benar. Variable : 1. A→B 2. B→¬C 3. A ( A → B ) ^ ( B → ¬C ) ^ A ^ C A
B
C
A→B
¬C
B→¬C
T
T
T
T
F
F
F
T
T
F
T
T
T
F
T
F
T
F
F
T
F
T
F
F
F
T
T
F
F
T
T
T
F
F
F
F
T
F
T
T
T
F
F
F
T
T
F
T
F
F
F
F
T
T
T
F
Perhatikan tidak ada satu ekspersi logika (A → B) (B→C) ,A. dan C yang mempunyai nilai T pada deretan yang sama sehingga hasilnya juga dipastikan F jadi kumpulan pernyataan tersebut tidak konsisten Contoh 2: Jika Kampus mengadakan acara, maka mahasiswa akan hadir jika banyak pengisi acara yang menghibur. Sehingga varibelnya terdiri dari : 1. Jika Kampus mengadakan acara maka banyak pengisi acara yang mengibur 2. Dengan demikian, jika kampus mengadakan acara maka akan banyak mahasiswa yang hadir. Validasi argumen diatas harus dibuktikan dengan tbale kebenaran. Yang akan membuktukan premis bernilai T dengan kesimpulan bernilai T, akan menghasilkan nilai T. Langkah 1: A = Kampus mengadakan acara B = Banyak pengisi acara C = Banyak mahasiswa yang akan dating
Langkah 2: 1. A → (¬C → B) 2. A → ¬C 3. A → B Langkah 3: Menyusun ekspresi logika menjadi satu kesatuan. Untuk argumen, cara menulis ekprsi logika ada beberapa : 1. ((A → (¬C → B)) ˄ (A → ¬C)) → ( A → B) 2. { A → (¬C → B), A → ¬C} |= A → B Untuk membuat table kebenaran sebaiknya pakailah penulisan ke 1 agar penyusunan kedalam table kebenaran lebih mudah. Operasi Strategi Pembalikan Setiap pembalikan dilakukan dengan cara menyalahkan kesimpulan argumen,yakni: 1. Menegasikan Kesimpulan 2. Memberi nilai F
Seperti yang dibahas sebelum nya argumen disebuy valid jika premis-premis benar kesimpilan benar, agar aegumen juga benar. Dengan strategi
pembalikan
dan
muncul perlawanan
(opposite) dari kesimpulan yang tidak cocok atau tidak konsisten(inconsistency) dengan premispremis jadi premis nya bernilai T sedangkan kesimpulannay bernilai F. Dengan stretegi pembalikan contoh argumen tentang masalh harga gula di atas kesimpulan akan dinegasikan dan akan ditulis seperti berikut : 3. ((A → (¬C → B)) ˄ (A → ¬C) ˄ → ¬( A → B)
Table kebenaran : A
B
C
¬C
¬C→B
A→(¬C
→ (A→¬C) (A→B) ¬(A→B) E
B) F
F
F
T
F
T
T
T
F
F
F
F
T
F
T
T
T
T
F
F
F
T
F
T
T
T
T
T
F
F
F
T
T
F
T
T
T
T
F
F
T
F
F
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
T
F
F
T
F
T
T
F
T
T
T
T
T
F
F
T
T
T
F
T
T
F
T
F
F
Tabel 1
E : ((A → (¬C → B)) ˄ (A → ¬C) ˄ → ¬( A → B Ternyata hasilnya negasi dari kesimpulan tidak konsisten dengan premis-premis atau hasilnya F disini terjadi kemungkinan bahwa negasi dari kesmipulan bernilai T bersamasama dengan premis-premis maka karena hasilnya F namun
dengan
adanya
strategi
pembalikan menyebabkan hasilnya bernilai T dan tentu saja ini berarti argumen di atas valid. Sebenarnyaa jiak hanya mencari premis-premis yang bernilai T bersama kesimpulan yang juga bernilai T untuk mendapatkan hasil berniali T tidak perlukan seluruh
table
kebenaran cukup dnegan menemukan pasangan dari variable proposional yang akan menghasilkan nilai T bersma kesimpulan maka pasti argumen tersebut valid teknik ini disebut model.
MODEL Teknik model berusaha mencari premis-premis dan kesimpulan dan kesimpulan berupa ekspresi logika yang bernilai T yang hasilnya tentu T diperoleh dari berbagai digunakan strategi pembalikan dengan memberi nilai F pada kesmipulan padahal
kemungkinan, maka
premis-premis harus tetap bernilai T . Hal ini menyebabkan hasilnya juga pasti F. Lihat contoh tentang harga gula di atas dengan penulisan berikut : {A → (¬C → B), A → ¬C} |= A → B Dan ditulis seperti berikut : (A → (¬C → B)) ˄ (A → ¬C) ˄ → ¬( A → B) Maka akan diberi nilai seperti berikut : 1. (A → (¬C → B))= T
(premis 1)
2.
=T
(premis 2)
=F
(kesimpulan)
(A → ¬C)
3. ( A → B)
Setiap premis dan kesimpulan serta variable proposional pasti mempunyai nilai dan tulis : V (A → ¬C) = T dan seterusnya V berarti “Value of atau nilai dari” Adapun aturan-aturan yang dipakai dalm penarikan kesimpulan yaitu sebagai berikut:
Modus Ponen
Modus Tollen Simplifikasi Konjungsi
Hypotetical Syllogism
p⇒q P ∴q p⇒q ~q ∴~p p∧q ∴p P Q ∴p∧q p ⇒q q⇒r ∴p ⇒ r
Disjucktive Syllogism
Constructive Dilemma
Destructive Dilemma
Addition (Add)
Table 2
p∨q ~p ∴q p⇒q r⇒s p∨r ∴q ∨ s p⇒q r⇒s ~q ∨ ~s ∴~p ∨ ~r p ∴p ∨ q
Berikut ini contoh dari aturan penarikan kesimpulan diatas: Contoh 1: 1. Buktikan bahwa argument berikut valid ! Jika lampu akan padam, suasana akan gelap. Jika suasana gelap, aktivitas akan terganggu. Lampu padam. Jadi, aktivitas tertunda. Misal : p : lampu padam q : aktivitas terganggu r : aktivitas tertunda Simbol untuk argument di atas adalah sebagai berikut: p⇒q q⇒r p ∴r Proses pembuktian validitas argument di atas adalah sebagai berikut: 1. 2. 3. 4. 5.
p⇒q q⇒ p q r
Pr r Pr Pr / ∴r 1,3 MP 2,4 MP
TABLO SEMANTIK
Tablo Semantik Tablo semantik penggunaannya berbasis pada strategi pembalikan. Strategi pembaalikan pada tablo semantik dilakukan dengan cara memberi negasi pada kesimpulan dan memeriksa hasil yang diperoleh. Sama seperti cara strategi pembalikan, yang menjadi patokan adalah apakah kesimpulan yang bernilai F dapat diperoleh dari premis-premis yang bernilai T. Jika tidak bisa, maka argumen disebut valid. Maka bagaimanapun premis-premis yang bernilai T haruslah menghasilkan kesimpulan yang bernilai T juga. Tablo semantik sebenarnya merupakan bentukbentuk proposisi yang dibangun berdasarkan aturan-aturan tertentu, yang biasanya berbentuk pohon terbalik dengan cabang-cabang dan ranting-ranting yang relevan. Aturan – Aturan Tablo Semantik Aturan-aturan tablo semantik adalah sebagai berikut: Aturan (1) : A ^ B A^B A B Jika tablo berisi A^B , maka tablo dapat dikembangkan menjadi tablo baru dengan menambahkan A dan B pada tablo A ^ B. Bentuknya seperti berikut: Aturan (2) : A ˅ B Jika tablo berisi A v B maka dapat dikembangkan menjadi bentuk tablo baru dengan menambahkan dua cabang baru. Satu berisi A dan satunya adalah B seperti berikut:
AVB
A
B
Berikut ini aturan-aturan lain dalam bentuk diagram. Penjelasan tentang setiap aturan dan alasannya akan dijelaskan nanti. Aturan (3): A → B
A→B
¬A
B
Aturan (4): A ↔B
A↔B
A ^B
¬A ^ ¬ B
Aturan(5): ¬ ¬ A ¬¬ AA
Aturan(6): ¬ (A ^B) ¬ (A ^ B)
¬A
¬B
Aturan (7) : ¬ (A v B )
¬ (A v B) ¬A ¬B Aturan (8) : ¬ (A → B)
¬ (A → B) A ¬B
Aturan (9) : ¬ (A ↔ B) ¬ (A ↔ B)
A^¬B
¬A^B
Aturan(10): Jika ada bentuk logika A dan negasinya (¬A) yang berada pada satu deretan cabang dari tablo, maka terjadi ketidakkonsistenan pada cabang tersebut tidak bisa dikembangkan lagi. Hal ini disebabkan karena A dan ¬A tidak mungkin benar secara bersama-sama pada satu saat tertentu. Sehingga dapat disimpulkan bahwa jika semua cabang dari tablo tertutup, maka ekpresi
logika tersebut disebut bersama-sama tidak konsisten atau mereka tidak bisa bernilai benar bersama-sama.
Tablo Semantik dalam Himpunan Ekspresi Logika Contoh 1 : Apakah ekpresi logika ini konsisten bersama sama: ¬ (A → B) dan ¬ A v B
Dibuat tablo semantik seperti berikut: (1)
¬ (A → B)
(2)
¬AvB
Aturan (2) pada (2)
¬ AB │
│
A
A
¬B
¬B
Tutup
Tutup
At ran (8) pada (1)
Perhatikan bahwa dua cabang dari tablo di atas tertutup, karena cabang sebelah kiri berisi A dan ¬ A dan cabang sebelah kanan berisi B dan ¬ B. Jadi, kesimpulannya adalah tidak konsisten bersama-sama.
Pembenaran Aturan Tablo Aturan tablo dapat dipandang sebagai aturan dari sistem deduktif atau sistem pembuktian, yang tak perlu ditafsirkan pada konteks lainnya. Aturan tablo sangat sintaksis, seperti memainkan suatu permainan, misalnya catur. Tinggal menuruti peraturan yang ada, misalnya menjalankan plon, menteri dan sebagainya. Maka jalanlah permainan catur tersebut. Namun pada tablo tak ada penafsiran lebih dahulu bahwa premis-premis benar dengan kesimpulan saalah seperti pada strategi pembalikan pada model. Tablo hanya menegasi kesimpulannya saja tanpa mempedulikan premis-premis. Meskipun demikian, aturan tablo sangat beralasan dan realistis, karena sebenarnya ia berbasis pada aturan hukum logika. Sekarang perhatikan satu demi satu aturan tersebut: Aturan (1) : A ^ B A^B A B Aturan ini menunjukan bahwa jika (A^b) adalaah benar, maka A dan B juga bernilai benar. Maka cabang tablo untuk ekpresi ini juga benar bersama-sama. Aturan (2) : AvB AvB
A
B
Aturan ini menunjukan bahwa jika (Av B) adalah benar, maka dapat A benar atau B juga benar. Maka satu cabang tablo harus menunjukan hal ini, atau ada konsistensi disini.
Aturan (3): A → B A→B
¬A
B
Dari hukum logika sudah diketahui (A→B) ≡ ¬ A v B. Maka dapat diaplikasikan sama seperti hukum nomor (2). Tablo Semantik pada Argumen Tablo semantik juga dapat diimplementasikan pada pembuktian viliditas suatu argumen. Lihat contoh berikut: Contoh 2: Perhatikan argumen berikut : Jika Sandi menyontek saat ujian, maka guru akan datang jika pengawas tidak lalai. Jika Sandi menyontek saat ujian, maka pengawas tidak lalai. Dengan demikian, jika Sandi menyontek, maka guru akan datang. Apakah argumen diatas valid, atau apkah kesimpulan (pernyataan 3) secara logis mengikuti premis-premisnya . (pernyataan 1 dan 2)? Sekali lagi anda dapat menggunakan strategi pembalikan dengan cara menegasi kesimpulan untuk menemukan bahwa kesimpulannya tidak konsisten dengan premis-premis. Tablo semantik memakai teknik strategi pembalikan dengan menegasi pembalikan. Lihat tahap-tahap pembuktian berikut ini: Langkah 1 Membuat variabel proposisional seperti berikut: A = Sandi mencontek saat ujian B = Guru akan datang
C = Pengawas tidak lalai Langkah 2 Menyusunnya menjadi ekspresi logika : (1) A → ( ¬C → B )
(premis)
(2) A → ¬C
(premis)
Jadi, (3) A → B
(kesimpulan)
Jika ditulis, akan menjadi seperti berikut:
{ A→(¬C→B), A→¬C } │= A→B
Langkah 3 Menyusunnya menjadi deretan, lalu dibuat tablo dengan menegasi kesimpulan menjadi ¬(A → B). Maka penulisan di atas akan menjadi:
(A→(¬C→B)) ^ (A→¬C ) ^ ¬(A→B) Berikutnya menyusunnya menjadi urutan seperti berikut: (1)
(A→(¬C→B)
(2)
A→¬C
(3)
¬(A→B)
Langkah 4 Buatlah tablonya sepeeti berikut (jangan lupa ikutilah heuristik pembuatan tablo untuk mengefisienkan pencabangan tablo).
(1)
A→(¬C→B)
(2)
A→¬C
(3)
¬(A→B) │ A
(4)
Aturan (8) pada baris (3)
¬B ¬A
(5) (6)
¬C
Aturan (3) pada baris (2)
Tutup ¬A Tutup
(7)
¬C→B
¬¬C
Aturan (3) pada baris (1)
B
Aturan (3) pada baris (6)
Tutup │ (8)
C
Aturan (5) pada baris
(7) Tutup Perhatikan bahwa seluruh tablo ternyata tertutup, dan hal ini berarti terjadi ketidakkonsistenan pada seluruh argumen. Karena ada strategi pembalikan dengan memberi negasi pada kesimpulan. Maka dapat disimpulkan bahwa premis-premis tersebut benar dan kesimpulan tidak benar (karena negasi). Dengan demikian, sebenarnya kesimpulannya adalah benar dan argumen tersebut valid. Contoh 3 Buktikan validitas argumen berikut ini: Ade dan Indah pergi kepesta. Jika Indah pergi ke pesta, maka Tiwi pergi ke pesta, jika tidak Wiega pergi ke pesta. Wiega pergi ke pesta jika Ade tidak pergi ke pesta. Dengan demikian, Tiwi pergi ke pesta.
Langkah 1 Membuat variabel proposisional seperti berikut: A = Ade pergi ke pesta B = Indah pergi ke pesta C = Tiwi pergi ke pesta D = Wiega pergi ke pesta Langkah 2 Menyusunnya menjadi ekspresi logika: (1) AvB
(premis)
(2) B →(¬D→C)
(premis)
(3) ¬A→D
(premis)
Jadi, (4) ¬C
(kesimpulan)
Jika ditulis, akan menjadi seperti berikut: { AvB, B→(¬D→C), ¬A →C } │= C
Langkah 3 Menyusunnya menjadi deretan dan dibuat tablo dengan menegasi kesimpulan menjadi ¬C. Maka penulisan diatas menjadi :
( AvB ) ^ (B→(¬D→C)) ^ (¬A →C) ^ ¬C Lalu disusun menjadi urutan seperti berikut ; (1)
AvB
(2)
B →(¬D→C)
(3)
¬A→C
(4)
¬C
Langkah 4 Buatlah tablonya seperti berikut (jangan lupa ikutilah heuristik pembuatan tablo untuk mengefisienkan pencabangan tablo). (1)
AvB
(2)
B →(¬D→C)
(3)
¬A→C
(4)
¬C
(5)
A
(6)
¬ ¬A
B C
│ (7) (8)
C
Aturan (3) pada (3)
│
A ¬B
¬ ¬A
Aturan (2) pada (1)
A ¬B→C
Aturan (3) pada (2)
Cabang tablo ini pasti tidak tertutup Karena cabang tidak tertutup sehingga dapat dikatakan bahwa argument bernilai valid, karena cabang yang terbuka membuktikan bahwa terjadi kekonsistenan antar premis
