133 63 19 MB
Pashto Pages [144]
د افغانستان اس م جمهوريت د وهن وزارت د تعل م نصاب د راخت ا لو رياست
100 90
15
80
10
70 60°C
5
60 50
–4°C
40
0 –5
30 20 10°C
15
10
10
0 –10°C
–10
10°C
5
–20 –30°C
0
–30
–5
درسي کتابونه د پوهن 3په وزارت پورې اړه لري ،پيرودل او پلورل ي 3منع دي. [email protected]
10 11 12 13 1398
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
رﻳاضﻲ ٧ !ـﻮلگﻰ (د دﻳﻨﻲ مدارسﻮ لپاره)
1398 ﻫـ .ش.
اﻟﻒ
مؤلف: پوهنيار عبيداهلل صافى د ښوون 3او روزن 3د وزارت د درسي کتابونو د تاليف د پروژې د رياضياتو متخصص مسلکﻲ اډﻳ"ﻮر حبيب اهلل راحل د پوهن 3وزارت مشاور ،د تعليمي نصاب د انکشاف او د کتابونو دتاليف په رياست ک.3 سرمؤلف عبدالکبير د رياضياتو د ديپارتمنت علمي غ7ی. پوهنيار عبيداهلل صافى د ښوون 3او روزن 3د وزارت د درسي کتابونو د تاليف د پروژې د رياضياتو متخصص د ژب 3اډﻳ"ﻮران محمد قدوس (زکوخيل) د تعليمي نصاب د پراختيا د رياست علمي غ7ی
دﻳﻨﻲ ،سﻴاسﻲ او فرﻫﻨ/ﻲ کﻤﻴ"ﻪ: حبيب اهلل راحل د پوهن 3وزارت سالکار د تعليمي نصاب په رياست ک3 -محمد اصف کوچی د اسالمي زده ک7و د ديپارتمنت متخصص
إﺷراف -دکتور شير علي ظريفي د تعليمي نصاب د پراختيا د پروژې رئيس.
ب
ج
ملﻲ سرود
د
دا وطﻦ افغاﻧستـــان دى
دا عزت د ﻫـــر افغـــان دى
کﻮر د سﻮل 3کﻮر د تﻮرې
ﻫر بچی ﻳ 3قﻬرمـــــان دى
دا وطﻦ د !ﻮلﻮ کـﻮر دى
د بلﻮ'ــــﻮ د ازبکـــــــــــﻮ
د پ+تــــﻮن او ﻫزاره وو
د ترکﻤﻨــــﻮ د تاجکــــــــــﻮ
ورسره عرب- ،ﻮجــر دي
پامﻴــرﻳان ،ﻧﻮرستاﻧﻴــــــان
براﻫﻮي دي ،قزلباش دي
ﻫم اﻳﻤـــاق ،ﻫم پشـــﻪ 4ان
دا ﻫﻴـــﻮاد بﻪ تل $لﻴ8ي
لکــﻪ لﻤــر پر شﻨﻪ آسﻤـــان
پﻪ سﻴﻨــﻪ ک 3د آسﻴـــا بﻪ
لکـــﻪ زړه وي جــاوﻳــدان
ﻧﻮم د حق مﻮ دى رﻫبـــر
واﻳﻮ اهلل اکبر واﻳﻮ اهلل اکبر
بسم اهلل الرحﻤﻦ الرحﻴم
د پﻮﻫﻨ 3د وزﻳر پﻴغام الحمداهلل رب العالمين والصلوة والسالم علی نبيه و رسوله محمد و علی آله و اصحابه اجمعين اما بعد: د پوهن 3تعليم 3نصاب د ښوون 3او روزن 3د نظام بنسټ جوړوي او د هيواد د اوسنيو او راتلونکو نسلونو په علمي ،فکري او سلوکي ودې او پراختيا ک 3بنسټيز او ارزښتمن رول لري. تعليمي نصاب بايد د وخت په ت5ر4دو او د ژوندانه په ب5الب5لو ډ-رونو ک 3له بدلون او پرمخت, او د ټولن 3له اړتياوو سره سم ،هم د مضمون او محتوا او هم د معلوماتو د ورک7ې د الرو چارو له مخ ،3بدلون او پراختيا ومومي. د تعليمي نصاب په ډ-ر ک 3يو هم د اسالمي زده ک7و نصاب دی چ 3بيا کتن 3او ودې ته 34جدي اړتيا ليدل ک5ده؛ ځکه له يوې خوا بايد د ديني مدرسو فارغان د ټولن 3د معنوي مخکښانو په تو-ه د معارف د هڅو د پوره پام وړ و-رځي او له بل 3خوا د ديني مدرسو په نصاب ک 3د اسالم د سپ5څلي دين عقايد ،احکام او الرښوون 3راغل 3دي چ 3د انساني ژوند د ټولو اړخونو بشپ 7نظام او قانون او د ن7ۍ د خالق او پرود-ار د وروستني پيغام په تو-ه د قيامت تر ورځ 3پورې ،د بشريت د الرښوون 3دنده سرته رسوي. د اسالمي امت عالمانو د تاريخ په اوږدو ک 3د اسالمي معارف او د اسالمي تعليماتو د سيستم په رامنځته کولو ،پراختيا او ب6اينه ،په ت5ره بيا د اسالمي ن7ۍ د علمي مرکزونو او مؤسسو د تعليمي نصاب په تدريجي وده ک ،3خپله دنده سرته رسول 3ده. د اسالمي علومو تاريخ ته کره کتنه ،دا څر-ندوي چ 3د ديني مدرسو او علمي مرکزونو نصاب تل د اسالم د تلپات 3او ثابتو احکامو پر بنسټ ،د ټولن 3له اړتياوو سره سم ،هر وخت او هر ځای پراختيا موندل 3ده. زموږ گران هيواد افغانستان د علمي ځالنده تاريخ په درلودلو سره د علم او پوه 3زان/و او د وخت لوی علمي مرکز و چ 3د اسالمي ستر تمدن په جوړښت ک 3ي 3مهم رول درلود. ﻫـ
د علم او فرهنگ په مختلفو ډ-رونو ،په ځانگ7ې توگه د عقايدو ،تفسير ،حديث ،فقه 3او د فقه 3د اصولو په څ5ر په شرعي علومو ک 3د زر-ونو پوهانو او عالمانو شتون ،زموږ ددې وينا پخلی کوي. په اوسني عصر ک 3د اسالمي ويښتابه له پراختيا سره سم زموږ په ه5واد ک 3اسالمي زده ک7و د څومره والي او څرن/والي له مخ 3زيات بدلون موندلی او د ه5واد کوچنيان او ځوانان په ډ4ره مينه او ليوالتيا د اسالمي زده ک7و مرکزونو او مدرسو ته مخه کوي. د افغانستان د اسالمي جمهوريت د پوهن 3وزارت د خپل مسؤوليت او دندې له مخ 3د ه5واد له اساسي قانون سره سم د اسالمي زده ک7و د کيفي او کمي پراختيا او په هغ 3ک 3د اسالمي زده ک7و د نصاب په اړه د پام وړ -امونه پورته ک7ي دي. په دې ل 7ک 3د پوهن 3وزارت ،د ه5واد د ډاډ وړ تجربه لرونکو عالمانو ،استادانو او متخصصانوڅخه په بلنه د ديني مدرسو د تعليمي نصاب ،د ال ښه کولو لپاره ،مروج کتابونه ،د متنونو د شرح 3او توضيح او د فعاليتونو ،ارزونو او تمرينونو په ورزياتولو د درسي کتابونو له نويو معيارونو سره سم چمتو ک7ل. هيله من يم ،د پوهن 3وزارت د عالمانو او متخصصانو د ستاين 3وړ دا هڅ ،3په افغانستان ک 3د اسالمي زده ک7و د ال پراختيا او ب6اين 3او د لوی خدای جل جالله د رضا د ترالسه کولو المل شي. وبااهلل توفيق دکتور محمد ميرويس بلخي د پوهن 3وزير
و
مقدمﻪ قدرمﻨﻮ استاداﻧﻮ او -راﻧﻮ زده کﻮوﻧکﻮ، رياضي چ 3د طبيعي علومو ژبه ده ،د طبيعت قوانين د فورمولونو په شکل وړاندې کوي او په عددونو او مقدارونو پورې اړوند مسايل د حساب په ژبه بيانوي. و7-ي په خپل ورځني ژوند ک 3دې علم ته اړتيا لري ،د ساينسي علومو لپاره د ِکلِي حيثيت لري ،د طبيعت زيات قوانين د رياضي د علم په ژبه بيان85ي ،د رياضي علم ته د شرعي مسايلو په حل ک 3هم اړتيا ده ،د ميراث د ويش ،د ځمکو د و4ش په مهال د هغو د مساحت پ5ژندل، د شريکانو د حقوقو پ5ژندل او په داس 3نورو ډ4رو برخو ک 3له رياضي څخه کار اخيستل ک85ي. نو د دې لپاره چ 3زمون 8د شرعي مدارسو فارغان اړين 3وړتياوې ولري ،د ژوند ورځني مسايل چ 3په رياضي پورې اړوند وي حل ک7اى شي ،د ميراث ،مشارکت ،د مالونو د و4ش په مسايلو او د ساينسي مضامينو په محتوا وپوه85ي ،د افغانستان د اسالمي جمهوريت د پوهن 3وزارت د تعليمي نصاب د پراختيا عمومي رياست ،د رياضي اړين مسايل د شرعي مدارسو په نصاب ک 3ځای په ځای ک7ل. په دې تو-ه چ 3د دې برخ 3د زده کوونکو بنسټيزو اړتياوو ،راتلونکي تخصص او په تعليمي پالن ک 3د رياضي د مضمون لپاره ټاکل شوي وخت ته په پام 34د رياضي د علم ضروري مسايل د نصاب ليکن 3د معاصر فن په نظر ک 3نيولو سره په اسانو او اغيزمنو طريقو تاليف ک7ل ،تر څو د شرعي مدارسو فارغان د ديني علومو تر څن ,ځين 3اړين دنيوي علوم هم زده ک7ي ،ظرفيتونه ي 3لوړ شي او په ټولنه ک 3د فعال -ټور او اغ5زمن رول لوبولو لپاره وړتياوې تر السه ک7ي. واهلل ولى التوفيق
ز
ل7لﻴک
مــــخ
لﻮم7ى 'پرکﻰ(س) د سټ مفهوم3.................................................................................................. د سټ دليکلو طريق7.........................................................................................3 مساوي او معادل سټونه فرعي سټ........................................................................... د سټونو تقاطع او اتحاد11...................................................................................... د دوو سټونو تفاضل او د يو سټ مکمله13.................................................................... د لوم7ي څپرکي لن6يز او پوښتن15............................................................................3 دوﻳم 'پرکﻰ (طبﻴعﻲ عددوﻧﻪ) د طبيعي عددونو د عمليو خاصيتونه1 ........................................................................ د طبيعي عددونو تجزيه21...................................................................................... طاقت25........................................................................................................ د طاقت د عمليو خاصيونه27.................................................................................. تر ټولو لوى مشترک قاسم ،او د تجزي 3په مرسته د تر ټولو لوى مشترک قاسم پيدا کول2 ................... تر ټولو کوچنى مشترک مضرب31............................................................................. تجزي 3په واسطه د تر ټولو کوچنى مشترک مضرب پيدا کول او د ورځني ژوند د مسايلو په حل ک 3د کوچني
مشترک مضرب د استعمال ځايونه33.............................................................................. د دوو عددونو د تر ټولو لوى مشترک قاسم او کوچني مشترک مضرب تر متځ اړيک35.....................3 د يو طبيعي عدد مربع او د عدد پوره مربع جذر او د عددونو د مربع جذر پيدا کول د تجزي 3او عمومي طريق 3په مرسته37........................................................................................................ د طبيعي عددونو تام مکعب(دريم) جذر3 .................................................................... د دويم څپرکي لن6يز او پوښتن41.............................................................................3 درﻳم 'پرکﻰ (تام عددوﻧﻪ) تام عددونه او د تامو عددونو ښودنه د عددونو پر محور باندې47............................................... د يو تام عدد مطلقه قيمت او د تامو عددونو د جمع ،3تفريق ،ضرب او ويش عملي4 .....................3 د حسابي افادو قيمت پيدا کول63.............................................................................. د دريم څپرکي لن6يز او پوښتن65.............................................................................3
ح
'لﻮرم 'پرکﻰ:ﻧسبتﻲ عددوﻧﻪ د عدونو پر محور باندې د نسبتي عددونو ښودل6 ................................................... د نسبتي عددونو پرتله کول71......................................................................... د نسبتي عددونو د جمع ،3تفريق ،ضرب او ويش (تقسيم) عملي73...............................3 د نسبتي عددونو بدلول په اعشاري عددونو باندې77.................................................. د څلورم څپرکي لن6يز او پوښتن7 ..................................................................3 پﻨ%م 'پرکﻰ(مثلثﻮﻧﻪ او 'ﻮ ضلعﻲ(مضلع گاﻧ)3 د ضلعو او زاويو له پلوه د مثلث ډولونه3............................................................. د مثلث ارتفاع ،ميانه ،او ناصف الزاويه5............................................................ د مثلث خارجي زاويه او د مثلث د داخلي زاويو مجموعه7......................................... مضلع گان(3مضلع...............................................................................)3 د يوې مضلع د داخلي زاويو مجموعه1.............................................................. د يوې مضلع د خارجي زاويو مجموعه3............................................................ انطباق منوونکي شکلونه5........................................................................... د مثلثونو د انطباق منن 3حالتونه7.................................................................... د پنځم څپرکي لن6يز او پوښتن101..................................................................3 شپ8م 'پرکﻰ (مﻮازي او عﻤﻮد خطﻮﻧﻪ)107 ........................................... داخلي او خارجي متبادل 3زاوي10 .................................................................3 د دوو مستقيمو خطونو د موازيتوب څ75نه ،کله چ 3متبادل 3زاوي 3سره مساوي وي111............ متوافق 3زاوي113....................................................................................3 د يوقاطع مستقيم خط يوې خوا ته داخلي متمم 3زاوي115.........................................3 څلور ضلعي گان(3متوازي االضالع ،مستطيل ،مربع ،معين او ذوزنقه)117......................... د متوازي االضالع مخامخ (مقابل )3زاوي11 .......................................................3 د يوې څلور ضلعي باندينی زاوي121................................................................3 د متوازي االضالع د قطرونو خاصيتونه123.......................................................... د مستطيل د قطرونو خاصيتونه125................................................................... د معين(لوزي) د قطرونو خاصيتونه127............................................................... د شپ8م څپرکي لن6يز او پوښټن١٢٩ ................................................................3
ط
لـومړى څپرکى
سـټ
د سټ مفهوم ()Concept of a Set
آﻳا کﻮﻻى شئ وواﻳئ چ 3وزه د اﻫﻠﻲ حﻴﻮاﻧاتﻮ پﻪ س ک 3شاﻣﻠﻪ ده کﻪ ﻧﻪ؟
د ﻳﻮ شﻤ5ر ﻣشخﺼﻮ شﻴاﻧﻮ ﻣجﻤﻮﻋﻲ تﻪ س واﻳﻲ' ،ﻪ شی چ 3پﻪ س ک 3ﻣﻮجﻮد وي ،د س د ﻋﻨا請رو پﻪ ﻧاﻣﻪ ﻳادﻳ8ي ،د س ﻋﻨا請ر د { } ﻋﻼﻣ 3پﻪ ﻣﻨ #ک 3ﻟﻴکﻞ کﻴ8ي او د ( )،ﻋﻼﻣ 3پﻪ واسﻄﻪ ﻳﻮ ﻟﻪ بﻠﻪ جﻼ کﻴ8ي .س"ﻮﻧﻪ د ﻟﻮﻳﻮ تﻮرو او ﻋﻨا請ر ﻳ 3د کﻮچﻨﻴﻮ تﻮرو پﻪ واسﻄﻪ *ﻮدل کﻴ8ي ﻟکﻪ } A = {e, f , gاو } B = {a , b, c, dاو داس 3ﻧﻮر. 'رﻧ/ﻪ چ 3د eتﻮرې د Aپﻪ س ک 3شاﻣﻞ دی ،ﻧﻮ داس 3ﻟﻴکﻞ کﻴ8ي e Aﻟﻴکﻦ د hتﻮرې د Aپﻪ س ک 3شاﻣﻞ ﻧﻪ دی ،ﻧﻮ ﻟﻴکﻮ چ h A 3ﻫﻐﻪ س چ 3ﻋﻨا請ر ﻳ 3د شﻤ5رﻟﻮ وړ و ي د ﻣﻌﻴﻦ س پﻪ ﻧاﻣﻪ ﻳادﻳ8ي او کﻪ د ﻳﻮ س ﻋﻨا請ر د شﻤ5ر وړ ﻧﻪ وي ،ﻧﻮ دې ډول س تﻪ ﻏﻴر ﻣﻌﻴﻦ س وﻳﻞ کﻴ8ي د ﻣثال پﻪ ډول A = {1,3,5,7,9} :ﻳﻮ ﻣﻌﻴﻦ س ،خﻮ } IN = {1,2,3...ﻳﻮ ﻏﻴر ﻣﻌﻴﻦ س دی. لومړی مثال: پﻪ ﻻﻧدې راک7ل شﻮو س"ﻮﻧﻮ ک 3کﻮم ﻳﻮ ﻣﻌﻴﻦ او کﻮم ﻳﻮ ﻏﻴر ﻣﻌﻴﻦ س دى؟ {د 6د ﻋدد ﻣﻀربﻮﻧﻪ} = B
،
{د اﻧگﻠﻴسﻲ ژب 3تﻮري} = A
حل: د Aس ﻳﻮ ﻣﻌﻴﻦ س دى$ ،کﻪ چ 26 3ﻋﻨا請ر ﻟري ،خﻮ د Bس ﻳﻮ ﻏﻴر ﻣﻌﻴﻦ س دى، $کﻪ چ 3د 6ﻣﻀربﻮﻧﻪ شﻤ5رﻻى ﻧﻪ شﻮ.
3
ﻳا { }ﻋﻼﻣ 3پﻪ ﻣرستﻪ
ﻫﻐﻪ س چ 3ﻫﻴ& ﻋﻨﺼر و ﻧﻪ ﻟري د تش(خاﻟﻲ) س پﻪ ﻧﻮم ﻳاد84ي او د *ﻮدل ک85ي. کﻮﻻى شﻮ س"ﻮﻧﻪ د ﻣختﻠﻔﻮ شکﻠﻮﻧﻮ پﻪ ﻣرستﻪ و*ﻴﻮ چ 3د وين دياگرام پﻪ ﻧاﻣﻪ ﻳاد4ـ8ي. د ﻣثال پﻪ ډول کﻪ Aد اووم !ﻮﻟ/ﻲ د زد کﻮوﻧکﻮ س B ،د اووم !ﻮﻟ/ﻲ د ﻫﻐﻪ زده کﻮوﻧکﻮ س وي چ 3د واﻟﻴبال او Cد اووم !ﻮﻟ/ﻲ د ﻫﻐﻪ زده کﻮوﻧکﻮ س وي چ 3د ﻓﻮ!بال پﻪ تﻴﻢ ک 3شاﻣﻞ وي کﻮﻻى شﻮ د B ،Aاو Cس"ﻮﻧﻪ دوين دياگرام پﻪ ﻣرستﻪ پﻪ ﻻﻧدې ډول و*اﻳﻮ. Aد اووم !ﻮﻟگﻰ د زده کﻮوﻧکﻮ س
Bد واﻟﻴبال د !ﻴﻢ س
Cد ﻓﻮ!بال د !ﻴﻢ س
احﻤد زﻟﻤﻲ حسﻦ ﻣحﻤﻮد ﻗاسﻢ صﻔت اﷲ ﻧادر دﻳﻦ ﻣحﻤد ﻋزت اﷲ ﻋﻄاء اﷲ
احﻤد حسﻦ زﻟﻤﻲ ﻣحﻤﻮد ﻗاسﻢ
ﻗاسﻢ احﻤد صﻔت اﷲ دﻳﻦ ﻣحﻤد ﻧادر ﻋزت اﷲ ﻋﻄاءاﷲ
ﻓعاﻟﻴت ﻳﻮ داس 3س وﻟﻴکئ چ 3ﻋﻨا請ر ﻳ 3د ﻫﻨدسﻲ بکس ساﻣان او آﻻت وي. ﻳﻮ پﻨ%ﻪ ﻋﻨﺼري س وﻟﻴکئ چ 3ﻋﻨا請ر ﻳ 3د اﻫﻠﻲ حﻴﻮاﻧاتﻮ ﻧﻮﻣﻮﻧﻪ وي. ﻳﻮ شپ 8ﻋﻨﺼري س وﻟﻴکئ چ 3ﻋﻨا請ر ﻳ 3د تازه ﻣﻴﻮو ﻧﻮﻣﻮﻧﻪ وي. دويم مثال:کﻪ د ﻫﻐﻮ تاﻗﻮ ﻋددوﻧﻮ س تﻪ چ 3ﻟﻪ ' 10خﻪ کﻮچﻨی وي Oاو د ﻫﻐﻪ جﻔتﻮ ﻋددوﻧﻮ س تﻪ چ 3ﻟﻪ ' 10خﻪ کﻮچﻨی وي Eوواﻳﻮ ،ﻟرو چ:3 }O = {1,3,5,7,9 }E = {2, 4,6,8 د ﻳﻮ شﻤ5ر $اﻧگ7و شﻴاﻧﻮ ﻣجﻤﻮﻋ 3تﻪ س او پخپﻠﻪ شﻴاﻧﻮ تﻪ د س ﻋﻨا請ر(ﻏ7ي) واﻳﻲ.
ﻓعاﻟﻴت ﻻﻧدې س"ﻮﻧﻪ پﻪ پام ک 3وﻧﻴسئ: }A = {a, b, c, d, e }B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
4
اﻳا bد Bد س ﻋﻨﺼر دى؟ د dپﻪ برخﻪ ک' 3ﻪ وﻳﻼى شئ چ 3د Bﻋﻨﺼر دى کﻪ ﻧﻪ؟ اﻳا 5د Aد س ﻋﻨﺼر دى؟ اﻳا 5د Bد س ﻋﻨﺼر دى؟ د Aس 'ﻮ ﻋﻨا請ره ﻟري او د Bس 'ﻮ ﻋﻨا請ره ﻟري؟ دريم مثال :د Aاو Bس"ﻮﻧﻪ داس 3پﻪ پام ک 3وﻧﻴسئ ،چ:3
{جﻔت ﻳﻮ رﻗﻤﻲ ﻋددوﻧﻪ}=A {ﻫﻐﻪ ﻳﻮ رﻗﻤﻲ ﻋددوﻧﻪ چ 3پر 3پﻮره د وﻳش وړ وي}=B
د Aاو Bد س"ﻮﻧﻮ ﻋﻨا請ر وﻟﻴکئ. د Aاو Bس"ﻮﻧﻪ د وﻳﻦ پﻪ دﻳاگرام ک* 3کاره ک7ئ. حل:ﻟﻴدل ک85ي چ:3
}A = {2, 4, 6,8 3 B
2 A
9 B 6 B
4 A 8 A
4 B
6 A
}B = {3, 6,9
B
3 9
6
8 2 4
A
څلورم مثال:ﻟﻪ ﻻﻧدې اړﻳکﻮ 'خﻪ کﻮﻣﻪ ﻳﻮه سﻤﻪ او کﻮﻣﻪ ﻳﻮه ﻧاسﻤﻪ ده؟ (a
{
}
(b
}{a , b , c , d , e
f
حل :د aاړﻳکﻪ سﻤﻪ او د bاړﻳکﻪ ﻧاسﻤﻪ ده. پﻪ ﻳﻮ س ک 3د ﻳﻮ ﻋﻨﺼر ﻏ7ﻳتﻮب د ( ) ﻋﻼﻣ 3او ﻧﻪ ﻏ7ﻳتﻮب د( )ﻋﻼﻣ 3پﻪ واسﻄﻪ *ﻮدل ک85ي.
5
پوښتنې -1داس 3ﻳﻮ س وﻟﻴکئ چ 3ﻋﻨا請ر ﻳ 3د اﻓﻐاﻧستان د وﻻﻳتﻮﻧﻮ ﻧﻮﻣﻮﻧﻪ وي. -2کﻪ د Aاو Bس"ﻮﻧﻪ پﻪ ﻻﻧدې ډول راک7ل شﻮي وي.
B
1 3 4 15
ﻻﻧدې تش $اﻳﻮﻧﻪ ډک ک7ئ. A A
B
12 4
6
12
7
A
5
5 7
6 3
-3کﻪ} A = {2, 4, 6,8او} B = {1,3,5, 7 ,9وي پﻪ ﻻﻧدې ﻋبارتﻮﻧﻮ ک 3کﻮم ﻳﻮ سﻢ او کﻮم ﻳﻮ ﻳ 3ﻧاسﻢ دى؟ 5 A , 4 A , 7 A , 9 B , 8 B 10 A , 11 B , 1 A , 2 A , 3 B -4کﻪ } A = {1, 2, 3, 4او } B = {3, 4, 5, 6وي پﻪ ﻻﻧدې ﻋبارتﻮﻧﻮ ک 3کﻮم ﻳﻮ ﻳ 3سﻢ او کﻮم ﻳﻮ ﻧاسﻢ دى؟ ,5 A ,2 A
,6 A ,6 A
5 B B
2
A, A ,
4 3
-5پﻪ ﻻﻧدې ﻋبارتﻮﻧﻮ ک 3سﻢ او ﻧا سﻢ و*ﻴئ: 8
}{2,4,6,8,10
5
,
}{3,5,7,8,9,11,13
}{a,b,c,d,e
g
,
}10 {1,2,3,4,5,6,7,8
6
د يو سټ د ليکلو طريقې اﻳا وﻳﻼى شئ چ 3ﻳﻮ س پﻪ 'ﻮ ډوﻟﻪ *ﻮدﻻى شﻮو؟
}
,
,
{=A
{د ﻃﻴﻴب 3کﻠﻤﻪ ،ﻟﻤﻮﻧ ،#روژه ،زکات ،حج}=B {د اسﻼم پﻨ%ﻪ بﻨاوې}=C
پﻪ ﻋﻤﻮﻣﻲ ډول س پﻪ دوو ﻃرﻳﻘﻮ ﻟﻴکﻲ: -1ﻫﻐﻪ ﻃرﻳﻘﻪ ده چ 3د س !ﻮل ﻋﻨﺼروﻧﻪ او ﻳا ﻳ 3تﺼﻮﻳروﻧﻪ د س د ﻋﻼﻣ } {3پﻪ ﻣﻨ #ک 3وي او د ﻋﻨا請رو تر ﻣﻨ )،(#ﻋﻼﻣﻪ ﻟﻴکﻞ کﻴ8ي .دې ﻃرﻳﻘ 3تﻪ تﻔﺼﻴﻠﻲ ﻃرﻳﻘﻪ او ﻳا د ﻋﻨا請رو د ﻟست کﻮﻟﻮ ﻃرﻳﻘﻪ( )Tabulation Methodواﻳﻲ. لومړى مثال{:
,
,
,
,
}={ ، Aاحﻤد ,حسﻦ ,ﻗاسﻢ ,زﻟﻤﻲ ,ﻣحﻤﻮد} = B
} D = {a , b , c , d , e} , C = {1, 2, 3, 4,5, 6, 7 ,8او }E = {1, 2,3, 4,...,500
'رﻧگﻪ چ 3د Eد س ﻋﻨا請ر زﻳات دي ،پﻪ ﻫﻤدې اساس درې !کﻲ ...دا ﻣﻌﻨا ﻟري چ 3ﻋددوﻧﻪ تر 500پﻮرې دوام ﻟري. -2د س د ﻋﻨا請رو د ﻣشترکﻮ خا請ﻴتﻮﻧﻮ پﻪ اساس س پﻪ ﻳﻮه جﻤﻠﻪ ک$ 3اﻧگ7ې ک85ي .پﻪ دې ﻃرﻳﻘﻪ ک 3د س د ﻋﻼﻣ } {3ﻟﻴکﻞ ﺿروري ﻧﻪ دي .دا ﻃرﻳﻘﻪ د اجﻤاﻟﻲ ﻳا تشرﻳحﻲ ﻃرﻳﻘ3 ( )Description Methodپﻪ ﻧاﻣﻪ ﻳاد84ي. دويم مثال :د ﻟﻮﻣ7ي ﻣثال د Bاو Eس"ﻮﻧﻪ د اجﻤاﻟﻲ ﻃرﻳﻘ 3پﻪ ﻣرستﻪ پﻪ ﻻﻧدې ډول ﻟﻴکﻮ: د اووم !ﻮﻟگﻲ د زده کﻮوﻧکﻮ د واﻟﻴبال د !ﻴﻢ دﻧﻮﻣﻮﻧﻮس = B ﻟﻪ (' )1خﻪ تر 500پﻮرې د ﻃبﻴﻌﻲ پرﻟﻪ پس 3ﻋددوﻧﻮ س = E } P = {2,3,5, 7,11,...پﻪ ﻻﻧدې ډول ﻟﻴکﻮ د ﻟﻮﻣ7ﻧﻴﻮ ﻋددوﻧﻮ س = P دريم مثال :کﻪ {ﻃﻴﻴب 3کﻠﻤﻪ ،ﻟﻤﻮﻧ ،#روژه ،زکات ،حج}= Kوي ،د Kس د اجﻤاﻟﻲ ﻃرﻳﻘ3 پﻪ شکﻞ پﻪ ﻻﻧدې ډول ﻟﻴکﻮ: د اسﻼم د پﻨ%ﻪ بﻨاوو س = K
7
فعاليت د اﻧگﻠﻴسﻲ د ژب 3د 8ﻟﻮﻣ7ﻧﻴﻮ تﻮرو س = A ﻟﻪ (' )2خﻪ ﻟﻮى او ﻟﻪ (' )10خﻪ د کﻮچﻨﻴﻮ ﻃبﻴﻌﻲ ﻋددوﻧﻮ س = B د ( )3د ﻋدد د ﻣﻀربﻮﻧﻮ س چ 3ﻟﻪ ' 20خﻪ کﻮچﻨﻰ وي = C
د B، Aاو Cس"ﻮﻧﻪ د ﻋﻨا請رو د ﻟست کﻮﻟﻮ پﻪ ﻃرﻳﻘ 3وﻟﻴکئ.
څلورم مثال :کﻪ } A = {a , e , i , o , uاو } B = {a , b , c , d , eوي .دا س"ﻮﻧﻪ پﻪ اجﻤاﻟﻲ ﻳا تﻮ請ﻴﻔﻲ ﻃرﻳﻘ 3سره وﻟﻴکئ. حل: د اﻧگﻠﻴسﻲ ژب 3د ﻏ 8ﻟروﻧکﻮ تﻮرو س = ، Aد اﻧ/ﻠﻴسﻲ ژب 3د پﻨ%ﻮ ﻟﻮﻣ7ﻧﻴﻮ تﻮرو س = B
پوښتنې: -1ﻻﻧدې س"ﻮﻧﻪ د ﻋﻨا請رو د ﻟست کﻮﻟﻮ پﻪ ﻃرﻳﻘ 3وﻟﻴکئ. د اووﻧ 9د ور$ﻮ د ﻧﻮﻣﻮﻧﻮ س =B د کال د ﻣﻴاشتﻮ د ﻧﻮﻣﻮﻧﻮ س =A د اﻓﻐاﻧستان د بﻴرغ د رﻧگﻮﻧﻮ س =E -2ﻻﻧدې س"ﻮﻧﻪ پﻪ تﻮ請ﻴﻔﻲ( تشرﻳحﻲ) ﻃرﻳﻘ 3سره وﻟﻴکئ. }A = {a , e , i , o , u {تﻮر ،سﻮر ،شﻴﻦ} = B
}C = {1,3,5,7,9 }D = {2, 4,6,8 }E = {1, 2,3, 4,5 -3ﻻﻧدې س"ﻮﻧﻪ د ﻋﻨا請رو د ﻟست کﻮﻟﻮ پﻪ ﻃرﻳﻘ 3وﻟﻴکئ. د جﻔتﻮ ﻳﻮ رﻗﻤﻲ ﻃبﻴﻌﻲ ﻋددوﻧﻮ س = K د تاﻗﻮ ﻳﻮ رﻗﻤﻲ ﻃبﻴﻌﻲ ﻋددوﻧﻮ س = L د ( )7د ﻋدد د ﻣﻀربﻮﻧﻮ س = T د اووم !ﻮﻟگﻲ زده کﻮوﻧکﻮ د ﻓﻮ!بال د!ﻴﻢ س = C د اووم !ﻮﻟگﻲ زده کﻮوﻧکﻮ د واﻟﻴبال د!ﻴﻢ س = B د اووم !ﻮﻟگﻲ د زده کﻮوﻧکﻮ س = A
8
مساوي سټونه ،معادل سټونه او فرعي سټ آﻳا وﻳﻼى شئ چ 3د Aاو Cس"ﻮﻧﻪ پﻪ خپﻞ ﻣﻨ# ک' 3ﻪ اړﻳکﻪ ﻟري ﻫﻤدارﻧگﻪ د Aاو Bد س"ﻮﻧﻮ پﻪ ﻣﻨ #ک' 3ﻪ اړﻳکﻪ وجﻮد ﻟري؟
}
,
,
{=A
}
,
,
{=B
}
,
,
{=C
تعريف :د Aاو Bس"ﻮﻧﻪ ﻫﻐﻪ وخت سره ﻣساوي دي چ 3د دواړو س"ﻮﻧﻮ د ﻋﻨا請رو شﻤ5ر سره ﻣساوي او ﻋﻨا請ر ﻳ 3ﻳﻮ شﻰ وي او ﻳا پﻪ بﻞ ﻋبارت د Aد س !ﻮل ﻋﻨا請رد Bپﻪ س ک 3او د Bد س !ﻮل ﻋﻨا請ر د Aپﻪ س ک 3شاﻣﻞ وي .پﻪ دې حاﻟت ک 3ﻟﻴکﻮ چ A = B 3او ﻳا B = Aدى. لومړى مثال:کﻪ } A = {1, 2 , 6او } B = {1,1, 2 , 2 , 6وي ،ﻣتﻮجﻪ اوسئ چ A=B3دى. او ﻫــﻢ باﻳد پﻪ پــام ک 3وﻟرو چ {2, 3, 5, 7} = {5, 3, 2, 7} 3دى .د } A = {1, 2او }B = {2, 3 ســ"ﻮﻧﻪ پﻪ ﻧﻈر ک 3وﻧﻴســئ ،دا دواړه ســ"ﻮﻧﻪ ﻳﻮ ﻟﻪ بﻞ ســره ﻣســاوي ﻧﻪ دي$ ،کﻪ چ 1 A 3دى ﻟﻴکﻦ . 1 B
ﻓعاﻟﻴت } B = {5,4,7,8او }A = {a,b,c,d
د Aاو Bدوه س"ﻮﻧﻪ پﻪ پام ک 3وﻧﻴسئ. د Aاو Bس د ﻋﻨا請رو شﻤ5ر 'ﻮ دى؟ اﻳا aد Bد س ﻋﻨﺼر دى؟ اﻳا د Aس د Bﻟﻪ س سره ﻣساوي دى؟ وﻟ3؟
A = { ,او} B = {8,10,12وي ،اﻳا د Aاو Bس"ﻮﻧﻪ
دويم مثال :کﻪ چ5رې } , سره ﻣﻌادل دي؟ حل' :رﻧگﻪ چ 3د Aدس د ﻋﻨا請رو شﻤ5ر درې او د Bد س د ﻋﻨا請رو شﻤ5ر ﻫﻢ درې دى، ﻧﻮ د Aاو Bس"ﻮﻧﻪ سره ﻣﻌادل دي. د Aاو Bس"ﻮﻧﻪ چ 3د ﻋﻨا請رو شﻤﻴر ﻳ 3ﻣساوي او ﻋﻨا請ر ﻳ 3ﻳﻮ شﻰ وي ،ﻣساوي س"ﻮﻧﻪ دي ،او کﻪ ﻳﻮازې د ﻋﻨا請رو شﻤ5ر ﻳ 3سره ﻣساوي وي د ﻣﻌادل س"ﻮﻧﻮ( )Equivalent setsپﻪ ﻧاﻣﻪ ﻳاد84ي.
9
فرعي سټ: کﻪ د Bدس !ﻮل ﻋﻨا請ر د Aپﻪ س ک 3شاﻣﻞ وي Bد Aد س ﻳﻮ ﻓرﻋﻲ س دى او داس3 *ﻮدل ک85ي: B A
ﻓعاﻟﻴت Aد اووم !ﻮﻟگﻲ د زده کﻮوﻧکﻮ س او Bد اووم !ﻮﻟ/ﻲ د زده کﻮوﻧکﻮ د واﻟﻴبال د !ﻴﻢ س دى.
شکﻞ تﻪ پﻪ پام د Aاو Bد س"ﻮﻧﻮ ﻋﻨا請ر وﻟﻴکئ. د Aاو Bد س"ﻮﻧﻮ د ﻋﻨا請رو پﻪ ﻣﻨ #ک' 3ﻪ ډول اړﻳکﻪ ﻣﻮجﻮده ده؟ 'رگﻨده ﻳ 3ک7ئ.
B
زﻟﻤﻲ احﻤد ﻋزت اﷲ ﻣحﻤﻮد ﻗاسﻢ حسﻦ صﻔت اﷲ
A
ﻋﻄاء اﷲ دﻳﻦ ﻣحﻤد ﻧادر
ﻟﻴدل ک85ي چ 3د Bد س ﻫر ﻋﻨﺼر د Aدس ﻋﻨﺼر ﻫﻢ دى ،ﻧﻮ وﻳﻼى شﻮ چ 3د Bس د A د س ﻳﻮ ﻓرﻋﻲ س دى ،چ 3پﻪ دې ډول *ﻮدل ک85ي ، B A :دا د ﻓرﻋﻲ س ﻋﻼﻣﻪ ده. ﻟﻪ بﻠ 3خﻮا 'رﻧگﻪ چ 3د Aد س ﻫر ﻋﻨﺼر د Bپﻪ س ک 3ﻧشتﻪ ،ﻧﻮ Aد Bد س ،ﻓرﻋﻲ س ﻧﻪ دى ،چ 3داس* 3ﻮدل ک85ي A B : دريم مثال :ﻻﻧدې س"ﻮﻧﻪ پﻪ ﻧﻈر ک 3ﻧﻴسﻮ: {احﻤد ,ﻣحﻤﻮد ,زﻫرا ,ﻣرﻳﻢ} = { , Aداوود ,ﻗاسﻢ ,احﻤد ,ﻣرﻳﻢ} = { Bﻣرﻳﻢ ,احﻤد} = C ﻧﻮ وﻳﻼی شﻮ چC A , C B , B A , A B :3 او ﻫﻤدارﻧگﻪ وﻳﻼى شﻮ چ A A 3دى .ﻳا ﻫر س د خپﻞ $ان ﻓرﻋﻲ ست دى .خاﻟﻲ س د ﻫر س ،ﻓرﻋﻲ س دی.
پوښتنې -1د } A = {1,7,8,9او } B = {9,8,1,7,9پﻪ پام ک 3وﻧﻴسئ اﻳا د Aس د Bﻟﻪ س سره ﻣساوي دی؟ -2ﻟﻪ ﻻﻧدې س"ﻮﻧﻮ 'خﻪ کﻮم ﻳﻮ ﻳ 3د } C = {1, 2, 3,4, 5د س ﻓرﻋﻲ س دى؟ }A = {3,5, 7
}B = {1, 2,3, 4,5 -3ﻟﻪ ﻻﻧدې س"ﻮﻧﻮ 'خﻪ کﻮم ﻳﻮ ﻳ 3د } C = {1, 2, 3,4ﻟﻪ س سره ﻣساوي دى؟ }A = {1, 2,3 }B = {4,3, 2,1
10
د سټونو تقاطع او اتحاد Cد ﻓﻮ!بال !ﻴﻢ ﻋزت اﷲ حسﻦ ﻧادر احﻤد زﻟﻤﻲ صﻔت اﷲ ﻗاسﻢ ﻣحﻤﻮد دﻳﻦ ﻣحﻤد ﻋﻄاء اﷲ
Bد واﻟﻴبال !ﻴﻢ
کﻪ } A = {3,4,5او } B = {1,2,3وي آﻳا A I B او A U Bپﻴدا کﻮﻻی شئ
ﻟکﻪ 'رﻧگﻪ چ 3پﻪ پﻮرتﻨﻲ شکﻞ ک 3ﻟﻴدل ک85ي احﻤد او ﻗاسﻢ د واﻟﻴبال او ﻓﻮ!بال پﻪ دواړو !ﻴﻤﻮﻧﻮ ک 3برخﻪ اخﻴست 3ده. د Bاو Cد س"ﻮﻧﻮ تﻘاﻃﻊ ﻟﻪ ﻫﻐﻪ س 'خﻪ ﻋبارت ده چ 3ﻋﻨا請ر ﻳ 3احﻤد او ﻗاسﻢ دي او پﻪ ﻻﻧدې ډول *ﻮدل ک85ي: {احﻤد ،ﻗاسﻢ} = B I Cچ 3د تﻘاﻃﻊ ﻋﻼﻣﻪ ده. U
{احﻤد ,ﻗاسﻢ ,ﻋزت اهلل ,ﻧادر請 ,ﻔت اهلل,دﻳﻦ ﻣحﻤد ,ﻋﻄاء اهلل} {حسﻦ ,زﻟﻤﻲ ,ﻣحﻤﻮد ,احﻤد,ﻗاسﻢ} = B I C {احﻤد,ﻗاسﻢ} = U
د Aاو Bد دوو س"ﻮﻧﻮ تﻘاﻃﻊ ﻟﻪ ﻫﻐﻪ س 'خﻪ ﻋبارت دی چ 3ﻋﻨا請ر ﻳ 3ﻫﻢ د Aاو ﻫﻢ د Bپﻪ س ک 3شاﻣﻞ وي .د Aد س تﻘاﻃﻊ ﻟﻪ خپﻞ $ان سره ﻟﻪ Aسره برابره دهA A = A . U
لومړى مثال :کﻪ د } A = {4, 5, 6, 8,10او } B = {3, 5, 8,1س"ﻮﻧﻪ راک7ل شﻮي ويB ، او B Aپﻴدا ک7ئ. A B حلA I B = {4 , 5 , 6 , 8,10} I {3 , 5 , 8 ,1} = {5 , 8} : 4 5 1 }B I A = {3 , 5 , 8 ,1} I {4 , 5 , 6 , 8,10} = {5 , 8 6 8 3 پﻪ پاﻳﻠﻪ ک 3وﻳﻼى شﻮ چA I B = B I A = {5,8} :3 10
A
U
U
ﻟکﻪ 'رﻧگﻪ چ 3پﻪ شکﻞ ک 3ﻫﻢ ﻟﻴدل ک85ي
دويم مثال :د Aاو Bس"ﻮﻧﻪ پﻪ ﻻﻧدې ډول پﻪ پام ک 3وﻧﻴسئ
}، B = {2 , 4 , 8
}A = {1, 3 , 5
ﻟﻴدل ک85ي چ:3
B 2
4
3
8
1 5
=AI B
= }A B = {1, 3, 5} {2, 4, 8 U
U
11
A
داس 3س"ﻮﻧﻪ چ 3ﻫﻴ& ﻣشترک( گ )6ﻋﻨﺼر وﻧﻪ ﻟري ،د ﻏﻴر ﻣشترکﻮ(سره ب5ﻠﻮ) س"ﻮﻧﻮ ( )Disjoint Setsپﻪ ﻧاﻣﻪ ﻳاد84ي. د Aاو Bد داس 3دوو س"ﻮﻧﻮ تﻘاﻃﻊ چ 3د ! Aﻮل ﻋﻨا請ر د Bپﻪ س ک 3شاﻣﻞ وي ،د Aﻟﻪ س 'خﻪ ﻋبارت ده. دريم مثال :کﻪ } A = {1, 2, 3او } B = {1, 2, 3, 4, 5, 6وي A Bپﻴدا ک7ئ. حل :ﻟکﻪ 'ﻨگﻪ چ 3پﻪ ﻣخاﻣخ شکﻞ ک 3ﻫﻢ *ﻮدل شﻮى A B 4 1 2 6 دى. AI B U
3
U
A B = {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5, 6} = {1, 2, 3} = A
5
U
د سټونو اتحاد د Aاو Bد دوو س"ﻮﻧﻮ اتحاد ﻫﻐﻪ س دى چ 3ﻋﻨا請ر ﻳ 3ﻳا پﻪ Aاو ﻳا پﻪ Bک 3شاﻣﻞ وي او دا Uد اتحاد ﻋﻼﻣﻪ ده.
فعاليت کﻪ د } A = {1, 2, 3, 4او } B = {3, 4, 5, 6س"ﻮﻧﻪ راک7ل شﻮي وي A U Bاو B U Aپﻴدا او پﻪ وﻳﻦ دﻳاگرام ک 3ﻳ 3و*ﻴئ. څلورم مثال :کﻪ } A = {1, 2, 3او } B = {1, 2, 3, 4, 5س"ﻮﻧﻪ راک7ل شﻮي وي A U B ،او B U Aپﻴدا او پﻪ شکﻞ ک 3ﻳ3 و*ﻴئ. }A U B = {1, 2 , 3} U {1, 2 , 3 , 4 , 5} = {1, 2 , 3 , 4 , 5 }B U A = {1, 2 , 3 , 4 , 5} U {1, 2 , 3} = {1, 2 , 3 , 4 , 5
پوښتنې
B
A 5
1
3
4
2 AUB = BUA
-1کﻪ } A = {1,3,5,7او } B = {2,4,6,8وي A I Bاو A U Bپﻴدا ک7ئ. -2کﻪ } C = {5,7,8,9او } D = {4,5,8,10وي C I Dاو C U Dپﻴدا ک7ئ.
12
د دوو سټونو تفاضل آو د يو سټ مکمله سټ Cد ﻓﻮ!بال !ﻴﻢ
کﻪ } A = {5,6,7,8,9او }B = {5,8,9 وي اﻳا A Bاو B Aپﻴدا کﻮﻻی شئ؟
پﻪ پﻮرتﻨﻲ شکﻞ ک 3ﻟﻴدل ک 3چ3
ﻋزت اﷲ ﻧادر حسﻦ احﻤد صﻔت اﷲ زﻟﻤﻲ ﻗاسﻢ دﻳﻦ ﻣحﻤد ﻣحﻤﻮد ﻋﻄاء اﷲ B B Cد واﻟﻴبال !ﻴﻢ
{ﻣحﻤﻮد ,زﻟﻤﻲ ,حسﻦ} = B C
تعريف: A Bﻫﻐﻪ س دى چ 3ﻋﻨا請ر ﻳ 3د Aپﻪ س ک 3شاﻣﻞ وي ،خﻮ د Bپﻪ س ک 3شاﻣﻞ ﻧﻪ وي او B Aﻫﻐﻪ س دى چ 3ﻋﻨا請ر ﻳ 3د Bپﻪ س ک 3شاﻣﻞ وي ،خﻮ د Aپﻪ س ک 3شاﻣﻞ ﻧﻪ وي. لومړی مثال :کﻪ } A = {1,2,3,4,5,6او } B = {2,3,4,8وي A Bاو A ک7ئ. حل:
Bپﻴدا
}A B = {1,2,3,4,5,6, } {2,3,4,8} = {1,5,6 }B A = {2,3,4,8} {1,2,3,4,5,6, } = {8
ﻟﻴدل کﻴ8ي چB A 3
A B
ﻓعاﻟﻴت: B
شکﻞ تﻪ پﻪ پام کﻮﻟﻮ سره: د Aاو Bد س"ﻮﻧﻮ ﻋﻨا請ر وﻟﻴکئ. A Bاو B Aپﻪ ﻻس راوړئ او پﻪ شکﻞ ک 3ﻳ 3و*ﻴئ. دويم مثال:
13
1 5 7 9 3 6 10 8 4
A
2
}{a , b} {b} = {a }{x , y , z} {a , b} = {x , y, z = }{a , b} {a , b
کلي سټ او د يو سټ مکمله سټ تر بحث ﻻﻧدې ﻣﻮﺿﻮع پﻪ اړوﻧد ﻳﻮ !اکﻠﻰ س چ 3د ﻣﻮﺿﻮع !ﻮل اړوﻧد ﻋﻨا請ر پک 3شاﻣﻞ وي د ﻋﻤﻮﻣﻲ ﻳا کﻠﻲ س پﻪ ﻧاﻣﻪ ﻳاد84ي او پﻪ Uسره *ﻮدل کﻴ8ي. د Aد س ﻣکﻤﻠﻪ پﻪ ' Aﻳا Aسره *کاره کﻮي .د Aد A س ﻋﻨا請ر ﻫﻐﻪ دي چ 3پﻪ ﻋﻤﻮﻣﻲ س Uک 3شاﻣﻞ او پﻪ 'A U Aک 3شاﻣﻞ ﻧﻪ وي .پﻪ شکﻞ ک 3ﻫﻐﻪ برخﻪ چ 3شﻴﻦ رﻧگ ﻟري ﻟﻪ ' Aخﻪ ﻋبارت ده. دريم مثال :کﻪ } U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10او } A = {2, 4,6, 8, 10وي ،د A ﻣکﻤﻠﻪ س ﻧﻈر Uتﻪ پﻴدا ک7ئ او پﻪ شکﻞ ک 3ﻳ 3و*ﻴئ. حل :د ' Aد پﻴدا کﻮﻟﻮ ﻟپاره د Aد س ﻋﻨا請ر ﻟﻪ ' Uخﻪ حذﻓﻮو .ﻫﻐﻪ ﻋﻨا請ر چ 3د Uپﻪ س ک 3پات 3ک85ي Aﻳا د Aﻣکﻤﻠﻪ س ﻧﻈر Uتﻪ دی. }A = U A = {1, 2,3, 4,5, 6, 7 ,8,9,10} {2, 4, 6,8,10} = {1,3,5, 7 ,9
A
4 A 5 8 10 7 6
2
1
3 9
U
پوښتنې -1کﻪ } B = {1, 3, 5, 7} ، A = {2, 4, 6, 8او } C = {4, 6, 8س"ﻮﻧﻪ راک7ل شﻮي وي: A C , B B , B A , A B , A Aاو C Aپﻪ ﻻس راوړئ. -2پﻪ کﻮم ﻳﻮ شکﻞ ک ،3رﻧگﻪ شﻮې برخﻪ* A B ،کاره کﻮي؟ B
B
A b:
A a:
-3کﻪ } U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10او } B = {1,3,5,7,9وي ' Bپﻴدا ک7ئ:
14
د لومړى څپرکى لنډيز ﻳﻮ شﻤ5ر !اکﻠﻮ او ﻣختﻠﻔﻮ شﻴاﻧﻮ تﻪ س واﻳﻲ او دا شﻴان د س ﻟﻪ ﻏ7و ﻳا ﻋﻨا請رو 'خﻪ ﻋبارت دي .د ﻳﻮ س ﻋﻨا請ر د { } ﻋﻼﻣ 3پﻪ ﻣﻨ #ک 3ﻟﻴکﻞ ک85ي چ 3د ( ),ﻋﻼﻣ 3پﻪ ﻣرستﻪ ﻳﻮ ﻟﻪ بﻠﻪ جﻼ ک85ي. ﻫﻐﻪ س چ 3ﻋﻨا請ر ﻳ 3د شﻤ5ر وړ وي ،ﻣﻌﻴﻦ او کﻪ ﻋﻨا請ر ﻳ 3د شﻤ5ر وړ ﻧﻪ وي ،د ﻏﻴر ﻣﻌﻴﻦ س پﻪ ﻧاﻣﻪ ﻳاد84ي. } ﻫﻐﻪ س چ 3ﻫﻴ& ﻋﻨﺼر ،و ﻧﻪ ﻟري ،د تش(خاﻟﻲ) س پﻪ ﻧاﻣﻪ ﻳاد84ي چ 3د ﻳا { ﻋﻼﻣ 3پﻪ ﻣرستﻪ *ﻮدل ک85ي. پﻪ ﻳﻮ س ک 3د ﻋﻨﺼر د شﻤﻮﻟﻴت ﻋﻼﻣﻪ ( ) ده او د ﻳﻮ ﻋﻨﺼر ،ﻧﻪ شﻤﻮﻟﻴت پﻪ ﻳﻮ س ک 3د ( ) ﻋﻼﻣ 3پﻪ ﻣرستﻪ *ﻮدل ک85ي. س"ﻮﻧﻪ ﻋﻤﻮﻣاً پﻪ دوو ﻃرﻳﻘﻮ ﻟﻴکﻞ ک85ي .د ﻋﻨا請رو د ﻟست کﻮﻟﻮ ﻃرﻳﻘﻪ(تﻔﺼﻴﻠﻲ ﻃرﻳﻘﻪ) چ 3د ﻳﻮ س !ﻮل ﻋﻨا請ر او ﻳا تﺼﻮﻳروﻧﻪ ﻳ 3د { } ﻋﻼﻣ 3پﻪ ﻣﻨ #ک 3ﻟﻴکﻞ ک85ي او بﻠﻪ تﻮ請ﻴﻔﻲ(اجﻤاﻟﻲ) ﻃرﻳﻘﻪ ده چ 3د ﻋﻨا請رو د ﻣشترکﻮ خا請ﻴتﻮﻧﻮ پر اساس پﻪ ﻳﻮه جﻤﻠﻪ ک 3ﻟﻴکﻞ ک85ي. دوه س"ﻮﻧﻪ چ 3ﻋﻨا請ر ﻳ 3ﻳﻮ شﻰ وي ،ﻣساوي س"ﻮﻧﻪ دي او کﻪ ﻳﻮازې د ﻋﻨا請ر وشﻤ5ر ﻳ 3ﻣساوي وي ،د ﻣﻌادﻟﻮ س"ﻮﻧﻮ پﻪ ﻧاﻣﻪ ﻳاد84ي. کﻪ د Bد س !ﻮل ﻋﻨا請ر د Aپﻪ س ک 3شاﻣﻞ وي ،ﻧﻮ Bد Aﻓرﻋﻲ س دى او داس* 3ﻮدل B A ک85ي. د Aاو Bد دوو س"ﻮﻧﻮ تﻘاﻃﻊ ﻫﻐﻪ س دى چ 3ﻋﻨا請ر ﻳ 3ﻫﻢ پﻪ Aاو ﻫﻢ پﻪ Bک 3شاﻣﻞ وي او داس* 3ﻮدل ک85يA I B . د Aاو Bد دوو س"ﻮﻧﻮ اتحاد ﻫﻐﻪ س دى چ 3ﻋﻨا請ر ﻳ 3ﻳا پﻪ Aﻳا پﻪ Bاو ﻳا پﻪ دواړو ک 3شاﻣﻞ وي .او داس* 3ﻮدل ک85يA U B . د Aاو Bد دوو س"ﻮﻧﻮ تﻔاﺿﻞ( ) A Bﻟﻪ ﻫﻐﻪ س 'خﻪ ﻋبارت دى چ 3ﻋﻨا請ر ﻳ 3د Aپﻪ س ک 3شاﻣﻞ وي خﻮ د Bپﻪ س ک 3شاﻣﻞ ﻧﻪ وي. د Aدس ﻣکﻤﻠﻪ س ﻧﻈر د Uس تﻪ ﻟﻪ ﻫﻐﻪ س 'خﻪ ﻋبارت دى چ 3ﻋﻨا請ر ﻳ 3د Uپﻪ س ک 3شاﻣﻞ وي ،خﻮ د Aپﻪ س ک 3ﻣﻮجﻮد ﻧﻪ وي او پﻪ Aسره *ﻮدل ک85ي.
15
د لومړى څپرکى پوښتنې -1د ﻫﻐﻮ تاﻗﻮ ﻋددوﻧﻮ س وﻟﻴکئ چ 3پر 2پﻮره د وﻳش وړ وي. -2کﻪ Aد کال د ﻣﻴاشتﻮ د ﻧﻮﻣﻮﻧﻮ س وي ،د ﻋﻨا請رو د ﻟست کﻮﻟﻮ پﻪ ﻃرﻳﻘﻪ ﻳ 3وﻟﻴکئ. -3کﻪ } B = {2 , 4 , 6 , 8} ، A = {1, 2 , 3 , 4او } C = {a , e , i , o , uوي ،خاﻟﻲ $اﻳﻮﻧﻪ د او ﻋﻼﻣﻮ پﻪ ﻣرستﻪ ډک ک7ئ. 3 A , u B , 10 C , i A , 8 B , e C f C , 2 A , e B , 8 C 8 A , 3 B ,
□ □
□ □
□ □
□ □
□ □
□ □
-4کﻪ } B = {1, 2, 3} , A = {a, b, cاو } C = {b, a, cس"ﻮﻧﻪ راک7ل شﻮي وي ،کﻮﻣﻪ جﻮړه ﻳ 3ﻣساوي او کﻮﻣﻪ ﻳﻮه ﻳ 3ﻣﻌادل س"ﻮﻧﻪ دي؟ -5کﻪ ستاسﻮ د *ﻮوﻧ%ﻲ د زده کﻮوﻧکﻮ س Aاو ستاسﻮ د !ﻮﻟگﻲ د زده کﻮوﻧکﻮ س Bوي ،آﻳا کﻴداى شﻲ چ 3د Bس د Aدس ﻓرﻋﻲ س وي؟ 1
-6کـــﻪ د } B = {0, ,1} , A = {0,1, 2او } C = {3, 4ســـــ"ﻮﻧﻪ راکـــــ7ل شـــــﻮي وي 2 A U B , C U A , B U C , A I C , A I B , A I Aاو B I Cپﻴدا ک7ئ. -7کﻪ } B = {2, 4, 6, 8} , A = {1, 2, 3, 4, 5وي A Bاو B Aپﻴدا ک7ئ. -8کﻪ } A = {30,50,60} ، U = {10,20,30,40,50,60,70,80,90,100او } B = {10,20,40,90وي A' .او ' Bپﻴدا ک7ئ. -9ﻟﻪ ﻻﻧدې س"ﻮﻧﻮ 'خﻪ کﻮم ﻣﻌﻴﻦ او کﻮم ﻳﻮ ﻏﻴر ﻣﻌﻴﻦ س دى؟ }A = {x , y , m }B = {1, 2 , 3 , 4 .... }C = {1, 2 ...100 -10پﻪ کﻮم شکﻞ ک 3رﻧگﻪ شﻮى برخﻪ د Aاو Bد دوو س"ﻮﻧﻮ تﻘاﻃﻊ *کاره کﻮي؟ B
B
A
)b
A
)a
-11کﻪ } A = {7, 9,11,13او } B = {6, 8,10,12س"ﻮﻧﻪ راک7ل شﻮي وي A Bاو A
B
پﻴدا او پﻪ وﻳﻦ دﻳاگرام ک 3ﻳ 3و*ﻴئ؟
16
دوﻳم 'پر کﻰ طبﻴعﻲ عددونه
انسانان د تاريخ له لوم7يو وختونو را هيسې د خپل چاپيريال په طبيعت کې د شيانو له شمارلو سره بلد وو.
طبﻴعﻲ عددونه ):(Natural Numbers
څه فکــر کوئ ،لومــ7ي عددونــه چې د انسانانو ورسره مخه وه کوم عددونه وو؟
انسانانو له پخوا زمانى راهيسې د هغو شيانو شميرلوته چې په طبيعت کې به يې ليدل اړتيا درلوده. د شيانو له همدې شميرنې څخه د طبيعي عددونو مفهوم منځ ته راغلى دى .طبيعي عددونو ته د شميرنې عددونه ( )Count Numbersهم وايي. دا عددونه له يو څخه پيل او د يوه په زياتولو ســره له مخکني عدده وروســتى عدد الس ته راځي ،د 1, 2 , 3 , 4......عددونو ته طبيعي عددونه وايي او د طبيعي عددونو سټ په الندې ډول ښودل کي8ي } IN = {1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12, کوالى شو چې طبيعي عددونه د اعدادو پر محور ( )Line Numbersپه الندې ډول وښيو: 10 11 12 13 14
9
8
7
6
5
4
3
2
1
کوم عدد چې د عددونو پر محور د يوه عدد ښى خواته واقع وي ،له دې عدده لوى او کوم چې يې کيڼې خواته پروت وي ،له دې عدد څخه کوچنى دى .د مثال په ډول 7 < 8 :او 6 > 5دي د طبﻴعﻲ عددونﻮ د جمع 3او ضرب د عملﻴﻮ خاصﻴتﻮنه:
-1پوهې8و چې د دوو طبيعي عددونو د جمعې حاصل بيا هم يو طبيعي عدد دى ،لکه 3 :او 5 دوه طبيعي عددونه دي 3 + 5 = 8 ،چې 8بيا هم يو طبيعي عدد دى ،نو د طبيعي عددونو سټ د جمعې په عمليه کې يو ت7لى سټ دى. -2د جمع 3د عملﻴ 3د تبدﻳل 9خاصﻴت: لﻮم7ى مثال :پوهي8و چې 7 + 6 = 13 :او هم 6 + 7 = 13دي ،په دې ډول 6 + 7 = 7 + 6
دى .نو د طبيعي عددونو دجمعې په عمليه کې د تبديلی خاصيت صدق کوي. -3د جمع 3د عملﻴ 3اتحادي خاصﻴت: دوﻳم مثال:
8 + (3 + 2) = (8 + 3) + 2 8 + 5 = 11 + 2 13 = 13
19
دې خاصيت ته د طبيعي عددونو د جمعې د عمليي اتحادي خاصيت وايي. - 4د جمع 3د عملﻴ 3د عﻴنﻴت عنصر :صفر که له هر طبيعي عدد سره جمع شي ،د جمعې ال 0 + 3 = 3 + 0 = 3 :صفر د جمعې د عمليې د حاصل خپله له عدد سره مساوي کي8ي .مث ً عينيت د عنصر په نامه يادې8ي.
فعالﻴت: آيا پورتني خاصيتونه د طبيعي عددونو د ضرب په عمليه کې هم صدق کوي؟ - 5د ضرب د عملﻴ 3تبدﻳلی خاصﻴت5 × 3 = 3 × 5 = 15 :
- 6د ضرب د عملﻴ 3اتحادي خاصﻴت3 × (8 × 7) = (3 × 8) × 7 = 168 : - 7د ضرب د عملﻴ 3د عﻴنﻴت عنصر :د هر طبيعي عدد ضرب له صفر سره ،مساوي په صفر
او د هر طبيعي عدد د ضرب حاصل له يوه سره په خپله له عدد سره مساوي دى. 3 × 0 = 0 , 3 ×1 = 3د ضرب په عمليه کې د يو عدد د عينت د عنصر په نامه يادي8ي. - 8پر جمع بآندې د ضرب تﻮزﻳعﻲ خاصﻴت : درﻳم مثال3 × (4 + 5) = (3 × 4) + (3 × 5) = 27 :
دې خاصيت ته پر جمع باندې د ضرب توزيعي خاصيت (قانون) وايي. صفر د طبيعي عددونو د جمعې او يو د ضرب د عمليې د عينيت عنصر دى ،د بستگ ،9تبديل9 او اتحادي خاصيتونه د طبيعي عددونو د جمعې او ضرب په عمليو کې صدق کوي او هم د ضرب توزيعي قانون پر جمع باندې صدق کوي.
پﻮ*تن:3 -1الندې تش ځايونه ډک ک7ئ! )
+
( × 325 × 88 + 325 × 73 = 325 × 803 × 593 = 593 × 35) × 89
211 + 327 = 327 + × 3935 =0 ( = )79 × (35 × 89
20
تجﺰﻳﻪ )(Factoring که چيرې يو پر بل باندې د دوو عددونو د ويش په عمليه کې باقي صفر شي ،نو وايو چې مقسوم پر مقسوم عليه د ويش وړ دى (د تقسيم قابليت لري). د 20عدد د دوو طبيعي عددونو د ضرب د حاصل په شکل وليکئ. د هغو عددونو الندې چې يوازې پر يو او پر خپل ځان د وېش وړ وي ،کرښه وکاږي: 21, 17, 15, 23, 32 پوهي8و چې 24 = 4 × 6دي 4 ،او 6د 24د عدد د ضربي اجزاوو(ضربي عواملو) په نامه يادي8ي. پﻮ*تنه :ايا يوازې 6او 4د 24ضربي اجزاوې دي؟
فعالﻴت د 18او 31عددونه په ضربي اجزاوو تجزيه ک7ئ ،وواياست چې د 1 8د ضربي اجزاوو شمېر زيات دى که د 31؟ د 11،5او 19ضربي اجزاوې وليکئ. په پورتني فعاليت کې مو وليدل چې ځينې عددونه لکه 18د دوو څخه زياتې ضربي اجزاوې لري، او ځينې عددونه لکه 31او 11يوازې دوه ضربي اجزاوې لري.
لﻮم7نﻲ عددونه ( :)Prime Numbersهغه عددونه دي چې پرته له يو او خپل ځان څخه په بل عدد، پوره د وېش وړ نه وي يا هغه عددونه چې دوه قاسمونه ولري ،د لوم7نيو عددنو په نامه يادي8ي د لوم7نيو عددونو سټ په Pسره ښودل کي8ي او عبارت دي ،لهP = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,...} :
مرکب عددونه ( :)Composite Numbersهغه عددونه دي چې سربېره له يو او خپل ځان څخه په نورو عددونو هم پوره د وېش وړ وي ،داسې عددونه د مرکبو عددونو په نوم يادي8ي لکه: }C = {4,6,8,9,10,12,14,15..... په ﻳاد ولرئ چ :3د يو( )1عدد نه لوم7نى او نه مرکب عدد دى.
لﻮم7ی مثال :له 36،17،27او 19عددونو څخه کوم يو لوم7نى او کوم يو يې مرکب عدد دى؟ حل :لوم7ى د هر يوه عدد قاسمونه ليکو:
21
د 3،9،27او 1عددونه د 27د عدد قاسمونه دي ،نو 27يو مرکب عدد دى. د 1او 17عددونه د 17قاسمونه دي ،نو په دې اساس د 17عدد لوم7نى عدد دى. د 2,3,4,6,9,12,18,36او ،1د 36د عدد قاسمونه دي ،نو په دې اساس د 36عدد يو مرکب عدد دى. د 3،9او 1عددونه د 9د عدد قاسمونه دي ،نو 9يو مرکب عدد دى. د 19او ( )1عددونه د 19د عدد قاسمونه دي ،نو 19يو لوم7نى عدد دى ځکه چې يوازې دوه قاسمونه لري. په لﻮم7نﻴﻮ عددونﻮ تجزﻳه: د ضرب په شکل د يو عدد د ضربي اجزاو ليکلو ته تجزيه ( )Factoringوايي. 12 = 3 × 4و 12 = 2 × 2 × 3
د 12د ضربي اجزاوو په منځ کې چې په پورته ډول ليکل شويدى ،څه توپير شته دى؟ د ضرب په شکل د يو عدد د لوم7نيو ضربي اجزاوو ليکلو ته په لوم7نيو عددونو تجزيه وايي. دوﻳم مثال :د 72عدد په بيال بيلو ډولو په ضربي اجزاوو تجزيه ک7ي: 1) 72 = 2 × 36 = 2 × 4 × 9 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 2) 72 = 6 × 12= 2 × 3 × 3 × 4 = 2 × 3 × 3 × 2 × 2
فعالﻴت د 72عدد پر دوو پورتنيو ډولونو سربېره په څو نورو ډولونو تجزيه کوالى شئ ،د تجزيې ډول يې هم وښاياست. کوالى شو چې د تجزيې عمليه په يوه جدول کې په الندې ډول لن6ه ک7و: 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3
72 36 18 9 3 1
2 2 2 3 3
په هر ډول که په لوم7نيو ضربي اجزاوو د تجزيې عمليه سرته ورسوو ،ليدل کي8ي چې په پای کې يوې نتيجې يا پايلې ته رسي8و:
22
په لﻮم7نﻴﻮ عددونﻮ تجزﻳه )(Prime Factoriing درﻳم مثال :د 208،416او 2574عددونه په لوم7نيو ضربې اجزاوو(لوم7نيو ضربي عواملو) تجزيه ک7ئ: حل: 2574 1287 429 143 13 1
416 208 104 52 26 13 1
2 3 3 11 13
2 2 2 2 2 13
208 104 52 26 13 1
2 2 2 2 13
208 = 2 × 2 × 2 × 2 × 13 ، 416 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 13 ، 2574 = 2 × 3 × 3 × 11× 13
پوهي8و چې :په لوم7نيو ضربي اجزاوو د يو عدد په تجزيه کولو کې که د تجزيې وړ (مرکب عدد) وي، کوالى شو عدد د دوو طبيعي عددونو د ضرب د حاصل په ډول چې له يوه څخه لوى وي وليکو، که له دې ضربي اجزاوو څخه يو او يا دواړه د تجزيې وړ وي ،د طبيعي عددونو د ضرب دحاصل په ډول يې ليکو او دې کار ته تر هغو پورې ادامه ورکوو ترڅو ټولې ضربي اجزاوې لوم7ني عددونه شي ،که د يوه مرکب عدد ټولې ضربي اجزاوې لوم7ني عددونه وي ،دې ډول تجزيې ته په لوم7نيو عددونو تجزيه وايي.
پﻮ*تن3 -1د هغو عددونو په وړاندې چې لوم7ني دي ،لوم7نى او د هغه عددونو په وړاندې چې مرکب دي مرکب وليکئ: 90 847
67 1111
59 73
-2په الندې عددونو کې کوم يو ،مرکب عدد نه دي؟ d) 64
23
c) 39
b) 67
a) 90
-3د 48،36او 70عددونه په لوم7نيو ضربي اجزاوو تجزيه ک7ئ. -4د 64،45،20،12او 80عددونه په لوم7نيو ضربي اجزاوو تجزيه ک7ئ. -5د 70او 80عددونه لوم7ى په مرکبو او بيا يې په لوم7نيو ضربي اجزاوو تجزيه ک7ئ. -6له الندې عددونو څخه د کوم عدد تجزيه سمه او د کوم يو ناسمه ده؟ 15 = 53 16 = 2 × 13
16 = 24
28 = 22 × 9
27 = 3 × 9
18 = 2 × 32
-7د 24،9،15او 29د عددونو ټولې لوم7ني ضربي اجزاوې وليکئ؟ -8د 144او 121عددونه په لوم7نيو ضربي اجزاوو تجزيه ک7ئ.
24
طاقت )(Power
پوهي8و چې هره حجره څنګه په دوو حجرو وېشل کي8ي .په مخامخ شکل کې د دې عمل سرته رسيدل ليدل کي8ي.
فعالﻴت دريمه
څلورمه 2
2
دويمه لوم7نى صفر 2 2
2
2
1
پ7اوونه(مرحلې)
د حجرو شمېر
څلورم پ7او رسم او جدول پوره ک7ئ. د حجرو د شمېر او د وېش د پ7اوونو ترمنځ څه اړيکه موجوده ده؟ په لسم پ7او کې به څو حجرې ولرو؟ ايا کوالى شو چې د لسم پ7او د حجرو شمېر په لڼد ډول وليکو؟ په لن 6ډول د ضرب د عمليې په مرسته د جمعې حاصل وليکئ: 4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 3 + 3 + 3 + 3 = 4 × 3 = 12 ايا د 2 × 2 × 2د ضرب حاصل په لن 6ډول ليکالى شو؟ د کار د اسانتيا لپاره 2 × 2 × 2د 23په ډول ليکو او داسې وايو چې 2په توان د ،3د 23په عدد توان= 16 کې 2 ،ته قاعده (13 ،)Baseته× 2 ښودونکى ( )Exponentاو 23د 2د دريم طاقت په نامه يادوي. 3 توان ښودونکى ښکاره کوي چې قاعده څو ځلې په خپل ځان کې ضرب شوې ده ،د 4عدد کې 4 درې ځلې په خپل ځان کې ضرب شوي دي .يعنې43 = 4 × 4 × 4 : لﻮم7ى مثال :د الندې طاقتونو د هر يو قيمت پيدا ک7ئ 42 , 53 , 23 , 54 , 102 , 34 حل: 42 = 4 × 4 = 16 ، 23 = 2 × 2 × 2 = 8 ، 102 = 10 ×10 = 100 53 = 5 × 5 × 5 = 125 ، 54 = 5 × 5 × 5 × 5 = 625 ، 34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81 په همدې ډول
25
2 ( )4 3
د
2 2 2 2 × × × 3 3 3 3
په دې معنا دي چې
2 3
قاعده او 4توان ښوودونکى دى.
ﻓﻌاﻟﻴت د الندې طاقتونو د هر يوه قيمت پيدا ک7ئ:
وليکئ□ ، 4 = □ ، 10 =□ ، 1: □= =□ ، 2 =□ ، 10 الندې د ضرب حاصلونه د طاقت په ډول 5
2
5
=8×8×8×8×8×8×8×8
3
3
=9×9×9×9
2
= 3
=4×4×4
آيا 27او 7 2عددونه سره برابر دي؟ ولې؟ 3 2 دوﻳم مثال :ايا د 2او ( )3عددونه سره برابر دي؟ 3 3 حل:
2 2× 2× 2 8 = = 3 3 3 2 3 2 2 2 8 = × × = ) ( 3 3 3 3 27 3
23 2 8 8 په پايله کې ويالى شو چې د او ( )3عددونه سره مساوي نه دي.په پايله کې 2
2 3
–3 < –1
مثبت تام عددونه ،صفر او منفي تام عددونه مو مخک 3د محور پر مخ په دې ډول ښودلي دي:
–
+ +3
+2
+1
0
–1
–2
–3
که پورتني محور ته پام وک7و ليدل کي8ي چ 3د 1او –1عددونه له مبدآ څخه په مساوي فاصلو ک 3پراته دي .په دې معنا چ 3دا دواړه عددونه له مبدآ(صفر) څخه د يوه واحد په اندازه لرې پراته دي دا دواړه عددونه يو د بل جمع 3معکوس (متضاد) دي ،په همدې ډول +2او -2يا +3او –3يو د بل جمع 3معکوسونه(متضاد) دي. نو هر تام عدد او جمع 3معکوس ي 3د عددونو پر محور له صفر څخه په مساوي فاصلو ک 3پراته دي او عالم 3ي 3مختلف 3دي ،د يو عدد فاصله له مبد ْا څخه د دې عدد د مطلقه قﻴمت په نوم يادي8ي.
49
د مثال په ډول :د +3او –3دواړه عددونه له صفر څخه د 3واحدونو په اندازه لرې پراته دي ،نو د +3او –3عددونو مطلقه قيمت 3دى .د يوه عدد مطلقه قيمت د ښودلو لپاره عدد د دوو عمودي خطونو( | | ) تر منځ ليکل کي8ي. | - 3| = 3
,
| + 3| = 3
,
|0|= 0
فعالﻴت – د مخامخ عددونو جمع 3معکوسونه وليکئ:
–6 , –12 , –20 , +13 , –15 , 8
– د مخامخ عددونو مطلقه قيمت پيدا ک7ئ-8, 3 , 5 , –11 , –1 , –14 , +17 , 19 : زده مو ک7ل چ:3 هر عدد چ 3صفر نه وي(مثبت يا منفي) مطلقه قيمت ي 3يو مثبت عدد دى ،د صفر مطلقه قيمت صفر دى يعن| 0 | = 0 :3 د يو عدد او د عدد د جمع 3معکوس مطلقه قيمت سره مساوي دي: | –7 | = | +7 | = 7
پو*تن3 –1الندې تام عددونه په داس 3ډول له کي 32څخه ښي خوا ته ترتيب ک7ئ چ 3کوچنى عدد کي32 خواته وي: –5 , +6 , –8 , –3 , +12 –2د –6او –9په عددونو ک 3کوم يو لوى دى؟ او په –7او صفر ک 3کوم عدد کوچنى دى؟ –3دالندې عددونو مطلقه قيمت پيدا ک7ئ: +5 , –5 , –3 , 3 , –7 +16 , –10 , 10 , +12 , –12 +132 , –132 , +200 , a , –200 –4يو محور رسم ک7ئ او د +2 ،–5او –3عددونه د محور پر مخ وټاکئ ،ددې عددونو د هر يوه جمع 3معکوس(متضاد) هم پر همدې محور وښيئ.
50
د هم عﻼمه تامو عددونو د جمع 3عملﻴه که يو څوک د عددونو پر محور 9واحده کي 32خوا ته او بيا 3واحده نور هم کي 32خواته تللى وي ،ده څو واحده فاصله وهل 3ده؟
)(–3
)(–9
–
+ +1
–1
0
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–11 –10 –9
–12
)?(
په طبيعي عددونو ک 3د جمع په عمليه پوهي8ئ د مثال په ډول 3 + 4 = 7هر طبيعي عدد په حقيقت ک 3يو تام مثبت عدد دى .نو کوالى شو د جمع 3پورتنى عمليه په الندې ډول وليکو: ( )+3( + )+4( = )+7 د تامو عددونو د جمع کولو لپاره يوه طريقه دا هم ده چ 3د عددونو له محور څخه گټه واخلو. د مثبتو عددونو جمع: پر محور د ( )+3( + )+4عددونو د ښودلو لپاره الندې محور ته پاملرنه وک7ئ: )(+3
)(+4
–
+ +7
+6
+5
+4
+3
+2
+1
0
)(+7
د شکل له مخ 3ليدل کي8ي چ:3 ( ) +3 ( + )+4 ( = )+7 3 + 4 = 7
يا
فعالﻴت د +5عدد د +2له عدد سره جمع ک7ئ او پر محور ي 3وښيئ.
51
–1
–2
د منفي عددونو جمع که چيرې د عددو پر محور له مبدآ څخه کي 32خواته 5واحده ( )-5او بيا 3واحده نور هم کي32 خواته ( )-3په اندازه حرکت وک7و ،په حقيقت ک 3کي 32خواته د ( )-8ټک 3ته رسي8و .الندې شکل وګورئ. )(–3 )(–5
–
+ 0
+1
–2
–1
–3
–5
–4
–6
–7
–8
)(–8
( )–5 ( + ) – 3 ( = ) –8
نو :
مثال :که يو کس د محور پر مخ 8واحده کي 32خواته حرکت وک7ي او بيا 4واحده نور هم کي32 خواته الړ شي ،نوموړى کوم ټک 3ته رسيدلى دى؟ حل:
)(–4
)(–8
–
+ +1
0
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–9
–11 –10
–12
)(–12
(–8 ) + (–4 ) = –12 زده مو ک7ل چ :3د دوو هم عالمه عددونو د جمع 3حاصل ددې دواړو عددونو د مطلقه قيمتونو له جمع 3سره برابر دى او شريکه عالمه ي 3د جمع 3د حاصل عالمه ده.
پو*تن3 –1الندې عددونه جمع ک7ئ:
?=()–12(+)–3 ?=()–7(+)–6 ?=37+47 –2زينب خپل 3گوت 3ته د 3واحدونو په اندازه د عددونو پر محور د محور له مبدآ(صفر) څخه ښ 3خواته او بيا 4واحده نور هم ښي خواته حرکت ورکوي او په دې ټکي گوته ږدي ،د زينب گوته کوم عدد ته رسيدلي ده؟ –3په عمودې ډول يو محور رسم او د محور پر مخ د مبدا ټکى و ټاکئ ،د يو مي8ى حرکت 4 واحده له مبدآ ښکته خواته ا و بيا 6واحده نور هم د محور ښکته خوا ته په پام ک 3ونيسئ دمي8ي اخيرنى ځاى دمحور پر مخ وښيئ.
52
د مختلف العﻼمه تامو عددونو جمع احمد له يوه دوکانداره 7افغان 9پوره وړى و (پور په منفي عالمه ښکاره کوو) ،څو ورځ 3وروسته احمد دوکاندار ته 5افغانى ورک7ې ،اوس احمد څو افغان 9پوره وړى دى؟
که چيرې د محور پر مخ له مبدآ څخه په حرکت شروع وک7و ،لوم7ى د 2واحدونو په اندازه کي32 خواته او بيا له همدې ټکى څخه د 6واحدونو په اندازه ښـي خواته حرکت وک7و ،په حقيقت ک 3د +4ټکي(نقط )3ته رسيدلي يو .الندې شکل ته وگورئ: )(+6 )(–2
+ +5
+6
+3
+4
+2
0
+1
– –1
–3
–2
)(+4
د پورته شکل له مخ 3ليدل کي8ي چ –2 + )+6 ( = )+4 ( :3يا –2 + 6 = 4 لوم7ى مثال :د ( )–8عدد د ( )+3له عدد سره جمع کوو: حل: )(–8 )(+3
+ 2
1
–1
0
–3
–2
–4
– –5
–6
–7
)(–5
–8
(–8) + (+3) = –8+ 3 = –5 دوﻳم مثال :ددې لوست په پيل ک 3چ 3کومه پوښتنه راک7ای شوې وه ،د عددونو له محور څخه په گټه اخيستلو ي 3حلوو: )(–7 حﻞ: – + +2
+1
0
–1 )(–2
–2
–3
–4
–5
–6
)(+5
(–7) + (+5) = –2 پو*تنه :د (–) عالمه د ( )–2په عدد ک 3څه شى ښکاره کوي؟
53
–7
فعآلﻴت د الندې شکل له مخ 3يوه پوښتنه جوړه او بيا ي 3حل ک7ئ:
–
+ +6
+5
+3 +4
+2
+1
–1
0
–2
–3
–4
درﻳم مثال :د ژم 3په يوه ورځ ک 3د کابل د تودوخ 3درجه له صفر څخه 5درج 3د سانتي ګري6 پورته ده ،که د شپ 3له خوا د کابل د تودوخ 3درجه د ( )–3په اندازه تغير وک7ي ،په شپه ک 3د کابل د تودوخ 3درجه څومره ده؟ )(+5 حل:
–
)(–3
+ +6
+5
+3 +4
+2
+1 )(+2
0
–1
–2
–3
–4
)(+5) + (–3) = (+2 نو د کابل هوا په شپه ک 2 3درج 3د سانتي ګري 6له صفره پورته يا +2درج 3د سانتي ګري 6ده. پاملرنه :د ورځ 3له خوا دکابل د تودوخ 3درجه 5( +5درج 3له صفر څخه پورته) او په شپه ک 3چ3 هوا س7ي8ي ،نو د تودوخ 3درجه د - 3درجو په اندازه تغيير کوي او د 3درجو په اندازه نسبت ورځ3 ته س7ي8ي. زده مو ک7ل چ :3د دوو تامو مختلف العالمه عددونو د جمع کولو لپاره: له هغه عدد څخه چ 3مطلقه قيمت ي 3لوي وي ،هغه عدد چ 3مطلقه قيمت ي 3کوچنى وي، تفريقوو او د هغه عدد عالمه دتفريق د حاصل عالمه ده چ 3مطلقه قيمت ي 3لوى وي.
پو*تن3 –1الندې راک7ل شوي تام عددونه سره جمع ک7ئ: =)(–3)+(+7)+(–4)+(–9
,
=)(+3)+(–5
,
=)(–6)+(+5
–2د ( ) 4عدد د ( ) 3له تام عدد سره جمع ک7ئ او د محور پر مخ ي 3وښيئ. –3که د هرات د تودوخ 3درجه له صفره ښکته 8درج 3د سانتي گري 6او باميان له هرات څخه 3 درج 3سوړ دى ،د باميانو د تودوخ 3درجه څومره ده؟ پر محور ي 3وښيئ. –4د ( ) + 8 ( ، ) 6او ( ) 10درې تام عددونه سره جمع ک7ئ.
54
د تامو عددونو تفرﻳق څرنگه کوالى شو چ 3د 7عدد د 5له عدد څخه تفريق ک7و؟
په مخکنيو درسونو ک 3مو وليدل چ 3د تامو عددونو د جمع 3د عملي 3د ښه پوه5دو لپاره د عددونو محور له مون 8سره مرسته وک7ه. دلته دمحور په مرسته د تامو عددونو د تفريق عمليه څي7و:
فعآلﻴت )(+5
–
+ +7
+6
+5
+4
+3 )(- 4
+2
+1
0
–1
–2
)(+1
شکل ته په پاملرنه ووياست چ 5 4 3څرنگه پيدا کوو؟ په همدې ډول 4 5پر محور وښيئ او حاصل ي 3په الس راوړئ. د يو محور پر مخ ) 4 + ( 5وښيئ او حاصل ي 3پيدا ک7ئ. په پاي ک 4 5 3او ) 4 + ( 5يو له بله سره پرتله ک7ئ .څه نتيجه السته راځي؟د پورتني فعاليت پايله موږ ته ښکاره کوي ،که چيرې د 4له عدد څخه د 5عدد تفريق ک7و ،په حقيقت ک 3د -5عدد له 4سره جمع کوو .يا په بل عبارت کوالى شو چ 3د تفريق عمليه د جمع3 په عمليه بدله ک7و: 4 – 5 = )+4( + )–5( = –1 ليدل کي8ي چ 3د تفريق په عمليه ک 3د مفروق عالمه بدلون کوي ،په دې معنا چ 3په حقيقت ک3 د تفريق په عمليه ک 3د مفروق جمع 3معکوس( )Additive inverseله مفروق منه سره جمع کوو.
55
لوم7ى مثال :د 5عدد د 7له عدد څخه تفريق ک7ئ. حل :د مفروق جمع 3معکوس (متضاد) يا د 5جمع 3معکوس چ + 5 3دى ،له مفروق منه 7 – (–5) = 7 + (+5) = 7+5 =12
( )7سره جمع کوو:
دوﻳم مثال :د 9عدد د –3له عدد څخه تفريق ک7ئ. دلته د 9عدد مفروق دى ،نو د 9جمع 3معکوس( ) 9له مفروق منه ( ) 3سره جمع کوو. درﻳم مثال :د 4
عدد د 2
(–3) – (+9) = (–3) + (–9) = – 12 له عدد سره جمع ک7ئ او بيا د جمع 3له حاصل څخه د 9عدد
تفريق ک7ئ. حل :لوم7ى د 4او 2عددونه سره جمع کوو ،بيا د مفروق ( ) 9د عدد عالمه بدلوو چ3 + 9شي په پاى ک 3مفروق منه او مفروق سره جمع کوو: (–6) –(–9) =–6 +9 = +3 = 3
(–4) + (–2) = –6 ,
زده مو ک7ل چ:3 د دوو تامو عددونو د تفريق په عمليه ک 3لوم7ى د مفروق عالمه بدلوو او بيا مفروق له مفروق منه سره جمع کوو .يا په بل عبارت د مفروق جمع 3معکوس له مفروق منه سره جمع کوو.
پو*تن3 –1الندې حاصلونه په الس راوړئ: )–12( –)–20( , )–3( – )9( , )–3( – )–9( , )–8( – )–4( , 0 – 5 , 5–0
, – 20 – 12
)–25( – )–12( , –13 – )–3( , 8 – 12
–2که وغواړو د 6له تام عدد څخه چ 3مفروق منه دى ،د 4تام عدد تفريق ک7و ،څرنگه کوالى شو چ 3دا عمليه د عددونو پر محور وښايو؟ –3د 6عدد له + 8سره جمع ک7ئ او د جمع 3له حاصل څخه د 14عدد تفريق ک7ئ.
56
د مختلفو العﻼمه عددونو ضرب
که چيرې دوه مختلف العالمه تام عددونه ســره ضرب شــي ،دضرب د حاصــل عالمه به څه وي؟
فعآلﻴت که چيرې د دوو عددونو د ضرب په حاصل ک 3له يوه ضربي عامل څخه يو ،يو واحد کم ک7و ،د ضرب په حاصل ک 3به څه توپير راشي؟ مخامخ ضربونو ته پاملرنه وک7ئ: 4 × 4 = 16 3× 2 = 6
د ضرب له پورتنيو حاصلونو څخه منځته راغلي بدلون پيدا ک7ئ. د دوو مثبتو عددونو د ضرب د حاصل عالمه څه ده؟ د يو منفي عدد او يو مثبت عدد د ضرب د حاصل عالمه څه ده؟په الندې ډول هم کوالى شو ،چ 3همدا نتيجه پر الس راوړو.
2× 2 = 4
3 × 4 = 12
1× 2 = 2 0× 2 = 0
2× 4 = 8 1× 4 = 4
1× 2 = 2 2× 2 = 4 3× 2 = 6
0× 4 = 0 1× 4 = 4 2× 4 = 8
4× 2 = 8
3 × 4 = 12
00 0
00 0
که چيرې يو تام مثبت عدد ،د مثال په ډول ، +2درې ځل 3سره جمع ک7و ،نو ليدل کي8ي چ:3 (+2) + (+2) + (+2) = +6 په دې ځاى ک 3په حقيقت ک 3د +2عدد درې چنده شوى دى په طبيعي عددونو ک 3مو درلودل 3× 2 = 6 چ:3 پورتن 9عمليه د محور پر مخ داس 3ښکاره کوو: )(+2
+ +7
+6
+5
)(+2 +4
+3
)(+2 +2
+1
په همدې ډول په الندې شکل ک 3د –2عدد درې ځل 3راغلى دى:
57
– 0
–1
–2
)( –2
+ +1
0
)( –2 –2
–1
–3
)(–2 –4
–5
– –6
–7
–8
–9
(–2) +(–2) +(–2) = 3 ×(–2) = –6 مثال :د 4عدد په 3ک 3ضرب ک7ئ: 3 × (–4) = (–4) + (–4) + (–4) = –12 حل: پو*تنه:الندې تش ځايونه ډک ک7ئ: ) ( = (–6) × 2 , ( ) × 5 = –25 , (–3)× ( ) = –3
فعآلﻴت له 7څخه تر –7پورې د عددونو د ضرب حاصل له 2سره د دې لوست د لوم7ني فعاليت په شان وليکئ.
زده مو ک7ه چ:3 که چيرې دوه مثبت عددونه يوله بله سره ضرب شي ،د ضرب د حاصل عالمه مثبت ده. که چيرې يو منفي عدد له مثبت عدد سره او يا يو مثبت عدد له منفي عدد سره ضرب شي ،دضرب د حاصل عالمه منفي ده.
پو*تن3 –1د الندې محور پر مخ څه وينئ؟ د ضرب په شکل ي 3وليکئ. -1 0
-1 -1
-1 -2
-3
-4
پورې تام عددونه په ترتيب سره په 2ک 3ضرب ک7ئ او د ضرب حاصلونه دوه په
–2د + 5څخه تر 5 دوه سره پرتله ک7ئ. –3که چيرې د دووتامو عددونو د ضرب حاصل +8وي ،که يو عدد +4وي ،بل عدد به څو وي؟ –4که چيرې د دوو تامو عددونو د ضرب حاصل _ 8دى ،که يو عدد _ 4وي ،بل عدد به څو وي؟
–5الندې د ضرب عملي 3سرته ورسوئ؟
=4×7 , (–2) × (+3) = , = (–1) × 0 ,
= (–4) × 5 , = (–5) × 3 = )(–3) × (+1 , = )(–1) × (+1 (–7) × (+10) = , = )(–9) × (100 –6له +7سره کوم عدد ضرب ک7و ،تر څو د ضرب حاصل ي ) 56 ( 3شي؟
58
د منفي عدد ضرب په منفي عدد ک3 که چيرې يو اختياري تام عدد لکه (د 2
يا 5
تام عددونه) په نورو تامو عددونو(مثبت ،صفر او منفي تامو عددونو) ک 3په پرله پس 3ډول په ترتيب سره ضرب ک7و ،د 2او 5د اړوندو د ضرب له حاصلونو څخه به څه نتيجه په الس راړو؟
3 × (–5) = – 15
3 × (–2) = – 6
2 × (–5) = –10
2 × (–2) = –4
1 × (–5) = –5
1 × (–2) = –2
0 × (–5) = 0
0 × (–2) = 0
–1 × (–5) = 5
–1 × (–2) = 2
–2 × (–5) = 10
–2 × (–2) = 4
–3 × (–5) = 15
–3 × (–2) = 6
فعآلﻴت له دوو ضربي عواملو څخه د لوم7ني ضربي عامل په کمولو سره د ضرب په حاصلونو ک 3څه توپير وينئ؟ ددې توپير په پام ک 3نيولو سره الندې د ضرب حاصلونه پوره ک7ئ: ... 5 × (–5) = –25 4 × (–5) = –20 3 × (–5) = –15 2 × (–5) = –10 1 × (–5) = –5 0 × (–5) = 0 –1 × (–5) = +5 –2 × (–5) = +10 –3 × (–5) = +15 = )–4 × (–5 = )–5 × (–5
.. .
.. . 5 × (–2) = –10 4 × (–2) = –8 3 × (–2) = –6 2 × (–2) = –4 1 × (–2) = –2 0 × (–2) = 0 –1 × (–2) = +2 –2 × (–2) = +4 –3 × (–2) = +6 = )–4 × (–2 = )–5 × (–2
.. .
د دوو منفي تامو عددونو په ضربولو ک 3ددې لوست د پيل په فعاليت ک 3مو وليدل چ:3 که چيرې يو منفي عددپه بل منفي عدد ک 3ضرب شي لکه ( 4) × ( 5) :نو د ضرب حاصل يو مثبت عدد دى.
59
لوم7ى مثال :د 6عدد د 2په عدد ک 3ضرب ک7ئ. حل :لکه څرنګه چ 3ددې لوست د پيل په فعاليت ک 3مووليدل ،که چيرې دوام ورته ورک7و الندې نتيجه الس ته راځي: (–6) × (–2) = +12 دوﻳم مثال :د ) ( 2) × (+3) × ( 10د ضرب حاصل په الس راوړئ. حل :لوم7ى له کي 32خوا دوه عددونه سره ضربوو ،بيا د ضرب حاصل له در4م عدد سره ضربوو: )–2( × )+3( = –6 اوس په الس راغلى د ضرب حاصل په ( ) 10ک 3ضربوو ،نو لرو چ:3 (–6) × (–10) = +60 زده مو ک7ل چ:3 -1د يو مثبت او يو منفي عدد د ضرب حاصل يو منفي عدد دى. -2ددوو منفي عددونو د ضرب حاصل يو مثبت عدد دى. -3په عمومي ډول د دوو هم عالمه عددونو د ضرب حاصل يو مثبت عدد او د دوو مختلف العالمه عددونو د ضرب حاصل يو منفي عدد دى.
پو*تن3 –1الندې د ضرب عملي 3سرته ورسوي؟ = )(–1) × (–1
,
= )(+3) × (–3
,
= )(–6) × (–1
= )(–4) × (–8
,
= )(–2) × (+5
,
= )(–12) × (–3
–2له + 2څخه تر 6پورې عددونه په ترتيب سره د 3په عدد ک 3ضرب ک7ئ او د ضرب حاصلونه دوه په دوه سره پرتله ک7ئ. –3په مناسبو عددونو سره الندې تش ځايونه ډک ک7ئ. (–3) × ( ) = +21 ) ( = )(–1) × (–11
, ,
) ( = )(–2) × (–5 (–3) × ( ) = –6
–4الندې د ضرب حاصلونه په الس راوړئ
= )(–3) × (+2) × (–5 = )(–6) × (–4) × (–2 = )(–10) × (–2) × (+1
, , ,
(–4) × ( ) = +8 , ( ) × (–9) = +27 , = )(–2) × (+3) × (–4 = )(+7) × (–4) × (–2 = )(–1) × (–1) × (–1
60
د تامو عددونو و4ش ? = )(+18) ÷(–6
× (+18) ÷ ( – 6 ) = – 3
? × (+6) = –18
× (–18) ÷ ( – 6 ) = + 3
? = )(–18) ÷ (–6
لکه څرنگه چ 3د طبيعي عددونو له بحث څخه پوهي8و ،د و4ش عمليه د ضرب له عملي 3سره معکوسه اړيکه لري ،په دې معنا: که چيرې د ضرب حاصل په لوم7ۍ ضربي جزوه وو4شل شي ،دويمه ضربي جزوه په الس راځي ،په همدې ډول که د ضرب حاصل په دويمه ضربي جزوه وويشل شي ،لوم7ۍ ضربي جزوه په الس راځي.
الندې جدول ته وگورئ!
د و4ش عمليه
د ضرب عمليه
(+18) ÷ (+6) = +3
(+6) × (+3) = +18
(+18) ÷ (–6) = –3
(–6) × (–3) = +18
(–18) ÷ (+6) = –3
(+6) × (–3) = –18
(–18) ÷ (–6) = +3
(–6) × (+3) = –18
فعآلﻴت د ضرب له الندې عملي 3څخه د پورته جدول په شان يو جدول جوړ ک7ئ چ 3د تامو عددونو د ضرب او ويش تر منځ اړيک 3ښکاره ک7ئ:
واضح ک7ئ چ 3دوه تام عددونه څرنګه يو پر بل و4شو.
61
1) 6 × 2 = 12 2) (–6) × 2 = –12 3) 6 × (–2) = –12 4) (–6) × (–2) = 12
نتﻴجه :د ضرب او و4ش سرته رسيدلو عمليو ته په پام کولو سره مو وليدل چ:3 _ که يو منفي عدد پر مثبت عدد وو4شل شي د و4ش د حاصل عالمه منفي ده. _ که يو منفي عدد پر بل منفي عدد وو4شل شي د و4ش د حاصل عالمه مثبت ده. _ که يو مثبت عدد پر منفي عدد وو4شل شي د و4ش د حاصل عالمه منفي ده. مثال :لوم7ى د صورتونو او مخرجونو عالم 3وټاکئ او بيا د و4ش حاصلونه په الس راوړئ: حﻞ:
)(+6) × ( 5 = =? ? , , )(+2) × ( 15
)(+5) × ( 8 = )( 10) × (+1
? =,
,
)( 4) × ( 3 ?= )( 2 )× ( 1
د تامو عددونو په و4ش ک ،3لکه د تامو عددونو د ضرب په شان لوم7ى د و4ش د حاصل عالمه پيدا کوو ،بيا د و4ش عمليه سرته رسوو: )( 4) × ( 3) (+12 )(+6) × ( 5) ( 30 )(+5) × ( 8) ( 40 = =+6 , = = +1 , = =+ 4 )(+2) × ( 15) ( 30 )( 10) × (+1) ( 10 )( 2 )× ( 1) (+2
په ﻳاد ولرئ چ:3 د و4ش په عمليه ک ،3لوم7ى د و4ش دحاصل عالمه ټاکو او بيا د مقسوم مطلقه قيمت د مقسوم عليه په مطلقه قيمت باندې و4شو.
پو*تن3 –1لوم7ى د کي 32خوا تش ځايونه ډک او بيا د ښ 9خوا د و4ش حاصلونه وليکئ: = )( 138) ÷ (3 = )( 74) ÷ ( 37
, ,
= )( 70) ÷ ( 14
,
= )(20) ÷ ( 5
,
( 5) × ( ) = +20
(+7) × ( ) = 56 , = )( 56) ÷ (+7 )( ) × (+8 8) == (4040) , , ( 40 = )÷ (+÷8()+=8 )( )40 ( ) × ( 5) = 35 , = )( 35) ÷ ( 5
–2د ) (+6) ( 18حاصل د ) ( 8) + ( 4د حاصل په و4شلو ک 3بايد څرنګه عمل وک7و.
–3الندې عملي 3پوره ،د ضرب او و4ش اړونده جدول ي 3جوړ ک7ئ: ( = )(–42) ÷ (+6 ) ( ) × (–2) = –72 (–100) ÷ ( ) = +100 )(+60) ÷ ( ) = (–20
, , , ,
) ( = )(–8) × (+4 (+50) × ( ) = –200 ( ) ÷ ( –4) =+20 ) ( = )(–12) × (+3
62
د حسابي افادو د قﻴمت پﻴدا کول ]})-3[2-(4-3)-{-1+1-(-1-1
که په يوه پوښتنه ک 3څو عملي(3جمع ،تفريق، ضرب او و4ش) وي ،څه بايد وک7و؟
]}-3[2-4+3-{-1+1+1+1
ايا الندې پوښتنه د څلورو اساسي عمليو په مرسته چ 3تر اوسه مو زده ک7ى دي ،حلوالى شئ؟
]-3[2-4+3+1-1-1-1
? = }) ( 5) – {( –4 ) × ( –7 )} – {( –6 ) ÷ ( +2
-3[-1]=3
په ﻳاد ولرئ چ:3 دې( ) قوس ته کوچنى قوس ،دې { { قوس ته منځنى او دې [ ] قوس ته لوى قوس وايي. د قوسونو په رفع کولو ک 3لوم7ى کوچنى قوس ،بيا منځنى او په پاى ک 3لوى قوس خالصي8ي. د ﻳوې حسابي افادې د محاسب 3او ﻳا ساده کولو لپاره ﻻندې پ7اوونه په کاروو:
لوم7ى :که په حسابي افادو ک 3طاقت او جذر وي ،لوم7ى بايد هغه ساده ک7و. دوﻳم :که په حسابي افادو ک 3قوسونه وي ،لوم7ى قوسونه له منځه وړو. در4م :د ضرب او و4ش عملي 3له کي 32خوا څخه ښي خواته سر ته رسوو. 'لورم :د جمع او تفريق عملي 3له کي 32خوا څخه ښي خواته سرته رسوو. لوم7ی مثال :الندې حسابي افاده ساده ک7ئ. حﻞ:
( 6 × 4) × 23 5 + 49 ÷ 7 10
: )–6 × 4( × 8 –5 + 7 ÷ 7 – 10لوم7ى : –24 × 8 –5 +7 ÷ 7 –10دويم : –192 – 5 + 7 ÷ 7 –10دريم : –192 –5 + 1 – 10څلورم : –197 + 1 – 10پنځم : –196 – 10شپ8م : –206اووم
63
دوﻳم مثال :ساده ي 3ک7ئ: ]23 [ 23 { 23 ( 23 23 + 23) 23} 23 ]= 23 [ 23 { 23 ( 23 + 0) 23} 23 ]= 23 [ 23 { 23 + 23 23} 23 ]= 23 [ { 23} 23] = 23 [ 23 + 23 23] = 23 [ 23 + 0 = 23 + 23 = 46
درﻳم مثال :ساده ي 3ک7ئ 25 42 ÷ 7 × 2 + 45 ÷ 3 × 5 5 × 9 ÷ 3 × 2
حل:
25 6 × 2 + 15 × 5 5 × 3 × 2 )25 12 + 75 30 = (25 + 75) (12 + 30 = 100 42 = 58
زده مو ک7ل چ:3 لوم7ى :که په حسابي افادو ک 3طاقت او جذر وي ،لوم7ى بايد هغه ساده ک7و. دوﻳم :که په حسابي افادو ک 3قوسونه وي ،لوم7ى قوسونه له منځه وړو. در4م :د ضرب او و4ش عملي 3له کي 32خوا څخه ښي خواته سر ته رسوو. 'لورم :د جمع او تفريق عملي 3له کي 32خوا څخه ښي خواته سرته رسوو.
پو*تن3 الندې افادې ساده ک7ئ. 319 + 40 ÷ 8 220 64 ÷ 2
{(–6 × 4 ) × 2} – {5 × (–5 + 3)} + 20
)1
[9 ÷ {– (–3) × (5 – 8 )}] +10
)2
10 × 24 ÷ {– (–4) × (5 – 7 )} –6
)3
[{5 × (–4)} – {(–5) × (–1)}] – 10
)4
2×{(–3) + (–2)} + 8 – 2
)5
)6 )7
-6دا حسابي افاده ]6) 12 ÷ 3[ 4 + 8{ 3 + 2( 7 + 10) + 3 × (8 2)} 1 مساوي ده په: 265
)c
256
)b
652
)a
64
د درﻳم 'پرکي لن6ﻳز دا ... 5, 4, 3, 2, 1, 0,1, 2, 3, 4, 5 , ...عددونه د تامو عددونو په نامه يادي8ي. د تامو عددونو سټ (مجموعه) په الندې ډول ښودل کي8ي: } I = { . . . , –5, –4, –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, +4,+5, . . . د عددونو محور يو جهت لرونکي خط يا کرښه ده چ 3د هغ 3پر مخ کوالى شو ،مثبت عددونه، صفر او منفي عددونه وښيو. هر تام عدد او د هغه جمع 3معکوس(متضاد) دمحور پر مخ له صفره څخه مساوي فاصل 3لري او عالم 3ي 3مختلف 3وي چ 3له مبدآ (صفر) څخه دې فاصل 3ته ددې عددونو مطلقه قيمت وايي. معمو ًال په مثبتو عددونو ک 3د عالم 3ليکلو ته اړتيا نشته. د تامو عددونو د تفريق په عمليه ک ،3لوم7ى د مفروق عالمه بدلوو او بيا نور د جمع 3د عملي 3په شان عمل کوو ،يا په بل عبارت د مفروق جمع 3معکوس(متضاد) له مفروق منه سره جمع کوو. د دوو هم عالمه عددونو دضرب حاصل مثبت دى. د دوو مختلف العالمه عددونو د ضرب حاصل منفي دى. د تامو عددونو د و4ش په عمليه ک 3لوم7ى د و4ش د حاصل عالمه پيدا کوو او بيا د مقسوم مطلقه قيمت د مقسوم عليه پر مطلقه قيمت و4شو. دا ( ) کوچنى قوس ،دا {
{ منځنى قوس او [
] لوى قوس دى.
د قوسونو د رفع کولو لپاره ،لوم7ى کوچنى ،بيا منځنى ،او په پاى ک 3لوى قوس له منځه وړل ک85ي. که د قوس د باندې عالمه منفي وي د قوس د نني عالم 3بدلي8ي او که د قوس د باندې عالمه مثبت وي ،نو د قوس په دننيو عالمو ک 3بدلون نه راځي.
65
د درﻳم 'پرکي پو*تن3 –1د 6, 4,+7, 3او + 10تام عددونه او د دوى د هر يوه جمع 3معکوس د اعدادو پر محور وښيئ. –2د 0, 10, + 8, 8او 12 –3الندې مساواتونه پوره ک7ئ:
عددونو مطلقه قيمتونه وليکئ.
)a
= (–6) + 4 = )b) 5 – (–3 c) 8+0 = d) (–8) + 0 –4د ) (+2) , ( 4او ) ( 1در4و تامو عددونو د جمع 3حاصل د يو محور پر مخ وښيئ. –5د عددونو پر محور د الندې شکل په شان حرکت د غش 3په مرسته ښودل شوي دي ،دا عددونه جمع ک7ئ او نتيجه ي 3په الس راوړئ.
–
+ +6
+5
+3 +4
+2
+1
0
–1
–2
–3
–4
–6له ( 7) + 10افادې څخه د) – ( –6 +10 – 4افاده تفريق ک7ئ. –7الندې د ضرب حاصلونه په الس راوړئ: = (a( )– 8 + 2 – 4( × ) –5 +2 –1 = ( b( – )– 4+ 6 –3( × ) –5 + 0 –8الندې د و4ش حاصلونه په الس راوړئ:
= (c( )6 – 10 ( × ) –7 + 3 × 2 = )a) – (–10) ÷ ( –2 = )b) (–16 +4 ) ÷ (–2) × (3
–9الندې افاده ساده ک7ئ:
= )c) – (+10 +8 ) ÷ (– 6 ÷ 2
= ) –6 ( ÷ ) –2 ( – ])10( ÷ {)–2( + )+22×3({[ – 2 –10الندې افاده ساده ک7ئ:
4 [ 5 + { 4 + ( 5 + 4) 5} + 4] 5
66
'ﻠﻮرم 'پرکﻰ
ﻧسبتﻲ عددوﻧﻪ
53
پاسﻨﻰ ﻣرﻏ 500 kg 9وزن ﻟري. د دې اﻟﻮتﻮوﻧکﻰ وزن پﻪ ﻳﻮ ﻧسبتﻲ ﻋدد سره *ﻮدل ک85ي.
ﻧسبتﻲ عددوﻧﻪ
اﻳا کﻠﻪ ﻣﻮ ﻓکر ک7ى دى' ،رﻧگﻪ کﻮﻻى شﻮ چ3 دوې ﻣ 32پﻪ در4ﻮ تﻨﻮ پﻪ ﻣساوي ډول ووﻳشﻮ؟
فعاﻟﻴت -1ﻳﻮ سپ2سﻲ(تار) د 10cmپﻪ اوږدواﻟﻰ راواخﻠئ. -2سپ2سﻰ پﻪ در4ﻮ ﻣساوي برخﻮ ووﻳشئ. -3د خط کش پﻪ ﻣرستﻪ د درې واړو برخﻮ اوږدواﻟﻰ پﻴدا ک7ئ. ﻟﻪ پﻮرتﻨﻲ ﻓﻌاﻟﻴت 'خﻪ ﻣﻌﻠﻮﻣﻴ8ي چ 3پﻪ ﻻس راﻏﻠﻰ اوږدواﻟﻰ ﻟﻪ 3ساﻧتﻲ ﻣترو 'خﻪ ﻟﻮى او ﻟﻪ 4ساﻧتﻲ ﻣترو 'خﻪ کﻮچﻨﻰ دى ،ﻧﻮ$کﻪ ﻧشﻮ کﻮﻻى چ 3د تار اوږدواﻟﻰ د تام (پﻮره) ﻋدد پﻪ شکﻞ *کاره ک7و ،ﻧﻮ د ﻋددوﻧﻮ ﻳﻮ بﻞ س تﻪ اړتﻴا ده چ 3د ﻫﻐﻮ پﻪ ﻣرستﻪ پﻮرتﻨﻰ ﻋدد و*ﻴﻮ .پﻪ دې ﻓﻌاﻟﻴت ک' 3رﻧ/ﻪ چ 3ﻟس ( )10پﻪ در4ﻮ ﻣساوي برخﻮ وﻳشﻞ شﻮي دي ،ﻧﻮ کﻮﻻى شﻮ چ 3د 10پﻪ شکﻞ 3 ﻳ 3و*ﻴﻮ ،دا ډول ﻧﻮي ﻋددوﻧﻪ د ﻧسبتﻲ ﻋدددوﻧﻮ پﻪ ﻧاﻣﻪ ﻳاد84ي. اوس ﻏﻮاړو چ 3د ﻋددوﻧﻮ د ﻣحﻮر پﻪ واسطﻪ د 10 3 10 —
ﻋدد و*ﻴﻮ. 10 —–
3
+
+1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10
3
0
–
–4 –3 –2 –1
ﻟکﻪ 'ﻨ/ﻪ چ 3ﻫر تام ﻋدد جﻤﻌ 3ﻣﻌکﻮس ﻟري ،ﻧﻮ ﻧسبتﻲ ﻋدد ﻫﻢ جﻤﻌ 3ﻣﻌکﻮس ﻟري. د بﻴﻠگ 3پﻪ تﻮ-ﻪ د 10ﻋدد جﻤﻌ 3ﻣﻌکﻮس د 10ﻋدد دى چ 3پﻪ پﻮرتﻪ شکﻞ ک* 3ﻮدل شﻮي دى. 3
3
7 3 ﻣثال :د 11 ، ،ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻪ او د دوې جﻤﻌ 3ﻣﻌکﻮسﻮﻧﻪ(ﻣتضاد) د ﻋددوﻧﻮ پر ﻣحﻮر
و*ﻴئ.
69
5
5
5
حﻞ: جﻤﻌﻲ ﻣﻌکﻮس 11 —+
+
7 —+
5
3 —+
5
+2
3 —–
5
0
+1
7 —–
5
11 —– 5
5
–
–2
–1
ﻳﻮد بﻞ جﻤﻌﻲ ﻣﻌکﻮس دي ﻳﻮد بﻞ جﻤﻌﻲ ﻣﻌکﻮس دي
فعاﻟﻴت -1ﻟﻮﻣ7ى د ﻋددوﻧﻮ پر ﻣحﻮر درې واحده جﻼ ک7ئ. -2دا درې واحده پﻪ 'ﻠﻮرو ﻣساوي برخﻮ ووﻳشئ. -3ﻫره برخﻪ د کﻮم ﻧسبتﻲ ﻋدد *ﻮدوﻧک 3ده؟ 3
-4ﻳﻮ واحد پﻪ 'ﻠﻮرو ﻣساوي برخﻮ ووﻳشئ او د ﻋدد و*ﻴئ. 4 -5د دې ﻋدد جﻤﻌ 3ﻣﻌکﻮس کﻮم ﻋدد دي؟ د ﻣحﻮر پر ﻣخ ﻳ 3و*ﻴئ. کﻪ چﻴرې د
3 4
کسر د ﻋددوﻧﻮ پر ﻣحﻮر و*ﻴﻮ او د پﻮرتﻨﻲ ﻓﻌاﻟﻴت ﻧتﻴجﻪ ورسره پرتﻠﻪ ک7و ،ﻟﻴدل کﻴ8ي 3 4
چ 3د 3 4 د nپﻪ شکﻞ وﻟﻴکﻞ شﻲ ،د nاو dﻋددوﻧﻪ تام ﻋددوﻧﻪ دي چ0 3 d
ﻧسبتﻲ ﻋدد ﻫﻤدا د
ﻋام کسر دى ،ﻧﻮ ﻳﻮ ﻧسبتﻲ ﻋدد ﻟﻪ ﻫﻐﻪ ﻋدد 'خﻪ ﻋبارت دى چ3 dدى .اﻋشاري ختﻤ5دوﻧکﻲ
کسروﻧﻪ او ﻣتﻮاﻟی کسروﻧﻪ ﻫﻢ ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻪ دي.
پﻮ*تﻨ3 7 5 2 -1د ﻋددوﻧﻮ پر ﻳﻮه ﻣحﻮر باﻧدې ﻫر واحد پﻪ در4ﻮ ﻣساوي برخﻮ وو4شئ او د , , 3 3 3
ﻋددوﻧﻪ او د ﻫﻐﻮې جﻤﻌ 3ﻣﻌکﻮسﻮﻧﻪ د ﻣحﻮر پر ﻣخ و*ﻴئ.
-2د ﻣحﻮر پر ﻣخ ﻫر واحد پﻪ 'ﻠﻮرو ﻣساوي برخﻮ وو4شئ ،ﻫرې برخ 3تﻪ ﻳ a 3وواﻳئ ،بﻴا د ﻧسبتﻲ ﻋدد او جﻤﻌﻲ ﻣﻌکﻮس ﻳ 3د ﻣحﻮر پر ﻣخ پﻪ ﻧ+ﻪ ک7ئ ،ﻫﻤدارﻧگﻪ وواﻳئ چ 3د 'ﻮ aپﻪ اﻧدازه د
5 4
ﻟﻪ ﻋدد 'خﻪ ﻟرې پروت دى.
4 3 -3ﻳﻮ ﻣحﻮر داس 3وو4شئ چ 3د , 5 5
*ﻮدل شﻮي وي.
6 7 ,او 5 5
3 4
5 4
ﻋدد د
ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻪ پﻪ *کاره ډول پر ﻣحﻮر
70
د ﻧسبتﻲ عددوﻧﻮ پرتﻠﻪ کﻮل
پﻪ کﻮم تصﻮﻳر ک- 3ﻠﻮﻧﻮ ډ4ر $اى پﻮ*ﻠﻰ دى؟
> 5 7 35 35 4 7 پﻪ ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻮ ک 3کﻮم ﻳﻮ ﻟﻮى دى؟ دوﻳﻢ ﻣثال :د او 9 12 7 9 63
,
3 7 21 = × 5 7 35
4 12 48 = ) (× , = ) (× حﻞ: 9 12 108 12 9 108 7 4 63 48 ﻧﻮ ﻟﻴکﻼى شﻮ چ3 > او ﻟﻪ دې $اﻳﻪ داس 3پاﻳﻠﻪ پﻪ ﻻس را$ﻲ چ 3د > . 108 108 12 9
د ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻮ پﻪ پرتﻠﻪ کﻮﻟﻮ ک 3چ 3ﻣخرجﻮﻧﻪ ﻳ 3سره ﻣساوي وي ،ﻫﻐﻪ ﻋدد ﻟﻮى دى چ 3صﻮرت ﻳ 3ﻟﻮى وي او کﻪ صﻮرتﻮﻧﻪ ﻳ 3سره ﻣساوي وي ،ﻫﻐﻪ ﻋدد ﻟﻮى دى چ 3ﻣخرج ﻳ 3کﻮچﻨﻰ وي .د دوو او ﻳا زﻳاتﻮ داس 3ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻮ د پرتﻠﻪ کﻮﻟﻮ ﻟپاره چ 3صﻮرتﻮﻧﻪ او ﻣخرجﻮﻧﻪ ﻳ 3سره ﻣساوي ﻧﻪ وي، ﻟﻮﻣ7ى د دې ﻋددوﻧﻮ ﻣشترک ﻣخرج(کﻮچﻨﻰ ﻣشترک ﻣضرب) پﻴدا کﻮو او بﻴاﻳ 3سره پرتﻠﻪ کﻮو.
پﻮ*تﻨ3 ﻻﻧدې ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻪ سره پرتﻠﻪ ک7ئ. 5 3 1 , , 9 7 3
)e
11 7
8 , 5
)d
1 1 , 2 2
)c
5 6 , 7 11
)b
3 4 , 5 7
)a
72
د ﻧسبتﻲ عددوﻧﻮ د جﻤع 3او تفرﻳﻖ عﻤﻠﻴ3 1 د ﻳﻮه 'ادر د جﻮړوﻟﻮ ﻟپاره 3 2 او د ﻏاړې د 'ادر ﻟپاره 2ﻣتره ﻟﻪ ﻫﻤدې !ﻮکر پﻪ 5 کار دی .کﻪ دا د اړتﻴاوړ !ﻮکر ﻟﻪ 15 1ﻣترو !ﻮکر 'خﻪ 2 پرﻳک7و 'ﻮﻣره !ﻮکر بﻪ پات 3شﻲ؟ 5ﻣتره !ﻮکر پﻪ کار دى
فعاﻟﻴت 1 -1ﻟﻮﻣ7ى د 2
ﻋدد د ﻋددوﻧﻮ پر ﻣحﻮر و*ﻴئ او د ! Aکﻰ ورتﻪ وواﻳئ.
-2د Aﻟﻪ !کﻲ 'خﻪ د 13پﻪ اﻧدازه *ﻲ خﻮاتﻪ حرکت وک7ئ او Bورتﻪ وواﻳئ. 10
-3د ! Bکﻰ ﻟﻪ کﻮم ﻧسبتﻲ ﻋدد سره برابر دى؟ 1 13 -4د دې ﻋددوﻧﻮ د ﻣشترک ﻣخرج پﻪ ﻣرستﻪ د + 2 10 5 4 د تﻔرﻳﻖ حاصﻞ پﻴدا ک7ئ. -5د 2 + 3د جﻤﻌ 3حاصﻞ او د 6 6 6 6
د جﻤﻌ 3حاصﻞ پﻴدا ک7ئ.
ﻟﻮﻣ7ى ﻣثال :ﻻﻧدې ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻪ د کﻮچﻨﻲ ﻣشترک ﻣخرج او ﻳا د ﻣخرجﻮﻧﻮ د کﻮچﻨﻲ ﻣشترک ﻣضرب د پﻴدا کﻮﻟﻮ پﻪ ﻣرستﻪ جﻤع ک7ئ. حﻞ:
5 7 60 + 126 186 93 31 = + = = = 18 12 216 216 108 36
کﻪ اوس پﻪ دې ﻣثال ک 3د ﻣخرجﻮﻧﻮ کﻮچﻨﻰ ﻣشترک ﻣضرب پﻴدا ک7و ،کﻮﻻى شﻮ د جﻤﻌ 3ﻋﻤﻠﻴﻪ پﻪ ﻻﻧدې ډول سرتﻪ ورسﻮو: 18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 32 12 = 3 × 2 × 2 = 3 × 2 2 ﻟﻴدل ک85ي ،چ 3د 18او 12ﻋددوﻧﻮ کﻮچﻨﻰ ﻣشترک ﻣضرب ﻟﻪ ' 32 × 22 = 36خﻪ ﻋبارت
دى ،ﻧﻮ ﻟرو چ:3 5 7 10 + 21 31 = + = 18 12 36 36
73
فعاﻟﻴت 5 -1ﻟﻮﻣ7ى د 6
ﻧسبتﻲ ﻋدد د ﻣحﻮر پﻪ ﻣخ و*ﻴئ او دې !ک 3تﻪ Aوواﻳئ.
1 -2د Aﻟﻪ !کﻲ 'خﻪ د 4 5 1 د تﻔرﻳﻖ حاصﻞ د کﻮچﻨﻲ ﻣشترک ﻣضرب د پﻴدا کﻮﻟﻮ پﻪ ﻣرستﻪ پﻪ ﻻس راوړئ. -3د 6 4
پﻪ اﻧدازه د ﻣحﻮر کﻴ 32خﻮاتﻪ ﻻړ شئ ،کﻮم !کﻲ تﻪ رسﻴ8ئ؟
2 5 دوﻳﻢ ﻣثال :د ﻟﻪ ﻧسبتﻲ ﻋدد 'خﻪ د 3 4
ﻧسبتﻲ ﻋدد تﻔرﻳﻖ ک7ئ:
حﻞ:
5 4
2 15 8 7 = = 3 12 12
د ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻮ د جﻤﻌ 3ﻳا تﻔرﻳﻖ پﻪ ﻋﻤﻠﻴﻮ ک 3ﻫﻢ دوﻣره بس دى چ 3ﻣشترک ﻣخرج ﻳ 3پﻴدا ک7و او صﻮرتﻮﻧﻪ ﻳ 3سره جﻤع ﻳا تﻔرﻳﻖ ک7و.
پﻮ*تﻨ3 -1ﻻﻧدې ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻪ جﻤع ک7ئ. 4 6 7 3 5 7 9 3 + )= , b) + = , c + )= , d = + 5 5 3 4 8 12 16 8 3 5 ﻧسبتﻲ ﻋدد د ﻣحﻮر پر ﻣخ و*ﻴئ او ﻟﻪ دې ﻋدد 'خﻪ د -2د 2 2 1
)a
ﻧسبتﻲ ﻋدد تﻔرﻳﻖ ک7ئ.
2 -3ﻳﻮ زده کﻮوﻧکﻰ پﻪ ﻟﻮﻣ7ۍ ورځ د ﻳﻮ کتاب برخﻪ او پﻪ دوﻳﻤﻪ ورځ ﻳ 3د ﻫﻤدې کتاب 5 5
برخﻪ
وﻟﻮستﻠﻪ ،د کتاب کﻮﻣﻪ برخﻪ ﻻ ﻟﻮستﻞ شﻮی ﻧﻪ ده؟
74
د ﻧسبتﻲ عددوﻧﻮ ضرب او و4ش (تﻘسﻴﻢ)
ﻣخاﻣخ شکﻞ د ﻣستطﻴﻠﻮﻧﻮ پﻪ ﻣﻨ #ک 3د کﻮﻣ3 اړﻳک* 3ﻮدوﻧکﻰ دى؟
?
= فعآﻟﻴت -1ﻳﻮ سپ2سﻲ (تار) د ﻳﻮ واحد پﻪ اﻧدازه پﻪ پام ک 3وﻧﻴسئ بﻴا ﻳ 3ﻧﻴﻢ ک7ئ. -2ﻫره ﻧﻴﻤاﻳﻲ برخﻪ پﻪ در4ﻮ ﻣساوي برخﻮ ووﻳشئ. -3دا ﻫره ﻳﻮه برخﻪ د واحد 'ﻮوﻣﻪ برخﻪ ده؟ 1 1 -4د ،او 1پﻪ ﻣﻨ #ک' 3ﻪ اړﻳکﻪ ﻟﻴدﻻى شئ. 2
3
6
د دوو ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻮ د ضرب ﻟپاره صﻮرت پﻪ صﻮرت ک 3او ﻣخرج پﻪ ﻣخرج ک 3ﻳﻮ ﻟﻪ بﻠﻪ سره ضربﻮو.
3 2 ) ک 3ضرب ک7ئ. ﻧسبتﻲ ﻋدد پﻪ ( ﻟﻮﻣ7ى ﻣثال :د 4 7 2 )3 ( 6 3 3 3 حﻞ: = ) (×) ( = = = 7 4 28 14 14 14 3 ) پﻪ ﻧسبتﻲ ﻋدد ک 3ضرب ک7ئ. دوﻳﻢ ﻣثال :د ( ) 8ﻧسبتﻲ ﻋدد د ( 4 15 حل : 8 3 ( 8) × ( 3) 24 2 ( = ) (×) = = 15 4 15 × 4 60 5 2 درﻳﻢ ﻣثال :د 702د ﻋدد برخﻪ 'ﻮ کﻴ8ي: 9
حﻞ:
2 1404 = = 156 9 9
75
× 702
اوس د دوو ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻮ و4ش پﻪ ﻻﻧدې ﻣثاﻟﻮ ک' 3ﻴ7و. 3 7 پر 'ﻠﻮرم ﻣثال: 5 10
ووﻳشئ.
7 3 7 5 35 7 = × = ÷ = 10 5 10 3 30 6
حل :
2 1 پﻨ(ﻢ ﻣثال د ( ) 3ﻧسبتﻲ ﻋدد د ( 3 2 حل: 1 2 7 2 7 3 21 = ) (×) ( = ) ( ÷ ) ( = ) ( ÷ ) ( 3 2 3 2 3 2 2 4
) پر ﻧسبتﻲ ﻋدد و4شئ.
د ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻮ د ضرب پﻪ ﻋﻤﻠﻴﻪ ک 3صﻮرت پﻪ صﻮرت او ﻣخرج پﻪ ﻣخرج ک 3ضربﻮو ،د تﻘسﻴﻢ پﻪ ﻋﻤﻠﻴﻪ ک 3دوﻳﻢ ﻧسبتﻲ ﻋدد(ﻣﻘسﻮم ﻋﻠﻴﻪ) سرچپﻪ کﻮو او ﻧﻮر د ضرب پﻪ شان ﻋﻤﻞ کﻮو. ﻳا د ﻣﻘسﻮم ﻋﻠﻴﻪ ضربﻲ ﻣﻌکﻮس پﻪ ﻣﻘسﻮم ک 3ضربﻴ8ي.
پﻮ*تﻨ3 -1ﻻﻧدې ﻋددوﻧﻪ ﻳﻮ پﻪ بﻞ ک 3ضرب او $ﻮاب ﻳ 3پﻪ ساده ډول وﻟﻴکئ: 12 ) 5 4 3 ) (× 5 4
15 (× 16 8 × ) ( )f 3 )c
, ,
12 5 ) × 3 6 16 3 ( )e ×) 15 4 ( )b
41 13 × , 5 2 7 13 ( )d (×) ) , 11 9 )a
2 - 2د 111د ﻋدد 3 -3د کﻮم ﻋدد 3برخﻪ 48کﻴ8ي؟ 5
برخﻪ 'ﻮ ک85ي؟
76
د ﻧسبتﻲ عدد بدﻟﻮل پﻪ اعشاري عدد باﻧدې
احﻤد او ورو ﻳ 3ﻏﻮاړي چ 3ﻳﻮ کار پﻪ 'ﻠﻮرو ور$ﻮ ک 3سرتﻪ ورسﻮي ،د ﻟﻮﻣ7ۍ ور 3$پﻪ پاى ک 3احﻤد ﻟﻪ وروره پﻮ*تﻪ وک7ه چ 3تر اوسﻪ 'ﻮ ﻓﻴصده کار سرتﻪ رسﻴدﻟﻰ دى؟
فعاﻟﻴت پﻪ ﻣخاﻣخ شکﻞ ک' 3ﻮ ﻣربع گاﻧ3 رﻧگﻪ شﻮي دي. د دې ﻣربع گاﻧﻮ کﻮم کسر ابﻲ رﻧگ ﻟري دا ﻋدد پﻪ اﻋشاري ﻋدد سره و*ﻴئ. د دې ﻣربع گاﻧﻮ کﻮم کسر شﻴﻦ رﻧگ ﻟري دا ﻋدد پﻪ اﻋشاري ﻋدد سره و*ﻴئ. د دې ﻣربع گاﻧﻮ کﻮم کسر رﻧگﻪ شﻮي دی؟ د ﻳﻮ اﻋشاري ﻋدد پﻪ ﻣرستﻪ ﻳ3 و*ﻴئ. ﻟﻮﻣ7ى ﻣثال :د 257363ﻧسبتﻲ (-ﻮﻳا) ﻋدد ،د اﻋشاري ﻋدد پﻪ ډول و*ﻴئ. 100 257363 63 63 حﻞ: = 2573 = 2573 +
پﻪ دې حاﻟت ک 2573 3تﻪ د ﻋدد صحﻴح برخﻪ او 0.63تﻪ د ﻋدد اﻋشاري برخﻪ واﻳﻲ.
77
100 100 60 3 = 2573 + + 100 100 6 3 = 2573 + + = 2573.63 10 100
100
فعاﻟﻴت د 2.3125او 0.412اﻋشاري ﻋددوﻧﻪ د ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻮ پﻪ شکﻞ وﻟﻴکئ. (
) 10000
=
(
) 10000 )
+ (
1000
(
) 1000
=
)
+ (
1000
)
+
( 100 )
( 100
)
+
10
+
دوﻳﻢ ﻣثال :د 2.32ﻋدد د ﻧسبتﻲ ﻋدد پﻪ شکﻞ وﻟﻴکئ حﻞ: 200 30 2 232
+ + = 100 100 100 100
(
)
2.3125 = 2 + 2.3157
( 10
0.412 = 0 +
= 2.32 = 2 + 0.3 + 0.02
کﻮﻻى شﻮ ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻪ د اﻋشاري ﻋددوﻧﻮ پﻪ شکﻞ او اﻋشاري ﻋددوﻧﻪ د ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻮپﻪ شکﻞ تبدﻳﻞ ک7و.
پﻮ*تﻨ3 -1د 0.420 ، 0.212او 5.215اﻋشاري ﻋددوﻧﻪ د ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻮ پﻪ ډول و*ﻴئ. 235 4250 او 2410ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻪ د اﻋشاري ﻋددوﻧﻮ پﻪ شکﻞ وﻟﻴکئ. -2د , 10000 100 1000 -3د 1.5 , 0.5او 1.25اﻋشاري ﻋددوﻧﻪ دﻣحﻮر پر ﻣخ و*ﻴئ.
- 4پﻪ ﻻﻧدې جدول ک 3د ﻫر ﻋدد صحﻴح او اﻋشاري برخﻪ پﻪ !اکﻠﻮ $اﻳﻮﻧﻮ ک 3وﻟﻴکئ. اﻋشاري برخﻪ
صحﻴح برخﻪ
اﻋشاري ﻋددوﻧﻪ
12.1 13.25 1.7394 0.16
78
د 'ﻠﻮرم 'پرکﻲ ﻟﻨ6ﻳز n " ﻳﻮ ﻧسبتﻲ ﻋدد ﻫﻐﻪ ﻋدد دې چ3 d ( ) d 0دى.
پﻪ شکﻞ وﻟﻴکﻞ شﻲ ،پﻪ داس 3حال ک 3چ n 3او dتام ﻋددوﻧﻪ او
ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻪ د -ﻮﻳا ﻳا ﻧاطﻘﻮ ﻋددوﻧﻮ( )Rational numbersپﻪ ﻧﻮم ﻫﻢ ﻳادﻳ8ي. ﻟکﻪ 'ﻨ/ﻪ چ 3ﻫر تام ﻋدد (پرتﻪ ﻟﻪ صﻔره) ﻳﻮ جﻤﻌ 3ﻣﻌکﻮس ﻟري ،ﻫر ﻧسبتﻲ ﻋدد ﻫﻢ ﻳﻮ جﻤﻌﻲ ﻣﻌکﻮس ﻟري. د ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻮ ساده کﻮل ،ﻟکﻪ د ﻋام کسر پﻪ شان ،کﻪ صﻮرت او ﻣخرج پر ﻳﻮه ﻋدد د و4ش وړ وي ،ﻧﻮ پر ﻫﻐﻪ ﻋدد ﻳ 3و4شﻮ ،تر ﻫﻐ 3چ 3صﻮرت او ﻣخرج شرﻳک ﻗاسﻢ و ﻧﻪ ﻟري. پﻪ دوو ﻧسبت 3ﻋددوﻧﻮ ک 3ﻫﻐﻪ ﻋدد ﻟﻮى دى چ 3د ﻋددوﻧﻮ پر ﻣحﻮر ﻧظر بﻞ ﻋدد تﻪ *ﻲ خﻮاتﻪ پروت وي ،ﻟکﻪ چ 3پﻪ تاﻣﻮ ﻋددو ک 3ﻣﻮ ﻫﻢ وﻟﻴدل. د دوو ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻮ د پرتﻠﻪ کﻮﻟﻮ ﻟپاره چ 3صﻮرتﻮﻧﻪ او ﻣخرجﻮﻧﻪ ﻳ 3سره ﻣساوي ﻧﻪ وي ،ﻟﻮﻣ7ى دا ﻋددوﻧﻪ باﻳد ﻫﻢ ﻣخرج ک7و او بﻴا ﻳ 3سره پرتﻠﻪ ک7و. د دوو ﻳا 'ﻮ ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻮ پﻪ جﻤع کﻮﻟﻮ ک 3د ﻋام کسر دجﻤﻌ 3پﻪ شان تر !ﻮﻟﻮ کﻮچﻨﻰ ﻣشترک ﻣخرج پﻴدا کﻮو او صﻮرتﻮﻧﻪ ﻳ 3د تاﻣﻮ ﻋددوﻧﻮ پﻪ شان جﻤع کﻮو. د ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻮ د تﻔرﻳﻖ ﻋﻤﻠﻴﻪ دجﻤﻌ 3د ﻋﻤﻠﻴ 3پﻪ شان ده ،ﻳﻮازې دا تﻮپﻴر ﻟري چ 3د ﻣﻔروق ﻋﻼﻣﻪ بدﻟﻮن ﻣﻮﻣﻲ او بﻴا ﻧﻮر د جﻤﻌ 3پﻪ شان ﻋﻤﻞ کﻮو. ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻪ ﻟکﻪ د تاﻣﻮ ﻋددوﻧﻮ پﻪ شان د ﻋددوﻧﻮ د ﻣحﻮر پﻪ ﻣرستﻪ ﻫﻢ جﻤع او ﻳا تﻔرﻳﻖ کﻮﻻى شﻮ. د ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻮ د ضرب پﻪ ﻋﻤﻠﻴﻪ ک 3صﻮرت پﻪ صﻮرت او ﻣخرج پﻪ ﻣخرج ک 3ضربﻮو ،خﻮ د و4ش پﻪ ﻋﻤﻠﻴﻪ ک 3ﻟﻮﻣ7ى ﻣﻘسﻮم ﻋﻠﻴﻪ ﻣﻌکﻮس کﻮواو ﻧﻮر د ضرب پﻪ شان ﻋﻤﻞ سرتﻪ رسﻮو.
79
د 'ﻠﻮرم 'پرکﻰ پﻮ*تﻨ3 -1ﻻﻧدې ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻪ د ﻋددوﻧﻮ پر ﻣحﻮر و*ﻴئ: 7 3
)e
2 3
,
,
)d
1 3
)c
7 3
,
)b
4 3
,
)a
-2د ﻋددوﻧﻮ پﻪ ﻻﻧدې ﻣحﻮر باﻧدې ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻪ چ 3سره جﻤع شﻮي دي د ﻋددوﻧﻮ پﻪ ﻣرستﻪ ﻳ 3وﻟﻴکئ.
–
+ 1 —+
+1
0
2
5 1 -3د ﻟﻪ ﻧسبتﻲ ﻋدد 'خﻪ د 2 2
5 —– 8
3 —–
–1
–2
2
ﻧسبتﻲ ﻋدد تﻔرﻳﻖ او د ﻋددوﻧﻮ پر ﻣحﻮر ﻳ 3و*ﻴئ.
-4ﻻﻧدې ﻋﻤﻠﻴ 3سرتﻪ ورسﻮئ: 6 4 + 5 3 6 -5د 5
,
1 7
3 5
,
5 1 + 2 3
ﻧسبتﻲ ﻋدد پﻪ اﻋشاري ﻋدد تبدﻳﻞ د ﻣحﻮر پر ﻣخ ﻳ 3و*ﻴئ او ﻫﻢ د دې ﻋدد جﻤﻌ3
ﻣﻌکﻮس پﻪ اﻋشاري ډول وﻟﻴکئ. -6ﻻﻧدې اﻋشاري ﻋددوﻧﻪ د ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻮ پﻪ شکﻞ وﻟﻴکئ. 1.23412
,
5.2345
,
2.342
,
0.340
-7د 3.234او 4.543دوه اﻋشاري ﻋددوﻧﻪ د ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻮ پﻪ شکﻞ و*ﻴئ. -8د 1.25او 2.5اﻋشــاري ﻋددوﻧﻪ د ﻧســبتﻲ ﻋددوﻧﻮ پﻪ ډول و*ﻴئ او ﻫﻢ جﻤﻌ 3ﻣﻌکﻮسﻮﻧﻪ ﻳ3 د ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻮ پﻪ شکﻞ د ﻋددوﻧﻮ پر ﻣحﻮر و*ﻴئ.
80
پن%م 'پرکﻰ مثلثونه آو 'و ضلعﻲ گان3 (مضلع گان)3
مثلثونه زموږ په چاپيريال کې شته.
د ضلعو او زاوﻳو له پلوه د مثلث ډولونه په مخامخ شکل کې کوم هندسي شکلونه وينئ؟
مثلثونه د ضلعو د اوږدوالي له پلوه کوالى شو په درې ډولو وويشو: _ هغه مثلث چې درې واړه ضلعې يې سره مساوي وي ،متساوي االضالع مثلث نوم85ي .په هر متساوي االضالع مثلث کې درې واړه زاويې هم سره مساوي دي. _ هغه مثلث چې دوه ضلعې يې سره مساوي وي ،متساوي الساقين مثلث نوم85ي ،په متساوي الساقين مثلث کې له دواړو مساوي ضلعو څخه هرې يوې ضلعې ته د مثلث ساق او دريمې ضلعې ته يې قاعده وايې ،په متساوي الساقين مثلث کې د ساقونو مجاورې زاويې سره مساوي وي. _ هغه مثلث چې د درې واړو ضلعو اوږدوالى يې سره توپير ولري ،مختلف االضالع مثلث ور ته وايې.
)(a متساوي االضالع
)(b متساوي الساقين
)(c
مختلف االضالع
د زاوﻳو له پلوه د مثلث ډولونه: مثلثونه يې د زاويو له پلوه هم په دريوو ډولو ويشلي دي. _ هغه مثلث چې يوه زاويه يې قايمه وي ،قايم الزاويه مثلث نوم85ي. _ هغه مثلث چې يوه زاويه يې له قايمې زاويې څخه لويه وي ،منفرج الزاويه مثلث نوم85ي. _ هغه مثلث چې درې واړه زاويې يې له 90څخه کوچن 9وي ،حاده الزاويه مثلث نوم85ي.
83
مثال :له الندې مثلثونو څخه يې کوم يو حاده الزاويه ،قايم الزاويه او منفرج الزاويه مثلث دى؟
B
E G
C F
A
D
I
H
حل :لوم7ى د مثلثونو زاويې اندازه کوو: د BACمثلث چې يوه زاويه يې 90ده ،قايم الزاويه مثلث دى. د EGFمثلث چې يوه زاويه يې له 90څخه لويه ده ،منفرج الزاويه مثلث دى. د DHIمثلث چې ټولې زاويې له 90څخه کوچن 9دي ،حاده الزاويه مثلث دى.د زاويو له حيثه(پلوه) د مثلثونو په ډولونو د ويشلو لپاره قايمه زاويه معيار ټاکل ک85ي.
پو*تن3 -1يو متساوي االضالع مثلث رسم ک7ئ ،چې هره ضلعه يې 4cmوي. -2که د يو مثلث د ضلعو اوږدوالى 4cm ،5cmاو 8cmوي ،دا مثلث په کوم نوم ياد84ي؟ -3يو مثلث رسم ک7ئ چې يوه ضلعه يې 3cmاو د دې ضلعې هره مجاوره زاويه يې 60وي دا کوم ډول مثلث دى؟ -4هغه مثلث چې دوه ضلعې يې سره مساوي او ددې ضلعو تر منځ زاويه يې 90وي د ضلعو او زاويو له پلوه کوم ډول مثلث دى؟ -5يو داسې مثلث رسم ک7ئ چې يوه زاويه يې 120او د دې زاويې يوه مجاوره ضلعه 4cmوي په دې ډول څو نور مثلثونه رسموالى شئ. -6يو منفرج الزاويه مثلث رسم ک7ئ چې منفرجه زاويه يې 100وي او د دې زاويې دوه مجاورې ضلعې 4cmاو 6cmوي.
84
د ﻳو مثلث جگوالﻰ(ارتفاع) ،مﻴانه او ناصف الزاوﻳﻪ ايا تراوسه مو کوښښ ک7ئ دى چې پر عمودا ً والړ پنسل کوم مثلث ډوله شى ودروئ؟
فعالﻴت Δ
د ABCيو کيفي(اختياري) مثلث رسم ک7ئ. د دې مثلث درې واړه ارتفاع گانې رسم ک7ئ. ايا داسې نقطه(ټکى) پيدا کوالى شئ چې د مثلث درې واړه ارتفاع گانې په کې قطع شوي وي؟ د دې مثلث درې واړه ميانې رسم ک7ئ ،ايا دا درې واړه ميانې په يوه ټکي کې يوه بله سره قطع کوي؟ د دې مثلث درې واړه ناصف الزاويه رسم ک7ئ ،ايا درې واړه ناصف الزاويه هم په يوه ټکي کې سره قطع کوي؟ پورتني فعاليتونه ښکاره کوي چې په يوه مثلث کې درې واړه ارتفاع گانې ،درې واړه مياني او درې واړه ناصف الزاويه يو بل په يوه نقطه کې قطع کوي.
2 1
2
ميانه
85
2 1
ناصف الزاويه
1
ارتفاع
Δ
B
H
لوم7ى مثال :د ABCمنفرج الزاويه مثلث رسم ک7ئ او هغه ټکى پيدا ک7ئ چې درې واړه ارتفاع گانې يوه بله سره په کې C
A
قطع کوي.
D
حل :څرنگه چې په يوه منفرج الزاويه مثلث کې ځينې ارتفاع
N
گانې له مثلث څخه د باندې پرتې دي ،نو له همدې کبله د ارتفاع گانو د تقاطع ټکى هم له مثلث څخه د باندې پروت دى.
M
مﻴانه :هغه قطعه خط دی چې د مثلث د ضلعې د تنصيف نقطه له مخامخ راس سره نښلوي. ارتفاع :هغه قطعه خط دی چې د مثلث له راس څخه په مقابله ضلع عمود وي. ناصف الزاوﻳه :هغه قطعه خط دی چې د مثلث زاويه نيمايي کوي. د يو مثلث ميانې ،ارتفاعګانې او ناصف الزاويه درې واړه په يوه ټکې کې قطع کوي.
پو*تن3 -1يو قايم الزاويه مثلث رسم ک7ئ او د ميانو د تقاطع ټکى په کې وښيئ. -2د هغه مثلث ارتفاع گانې رسم ک7ئ چې ضلعې(څن6ې) يې 3cm , 5cmاو 6cmوي. -3يو متساوي الساقين مثلث رسم ک7ئ چې د هر ساق اوږدوالى يې 4cmاو قاعده يې 6cmوي او د زاويو د ناصفونو د تقاطع ټکى يې پيدا ک7ئ. -4يو متساوي االضالع مثلث رسم ک7ئ ميانې ،ارتفاع گانې او د زاويو ناصفونه يې په شکل کې وښيئ ،څه پايله به پرالس راوړئ؟
86
د ﻳو مثلث خارجﻲ زاوﻳه او د مثلث د داخلﻲ زاوﻳو مجموعه ايا د ټولو مثلثونو د داخلي زاويو مجموعه سره مساوي ده؟
˚60 ˚60
˚60 ˚30
˚60
˚90
˚60˚ + 90˚ + 30˚ = 60˚ + 60˚ + 60
د هر مثلث د داخلي زاويو مجموعه 180oده او د مثلث په ډول پورې اړه نه نلري. Δ
لوم7ى مثال :د ABCد يو متساوي الساقين مثلث دريمه زاويه پيدا ک7ئ چې که له دوو مساوي زاويو څخه هر يوه يې 70oوي. حل :څرنگه چې مثلث متساوي الساقين دى ،د ساقونو مجاورې زاويې يې سره مساوي دي، نو:
B = C = 70o
څرنگه چې د مثلث د داخلي زاويو مجموعه 180oده ،نو ليکلى شو چې: , 140 o + A = 180 o
, 70 o + 70 o + A = 180 o
A + B+ C = 180 o
له دې ځايه معلوم85ي چې A = 40oده.
فعالﻴت يو قايمه زاويه مثلث رسم ک7ئ چې هره قايمه څن6ه يې 5cmوي ،د دې مثلث دوې نورې زاويې، څو درجې دي؟ لوم7ى يې له اندازه کولو څخه پرته پيدا او بيا يې د نقالې په مرسته ،اندازه پيدا ک7ئ. د ﻳو مثلث خارجﻲ زاوﻳه :يه هر مثلث کې هغې زاويې ته چې د مثلث د يوې ضلعې له امتداد څخه د مثلث د بلې ضلعې سره جوړ84ي ،د مثلث خارجي زاويه وايې او په يوه مثلث کې د هرې خارجي زاويې اندازه د مثلث د دوو نورو غيرو مجاورو داخلي زاويو له مجموعې سره مساوي ده.
87
دوﻳم مثال :په يو قايم الزاويه متساوي الساقين مثلث کې غواړو چې هغه خارجي زاويه چې د وتر د امتداد له ورکولو څخه جوړ84ي ،اندازه ک7و .ايا دا به توپير ولري چې وتر ته کومه خوا امتداد ورک7و؟ حل :څرنگه چې مثلث قايم الزاويه دى ،نو يوه زاويه يې 90 oده او هم څرنگه چې مثلث متساوي الساقين دى ،نو هره يوه حاده الزاويه يې 45 o دهC2 = 90 o + 45 o = 135 o .
B
C2 = A + B
څرنگه چې دواړه حاده زاويې سره مساوي دي: نو خارجي زاويې يې هم سره مساوي دي .دا توپير نه لري چې خارجي
C
1 2
A
زاويه د وتر کومې خواته پرته ده. درﻳم مثال :د ABCپه يوه مثلث کې که A = 50 oاو B = 70 oوي د C 2خارجي زاويه به څو درجې وي؟ C2 = A + B = 50 o + 70 o = 120 o -د هر مثلث د داخلي زاويو مجموعه 180oده او د مثلث په ډول پورې اړه نه لري.
د يوه مثلث خارجي زاويه د مثلث د دوو داخلي غير مجاورو زاويو له مجموعې سره مساوي ده. پو*تن3 -1که په يوه متساوي الساقين مثلث کې د دوو ساقونو تر منځ زاويه 50 oوي ،ددې مثلث له دوو نورو زاويو څخه يوه به يې څو درجې وي؟ -2په يوه متساوي االضالع مثلث کې هره زاويه څو درجې ده؟ -3د يوه متساوي االضالع مثلث خارجي زاويې په خپل منځ کې څه اړيکه لري؟ -4يو قايم الزاويه مثلث رسم ک7ئ چې ضلعې يې 4cm , 3cmاو 5cmوي ،بيا د دې مثلث د خارجي زاويو مجموعه پيدا ک7ئ. -5ايا د څو مثالونو په مرسته ښودالى شئ چې د مثلثونو د خارجي زاويو مجموعه ثابته ده؟ -6د يو مثلث د خارجي زاويو مجموعه د مثلث د داخلي زاويو د مجموعې څو چنده ده؟
88
مضلع گان 3ﻳا 'و ضلع3
په مخامخ شکل کې څه ډوله مضلع گانې وينئ؟
فعالﻴت الندې جدول ته وگورئ او د ستونونو شکلونه سره پرتله ک7ئ. منظمې څو ضلعي(مضلعې گانې)
څو ضلعي دي
څو ضلعي نه دي
د لوم7ي او دويم ستون شکلونه له کيڼې څخه ښي خواته سره پرتله ک7ئ. په کوم حالت کې يو شکل مضلع او په کوم حالت کې يو شکل مضلع نه ده؟ د يوې منظمې مضلعې زاويې اندازه ک7ئ او ووايئ چې په خپل منځ کې څه اړيکه لري؟ ايا دا خصوصيت په ټولو مضلع گانو کې شته؟ له پورتني فعاليت څخه څرگند84ي چې مضلع يو ت7لى منکسر خط دى چې يوازې يوه ت7لې ناحيه ولري.
89
که د يوې مضلع زاويې او ضلعې سره مساوي وي ،منظمه مضلع ورته وايي ،هغه مضلع چې زاويې او ضلعې يې سره مساوي نه وي ،د غير منظمې مضلع په نامه ياد84ي. مثال :له الندې شکلونو څخه کوم يو ،يې څو ضلعي(مضلع) ده؟
)(c
)(f
)(b
)(e
)(a
)(d
حل :د ( )aشکل يو ت7لى شکل نه دى ،نو يوه مضلع هم نه ده. د ( )bيو ت7لی شکل دی خو منکسر خط نه دى ،نو يوه مضلع نه ده. د ( )cشکل يو ت7لى منکسر خط دى ،نو يوه مضلع ده. د ( )dشکل يو ت7لى منکسر خط دى ،نو يوه مضلع(څو ضلعي) ده. د ( )eشکل يو ت7لى منکسر خط دى ،نو يوه مضلع(څو ضلعي) ده. د ( )fشکل يو ت7لى منکسر خط دى اوپه ټولو پورتنيو شکلونو کې يوازينى شکل دى چې ضلعې يې سره مساوي دي ،نو يوه منظمه مضلع ده او نورې پورتن 9مضلع گانې ،د غير منظمو مضلع گانو په نامه ياد84ي. مضلع(څوضلعي) يوه ت7لې ناحيه ده چې د څو قطعه خطونو له تقاطع څخه جوړ84ي ،چې هيڅ دوه قطعه خطونه ديو مستقيم خط په امتداد نه وي او د مضلعې هر رآس يوازې او يوازې د دوو قطعه خطونو د تقاطع ټکى وي. پو*تن3 -1ټول هغه شکلونه چې تر اوسه يې پيژنئ د څو ضلعي ګانو نومونه يې واخلئ. -2هغه څو ضلعي گانې چې تر اوسه يې پ5ژنئ کومې يې منظمې څو ضلعي گانې دي ،نومونه يې واخلئ؟ -3ايا مستطيل ،ذوزنقه او معين منظمې مضلعې گانې(څو ضلعي گانې) دي؟ ولې؟ -4ايا يو قايم الزاويه متساوي الساقين مثلث يوه منظمه څو ضلعې ده؟ ولې؟ -5ايا يو متساوي االضالع مثلث يوه منظمه مضلع ده؟ ولې؟ -6که درې شکلونه يو مستطيل ،يوه دايره او يوه مربع په پام کې ونيسو ،کوم يو له دې شکلونو څخه مضلع نه ده ،کوم يو يې منظمه مضلع او کومه يو يې غير منظمه مضلع ده؟
90
د ﻳوې مضلع د داخلﻲ زاوﻳو مجموعه د مخامخ مضلع گانو د داخلي زاويو مجموعه څو درجې ده؟
90º
90º
90º
90º
? = 90º + 90º + 90º + 90º 108º 108º
108º
108º 108º
? = 108º + 108º + 108º + 108º + 108º
فعالﻴت په الندې شکلونو کې هرې ضلعې ته امتداد ورک7ئ.
)(e
)(d
)(c
)(b
)(a
د ( )eاو ( )aشکلونه د ( )d( ،)bاو ( )cله شکلونو سره څه توپير لري؟ له پورته فعاليت څخه نتيجه په الس راځي چې د ځينو مضلع گانو د ځينو ضلعو امتداد د څو ضلعي گانو له منځه تير84ي ،چې داسې څو ضلعي ته مقعره څو ضلعي وايي .هغه مضلع گانې چې د ضلعو امتداد يې د مضلع له منځ څخه نه تيري8ي محدبه مضلع بلل ک85ي ،پاتې دې نه وي ،که د مضلع له نوم سره د مقعرې او محدبې نوم ونه ويل شي ،موخه(هدف) ترې محدبه مضلع ده.
فعالﻴت د ABCDڅلور ضلعي په پام کې ونيسئ. د دې څلور ضلعي داخلي زاويې د نقالې په مرسته اندازه ک7ئ او د زاويو مجموعه يې پيدا ک7ئ. د څلور ضلعي يو قطر رسم ک7ئ ،دا قطر څلور ضلعي په څو مثلثونو ويشي؟ د داخلي زاويو مجموعه د نقالې له مرستې پرته پيدا ک7ئ.
91
که د دې قطر پر ځاى مو د څلور ضلعي بل قطر رسم ک7ى واى آيا په نتيجه کې به توپير راغلى واى؟ يوه پنځه ضلعي رسم ک7ئ او د دې پنځه ضلعي له يوه رآس نه دوه اختياري(کيفي) قطرونه رسم ک7ئ ،د پنځه ضلعي د داخلي زاويو مجموعه پيدا ک7ئ؟ يوه شپ 8ضلعي رسم ک7ئ ،فکر وک7ئ چې له يوه راس څخه څو قطرونه بايد رسم ک7و ،تر څو د شپ 8ضلعي د داخلي زاويو مجموعه پيدا ک7و. مخامخ جدول په خپلو کتابچو کې وليکئ او ډک يې ک7ئ ،د ضلعو د هر شم5ر په مقابل کې کوم عدد په 180 o کې ضربي8ي ،دا عدد د څو ضلعې د ضلعو له شم5ر سره څه اړيکه لري؟
د داخلي زاويو مجموعه
د ضلعو شم5ر
˚1 × 180
3
˚2 × 180
4
˚3 × 180
5
˚4 × 180
6
·
·
·
·
·
·
ايا اټکلوالى شئ چې د يوې اته ضلعي د داخلي زاويو مجموعه څو درجې ده؟ د nضلعي د داخلي زاويو مجموعه څومره ده؟ له پورتني فعاليت څخه څرگندي8ي چې S = (n 2)180 oده چې دلته Sد داخلي زاويو مجموعه او nد مضلع د ضلعو شم5ر ښکاره کوي. مثال :د يوې لس ضلعي د داخلي زاويو مجموعه څو درجې ده؟ او هم وښيئ چې د يوې قايمې زاويې څو برابره ک85ي؟ o o o o حل: S = (n 2) ×180 = (10 2) ×180 = 8 ×180 = 1440 د يوې لس ضلعي د داخلي زاويو مجموعه د يوې قايمې زاويې له ()16چنده سره برابره ده. د يوې مضلع د داخلي زاويو مجموعه د مضلع د ضلعو په شم5ر پورې اړه لري. پو*تن3 -1په الندې مضلع گانو کې محدبې او مقعرې مضلع گانې وښيئ؟
)(d
)(c
)(b
)(a
-2د يوې دولس ضلعي د داخلي زاويو مجموعه پيدا ک7ئ؟ -3د يوې اته ضلعي د داخلي زاويو مجموعه ،د يوې قايمې زاويې څو برابره ک85ي؟ -4د يو مثلث ،يوې مربع ،يو مستطيل او يوې شل ضلعي د داخلي زاويو مجموعه د پورتني فورمول له مخې پيدا ک7ئ.
92
د ﻳــوې مضلع('و ضلعﻲ) د خارجﻲ زاوﻳو مجموعه 72º
ايــا کــوالى شــئ چــې ووايــئ د يــوې مضلع(څوضلعــي) د خارجــي زاويو مجموعه څو درجې ده؟
72º
72º 72º 72º ? = 72º + 72º + 72º + 72º + 72º
فعالﻴت Δ
A
د ABCيو مثلث په پام کې ونيسئ. د ABضلعي ته له Aڅخه Bته امتداد ورک7ئ. د BCضلعې ته له Bڅخه Cته امتداد ورک7ئ. د ACضلعې ته له Cڅخه Aته امتداد ورک7ئ. د دې مثلث درې خارجي زاويې وښيئ او نوم پرې ک85دئ. الندې جدول په خپلو کتابچو کې وليکئ او ډک يې ک7ئ:
C
د داخلي زاويو مجموعه
د خارجي زاويو د داخلي او خارجي مجموعه زاويو مجموعه ? = ............. × 180o = ? ........................... .......... ......... ? = ........................... .......... .........
? = ............. × 180o
? = ........................... .......... .........
? = ............. × 180
? = ........................... .......... .........
? = ............. × 180
...
...
B
o
o
...
مضلع گانې درې ضلعي څلور ضلعي پنځه ضلعي شپ 8ضلعي ...
يوه څلور ضلعي رسم او خارجي زاويې يې وښيئ: يوه پنځه ضلعي رسم او خارجي زاويې يې وښيئ: o پورتنى فعاليت ښکاره کوي چې د يوې مضلع د خارجي زاويو مجموعه 360ده او د ضلعوپه شم5ر پورې اړه نلري.
93
لوم7ى مثال :د يوې مربع د خارجي زاويو مجموعه لوم7ى د شکل له مخې او بيا يې د فورمول له مخې پيدا او سره پرتله يې ک7ئ. حل :څرنگه چې پوه85و د يوه مستقيم خط يوې خوا ته د زاويو مجموعه 180 oده. B1 + B 2 = 90 o + 90 o = 180 o
A1 + A 2 = 90 o + 90 o = 180 o
D1 + D 2 = 90 o + 90 o = 180 o
C1 + C 2 = 90 o + 90 o = 180 o
نو د مربع د خارجي زاويو مجموعه مساوي ده په:
A 2
D 1 2
1
1
1 2 C
2
B
A 2 + B 2 + C 2 + D 2 = 90 o + 90 o + 90 o + 90 o = 360 o
دوﻳم مثال :د يو قايم الزاويه متساوي الساقين مثلث د خارجي زاويو مجموعه پيدا ک7ئ. Δ
حل :د ABCيو قايم الزاويه متساوي الساقين مثلث رسم ک7ئ ،ضلعو ته يې امتداد ورک7ئ ،تر څو خارجي زاويې يې جوړې شي ،ليدل ک85ي چې:
A 45°
A 2 =180o 45o = 135o B2 = 180o 90o = 90o C2 = 180o 45o = 135o
2
2
C
45°
90° 2
نو د مثلث خارجي زاويو مجموعه مساوي ده په: A 2 + B2 + C2 =135o + 90o + 135o = 360o د يوې مضلع د خارجي زاويو مجموعه 360 oده او د مضلع د ضلعو په شم5ر پورې اړه نه لري.
پو*تن3 -1د يو متساوي االضالع مثلث د خار جي زاويو مجموعه پيدا ک7ئ. -2که په يوه متساوي الساقين مثلث کې د دوو ساقونو تر منځ زاويه 80 oوي د دې مثلث د خارجي زاويو مجموعه پيدا ک7ئ. -3د يوې منظمې لس ضلعي د خارجي زاويو مجموعه پيدا ک7ئ. -4د مستطيل هره خارجي زاويه څو درجې ده؟ د خارجي زاويو مجموعه يې په الس راوړئ.
94
B
انطباق منوونکﻰ شکلونه لکه څنگه چې پوه85ئ ،زيات قلفونه دوې يا درې کلي گانې لري .ولې؟ دا کلي گانې په خپل منځ کې څه اړيکه لري چې قلف پرې خالص85ي ،ايا په الندې ځوابونو کې سم ځواب شته؟ الف) ځکه چې دا کلي گانې يو رنگ لري. ب) ځکه چې د دې کلي گانو اوږدوالى يو شى دی. پ) ځکه چې يو شان غاښونه لري. ت) ځکه چې د دې کلي گانو پن6والى برابر دى. ج) د ب ،پ او ت ځوابونه سم دي.
فعالﻴت د کاغذ پر مخ يوه داسې مربع رسم ک7ئ چې هره ضلع يې 4cmوي ،الف ورته ووايي. د کاغذ پر مخ يوه داسې مربع رسم ک7ئ چې هره ضلع يې 6cmوي( ،ب) ورته ووايي. د کاغذ پر مخ يوه داسې مربع رسم ک7ئ چې هره ضلع يې 4cmوي( ،پ) ورته ووايي. دا مربع گانې د قيچي په مرسته جال ک7ئ او دوې په دوې يې يو پر بل ک85دئ اوسره پرتله يې ک7ئ. د دوې انطباق منوونکو شکلو تر منځ د
عالمه کارول ک85ي.
لوم7ى مثال :په الندې شکلونو کې انطباق منوونکي شکلونه وښيئ(اړونده عددونه په سانتي متر سره د شکلونو د ضلعو اوږدوالى ښکاره کوي). 4 حل :د aاو cجوړه شکلونه يو له بل سره انطباق منوونکي دي ،ليکن د b شکلونه يو له بل سره انطباق منوونکي نه دي.
4
4
4
4
4
4
()a
()b
4
2
4 4
()c 2 دوﻳم مثال :يو اختياري مستطيل رسم ک7ئ ،څرنگه کوالى شو ،چې يو بل داسې مستطيل رسم ک7و چې له لوم7ي مستطيل سره منطبق وي .دا کار څنگه سرته رسوالى شئ.
95
حل :په دوه ډوله دا کار سرته رسوو.
B
A
-1د ABCDيو مستطيل په تيز رنگ سره رسموو ،بيا يو نرۍ کاغذ ددې مستطيل پر مخ ږدو ،د کاغذ پر مخ پنسل پرې گرځوو
اود کاغذ پر مخ بل مستطيل رسموو ،اوس نو دا دواړه شکلونه يو C
D
F
E
له بله سره منطبق دي. o
-2څرنگه چې پوه85و ،د مستطيل هره زاويه 90ده ،نو د شکل مطابق د Eقايمه زاويه رسموو او د لوم7ي مستطيل د دوو مجاورو
ضلعو لکه د ABاو ADپﻪ اﻧﺪازه ﻋﻤﻮدوﻧﻪ جﻼ ﻛﻮو او د G
H
EFاو EHضلعې په الس راوړو ،بيا د پرکار په مرسته د FG
ضلع د BCپه اندازه او د HGضلع د DCپه اندازه رسموو ،اوس نو د EFGHمستطيل د ABCDله مستطيل سره انطباق منوونکي دي. دوه شکلونه چې پوره يو پر بل منطبق وي ،په دې معنا چې يو بل وپوښيي ،انطباق منوونکي شکلونه ورته وايې.
پو*تن3 -1دوې انطباق منوونکي مربع گانې رسم ک7ئ. -2دوې لوزي گانې راک7ل شوي دي ،څرنگه پوه5داى شو ،چې دواړه انطباق منوونکي دي؟ -3دوې انطباق منوونکي مثلثونه رسم ک7ئ. -4يوه دايره چې 4cmشعاع لري رسم ک7ئ ،يوه بله داسې دايره رسم ک7ئ ،چې له لوم7ۍ دايرې سره منطبق وي.
96
د مثلثونو د انطباق منن 3حالتونه
د دې لپاره چې ووينو ايا په شکل کې دا دواړه باغچې سره انطباق منوونکي دي او که نه؟ ايا کوالى شو چې يو شکل راواخلو او پر بل يې ک85دو؟
-1که د يوه مثلث دوې ضلعې او د منځ زاويه د بل مثلث له دوې ضلعو او د منځ له زاويې سره مساوي وي ،دا مثلثونه انطباق منوونکي دي. لوم7ی مثال :په الندې شکل کې AB = BCاو BHد ABCد زاويې ناصف الزاويه دى، ثبوت ک7ئ چې د ABHاو BCHدوه مثلثونه انطباق منوونکي دي( HBC
حل :د ABHاو BCHپه مثلثونو کې( B1 = B 2 :ځکه چې د B
زاويه نيمايې شوې ده) BA = BCدى چې په مثال کې راک7ل شوى دى. او ( BH = BHمشترکه ضلعه) له دې ځايه څرگند84ي چې د ABHاو BCHپه دوو مثلثونو کې دوې ضلعې او د منځ زاويې سره مساوي دىC ، C
نو دا دواړه مثلثونه انطباق منوونکي دي.
که د يوه مثلث دوې زاويې او د منځ ضلع يې د بل مثلث له دوو زاويو او د منځ له ضلعې سره مساوي وي ،دا دواړه C′ مثلثونه انطباق منونکي دي. لکه څنگه چې په مخامخ شکل کې لرو چې:
Δ
Δ
نو د ABCاو ' A' B' Cمثلثونه سره انطباق منوونکي دي.
97
A B 12
H
BA
A′
-2د دوو مثلثونو د انطباق منن 3حالت ،د دوو زاوﻳو او ددې زاوﻳو د من #ضلع 3له مخ3
'AB = A' B' , A = A' , B = B
) ABH
C
A
B′
B
-3د مثلثونو انطباق پذﻳري د درو مساوي ضلعو له پلوه که د يوه مثلث درې واړه ضلعې د بل مثلث له درو ضلعو سره مساوي وي ،دا مثلثونه انطباق منوونکي دي. C C′ د مثال په ډول په دې دوو مثلثونو کې لرو چې: 'AB = A' B B
B′
'AC = A' C 'BC = B' C
A
A′
څرنگه چې د دې مثلثونو درې واړه ضلعې يو له بله سره مساوي دي ،نو دا دواړه مثلثونه سره انطباق منوونکي دي. ABC
ABC
که په دوو مثلثونو کې دوې زاويې او دمنځ ضلعي سره مساوي وي ،دا مثلثونه سره انطباق منوونکي دي. که چيرې د يوه مثلث درې ضلعې د بل مثلث له درو ضلعو سره برابرې وي ،دا دواړه مثلثونه سره انطباق منوونکي دي. پو*تن3 A
-1په مخامخ شکل کې AE = BDدى او يو بل د تنصيف په ټکى( )Cکې قطع کوي او هم د AEاو BDدوه خطونه
D
B
C
يو پر بل عمود دي ،ثبوت ک7ئ، چې ABC CDEدي؟
E
-2دوه قايم الزاويه متساوي الساقين مثلثونه کوم بل شرط ولري تر څو انطباق منوونکي وي. -3د مخامخ شکل په شان د ABCيو مثلث راک 7شوى دى ،بل يو داسې مثلث رسم ک7ئ ،چې له دې مثلث سره انطباق منوونکي وي A Δ
C
B
98
د دوو قاﻳــم الزاوﻳــه مثلثونو د انطباق منن 3حالتونه لــه دريــو حالتونــو څخــه ســرب5ره چــې د دوو مســاوي(انطباق منوونکو) مثلثونو په برخه کې مو ولوستل ،ايا د قايم الزاويه مثلثونو په برخه کې کوم بل حالت هم شته؟
A
B
A′
C
C′
B′
AB = A′B′ ^ ^ B = B′
لوم7ى :که چيرې د يوه قايم الزاويه مثلث وتر او يوه حاده زاويه د بل مثلث له وتر او حاده زاويې سره مساوي وي ،دا دواړه مثلثونه سره انطباق منوونکي دي؟ لوم7ى مثال :دوه قايم الزاويه مثلثونه چې وتر يې 5cmاو هره يوه حاده زاويه يې 60 oوي ،رسم ک7ئ ،ايا دا دواړه مثلثونه انطباق منوونکي دي؟ حل :لوم7ى ،د 60oزاويه رسموو چې يوه ضلع يې A A 5cmوي د دې ضلعې له انجام څخه پر بله ضلعه يو عمود رسم ک7ئ او په همدې ډول دويم مثلث هم 5cm 5cm رسموو ،څرنگه چې د دې قايمه الزاويه مثلثونو وتر 60° 60° C B او يوه حاده زاويه سره مساوي دي ،دا مثلثونه انطباق C B منوونکي دي. ليدل ک85ي چې په قايم الزاويه مثلثونو کې د انطباق مننې لپاره د يوې حاده زاويې او وتر مساوي کيدل کفايت کوي. دوﻳم :که د يوه قايم الزاويه مثلث وتر او يوه قايمه ضلعه د بل قايم الزاويه مثلث له وتر او يوې قايمې ضلعې سره مساوي وي ،دا دواړه مثلثونه انطباق منوونکي دي. دوﻳم مثال :دوه داسې قايم الزاويه مثلثونه چې د هر يوه وتر 5cmاو يوه قايمه ضلع يې 4cmوي څرنگه رسموئ ،ايا دا دواړه مثلثونه انطباق منوونکي A A دي؟ حل :لوم7ى راک7ل شوې قايمه ضلعه رسموو چې په 5cm 5cm 4cm 4cm يو انجام کې يې قايمه زاويه او د دې قايمې ضلعې بل 60° 60° C B انجام مرکز نيسو او د وتر د اوږدوالې په شعاع يو قوس C B
99
وهو په هر ټکي کې چې قوس د قايمې زاويې بله قايمه ضلع قطع ک7ي ،د تقاطع ټکى د راک7ل شوې قايمې ضلعې سره وصلوو او په همدې ډول يو بل قايم الزاويه مثلث رسموو ،چې د يوه مثلث وتر او يوه قايمه ضلع د بل مثلث له وتر او قايمې ضلعې سره مساوي وي ،نو دا دواړه مثلثونه سره انطباق منوونکي دي. درﻳم مثال :په الندې شکل کې د مستطيل قطر رسم ک7ئ ،ثبوت ک7ئ ،چې ABDاو CBDدوه انطباق منوونکي مثلثونه دي. حل :د مستطيل د الندې شکل له مخې لرو چې AB = DC :او ، BD = BDنو د ABDاو CBDدواړه مثلثونه سره انطباق منوونکي دي ،چې وتر او يوه قايمه ضلعه يې سره مساوي ده. همدارنگه د دې دوو مثلثونو انطباق مننه له دوو ضلعو او ددې ضلعو تر منځ زاويې له حالته هم څي7لى شو. A B (دوه ضلعې او د منځ زاويې يې سره مساوي دي). AB = DC AD = BC A=C
D
C
نو له دې ځايه نتيجه اخيستل ک85ي: په قايم الزاويه مثلثونو کې د انطباق مننې له دريو حالتونو سرب5ره لرو چې: -1که د يوه قايم الزاويه مثلث وتر او يوه حاده زاويه د بل قايم الزاويه مثلث له وتر او يوې حاده زاويې سره مساوي وي ،دا دواړه مثلثونه انطباق منوونکي دي. -2که د يوه قايم الزاويه مثلث وتر او يوه قايمه ضلعه د بل قايم الزاويه مثلث له وتر او يوې قايمې ضلعې سره مساوي وي ،دا دواړه مثلثونه سره انطباق منوونکي دي. DBC
ABD
پو*تن3 -1دوه داسې قايم الزاويه مثلثونه چې د هر يوه وتر 6cmاو يوه حاده زاويه يې 60 oوي ،په پام کې ونيسئ ،څرنگه ثبوتوالى شئ چې دا دواړه مثلثونه سره انطباق منوونکي B دي. -2په مخامخ شکل کې ACد دايرې قطر دى که د ABCاو C A ADCپه قايم الزاويه مثلثونو کې BC = CDوي ،ايا دا دواړه مثلثونه سره انطباق منوونکي دي؟ ولې؟
D
100
د پن%م 'پرکﻰ لن6ﻳز د اضالعو له پلوه مثلثونه په دريو ډولو ويشل شوي دي. متساوي االضالع مثلث ،متساوي الساقين مثلث او مختلف االضالع مثلث. د زاويو له حيثه هم مثلثونه په دريو ډولو ويشل شوي دي. حاده الزاويه مثلث ،قايم الزاويه مثلث او منفرجه الزاويه مثلث. په هر مثلث کې ميانې ،ناصف الزاويه او ارتفاع گانې په ترتيب سره په يوه ټکي کې سره قطع کوي. د هر مثلث د داخلي زاويو مجموعه 180 oک85ي. د يوه مثلث خارجي زاويه د مثلث د دوو غير مجاورو داخلي زاويو له مجموعې سره مساوي ده. په متساوي الساقين مثلث کې د مساوي ساقونو مخامخ زاويې سره مساوي دي. يو څوضلعي له هغه منکسر خط څخه عبارت ده ،چې يوازې يوه ت7لي ناحيه جوړه ک7ي ،هيڅ دوه قطعه خطونه يې د يوه مستقيم خط په امتداد نه وي او د مضلع هر رآس يوازې او يوازې د دوو قطعه خطونو د تقاطع ټکي وي. په ځينو څو ضلعي گانو کې د يوې يا څو ضلعو امتداد د څو ضلعي له داخل څخه تير84ي چې داسې څو ضلعي ته مقعره څو ضلعي وايي او هغه څو ضلعي چې دضلعو امتداد يې د څو ضلعي له داخل څخه نه تير84ي ،محدبه څو ضلعي نوم85ي. o د هغې مضلعې د داخلي زاويو مجموعه چې( )nضلعې ولري مساوي ده په(n 2)180 : د هرې څو ضلعي د خارجي زاويو مجموعه 360 oده او د ضلعو په شم5ر پورې اړه نه لري. دوه شکلونه چې په پوره ډول يو پر بل منطبق شي او يو بل وپوښيي ،انطباق منوونکي شکلونه ورته وايي. که د يو مثلث دوې ضلعې او د دې ضلعو د منځ زاويه د بل مثلث له دوو ضلعو او د منځ له زاويې سره مساوي وي ،دا دواړه مثلثونه سره انطباق منوونکي دي. که د يوه مثلث دوې زاويې او د دې زاويو تر منځ ضلعه دبل مثلث د دوو زاويو او له منځ ضلعې سره مساوي وي ،دا دواړه مثلثونه انطباق منوونکي دي. که د يوه مثلث درې واړه ضلعې دوه په دوه د بل مثلث د درې واړه ضلعو سره مساوي وي ،دا مثلثونه سره مساوي(انطباق منوونکي) دي. په دوو قايمه الزاويه مثلثونو کې که د يوه مثلث وتر او يوه قايمه ضلعه ،د بل مثلث له وتر او يوې قايمې ضلعې سره مساوي وي او يا وتر او يوه حاده زاويه يې د بل قايم الزاويه مثلث له وتر او حاده زاويې سره دوه په دوه مساوي وي ،نو دا قايم الزاويه مثلثونه سره انطباق منوونکي دي.
101
د پن%م فصل پو*تن3 -1هرې پوښتنې ته څلور ځوابونه ورک7ى شوي دي له سم ځواب څخه ک7ۍ تاو ک7ئ: د يوې نهه ضلعي د داخلي زاويو مجموعه مساوي ده په: 1260° )b 360° )a )dهيڅ يو 180° )c د يوې مضلع د داخلي زاويو مجموعه 1980 oده ،د دې څو ضلعي(مضلعې) د ضلعو شم5ر څو دى؟ 13 )b 18 )a 17 )d 11 )c که درې قطعه خطونه په يوه ټکي کې يو بل سره قطع ک7ي ،د هغو زاويو مجموعه چې د تقاطع د ټکي پر شاخوا جوړ84ي ،څو درجې ده؟ (180° b (260° a )dهيڅ يو (360° c o که د يوې مضلع يوه داخلي زاويه 144وي ،د دې مضلع د ضلعو شم5ر مساوي دى په: 9 )b 8 )a 12 )d 10 )c د مقابل شکل ټولې ضلعې او زاويې سره مساوي دي ،دا شکل په کوم نوم ياد84ي.
)aمنظمه محدبه لس ضلعي مضلع ده. )bمنظمه مقعره لس ضلعي مضلع ده. که په يوه مثلث کې دوه ضلعې يې سره مساوي وي ،نو دا مثلث: )bمتساوي االضالع دى. )aمتساوي الساقين دى. )dمختلف الزوايه دى. )cمختلف االضالع دى. که په يوه مثلث کې دوه زاويې سره مساوي وي ،نو دا مثلث: )bمتساوي الساقين مثلث دى. )aمختلف االضالع مثلث دى. )dهيڅ يو. )cمتساوي االضالع مثلث دى.
102
که په يوه قايم الزاويه مثلث کې يوه حاده زاويه يې 60 oوي ،بله حاده زاويه يې مساوي ده په: 30° )a
50o )b
40° )c
29° )d
د يوه مثلث خارجي زاويه د مثلث له دوو غير مجاورو داخلي زاويو سره څه اړيکه لري؟ )dهيڅ يو )cکوچنى ده. )bمساوي ده. )aلويه ده. -2د سمې جملې په وړاندې(س) او د ناسمې په وړاندې(ن) وليکئ. ( ) تر ټولو لويه زاويه چې د منظمې مضلعې د يوې ضلعې له امتداد څخه جوړ84ي 120 oده. ) مثلث کيداى شي ،يوه مقعره څو ضلعي وي. ( ) د يوې درې ضلعي(مثلث) خارجي زاويه هيڅکله د مثلث له يوې داخلي زاويې څخه ( کوچن 9نه ده. ) د يوې مضلعې دوه غير مجاورې ضلعې د څو ضلعي له رآسونو څخه په يوه رآس کې ( متقاطع دي (
) يوې مضلعې ته هغه وخت متساوي الزاويه وايي ،چې ټولې ضلعې يې سره مساوي وي. ) د يوې منظمې مضلعې د خارجي زاويو مجموعه عبارت ده له(n 2)180 :
( ) که د يوې مضلعې د ضلعو شم5ر زيات شي ،د خارجي زاويو مجموعه يې هم زيات85ي. ( ) حاده الزاويه مثلث هغه مثلث دى ،چې يوازې دوه زاويې يې حاده وي. ( ) دوه مثلثونه هغه وخت انطباق منوونکي دي ،چې د يوې ضلعې اوږدوالى او د دې ضلعې ( د دوو مجاورو زاويو اندازې يې يو په يو سره مساوي وي. ) که په يوه مثلث کې دوه ضلعې سره مساوي وي ،د دې ضلعو مقابلې زاويې هم سره ( مساوي دي. ) د يوه متساوي االضالع مثلث هره زاويه 61oوي. ( ) د يوه مثلث د داخلي زاويو مجموعه له درې قايمو زاويو سره مساوي ده. ( -3په مناسبو کلمو سره تش ځايونه ډک ک7ئ. که د يوې منظمې مضلعې خارجې زاويه د مجاورې داخلي زاويې له دوه چنده سره مساوي وي ،دا مضلع د ...................په نوم ياد84ي. د يوې منظمې مضلعې د ضلعو د شم5ر په زياتوالي سره د مضلعې د داخلي زاويو مجموعه ...................او د خارجي زاويو مجموعه يې ...................نه کوي.
103
د يوې اته ضلعي له يوه رآس څخه ...................قطرونه رسميداى شي. که د يوې منظمې مضلعې يوه خارجي زاويه 120 oوي نوموړې مضلع ...................ضلعې لري. که د يوې مضلع د داخلي زاويو مجموعه د خارجي زاويو له مجموعې سره مساوي وي ،دا مضلع ...................ضلعې لري. هغه مستقيم خط چې د يوې مضلعې دوه غير مجاور رآسونه سره وصلوي ،د ...................په نامه ياد84ي. هغه مثلث چې درې واړه ضلعې يې سره مساوي وي ...................نوم85ي. هغه خط چې د مثلث له رآس څخه په مخامخ ضلع عمود وي ،د ...................په نامه ياد84ي. که د يوه متساوي الساقين مثلث د رآس زاويه 50oوي ،هره يوه له دوو نورو زاويو څخه ..........................ده. -4الندې سوالونه حل ک7ئ. د يوې مضلع د يوې داخلي او يوې خارجې زاويې مجموعه څو درجې ده؟ د ABCپه متساوي الساقين مثلث کې AB = ACدى ،که د Bاو Cزاويې د OBاو OC په مرسته نيمايي شي ،ثبوت ک7ئ چې: A
OC = OB )a OA )bد ˆ Aد زاويې ناصف الزاويه دى. C
O
B
ثبوت ک7ئ ،چې د يوه قايم الزاويه متساوي الساقين مثلث له دوو حاده زاويو څخه هر يوه يې 45o
ده. په دوو قايم الزاويه مثلثونو کې د پنځو حالتونو نومونه واخلئ چې دا دواړه مثلثونه انطباق منوونکي وي.
A
د يو معين(لوزي) يو قطر معين په دوو مثلثونو وويشئ ،په څو حالتونو ثبوتوالى شئ ،چې دا دواړه 42°
مثلثونه انطباق منوونکي دي. 134°
D
C
B
104
شپ8م 'پرکى موازي او عمود خطونه
طبﻴﻌت ﻟﻪ ﻣﻮازي خطﻮﻧﻮ 'خﻪ ډک دى.
موازي او عمود خطونه Parallel and Perpendicular Lines پﻪ شکﻞ ک' 3ﻮ خطﻮﻧﻪ وﻳﻨئ د خطﻮﻧﻮ د وضﻌﻴت پﻪ برخﻪ ک' 3ﻪ وﻳﻼى شئ؟ A B
E F
H
D G
C
فعالﻴت A
ﻟﻮﻣ7ى د dﻣستﻘﻴﻢ خط ﻳا کر*ﻪ رسﻤﻮو او-ﻮﻧﻴا د dپر خط ﻟکﻪ چ3 پﻪ شکﻞ ک* 3ﻮدل شﻮې ده ږدو .د -ﻮﻧﻴا رآس تﻪ Aواﻳﻮ د AHاو AD خطﻮﻧﻪ رسﻤﻮو. د Aﻟﻪ ﻧﻘط' 3خﻪ د dپر ﻣستﻘﻴﻤﻪ کر*ﻪ باﻧدې د AE , ABاو AC H d D درې ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ چ 3ﻳﻮ ﻳ 3ﻋﻤﻮد او دوه خطﻮﻧﻪ ﻣاﻳﻞ وي ،رسﻢ ک7ئ. د خط کش پﻪ ﻣرستﻪ ﻳ 3اﻧدازه ک7ئ چ 3تر !ﻮﻟﻮ کﻮچﻨﻰ خط کﻮم دى؟ د AHخط د dﻟﻪ خط سره د 90 oزاوﻳﻪ جﻮړ وي .د AHخط د dپر ﻣستﻘﻴﻢ خط ﻋﻤﻮد دى AH d چ 3پﻪ دې ډول *ﻮدل کﻴ8ي:
فعالﻴت خط کش د کاﻏذ پر ﻣخ کﻴ8دئ او د خط کش ﻟﻪ دواړو 'ﻨ6و 'خﻪ دوه خطﻮﻧﻪ رسﻢ ک7ئ d1او d 2ورتﻪ وواﻳﻲ. B C A d 6 4
F
4
5 3
3 2
E
1
2 1
0 0
D
1
d2
د d1پر خط باﻧدې د B,Aاو Cدرې !کﻲ و!اکئ او د -ﻮﻧﻴا پﻪ ﻣرستﻪ د B,Aاو Cﻟﻪ !کﻮ 'خﻪ د d 2پر خط ﻋﻤﻮد خطﻮﻧﻪ رسﻢ ک7ئ ،او د شکﻞ ﻟﻪ ﻣخ AD,BE 3او CFورتﻪ وواﻳﻲ. د AD,BEاو CFخطﻮﻧﻮ اوږدواﻟﻰ پﻴدا ک7ئ د اوږدواﻟﻮ پﻪ برخﻪ ک 3ﻳ' 3ﻪ وﻳﻼى شئ. د d1او d 2دواړو ﻣستﻘﻴﻤﻮ خطﻮﻧﻮ تﻪ چ 3ترﻣﻨ #ﻓاصﻠ 3ﻳ 3سره ﻣساوي دى ،ﻣﻮازي خطﻮﻧﻪ واﻳﻲ او دا ډول *ﻮدل کﻴ8يd1 || d 2 :
107
G C
د ACاو DGدوه ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ چ 3د دوى ترﻣﻨ #ﻓاصﻠﻪ ﻣساوي ﻧﻪ ده ،ﻟکﻪ چ 3پﻪ شکﻞ ک 3ﻫﻢ ﻟﻴدل ک85ي ،ﻣﻮازي خطﻮﻧﻪ ﻧﻪ دي، A $کﻪ چ 3اﻣتداد ﻳ 3ﻳﻮ بﻞ پﻪ ﻳﻮه ﻧﻘطﻪ ک 3ﻗطﻊ کﻮي او دا ډول *ﻮدل کﻴ8ي. AC || DG : کﻮﻻى شﻮ چ 3د -ﻮﻧﻴا ﻳا خط کش پﻪ واسطﻪ و*ﻴﻮ چ 3پﻪ ﻣختﻔﻠﻮ !کﻮ ک 3د دې دواړو ﻣستﻘﻴﻤﻮ خطﻮﻧﻮ تر ﻣﻨ #ﻓاصﻠ 3ﻣساوي ﻧﻪ دي. A C کﻪ د ABاو CDدوه ﻗطﻌﻪ خطﻮﻧﻪ ﻳا کر* 3د EFپر کر* 3ﻋﻤﻮد E F رسﻢ ک7و ) ( AB EFاو ) (CD EFﻧﻮ د ABاو CDﻗطﻌﻪ خطﻮﻧﻪ پﻪ خپﻞ ﻣﻨ #ک 3سره ﻣﻮازې دي$ ،کﻪ چ 3کﻪ ﻣﻮازي ﻧﻪ وي ،ﻳﻮ ﻟﻪ بﻠﻪ سره ﻗطﻊ کﻮي او د تﻘاطﻊ ﻟﻪ ﻧﻘط' 3خﻪ د FEپر خط دوه ﻋﻤﻮد B D خطﻮﻧﻪ رسﻢ شﻮي دي او دا اﻣکان ﻧﻪ ﻟري. D
مثال :پﻪ ﻻﻧدې خطﻮﻧﻮ ک 3ﻣﻮازي ،ﻋﻤﻮد او ﻣتﻘاطﻊ خطﻮﻧﻪ و*ﻴئ. ´a b
´d
d a
´b
حلa ، d || d ، e || e :
e ´e
' aاو د bاو bخطﻮﻧﻪ سره ﻣتﻘاطﻊ دي.
دوو خطﻮﻧﻮ تﻪ ﻫﻐﻪ وخت ﻣﻮازي خطﻮﻧﻪ واﻳﻮ چ 3خپﻠﻪ خطﻮﻧﻪ او ﻳا اﻣتداد ﻳ 3شرﻳک !کﻲ و ﻧﻪ ﻟري او پﻪ !ﻮﻟﻮ ﻧﻘطﻮ ک 3د دې دواړو خطﻮﻧﻮ ترﻣﻨ #ﻓاصﻠﻪ ﻣساوي وي ،دوه خطﻮﻧﻪ ﻫﻐﻪ وخت ﻳﻮ پر بﻞ ﻋﻤﻮد دي ،چ 3د دواړو ترﻣﻨ #زاوﻳﻪ ﻳﻮه ﻗاﻳﻤﻪ زاوﻳﻪ ( ) 90oوي.
پو*تن3 پﻪ شکﻞ ک 3کﻮم خطﻮﻧﻪ ﻣﻮازي دي؟ کﻮم ﻗطﻌﻪ خطﻮﻧﻪ ﻳﻮ پر بﻞ ﻋﻤﻮد دي؟ کﻮم ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ ﻣتﻘاطﻊ دي؟ کﻮﻣ 3زاوﻳ 3ﻗاﻳﻤ 3دي؟ اﻳا !ﻮل ﻣتﻘاطﻊ خطﻮﻧﻪ ﻫر وخت ﻳﻮ پر بﻞ ﻋﻤﻮد وي؟
C
B
G
F D
E
A
108
داخلي او خارجي متبادل 3زاوي3 (Alternate interior and )alternate exterior angles
خارجﻲ ﻣتبادﻟ 3زاوﻳ3
ﻣخاﻣخ شکﻞ تﻪ و-ﻮرئ د جﻮړوشﻮو زاوﻳﻮ پﻪ برخﻪ ک 3خپﻞ ﻧﻈر 'ر-ﻨد ک7ئ.
داخﻠﻲ ﻣتبادﻟ 3زاوﻳ3
فعالﻴت د d1او d 2دوه ﻣﻮازي خطﻮﻧﻪ او د d 3او d 4دوه ﻏﻴر ﻣﻮازي خطﻮﻧﻪ رسﻢ ک7ئ. دوه ﻗاطﻊ خطﻮﻧﻪ چ 3ﻳﻮ ﻳ 3د d1او d 2خطﻮﻧﻪ او بﻞ ﻳ 3د d 3او d 4خطﻮﻧﻪ ﻗطﻊ ک7ي ،رسﻢ ک7ئ. د ﻧﻘاﻟ 3پﻪ ﻣرستﻪ ﻫﻐﻪ زاوﻳ 3چ 3ﻗاطﻊ خط ﻳ 3ﻟﻪ ﻣﻮازي خطﻮﻧﻮ سره او ﻫﻐﻪ زاوﻳ 3چ 3ﻗاطﻊ خط ﻳ 3ﻟﻪ ﻏﻴر ﻣﻮازي خطﻮﻧﻮ سره جﻮړ وي ،اﻧدازه ک7ئ' ،ﻪ ﻧتﻴجﻪ بﻪ پﻪ ﻻس راشﻲ؟ د ABاو CDدوه خطﻮﻧﻪ سره ﻣﻮازي دي او د EFخط پﻪ واسطﻪ ﻗطﻊ شﻮي دي ،ﻟکﻪ 'ﻨ/ﻪ چ 3پﻪ شکﻞ ک 3ﻟﻴدل کﻴ8ي.
E B
ﺧﺎﺭﺟﻰ ﺧﺎﺭﺟﻰ
د دوو خطﻮﻧﻮ تر ﻣﻨ #ﻧاحﻴ 3تﻪ داخﻠﻲ او د خطﻮﻧﻮ د باﻧدې ﻧاحﻴ3 تﻪ باﻧدﻳﻨ( 3خارجﻲ) ﻧاحﻴﻪ واﻳﻲ.
ﺩﺍﺧﻠﻰ ﺩﺍﺧﻠﻰ D
AB || CDدي او د LKخط دا دواړه ﻣﻮازي خطﻮﻧﻪ ﻗطﻊ ک7ي دي ددې ﻟپاره چ 3و*ﻴﻮ چ 3 = 6 3ده ،د LKپر خط د ! Oکﻲ
K B
ﻣتﻘابﻞ برآس MOE = NOF ................
او OME = ONF = 90oده ،ﻧﻮ ددې ﻣثﻠثﻮﻧﻮ درﻳﻤ 3زاوﻳ 3ﻫﻢ سره ﻣساوي دي ،پﻪ ﻧتﻴجﻪ ک 3 = 6 3ده چ 3د 6او 3زاوﻳ 3د
M E
A
3 4
O D
داخﻠﻲ ﻣتبادﻟﻮ زاوﻳﻮ پﻪ ﻧاﻣﻪ ﻳادﻳ8ي. پﻪ ﻫﻤدې ډول 4 = 5دي چ 5 3او 4ﻫﻢ داخﻠﻲ ﻣتبادﻟ 3زاوﻳ 3دي.
109
ﺧﺎﺭﺟﻰ ﺧﺎﺭﺟﻰ
C
F
!اکﻮ ،د Oﻟﻪ !کﻲ 'خﻪ د ABاو CDپر خطﻮﻧﻮ ﻋﻤﻮد خط رسﻤﻮو. د OMEاو OFNپﻪ دوه ﻣثﻠثﻮﻧﻮ ک' ،3رﻧ/ﻪ چ3
A
5 6
C
F N
L
ﻫﻤدارﻧ/ﻪ پﻪ شکﻞ ک 3د 2 , 7 , 1او 8زاوﻳ 3باﻧدﻳﻨی (خارجﻲ) ﻣتبادﻟ 3زاوﻳ 3دي.د داخﻠﻲ ﻣتبادﻟﻮ زاوﻳﻮ پﻪ ﻣرستﻪ ﻟرو چ:3 1=7 , 8=2 E
مثال :پﻪ ﻣخاﻣخ شکﻞ ک 3د 60oاو 120oدوه زاوﻳ 3راک7ل شﻮي
1 2 60 3
B
5 6 8 120
D
دي د 6 ، 5 ، 3 ، 2 ، 1او 8زاوﻳ' 3ﻮ درج 3دي؟ حل: ( 6 = 60oداخﻠﻲ ﻣتبادﻟ)3 ( 5 = 120oﻣتﻘابﻞ برآس) ( 5 = 3داخﻠﻲ ﻣتبادﻟ)3 پﻪ ﻧتﻴجﻪ ک 3 = 120 o 3ده.
A C F
..........ﻣتبادﻟ)3 ( 1 = 120o ،خارجﻲ ( 8 = 6 = 60o ،ﻣتﻘابﻞ برآس) ........ 2 = 8 (خارجﻲ ﻣتبادﻟ)3 ، ،
پﻪ ﻧتﻴجﻪ ک 2 = 60o 3ده.
کﻪ د ABاو CDدوه ﻣﻮازي ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ د EFد ﻗاطﻊ خط پﻪ واسطﻪ ﻗطﻊ شﻲ ،دوه جﻮړې داخﻠﻲ ﻣتبادﻟﻲ او دوه جﻮړې خارجﻲ ﻣتبادﻟ 3زاوﻳ 3جﻮړ وي چ:3 E داخﻠﻲ ﻣتبادﻟ3 خارجﻲ ﻣتبادﻟ3
4=6 2=8
,او ,او
3=5 1=7
1 2 4 3
B
A
5 6 8 7
D
C F
پو*تن3 E
-1کﻪ AB || CDوي ،پﻪ شکﻞ ک 6 , 7 , 8 , 3 , 1 3او 2
زاوﻳ' 3ﻮ درج 3دي؟
1 2 30 3
B
150 6 8 7
D
-2پﻪ شکﻞ ک 3کﻪ 7 = 120 oوي د 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8 او 1زاوﻳﻮ اﻧدازه پﻴدا ک7ئ.
D
C F
E B
A
1 2 4 3
A
5 6 8 120
C F
110
د دوو مستقﻴمو کر*و د موازيتوب 'ﻴ7نه کله چ 3متبادل 3زاوي 3سره مساوي وي K
پﻪ شکﻞ ک 3 = 6 3ده چ 3دوه داخﻠﻲ ﻣتبادﻟ3 زاوﻳ 3دي ،اﻳا کﻴداى شﻲ AB || CDوي؟
E
B
A
3
O 6
D
C
F L
فعالﻴت 3او 6زاوﻳ 3سره ﻣساوي دي.
K
پﻪ ﻣخاﻣخ شکﻞ ک 3د EFﻟﻪ ﻧﻴﻤاﻳﻲ د( )Oﻟﻪ ﻧﻘط' 3خﻪ د ABپر کر*ﻪ باﻧدې ﻋﻤﻮد رسﻢ ک7ئ چ 3د ABخط د Mپﻪ ﻧﻘطﻪ ک 3ﻗطﻊ ک7ئ او ﻋﻤﻮد خط تﻪ اﻣتداد ورک7ئ چ 3د CD خط د Nپﻪ ﻧﻘطﻪ ک 3ﻗطﻊ ک7ي. و*ﻴئ چ 3د MOEاو FONﻣثﻠثﻮﻧﻪ سره ﻣساوي دي؟
E
B
A
3
O 6
D
C
F L
آﻳا د MNﻣستﻘﻴﻢ خط د CDپر ﻣستﻘﻴﻢ خط ﻫﻢ ﻋﻤﻮد دى؟
وﻟ 3د ABخط د CDﻟﻪ خط سره ﻣﻮازي دى؟ لوم7ى مثال :پﻪ ﻻﻧدې شکﻠﻮﻧﻮ ک 3د ABاو CDکﻮم دوه خطﻮﻧﻪ سره ﻣﻮازي دي؟ A
E C B D
110° 120°
C F
حل70o = 70o :
111
E
110°
A
B D
110° F
(خارجﻲ ﻣتبادﻟ)3
K
B D
ﻧﻮ AB || CDدى.
70°
A
70° L
C
( 110o = 110oداخﻠﻲ ﻣتبادﻟ)3 ، 120o 110oﻧﻮ AB || CD
ﻧﻮ AB || CDدى.
دويم مثال :کﻪ 2 = 3 ، 1 = 2او 3 = 4وي ،کﻮﻣﻪ جﻮړه خطﻮﻧﻪ سره ﻣﻮازي دي؟ حل' :رﻧگﻪ چ:3 A
1= 2
ده ،ﻧﻮ
2=3 3=4
ده ،ﻧﻮ
FG || BCدى. AB || CHدى.
G
ده ،ﻧﻮ
BC || DEدى.
E
2
3 C 4 H
F
1
B D
کﻪ دوه ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ د ﻳﻮه خط پﻪ واسطﻪ داس 3ﻗطﻊ شﻲ چ 3دوه ﻣساوي ﻣتبادﻟ 3زاوﻳ 3جﻮړي ک7ي .ﻧﻮ دا دواړه خطﻮﻧﻪ سره ﻣﻮازي دي؟ پو*تن3 -1پﻪ ﻻﻧدې شکﻞ ک B1 = D 2 3او B2 = D1ده اﻳا AB || CDدي؟ وﻟ3؟ B
A
1 2
1 2
C
D
-2پﻪ ﻻﻧدې شکﻞ ک 3کﻪ چﻴرې A1 = D 2او A 2 = D1وي ،کﻮم ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ سره A ﻣﻮازي دي؟ 1 2
E 1 2
C
-3پﻪ ﻻﻧدې شکﻠﻮﻧﻮ ک 3د ABاو CDکﻮم دوه خطﻮﻧﻪ سره ﻣﻮازي دي؟ B D
120° 130°
A
B
C
D
150°
150°
A
B
C
D
B
D
60° 60°
A C
112
متوافق 3زاوي3 )(Corresponding angles پﻪ شکﻞ ک AB || CD 3دي او د FEخط دا دواړه خطﻮﻧﻪ ﻗطﻊ ک7ي دي. پﻪ شکﻞ ک 4 ( 3او 2 ( ،) 8او 7 ( ،) 6او ) 3او ( 1او ) 5زاوﻳﻮ تﻪ ﻣتﻮاﻓﻘ 3زاوﻳ 3واﻳﻲ ،اﻳا دا
B
1 2 4 3
D
C
5 6 8 7
زاوﻳ 3ﻳﻮه ﻟﻪ بﻠ 3سره ﻣساوي دي؟
فعالﻴت
E
ﻣخاﻣخ شکﻞ پﻪ پام ک 3وﻧﻴسئ. د شکﻞ 'ﻠﻮر خﻮاوي د ﻗﻴچﻲ پﻪ واسطﻪ پرې ک7ئ بﻴا د !کﻲ !کﻰ( )....ﻟﻪ $اﻳﻪ ﻳ 3سره جﻼک7ئ. اوس د CDخط د ABپر خط کﻴ8دئ چ M 3د Nد پاسﻪ واﻗﻊ شﻲ. د 8, 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1د زاوﻳﻮ پﻪ برخﻪ ک' 3ﻪ وﻳﻼى شئ؟
=4
A
,
=7
,
B
M
1 2 4 3
A 5 6 8 7
D
N
=2
,
C F
1=5
د ﻧﻘاﻟ 3پﻪ واسطﻪ ﻟﻪ ' 1خﻪ تر 8زاوﻳ 3پﻮرې اﻧدازه ک7ئ ،د پﻮرتﻪ ﻣساواتﻮ سﻤﻮاﻟﻰ اوﻧاسﻤﻮاﻟﻰ و'ﻴ7ئ.
ﻫﻤدارﻧ/ﻪ کﻪ دوه ﻣستﻘﻴﻤﻲ کر* 3د ﻳﻮه ﻗاطﻊ خط پﻪ واسطﻪ داس 3ﻗطﻊ شﻲ چ 3ﻣساوي ﻣتﻮاﻓﻘ3 زاوﻳ 3جﻮړې ک7ئ ،دا دواړه خطﻮﻧﻪ سره ﻣﻮازي دي. E د ABاو CDدوه ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ د FEد ﻣستﻘﻴﻢ خط پﻪ واسطﻪ ﻗطﻊ شﻮي دي ،کﻪ 2 = 6وي ،ﻏﻮاړو و*اﻳﻮ چ AB || CD 3دي. 'رﻧ/ﻪ چ:3
ﻣتﻘابﻞ برآس 2 = 4
B D
ﻣﻔروض ﻟﻪ ﻣخ2 = 6 :3
پﻪ ﻧتﻴجﻪ ک 4 = 6 :3ده.
ﻟﻪ بﻠ 3خﻮا 'رﻧ/ﻪ چ 4 3او 6زاوﻳ 3ﻣتبادﻟ 3زاوﻳ 3دي ،ﻧﻮ AB || CDدى.
113
1 2 4 3
A 5 6 8 7
C F
لوم7ى مثال :پﻪ شکﻞ ک m = o , b = j , h = p :3او n = pدي. اﻳا AB || CDاو d1 || d 2دي؟
B
حل':رﻧگــﻪ چ h = p 3او b = jدى چــ 3ﻣتﻮاﻓﻘ 3زاوﻳ 3دي او ســره
D
a b e f
c d g h k q o p
ﻣساوي ﻫﻢ دي ،ﻧﻮ AB || CDدى او 'رﻧگﻪ چ n = p 3او m = oدي
A
i j m n
C
d1
d2
چ 3ﻣتﻮاﻓﻘ 3زاوﻳ 3او سره ﻣساوي ﻫﻢ دي ،ﻧﻮ d1 || d 2دى.
دويم مثال :د( )aپﻪ شکﻞ ک 3د ABCاو DEFدوه زاوﻳ 3چ3 ABاو EDضﻠﻌ 3سره ﻣﻮازي او ﻫﻢ جﻬت او د BCضﻠﻌﻪ د EF د ضﻠﻌ 3سره ﻣﻮازي او ﻫﻢ جﻬت ﻫﻢ ده ،اﻳا کﻮﻻى شئ چ 3و*ﻴئ
A G 2
1
C D
1 = 3ده.
3
F
حل :ﻟﻮﻣ7ي د ( )aاو ( )bپﻪ شکﻠﻮﻧﻮ ک 3د BCاو EDضﻠﻌﻮ تﻪ اﻣتداد ورکﻮو تر 'ﻮ د Gپﻪ ﻧﻘطﻪ ک 3ﻗطﻊ ک7ي. د ( )aپﻪ شکﻞ ک:3 ﻣتﻮاﻓﻘ1 = 2 3 ﻣتﻮاﻓﻘ3 = 2 3 پﻪ ﻧتﻴجﻪ ک 1 = 3 3ده.
A
B
1
C
ﻫﻤدارﻧ/ﻪ د ( )bپﻪ شکﻞ ک 3د ABضﻠﻌﻪ ﻣﻮازي او ﻣختﻠﻒ
2
G
اﻟجﻬت د EDد ضﻠﻌ 3او BCﻣﻮازي او ﻣختﻠﻒ اﻟجﻬت د EFد
E
B
(a E
F
3
D
(b
ضﻠﻌ 3ده ﻧﻮ 1او 3زاوﻳ 3ﻫﻢ سره ﻣساوي دي$ ،کﻪ چ:3 (ﻣتبادﻟ 1 = 2 )3او (ﻣتﻮاﻓﻘ 3 = 2 )3پﻪ ﻧتﻴجﻪ ک 1 = 3 3ده. کﻪ دوه ﻣﻮازي خطﻮﻧﻪ د ﻳﻮه ﻗاطﻊ خط پﻪ واسطﻪ ﻗطﻊ شﻲ ﻣساوي ﻣتﻮاﻓﻘ3 زاوﻳ 3جﻮړوي او کﻪ دوه ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ د ﻳﻮه ﻗاطﻊ خط پﻪ واسطﻪ داس3 ﻗطﻊ شﻲ چ 3ﻣساوي ﻣتﻮاﻓﻘ 3زاوﻳ 3جﻮړې ک7ي ،دا دواړه ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ سره ﻣﻮازي دي. پو*تن3 E
-1ﻟﻪ دې ﻣستﻘﻴﻤﻮ خطﻮﻧﻮ 'خﻪ کﻮﻣﻪ جﻮړه خطﻮﻧﻪ سره ﻣﻮازي دي؟
B D
E A
120°
C
110°
B D
30°
A 30°
C
F
-2د ABاو CDدوه ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ سره ﻣﻮازي دي ،کﻮﻣ3 زاوﻳ 3سره ﻣساوي دي؟
F
B D
c d g h k q o p
a b e f i j m n
A C
114
د يوه قاطع خط يوې خواته داخلي متمم 3زاوي:3
)(Supplementary Angles AB || CDدى او د EFﻣســتﻘﻢ خــط ﻟکــﻪ 'ﻨ/ــﻪ چ 3پﻪ شــکﻞ کــ 3ﻟﻴدل کﻴــ8ي دا دواړه ﻣﻮازي خطﻮﻧﻪ ﻳ 3ﻗطﻊ ک7ي دي. اﻳا کﻮﻻى شــﻲ چــ 3وواﻳــ' 2+ 3 3ﻮ درج3 کﻴ8ي؟
E B
A
2 3
D
C F
فعالﻴت د ABاو CDدوه ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ سره ﻣﻮازي او د EFﻣستﻘﻴﻢ خط ﻟکﻪ 'ﻨ/ﻪ چ 3پﻪ شکﻞ ک 3ﻟﻴدل کﻴ8ي ،ﻗطﻊ ک7ي دي. = 3+ 4
E
ﻟﻪ بﻠ 3خﻮا 4 = 6ده ،وﻟ3؟ د پﻮرتﻨﻴﻮ دوو ﻣساواتﻮ ﻟﻪ ﻣخ 3ﻻﻧدې تش $اى ډک ک7ئ؟
B
1 2 4 3 5 6 8 7
D
= 3+ 6
A C F
دﻧﻘاﻟ 3پﻪ ﻣرستﻪ 3او 6اﻧدازه ک7ئ او د 3+ 6پﻪ ﻻس راوړئ. ﻻﻧدې تش $اي ډک ک7ئ. = 4+ 5
مثال :کﻪ پﻪ شکﻞ ک 3د ABخط د CDﻟﻪ خط سره ﻣﻮازي وي د 1او 2زاوﻳﻮ اﻧدازه پﻴدا ک7ئ. o
حل' :رﻧ/ﻪ چ 3د 75درجﻮ زاوﻳﻪ او 1زاوﻳﻪ داخﻠﻲ ﻣتﻤﻤ 3زاوﻳ 3دي: 1+ 75o = 180o
115
BC 1 75° 2
ﻧﻮ1 = 180o 75o = 105o : 'رﻧ/ﻪ چ 75o 3زاوﻳﻪ او 2ﻣتبادﻟ 3دي ،ﻧﻮ 2 = 75oده.
A A
D D
BC
کﻪ چﻴرې د ABخط د CDﻟﻪ خط سره ﻣﻮازي وي او د FEخط ﻟکﻪ 'ﻨ/ﻪ چ 3پﻪ شکﻞ ک 3ﻟﻴدل کﻴ8ي دا دواړه خطﻮﻧﻪ ﻗطﻊ ک7ي وي .د ﻗاطﻊ خط ﻳﻮې خﻮاتﻪ دوه داخﻠﻲ زاوﻳ 3د ﻣتﻤﻤﻮ زاﻳﻮ پﻪ ﻧاﻣﻪ ﻳادﻳ8ي چ 3د دواړو زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮﻋﻪ 180oکﻴ8ي. F o 2+ 3 = 180او 1+ 4 = 180o
B
کﻪ ﻳﻮ ﻗاطﻊ خط چ 3دوه ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ ﻳ 3داس 3ﻗطﻊ ک7ې وي چ 3د ﻗاطﻊ خط ﻳﻮې خﻮاتﻪ ﻳ 3دوه داخﻠﻲ ﻣتﻤﻤ 3زاوﻳ 3جﻮړې ک7ې وي،دا دوه ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ سره ﻣﻮازي دي.
A
1 2 4 3
D
C
E
پو*تن3 A
-1پﻪ شکﻞ ک 3د ABCاو DEFدوه زاوﻳ 3ﻟرو چ 3د AB
ضﻠﻊ د DEﻟﻪ ضﻠﻌ 3سره ﻣﻮازي او ﻫﻢ جﻬت او د BCضﻠﻊ د EFﻟﻪ ضﻠﻌ 3سره ﻣﻮازي او ﻣختﻠﻒ اﻟجﻬت ده* ،کاره ک7ئ چ ABC+ DEF = 180 o 3کﻴ8ي.
C
B
D G
E
-2ﻟﻪ ﻻﻧدې خطﻮﻧﻮ 'خﻪ کﻮﻣﻪ جﻮړه خطﻮﻧﻪ سره ﻣﻮازي دي. D
F
F B C
B
30°
F
D 99°
A
E E
C
F
81°
140°
A B
D
C
F
A 60° 120°
E
D B
A
118°
C
61°
A
B
D
80°
C
E
116
'لور ضلعي -ان(Quadrilaterals)3 پﻪ شکﻞ ک' 3ﻮﻣره 'ﻠﻮر ضﻠﻌ- 3اﻧ 3د شﻤ5ر وړ دي؟
فعالﻴت A
ABCDﻳﻮه 'ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ ده ،د 'ﻠﻮرو ضﻠﻌﻮ' ،ﻠﻮرو رآسﻮﻧﻮ' ،ﻠﻮرو زاوﻳﻮ او دوو ﻗطروﻧﻮ ﻧﻮﻣﻮﻧﻪ ﻳ 3واخﻠﻲ. د ﻻﻧدې 'ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ گاﻧﻮ ﻧﻮﻣﻮﻧﻪ وواﻳئ. A
B
B
A
B
A
B
D
ﺷﻜﻞ()1
C
ﺷﻜﻞ()3 D
C
C
ﺷﻜﻞ()2
C
D
A
A
B
B
C
D
ﺷﻜﻞ()5
D
ﺷﻜﻞ()4
D C
ﻟکﻪ 'ﻨ/ﻪ چ 3پﻮﻫﻴ8ى ،پﻪ پﻮرتﻨﻴﻮ !ﻮﻟﻮ 'ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ -اﻧﻮ ک 3پرتﻪ ﻟﻪ ذوزﻧﻘ' 3خﻪ د ﻧﻮرو 'ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ گاﻧﻮ ﻣخاﻣخ ضﻠﻌ 3دوه پﻪ دوه سره ﻣﻮازي دي ،پﻪ ذوزﻧﻘﻪ ک 3ﻳﻮازې دوه ﻣخاﻣخ ضﻠﻌ 3سره ﻣﻮازي دي. پﻪ ( )1شکﻞ ک 3ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ( )Parallelogramداس 3ﻳﻮه 'ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ ده چ 3ﻣخاﻣخ ضﻠﻌ 3ﻳ 3دوه پﻪ دوه سره ﻣﻮازي او ﻣساوي دي. پﻪ ( )2شکﻞ ک 3ﻳﻮ ﻣستطﻴﻞ ( )Rectangleﻫﻐﻪ 'ﻠﻮر ضﻠﻌ 3ده چ 3ﻣخاﻣخ ضﻠﻌﻲ ﻳ 3دوه پﻪ دوه سره ﻣﻮازي او ﻣساوي دي او 'ﻠﻮر واړه زاوﻳ 3ﻳ 3ﻗاﻳﻤ 3دي. پﻪ ( )3شکﻞ ک 3ﻣربﻊ ( )Squareﻫﻐﻪ 'ﻠﻮر ضﻠﻌ 3ده چ' 3ﻠﻮر واړه ضﻠﻌ 3ﻳ 3سره ﻣساوي دي او
117
'ﻠﻮر واړه زاوﻳ 3ﻳ 3ﻗاﻳﻤ 3دي. پﻪ ( )4شکﻞ ک 3ﻳﻮ ﻣﻌﻴﻦ ﻳا ﻟﻮزي ( )Rhombusﻫﻐﻪ 'ﻠﻮر ضﻠﻌ 3ده چ 3ﻣخاﻣخ ضﻠﻌ 3ﻳ 3دوه پﻪ دوه ﻣﻮازي' ،ﻠﻮر واړه ضﻠﻌ 3ﻳ 3سره ﻣساوي او ﻣخاﻣخ زاوﻳ 3ﻫﻢ ﻳﻮ بﻠﻪ سره ﻣساوي وي. پﻪ ( )5شکﻞ ک 3ذوزﻧﻘﻪ ﻳا ﻣﻨحرف ( )Trapezoidﻫﻐﻪ 'ﻠﻮر ضﻠﻌ 3ده چ 3ﻳﻮازې دوه ﻣخاﻣخ ضﻠﻌ 3ﻳ 3سره ﻣﻮازي دي. مثال :پﻪ ﻻﻧدې شکﻠﻮﻧﻮ ک 3ﻣربﻊ ،ﻣستطﻴﻞ ،ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ،ﻣﻌﻴﻦ ﻳا ﻟﻮزي او ذوزﻧﻘﻪ و*ﻴئ: حل: F A B B
()a
G
D
()b
E
H
B
A
F
E
D
C
D
C
B
()c
A
E
A
()d C
C
D
F
د ( )aپﻪ شکﻞ ک ABDC 3ﻣربﻊ او FEHGﻣﻌﻴﻦ دى. د ( )bپﻪ شکﻞ ک ABDC 3ﻳﻮه ذوزﻧﻘﻪ ده. د ( )cپﻪ شکﻞ ک ABDC 3او EFDCذوزﻧﻘ 3دي. د ( )dپﻪ شکﻞ ک ABCD 3ﻳﻮه ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ده او AFCEﻳﻮ ﻣستطﻴﻞ دى. پو*تن3 -1پﻪ ﻣخاﻣخ شکﻞ ک 3کﻮم ﻳﻮ ﻣستطﻴﻞ او کﻮﻣﻪ ﻳﻮه ذوزﻧﻘﻪ ده او ﻫﻢ پﻪ دې شکﻞ ک' 3ﻮ ﻣثﻠثﻮﻧﻪ ﻣﻮجﻮد دي. D -2کﻮﻣ 3جﻤﻠ 3سﻤ 3او کﻮﻣ 3ﻧاسﻤ 3دي؟ ﻫﻴ(کﻠﻪ ﻳﻮه ذوزﻧﻘﻪ ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ﻧﻪ شﻲ کﻴداى. د ﻣستطﻴﻞ ﻣخاﻣخ ضﻠﻌ 3دوه پﻪ دوه سره ﻣﻮازي او ﻣساوي دي. د ذوزﻧﻘ 3ﻣخاﻣخ ضﻠﻌ 3دوه پﻪ دوه سره ﻣﻮازي او ﻣساوي دي. ﻣﻌﻴﻦ (ﻟﻮزي) ﻳﻮه ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ده. ﻣربﻊ ﻳﻮه ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ده. ﻣﻌﻴﻦ(ﻟﻮزي) ﻳﻮه ﻣربﻊ ده. -3پﻪ ﻣخاﻣخ شکﻞ ک 3درې ذوزﻧﻘ ،3ﻳﻮ ﻣستطﻴﻞ او ﻳﻮه ﻣتﻮازي اﻻضﻼع و*ﻴئ.
A
B
E
D
F
B
A
E
F
C
C
118
د متوازي اﻻضﻼع مخامخ(مقابل )3زاوي3
اﻳا د ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ﻣخاﻣخ زاوﻳ 3سره ﻣساوي دي؟
فعالﻴت د ABDCﻳﻮه ﻣتﻮازي اﻻضﻼع راک7ى شﻮې ده: 'رﻧ/ﻪ چ AB || CD 3دى ،ﻧﻮ =A+C 'رﻧ/ﻪ چ AC || BD 3دى ،ﻧﻮ =C+D D د پﻮرتﻨ 9رابط' 3خﻪ ﻟرو چ3 A+C=C+ کﻪ Cﻟﻪ دواړوخﻮا 'خﻪ تﻔرﻳﻖ ک7و ،کﻮﻣﻪ رابطﻪ پﻪ ﻻس را$ﻲ. = ﻟﻪ Aاو Dد زاوﻳﻮ پﻪ برخﻪ ک' 3ﻪ وﻳﻼى شئ؟ پﻪ ﻫﻤدې ډول و*ﻴئ چ B = C 3ده. پﻪ ﻳﻮه ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ک 3ﻣﻘابﻠ 3زاوﻳ 3سره ﻣساوي دي. مثال :د ABDCشکﻞ ﻳﻮه ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ده ،د Bاو B D A 110° د زاوﻳﻮ اﻧدازه پﻴدا ک7ئ. حل' :رﻧ/ﻪ چ 3د ﻳﻮې ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ﻣﻘابﻠ 3زاوﻳ 3سره D o ﻣساوي دي D = A = 110 .او B = C = 70o A
B
C
70°
فعالﻴت A
B
د ABDCﻳﻮه 'ﻠﻮر ضﻠﻌ 3پﻪ ﻧﻈر ک 3ﻧﻴسﻮ: = )I(........ A + B+ C+ D
D
دې تﻪ پﻪ پام کﻮﻟﻮ سره چ 3د ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ﻣﻘابﻠ 3زاوﻳ 3سره ﻣساوي دي ،ﻧﻮ ﻟرو چﻲ:
119
C
C
A
B =, C , A =,
B C
اوس پﻪ ﻟﻮﻣ7ﻧ 9رابطﻪ ک 3د Aاو Bپر$اى Cاو Dږدو. =D+C+C+D
ﻟﻪ پﻮرتﻨ 9رابط' 3خﻪ ﻟرو چ:3
= 2C + 2D =C+D
د ABاو CDخطﻮﻧﻪ پﻪ خپﻞ ﻣﻨ #ک' 3ﻪ اړﻳکﻪ ﻟري؟ پﻪ ﻫﻤدې ډول د ACاو BDخطﻮﻧﻪ پﻪ خپﻞ ﻣﻨ #ک' 3ﻪ اړﻳکﻪ ﻟري؟
کﻪ پﻪ ﻳﻮ 'ﻠﻮر ضﻠﻌ 3ک 3ﻣﻘابﻠ 3زاوﻳ 3سره ﻣساوي وي ،دا 'ﻠﻮر ضﻠﻌ 3ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ده.
پو*تن3 -1کﻪ د ﻻﻧدې شکﻞ پﻪ ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ک 3د D = 110 oوي ،د A , Bاو Cزاوﻳﻮ اﻧدازه A پﻴدا ک7ئ. B 110o D
C
-2کﻪ چﻴرې د ﻳﻮې 'ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ ﻗطر' ،ﻠﻮر ضﻠﻌ 3پﻪ دوو اﻧطباق ﻣﻨﻮوﻧکﻮ ﻣثﻠثﻮﻧﻮ ووﻳشئ ،اﻳا دا 'ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ده؟
120
د يوې 'لور ضلع 3باندنى زاوي3 اﻳا کﻮﻻى شئ چ 3وواﻳئ چ 3د ﻳﻮې 'ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ د
5
B
خارجﻲ زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮﻋﻪ 'ﻮ درج 3ده؟
6
D
2
A 1 8
3
4
C
7
د BD , AB , ACاو CDضﻠﻌﻮ تﻪ ﻟﻪ پﻮرتﻪ شکﻞ سره ﻣطابﻖ اﻣتداد ورکﻮو 7 , 6, 5 ،او 8
زاوﻳ 3ددې 'ﻠﻮر ضﻠﻌ 3باﻧدﻧ 9زاوﻳ 3دي.
1 + 5 = 180°
ﻏﻮاړو چ 3و*ﻴﻮ 5+ 6+ 7+ 8 = 360oده. کﻪ دواړه خﻮاوې سره جﻤﻊ ک7و ﻟرو چ:3
2 + 6 = 180° 4 + 7 = 180° 3 + 8 = 180°
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 180° + 180° + 180° + 180°
دا چ 3د ﻳﻮې 'ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ د داخﻠﻲ زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮﻋﻪ 360oده ،ﻧﻮ: پﻪ ﻧتﻴجﻪ ک 5+ 6+ 7+ 8 = 360o 3کﻴ8ي ،ﻧﻮ د ﻳﻮې 'ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ د باﻧدﻳﻨﻴﻮ زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮﻋﻪ 360oده. 360° + 360°
= 360° + 5+ 6+ 7 + 8
فعالﻴت پﻪ شکﻞ ک 3د 'ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ دوه خارجﻲ زاوﻳ 3ﻣﻌﻠﻮﻣ3 ﻧﻪ دى ،پﻴدا ﻳ 3ک7ئ.
121
80°
2
1 D 2
B
A 2 140° 140° 2 40°
C
مثال :د دې 'ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ درې خارجﻲ زاوﻳ 3راک7ل
85°
شﻮي دي' ،ﻠﻮرﻣﻪ خارجﻲ زاوﻳﻪ ﻳ 3پﻴدا ک7ئ.
30°
حل: 150 + 30 + 85 = 265 'رﻧ/ﻪ چ 3د ﻳﻮې 'ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ د خارجﻲ زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮﻋﻪ o
o
o
o
150°
o 360ده ،ﻧﻮ د دې 'ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ 'ﻠﻮرﻣﻪ زاوﻳﻪ ﻣساوي ده پﻪ265 o = 95 o : د ﻳﻮې 'ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ د خارجﻲ زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮﻋﻪ 360oده.
360 o
پو*تن3 -1د ﻳﻮې 'ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ د درﻳﻮ خارجﻲ زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮﻋﻪ 301oده ،د دې 'ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ 'ﻠﻮرﻣﻪ خارجﻲ زاوﻳﻪ 'ﻮ درجﻲ ده؟ -2پﻪ ﻣخاﻣخ شکﻞ ک 3د 'ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ ﻳﻮه خارجﻲ زاوﻳﻪ راک7ل شﻮې ده ،ددې 'ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ درې خارجﻲ زاوﻳ 3پﻴدا ک7ئ.
2C 1 2 1 D
-3اﻳا د ﻳﻮې 'ﻠﻮر ضﻠﻌ 3د داخﻠﻲ زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮﻋﻪ او د خارجﻲ زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮﻋﻪ سره ﻣساوي ده؟ وﻟ3؟ -4د ﻳﻮې 'ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ د داخﻠﻲ او خارجﻲ زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮﻋﻪ ﻣساوي ده پﻪ: b) 720o
B 2 1 1 A 110°
a) 360o
-5کﻪ چﻴرې د ﻳﻮې 'ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ د در4ﻮ داخﻠﻲ زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮﻋﻪ 315oوي ،ددې 'ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ 'ﻠﻮرﻣﻪ داخﻠﻲ زاوﻳﻪ ﻣساوي ده پﻪ: c) 25o
b) 45o
a) 50o
122
د 'لور ضلعي د قطرونو خاصﻴتونه د متوازي اﻻضﻼع د قطرونو خاصﻴتونه: د ﻣتﻮازي اﻻضﻼع د ﻗطروﻧﻮ پﻪ برخﻪ ک' 3ﻪ وﻳﻼى شئ؟
B
2
D
3
E 4
A
1
C
BCاو ADد ABDCد ﻣتﻮازي اﻻضﻼع دوه ﻗطروﻧﻪ دي.
فعالﻴت ﻟﻮﻣ7ى د ﻣتﻮازي اﻻضﻼع د ﻗطروﻧﻮ اوږدواﻟﻰ پﻴدا ک7ئ. وﻳﻼى شﻰ چ 3ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ ﻟﻪ بﻠﻪ سره 'ﻪ اړﻳک 3ﻟري؟ ﻻﻧدې تش $اﻳﻮﻧﻪ ډک ک7ئ؟ B وﻟ3؟ =1 وﻟ3؟
=3
وﻟ3؟
= AB
3
2
A
E D
4
1
C
وﻟ3؟ اﻳا د ABEاو CEDد دوو ﻣثﻠثﻮﻧﻮ ﻟﻪ برابرواﻟﻲ 'خﻪ وﻳﻼى شﻲ چ 3د ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ بﻞ سره ﻧﻴﻤاﻳ 3کﻮي؟ د ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ بﻞ سره ﻧﻴﻤاﻳﻲ کﻮي. مثال :د ABDCپﻪ ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ک 3د BCﻗطر 8cmاو د ADﻗطر 6cmدى ،د AEاو EC اوږدواﻟﻰ پﻴدا ک7ئ.
123
A
B E D
C
حل' :رﻧ/ﻪ چ 3د ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ ﻟﻪ بﻞ سره ﻧﻴﻤاﻳﻲ کﻮې ،ﻧﻮ: BC 8cm = = 4cm 2 2
= EC
AD 6cm = = 3cm 2 2
= AE
پو*تن3 -1پﻪ دې 'ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ ک 3ﻧاﻣﻌﻠﻮم ﻗطﻌﻪ خطﻮﻧﻪ پﻴدا ک7ئ. A
B 2.5cm
D
2cm 3cm
R
4.5cm
C
-2پﻮره سﻢ $ﻮاب پﻪ ﻧ+ﻪ ک7ئ. پﻪ ﻳﻮه ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ک 3ﻗطروﻧﻪ: )aﻳﻮ پر بﻞ ﻋﻤﻮد وي )bﻳﻮ بﻞ ﻧﻴﻤاﻳﻲ کﻮي )cدواړه سﻢ دي -3پﻪ ﻳﻮه ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ک:3 )aﻣخاﻣخ زاوﻳ 3دوه پﻪ دوه سره ﻣساوي دي )bﻣخاﻣخ ضﻠﻌ 3دوه پﻪ دوه سره ﻣساوي دي )cدواړه سﻢ دي -4د ﻣتﻮازي اﻻضﻼع د ﻗطروﻧﻮ ﻟﻪ تﻘاطﻊ 'خﻪ: )aدوه جﻮړې اﻧطباق ﻣﻨﻮوﻧکﻲ ﻣثﻠثﻮﻧﻪ جﻮړﻳ8ي. ')bﻠﻮر اﻧطباق ﻣﻨﻮوﻧکﻲ ﻣثﻠثﻮﻧﻪ جﻮړﻳ8ي
124
د مستطﻴل قطرونه پﻪ ﻣخاﻣخ شکﻞ ک 3د ﻣﻴز د ﻣخ سطحﻪ کﻮم ﻫﻨدس 3شکﻞ ﻟري او د خاصﻴتﻮﻧﻮ پﻪ برخﻪ ک 3ﻳ' 3ﻪ پﻮﻫﻴ8ئ؟
فعالﻴت د ABDCﻣستطﻴﻞ پﻪ ﻧﻈر ک 3وﻧﻴسئ. د ﻣستطﻴﻞ ﻗطروﻧﻪ رسﻢ ک7ئ او د تﻘاطﻊ ﻧﻘط 3تﻪ ﻳ )E( 3وواﻳئ. د خط کش پﻪ واسطﻪ ﻳ 3اﻧدازه ک7ئ او وواﻳئ چ 3اﻳا د ﻣستطﻴﻞ ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ ﻟﻪ بﻠﻪ سره ﻣساوي دي؟ پﻪ ﻻﻧدې شکﻞ ک 3د ACDاو BCDﻣثﻠثﻮﻧﻮ پﻪ ﻧﻈر ک 3ﻧﻴﻮﻟﻮ سره ﻻﻧدې تش $اﻳﻮﻧﻪ ډک ک7ئ. A B = DB =C
ﻣﺸتﺮﻛﻪ ﺿﻠﻌﻪ
E
=
د ACDاو BCDد دوو ﻣثﻠثﻮﻧﻮ پﻪ برخﻪ ک' 3ﻪ وﻳﻼى شئ؟ کﻮﻻى شئ چ 3وواﻳئ BC = ADدى؟
C
D
پﻪ ﻫر ﻣستطتﻴﻞ ک 3ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ ﻟﻪ بﻞ سره ﻣساوي او ﻳﻮ بﻞ ﻧﻴﻤاﻳﻲ کﻮي. مثال :پﻪ شکﻞ ک AD 3او BCد ABDC
B
د ﻣستطﻴﻞ ﻗطروﻧﻪ دي ،کﻪ چﻴرې ED = 4cmوي ،د BC
E
اوږدواﻟﻰ پﻴدا ک7ئ. D
125
A
C
حل' :رﻧ/ﻪ چ 3د ﻣستطﻴﻞ ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ بﻞ سره ﻧﻴﻤاﻳﻲ کﻮي ،ﻧﻮ AE = 4cmاو AD = 8cm ﻟﻪ بﻠ 3خﻮا 'رﻧ/ﻪ چ 3د ﻣستطﻴﻞ ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ ﻟﻪ بﻞ سره ﻣساوي دي BC = ADﻧﻮ BC = 8cm
دى.
پو*تن3 B
-1پﻪ ﻻﻧدې ﻣستطﻴﻞ ک 3ﻧاﻣﻌﻠﻮم اوږدواﻟﻲ پﻴدا ک7ئ.
A
8cm 5cm
6cm
E
C
D
-2کﻪ چﻴرې BC = 6cmوي ،د EB , ED , AE , ADاو ECاوږدواﻟﻰ پﻴدا ک7ئ. A
B E
C
D
-3کﻪ چﻴرې د ﻳﻮه ﻣستطﻴﻞ ﻳﻮ ﻗطر 18cmوي ،ددې ﻣستطﻴﻞ بﻞ ﻗطر ﻣساوي دى پﻪ: a) 9cm b) 18cm c) 4.5cm -4کﻪ د ﻳﻮه ﻣستطﻴﻞ د ﻳﻮه ﻗطر ﻧﻴﻤاﻳ 6cm 3وي ،ددې ﻣستطﻴﻞ د ﻫر ﻗطر اوږدواﻟﻰ ﻣساوي دى پﻪ: c) 24cm
a) 12cm
b) 6cm
-5د ﻳﻮه ﻣستطﻴﻞ د ﻗطروﻧﻮ ﻟﻪ تﻘاطﻊ 'خﻪ 'ﻮ اﻧطباق ﻣﻨﻮوﻧکﻰ ﻣثﻠثﻮﻧﻪ جﻮړﻳ8ي. b( 4 دواړه سﻢ ﻧﻪ دي (c
a( 2
-6پﻮره سﻢ $ﻮاب پﻪ ﻧ+ﻪ ک7ئ: پﻪ ﻣستطﻴﻞ ک 3ﻗطروﻧﻪ: )aﻳﻮ ﻟﻪ بﻠﻪ سره ﻣساوي دي:
)bﻳﻮ بﻞ ﻧﻴﻤاﻳ 3کﻮي.
)cدواړه سﻢ دى.
-7ﻫﻐﻪ 'ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ -اﻧ 3چ 3د ﻣتﻮازي اﻻضﻼع !ﻮل خاصﻴتﻮﻧﻪ ﻟري ،ﻋبارت دي ﻟﻪ: )aﻣربﻊ
)bﻣﻌﻴﻦ (ﻟﻮزی)
)cﻣستطﻴﻞ
)dد رې واړه سﻢ دي
126
د معﻴن (لوزي) قطرونه پﻪ ﻣخاﻣخ شکﻞ ک 3د ﻫﻨدسﻲ شکﻠﻮﻧﻮ ﻧﻮﻣﻮﻧﻪ وواﻳئ:
فعالﻴت ﻳﻮ داس 3ﻣﻌﻴﻦ (ﻟﻮزي) رسﻢ ک7ئ چ 3ﻳﻮه ضﻠﻌﻪ ﻳ 4cm 3او ﻳﻮه زاوﻳﻪ ﻳ 50o 3وي. د دې ﻣﻌﻴﻦ (ﻟﻮزي) ﻗطروﻧﻪ رسﻢ ک7ئ. د ﻗطروﻧﻮ ترﻣﻨ #زاوﻳﻪ ﻳ 3پﻴدا ک7ئ د دوی پﻪ برخﻪ ک' 3ﻪ وﻳﻼى شئ؟ ACاو BDد ABCDد ﻣﻌﻴﻦ دوه ﻗطروﻧﻪ دي. ﻏﻮاړو ثبﻮت ک7و چ 3د ﻳﻮ ﻣﻌﻴﻦ ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ پر بﻞ ﻋﻤﻮد دي. د ABCDپﻪ ﻣﻌﻴﻦ (ﻟﻮزي) ک 3ﻟرو چ:3 (د ﻣﻌﻴﻦ ضﻠﻌ 3سره ﻣساوي دي) AB = BC = CD = AD C ﻟﻪ بﻠ 3خﻮا د ACاو BDدوه ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ بﻞ سره ﻧﻴﻤاﻳﻲ کﻮي (ﻟﻮزي ﻳﻮه ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ده). ﻧﻮ: EB = ED AE = EC
B
E
A
D
ABCاو ACDدوه ﻣتساوي اﻟساﻗﻴﻦ ﻣثﻠثﻮﻧﻪ دي(د ﻟﻮزي ضﻠﻌ 3سره ﻣساوي دي). د ABCپﻪ ﻣتساوي اﻟساﻗﻴﻦ ﻣثﻠث ک 3د ACضﻠﻌﻪ پﻪ دوو ﻣساوي برخﻮ و4شﻞ شﻮي ده .پﻪ دې ﻣﻌﻨا چ 3د BEﻣستﻘﻴﻢ خط د ABCد ﻣثﻠث ﻣﻴاﻧﻪ او ارتﻔاع ﻫﻢ ده. 'رﻧ/ﻪ چ 3د BEﻣستﻘﻴﻢ خط د Eپﻪ ﻧﻘطﻪ ک 3د ACپر ضﻠﻌﻪ ﻋﻤﻮد دى ،ﻫﻤدارﻧ/ﻪ د ED ﻣستﻘﻴﻢ خط د Eپﻪ ﻧﻘطﻪ ک 3ﻫﻢ پر ACﻋﻤﻮد دى. پﻪ ﻧتﻴجﻪ کBC AC 3 BDدى.
127
مثال :پﻪ ﻣخاﻣخ شکﻞ ک 3د ACاو BDد ABCDد ﻟﻮزي ﻗطروﻧﻪ
B
دي کﻪ A1 = A 2 = C5 = C6 = 60o :وي.
34
د D7 , B 4 , B3او D8زاوﻳ 3پﻴدا ک7ئ.
حل' :رﻧ/ﻪ چ CDE ،BCE ،ABE 3او ADEﻣثﻠثﻮﻧﻪ ﻗاﻳﻢ C
5 6
اﻟزاوﻳﻪ ﻣثﻠثﻮﻧﻪ دي D7 = 90o 60o = 30o پﻪ ﻧتﻴجﻪ ک B3 = B4 = D7 = D8 = 30o :3دى.
1 2E
A
87
D د ﻣﻌﻴﻦ (ﻟﻮزي) ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ پر بﻞ ﻋﻤﻮد او ﻳﻮ بﻞ ﻧﻴﻤاﻳﻲ کﻮي.
پو*تن3 -1آﻳا د ﻣﻌﻴﻦ (ﻟﻮزي) ﻗطروﻧﻪ ،د رآسﻮﻧﻮ زاوﻳ 3ﻧﻴﻤاﻳﻲ کﻮي؟ -2آﻳا د ﻣﻌﻴﻦ (ﻟﻮزي) ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ پر بﻞ ﻋﻤﻮد او ﻳﻮ ﻟﻪ بﻞ سره ﻣساوي دي؟ -3آﻳا د ﻣﻌﻴﻦ (ﻟﻮزي) ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ بﻞ ﻧﻴﻤاﻳﻲ کﻮي؟ -4آﻳا ﻣﻌﻴﻦ (ﻟﻮزي) ﻳﻮه ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ده؟ A
-5د ﻣﻌﻴﻦ (ﻟﻮزي) پﻪ دې شکﻞ ک 4 , 3 , 2 , 1 3او 5زاوﻳ 3پﻴدا ک7ئ.
1
35o
2 C
B 5
43 D
128
د شپ8م فصل لن6يز دوه ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ چ 3پﻪ ﻳﻮه ﻣستﻮي ک 3واﻗﻊ وي ،خپﻠﻪ خطﻮﻧﻪ او ﻳا اﻣتداد ﻳ 3شرﻳکﻪ ﻧﻘطﻪ وﻧﻪ ﻟري سره ﻣﻮازي دي .د دوو ﻣﻮازي خطﻮﻧﻮ ترﻣﻨ #ﻓاصﻠﻪ ﻣساوي ده. دوه ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ چ 3پر ﻳﻮه خط باﻧدې ﻋﻤﻮد وي ،پﻪ خپﻞ ﻣﻨ #ک 3ﻣﻮازي دي. دوه ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ ﻫﻐﻪ وخت ﻳﻮ پر بﻞ ﻋﻤﻮد دي چ 3تر ﻣﻨ #زاوﻳﻪ ﻳ 90o 3وي. کﻪ چﻴرې دوه ﻣﻮازي خطﻮﻧﻪ د ﻳﻮ ﻗاطﻊ خط پﻪ واسطﻪ ﻗطﻊ شﻲ' ،ﻠﻮر داخﻠﻲ ﻣتبادﻟ 3او 'ﻠﻮر E
خارجﻲ ﻣتبادﻟ 3زاوﻳ 3جﻮړ وي چ 3دوه پﻪ دوه سره ﻣساوي دي. B
خارجﻲ ﻣتبادﻟ 3زاوﻳ3
2=8
داخﻠﻲ ﻣتبادﻟ 3زاوﻳ3
3=5
1 2 4 3
D
4=6
1=7
A 5 6 8 7
C F
کﻪ چﻴرې دوه ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ ،د ﻳﻮه ﻣستﻘﻴﻢ خط پﻪ واسطﻪ داس 3ﻗطﻊ شﻲ چ 3ﻣساوي ﻣتبادﻟ3 زاوﻳ 3جﻮړې ک7ي دا دوه ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ سره ﻣﻮازي دي. کﻪ چﻴري دوه ﻣﻮازي خطﻮﻧﻪ ﻳﻮ ﻣستﻘﻴﻢ خط ﻗطﻊ ک7ي 8ﻣتﻮاﻓﻘﻲ زاوﻳ 3جﻮړ وي چ 3دوه پﻪ دوه سره ﻣساوي دي.
، 1=5
2=6
، 4=8
3=7
کﻪ چﻴرې دوه ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ ،د ﻳﻮه ﻣستﻘﻴﻢ خط پﻪ واسطﻪ داس 3ﻗطﻊ شﻲ چ 3ﻣساوي ﻣتﻮاﻓﻘ3 زاوﻳ 3جﻮړې ک7ي ،دا دوه خطﻮﻧﻪ سره ﻣﻮازي دي. کﻪ دوه ﻣﻮازي خطﻮﻧﻪ د ﻳﻮ خط پﻪ واسطﻪ ﻗطﻊ شﻲ ،د ﻗاطﻊ ﻳﻮې خﻮاتﻪ د داخﻠﻲ زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮﻋﻪ 180oکﻴ8ي. کﻪ چﻴرې دوه ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ د ﻳﻮه ﻗاطﻊ خط پﻪ واسطﻪ داس 3ﻗطﻊ شﻲ چ 3د ﻗاطﻊ خط د ﻳﻮې خﻮا د داخﻠﻲ زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮﻋﻪ 180oشﻲ ،دا دوه ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ سره ﻣﻮازي دي.
129
پﻪ ﻳﻮه ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ک 3ﻣﻘابﻠ 3زاوﻳ 3دوه پﻪ دوه سره ﻣساوي دي. د ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ بﻞ سره ﻧﻴﻤاﻳﻲ کﻮي او د ﻗطروﻧﻮ ﻟﻪ تﻘاطﻊ 'خﻪ دوه جﻮړې اﻧطباق ﻣﻨﻨﻮکﻲ ﻣثﻠثﻮﻧﻪ جﻮړﻳ8ي. پﻪ ﻣستطﻴﻞ ک 3ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ ﻟﻪ بﻞ سره ﻣساوي ﻳﻮ بﻞ ﻧﻴﻤاﻳﻲ کﻮي ،او د ﻗطروﻧﻮ ﻟﻪ تﻘاطﻊ 'خﻪ دوه جﻮړې اﻧطباق ﻣﻨﻨﻮﻧکﻲ ﻣثﻠثﻮﻧﻪ جﻮړﻳ8ي.او د ﻣستطﻴﻞ 'ﻠﻮر واړه زاوﻳ 3ﻗاﻳﻤﻲ دي. د ﻣﻌﻴﻦ (ﻟﻮزي) 'ﻠﻮر ضﻠﻌ 3سره ﻣساوي دي ،ﻗطروﻧﻪ ﻳ 3ﻳﻮ پر بﻞ ﻋﻤﻮد دي او ﻳﻮ بﻞ ﻧﻴﻤاﻳﻲ کﻮي .د ﻗطروﻧﻮ ﻟﻪ تﻘاطﻊ 'خﻪ 'ﻠﻮر اﻧطباق ﻣﻨﻮوﻧکﻲ ﻣثﻠثﻮﻧﻪ جﻮړﻳ8ي او ﻫﻢ ﻗطروﻧﻪ د راسﻮﻧﻮ زاوﻳ 3ﻧﻴﻤاﻳﻲ کﻮي.
د ﻣربﻊ ﻗطروﻧﻪ سره ﻣساوي ،ﻳﻮ پر بﻞ ﻋﻤﻮد او ﻳﻮ بﻞ سره ﻧﻴﻤاﻳﻲ کﻮي .د ﻣربﻊ ﻗطروﻧﻪ د رآس زاوﻳ 3ﻧﻴﻤاﻳﻲ کﻮي او د ﻗطروﻧﻮ ﻟﻪ تﻘاطﻊ 'خﻪ 'ﻠﻮر اﻧطباق ﻣﻨﻮﻧکﻲ ﻣثﻠثﻮﻧﻪ جﻮړ84ي. د ﻳﻮې 'ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ د داخﻠﻲ زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮﻋﻪ 360oده ،ﻫﻤدارﻧ/ﻪ د 'ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ د خارجﻲ زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮﻋﻪ ﻫﻢ 360oده. د ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ،ﻣستطﻴﻞ ،ﻣﻌﻴﻦ (ﻟﻮزي) او ﻣربﻊ د خاصﻴتﻮﻧﻮ شرﻳکﻮاﻟﻰ د س"ﻮﻧﻮ د تﻘاطﻊ پﻪ ډول پﻪ وﻳﻦ دﻳا-رام ک* 3ﻮدل شﻮي دي.
ﻣﺘﻮﺍزى ﺍﻻﺿﻼع
ﻣﻌﻴﻦ ﻣﺮﺑﻊ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ
130
د شپ8م 'پرکى پو*تن3 -1پﻪ ﻻﻧدې شکﻠﻮﻧﻮ ک 3د ABاو CDکﻮم دوه ﻗطﻌﻪ خطﻮﻧﻪ سره ﻣﻮازي دي؟ B 50°
A B
40°
D
A
60°
C
60°
D
C
B
D
80°
B
70°
A
110° C
80°
D
A
C
-2کﻪ د ( )aپﻪ شکﻞ ک 3د AB || CDاو د ( )bبﻪ شکﻞ ک 3او CD || EFوي ،پﻪ دې شکﻠﻮﻧﻮ ک3 1او 2ﻫره ﻳﻮه زاوﻳﻪ 'ﻮ درج 3ده؟ E
B
1 30°
C
A 110°
1
2
95°
2
D
C
F
()a
D B
-3پﻪ ﻻﻧدې شکﻞ ک 3کﻪ AB || EDاو EF || CDوي 1 ،او 2پﻴدا ک7ئ.
C
F B D
131
A
110°
2 1
A E
()b
-4ﻫره 'ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ چ 3کﻮم خاصﻴت ﻟري ﻣخاﻣخ ورتﻪ د √ ﻋﻼﻣﻪ وﻟﻴکئ. ﻣربﻊ
ﻣستطﻴﻞ
ﻣﻌﻴﻦ(ﻟﻮزي)
خاصﻴتﻮﻧﻪ
ﻣتﻮازي اﻻضﻼع
ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ بﻞ سره ﻧﻴﻤاﻳﻲ کﻮي ﻗطروﻧﻪ سره ﻣساوي دي ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ پر بﻞ ﻋﻤﻮد دي ﻗطروﻧﻪ د راس زاوﻳ 3ﻧﻴﻤاﻳﻲ کﻮي د ﻗطروﻧﻮ ﻟﻪ تﻘاطﻊ 'خﻪ دوه جﻮړى اﻧطباق ﻣﻨﻮوﻧکﻲ ﻣثﻠثﻮﻧﻪ جﻮړﻳ8ي د ﻗطروﻧﻮ ﻟﻪ تﻘاطﻊ 'خﻪ 'ﻠﻮر اﻧطباق ﻣﻨﻮوﻧکﻲ ﻣثﻠثﻮﻧﻮﻧﻪ جﻮړﻳ8ي.
ﻣﻘابﻠ 3ضﻠﻌ 3ﻳ 3سره ﻣﻮازي او ﻣساوي دي !ﻮﻟ 3ضﻠﻌ 3ﻳ 3سره ﻣساوي دي ﻣﻘابﻠ 3زاوﻳ 3ﻳ 3سره ﻣساوي دي 'ﻠﻮر واړه زاوﻳ 3ﻳ 3سره ﻣساوي دي
-5سﻢ $ﻮابﻮﻧﻪ پﻪ ﻧ+ﻪ ک7ئ. ﻫﻐﻪ وخت چ 3دوه ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ(کر* )3د ﻳﻮه ﻗاطﻊ پﻪ واسطﻪ ﻗطﻊ شﻲ او ﻣساوي ﻣتبادﻟ 3زاوﻳ 3جﻮړې ک7ي ،دا کر* 3سره: )cﻣتﻘاطﻊ دي )bﻣﻮازي دي )aﻋﻤﻮدي دي -6دوه زاوﻳ 3چ 3ضﻠﻌ 3ﻳ 3سره ﻣﻮازي او ﻫﻢ جﻬت ﻳا ﻣﻮازي او ﻣختﻠﻒ اﻟجﻬت وي ،دا زاوﻳ 3سره )cد دواړو زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮﻋﻪ 90oده. )bﻳﻮ د بﻞ ﻣتﻤﻤ 3دي )aﻣساوي دي
-7دوې زاوﻳ 3چ 3دوې ضﻠﻌ 3ﻳ 3ﻣﻮازي او ﻫﻢ جﻬت او دوې ضﻠﻌ 3ﻳ 3ﻣﻮازي او ﻣختﻠﻒ اﻟجﻬت وي:
)aﻣجﻤﻮﻋﻪ ﻳ 180 3ک85ي o
o
)bﻣجﻤﻮﻋﻪ ﻳ 90 3ک85ي.
)cسره ﻣساوي دى.
132
-8دوه ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ چ 3پر ﻳﻮه خط باﻧدې ﻋﻤﻮد وي ﻳﻮ ﻟﻪ بﻠﻪ سره: )cﻣتﻘاطﻊ دي )bﻋﻤﻮد دي )aﻣﻮازي دي -9کﻪ چﻴرې دوه ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ دﻳﻮ ﻣستﻘﻴﻢ خط پﻪ واسطﻪ داس 3ﻗطﻊ شﻲ چ 3د ﻗاطﻊ د ﻳﻮې خﻮا د دوو داخﻠﻲ زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮﻋﻪ ﻳ 180o 3شﻲ ،دا دوه خطﻮﻧﻪ سره: )aﻣﻮازي دي
)cﻣتﻘاطﻊ دي
)bﻋﻤﻮد دي
4
5
2.5
-10پﻪ ﻻﻧدې 'ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ -اﻧﻮ ک 3د ﻧاﻣﻌﻠﻮﻣﻮ ضﻠﻌﻮ اوږدواﻟﻰ پﻴدا ک7ئ.
2.5
5
2.5
2.5
4 3
4 2.5
2.5
4
5
4
3 3
4
-11د ﻻﻧدې 'ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ -اﻧﻮ د ﻫر ﻳﻮې درې ﻧاﻣﻌﻠﻮﻣ 3زاوﻳ 3پﻴدا ک7ئ. 90°
130°
60°
90°
130°
60°
90°
130°
60°
-12پﻪ شکﻞ ک p || q 3او m || nدى ،کﻪ 2 = 40oوي ،د ﻧﻮرو پات 3زاوﻳﻮ اﻧدازه پﻴدا ک7ئ. m
n
m n 1 2 9 10 4 3 12 11 m n 1 2 9 10 p 4 3 12 11 5 6 13 14 q 1 2 9 10 p 8 7 16 15 4 3 12 11 5 6 13 14 q 8 7 16 15 p
13 14 16 15
133
5 6 8 7
q
-13ﻟﻪ ﻻﻧدې جﻤﻠﻮ 'خﻪ کﻮﻣﻪ ﻳﻮه ﻳ 3سﻤﻪ او کﻮﻣﻪ ﻳﻮه ﻳ 3ﻧاسﻤﻪ ده؟ د ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ﻗطروﻧﻪ سره ﻣساوي دي. د ﻣربﻊ ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ پر بﻞ ﻋﻤﻮد دي. دﻣﻌﻴﻦ (ﻟﻮزي) ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ بﻞ سره ﻧﻴﻤاﻳﻲ کﻮي. د ﻣﻌﻴﻦ (ﻟﻮزي) 'ﻠﻮرواړه زاوﻳ 3ﻗاﻳﻤ 3دي. د ﻣتﻮازي اﻻضﻠﻊ ﻣﻘابﻠ 3ضﻠﻌ 3دوه پﻪ دوه ﻣساوي او ﻣﻮازي دي. د ذوزﻧﻘ 3ﻣﻘابﻠ 3ضﻠﻌ 3دوه پﻪ دوه سره ﻣﻮازي دي. ﻫﻴ(کﻠﻪ ﻳﻮه ذوذﻧﻘﻪ ﻣتﻮازي اﻻضﻼع کﻴداى ﻧﻪ شﻲ. ﻫر ﻣستطﻴﻞ ﻳﻮه 'ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ ده. ﻣﻌﻴﻦ (ﻟﻮزي) ﻳﻮه ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ده. ﻳﻮازې ﻣربﻊ ﻳﻮه داس' 3ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ ده چ' 3ﻠﻮر واړه زاوﻳ 3ﻳ 3ﻗاﻳﻤ 3دي. o کﻪ د ﻳﻮې 'ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ د در4ﻮ زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮﻋﻪ 300oوي' ،ﻠﻮرﻣﻪ زاوﻳﻪ ﻳ 60 3ده. د ﻳﻮې 'ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ د خارجﻲ زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮﻋﻪ 360oده. د ﻳﻮي 'ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ د داخﻠﻲ زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮﻋﻪ 360oده. د ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ پر بﻞ ﻋﻤﻮد دي. د ﻣستطﻴﻞ د ﻗطروﻧﻮ ﻟﻪ تﻘاطﻊ 'خﻪ 'ﻠﻮر اﻧطباق ﻣﻨﻮوﻧکﻲ ﻣثﻠثﻮﻧﻪ جﻮړﻳ8ي. د ﻣﻌﻴﻦ(ﻟﻮزي) د ﻗطروﻧﻮ ﻟﻪ تﻘاطﻊ 'خﻪ 'ﻠﻮر اﻧطباق ﻣﻨﻮوﻧکﻲ ﻣثﻠثﻮﻧﻪ جﻮړ84ي. د ﻣستطﻴﻞ ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ بﻞ سره ﻧﻴﻤاﻳﻲ کﻮي. د ﻣﻌﻴﻦ ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ پر بﻞ ﻋﻤﻮد دي. -14کﻪ د ﻳﻮې ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ﻳﻮه زاوﻳﻪ ﻗاﻳﻤﻪ وي* ،کاره ک7ئ چ 3درې ﻧﻮرې زاوﻳ 3ﻳ 3ﻫﻢ ﻗاﻳﻤ 3دي. o -15کﻪ د ﻳﻮې ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ﻳﻮه زاوﻳﻪ 55وي ،درې ﻧﻮرې زاوﻳ 3ﻳ 3پﻴدا ک7ئ. -16پﻪ شکﻞ ک AB || CD 3دى 2 , 1 ،او 3پﻴدا ک7ئ. C
90°
90°
A
3 2 D
70° 1 50° B
134