113 13 14 MB
Persian / Farsi (Dari) Pages [233]
Table of contents :
Cover
Introduction & Contents
Math G - 7 Dari
رياضى
صنف 7
رياضي صنف7 5cm 5cm
5cm
1398هـ .ش.
وزارت معارف
وزارت معارف کتب درسی
سرود ملی دا وطن افغانس���تـــان دى
دا عـ���زت د هـــر افـغـان دى
دا وطن د ټول���و کـور دى
د بـــــلـوڅــــ���و د ازبـکـــــ���و
کور د سولې کور د تورې د پښ���تــون او هــ���زاره وو
ورس���ره عرب ،گوجــر دي
براهوي دي ،قزلباش دي دا هېـــ���واد به تل ځليږي په س���ينــه کې د آس���يـــا به
نوم د حق م���و دى رهبـــر
هر بچی يې قهرمـــــان دى د تـــرکـمنــــ���و د تـــاجـکـــ���و
پــاميــري���ان ،نـورس���تانيــــان هـــم ايمـــاق ،هم پشـه يان
لـکـه لـمــر پـر ش���نـه آس���مـان لـکـ���ه زړه وي جـــاويـــ���دان واي���و اهلل اکبر وايو اهلل اکبر
1398 هـ .ش .
الف
مشخصاتکتاب
-----------------------------------------------------مضمون :ریاضی
مؤلفان :گروه مؤلفان کتابهای درسی دیپارتمنت ریاضی نصاب تعلیمی ویراستاران :اعضای دیپارتمنت ویراستاری و ایدیت زبان دری
صنف :هفتم
زبان متن :دری
انکشاف دهنده :ریاست عمومی انکشاف نصاب تعلیمی و تالیف کتب درسی
ناشر :ریاست ارتباط و آگاهی عامۀ وزارت معارف
سال چاپ 1398 :هجری شمسی مکان چاپ :کابل چاپخانه:
ایمیل آدرس[email protected] :
-----------------------------------------------------حق طبع ،توزیع و فروش کتابهای درسی برای وزارت معارف جمهوری اسالمی افغانستان محفوظ است .خرید و فروش آن در بازار ممنوع بوده و با متخلفان برخورد قانونی صورت میگیرد .
ب
پیام وزیر معارف
اقرأ باسم ربک سپاس و حمد بیکران آفریدگار یکتایی را که بر ما هستی بخشید و ما را از نعمت بزرگ خواندن و نوشتن برخوردار ساخت ،و درود بیپایان بر رسول خاتم -حضرت محمد مصطفی که نخستین پیام الهی بر ایشان «خواندن» است. چنانچه بر همهگان هویداست ،سال 1397خورشیدی ،به نام سال معارف مسمی گردید .بدین ملحوظ نظام تعلیم و تربیت در کشور عزیز ما شاهد تحوالت و تغییرات بنیادینی در عرصههای مختلف خواهد بود؛ معلم ،متعلم ،کتاب ،مکتب ،اداره و شوراهای والدین ،از عناصر ششگانه و اساسی نظام معارف افغانستان به شمار میروند که در توسعه و انکشاف آموزش و پرورش کشور نقش مهمی را ایفا مینمایند .در چنین برهه سرنوشتساز ،رهبری و خانوادۀ بزرگ معارف افغانستان ،متعهد به ایجاد تحول بنیادی در روند رشد و توسعه نظام معاصر تعلیم و تربیت کشور میباشد. از همینرو ،اصالح و انکشاف نصاب تعلیمی از اولویتهای مهم وزارت معارف پنداشته میشود .در همین راستا ،توجه به کیفیت ،محتوا و فرایند توزیع کتابهای درسی در مکاتب، مدارس و سایر نهادهای تعلیمی دولتی و خصوصی در صدر برنامههای وزارت معارف قرار دارد .ما باور داریم ،بدون داشتن کتاب درسی باکیفیت ،به اهداف پایدار تعلیمی در کشور دست نخواهیم یافت. برای دستیابی به اهداف ذکرشده و نیل به یک نظام آموزشی کارآمد ،از آموزگاران و مدرسان دلسوز و مدیران فرهیخته بهعنوان تربیت کنندهگان نسل آینده ،در سراسر کشور احترامانه تقاضا میگردد تا در روند آموزش این کتاب درسی و انتقال محتوای آن به فرزندان عزیز ما ،از هر نوع تالشی دریغ نورزیده و در تربیت و پرورش نسل فعال و آگاه با ارزشهای دینی ،ملی و تفکر انتقادی بکوشند .هر روز عالوه بر تجدید تعهد و حس مسؤولیت پذیری، با این نیت تدریس راآغاز کنند ،که در آیندۀ نزدیک شاگردان عزیز ،شهروندان مؤثر ،متمدن و معماران افغانستان توسعه یافته و شکوفا خواهند شد. همچنین از دانش آموزان خوب و دوست داشتنی به مثابه ارزشمندترین سرمایههای فردای کشور میخواهم تا از فرصتها غافل نبوده و در کمال ادب ،احترام و البته کنجکاوی علمی از درس معلمان گرامی استفادۀ بهتر کنند و خوشه چین دانش و علم استادان گرامی خود باشند. در پایان ،از تمام کارشناسان آموزشی ،دانشمندان تعلیم و تربیت و همکاران فنی بخش نصاب تعلیمی کشور که در تهیه و تدوین این کتاب درسی مجدانه شبانه روز تالش نمودند ،ابراز قدردانی کرده و از بارگاه الهی برای آنها در این راه مقدس و انسانساز موفقیت استدعا دارم. با آرزوی دستیابی به یک نظام معارف معیاری و توسعه یافته ،و نیل به یک افغانستان آباد و مترقی دارای شهروندان آزاد ،آگاه و مرفه. دکتور محمد میرویس بلخی وزیر معارف
ج
فهرست
صفحه
• فصل اول(ست)3 ................................................................................ مفهوم ست ،عناصر و روشهای نوشتن یک ست ست های مساوی و معادل ست فرعی ،تقاطع و اتحاد ست ها تفاضل ست ها ،ست کلی و مکملة یک ست ست های متناهی و نامتناهی خالصۀ فصل اول و تمرین
• فصل دوم( اعداد طبیعی)27 ................................................................ قابلیتهای تقسیم و تجزیۀ اعداد طبیعی طاقت و قوانین طاقت (قوانین ضرب و تقسیم طاقت) روش علمی عددنویسی بزرگترین قاسم مشترک و دریافت آن توسط تجزیه کوچکترین مضرب مشترک و دریافت آن توسط تجزیه به اعداد اولیه موارد استعمال کوچکترین مضرب مشترک و بزرگترین قاسم مشترک در حل مسائل روزمرۀ زندهگی رابطه بین کوچکترین مضرب مشترک و بزرگترین قاسم مشترک دو عدد دریافت همزمان کوچکترین مضرب مشترک و بزرگترین قاسم مشترک دو عدد مربع و جذر مربع تام اعداد طبیعی توسط تجزیه و طریق عمومی جذر مکعب تام اعداد طبیعی خالصۀ و تمرین فصل دوم • فصل سوم(اعداد تام)71 ...................................................................... اعداد مثبت و منفی ترتیب اعداد تام و نمایش اعداد تام روی محور اعداد قیمت مطلقۀ یک عدد تام ،جمع ،تفریق ،ضرب و تقسیم اعداد تام قیمت افادههای حسابی خواص عملیهها خالصۀ فصل سوم و تمرین • فصل چهارم( اعداد نسبتی)97 ............................................................ اعداد نسبتی مقایسۀ اعداد نسبتی جمع و تفریق ،ضرب و تقسیم اعداد نسبتی خواص عملیه های اعداد نسبتی تبدیل اعداد نسبتی به اعداد اعشاری
د
فهرست خالصۀ فصل چهارم و تمری ن
صفحه
• فصل پنجم( مثلث ها و چندضلعی ها)119 ........................................ صنفبندی و اقسام مثلث ها ،میانه ،ارتفاع و ناصفالزاویه در مثلث مجموع زوایای داخلی یک مثلث و زوایای خارجی یک مثلث رابطة بین اضالع یک مثلث چندضلعیها(مضلع ها) مجموع زوایای داخلی و خارجی یک مضلع(چندضلعی) اشکال انطباقپذیر حاالت انطباقپذیری مثلثها خالصۀ فصل پنجم و تمرین • فصل ششم(خطوط موازی و عمود)157 ......................................... زوایای متبادلۀ داخلی و خارجی زوایای متوافقه زوایای متممۀ داخلی یک طرف خط قاطع چهارضلعی ها (متوازیاالضالع ،مستطیل ،مربع ،معین و ذوزنقه) زوایای مقابل متوازیاالضالع زوایای خارجی یک چهارضلعی خاصیت قطرهای متوازیاالضالع خاصیت قطرهای مستطیل خاصیت قطرهای لوزی(معین) خالصۀ فصل ششم و تمرین • فصل هفتم ( احصائیه)187 .............................................................. روش های جمعآوری اطالعات جامعه و نمونه نمونۀ تصادفی متحول تصادفی و انواع آن جدول کثرت (فریکونسی) گراف تصویری مد( )Mode اوسط خالصۀ فصل هفتم و تمرین • فصل هشتم(احتماالت)211 ............................................................. چانس احتمال تجربه کردن یک اتفاق تجربة تصادفی فضای نتیجه یا نمونه احتمال نظری ،خالصۀ و تمرین فصل هشتم
هـ
فصل ا ّول ِست
مفهوم ست ()Concept of a Set
آیا تا به حال تصميم گرفته ايد كه عضو يكي از تيم هاي ورزشي مكتب خود شوید؟
فعالیت تصور کنید كه در صنف هفتم يك مكتب 10شاگرد وجود دارند و آنها میخواهند كه در سه تيم واليبال،فوتبال و باسكتبال مکتب خود شامل شوند .در تيم واليبال 5نفر و در تيم فوتبال 7نفر عضو میشود و در تيم باسكتبال هيچ شاگردي شركت نكرده باشند. • چه تعداد شاگردان در تيم واليبال و هم در تيم فوتبال ثبت نام كرده اند؟ • چه تعداد شاگردان در هر یک از تيم هاي ورزشي فوق ثبت نام كرده اند؟ هر يك از تيم هاي فوق يك خصوصيت مشترك دارند A محمود حسن يا به عبارت ديگر هر يك از اين تيم ها يك مجموعه احمد (ست) را تشكيل مي دهند. قاسم زلمي نادر معموالً ست ها را به حروف كالن زبان انگليسي چون عزت اهلل صفت اهلل A, B, C ... X, Y, Zنشان می دهند و عناصر ست عطاءاهلل دين محمد توسط حروف کوچک مثل a , b , c ... x , y , zرا در داخل عالمت } { مي نويسند .عناصر ست توسط عالمت « »,از يكديگر جدا مي شوند. مثال اول :اگر ست شاگردان صنف 7را ،ست ، Aست تیم والیبال را ، Bست تیم فوتبال را Cو ست تیم باسکتبال را Dبناميم؛ هر یک از این ست ها به طور زير نشان داده مي شود: { زلمي ،محمود ،دين محمد ،عطاءاهلل ،نادر ،عزت اهلل ،قاسم ،صفت اهلل ،حسن ،احمد}=A { محمود ،زلمي ،قاسم ،حسن ،احمد}=B {عزت اهلل ،عطاء اهلل ،دين محمد ،نادر ،صفت اهلل ،قاسم،احمد}=C ست Dخالی است؛ زيرا در تيم باسكتبال هيچ شاگردي اشتراك نكرده استD = { } .
3
ستی كه هيچ عنصر نداشته باشد ،به نام ست خالي ياد مي شود و به عالمت و يا{ }نشان داده مي شود. ستها را میتوانيم توسط اشكال مختلف نشان دهيم كه به نام دياگرام وين ياد میشوند؛ طور مثال مي توان ستهاي B, Aو Cرا توسط وین دیاگرام طور زير نشان دهيم. Aست شاگردان صنف 7
احمد زلمي حسن محمود قاسم صفت اهلل نادر دين محمد عزت اهلل عطاء اهلل
Bست تيم واليبال
احمد حسن زلمي محمود قاسم
Cست تيم فوتبال
قاسم احمد صفت اهلل دين محمد نادر عزت اهلل عطاءاهلل
فعالیت • ستي را بنويسيد كه عناصر آن ،لوازم و سامان یک بكس هندسي باشند. • يك ست 5عنصري را بنویسيد كه عناصر آن نامهاي حيوانات اهلي باشند. • ست 6عنصري را بنويسيد كه عناصر آن نام هاي ميوه هاي تازه باشند. مثال دوم :اگر ست اعداد طاقی را كه از 10كوچكتر باشد ،Oو ست اعداد جفتی را كه از 10كوچكتر باشد Eبناميم ،در این صورت: }O = {1,3,5,7,9 }E = {2, 4,6,8 هر دستة مشخص شده از اشيا را يك ست و اشياى آن را عناصر (عضو) ست مي نامند.
تمرین -1ستي را بنويسيد كه عناصر آن نام روزهاي هفته باشند. -2ستي را بنويسيد كه عناصر آن نام ماههاي سال باشند. -3ست حروف صدادار زبان انگليسي را بنويسيد. -4ستی را بنویسيد كه عناصر آن نامهاي واليات افغانستان باشند. -5ستي را بنويسيد كه عناصر آن انسان هايي باشند كه قدآن ها 3متر است.
4
عناصر يك ست()Members of a Set آیا میتوانيد بگوييد كه بز در ست حيوانات اهلي شامل است يا خير؟
در مثال تيم هاي ورزشي ،صفت اهلل عضو تيم فوتبال بود .او يك عنصر از ست Cمي باشد و اين طور نشان داده مي شود ∈ C :صفت اهلل چون زلمي عنصر(عضو) تيم فوتبال (ست )Cنيست ،اين طور نشان داده میشود: ∉ Cزلمي (زلمي عنصر ست Cنيست و يا عنصر ست تيم فوتبال نيست). اما زلمي عضو تيم واليبال يا عنصر ست Bبوده؛ بنابراین: ∈ Bزلمي (زلمیعنصر ست Bاست)
فعالیت ستهاي زير را در نظر بگيريد:
}A = {a , b , c , d , e }B = {2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8
• آيا bعنصر ست Bمیباشد؟ در مورد عضویت dدر ست Bچه مي گوييد؟ • آيا 5عنصر ست Aاست؟ آيا 5عنصر ست Bاست؟ • ست Aچند عنصر دارد؟ ست Bچند عنصر دارد؟ مثال اول :ستهاي Aو Bرا در نظر مي گيريم طوری كه
{ اعداد جفت يكرقمي}=A {اعداد يكرقمي كه بر 3قابليت تقسيم دارند}=B • ست هاي Aو Bرا با عناصرشان بنويسيد. • ست هاي Aو Bرا به وسیلۀ دياگرام وين نشان دهيد.
5
حل مشاهده مي شود که:
}A = {2, 4, 6,8 }B = {3, 6,9 33∈∈BB 99∉∈BB 6 6∈∈BB
4∉B
2∈ A 4∈ A 8∈ A 6∈ A
B
3 9
مثال دوم :درستي يا نادرستي رابطه های زیر را تعيين كنيد.
A
8 2 4
6
}∉ { )a حل a :درست است؛ اما bدرست نیست. عنصر بودن و يا شامل بودن یک عنصر در يك ست با عالمت )∈( و عنصر نبودن در يك ست با عالمت ()∉)( نشان داده میشود. )b
تمرین
}f ∈ {a , b , c , d , e
B
1 3 4 15
6
12
-1خانه هاي خالي زير را بر اساس شکل فوق ستهای Aو Bپر كنيد. 6 B ∉3
7
A
5
12 A 4 A -2اگر} A = {2, 4, 6,8و} B = {1,3,5, 7 ,9باشد ،كدام يك از عبارات زير درست
و كدام يك نادرست است؟ ، 7∉A ، 9∈B ، 8∉B
، 4∈A
∈5 ∉7
5∈A
10 ∈ A ، 11 ∈ B ، 1 ∉ A ، 2 ∈ A ، 3 ∉ B -3اگر} A = {1, 2,3, 4و} B = {3, 4,5, 6باشد ،كدام يك از عبارات زير درست و كدام يك نادرست است؟ 6∉ A
5∈ A
6∈ A
-4درستي و نادرستي عبارتهاي زير را مشخص كنيد. }5 ∉ {2,4,6,8,10 } g ∉ {a,b,c,d,e
، ،
5∈ B
2∉ A
2∈ B
4∈ A
3∈ A
}8 ∈ {3,5,7,8,9,11,13 }10∈ {1,2,3,4,5,6,7,8
6
طرق نوشتن يك ست یک ست را به چند روش میتوان نشان داد؟
}
,
A={ , B
{پنج بنای اسالم}=C
به طور عموم ست را به دو روش نشان می دهند: -1تمام عناصر يك ست و يا تصاوير عناصر به این روش در بين عالمت ست{ } قرار میگیرند طوری که در بين عناصر عالمت ( ),نوشته مي شود .اين روش را روش تفصيلي يا روش لست كردن عناصر ( )Tabulation Methodمیگویند. مثال اول{ :
,
,
,
,
=
} { ، Aاحمد ،حسن ،قاسم ،زلمي ،محمود} = B
} D = {a , b , c , d , e} C = {1, 2, 3, 4,5, 6, 7 ,8و }E = {1, 2,3, 4,...,500
چون عناصر ست Eزياد مي باشد ،بدین سبب سه نقطۀ ( )...این مفهوم را دارد كه اعداد الي 500دوام دارند. -2ست را به اساس خاصيت هاي مشترک عناصر در يك جمله مشخص می کنند .در اين طريقه ،نوشتن عالمت } { ضروري نيست .اين روش را روش اجمالي يا روش توصيفي ( )Description Methodمي نامند. مثال دوم :ست Bو ست Eمثال اول را توسط طريقۀ اجمالی طور زير مي نويسيم: ست نامهای شاگردان تيم واليبال صنف B = 7 ست 500عدد طبيعي پیهم که با 1شروع می شوند = E } P = {2,3,5, 7,11,...را به شكل زیر نشان میدهيم ست اعداد اوليه = P مثال سوم :اگر{كلمة طيبه ,نماز ,روزه ,زكات ,حج}= Kباشد ،ست Kرا توسط طريقۀ اجمالی به شكل زیر نشان مي دهيم: ست پنج بناي اسالم = K
7
فعالیت ست 8حرف اول زبان انگليسي = A ست اعداد طبیعی كوچك تر از 10و بزرگ تر از B = 2 ست مضرب هاي عدد 3کمتر از C = 20
ست هاي B ، Aو Cرا توسط روش لست كردن عناصر بنويسيد.
مثال چهارم :اگر } A = {a , e , i , o , uو } B = {a , b , c , d , eباشد .اين ست ها را به روش اجمالي يا توصيفي بنويسيد. حل :ست حروف صدادار زبان انگليسي = ، Aست پنج حرف اول زبان انگليسي = B
تمرین -1ست هاي زير را به روش لست كردن عناصر بنويسيد.
ست نام روزهاي يك هفته = B ست نام ماه هاي يك سال = A ست رنگ هاي بیرق افغانستان = E
-2ست هاي زير را به طريقة توصيفي(تشريحي) بنويسيد.
}A = {a , e , i , o , u A {سياه ،سرخ ،سبز} = B
}C = {1,3,5,7,9 }D = {2, 4,6,8
}E = {1, 2,3, 4,5
-3ست هاي زير را به طريقة لست كردن عناصر بنويسيد. ست اعداد طبيعي جفت يكرقمي = K ست اعداد طبيعي طاق يكرقمي = L ست مضربهاي عدد هفتم = T ست شاگردان تيم فوتبال صنف هفتم = C ست شاگردان تيم واليبال صنف هفتم = B ست شاگردان صنف هفتم = A
8
ست هاي مساوي و ست هاي معادل()Equal and Equivalent Sets آيا میتوان گفت كه ستهاي Aو Cچه رابطهیی با هم دارند و نيز در بين ستهاي A و Bچه رابطهیی موجود است؟
}
}
}
,
,
,
,
{=A
,
{=B
,
{=C
فعالیت اگر ست } A = {1, 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 8باشد ،ست هاي Bو Cرا از روی ست Aطوری بسازید که: • Bست اعداد جفت يكرقمي باشد. • Cست اعداد يكرقمي یی كه بر 2قابليت تقسيم را دارند. • در بارة ست هاي Bو Cچه گفته مي توانيد؟ تعريف :ستهاي Aو Bرا ست هاي مساوي مي نامند ،هرگاه تعداد عناصر هر دو ست با هم مساوی و يكسان باشند .به عبارت ديگر ،اگر تمام عناصر ست Aدر ست Bو تمام عناصر ست Bدر ست Aشامل باشند ،در این صورت می نویسیم كه A = Bمي باشد. مثال اول :اگر } A = {1, 2 , 6و } B = {1,1, 2 , 2 , 6باشد متوجه باشيد كه: A = B = Cمي باشد. متوجه بايد بود كه } {2 , 3 , 5 , 7} = {5 , 3 , 2 , 7مي باشد .ست های } A = {1, 2و }B = {2 , 3 را در نظر بگیرید .اين دو ست با هم مساوي نيستند؛ زيرا كه ، 1 ∈ Aولی 1 ∉ B تكرار عناصر يك ست و يا تبديل كردن جاهاي عناصر يك ست ،هیچ كدام تغيیري در ست وارد نمي كند.
9
فعالیت دو ست Aو Bرا در نظر بگيريد: } B = {5,4,7,8و }A = {a,b,c,d • تعداد عناصر هر یک از ست Aو Bچند است؟ • آيا aعنصر ست Bاست؟ • آيا ست Aبا ست Bمساوي است ،چرا؟ مثال دوم :اگر } , هم معادل اند؟ چون تعداد عناصر ست Aسه و تعداد عناصر ست Bنيز سه میباشند؛ پس ستهاي Aو B با هم معادل اند. مثال سوم :آيا ست اعداد طاق يكرقمیو ست اعداد جفت يكرقمي با هم معادل اند؟ حل: }A = {1, 3 , 5 , 7 , 9 }B = {2 , 4 , 6 , 8 چون تعداد عناصر ست Aمساوی به پنج و تعداد عناصر ست Bمساوی به چهار مي باشدA ، و Bبا هم معادل نيستند. اگر عناصر ست هاي Aو Bیکسان باشند به نام ستهای مساوی و اگر صرف تعداد عناصر شان با هم مساوي باشند به نام ست هاي معادل ) )Equivalent Setsياد مي شوند. -1ست های } A = {1, 2 , 3 , 4 , 5و } B = {a , b , c , d , eرا در نظر بگیرید:
A = { ,و } B = {8,10,12باشند ،آيا دو ست Aو Bبا
تمرین • آيا ست Aمساوي با ست Bمی باشد؟ • آيا ست Aمعادل با ست Bمیباشد؟
-2ست های } A = {1,7,8,9و } B = {9,8,1, 7 ,9را در نظر بگیرید: • آيا ست Aبا ست Bمساوي است؟ -3كدام يك از عبارات زير درست و كدام يك نادرست است؟ • اگر } A = {5, 6,8,11و } B = {11,11, 6,5,8باشد ،پس A = Bاست. • اگر{ شنبه ،يك شنبه ،دو شنبه} = Cو } D = {x , y , zباشد ،ست Cبا ست Dمعادل مي باشد. • اگر } M = {2 , 4 , 6و } N = {6 , 4 , 6 , 2باشد M ≠ Nاست.
10
ست فرعي() Subset اعضاي خانوادة شما اهل یک شهر يا قریه استند، اهالي شهر يا قریة شما از مردمان افغانستان استند، مردم افغانستان . ...
فعالیت Aست شاگردان صنف 7و Bست شاگردان تيم واليبال صنف 7میباشد. B
زلمي احمد عزت اهلل محمود قاسم حسن صفت اهلل
A
عطاء اهلل دين محمد نادر
●با توجه به شكل فوق عناصر ست های Aو Bرا بنويسيد. ● بين عناصر ست Aو Bچه رابطهیی وجود دارد؟ توضيح دهيد. ديده مي شود كه هر عنصر ست Bعنصر ست Aنيز میباشد ،در این صورت مي گوييم كه ست Bيك ست فرعي ست Aبوده كه اين طور نشان داده مي شودB ⊂ A : اين ⊂ عالمت ست فرعی میباشد .از طرف دیگر چون هر عنصر ست Aدر ست Bموجود نيست؛ پس ست ، Aست فرعي Bنمي باشد و اين طور نشان داده مي شودA ⊄ B : مثال اول :ستهاي زير را در نظر میگيريم: {احمد ،محمود ،زهرا ،مريم} = A {داوود ،قاسم ،احمد ،مريم} = B {مريم ،احمد} = C
11
، C⊂B ، B⊄ A ، C⊂A پس مي توان گفت كهA ⊄ B : و نيز مي توان گفت كه A ⊂ Aمیباشد؛ یعنی هر ست ،ست فرعي خودش مي باشد. اگر هر عنصر ست Aدر ست Bو برعکس هر عنصر ست Bدر ست Aشامل باشد، ميگوييم كه اين دو ست با همديگر مساوي اند و ميتوانيم بنويسيم: B⊂ A ⇒ A= Bو A⊂ B
فعالیت ست های } E = {7 , 6 , 2 , 5} ، B = {5 , 7} ، A = {2 , 5 , 6 , 7و }D = {1, 2 , 5 , 6
داده شده اند. ● آيا B ⊂ Aمي باشد؟ ● آيا D ⊂ Aمي باشد؟
● آيا ست Eست فرعي Aمیباشد؟
مثال دوم :اگر } A = {2 , 4 , 6 , 8باشد ،كدام يك از ستهاي زير ست فرعي Aمیباشد؟ ، }B = {1 , 2 , 4 } {= E حل E ⊂ A :است؛ زيرا ست خالي ست فرعي هر ست شده می تواند ،و B( B ⊄ Aست فرعي Aنيست؛) زيرا 1∈ Bاست؛ ولی . 1∉ A اگر تمام عناصر ست Bدر ست Aشامل باشند ،ست Bيک ست فرعى ست Aمیباشد که این طور نشان داده میشود . B ⊂ A
تمرین -1هرگاه } A = {1 , 2 , 3 , 4باشد ،ست های C, Bو Dرا به شکل تفصیلی بنويسيد.
• Bستي باشد كه همه عناصر آن اعداد جفت باشند. • Cستي باشد كه همه عناصر آن اعداد طاق باشند. • Dستي باشد كه همه عناصر آن اعداد بزرگتر از چهار باشند. -2آيا هر ست ،ست فرعي خودش میباشد؟ -3كدام يك از ستهاي زير ست فرعي ست } C = {2 , 4 , 6 , 8مي باشد؟ A = {1, 2, 4} ، } {= B -4كدام يك از ستهاي زير ست فرعي ست } C = {1, 2 , 3 , 4 , 5مي باشد؟ A = {3,5, 7} ، }B = {1, 2,3, 4,5 -5كدام يك از ستهاي زير با ست } C = {1, 2 , 3 , 4مساوي می باشد؟ }، B = {4,3, 2,1 }A = {1, 2,3
12
تقاطع ستها ()Intersection of Sets
آيا از مثال اول درس اول گفته ميتوانيد كه كدام شاگردان صنف هفتم هم در تيم واليبال و هم در تيم فوتبال اشتراك دارند؟
تيم فوتبال C طوري كه ديده میشود ،احمد و قاسم در هر دو تيم عزت اهلل واليبال و فوتبال اشتراك دارند .تقاطع دو ست Bو C حسن نادر عبارت از ستي است كه عناصر آن احمد و قاسم بوده، احمد زلمي صفت اهلل این گونه نشان داده مي شود. قاسم محمود دين محمد {احمد ،قاسم} = B Cکه عالمت تقاطع میباشد. عطاء اهلل
تيم واليبال B
{احمد ,قاسم ,عزت اهلل ,نادر ,صفت اهلل,دين محمد ,عطاء اهلل} { حسن ,زلمي ,محمود ,احمد,قاسم} = B C
{احمد,قاسم} = مثال اول :هرگاه س��ت های } A = {4 , 5 , 6 , 8,10و } B = {3 , 5 , 8 , 1داده شده باشند، A Bو B Aرا دريابيد. A حلB A B = {4 , 5 , 6 , 8,10} {3 , 5 , 8 ,1} = {5 , 8} : 4 5 1 }B A = {3 , 5 , 8 ,1} {4 , 5 , 6 , 8,10} = {5 , 8
در نتيجه طوريكه در شكل نیز مشاهده مي شود ،مي توان گفت كه3 : }A B = B A = {5 , 8
8
6
10
فعالیت هرگاه ست های } B = {1,2 , 7 , 8} ، A = {1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6و } C = {2 , 3 , 7 , 8 , 9داده شده باشندCB , C ، A, BA ،و ( A B) BCرا دريافت نموده و توسط دیاگرام وین نشان دهيد. B
مثال دوم :دو ست Aو Bرا قرار زیر در نظر بگیرید. }B = {2 , 4 , 8
دیده می شود که:
13
}A = {1, 3 , 5
A B = {1,3,5} {2,4,8} = φ
A
B 2 4
3
8
1 5
= A B
س��ت هایی را ك��ه هيچ عنصر مش��ترك ندارند س��ت هاي غير مش��ترك()Disjoint Sets مي نامند. تقاطع دو ست Aو Bدر صورتی كه تمام عناصر Aدر Bشامل باشند ،با ست Aبرابر است. مثال سوم :اگر } A = {1, 2 , 3و } B = {1,2 , 3, 4 , 5, 6باشد A Bرا دريابيد. حل :همان طوركه در دياگرام مقابل نشان داده شده A B است: 4 1 2 6 A B = {1, 2 , 3} {1,2 , 3, 4 , 5, 6} = {1, 2 , 3} = A
A B
3
5
مثال چهارم :اگر } B = {1, 2} , A = {1و } C = {1, 2 , 3باشد؛ ( A B) Cو ) A ( B Cرا دریافت نموده ،با هم مقایسه کنید. }B C = {1, 2} {1, 2 , 3} = {1, 2 حل:
}A ( B C ) = {1} {1, 2} = {1 }A B = {1} {1, 2} = {1 }( A B) C = {1} {1, 2 , 3} = {1
به همین ترتیب
}A ( B C ) = ( A B ) C = {1
در نتیجه
این خاصیت را به نام خاصیت اتحادی تقاطع یاد می کنند. تقاطع دو ست Aو Bعبارت از ستي است كه عناصر آن هم در Aو هم در Bشامل باشند. AA = A تقاطع هر ست Aبا خودش مساوي به خود Aاست :
تمرین B
d x c t
a
A
-1شكل مقابل را در نظر بگيريد. • عناصر هر يك از ستهاي Aو Bرا از روي شكل بنويسيد. b ● A Bو B Aرا به دست آورده ،در شكل نشان دهيد. -2اگر } B = {6,10,12, 20} ، A = {5,10,15, 20و } C = {1, 2,10, 20,30باشند. ● ستهاي B ، Aو Cرا در دياگرام وين نشان دهيد. ● A C ، A Bو B Cرا دريابيد.
14
اتحاد ست ها ()Union Of Sets 5نفر شاگرد صنف ،7عضو تيم واليبال و 7نفر شاگرد صنف 7عضو تيم فوتبال مي باشند؛ زمانی که شاگردان هر دو تيم فوتبال و واليبال غرض درس به صنف میروند ،جمعاً در صنف چند نفر مي باشند؟
ست شاگردان صنف { = 7دين محمد ,عطاءاهلل ,صفت اهلل ,نادر,عزت اهلل ,قاسم ,احمد ,محمود ,زلمي ,حسن} = A ست تيم واليبال = { قاسم ,احمد ,محمود ,زلمي ,حسن} = B ست تيم فوتبال = {عطاء اهلل ,دين محمد ,صفت اهلل ,نادر ,عزت اهلل ,قاسم ,احمد} = C
مشاهده مي گردد كه 5نفر در تيم واليبال و 7نفر در تيم فوتبال اشتراك دارند؛ اما زمانی كه به صنف مي روند جمعاً در صنف 10نفر میشوند؛ این مسـأله اتحاد ست های Bو Cبوده به شکل زیر نمايش داده میشود: ، B Cكه عالمت اتحاد بین دو ست مي باشد.
{عطاءاهلل ,دين محمد ,صفت اهلل ,نادر ,عزت اهلل ,قاسم ,احمد} { قاسم ,احمد ,محمود ,زلمي ,حسن} = B C {دين محمد ,عطاءاهلل ,صفت اهلل ,نادر ,عزت اهلل ,قاسم ,احمد ,محمود ,زلمي ,حسن} = A تيم فوتبال C
ديده مي شود كه قاسم و احمد هم عضو تيم واليبال و هم عضو تيم فوتبال مي باشند .در اتحاد ست ها عناصر مشترك تنها يك بار نوشته مي شوند ،طوري كه در دياگرام وين نشان داده شده است.
فعالیت
عزت اهلل نادر احمد صفت اهلل قاسم دين محمد عطاء اهلل
حسن زلمي محمود
= B Cتيم واليبال B
هرگاه ست های } A = {1, 2 , 3 , 4و } B = {3 , 4 , 5 , 6داده شده باشند A B ،و B Aرا به دست آورده و در دياگرام وين نشان دهيد.
15
مثال اول :اگر ست های } A = {1, 2 , 3و }B = {1, 2 , 3 , 4 , 5 داده شده باشند A B ،و B Aرا دريافت نموده و در شكل
B A
5
نشان دهيد.
1
3
4
2
}A B = {1, 2 , 3} {1, 2 , 3 , 4 , 5} = {1, 2 , 3 , 4 , 5 }B A = {1, 2 , 3 , 4 , 5} {1, 2 , 3} = {1, 2 , 3 , 4 , 5
مثال دوم :اگرست های } A = {1, 3 , 5و } B = {2 , 4 , 6داده شده باشند A B ،رادريافت نموده و در شكل نشان دهيدA B = {1,3,5} {2, 4, 6} = {1, 2,3, 4,5, 6} . B
A 4
2
1
3
6
A B
5
مثال سوم :اگر } B = {1, 2} , A = {1و } C = {1, 2 , 3باشد را دریافت نمایید: }B C = {1, 2} {1, 2,3} = {1, 2,3 حل: }A (B C) = {1} {1, 2,3 }= {1, 2,3
(A B) Cو )A (B C
}A B = {1} {1, 2} = {1, 2 }(A B) C = {1 , 2} {1, 2,3} = {1, 2,3 در نتيجه A (B C) = (A B) C
خاصیت فوق را به نام خاصیت اتحادی عملیۀ اتحاد ست ها یاد می نمایند. اتحاد دو ست Aو Bعبارت از ستی است که عناصر آن یا در Aو يا در Bشامل باشند.
تمرین بادر نظر داشت شكل مقابل ،ست های B ، A و :C A B ، B C ، A C ،و ( A B) C را به طریق لست کردن عناصر بنويسيد.
B
2
4
6 7
5 10
A
1 3 11 C
16
تفاضل دو ست()Difference Of two Sets اگر شاگردان تيم واليبال صنف 7به مسابقه بروند ،در صنف 7چند نفر شاگرد باقي مي ماند؟
طوري كه می دانید: شاگردان صنف 7که عضو تيم واليبال استند ،عبارت از ست {قاسم ،احمد ،محمود ،زلمي ،حسن} = B بوده و ست تمام شاگردان صنف 7يا ست Aمساوي است به: {زلمي ،محمود ،دين محمد ،عطاءاهلل ،نادر ،عزت اهلل ،قاسم ،صفت اهلل ،احمد،حسن} = A
بنابراین ست شاگرداني كه در صنف مي مانند و عضو تیم والیبال نیستند ،عبارت است از: ل اين دو ست مي باشد. صفت اهلل ،عزت اهلل ،نادر ،عطاءاهلل و دين محمد ،كه در حقيقت تفاض
شاگردان باقيمانده در صنف كه عضو تيم واليبال نيستند{صفت اهلل ،عزت اهلل ،نادر ،عطاءاهلل ،دين محمد} = A − B
که در حقیقت تفاضل این دو ست میباشد .تفاضل دو ست فوق در شكل نیز نشان داده شده است: Aشاگردان صنف 7 Bتيم واليبال
حسن زلمي محمود احمد قاسم
صفت اهلل عزت اهلل نادر = A − B عطاء اهلل دين محمد
تيم واليبال ={محمود ،زلمي ،قاسم ،حسن ،احمد} = B مثال اول: تيم فوتبال={عزت اهلل ،عطاءاهلل ،دين محمد ،نادر ،صفت اهلل ،قاسم ،احمد} = C
B − Cو C − Bرا دريافت نموده و در شكل نشان دهيد. حل :در B − Cعناصري شامل اند كه در B شامل؛ اما در Cشامل نیستند؛ بدين معنا شاگرداني كه در تيم واليبال باشند؛ اما در تيم فوتبال نباشند، مطلوب است.
تيم فوتبال C
عزت اهلل
تيم واليبال B
نادر حسن احمد صفت اهلل زلمي قاسم دين محمد محمود عطاء اهلل B−C {عزت اهلل ،عطاءاهلل ،دين محمد ،نادر ،صفت اهلل ،قاسم ،احمد}{-محمود ،زلمي ،قاسم ،حسن ،احمد} = B − C {محمود ,زلمي ,حسن}= B − C
17
در C − Bشاگرداني شامل مي باشند كه در تيم فوتبال شامل؛ اما در تيم واليبال شامل نمي باشند. {محمود ،زلمي ،قاسم ،حسن ،احمد}{-عزت اهلل ،عطاءاهلل ،دين محمد ،نادر ،صفت اهلل ،قاسم ،احمد} = C − B {عزت اهلل ،عطاءاهلل ،دين محمد ،نادر ،صفت اهلل} = C − Bدر شكل هندسی به طور زیر نشان داده تيم فوتبال C شده است:
عزت اهلل ديده مي شودكه B − C ≠ C − Bبوده و عالمت نادر حسن ≠ به مفهوم مساوي نيست به كار مي رود. احمد صفت اهلل زلمي قاسم دين محمد محمود عطاء اهلل تيم واليبال B C−B
فعالیت
B
• عناصر ست Aو Bرا بنويسيد. • A − Bو B − Aرا به دست آورده و در شكل نشان دهيد. مثال دوم : حل:
5 7 9 10 4 3 6 8 1
A
2
}{a , b} − {b} = {a }{x , y , z} − {a , b} = {x , y, z = }{a , b} − {a , b
تفاضل دو ست A-Bعبارت از ستی است که عناصر آن در Aشامل؛ اما در Bشامل نیستند. و B-Aعبارت از ستی است که عناصر آن در Bشامل؛ اما در Aشامل نیستند.
تمرین -1اگر ست های } B = {1, 3 , 5 , 7} , A = {2 , 4 , 6 ,8و } C = {4 , 6 , 8داده شده باشند. A − C , B − B , B − A , A − B , A − Aو C − Aرا دريابيد. -2اگر ست های} C = {a , b ,8,12و } D = {a ,12,16داده شده باشند. C − Dو D − Cرا دريابيد. -3در كدام شكل قسمت رنگشده ست A − Bرا نشان مي دهد؟ B
A
B
b:
-4اگر } A = {1, 3 , 5و } B = {2 , 4 , 6داده شده باشند A − B ،مساوي است به: b( A
A a:
a( B
18
ست كلي و مكملة يك ست ()Universal Set and Complement Set
در صن��ف 7مضامي��ن تعليمات اس�لامي، رياضي ،ساينس ،اجتماعيات ،پشتو ،دري، انگليس��ي ،عرب��ي ،هنره��ا و تربي��ت بدني تدريس مي شوند. يك ش��اگرد صنف ،7كتاب هاي تعليمات اسالمي ،اجتماعيات ،پشتو ،هنرها ،انگليسي، عربي و تربيت بدني را به دست آورده است. این ش��اگرد كدام كتاب ها را بايد به دست آورد تا تمام كتاب هايش تكميل گردند؟
فعالیت •ست تمام حروف زبان انگليسي را بنویسيد و آن را به Uنشان دهيد. • ست تمام حروف صدادار زبان انگليسي را مشخص نموده ،آن را Aبناميد. • ست تمام حروف زبان انگليسي را با دياگرام وين نشان دهيد. • ست حروف صدا دار و ست حروف بی صدا (غير واول) را در همان شكل نشان دهيد. در فعاليت فوق ست حروف زبان انگليسي را ست عمومی می نامند که به Uنشان داده میشود و ست حروف بي صدای (غير واول) را به نام ست مكملة حروف صدا دار (واول) A ياد مي كنند .مکملۀ ست Aرا به A′يا Aنشان می دهند. به عبارة ديگر ،اتحاد ست حروف بي صدا زبان انگليسي با ست حروف صدا دار ،ست حروف زبان انگليسي را تشکیل می دهند. طوري كه مي دانيد ،زبان انگليسي 26حرف داشته كه 5حرف آن صدا دار و 21حرف آن غير بی صدا مي باشد .ست حروف بی صدا به نام ست مكملة ست حروف صدادار ياد مي شوند. }A = {a , e , i , o , u }U = {a, b, c, d , e, f , g , h, i, j , k , l , m, n, o, p, q, r , s, t , u, v, w, x, y, z
←ست حروف غير واول (بی صدا) A = U − A ست حروف واول (صدادار) → ↓
ست حروف زبان انگليسي
}A = {a, b, c, d, e, f , g, h,i, j, k, l, m, n, o, p, q, r,s, t, u, v, w, x, y, z} − {a , e,i , o , u }= {b, c, d, f , g, h, j, k, l, m, n, p, q, r,s, t, v, w, x, y, z
19
U
Aكه در این شكل خط خط شده است؛ مكملة ست Aمیباشد.
g
h
d
f l
a
e p i o u w x y z
c k
n s
در هر موردي كه بحث میشود ،يك ست
b j
m r
q
v
t
A
A
مشخص وجود دارد كه تمام عناصر مربوط موضوع را احتوا نموده و آن را ست عمومیيا ست كلي مي نامند.
مثال :اگر } U = {1, 2,3, 4,5, 6, 7 ,8,9,10و } A = {2, 4, 6,8,10باشد مكملة A را نظر به Uدريافت نموده و در شكل نشان دهيد. حل :براي به دست آوردن Aعناصر ست Aرا از ست Uحذف میكنيم؛ عناصري كه در ست Uباقي مي مانند A ،يا مكملة Aنظر به Uمي باشند. }A = U − A = {1, 2,3, 4,5, 6, 7 ,8,9,10} − {2, 4, 6,8,10} = {1,3,5, 7 ,9 4 A 6 5 8 10 2
A مكملة ست Aرا به ' Aيا Aنشان داده و داراي عناصری مي باشد كه آن عناصر در ست عموميU شامل بوده ،اما در ست Aشامل نمی باشند .قسمتي كه سبز رنگ است عبارت از ست Aمي باشد.
7
1
3
U
9
A 'A
تمرین A -1و Bرا در شكل مقابل مشخص كنيد. -2ست اعداد اولیۀ کوچکتر از 20را دریافت نموده و آن را Uبنامید. • ست فرعی Bرا طوری مشخص کنید که عناصر آن بین 5و 15 باشد. • Bرا در شکل مشخص کنید.
U
B
A U
20
ست های متناهی و نامتناهی)(Finite and Infinite Sets آیا س��تاره گانی را که در آس��مان می بینید، قابل شمارش اند؟
هرگاه } A = {a , bباشد A ،داراي دو عنصر و هرگاه } B = {1, 2 , 3 , 4باشدB ، داراي چهار عنصر می باشد .هرگاه ست اعداد طبیعی طاق بین 2تا 20را به Cنشان دهيم، } C = {3,5, 7 ,9,11,13,15,17 ,19بوده و دارای 9عنصر می باشد. مثال اول :ست حروف صدا دار زبان انگلیسی که عناصر آن قابل شمارش اند یک ست متناهی است: }A = {a , e , i , o , u اما ست اعداد طبیعی که یک ست نامتناهی بوده و عناصر آن قابل شمارش نمیباشند ،طور زیر نشان داده میشود : }N = {1, 2 , 3 , 4 ... ارائۀ نقطه نقطه( )...بدین معنا است که اعداد طبیعی پایان ندارند.
فعالیت • ست اعداد جفت بین 20و 30را بنویسید. • تعداد عناصر آن را تعیین نموده و بگویید که آیا این يك ست متناهی است ،یا خیر؟ • ست اعداد جفت بزرگتر از عدد 20را بنویسید .آیا می توانید تعداد عناصر این ست را تعيين كنيد .آیا این یک ست متناهی است یا نامتناهی؟ مثال دوم :در ست های زیر کدام ست ها متناهی و کدام ست ها نامتناهی می باشند؟ {نامهای ماه های سال} = A {رنگ های بیرق افغانستان} = B
}C = {2 , 3 , 4 , 5
}D = {2 , 4 , 6 , 8 , ... ,100 }E = {2 , 4 , 6 , 8 , ... }N = {1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ...
21
حل :ست های C , B , Aو Dستهای متناهی اند؛ اما ست های Eو Nست های نامتناهی می باشند. مثال سوم :در ست هاي زير كدام ست متناهي و كدام ست نا متناهي است؟ {حروف زبان انگليسي} = A {مضربهاي عدد شش} = B حل :ست Aيك ست متناهي است ،زيرا 26عنصر دارد .اما ست Bيك ست نامتناهي است ،زيرا مضربهاي عدد 6قابل شمارش نمیباشند. اگر عناصر یک ست قابل شمارش(معین) باشند ،به نام ست متناهی یاد میشود؛ اما اگر عمل شمارش عناصر یک ست به انتها نرسد ،این گونه ست را ست نامتناهی می گویند .ست خالی نیز یک ست متناهی است.
تمرین -1در ست های زیر ست های متناهی و نامتناهی را مشخص کنیدM = {1, 2 , 3 , a , b , c} . }D = {a , b , c , d , e }O = {1, 3 , 5 , 7 , 9 ... }E = {10, 20,30,...,1000 -2كدام يك از ست هاي زير ست نامتناهي مي باشد؟ }A = {1, 2,3...,1000 }B = {1, 2,3... {اعداد طاق بين 50و C = }100 -3كدام يك از ستهاي زير ست متناهي میباشد؟ {پنج بناي اسالم} = A }B = {2 , 4 , 6 , 8... }D = {1, 3 ,5...
-4چهار ست متناهي و چهار ست نامتناهي را بنويسيد.
22
خالصۀ فصل اول
• هر دستۀ مشخص شده از اشیای مختلف را یک ست می نامند و اشیای آن عبارت از عناصر ست می باشند .عناصر ست را در بین عالمت ست{ } نوشته و توسط عالمت « »,از یکدیگر جدا می سازند. • ستیکه هیچ عنصری ندارد به نام ست خالی یاد میگردد که توسط عالمت و یا{ } نشان داده می شود. • عنصر بودن در یک ست با عالمت ∈ و عنصر نبودن در یک ست با عالمت ∉ نشان داده می شود. • ست ها عموماً به دو روش ارائه میشوند .روش لست کردن (روش تفصیلی) که تمام عناصر و یا تصاویر آنها در بین عالمت { } نوشته میشوند و طریق توصیفی(روش اجمالی) که بر اساس خاصیت های مشترک عناصر ،در یک جمله نگاشته مي شوند. • دو ست که عناصر آنها یکسان باشند ستهای مساوی و اگر تنها تعداد عناصرآنها با هم مساوی باشند؛ به نام ست های معادل یاد می کنند. • اگر تمام عناصر ست Bدر ست Aشامل باشند ،ست Bست فرعی ست Aبوده و این طور نشان داده می شودB ⊂ A : • تقاطع دو ست Aو Bعبارت از ستی است که عناصر آن هم در Aو هم در Bشامل باشند و این طور نشان داده می شودA B : • اتحاد دو ست Aو Bعبارت از ستی است که عناصر آن یا در ، Aيا در Bو یا در هر دوی آن ها شامل باشند و این طور نشان داده می شوندA B : • تفاضل دو ست A − Bعبارت از ستي است كه عناصر آن در ست Aشامل بوده؛ ولی در ست Bشامل نباشند. • مکملۀ یک ست Aنظر به یک ست Uعبارت از ستي است که عناصر آن در Uشامل بوده؛ ولی در Aشامل نباشد که به Aنشان داده میشود. • ستی که عناصر آن قابل شمارش باشد ،ست متناهی و ستی که عناصر آن قابل شمارش نباشد ،ست نامتناهی نامیده می شود. • قوانين تبديلي و اتحادي در عمليههاي تقاطع و اتحاد ست ها صدق ميكنند.
23
تمرین فصل اول -1ست اعداد طاق را که بر 2پوره قابل تقسیم باشند بنویسید. -2اگر Aست نام ماه هاي سال باشد ،آن را به طریق لست کردن عناصر ارائه کنید. -3اگر } B = {2 , 4 , 6 , 8} ، A = {1, 2 , 3 , 4و } C = {a , e , i , o , uباشد، خانهخالیهای زیر را با استفاده از عالمت ∈ و ∉ پر کنید. 3 A , u B , 10 C , i A , 8 B , e C f C , 2 A , e B , 8 C 8 A , 3 B , -4اگر ست های } B = {1, 2 , 3} ، A = {a , b , cو } C = {b , a , cداده شده باشند ،کدام جفت از ست ها ،مساوی و کدام آنها معادل اند؟ -5اگر ست شاگردان مکتب شما Aو ست شاگردان صنف شما Bباشد ،آیا ست B می تواند ست فرعی Aباشد؟ 1 -6اگر ست های } B = {0 , ,1} ، A = {0 ,1, 2و } C = {3 , 4داده شده باشند، 2 AB , CA , BC , AC , AB , AAو BC را دریابید. -7هرگاه } A = {1, 2 , 3 , 4 , 5و } B = {2 , 4 , 6 , 8باشد A − B ،و B − Aرا دریابید. -8اگر }A = {2 , 4 , 6 , 8 ,10 } ، U = {1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ,10 و } B = {1, 3 , 5 , 7 , 9باشد؛ A , B , A B , B A , A Bو A B را دریابید. -9کدام یک از این ست ها متناهی و کدام یک نامتناهی می باشد؟ }A = {x , y , m }B = {1, 2 , 3 , 4 .... }C = {1, 2 ...100 -10در كدام شكل قسمت رنگشده تقاطع دو ست Aو Bرا نشان میدهد؟
□ □
B
□ □
□ □
□ □
B
A
)b
□ □
□ □
A
)a
-11اگر ست های } A = {7 ,9,11,13و } B = {6,8,10,12داده شده باشندA − B ، و B − Aرا دريابيد و در دیاگرام وین نشان دهيد.
24
فصل دوم اعداد طبیعی
بشر از ابتدای تاریخ با شمارش اشیا در محیط خود آشنا بود.
اعداد طبیعی()Natural numbers
چه فكر میكنيد اولين اعدادي كه بشر به آنها سر و كار داشت كدام اعداد بودند؟
انسان ها از زمان قدیم به شمارش اشیایی که در طبیعت مشاهده می کردند ،ضرورت داشتند. از همین شمار کردن اشیا مفهوم اعداد طبيعي به وجود آمده است .اعداد طبیعی را اعداد شمارش( )Count numbersنیز می گویند.اين اعداد از یک شروع میشود و با عالوه نمودن یک به عدد قبلی ،عدد بعدی حاصل می گردد .اعداد 1,2,3,4...را اعداد طبيعي مي گويند. و ست آن به طور زیر نشان داده می شود: }⋅⋅⋅ IN = {1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12, اعداد طبيعي را می توان روی خط اعداد ( )line numbersبه طور زیر نشان داد: 10 11 12 13 14
9
8
7
6
5
4
3
2
1
هر عدد كه به طرف راست عدد ديگري واقع باشد ،بزرگتر و اگر به طرف چپ عدد واقع باشد كوچكتر از آن عدد مي باشد به طورمثال 7 < 8 :و 8 < 9است. مي دانيم كه حاصل جمع دو عدد طبيعي نيز يك عدد طبيعي است؛ به طور مثال 3 :و 5 دو عدد طبيعي اند و حاصل جمع آن دو ( ) 3 + 5 = 8نيز يك عدد طبيعي است ،پس ست اعداد طبیعی در عملیۀ جمع دارای خاصیت بستهگی میباشد. سؤال :آیا در جمع دو عدد طبیعی ترتیب جمع کردن آن ها با هم شرط است؟ مثال اول 7 + 6 = 13 :و نیز 6 + 7 = 13میشود؛ پس6 + 7 = 7 + 6 : دیده می شود که در جمع دو عدد طبیعی ،ترتیب قرارگرفتن آن ها با هم شرط نیست .این خاصیت را خاصیت تبدیلی اعداد طبیعی در عملیۀ جمع می گویند. 8 + (3 + 2) = (8 + 3) + 2 مثال دوم 8 + 5 = 11 + 2
13 = 13
27
اين خاصيت را خاصيت اتحادي اعداد طبيعي در عملیۀ جمع مي گويند. صفر با هر عدد طبيعي که جمع شود ،حاصل جمع مساوي با خود عدد مي گردد؛ مث ً ال: 3+0=0+3=3است صفر را به نام عنصر عينيت عملية جمع ياد مي كنند.
فعالیت • آيا خاصيت هاي فوق در عملیۀ ضرب اعداد طبيعي نيز صدق ميكنند؟ • خانه هاي خالي زير را پر كنيد. 888 888 = 0 = 0، )11 + (11 + (+ 17)+=17 ( = (+ 18)++18) + 15
(18 11 +(18 +) = ) = 18 + 18 + 15
11
25 = 12 = 12
25
دیده می شود خاصیت های اتحادی و تبدیلی در عملیۀ ضرب اعداد طبیعی نیز صدق می کنند.
به خاطر داشته باشيد :حاصل ضرب هر عدد طبيعي با صفر مساوي به صفر و حاصل ضرب هر عدد طبيعي با يك مساوی به خود عدد مي باشد؛ مث ً 3 × 0 = 0 , 3 ×1 = 3 ال : مثال سوم )3 × (4 + 5) = (3 × 4) + (3 × 5 3 × 9 = 12 + 15 اين خاصيت به نام خاصيت توزيعي ضرب باالي جمع ياد مي گردد. 27 = 27 صفر عنصر عینیت در عملیۀ جمع و یک عنصر عینیت در عملیۀ ضرب میباشد و خاصیتهای بستهگی ،تبدیلی و اتحادی در عملیههای جمع و ضرب اعداد طبیعی و خاصیت توزیعی ضرب باالی جمع صدق میکنند.
تمرین
-1کدام یک از جمالت زیر درست و کدام یک نادرست است؟ • حاصل جمع دو عدد طبيعي ،يك عدد طبيعي است. • در اعداد طبیعی ،عدد یک ،عنصر عینیت عملیۀ جمع میباشد. • اعداد طبیعی در عملیۀ جمع از خاصیت تبدیلی پیروی می کنند. • اعداد طبیعی در عملیۀ ضرب نیز از خاصیت تبدیلی پیروی می کنند. • خاصیت تبدیلي عملیۀ تفریق در اعداد طبیعی صدق می کند. • خاصیت تبدیلي عملیۀ تقسیم در اعداد طبیعی صدق می کند. -2خالیگاه های زیر را پر کنید. )
+
( × 325 × 88 + 325 × 73 = 325 × 803 × 593 = 593 × 35) × 89
211 + 327 = 327 + × 3935 =0 ( = )79 × (35 × 89
28
قابليت هاي تقسيم ( )Divisibilityدر اعداد طبيعي آي��ا ع��دد 82ب��ر 9پوره تقس��يم مي ش��ود؟ ع��ددي را پيدا كنيد كه بر 9پوره قابل تقس��يم باشد.
طبق مثال داده شده ،خانه های خالی جدول زیر را پر كنيد. كدام اعداد بر كدام اعداد پوره تقسيم مي شوند؟ ﺍﻋﺪﺍﺩ
2
3
4
5
6
7
8
9
10
210
1200 817 105 2008
اگر 36 ,81و 45را بر 9تقسيم كنيم ،باقيماندۀ تقسيم مساوی به صفر است؛ ولي در تقسيم 82بر 9باقيمانده صفر نمي شود .در حالت اول تقسيم ،که باقيمانده مساوی به صفر شد، مي گوييم 81بر 9پوره قابل تقسيم است؛ ولي 82بر 9پوره قابل تقسيم نیست.
فعالیت • زير اعدادي كه بر 2پوره قابل تقسيم اند خط بكشيد: 47, 29, 7821 , 2790 , 3154 , 106 , 218 , 7822 • زير اعدادی كه بر 9پوره قابل تقسيم اند خط بكشيد: 882 , 1232 , 11115 , 1115 , 315 , 702 • جملة صحيح را به عالمت و جملة غلط را به عالمت× مشخص كنيد: عددي كه رقم یکهای آن صفر و یا 5باشد ،بر 5پوره قابل تقسيم است. -
□
29
□ عددي كه مجموع ارقام آن بر 3پوره تقسيم شود ،آن عدد بر 3پوره قابل تقسيم است. □ -اگر عددي بر 9پوره قابل تقسيم باشد ،بر 3نیز پوره قابل تقسيم است.
• زير اعدادي كه هم بر 2و هم بر 3پوره قابل تقسيم اند ،خط كشيده و توسط عملية تقسيم نشان دهيد كه باالي 6نيز پوره قابل تقسيم مي باشند یا خیر؟ 438 , 216 , 73 , 128 , 54 , 537 , 126 , 582 , 602 مثال :کدام عدد بر 6و کدام عدد بر 9پوره قابل تقسيم است؟ 14,12,24,18 حل :چون 18 , 12و 24هم بر 3و هم بر 2پوره قابل تقسیم استند ،پس بر 6نیز پوره قابل تقسیم استند 18 .تنها عددی است که بر 9نیز پوره قابل تقسیم است. هر گاه در تقسيم دو عدد با هم ،باقيمانده صفر شود ،مي گوييم مقسوم برمقسوم عليه پوره قابل تقسيم است.
تمرین -1در خانه هاي خالي كوچكترين رقمی را بنويسيد تا عددی که حاصل میشود ،بر اعداد داده شده پوره قابل تقسيم باشند. 56
723ﺑﺮ 6
56ﺑﺮ 3
2
56
725ﺑﺮ 4
392ﺑﺮ 2
5
-2جوابهای درست را انتخاب کنید. اعدادی که رقم یکها آنها صفر باشد ،بر کدام اعداد قابلیت تقسیم را دارند؟d) 8
c) 4
d) 9
c) 7
عدد 1110بر کدام عدد زیر پوره قابل تقسیم است؟ -عدد 12300بر کدام اعداد پوره قابل تقسیم است؟
b) 3
a) 2,5,10
b) 4
a) 2,5, 6,10
c) 2,3, 4,5, 6,10 d) 7,8,9 -3کدام اعداد زیر بر 4,3,2و 6پوره قابل تقسیم است؟ 128 , 858 , 1017 76 , 531
a) 7
b) 8 , ,
-4سه عدد مختلف را دریابید که هم بر 3و هم بر 4پوره قابل تقسیم باشند. -5سه عدد مختلف را دریابید که هم بر 2و هم بر 3پوره قابل تقسیم باشند. -6عدد 4092بر کدام اعداد زیر پوره قابل تقسیم است؟ d ) 13
672ﺑﺮ 5
c) 11,3
b) 7
87 24324
a) 8
30
تجزيه()Factoring اعداد طبیعی عدد 20را به شكل حاصل ضرب دو عدد طبيعي بنويسيد. زير اعدادي كه تنها به عدد یک و خود شان قابل تقسیم اند خط بكشيد: 21, 17, 15, 23, 32
می دانیم که 24 = 4 × 6است و اعداد 4و 6را به نام اجزای ضربی(عوامل ضربی) 24 یاد می کنند. سؤال :آيا تنها 6و 4اجزاي ضربي 24می باشند ؟
فعالیت • اعداد 18و 31را به اجزاي ضربي تجزيه نموده و بگوييد كه تعداد اجزاي ضربي 18زيادتر است يا از 31؟ • اجزاي ضربي اعداد 11 ،5و 19را بنويسيد. در فعاليت فوق ديديم كه برخي از اعداد مانند 18بيشتر از دو جزء ضربي دارند و برخي از اعداد مانند 31و 11تنها دو جزء ضربي دارند. اع�داد اولی�ه ) :(Prime Numbersاعدادی ان��د ک��ه ب��ه ج��ز از ی��ک و خودش��ان ب��ر ع��دد دیگ��ری پ��وره قاب��ل تقس��یم نمی باش��ند .ب��ه عب��ارة دیگ��ر اع��دادی ک��ه تنه��ا دو قاس��م داش��ته باش��ند ،ب��ه ن��ام اع��داد اولیه ی��اد میش��وند .س��ت اع��داد اولیه ب��ا Pنش��ان داده {⋅⋅⋅ P = }2, 3, 5, 7,11,13,17,19, 23, 29, 31 می شودو عبارت است از : اعداد مرکب ) :(Composite Numbersاعدادی که عالوه بر یک و خودشان براعداد دیگری نیز قابل تقسیم باشند به نام اعداد مرکب یاد می گردند .مانند: {C = }4,6,8,9,10,12,14,15.....
يادداشت :عدد يك نه اوليه و نه مركب است. مثال :كدام يك از عدد هاي 36, 17, 27و 19اوليه و كدام یک آن ها مركب اند؟ حل :ابتدا قاسم هاي هر يك از اعداد را مينويسيم:
31
اعداد 3,9,27و 1قاسم هاي 27می باشند ،بنابراین 27عددی مرکب است. اعداد 1,17قاسم هاي 17می باشند ،بنابراین عدد 17عددی اولیه است. اعداد 2 ,3 ,4 ,6 ,9 ,12 ,18 ,36و 1قاسم هاي عدد 36می باشند ،بنابراین 36عددی مرکب است. اعداد 3 ,9و 1قاسم هاي 9می باشند ،بنابراین 9عددی مرکب است. اعداد 19و 1قاسم هاي 19می باشند ،بنابراین 19عددی اولیه است؛ زیرا که تنها دو قاسم دارد. نوشتن يك عدد به صورت حاصل ضرب اجزاي ضربي را تجزيه ( )Factoringمي گويند.
تمرین -1کدام جمله درست است؟ )aعدد يک ،عدد اولیه نيست.
)bعدد یک ،عدد قابل تجزیه می باشد.
-2اگر 187 = 11×17باشد؛ پس: 187 (aیک عدد اولیه است.
17 (bجزء ضربی 187است.
-3کدام یک از اعداد زیر اولیه وکدام یک مرکب است؟ ،
49
51 ، 15 -4آیا عدد یک ،عدد مرکب است؟ چرا؟ -5در مقابل اعدادی که اولیه اند ،اولیه و در مقابل اعدادی که مرکب اند ،مرکب بنویسید. 67 1111
-6در اعداد زیر ،کدام یک آنها عدد اولیه نیست؟ c) 21 d) 23 -7در اعداد زیر ،کدام یک آنها عدد مرکب نیست؟ d) 64
c) 39
،
37
،
90 847
14
،
11
59 73
b) 19
a) 47
b) 67
a) 90
32
تجزيه به اعداد اوليه)(Prime Factoring 12 = 3 × 4و 12 = 2 × 2 × 3
چه تفاوتي بين اجزاي ضربي 12در ارائه های فوق وجود دارد؟
عدد 72را به اشکال مختلف اجزای ضربی آن تجزیه نمایید: 1) 72 = 2 × 36 = 2 × 4 × 9 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 2) 72 = 6 × 12= 2 × 3 × 3 × 4 = 2 × 3 × 3 × 2 × 2 تجزيه های فوق را در شكل زير نشان مي دهيم: 72
72 12
2
6 3
4
2 3
2
36 4
2
2
9 2
3
فعالیت 72
2
9 3 1
3 3
شکل دیگر تجزیه میتوانید؛ طرز ارائۀ آن را نيز چند 2 عدد 72را عالوه بر دو شکل فوق ،به36 2 18 نشان دهيد.
33
3
2
2
2
میتوان عملیۀ تجزیه را در یک جدول به شکل زیر خالصه کرد:
2 2 2 3 3
72 36 18 9 3 1
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3
ديديم از هر روشي كه براي تجزيۀ يک عدد به اجزای اوليۀ ضربياش استفاده كنيم ،در پايان همواره به يك نتيجه مي رسيم. مثال :اعداد 208, 416و 2574را به اجزای ضربی اولیۀ آنها تجزیه کنید. حل: 2574 1287 429 143 13 1
2574 2 1287 3 429 3 143 11 13 13 1
2 3 3 11 13
2574 = 2 × 3 × 3 × 11× 13
416 2574 208 1287 104 429 52 143 26 13 131 1
416 22 208 23 104 23 52 211 26 2 13 13 13 1
2 2 2 2 2 13
208 416 104 208 10452 5226 2613 131
208 22 104 22 52 22 26 22 13 13 12
2 2 2 2 13
13
1 416 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 13
208 104 52 26 13 1
2 2 2 2 13
208 = 2 × 2 × 2 × 2 × 13
میدانیم :در تجزية يك عدد تجزيهپذير(عدد مركب) به اجزاي ضربي اوليه ،عدد را به صورت حاصل ضرب دو عدد طبيعي بزرگتر از يك مي توانیم بنويسيم؛ اگر يكي از اجزاي ضربي يا هر دوي آنها تجزيه پذير باشند ،آنها را نیز به صورت حاصل ضرب اعداد طبيعي بزرگتر از يك مي نويسيم .اين كار را ادامه مي دهيم تا اينكه همة اجزاي ضربي اعداد اولیه باشند؛ اگر همة اجزاي ضربي يك عدد مركب ،اعداد اوليه باشند ،اينگونه تجزيه را تجزيه به اعداد اوليه مي نامند.
تمرین -1اعداد 48 ، 36و 70را به اجزاي ضربي اولية آنها تجزيه كنيد. -2اعداد 64 ، 45 ، 20 ، 12و 80را به اجزاي ضربي اولية آنها تجزيه كنيد.
-3اعداد 70و 80را اول به اجزاي ضربي مركب و سپس به اجزاي ضربي اولية آنها تجزيه كنيد.
-4کدام یک از تجزیههای اعداد زیر درست و کدام یک نا درست است؟ 15 = 53
16 = 2 × 13
16 = 24
27 = 3 × 9
-5تمام اجزای ضربی اولیۀ اعداد 24,9,15و 29را بنویسید. -6اعداد 144و 121را به اجزای ضربی اولیۀ آن تجزیه کنید.
2
28 = 2 × 9 18 = 2 × 32
34
2
طاقـت )(Power ﻣﺮﺣﻠﻪ ﺳﻮﻡ
می دانیم که هر حجره چگونه به دو حجره تقسیم می شود .در شکل مقابل ،مراحل انقسام يک حجره مشاهده میشود.
ﻣﺮﺣﻠﻪ ﺳﻮﻡ
ﻣﺮﺣﻠﻪ ﺩﻭﻡ
ﻣﺮﺣﻠﻪ ﺩﻭﻡ
ﻣﺮﺣﻠﻪ ﺍﻭﻝ
ﻣﺮﺣﻠﻪ ﺍﻭﻝ
فعالیت ﭼﻬﺎﺭﻡ
ﺳﻮﻡ
ﭼﻬﺎﺭﻡ
ﺩﻭﻡ
ﺍﻭﻝ
ﺻﻔﺮ
2
1
ﺳﻮﻡ
2 2 2 2 2
ﻣﺮﺣﻠﻪ
ﺩﻭﻡ ﺍﻭﻝ ﺗﻌﺪﺍﺩ ﺣﺠﺮﻩ ﻫﺎ
2 2 2 2 2
• مرحلۀ چهارم را بکشید و جدول را کامل کنید. • بین تعداد حجرات و مراحل تقسیم آن ها چه رابطهیی وجود دارد؟ • در مرحلۀ دهم چند عدد حجره خواهیم داشت؟ • آیا می توانیم تعداد حجرات را در مرحلۀ دهم به شکل خالصه بنویسیم؟
2
حاصل جمع مقابل را به کمک عملیۀ ضرب خالصه کنید: 4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 3 + 3 + 3 + 3 = 4 × 3 = 12 آیا حاصل ضرب 2 × 2 × 2را نیز میتوان خالصه کرد؟ برای آسانی کار می توان 2 × 2 × 2را به شکل 23نوشته و آن را این طور می خوانیم 2 ،به توان ،3در عدد 2 ، 23را قاعده( 3 ، )Baseرا تواننما( )Exponentو 23را به نام طاقت سوم 2یاد می کنند .توان نما نشان می دهد که قاعده چند دفعه در خودش ضرب شده است. 43نشان می دهد که 4سه دفعه در خودش ضرب گردیده است؛ یعنی43 = 4 × 4 × 4 :
مثال اول :قيمت هر یک از طاقت های زیر را دریابید42 , 53 , 23 , 54 , 102 , 34 :
حل: ، 23 = 2 × 2 × 2 = 8 ، 102 = 10 ×10 = 100 53 = 5 × 5 × 5 = 125 ، 54 = 5 × 5 × 5 × 5 = 625 ، 34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81 42 = 4 × 4 = 16
2 به همین ترتیب ( 2 ) 4به معنای 2 × 2 × 2 × 2است که 3 3 3 3 3 3
35
قاعده و 4تواننما می باشد.
ﺻﻔﺮ 1
ﻣ
ﺗﻌﺪﺍﺩ
فعالیت • قيمت هر يك از طاقتهاي زير را دريافت كنيد:
بنویسید□ ، 4 = □ ، 10 =□ ،: □= 1 =□ ، 2 =□ ، 10 •حاصل ضربهای زیر را به شکل طاقت 5
2
5
=8×8×8×8×8×8×8×8
• آیا اعداد 27و 72با هم مساوی اند؟ چرا؟
3
3
=9×9×9×9
2 3 23 و ) ( برابر اند؟ مثال دوم :آيا اعداد 3 3
= 32
=4×4×4
23 2 × 2 × 2 8 = = 3 3 3 2 2 2 2 8 = × × = ( )3 3 3 3 3 27
حل:
2 3 23 و ) ( برابر نیستند. پس 3 3
هرگاه یک عدد چندین مرتبه در خودش ضرب شود ،در این صورت حاصل ضرب به طور ساده به شکل طاقت ارائه میگردد و یا کوتاه ترین طریقة نشان دادن حاصل ضرب تکرار یک عدد را طاقت ) (Powerمی نامند.
تمرین -1حاصل ضرب 2 × 2 × 2 × 2 × 2مساوی است به: c) 25 d) 36 -2حاصل ضرب 10 × 10 × 10مساوی است به: c) 100
b) 5
a) 2
b) 310
a) 103
2
5
d) 1010 -3عدد 33مساوی است به: a) 9 b) 27 c) 54 d) 12 -4یک شاگرد عددی را به اجزای ضربی اولیه تجزیه نموده که جواب آن 2 × 2 × 5 × 2 × 5 می باشد .این جواب را به شکل طاقت چگونه میتوانیم بنویسیم؟ 2 3 a) 2 × 5 b) 23 × 52 c) 22 × 52 d) 23 × 53 -5اعداد 36و 24را به اجزای ضربی اولیۀ آنها تجزیه نموده و به شکل طاقت بنويسید. -6اجزاي ضربي اوليۀ عدد 416به شكل طاقت مساوي است به: 5 a) 2 × 13 b) 24 × 13 -7اجزاي ضربي اوليۀ عدد 208به شكل طاقت مساوي است به: a) 24 × 13 b) 25 × 13
36
قانون ضرب طاقت ها 24 × 36را به عوامل ضربی اولیه تجزیه کرده و حاصل ضرب را به صورت طاقت بنویسید. 16را به دو شکل به صورت طاقت بنویسید. آیا می توانید عدد دیگری را پیدا کنید که به دو شکل به صورت طاقت نوشته شود؟
مثال اول :حاصل ضرب 33 × 32و 35را مقایسه کنید. حل :چون می دانیم که 32 = 3 × 3و 33 = 3 × 3 × 3است ،بنابراین:
32 × 33 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 35 در نتیجه دیده می شود که :
32 × 33 = 32+3 = 35
فعالیت • تساوي هاي زیر را کامل کنید.
+ )=2
7 3 × 7 2 = (7 × 7 × 7 ) × (7 × 7 ) = 7 ×
×
×
( × )22 × 24 = (2 × 2
• آیا می توانید برای ضرب اعداد تواندار با قاعده های مساوی ،یک قاعدۀ عمومی را پیشنهاد کنید؟
در فعاليت فوق ديديم كه در ضرب طاقت هایی که دارای قاعده های مساوی باشند ،حاصل ضرب مساوی به :قاعدة مشترک به توان حاصل جمع توان های داده شده می باشد. مثال دوم :حاصل ضرب 23 × 25و 32 × 33 × 34را به دست آورید. 3 5 3+ 5 2 × 2 = 2 = 28 حل:
32 × 33 × 34 = 32+3+ 4 = 39
37
در مورد حاصل ضرب 23 × 33چه گفته می توانید؟ 23 × 33 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = (2 × 3)(2 × 3)(2 × 3) = (2 × 3)3 = 63 در ضرب طاقت هایی که توان های مساوی و قاعده های مختلف داشته باشند ،قاعده ها را در هم ضرب نموده و به توان یکی از توان های مساوی مینویسیم: مثال سوم:
3 × 4 = (3 × 4) = 12 5
5
مثال چهارم:
5
5
5
،
یا
(34 ) 2 = (3) 4× 2 = 38
2 × 3 = (2 × 3) = 6 5
5
5
(34 ) 2 = 34 × 34 = 38
در صورتی که یک عدد توان دار به توان برسد ،با استفاده از قانون ضرب طاقت ها قاعده را به توان حاصل ضرب هر دو توان مینویسیم.
تمرین -1حاصل ضربهای زیر را به شکل عدد تواندار بنویسید: -2حاصل ضرب 23 × 32مساوی است به:
7 2 × 73 × 75 , 25 × 35 , 34 × 32
c) 65 -3حاصل ضرب 3 × 32 × 33مساوی است به: هر دو غلط اند )c
-4حاصل ضرب 23 × 33 × 43مساوی است به: c) 93 d) (24)27
a) 81
b) 72
a) 35
b) 36
b) (2 × 3 × 4)3
a) (24)9
(42 )3 -5مساوی است به: d) 45
c) 24
b) 48
a) 46
38
تقسیم طاقت ها برای پیدا کردن حاصل ضرب طاقت ها توانستیم قاعدۀ عمومی را به دست آوریم. آیا می توانید برای تقسیم طاقت ها نیز چنین کاری را کنید؟
54 در مورد حاصل تقسیم 2چه گفته می توانید؟ 5
4 :می باشد. 35
35
مثال دوم :از دو عدد نسبتی
حل:
بنابر این می توانیم بنویسیم که:
4و 7 12 9
7
5
،کدام یک بزرگتر است؟
63 48 > 108 108
3 7 21 = × 5 7 35
7 9 63 = ) (× 12 9 108
,
4 12 48 = ) (× 9 12 108
و از اینجا میتوانیم نتیجهبگیریم که:
7 4 > 12 9
در مقایسۀ اعداد نسبتی یی که مخرجهایشان باهم مساوی باشند عددیکه صورت آن بزرگ است بزرگتر میباشد و اگر صورتهای شان با هم مساوی باشند ،عددیکه مخرج آن بزرگتر است .کوچکتر میباشد و اما اگر ،نه صورتها و نه مخرجهای شان باهم مساوی باشند در این صورت اعداد نسبتی را هم مخرج میسازیم .یا به عبارت دیگر کوچکترین مضرب مشترک را در مییابیم و بعد با هم مقایسه میکنیم.
تمرین اعداد نسبتی زیر را باهم مقایسه کنید.
5 3 1 , , 9 7 3
)e
−8 −11 , 5 7
)d
1 −1 , 2 2
)c
5 −6 , 7 11
)b
3 4 , 5 7
)a
100
عملیههای جمع و تفریق اعداد نسبتی 1 برای ساختن يک چادر 5 ،متر تکه الزم است ،و 3 2 برای ساختن یک دستمال گردن به 2متر دیگر 5 از همان تکه ضرورت میباشد .اگر تمام تکـۀ مورد نیاز از تکهیی که طول آن 15 1متر است ،قطع 2 گردد ،چقدر تکۀ دیگر باقی میماند؟
فعالیت 1 -1ابتدا 2
−را روی محور اعداد نشان دهید و آن را نقطۀ Aبنامید.
13 -2از نقطۀ Aبه اندازۀ 10 -3نقطۀ Bمعادل کدام عدد نسبتی است؟
به سمت راست حرکت کنید و آن را Bبنامید.
1 13 -4با استفاده از مخرج مشترک ،حاصل جمع 2 10
-5حاصل جمع
2 3 + 6 6
و حاصل تفریق
5 4 − 6 6
− +را پیدا کنید.
را دریابید.
مثال اول :اعداد نسبتی زیر را از طریق یافتن مخرج مشترک و یا کوچکترین مضرب مشترک مخرجها ،جمع کنید:
حل:
5 7 60 + 126 186 93 31 = + = = = 18 12 216 216 108 36
حاال اگر در این مثال کوچکترین مضرب مشترک مخرجها را پیدا کنیم ،میتوانیم عملیۀ جمع را به قرار زیر انجام دهیم: 18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 32 12 = 3 × 2 × 2 = 3 × 2 2 دیده میشود که کوچکترین مضرب مشترک 18و 12عبارت از 32 × 22 = 36است ،لذا
داریم که:
101
5 7 10 + 21 31 = + = 18 12 36 36
فعالیت 5 -1ابتدا عدد نسبتی 6 1 -2از نقطۀ Aبه اندازۀ به طرف چپ محور بروید ،به کدام نقطه میرسید؟ 4 5 1 -3حاصل −را با استفاده از دریافت کوچکترین مضرب مشترک به دست آورید. 6 4
را روی محور نشان دهید و آن را Aبنامید.
2 5 مثال دوم :از عدد نسبتی عدد نسبتی 3 4
حل :
را تفریق کنید. 5 2 15 − 8 7 = ) (− = 4 3 12 12
چه در جمع و چه در تفریق اعداد نسبتی ،کافی است ابتدا مخرج مشترک را دریابیم و سپس صورتها را جمع یا تفریق کنیم.
تمرین -1حاصل جمع اعداد نسبتی زیر را به دست آورید.
4 −6 7 3 −5 −7 −9 3 + )= , b) + = , c + )= , d = + 5 5 3 4 8 12 16 8 3 5 را روی محور اعداد نشان داده و از آن ،عدد نسبتی را تفریق نمایید. -2عدد نسبتی 2 2 )a
1 2 -3یک شاگرد در روز اول ،حصۀ یک کتاب را و در روز دوم 5 5
مطالعه کرد .چند حصۀ کتاب مذکور باقیمانده است؟
حصۀ همان کتاب را
102
ضرب و تقسیم اعداد نسبتی شکل مقابل نشاندهندۀ چه رابطه یی بین مستطیل ها است؟
?
=
فعالیت -1یک نخ را به طول یک واحد در نظر گرفته ،آن را نصف کنید. -2این نصفها را به سه حصۀ مساوی تقسیم کنید. -3طول هر حصۀ به دست آمده ،کدام قسمت واحد است؟ 1 1 1 -4چه رابطه یی را بين ،و 6 3 2
ميتوانيد مشاهده كنيد؟
براي ضرب دو عدد نسبتي ،صورت را در صورت و مخرج را در مخرج ضرب می كنيم. 2 مثال اول : 7
حل:
3 4
را ضرب در ) (−کنید. 2 3 2 (−3) (−6) −3 3 3 × = ) ( ) × (− = = = =− 7 4 7 4 28 14 14 − 14
8 مثال دوم :عدد نسبتی ) 15
حل :
3 4
(−را در عدد نسبتی ) (−ضرب کنید: 8 3 −8 −3 (−8) × (−3) 24 2 = ) × ( = ) ) (− = = 15 4 15 4 15 × 4 60 5
حاال تقسيم دو عدد نسبتي را در مثالهای زیر بررسي مي كنيم:
103
(−
7 3 را بر مثال سوم : 5 10
تقسیم کنید. 7 3 7 5 35 7 = × = ÷ = 10 5 10 3 30 6
حل : 1 2 21 4
2 3 1 2 7 2 7 3 = ) (−3 ) ÷ (− ) = (− ) ÷ (− ) = (− ) × (− 2 3 2 3 2 2
مثال چهارم :عدد نسبتی ) (−3را بر عدد نسبتی ) (−تقسیم کنید. حل:
در عملیۀ ضرب اعداد نسبتی ،صورت را در صورت و مخرج را در مخرج ضرب میکنیم و در عملیۀ تقسیم ،عدد دوم نسبتی(مقسوم علیه) معکوس و سپس مانند عملیۀ ضرب عمل میشود.
تمرین -1اعداد زير را در هم ضرب نموده و جواب آنها را به سادهترین شکل بنویسید. 15 12 ) × (− 16 5 8 4 3 ) f ) (− ) × × (− 3 5 4 )c
2 -2 3
, ,
−12 −5 ) × 3 6 16 3 × ) e) ( − 15 4 ( )b
41 13 × , 5 2 7 −13 ( )d (×) ) , −11 9 )a
حصۀ عدد 111چند میشود؟
1 -3هر انسان کم از کم باید هر روز در برابر هر کیلو گرام وزن خود 2
دیسی لیتر آب
بنوشد .یک شخص با وزن 70کیلو گرام روزانه به چه مقدار آب ضرورت دارد؟
104
خواص عملیههای اعداد نسبتی احمد و محمود مي خواهند يك اتاق را رنگ كنند. احمد 2حصة كار و محمود 1حصة كار را انجام 3
5
میدهد ،احمد میگوید :ب��راي آنكه ببينیم چقدر 1 3
2 5
كار انجام شده اس��ت ،بايد + :را جمع کنیم؛
اما محمود میگوید ،بايد حاصل جمع 1 + 2را به 5
3
دست آوريم ،به نظر شما حاصل جمع آنها با هم فرق ميكند؟
فعالیت -1نخی را به طول 1mدر نظر بگیرید؛ بعد آن را نصف کنید و سپس هر نصف را به سه قسمت مساوی تقسیم کنید ،اکنون طول هر قسمت را حساب کنید. -2اگر نخ دیگری به طول 1mرا ابتدا سه قسمت مساوی کرده و بعد هر قسمت را نصف کنید ،طول هر نصف مساوی به چند خواهد بود؟ -3طول اين دو قطعه نخ با هم چه رابطه يي دارند؟ در فعالیت باال نتیجه حاصل میشود که خاصیت تبدیلی در ضرب اعداد نسبتی نیز صدق میکند. 3 7 مثال اول :با استفاده از اعداد و ) (−خاصيت تبديلي جمع و ضرب را در اعداد 5 4 نسبتي نشان دهيد. 7 3 28 − 15 13 = ) + (− = 5 4 20 20
از این رو:
7 −3 −21 =) (×) ( به همین ترتیب داریم که: 5 4 20
از این رو:
105
3 7 −15 + 28 13 = (− ) + = , 4 5 20 20 3 7 7 3 ) (− ) + = + (− 4 5 5 4
3 7 −21 = ) ( × ) (− , 4 5 20 −3 7 7 3 ) ( ) × = × (− 4 5 5 4
5 3 مثال دوم :عدد نسبتی را از عدد نسبتی 2 2
کنید. حل
5 3 3 5 لذا− ≠ − : 2 2 2 2
5 3 5−3 2 = − = =1 2 2 2 2 3 5 3 − 5 −2 = − = = −1 2 2 2 2
است و خاصیت تبدیلی در عملیۀ تفریق صدق نمیکند.
2 4 مثال سوم :عدد را بر 3 3
حل:
تفریق نموده و در آن خاصیت تبدیلی را بررسی
تقسیم نموده و خاصیت تبدیلی را در آن بررسی کنید. 4 2 4 3 12 ÷ = × = =2 3 3 3 2 6 2 4 2 3 6 1 = = × = ÷ 3 3 3 4 12 2 2 4 4 2 ÷ ≠ ÷ 3 3 3 3
ديده مي شود كه: خاصيت تبديلي در عملية تقسيم اعداد نسبتی صدق نمي کند .خاصیت تبدیلی تنها در عملیههای جمع و ضرب اعداد نسبتی صدق میکند.
تمرین در جاهای خالی عدد مناسب را بنویسید.
1 17 1 × ) = ( ) × (− 5 2 5 8 1 8 ) (− ) + ( ) = + (− 3 2 3 8 ) ( × )× (−5) = (−5 2 −2 5 5 ) ( × ) ) = (− (× 3 −6 6 −3 9 9 ) ( × )× ( 5 + 6) = (11 2 −
)a )b )c )d )e
106
خاصیت اتحادی
اگ��ر عدد 1با حاصل جم��ع اعداد 2و 3 4 5 5 1 جمع ش��ود و یا اگر حاص��ل جمع دو عدد 5 3 و 2با عدد جمع ش��ود آیا این دو حاصل 4 5
جمع با هم فرق دارند؟
فعالیت الف) ابتدأ دو عدد نسبتی 2و 4را با هم جمع کنید. 5
3
ب) حاصل جمع (الف) را با عدد نسبتی 6جمع کنید. 7
پ) عدد 4و عدد 6را باهم جمع کنید.
7 5 ت) حاصل جمع (پ) را با عدد نسبتی 2جمع کنید. 3
ث) حاال حاصل جمع به دست آمدۀ (ب) و (ت) را باهم مقایسه کنید.
در فعالیت باال مالحظه میشود که:
اين خاصيت را خاصيت اتحادي عملیۀ جمع مینامند.
2 4 6 2 4 6 ) ( + )+ = +( + 3 5 7 3 5 7
مثال اول :آیا ) ( 3 + 2 ) + 3 = 3 + ( 2 + 3است؟ 5 5
2
5
2 5
2 3 حل :با كمي دقت ميبينيم که اگر و 5 5
از خاصيت اتحادي جمع استفاده ميكنيم.
107
را با هم جمع كنيم ،كار ما سادهتر میشود؛ پس 1 1 3 2 3 3 + ( + ) = +1 = 1 +1 = 2 2 2 2 5 5 2 3 2 15 + 4 19 = + = 2 5 10 10 1 19 3 19 + 6 25 = + = =2 2 10 5 10 10
2 4 6 2 4 6 مثال دوم :درستي × ) × ( = ) × ( × 3 5 7 3 5 7 2 4 6 8 6 48 16 = ×) ( = ×) × ( = 3 5 7 15 7 105 35
لذا داريم كه:
را نشان دهيد.
2 4 6 2 24 48 16 = ) (× = ) × (× = , 3 5 7 3 35 105 35
2 4 6 2 4 6 16 = ×) × ( = ) × (× 3 5 7 3 5 7 35
بنابر اين ،خاصیت اتحادي در عملية ضرب اعداد نسبتي صدق میکند.
مثال سوم :خاصيت اتحادي تفريق را با
حل:
4 1 1 ) −( − 3 2 5
بررسي كنيد.
4 1 1 4 5−2 4 3 40 − 9 31 (−( − ) = − = = ) () = − , 3 2 5 3 10 3 10 30 30 4 1 1 8 − 3 1 5 1 25 − 6 19 (= ( − )− = )− =( )− = 3 2 5 6 5 6 5 30 30 4 1 1 4 1 1 −( − ) ≠ ( − )− 3 2 5 3 2 5
از اینرو: نامساوی ) ≠ ( باال نشان می دهد که :خاصيت اتحادي در عملية تفريق صدق نمي كند. مثال چهارم :خاصيت اتحادي را براي تقسیم سه عدد نسبتي بررسي كنيد. حل: 4 1 1 4 1 5 4 5 4 2 8
4 1 1 4 1 1 لذا÷ ( ÷ ) ≠ ( ÷ ) ÷ : 3 2 5 3 2 5
= × = ÷ = ) × (÷ = ) ÷ (÷ 3 2 5 3 2 1 3 2 3 5 15 4 1 1 4 2 1 8 1 8 5 40 = × = ÷) (= ÷) × (= ÷) ÷ ( 3 2 5 3 1 5 3 5 3 1 3
خاصیت اتحادی تنها در عملیههای جمع و ضرب اعداد نسبتی صدق میکند؛ اما در عملیههای تفریق و تقسیم صدق نمیکند. 4 2 5 = تمرینa) ( + ) + 3 5 7 5 4 3 بررسی( × زیر × کنیدb) . خاصیت اتحادی را در عملیه های= ) 7 9 5 6 2 4 = ) c) − ( + 5 3 9 4 5 2 = ) ÷ ( ÷ )d 3 3 5
4 2 5 = a) ( + ) + 3 5 7 5 4 3 = ) × ( × )b 7 9 5 6 2 4 = ) c) − ( + 5 3 9 4 5 2 108 = ) ÷ ( ÷ )d 3 3 5
خاصیت توزیعی خاصی��ت توزیعی ض��رب باالی جم��ع را در اعداد تام دیده اید ،آیا این خاصیت در اعداد نسبتی نیز صدق میکند؟
فعالیت
B
4
E
2
A
شکل مقابل را در نظر بگيريد. • مساحت مستطيل AEFDچقدر است؟ • مساحت مستطيل EBCFچقدر است؟ • مساحت مستطيل ABCDچقدر است؟ C F • آيا مي توانيم بگوييم كه: مساحت + EBCFمساحت = AEFDمساحت ABCD )3(2 + 4) = (3 × 2) + (3 × 4 • آيا مي توانيم بنويسيم كه: هرگاه يك عدد در مجموع دو عدد ديگر ضرب شود ،مي توان آن عدد را جداگانه در هر يك از اعداد ضرب و حاصل ضربها را با هم جمع کرد .اين خاصيت را خاصيت توزيعي ضرب باالی جمع مينامند.
مثال اول : خاصیت توزیعی را در عملیۀ ضرب باالی جمع بررسی کنید. حل :اوالً عملیۀ ضرب را به صورت معمولی حل میکنیم؛ یعنی:
15 4 2 15 20 + 6 15 26 390 39 13 1 (× = ) ×( + = ) (× = ) = = =3 120 12 4 4 8 3 5 8 15 8 15
حاال عملیۀ باال را به صورت توزیعی بررسی میکنیم؛ یعنی:
109
3 D
15 4 2 15 4 15 2 60 30 5 3 10 + 3 13 1 = × ×( + ) = × + + = = + = =3 8 3 5 8 3 8 5 24 40 2 4 4 4 4
از مقایسۀ دو طریق حل فوق نتیجه میگیریم که:
15 4 2 15 4 15 2 13 1 ×( + ) = ( × ) + ( × ) = = 3 8 3 5 8 3 8 5 4 4
2 −4 7 مثال دوم :حاصل ) ÷ ( + 3 5 2
را نخست بدون تطبیق خاصیت توزیعی و سپس با تطبیق
خاصیت توزیعی به دست آورید و نتیجه را با هم مقایسه کنید .آيا خاصيت توزيعي تقسيم باالی عملیۀ جمع صدق میکند؟ حل: 2 10 20
2 −4 7 2 −8 + 35 2 27 ( ÷ = ) ÷( + = ) (× = ) ( ÷ = ) 3 5 2 3 10 3 10 3 27 81
حاال خاصیت توزیعی را تطبیق مینماییم: 2 −4 7 2 −4 2 7 2 5 2 2 10 4 −70 + 16 −54 −9 = × ÷( + ) = ÷( ) + ÷ = ×( ) + = + = = 3 5 2 3 5 3 2 3 −4 3 7 −12 21 84 84 14
2 −4 7 2 −4 2 7 (÷ ÷ (≠) + ) ÷ ()+ 3 5 2 3 5 3 2
از این رو: از اينجا نتيجه مي شود كه:
20 − 9 ≠ 81 14
خاصیت توزیعی ضرب باالی جمع در اعداد نسبتی صدق می کند؛ اما در عملیۀ تقسیم باالی جمع صدق نمیکند.
تمرین -1خاصیت توزیعی را در عملیههای زیر بررسی کنید: 1 2 1 ) ×( + 5 −3 −2
)c
−5 −5 −2 ( × − ) 6 3 5
,
)b
,
-2خاصیت توزیعی را در سؤال زیر بررسی کنید:
6 4 3 ×) + 5 3 2
-3خاصیت توزیعی را در عملیه های زیر بررسی کنید: 8 3 −3 ÷ ( + ) 2 4 −5
)c
,
−6 3 2 ) ÷ ( − 1 4 3
4 3 1 ) ×( + 7 2 4
)a
)b
,
6 3 1 ) ÷ ( + 7 2 2
(
)a
110
تبديل عدد نسبتي به عدد اعشاري احمد و برادرش میخواهند كاري را در چهـار روز انجام دهنـد .در انتهاي روز اول احمد از برادرش میپرسد« :تا حاال چند فیصد كار را انجام داده ايم؟»
فعالیت • چند مربع در شكل مقابل رنگ شده است؟ • چه كسري از مربعها ،رنگ آبي دارند؟ اين مقدار را با عدد اعشاري نشان دهيد. • چه كسري از مربعها ،رنگ سبز دارند؟ اين مقدار را با يك عدد اعشاري نشان دهيد. •چه كسري از مربعها رنگ شده اند؟ اين مقدار را با يك عدد اعشاري نشان دهيد. 257363 مثال اول :عدد نسبتی 100
حل:
111
را به صورت عدد اعشـاري نمـايش دهيـد.
257363 63 63 = 2573 = 2573 + 100 100 100 60 3 = 2573 + + 100 100 6 3 = 2573 + + = 2573.63 10 100
در اين حالت 2573 ،را جزء صحيح عدد و 0.63را جزء اعشاري عدد مذكور مي نامند.
فعالیت اعداد 2.3125و 0.412را به صورت اعداد نسبتي بنویسيد. (
) 10000
=
(
) 10000 )
+ (
1000
(
) 1000
=
)
+ (
1000
(
) 100
+
)
+ (
100
) 10
+
مثال دوم :عدد 2.32را به صورت عدد نسبتي بنويسيد. حل: 200 30 2 232
+ + = 100 100 100 100
(
)
2.3157 2.3125 = 2 + (
10
0.412 = 0 +
= 2.32 = 2 + 0.3 + 0.02
میتوانیم اعداد نستبی را به شکل اعداد اعشاری و اعداد اعشاری را به شکل اعداد نسبتی تبدیل کنیم.
تمرین -1اعداد اعشاری 0.420 ، 0.212و 5.215را به شکل اعداد نسبتی نشان دهید. 2410 235 4250 و ، -2اعداد نسبتی 10000 100 1000 -3اعداد اعشاری −1.5 ، 0.5و 1.25را روی محور اعداد نشان دهید.
را به شکل اعداد اعشاری بنویسید.
- 4در جدول زير ،جزء صحيح و جزء اعشاري هر عدد را در محل هاي مشخص شده وارد كنيد. ﺟﺰء ﺍﻋﺸﺎﺭﻯ
ﺟﺰء ﺻﺤﻴﺢ
ﻋﺪﺩ ﺍﻋﺸﺎﺭﻯ
12.1 13.25 1.7394 0.16
112
خالصۀ فصل چهارم n • عدد نسبتی عـددی است که معموالً به شکل d dاعداد تام باشند و d ≠ 0
نشان داده می شود ،در صورتیکه nو
اعـداد نـسبتـی بـه نـام اعـداد گـویـا ،اعـداد نــاطــق« » Rational Numbersیـاد مـی شوند.
• همانطوری که هر عدد تام بدون صفر دارای عدد متضاد است ،هر عدد نسبتی نیز دارای عدد متضاد میباشد.
• ساده ساختن اعداد نسبتی ،مانند ساده ساختن کسرعام بوده و در صورتی که صورت و مخرج به یک عدد قابل تقسیم باشند ،آن را تقسیم میکنیم تا به اعدادی برسیم که دیگر
قابل تقسیم نباشند.
• از دو عدد نسبتي همان عدد بزرگتر است كه در روی محور اعداد نظر به عدد دیگری، طرف راست قرار دارد ،آنچه در مورد اعداد تام نيز مشاهده كردهايد.
• در مقایسۀ دو عدد نسبتی که صورتها و مخرجهای شان با هم مساوی نیستند ،نخست باید این دو عدد را هممخرج نموده و سپس با هم مقایسه کنیم.
• جمع دو عدد نسبتی مانند جمع اعداد کسرعام است ،طوریکه اول کوچکترین مخرج مشترک را پیدا نموده و سپس صورتها را مانند اعداد تام با هم جمع می کنیم.
• عملیۀ تفریق در اعداد نسبتی مانند عملیۀ جمع است ،با این تفاوت که در عملیۀ تفریق فقط عالمت مفروق تغییر میکند و سپس عملیۀ جمع باالی آن تطبیق می گردد.
• در جمع و تفریق اعداد نسبتی میتوانیم از محور اعداد نیز استفاده کنیم ،چنانچه در مورد اعداد تام نیز از آن استفاده کردهایم.
• در عملیـۀ ضـرب اعداد نسبتی ،صورتها و مخرجها در همدیگر ضرب میشوند؛ اما در عملیۀ تقسیم ،اول مقسوم علیه معکوس می گردد و سپس عملیۀ ضرب را انجام میدهیم.
113
• خاصیت تبدیلی در عملیۀ جمع و ضرب اعداد نسبتی صدق میکند ،در حالی کـه این خاصیت در عملیۀ تفریق و تقسیم اعداد نسبتی صدق نمی کند.
• خاصیت اتـحادی در عملیۀ جمع و ضرب اعداد نسبتـی صدق می کند ،در حالیکه این خاصیت در عملیۀ تفریق و تقسیم اعداد نسبتی صدق نمیکند. • خاصیت توزیعی فقط در عملیۀ ضرب باالی جمع و تفریق صدق میکند و بس. • تبدیل اعداد نسبتی به اعداد اعشاری ،مانند تبدیل کسر عام به اعشاری است و به همین ترتیب تبـدیل اعداد اعشاری به اعـداد نسبتی ،ماننـد تبـدیل اعـداد اعشاری به کسر عام.
114
تمرین فصل چهارم -1اعداد نسبتی زیر را روی محور اعداد نشان دهید: 7 3
)e
2 3
,
)d
−1 3
,
,
)c
−7 3
)b
,
4 3
a) −
-2در محور اعداد زیر ،اعداد نسبتییی را که با هم جمع شده اند توسط اعداد بنویسید.
–
+ +1
1 —+
5 —– 8
0
2
1 5 -3از عدد نسبتی عدد نسبتی 2 2
–1
3 —–
–2
2
را تفریق کنید و در روی محور اعداد نشان دهید.
-4اعداد نسبتی زیر را جمع و سپس خاصیت تبدیلی را در آن بررسی کنید. −6 4 ) (+ 5 3
,
3 1 − 5 7
,
5 1 + 2 3
-5خاصیت اتحادی را در ضرب های زیر بررسی کنید. −5 3 3 ) × (× 6 2 5
,
1 3 5 ) × (× 2 5 3
-6جاهای خالی را با اعداد مناسب پر کنید.
)
3 −2 b) ( + )×( ) =1 2 9 3 4 1 1 4 ( )d (+ )× =( × )+ −2 5 2 2 5
115
, ,
,
8 4 6 ) × (× 5 3 10
1 1 a) ( + ) × ( ) = 1 2 3 1 c) ( ) × = 1 3
-7خاصیت توزیعی را در سؤاالت زیر بررسی کنید. 5 −3 2 (× ) − −9 4 3
,
−5 3 −4 (× + ) 8 −2 3
,
6 −3 2 (× ) + 5 4 5
-8خاصیت اتحادی در ست اعداد نسبتی ،درکدام عملیههای زیر صدق نمیکند؟ )aجمع
)bضرب
)dتقسیم
)cتفریق
)eهیچکدام
−6
را به عدد اعشاری تبدیل نموده و در روی محور اعداد نشان دهید؛ -9عدد نسبتی 5 همچنین متضاد آن را به شکل اعشاری بنویسید. -10اعداد اعشاری زیر را به شکل اعداد نسبتی بنویسید. 1.23412
,
5.2345
,
2.342
,
0.340
-11دو عدد اعشاری 3.234و 4.543را به شکل اعداد نسبتی نشان دهید. -12خاصیت تبدیلی در کدام عملیههای اعداد نسبتی زیر صدق نمی کند؟ )dتقسیم )cتفریق )bجمع )aضرب -13خاصیت توزیعی در کدام عملیۀ اعداد نسبتی صدق می کند؟ )cهر دو درست اند. )bضرب باالی تفریق )aضرب باالی جمع -14اعداد اعشاری 1.25و 2.5را با اعداد نسبتی نشان داده و همچنین متضاد آنها را به شکل اعداد نسبتی در روی محور اعداد نشان دهید.
116
فصل پنجم مثلث ها و چندضلعیها
مثلث ها در اطراف ما استند.
اقسام مثلث از حیث اضالع در شكل مقابل کدام اشكال هندسی را مشاهده می کنید؟
فعالیت • در شكلهاي زير طول هر ضلع را اندازهگيريکرده و اندازۀ آن را بنويسيد. • اگر بخواهيم اين مثلثها را دستهبندي كنيم ،كدام مثلث ها در يك دسته قرار میگیرد؟
)c )f
)a
)b )e
)d
• براي قرار دادن مثلث ها در هر دسته بندی چه خصوصيتی را در نظر گرفته ايد؟ • زاويه هاي مثلث هايی را كه اضالع آنها با هم برابراند ،اندازه بگيريد .چه نتيجه یی بهدست مي آورید؟ • زاويههاي مثلثهايي را كه دو ضلع مساوي دارند ،اندازه بگيريد ،چه نتيجه یی به دست مي آوريد؟ از فعاليت فوق نتیجه میگیریم که مثلث ها را می توانیم از نظر طول اضالع به سه دسته تقسيم بندي كنيم: مثلثي كه سه ضلع آن با هم مساوي باشند ،مثلث متساوياالضالع نامیده میشود .در هرمثلث متساوياالضالع سه زاوية آن نيز با هم برابر اند.
119
مثلثی كه دو ضلع آن با هم مساوي باشند ،مثلث متساويالساقين ناميده مي شود ،هر یک ازضلعهای مساوي در مثلث متساويالساقين را ساق مثلث و ضلع سوم را قاعدۀ مثلث مي نامند. در مثلث متساويالساقين دو زاوية كنار ساق ها با هم مساوي اند. مثلثی كه طول هر سه ضلع آن با هم مساوي نيستند ،مثلث مختلفاالضالع ناميده مي شود.مثال :هر يك از مثلث هاي شكل زير را نظر به اضالع شان نام گذاري كنيد.
)(b
)(a
)(c
حل :ابتدا طول هر ضلع مثلث را اندازه کرده و سپس نامگذاری میکنیم .مثلث aکه سه ضلع برابر دارد متساوی االضالع ،مثلث bکه دو ضلع برابر دارد متساوی الساقین ،و مثلث c که طول هر سه ضلع آن مختلف میباشد مختلف االضالع است.
تمرین -1یک مثلث متساویاالضالع را رسم کنید که هر ضلع آن 4cmباشد. -2يک مثلث متساويالساقين رسم کنيد که دو ضلع مساوي آن هر يک 3cmبوده و ضلع سوم آن کيفي باشد. -3یک مثلث متساويالساقين را رسم نمایید که یک زاویۀ آن 90باشد. -4طول اضالع یک مثلث به ترتیب 4cm ،5cmو 8cmاست .این مثلث به کدام نام یاد میشود؟
120
اقسام مثلث نظر به زاويه اگ��ر بخواهید ک��ه مثلثها را نظر ب��ه زاويه نام گ��ذاري كنيد ،زوایای مثل��ث را با کدام زاویه مقایسه میکنید؟
A
D B
C
H
I
E G
F
فعالیت مثلث هاي زير را در نظر بگيريد. B
E
)f
G
)e
F
D
b) H
I c) A
C )d
)a
• ابتدا زاويههاي هر مثلث را اندازهبگيريد و درجة آن را مشخص کنید. • زاويههاي هر يك از مثلثها را با زاوية قايمه مقايسه كنيد. • در کدام مثلثها ،تمام زاويههاي آن كوچكتر از زاویۀ قايمه استند؟ دارد؟ﻙﻱ ﻩﻙ ﻱﻱﺍﻩ ﺙﻝﺙﻡﻥﺁ ﺓﻱﻭﺍﺯ ﻙﻱ ﻩﻙ ﻱﻱﺍﻩﺙﻝ ﺓﻱﻭﺍﺯ ﺙﻝﺙﻡ ةﻥﺁ كدامﻩﻙ ﻩﻱﻭﺍﺯ قايمه ﻱﻱﺍﻩثها زاوي يك از مثل ﺍﻩ ﻥﺁ ﻱﺍﻩ • .ﺕﺱﺍ ﻩﻡﻱﺍﻕ دارد؟ﺭﺕگﺭﺯﺏ ﻩﻡﻱﺍﻕ ﺯﺍ ﺭﺕﻙچﻭﻙ ﻩﻡﻱﺍﻕ .ﺕﺱﺍاز قايمه زاويۀ بزرگتر كدامﺯﺍيك از مثلثها .ﺕﺱﺍ • • در جدول زير نام مثلثها را بنويسيد. مثلثهايي که زاویه های آن مثلثهايي که یک زاویه آن مثلثهايي که تنها يک زاويۀ آن قايمه باشد کوچکتر از زاويۀ قايمه باشند بزرگتر از زاويۀ قايمه باشد
121 A
D
مثلث ها را از حيث زاويه به سه دسته تقسيم كردهاند: مثلثي كه در آن يك زاوية قايمه وجود دارد ،مثلث قايمالزاويهناميده ميشود. مثلثـي كـه در آن يك زاوية بزرگتر از 90 وجود دارد ،مثلث منفرج الزاويه ناميدهمي شود. مثلثيکه تـمام زاويـه هاي آن كوچكتر از 90است ،مثلث حادالزاويه نامیده مي شود.مثال :كدام يك از مثلث هاي زير حادالزاويه ،قايمالزاويه و منفرجالزاويه است؟
B
E G
CF
I A
D
H
حل :ابتدا زاويه هاي مثلث ها را اندازه مي گيريم: مثلث BACكه يك زاوية آن 90 میباشد ،مثلث قايمالزاويه است. مثلث EGFكه يك زاوية آن بزرگتر از 90 است ،مثلث منفرجالزاويه مي باشد. مثلث DHIكه تمام زاويه هاي آن كوچكتر از 90 است ،مثلث حادالزاويه مي باشد.در تقسیم مثلثها از حیث زاویه ،زاویۀ قایمه را معیار قرار می دهند.
تمرین -1مثلثی را رسم کنید که یک ضلع آن 3cmبوده و دو زاویۀ مجاور آن هر یک 60
ﻙﻱ ﻩﻙ ﻱﻱﺍﻩ ﺙﻝﺙﻡﻥﺁ ﻩﻱﻭﺍﺯ ﻙﻱ ﻩﻙ ﻱﻱﺍﻩ ﺙﻝﺙﻡ ﻩﻱﻭﺍﺯکنید. ﻥﺁمشخص ﺙﻝﺙﻡرا ﻱﻱﺍﻩ این مثلث ﻩﻙ نوعیت ﺁ ﻱﺍﻩ ﻩﻱﻭﺍﺯ باشد، ﻩﻡﻱﺍﻕ ﻩﻡﻱﺍﻕ .ﺕﺱﺍ .ﺕﺱﺍباشد، ﺭﺕگﺭﺯﺏاست ،چه نوع مثلثی می زاویۀﺯﺍبین آنها 90 مساوی و ﺭﺕﻙچﻭﻙ آن با هم .ﺕﺱﺍ ﻩﻡﻱﺍﻕ-2ﺯﺍمثلثی که دو ضلع از حیث اضالع و زوایا ،نوعیت آنرا تعیین کنید. -3مثلثی رسم کنید که یک زاویۀ آن 120و ضلع مجاور این زاویه 4cmباشد .چند تا از این مثلثها رسم کرده می توانید؟ -4یک مثلث منفرجالزاویه رسم کنید که زاویۀ منفرجۀ آن 100و طول دو ضلع مجاور این زاویه 4cmو 6cmباشد.
122 A
میانه ،ارتفاع و ناصفالزاویۀ مثلث تا به حال سعی کردهاید ،یک پنسل را عمود گذاشته و یک شی مثلثیشکل را روی آن قرار دهید؟
فعالیت Δ
• یک مثلث کیفی ABCرسم کنید. • سه ارتفاع این مثلث را ترسیم کنید. • آیا نقطهیی را پیدا کرده میتوانید که هر سه ارتفاع مثلث در آن نقطه همدیگر را قطع کنند؟ • سه میانۀ این مثلث را رسم کنید ،آیا هرسه میانه در یک نقطه همدیگر را قطع میکنند؟ • سه ناصفالزاویۀ این مثلث را رسم کنید .آیا سه ناصفالزاویه ،یک دیگر را در یک نقطه نیز قطع می کنند؟ فعالیت باال نشان می دهد که در یک مثلث ،سه ارتفاع ،سه میانه و سه ناصفالزاویه یکدیگر را در یک نقطه قطع می کنند. 2 1
2
123
1
1
2
B
H Δ
مثال اول :یک مثلث منفرج الزاویۀ ABCرا رسم C کنید. نقطه یی را پیدا کنید که در آن سه ارتفاع همدیگر را قطع C می کنند. N حل :چون در یک مثلث منفرج الزاویه ،بعضی ارتفاع ها در خارج مثلث واقع اند ،نقطۀ تقاطع آن ها نیز خارج از مثلث قرار دارد.
A
B
H A
D D
N
M M
Δ
مثال دوم :یک مثلث حادالزاویۀ کیفی ABCرا رسم کرده و نقطۀ تقاطع میانه های آن را پیدا کنید. حل :یک مثلث حاد الزاویۀ کیفی را رسم کرده؛ سپس میانه های آن را رسم می کنیم ،دیده می شود که میانه ها در یک نقطۀ داخل مثلث همدیگر را قطع می کنند؛ این همان نقطهیی است که شی مثلثشکل در آن نقطه باالی نوک پنسل به حالت تعادل قرار میگیرد ،از اینرو گفته می توانیم C که نقطۀ تقاطع میانه های مثلث ،مرکز ثقل مثلث می باشد.
A A O
B O
B
C
میانهها ،ارتفاعها و ناصفالزاویههای یک مثلث در یک نقطه همدیگر را قطع میکنند.
تمرین -1یک مثلث قایمالزاویه رسم کنید و نقطۀ تقاطع میانهها را در آن نشان دهید. -2ارتفاعهای مثلثی را رسم کنید که اضالع آن 3cm ، 5cmو 6cmاستند. -3یک مثلث متساویالساقین که طول هر ساق آن 4cmو قاعدۀ آن 6cmاست رسم کنید و نقطۀ تقاطع ناصف الزوایای آن را پیدا کنید. -4یک مثلث متساویاالضالع ترسیم کرده و میانه ها ،ارتفاع ها و ناصفالزاویه های آن را نشان دهید .چه نتیجهیی در آن مشاهده می کنید؟
124
مجموع زاویههای داخلی مثلث آیا مجموع زاویه های داخلی تمام مثلث ها با هم مساوی اند؟
˚60 ˚60
˚60 ˚90
˚30
˚60
˚60˚ + 90˚ + 30˚ = 60˚ + 60˚ + 60
فعالیت
A
Δ
• یک مثلث کیفی ABCرا روی کاغذ رسم نموده و آن را قیچی نمایید. • از رأس ، Aارتفاع وارد بر قاعده را رسم کنید و محل تقاطع ارتفاع 1 3 2 با قاعده را Hبنامید. C H • مثل��ث را ط��وری ق��ات کنی��د ک��ه Aروی Hق��رار گی��رد. (خطهاى نقطه چین در شکل ،محل قات کردن را نشان می دهند). • این بار مثلث را طوری قات کنید که رأس Bو رأس Cنیز روی Hقرار گیرند. • از روی قات کردن ،جوا ب سؤال های زیر را پیدا کنید. ∧
?=C
,
∧
?= B
∧
, ∧
?=A ∧
∧
∧
∧
, ∧
∧
B
∧
? = H1 + H 2 + H 3 ∧
H1 + H 2 + H 3 = A + B+ C = 180 از این رو داریم که: زيرا زاویهیی كه در يك طرف خط مستقيم تشکیل میشود 180است.
• زاویههای مثلث را با نقاله اندازه بگیرید و نتیجههاي باال را بررسی کنید.
از فعالیت باال میتوان نتیجه گرفت که: مجموع زوایای داخلی یک مثلث مساوی به 180است و هر یک از زاویه های داخل مثلث را یک زاویۀ داخلی یا به صورت مختصر زاویۀ مثلث می نامند.
Δ
مثال اول :در مثلث متساویالساقین ، ABCاندازة یکی از زاویه های مساوی آن برابر به 70 است ،اندازۀ زاویۀ سومی مثلث را پیدا کنید.
125
حل :چون مثلث ،متساویالساقین است ،بنا بر این دو زاویۀ مجاور دو ساق با هم برابرند. ∧
∧
B = C = 70 پس: چون مجموع زاویههای داخلی یک مثلث 180است ،میتوان نوشت که: ∧
∧
, 70 o + 70 o + A = 180 o
, 140 o + A = 180 o
∧
∧
∧
A + B+ C = 180 o
∧
از اين جا معلوم ميشود كه A = 40 است. مثال دوم :زاویه های حادۀ یک مثلث قایمالزاویۀ متساویالساقین چند درجه است؟ حل :چون مثلث قایمالزاویه است ،یک زاویۀ آن 90 و دو زاویۀ دیگر آن حاده می باشند، مانند شکل زیر: ∧ ∧ ∧ B A + B + C = 180 ∧
∧
90+ B + C = 180 ∧
∧
B + C = 90
چون مثلث متساويالساقين است:
∧
∧
B = C = 90 ÷ 2 = 45
پس هر زاویۀ حادۀ آن 45
C
A
میباشد.
فعالیت یک مثلث قایمالزاویه رسم کنید که هر ضلع قایم آن 5cmباشد .دو زاویۀ دیگر این مثلث چند درجه است؟ ابتدا بدون نقاله و سپس توسط نقاله اندازة زاویهها را دریابید. مجموع زاویه های داخلی در تمام مثلث ها 180است و به نوعیت مثلث ارتباط ندارد.
تمرین -1اگر در یک مثلث متساویالساقین ،زاویه بین دو ساق برابر به 50 باشد ،هر یک از زاویه های دیگر آن چند درجه است؟ -2در یک مثلث متساویاالضالع ،هر زاویۀ آن چند درجه است ؟ -3اگر در یک مثلث متساویالساقین ،زاویۀ بین دو ساق 70باشد ،دو زاویۀ دیگر آن هرکدام چند درجه است؟
126
زاوية خارجي یک مثلث چند نوع زاويه را در شكل مقابل مي بينيد؟
فعالیت Δ
• مثلث ABCرا در نظر بگیرید .ضلع BCرا از نقطۀ Cامتداد میدهیم تا زاوية C2
تشكيل شود. • به سؤالهاي زير پاسخ دهيد:
A ∧
∧
∧
∧
? = C1+ C 2 ∧
? = C 1 + A+ B
2 C
A
1
B
2
1
• از دو تساوي باال چه نتيجهیی به دست مي آيد؟ در هر مثلث زاويه یی كه از امتداد يكي از اضالع با ضلع ديگر مثلث تشكيل مي شود ،زاوية خارجي نام دارد .اندازة هر زاوية خارجي در یک مثلث مساوي به مجموع دو زاوية داخلي غير مجاور آن است. C
مثال اول :در يك مثلث قايمالزاوية متساويالساقين می خواهیم اندازة زاوية خارجي را كه از امتداد وتر آن به دست مي آيد ،اندازه بگیریم .آيا در اين وضعيت فرق مي كند كه وتر را B به كدام جهت امتداد دهيم؟ B حل :چون مثلث قايمالزاويه است ،يك زاوية 90دارد؛ چون متساويالساقين است ،هر يك از زاويه های حادة آن 45 است. 1 ∧ ∧ ∧ ∧ C A 1 C C2 = A + B C2 = 90 + 45 = 135 2 A چون دو زاوية حاده با هم مساوي اند: 2
127
B
زاويه هاي خارجي آنها نیز با هم مساوي اند و فرقي نمي کند که زاویۀ خارجی در کدام باشد. طرف وتر قرار داشته Δ ∧ ∧ مثال دوم :در مثلث A = 50 ، ABCو B = 70است .زاوية خارجي Cچند درجه است؟ ∧
∧
∧
C2 = A + B = 50 + 70 = 120
فعالیت اندازۀ هر سه زاویۀ خارجی مثلث مختلفاالضالع زیر را پیدا کنید. C 50 30
A
100
B
هر یک از زاویۀ خارجی یک مثلث ،مساوی به مجموع دو زاویۀ داخلی غیر مجاور آن میباشد. C A 60° 30°
x
تمرین
60°
C
A
A
x
A
A x
x 120° 144°
B
B آوريد: شده اند ،بهCدست -1در اشكال زير ،اندازةCزاويههايي را كه به عالمت xمشخص B B
C
60° 30°
140°
A
A
x
60° 30°
x
C
60°
A
B
C 140°
A
x
x 120° 144°
B
C
B
C
60° 30°
-2اندازة زاويههاي خارجي در مثلث متساوياالضالع چه رابطه یی با هم دارند؟ -3يک مثلث قايمالزاويه رسم کنيد که اضالع آن 4cm ، 3cmو 5cmباشد؛ سپس مجموع زاویههای خارجی آن را پیدا نمایید. -4با چند مثال نشان دهید که مجموع زاویه های خارجی مثلث ها برابر و ثابت اند. -5مجموع زاویـه های خارجی در یک مثلث ،چنـد برابر مجموع زاویـه های داخلی آن می باشد؟
128
B
B
رابطه بين اضالع يك مثلث آيا مثلثی وجود دارد که مجموع دو ضلع آن از ضلع سوم کوچک تر باشد؟
فعالیت • يك قطعهخط به طول 7cmرسم کرده ،آن را ABبناميد. • از نقطۀ Aيك دايره به شعاع 4cmو از نقطۀ Bدايره يي به شعاع 5cmرسم كنيد. • محل تقاطع دو دايره را Cبناميد و آن را به Aو Bوصل کنید. Δ
• مثلث ABCرا در نظر گرفته و بگویید طول ACو طول BCچند است؟ • اين بار از نقطۀ Aيك دايره يي به شعاع 4cmو از نقطۀ Bدايره يي به شعاع 2cmرسم كنيد. • آيا اين دو دايره يك ديگر را قطع مي كنند و مثلث تشكيل مي شود؟ • اگر از Aدايره يي به شعاع 4cmو از Bدايرهيي به شعاع 3cmرسم كنيم ،آيا دايره ها همديگر را قطع مي كنند؟ • چه تفاوتي میان سه حالت باال وجود داردكه در یک حالت توانستیم مثلث تشکیل دهیم، و در دو حالت دیگر نتوانستيم مثلث را تشکیل دهیم؟ A
در فعاليت باال ديديم كه برای تشکیل یک مثلث مجموع دو ضلع يك مثلث بايد از ضلع سوم بزرگتر Δ
باشد؛ يعني در مثلث ABCبايد مجموع اندازة اضالع ACو BCاز اندازة ABبزرگتر باشد.
129
C
B
مثال اول :مثلثي رسم كنيد كه اضالع آن 6cm ، 3cmو 8cmباشد؟ حل :بايد ببينيم كه آيا رابطة اضالع مثلث براي تمام اضالع برقرار است يا خير؟
3+ 6 = 9 , 9 > 8 3 + 8 = 11 , 11 > 6 6 + 8 = 14 , 14 > 3
6
3 8
پس ميتوان اين مثلث را رسم كرد .شکل باال را مشاهده کنید. مثال دوم :آيا ميتوانيد مثلثي رسم كنيد كه اضالع آن 6cm ، 3cmو 2cmباشد؟ حل: 3+ 6 = 9 , 9 > 2 2 + 6 = 8 , 8> 3 3+ 2 = 5 , 5 < 6
براي اينكه بتوانیم یک مثلث را رسم کنیم بايد هر سه شرط برقرار باشد؛ يعني :مجموع طول دو ضلع باید از طول ضلع سوم بزرگتر باشد و چون در اين جا 3 + 2 = 5 < 6است ،مثلث تشكيل نمي شود. اگر مجموع طول دو ضلع از ضلع سوم کوچکتر باشد ،مثلث تشکیل نمی شود.
تمرین -1آیا میتوان مثلثی رسم کرد که دو ضلع آن 5cmو 7cmو ضلع سوم آن به اندازۀ نصف مجموع دو ضلع دیگر آن باشد. -2چرا با سه قطعةخطی که یک قطعهخط از مجموع دو قطعهخط دیگر بزرگتر باشد، نمی توان یک مثلث را رسم کرد؟ -3با اندازه گيري اضالع مثلث های زیر ،رابطه بين اضالع مثلث را بررسي كنيد.
A C
()c
CB
A
()b
A
B
C
()a
B
-4يك مثلث قايمالزاويه رسم كنيد كه اضالع زاوية قايم آن 5cmو 3cmو طول وتر آن 7cmباشد؟ -5آيا مي توانيد يك مثلث متساويالساقين رسم كنيد كه طول قاعدة آن سه برابر يكي از ساق هاي آن باشد؟
130
چندضلعي ها (مضلع ها) در تصوير مقابل ،چند نوع چندضلعي را مشاهده ميكنيد؟
فعالیت • به جدول زير نگاه کرده ،شكل هاي داخل ستونها را با هم مقايسه كنيد. ﭼﻨﺪ ﺿﻠﻌﻰ ﻣﻨﻈﻢ
ﭼﻨﺪ ﺿﻠﻌﻰ ﺍﺳﺖ
ﭼﻨﺪ ﺿﻠﻌﻰ ﻧﻴﺴﺖ
• شكل هاي ستون اول و دوم را از چپ به راست با هم مقايسه كنيد. • در چه صورت يك شكل را چندضلعي مي ناميم و در چه صورتي ،يك شكل چندضلعي نيست؟ • زاويه هاي يك چندضلعي منظم را اندازه بگيريد و بگویید كه با هم چه رابطه يي دارند؟ آيا اين خصوصيات در تمام چندضلعيها وجود دارند؟
131
در فعاليت آغاز این درس ديده ميشود كه يك چندضلعي عبارت از خط منكسر بستهيي است كه فقط يك ناحية بسته را در بر دارد. اگ��ر ان��دازة زاويه ه��ا و اض�لاع ي��ك چند ضلع��ي ب��ا ه��م مس��اوي باش��ند ،چند ضلع��ي منظ��م نامي��ده مي شود و چند ضلعيیی كه اضالع و زواياي آن مساوي نباشند ،به نام چند ضلعي غير منظم ياد مي گردد. مثال :کدام یک از شکلهای زیر یک چندضلعی است؟
)(b
)(c
)(a
حل: شکل aیک شکل بسته نیست؛ پس یک چندضلعی نیست. شکل bخط منکسر بسته نیست؛ پس یک چندضلعی نیست. شکل cخط منکسر بسته است؛ پس یک چندضلعی است. شکل dخط منکسر بسته است؛ پس یک چندضلعی میباشد. شکل eخط منکسر بسته است؛ پس چندضلعی است. شکل fخط منکسر بسته است و در میان تمام اشکال باال یگانه شکلی است که اضالع آن با هم مساوی اند ،بنابر این یک چندضلعی منظم است؛ سایر چند ضلعی های باال به نام چندضلعی غیر منظم یاد می شوند که از تقاطع چند خط تشکیل شده اند. چندضلعی ها ،ناحیه های بسته یی اند که از تقاطع چند قطعهخط تشکیل میشوند و هیچ یک از دو خط آن در امتداد یک خط مس��تقیم قرار ندارد؛ همچنان هر رأس مضلع فقط و فقط نقطۀ تقاطع دو قطعهخط است. )(f
)(e
)(d
تمرین -1چند ضلعی هایی را که میشناسید ،نام ببرید. -2در میان چند ضلعیهایی که میشناسید ،کدامهای شان چند ضلعی منظم اند؟ -3آیا مستطیل ،ذوزنقه و معین چندضلعيهای منظم استند چرا؟ -4آیا یک مثلث قایم الزاویۀ متساویالساقین یک چندضلعی منظم است؟ چرا ؟ -5آیا یک مثلث متساویاالضالع ،یک چندضلعی منظم است؟ چرا؟ -6اگر سه شکل مستطیل ،دایره و مربع را در نظر بگیریم ،کدام یک آنها ،چندضلعی نیست و کدام یک چندضلعی منظم و کدام یک چندضلعی غیر منظم است؟
132
مجموع زاويه هاي داخلي يك مضلع در هر يك از مضلعهای مقابل مجموع زواياي داخلی آن چند درجه است؟
90º
90º
? = 90º + 90º + 90º + 90º
90º 108º 108º
90º
108º
108º 108º
? = 108º + 108º + 108º + 108º + 108º
فعالیت • در اشكال زير هر ضلع را امتداد دهيد.
)(e
)(d
)(c
)(b
)(a
• شکلهای ( ) eو ( ) aچه فرقی با شکلهای ( ) d ( ، ) bو ( ) cدارند؟
از فعالیت باال نتیجه می گیریم که در بعضی از چند ضلعی ها ،امتداد برخی اضالع از داخل چند ضلعی عبور میکند که آنها را چند ضلعی مقعر می گویند و چند ضلعیيي که امتداد اضالع آن از بین چند ضلعی عبور نمیکند ،آن را چندضلعی محدب می نامند .ناگفته نماند که اگر در چندضلعی ها نام مقعر یا محدب ذکر نگردد ،منظور چند ضلعی محدب است.
فعالیت
• چهار ضلعي ABCDرا در نظر بگيريد. • زاويه هاي داخلي این چهار ضلعي را با نقاله اندازه گرفته و با هم جمع کنید. • يك قطر چهار ضلعي را رسم كنيد .اين قطر ،چهارضلعي را به چند مثلث تقسيم مي كند؟ • مجموع زاويه هاي داخلي را بدون استفاده از نقاله پيدا كنيد. • اگر به جای آن قطر ،يك قطر ديگر از اين چهارضلعي را رسم ميكرديد ،آيا نتيجه متفاوت میبود؟
133
• يك پنج ضلعي رسم كنيد .دو قطر كيفي اين پنجضلعي را از يك رأس رسم كنيد و مجموع زاويه هاي داخلي پنج ضلعي را پيدا كنيد. تعداد اضالع مجموع زوایای داخلی • يك شش ضلعي رسم كنيد و بگویید که چند قطر بايد رسم شود تا مجموع زاويههاي داخلي شش ضلعي به دست 3 1×180 2 × 180 آید. 4 5 • جدول مقابل را در کتابچه های خود نوشته و آن را تکمیل 3× 180 6 4 × 180 كنيد .در هر رديف چه عددي در 180ضرب مي شود ،اين . . عدد چه رابطه یی با تعداد اضالع چندضلعي دارد؟ . . • آیا حدس زده می توانید که مجموع زواياي داخلي . . هشت ضلعي چند درجه است؟ 3 • مجموع زوایای داخلي nضلعي چقدر است؟ 4 5
از فعاليت باال معلوم گرديد كه S = )n − 2( ×180 م6ی باشد در اينجا Sمجموع زوایای داخلي و nتعداد اضالع چندضلعي را نشان مي دهد. مثال :مجموع زاويههاي داخلي يك 10ضلعي چند درجه است؟ همچنان معلوم كنيد كه چند برابر يك زاوية قايمه مي شود؟ حل : S = )n − 2( × 180 = )10 − 2( × 180 = 8 × 180 = 1440 که 16برابر یک زاویۀ قایمه است. مجموع زاویه های داخلی یک چند ضلعی مربوط به تعداد اضالع آن است. )d
تمرین
)c
)b
-1در اشکال زیر ،چند ضلعی محدب و چند ضلعی مقعر را نشان دهید.
)d
)c
)b
)a
-2مجموع زوایای داخلی یک 12ضلعی را دریابید. -3مجموع زوایای داخلی یک 8ضلعی چند برابر یک زاویۀ قایمه می شود؟ -4مجموع زوایای داخلی یک مثلث ،یک مربع ،یک مستطیل و یک 20ضلعی را از روی فورمول باال دریابید.
134
)a
مجموع زاويه هاي خارجي يك مضلع 72º
آیا میتوانید بگویید كه مجموع زوایای خارجي يك چندضلعی چند درجه است؟
72º
72º 72º 72º ? = 72º + 72º + 72º + 72º + 72º
فعالیت Δ
• مثلث ABCرا در نظر بگيريد. • ضلع ABرا از Aبه طرف Bامتداد دهيد. • ضلع BCرا از Bبه طرف Cامتداد دهيد. • ضلع ACرا از Cبه طرف Aامتداد دهيد. • سه زاوية خارجي این مثلث را مشخص و نامگذاري كنيدC . • جدول زير را در کتابچه های خود نوشته و آن را تکمیل کنید.
A B چند ضلعیها
مجموع زاویههای مجموع زاویههای مجموع زاویههای داخلی خارجی داخلی و خارجی o .......... .......... ....... ........ ? = + ....... ? = ........ × 180سه ضلعی o ? = ........................... ........ + ....... ? = ........ × 180چهار ضلعی o ? = ........ × 180 = ? ........................... ........ + .......پنج ضلعی o ? = ........................... ........ + ....... ? = ........ × 180شش ضلعی
...
...
...
• يك چهار ضلعي رسم کرده و زاويه هاي خارجي آن را نشان دهيد. • يك پنج ضلعي رسم کرده و زاويه هاي خارجي آن را نشان دهيد.
...
فعاليت باال نشان مي دهد كه :مجموع زاويه هاي خارجي در يك چندضلعي 360°بوده و به تعداد اضالع ارتباط ندارد.
135
A 2
D
مثال اول :مجموع زوایای خارجی یک مربع را اوالً از روی رسم پیدا نمایید و سپس آن را از روی فورمول دریافت کرده و با هم ∧ ∧ کنید. مقایسه o o o D A 1 + A 2 = 90 + 90 = 180 خط طرف یک به زوایا مجموع دانیم ی م که ی طور همان حل: 1 21 ∧ ∧ ∧ ∧∧ o o o مستقیم oo oo oo 2 C A1 + A 2 = 90 + 90 = 180 A + A است؛90 90180 180 2 ==90 پسB11 B 2: ++90 ==180 1 2
CB1 + CB 2 = 90 o + 90 o = 180 o
∧
∧
90oo ++90 90oo ==180 180oo BA11++ BA22 ==90
∧∧
∧∧
∧∧
∧
∧
∧
1
1
A 2
B
1
1 2 C
CB1 + CB2 = 90 o + 90 o = 180 o
12
B
C1 + CD22 = 90 oo + 90 oo = 180 oo D ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧o ∧ o o oo است بهooo: خارجی ∧مربع مساوی oo زوایای مجموعۀ پس A 2 + B 2A + C 2 + D 2 = 90 o + 90D ++90 +=90 =+360 o o o C C 90 90 = 180 D 1 2 2 D + D 1 2 = 90 + 90 = 180 2 ∧ متساوی∧الساقین را دریابید. قايمالزاویۀ يک Δمثلث مثال دوم :مجموع زاویههای خارجی 45° o o o D 1 + D 2 = 90 + 90 = 180 حل :مثلث قایمالزاویۀ متساویالساقین ABCرا رسم نموده و اضالع A دیده آن را تا آنجا امتداد دهید که زاویه های خارجی آن تشکیل گردد، 90° 2 2 45° B 45° می شود که: ∧ C 2 A 2 =180 − 45 = 135 ∧
B2 = 180 − 90 = 90 ∧
C2 = 180 − 45 = 135
2
C
45°
90° 2
از این رو مجموع زاویههای خارجی مثلث برابر است به: ∧
∧
∧
A 2 + B2 + C2 =135 + 90 + 135 = 360
مجموع زاویه های خارجی هر مضلع(چند ندارد.
ضلعی) 360
است و به تعداد اضالع آن ارتباط
تمرین -1مجموع زاویههای خارجی یک مثلث متساویاالضالع را دریابید. -2اگر در یک مثلث متساویالساقین ،زاویه بین دو ساق 80باشد ،مجموع زاویههای خارجی آن را پیدا کنید. -3مجموع زاویههای خارجی یک 10ضلعي منظم را پیدا کنید. -4هر یک از زاویههای خارجی یک مستطیل چند درجه است؟ مجموع آنها را به دست آورید.
136
B
2
اشکال انطباقپذیر همان طور که می دانید اکثر قفل ها دارای دو یا سه کلید اند .چرا؟ این کلید ها با همدیگر چه رابطه دارند که قفل را باز می کنند، آیا در جواب های زیر ،جواب صحیح وجود دارد؟ الف) زیرا این کلید ها دارای عین رنگ اند. ب) زیرا دارای عین درازی اند. پ) زیرا دارای عین دندانه ها اند. ت) زیرا دارای عین ضخامت اند. ج) ب ،پ و ت درست اند.
فعالیت • یک مربع روی کاغذ رسم نموده که هر ضلع آن 4cmباشد .نام آن را (الف) بگذارید. • یک مربع دیگر روی کاغذ رسم کنید که هر ضلع آن 6cmباشد .نام آن را (ب) بگذارید. • یک مربع دیگر نیز روی کاغذ رسم کنید که هر ضلع آن 4cmباشد .نام آن را (پ) بگذارید. • این مربع ها را قیچی کرده و دو به دو باالی همدیگر گذاشته و با هم مقایسه کنید. برای نمایش انطباقپذیری دو شکل از عالمت ( ≅ ) استفاده می شود. مثال اول :دراشکال زیر اشکالی را که با هم انطباقپذیر اند ،مشخص کنید (.اعداد مربوطه، اندازۀ طول را به سانتی متر نشان می دهند). حل :جوره های اشکال( )aو ( )cبا هم انطباقپذیر اند؛ اما اشکال ( )bبا هم انطباقپذیر نیستند.
2
)c
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
)b
4
)a
مثال دوم :یک مستطیل کیفی رسم کنید و سپس بگویید چگونه مي توان یک مستطیل دیگری که با مستطیل اولی انطباقپذیر باشد رسم کرد؟
137
A
D
C
B
B
A
حل :این کار را به دو روش انجام میدهيم. B -1مستطیل کیفی ABCDرا به رنگ روشن رسم کرده؛ C
A D
سپس یک ورق کاغذ شفاف را باالی شکل اولی قرار میدهیم و از روی آن ،شکل مستطیل را رسم میکنیم .حاال C این دو شکل با هم انطباقپذیر اند. -2چون میدانیم که زاویههای مستطیل هر کدام 90استF ، زاویۀ قایمۀ Eرا رسم کرده و به اندازۀ دو ضلع مجاور مستطیل اولی ،به طور مثال از اضالع ABو ADعمودهای جدید جدا نموده و اضالع EFو EHرا به دست می آوریم؛ بعد F G از نقاط Fو Hتوسط پرکار به اندازۀ اضالع اولی BCو DCاضالع FGو HGرا رسم می کنیم. است. اکنون مستطیل دومی EFGHبا مستطیل ABCDانطباقپذیر G
D E E H H
دو شکلی که کام ً ال بر هم منطبق میباشند ،یعنی یکدیگر را میپوشانند ،اشکال انطباقپذیر نامیده می شوند.
تمرین -1دو مربع که با هم انطباقپذیر باشند رسم کنید. -2دو لوزی داده شده است ،چطور بدانیم که با هم انطباقپذیراند؟ -3دو مثلث انطباقپذیر را رسم کنید. -4یک دایره به شعاع 4cmرسم کرده؛ سپس یک دایرۀ دیگر ترسیم کنید که با دایرۀ اولی انطباق پذیر باشد.
138
انطباقپذيري دو مثلث در حالتی كه دو ضلع و زاويۀ بين آنها مساوي باشد براي آن كه ببينيم آيا دو باغچه در شكل انطباقپذير استند يا خير ،آيا مي توانيم يكي از آن شکلها را بلند كنيم روي ديگري قرار دهيم؟
فعالیت Δ
Δ
• در دو مثلث ABCو ' A' B' Cشکل زیر: ∧
∧
' AC = A' C' ، AB = A' Bو A = A′میباشد.
A
A′
B
B′ C′
Δ
C Δ
• يك كاغذ نازك برداشته ،روي مثلث ABCقرار دهيد و از روي مثلث ABCآن را قطع کنید و آن را A′′B′′C′′بناميد. • رأس A′را روي A′′قرار دهيد. • آيا دو ضلع A′B′روي A′′B′′و A′C′روي A′′C′′قرار ميگيرند؟ چرا؟ • آيا رأس B′روي B′′و C′روي C′′قرار مي گيرد؟ چرا؟ Δ
Δ
• دو مثلث ABCو ' A' B' Cچه رابطهیی با هم دارند؟ Δ ∆ • دو مثلث ABCو " A" B" Cچه رابطهیی با هم دارند؟ چرا؟ A′ ∆
• دو مثلث A′B′C′و " A" B" Cچه رابطهیی با هم دارند؟ چرا؟ از فعاليت باال مي توان چنين نتيجه گرفت: زاويۀ بین آن دو ضلع مثلث اگر دو ضلع و زاويۀ بين این دو ضلع یک مثلث ،با دو ضلع و A ديگر مساوي باشند اين دو مثلث با هم انطباقپذير اند.
139
C′
B′
C
B
مثال: در شكل زير AB = BCو BHناصفالزاوية ABCاست ،ثابت كنيد كه دو مثلث 2 Δ
4
ABH ≅ HBC ∆ ∆ ∧ ∧ ) bزاوية Bنصف ث هاي ABH 4و B1 = B2 : BCHزیرا حل :در مثل )c
4
4
4
4
A B
2 گرديده است. اضالع BA = BCكه مثال داده شده است و ( BH = BHضلع مشترک) Δ Δ از اينجا معلوم ميشود كه در دو مثلث ABHو BCHكه دو ضلع و C C زاوية بين آنها با هم مساوي اند با هم انطباقپذير مي باشند.
4
4 4
)a
12
BA
H A
تمرین
A1 2
-1درشكل مقابل AE = BDاست و همديگر را در نقــطة تنصي��ف( ) Cقطع ميكنن��د و نیز دو خ��ط AEو BDبر ∆
4
∆
C D
B C
همديگر عمود اند .ثابت كنيد كه . ABC ≅ CDE
A
B
E
D
A
B
O
-2اگر دو قطر دايره با همديگر عمود باشند و نقاط تقاطع اين دو قطر با محيط دايره را قرار شكل به هم وصل كنيم ،آيا دو Δ
Δ
مثلث AODو BOCبا هم انطباقپذير اند؟
D
O
C
B
C
-3يك زمين مستطيل شكل را چگونه به دو مثلث انطباقپذير تقسيم ميكنيد؟
140
انطباقپذيري دو مثلث از حیث دو زاویه و ضلع بین شان
A
C
اگر در دو مثلث دو زاويه و ضلع بين آنها با هم مساوي باشند ،چگونه ميتوانيم ثابت كنيم كه اين دو مثلث ،انطباقپذير اند؟
B
A′ C′
B′
AB = A′B′ ^ ^ A = A′ ^ ^ B = B′
A
A′
فعالیت Δ
• مثلث ABCرا كه در آن ضلع B = 60 ، BC = 4 cmو زاوية B′ C = 80 است رسم كنيد. ∧
C′
∧
∧
C
∧
• مثلث A′B′C′را كه در آن B′C′ = 4Δ cmو B' = 60 oو Δ C′ = 80 باشد ،رسم كنيد. شفاف روي مثلث ABCبگذاريد و از کنارههای مثلث ABCآن را ببريد. • يك كاغذ Δ اين مثلث را " A" B" Cبناميد. • رأس B′′را روي B′بگذاريد .آيا C′′روي C′قرار ميگيرد؟ چرا؟ • آيا ضلع " A" Bبر ' A' Bمنطبق مي شود؟ چرا؟ • آيا ضلع " A" Cبر ' A' Cمنطبق مي شود؟ چرا؟
از فعاليت باال نتيجه ميشود كه: اگر دو زاويه و ضلع بين آنها درمثلثي با دو زاويه و ضلع بين آنها در مثلث ديگر مساوي باشند ،دو مثلث انطباقپذير اند. چنانکه در شكل مقابل ،داريم: C′ ∧
∧
∧
∧
AB = A′B′ , A = A′ , B = B′
بنابراین مثلث ABCو A′B′C′انطباقپذير اند.
141
C
A′
A
B′
B
Δ
مثال اول :در مثلث متساويالساقين ، ABCقطعهخط AHناصفالزاويه بر قاعده BC Δ
Δ
عمود است .ثابت كنيد كه مثلث هاي ABHو ACHبا هم انطباق پذير اند. حل :در دو مثلث ABHو ACHداريم كه: ∧ ∧ چون زاویۀ Aنصف شده استA1∧ = A∧2 ..................... A مثلث متساويالساقين استB = C ........................... 12 ساقهاي متساويالساقين اندAB = AC ..................... قـرار فـعاليت باال در دو مثلث ABHو ACHداريم كه دو زاويه و يك ضلع در هر دو مثلث با هم مساوي اند لذا: Δ Δ B C ABH ≅ ACH H مثـال دوم :چرا دو مثلث قايمالـزاوية متساوي الســاقین که ساقهای شان با هم مساوی اند ،با هم انطباقپذير اند؟ حل :در دو مثلث ABCو A′B′C′كه مثلثهای قايمالـزاويۀ متساويالساقين اند داريم كه: ∧ ∧ 'A A قرار قايمهB = B′ . در مثال داده شده استAB = A′B′ ....... B 'C 'C B ساقهاي متساويالساقينBC = B′C′ ....... چون در دو مثلث ABCو A′B′C′دو ضلع و زاوية بين آنها با هم مساوي اند. A ∆
∆
ABC ≅ A′B′C′
اگر در دو مثلث ،دو زاويه و ضلع بين آنها با هم مساوي باشند ،این دو مثلث با هم انطباقپذیر D اند. O
تمرین Cهم منطبق -1دو مثلث متساويالساقين قایم الزاویه باید كدام شرط ديگر را داشته باشند تا بر گردند؟ ∧ ∧ ∧ ∧ -2در این دو مثلث مختلفاالضالع اگر ' A = A' , B = Bو ' AB = A' Bاست؛ آیا این دو مثلث با هم انطباقپذیر استند چرا؟ A
C B
142
B
انطباقپذيري دو مثلث از حیث سه ضلع مساوي
اگر سه ضلع یک مثلث با سه ضلع مثلث دیگر مساوی باشند ،این دو مثلث با همدیگر چه رابطه یی دارند؟
A
C A′
B
C′
AB = A′B′
B′
AC = A′C′ BC = B′C′
فعالیت • دو قطعهخط A' B' = AB = 5cmرا رسم کنید. • روي اين دو قطعهخط دو مثلث بسازيد طوري كه:
AC = A' C ' = 7cm
و ∆ • يك كاغذ شفاف روي ABCقرار داده و مثلث A′′B′′C′′را ببريد. • اين مثلث A′′B′′C′′را روي مثلث A′B′C′قرار بدهید ،چه اتفاقي مي افتد؟
BC = B' C ' = 4cm
در فعاليت باال مي بينيم که: اگر سه ضلع یک مثلث با سه ضلع مثلث ديگر برابر باشند ،اين دو مثلث با هم انطباقپذير اند. C C′ به طور مثال در دو مثلث زیر داریم که: ' AB = A' B
B′
' AC = A' C A
A′
' BC = B ' C
چون سه ضلع این دو مثلث با هم مساوی اند ،این دو مثلث با هم انطباقپذیر می باشند ،یعنی: ∆
∆
ABC ≅ A′B′C′
143
B
Δ
مثال اول :در دو مثلث ABCو ، ECDاگر AB = EDباشد ،آيا این دو مثلث با هم A B انطباقپذير استند؟ ADو EBقطرهای دایره اند. A B حل: AB = AC CD AB = CE CD شعاع دايره C شعاع دايره AB CD AB E D AD == BC AD BC ==CD BC E D ADمفروض = ABقرار = ED AD = BC = BD BC BD = BD چون در دو مثلث باال سه ضلع آنها با هم مساوي اند؛ ∆ BD =∆BD = BD لذا: ABC ≅ ECD
مثال دوم :اگر یک قطر مستطیل را رسم کنیم ،آیا مستطیل به دو Bمثلث مساوی A تقسیم میشود؟ چرا؟ BB A A حل :مستطیل و یک قطر آن را رسم میکنیم. دیده میشود که: E D
AB = CD
CC
AD = BC BD = BD
D D
چون در دو مثلث ABDو BCDسه ضلع با هم مساوی اند ،با هم انطباقپذیر میباشند. قطر ،مستطیل را به دو حصۀ مساوی تقسیم میکند. B A اگر سه ضلع یک مثلث با سه ضلع مثلثی دیگر مساوی باشند ،این دو مثلث با هم انطباقپذیر اند. A
A
تمرین
C
D B
C
Cديگر كه مجموع دو ضلعB -1يك مثلث داراي اضالع 7Cm ،5Cmو 3cmاست .يك مثلث آن 10cmاست ،ضلع سومش چند سانتی متر باید باشد تا با مثلث اولی انطباقپذير گردد؟
A
-2مثلث ABCقرار شكل مقابل داده شده است ،يك مثلث ديگر كه با مثلث داده شده انطباقپذير باشد رسم كنيد.
C
B
144
حالت انطباقپذيري دو مثلث قايمالزاويه که وتر و یک زاویۀ حادۀ آنها با هم مساوی باشند. عالوه بر سه حالتی كه در مورد انطباقپذیری دو مثلث مطالعه کردید ،آيا در مورد مثلث قايم الزاويه حالت ديگري وجود دارد؟
A
B
A′
C
C′
B′
AB = A′B′ ^ ^ B = B′
فعالیت •یک قطعهخط ABرا به طول 5cmرسم کنید. • در نقطة Bضلع ، ABيك زاويه 40 را رسم کنید که یک ضلع آن ABو ضلع دیگر آن BCباشد. • از نقطة Aبر ضلع BCعمود رسم كنيد. • چه نوع مثلثي ايجاد ميشود؟ • يك مثلث ديگر با همين شرايط رسم نموده و آن را A′B′C′بناميد. • یک کاغذ نازک روی مثلث A′B′C′قرار دهید و مثلث A′′B′′C′′را بسازید. دهيد′′ .آيا B′′Cروي ' Bقرار میگيرد؛ چرا؟ • A′′را روي A′قرارB′C′ روي ' B'Cقرار ميگيرد؟ چرا؟ • آيا "B′ B"C ABCو A′B′C′با هم انطباقپذير اند؟ • آيا دو مثلث C′
از فعاليت فوق نتیجه میشود كه: ه��ر گاه وتر و ي��ك زاوية حادۀ یک مثل��ث قایم الزاویه ،ب��ا وتر و يك زاوي��ۀ حادۀ مثلث قایمالزاویة دیگر برابر باشند ،این دو مثلث با هم انطباقپذير اند. مثال اول :دو مثلث قايم الزاويه كه وتر آنها 5cmو يك زاوية حادة آنها 60باشد، رسم كنید. A A آيا اين دو مثلث انطباقپذير اند؟ 5cm 5cm حل :اول زاوية 60 را رسم میکنیم و بعد يك 4cm 4cm ضلع آن را به اندازة 5cmجدا کرده از انجام اين 60° 60° C B ضلع ،يك عمود باالي ضلع ديگر رسم مي کنیمC . B
145
به همین ترتیب ،مثلث دوم را رسم میکنیم؛ چون وتر و يك زاويۀ حادة اين دو مثلث قايمالزاويه با هم مساوي اند: اين دو مثلث با هم انطباقپذير ميباشند. مثال دوم :از یک نقطۀ ناصفالزاویه دو خط عمود باالی دو ضلع این زاویه رسم میکنیم، اکنون چگونه ثابت کنیم که دو مثلث تشکیل شده با هم انطباقپذیر اند؟ حل :زاویۀ Bو ناصفالزاویۀ آن را قرار زیر ترسیم کرده و دو مثلث را قرار شکل زیر تشکیل میدهیم .در دو مثلث قایمالزاویۀ ABDو DBCداریم که: ∧
∧
B1 = B2 ................. قرار ناصفالزاویه
قرار ضلع مشترک BD = BD
چون در دو مثلث قایم الزاویه وتر و یک زاویۀ حادۀ آنها با هم مساوی اند. این دو مثلث انطباقپذیر اند.
D C
A 1 2
B
برای انطباقپذیری مثلثهای قايمالزاويه ،مساوی بودن یک زاویۀ حاده و وترکفایت میکند.
تمرین -1دو مثلث قايمالزاويه كه وتر آن ها 6cmو يك زاوية حادة آن ها برابر به 60 باشد را در نظر بگیرید .چگونه مي توانيد ثابت کنید كه این دو مثلث با هم انطباقپذير اند؟ -2يك قطر مربع ،آن را به دو مثلث تقسيم مي کند .ثابت کنید كه اين دو مثلث با هم انطباقپذير اند؟
146
حالت انطباق پذيري دو مثلث قايمالزاويه كه وتر و يك ضلع قايم آنها مساوی باشد آيا در مثلث قايمالزاويه غير از حالت ذكر شده ،حالت ديگري وجود دارد كه تحت شرايط آن ،دو مثلث قايمالزاويه با هم انطباقپذير باشند؟
A
B
A′
C
B′
C′
AB = A′B′ BC = B′C′
فعالیت • يك زاويۀ قايمه رسم کرده ،رأس آن را Aبناميد. • روي يك ضلع اين زاويه ،به طول 4cmجدا نموده ،آن نقطه را Bبناميد. • از نقطۀ Bبه طول 5cmوتر را رسم کنید ،تا ضلع ديگر زاوية Aرا قطع كند. • مثلث ديگري نیز با اين شرايط رسم کرده ،آن را A′B′C′بناميد. • يك کاغذ شفاف را روي مثلث A′B′C′قراد دهید و مثلث A′′B′′C′′را که انطباقپذیر با مثلث A′B′C′باشد ،بسازید. • رأس A′′را روي Aقرار دهيد .آيا B′′روي Bقرار می گيرد؛ چرا؟ • آيا رأس C′′روي Cقرار مي گيرد؟ • آيا دو مثلث ABCو A′′B′′C′′با هم انطباقپذيراند؟ از فعاليت فوق نتیجه ميشود كه: اگر وتر و يك ضلع یک مثلث قايمالزاويه با وتر ويك ضلع مثلث قايمالـزاويۀ ديگری مساوي باشند ،مثلثها با هم انطباقپذيراند. مثال اول :دو مثلث قايمالزاويه را كه وتر هر یک آنها 5cmو يك ضلع قايم آنها4cm باشد ،چگونه رسم مي كنيد؟ آيا اين دو مثلث با هم انطباقپذير استند؟ حل :اول ضلع قايم معلوم را رسم کرده ،سپس در يك انجام آن زاوية قايمه و از انجام ديگر A A این ضلع قوسی كه شعاع آن به اندازة وتر باشد، رسم ميکنیم .در هر قسمتي كه دايره ضلع 5cm 5cm ديگر قايم را قطع کند نقطة تقاطع را به انجام 4cm 4cm ضلع قايم معلوم وصل ميکنیم .به همين ترتيب، 60° 60° C
147
B
C
B
يك مثلث قايمالـزاوية ديگر رسم میکنیم ،در اين دو مثلث قايمالزاويه وتر ويك ضلع قايم آنها با هم مساوي اند؛ بنابراین :اين دو مثلث قايمالزاويه با هم انطباقپذيراند. مثال دوم :در شکل زیر قطر مستطیل را رسم کرده و ثابت کنید که دو مثلث ABDو CBDانطباق پذیراند؟ حل :قرار شكل زیر مستطیلی داريم كه: AB = DCو BD=BDمیباشد. A B چون در دو مثل��ث قايمالـزاوية ABDو DBCوتر و يك ضلع قاي��م با هم مس��اوي اند؛ پس ه��ر دو مثلث انطباقپذیر میباش��ند همچنین می توان انطباق پذیری دو مثلث را از حیث دو ضلع و زاویۀ بین آن ها بررسی کرد: D C (دو ضلع و زاویۀ بین آنها مساوی اند)
AB = DC
AD = BC ∧
∆
∆
∧
A=C
چون: B نتيجه گرفته ميشود كه: در مثلثهای قايمالزاويه عالوه بر شرطهاي سهگانه ،دو حالت ديگر نيز وجود دارد: ABD ≅ DBC
B C
A A
-1اگر وتر و يك زاوية حادة يك مثلث قايم الزاويه با وتر و يك زاوية حادة مثلث قايم الزاوية ديگر مساوي باشند ،این دو مثلث با هم انطباقپذير اند. D Cقايم مثلث قايم الزاویة -2اگر وتر و يك ضلع قايم يك مثلث قايم الزاويه با وتر و يك ضلع D ديگر مساوي باشند ،این دو مثلث انطباقپذير اند.
تمرین -1در شكل زير ACقطر دايره است؛ اگر در دو مثلث قايمالـزاوية ABCو ، ADCضلع BC = CDباشد ،آيا اين دو مثلث با هم C انطباقپذيراند؟ چرا؟ -2ثابت كنيد كه قطر مربع ،آن را به دو مثلث قايمالـزاوية انطباقپذير تقسیم مي كند.
B A D
148
خالصه فصل پنجم • مثلث ها از نظر طول اضالع به سه دسته تقسيم شده اند: مثلث متساوياالضالع ،مثلث متساويالساقين و مثلث مختلفاالضالع • مثلث ها را از حيث زاويه نیز به سه دسته تقسيم كرده اند: مثلث حاده الزاويه ،مثلث قايمالزاويه و مثلث منفرجالزاويه • در هر مثلث ،ارتفاع ها ،ميانه ها و ناصفالزاويهها به ترتیب همديگر را در يك نقطه قطع مي كنند. • در هر مثلث مجموع زاويه هاي داخلي آن 180است. • زاوي��ة خارج��ي يك مثلث مس��اوي با مجم��وع دو زاوي��ة داخلي غير مج��اور این مثلث می باشد. • در هر مثلث ،بايد طول مجموع دو ضلع از طول ضلع سوم آن بزرگتر باشد. • در مثلث متساویالساقین ،مقابل ساق های مساوی ،زاویه های مساوی قرار دارند. • يك چندضلعي(مضلع) عبارت از خط منكسر بسته يي است كه فقط يك ناحیه بسته را تشكيل مي دهد ،و هیچ یک از دو خط آن در امتداد یک خط مستقیم قرار ندارد و هر رأس مضلع فقط و فقط نقطۀ تقاطع دو قطعهخط می باشد. • در بعضي از چندضلعي ها امتداد يك يا برخي اضالع آنها از داخل چندضلعي عبور کرده كه آنها را چندضلعي مقعر مي نامند و چندضلعيیی كه امتداد اضالع آن از داخل چند ضلعی عبور نمي كنند را چندضلعي محدب مي گويند. • مجموع زاويه هاي داخلي يك nضلعي برابر است به)n − 2( ×180 : • مجموع زاويه هاي خارجي در يك چندضلعي 360 است و به تعداد اضالع آنها ارتباط ندارد. • به دو شكلي كه كام ً ال بر هم منطبق شوند ،يعني يكديگر را بپوشانند ،اشكال انطباق پذير نامیده می شود. • اگر دو ضلع و زاوية بين يك مثلث با دو ضلع و زاوية بين مثلث ديگر با هم مساوي باشند، آن دو مثلث انطباقپذير اند. • اگر دو زاويه و ضلع بین این دو زاویة يك مثلث با دو زاويه و ضلع بین این دو زاویة یک مثلث ديگر مساوي باشند ،این دو مثلث با هم انطباقپذير اند. • اگر سه ضلع يك مثلث با سه ضلع مثلث ديگر دو به دو مساوي باشند ،آن دو مثلث با هم انطباقپذير اند. • اگر وتر ویک ضلع قایم یک مثلث ،با وتر و یک ضلع قایم مثلث دیگر مساوی باشند و یا وتر و یک زاویۀ حادۀ آن ها دو به دو با هم مساوی باشند ،آن دو مثلث انطباق پذیر اند.
149
تمرین فصل پنجم -1در مقابل هر سؤال ،چهار جواب داده شده اند ،جواب درست را مشخص کنید. • مجموع زواياي داخلي يک 9ضلعي چند درجه است؟ 1260° (b 360° )a (dهيچكدام 180° )c • مجموع زواياي داخلي يک مضلع 1980°میباشد .این مضلع داراي چند ضلع است؟ 13 (b 18 )a 17 (d 11 )c • اگر سه قطعهخط در يک نقطه يکديگر را قطع کنند ،مجموع زوايایی که به دور نقطة تقاطع تشکيل می شود ،چند درجه است؟ 180° (b 260° (a (dهيچکدام 360° (c • اگر اندازۀ يک زاويۀ داخلي يک مضلع منظم 144°باشد ،تعداد اضالع آن مساوی است به: 9 (b 8 (a 12 (d 10 (c • شکل زیر که همۀ اضالع و زوایای آن با هم مساوی اند به کدام نام یاد میشود؟
(aمضلع منظم محدب 10ضلعي
(bمضلع منظم مقعر 10ضلعي
• اگر در يك مثلث دو ضلع آن با هم مساوى باشند ،این مثلث چه نام دارد؟ )aمتساوي الساقين )bمتساوي االضالع )cمختلف االضالع )dمختلف الزاويه
150
• اگر در يك مثلث دو زاويۀ آن با هم مساوى باشند ،این مثلث چه نام دارد؟ )aمثلث مختلفاالضالع )bمثلث متساوىالساقين )cمثلث متساوىاالضالع (dهيچكدام • اگر در يك مثلث قايمالزاويه اندازۀ يكي از زواياى حادۀ آن 60°باشد ،وسعت زاويۀ حادۀ ديگر آن مساوی است به: 50°(b 29° (d 40° (c 30° )a • زاويۀ خارجى يك مثلث با مجموع زواياى غير مجاور داخلى آن چه رابطه دارد؟ (bمساوي است (cكوچکتر است (dهيچكدام (aبزرگتر است -2مقابل جملة صحيح (ص) و مقابل جملة غلط (غ) بگذاريد. • ( )بزرگترين زاوية خارجی یی که از امتداد یک ضلع يک چندضلعی منظم ساخته مي شود120° است. • ( )مثلث مي تواند يک مضلع مقعر باشد. • ( )اندازۀ يک زاوية خارجي يک سه ضلعي هيچ گاه کمتر از يک زاوية داخلي آن نمي باشد. • ( )دو ضلع غيرمجاور يک مضلع در يکي از رأسهاي آن مضلع با هم متقاطع اند. • ( )يک مضلع را وقتي متساوي الزوايا گويند که تمام اضالع آن با هم مساوي باشند. • ( )مجموع زواياي خارجي يک مضلع منظم عبارت از )n-2( 180°:است. • ( )اگر تعداد اضالع يک مضلع تزايد نمايند ،مجموع زواياي خارجي آن تزايد مي نمايد. • ( )مثلث حادالزاویه ،مثلثی است که صرف دو زاویۀ آن حاده می باشد. • ( )دو مثلث وقتی انطباق پذیر اند که طول یک ضلع و اندازۀ دو زاویۀ مجاور آن ها یک به یک مساوی باشند. • ( ) اگر دو ضلع يك مثلث با هم مساوى باشند ،زواياى مقابل این دو ضلع نيز با هم مساوي اند. • ( ) اندازۀ هر يك از زواياى مثلث متساوى االضالع 61°است. • ( ) اندازۀ زاويۀ خارجي يك مثلث مساوى به مجموع زواياى غير مجاور داخلي آن می باشد. • ( ) مجموع وسعت زواياى داخلي يك مثلث سه قايمه است.
151
-3جاهاي خالي را با کلمات مناسب پر کنید. • اگر اندازۀ يک زاویۀ خارجي يک مضلع منظم دو برابر اندازۀ زاوية داخلي همجوار آن باشد مضلع مذکور .......................ناميده مي شود. • با تزايد اضالع يک مضلع منظم ،مجموع زوایای داخلي مضلع ................و مجموع زوایای خارجي آن ..............نمي کند. • از يک رأس هشت ضلعي ......قطر رسم شده مي تواند. ∧ • اگر اندازۀ يک زاویۀ خارجي يک مضلع منظم 120درجه باشد آن مضلع داراي................. ضلع مي باشد. • اگر مجموع اندازۀ زواياي داخلي يک مضلع مساوي به مجموع اندازۀ زواياي خارجي همان مضلع باشد ،مضلع مذکور داراي ............ضلع است. • يک مثلث متساوياالضالع و يک مربع به نام ...................منظم ياد مي شود. • خط مستقيمی که دو رأس غير مجاور يک مضلع را با هم وصل کند.......،ناميده مي شود. • مثلثي كه هر سه ضلع آن مساوي باشند ،مثلث..........................ناميده مى شود. • در هر مثلث مجموع طول دو ضلع آن ........................از طول ضلع سوم آن مي باشد. • خطي كه از رأس مثلث به ضلع مقابل آن عمود باشد به نام ........................ياد مي شود. • اگر اندازۀ زاویۀ رأس مثلث متساوى الساقین 50°باشد ،اندازۀ هر يك از دو زاوية ديگر آن .................................است. -4سؤالهای زیر را حل کنید: • مجموع يکي از زواياي داخلي و زاوية خارجي مجاور آن در يک مضلع چند درجه است؟ ∆ ∆ • اگر در مثلثهاى متساوىالساقين ABCو DBCقاعده BCرا مشترك در نظر ∧
∧
بگيريم ،ثابت کنید كه D B A = A C D :در صورتي كه رأس هاى Aو Dبه يك طرف BCواقع نباشند.
152
∆
A
∧
• در مثلث متساوى الساقين AB = AC ، A BCاست؛ اگر Bو ∧
Cتوسط OBو OCتنصيف گردند ،ثابت كنيد كه:
A
OC = OB )a
O
C
OA )bناصفالزاويه ˆ Aاست.
B
O
B • ثابت کنید كه اندازۀ هر يك از زواياى حادۀ يك مثلث متساوي C الساقين قايمالزاويه 45°
است.
∆
• ضلع BCمثلث A BCقرار شکل زیرتا نقطۀ Dامتداد داده شده است ،در صورتي كه A
DCA = 134و ˆ = 42° BACباشد ،اندازة دو زاويۀ ديگر مثلث را معلوم کنید. ∧
42°
A
134°
C
D
42°
B
134°
• در مثلثهاي ACDو AEBقرار شكل مقابل ،داريم كه: AD = ABو . AE = ACثابت كنيد كه: ∆
D
B
C C
∆
ACD ≅ AEB
B E
D
A
• 5حالت انطباقپذيری در مثلث های قایمالزاویه را ذکر کنید. • یک قطر يك معين ،معين را به دو مثلث تقسيم ميكند ،به چند حالت ثابت كرده مي توانيد كه اين دو مثلث با هم انطباقپذير اند؟
153
• در یک مثلث متساویالساقین ،میانه یی که از رأس به قاعده رسم می شود مثلث را به دو مثلث دیگر تقسیم میکند .آیا این دو مثلث انطباقپذیر اند؟ به چند حالت می توانید آن را ثابت کنید؟ • اگر ناصفالزاویۀ یک مثلث قایمالزاویۀ متساویالساقین را از رأس قایم به قاعده رسم کنیم ،مثلث قایمالزاویه به دو مثلث تقسیم میشود .آیا این دو مثلث انطباقپذیر اند؟ چرا؟ ∆
• در مثلث AB = AC ، A BCو ADناصف الزاویۀ رأس Aاست .ثابت کنید که: ارتفاع= ADمیانۀ مثلث ذکر شده نیز می باشد. AB A
A
C B D D C ∧ • اگر در شکل زیر BPناصف الزاویۀ HBRباشد ،ثابت کنید کهHP = PR :
P R
P
H
R
B
H
B
B
154
فصل ششم
خطوط موازی و عمود
طبیعت پُر از خطوط موازی است!
F
D
E
2
خطوط موازي و عمود()Parallel and Perpendicular Lines در شكل چند خط مش��اهده مي شود .راجع به وضعيت خطوط چه گفته مي توانيد؟ A B
E F
H
D G
C
فعالیت A
ابتدا خط مستقیم dرا رسم کرده گونيا را روي خط dطوري كه در شكل نشان داده شده است ،مي گذاريم .رأس گونيا را A A مي ناميم و خطوط AHو ADرا رسم مي كنيم. و d • باالي خط مستقیم dاز نقطة Aسه خط مستقیم AB ، AE H D ACرا كه يكي عمود و دو خط دیگر مايل باشندd،رسم كنيد. H D • خطها را با خطکش اندازه گرفته و تعیین کنید که کدام خط از همه کوچکتر است. A
خط AHبا خط dزاويه 90مي سازد .قطعهخط AHعمود برCخط مستقیم dاست ،که این طور نشان داده مي شود: A B CAH ⊥ d d1 B
5
6
4
4
6
فعالیت
5
d
4
4
3
E
F
3
D
3
3
F
2
2
2
E
1
H1
2
1
1
0
0
d2
D
• خطكش را روي كاغذ بگذاريد و از هر دو كنار خطكش دو خط رسم كنيد و اين خطوط را d1و d 2بناميد. A B C d 6
4
F
5
3
4
3
2
2
1
1
0
0
D
E
1
d2
• باالي خط d1سه نقطه B ، Aو Cرا انتخاب و به كمك گونيا از نقطة ، Aنقطۀ Bو E H بنامید. نقطة Cبر خط d 2عمود رسم کنید و نظر به شکل عمودها را BE , ADو CF F بگیریدE .در A شان • طول قطعه خط های مستقیم BE ، ADو CFرا اندازه H مورد طول هاي D B F چه گفته مي توانيد؟ G C A B
157
D
G
C
H
E F
A B
A 0 0
D
d1 d2
G C
G D C
A
G C
D G C
A
دو خط d1و d 2را كه فاصله بين شان مساوي است ،خطوط موازي مينامند که اين طور نشان داده ميشود. d1 || d 2 : A دو خط مستقیم ACو DGكه فاصله بين آنها مساوي نيست ،طوريكه در شكل نیز مشاهده مي شود موازي نيستند؛ زیرا که امتداد یافتۀ آنها یکدیگر شودAC || DG : داده مي A را در یک نقطه قطع میکند و این طور نمايش C می توان به کمک گونیا یا خطکش نشان داد که فاصلۀ بین A C E F این دو قطعهخط مستقیم در نقاط مختلف مساوی نیست. E F اگر دو قطعهخط ABو CDرا باالي EFعمود رسم كنيم A C A C موازی ( AB ⊥ EFو ) CD ⊥ EFخطوط DCو ABD B E F E مي باشند ،زيرا اگر موازي نباشند همدیگر را قطع میکنند که F B D از یک نقطة تقاطع دو عمود بر خط EFرس��م شده است و اين امکان ندارد. B D B D مثال :در بین خطوط زير خطوط موازي ،عمود و متقاطع را مشخص كنيد: D
D A
´a
b ´b
d
´d
´b
e
a
b
d
´d
´e
´a
a
d
b
´a ´a
e
´d dو b′ خطوط b و ´d
با هم متقاطع اند. حلa ' ⊥ a ، d ||b d ′ ، e || e′ : a دو خط مس��تقیم را وقتي ´b موازي ميگوييم كه خود خطوط و یا امتدادaش��ان نقطة مش��ترك ´b نداشته باشند .فاصله بين اين دو خط در تمام نقاط مساوي می باشد .دو خط وقتي با هم عمود
اند كه زاويه بين آن ها يك زاویۀ قايمه ( ) 90باشد. C
G
تمرین
F
• در شكل مقابل كدام قطعهخطها D موازي اند؟ • كدام قطعهخط ها بر هم عمود اند؟ • كدام دو قطعهخطها متقاطع اند؟ • كدام زاویه ها قايمه اند؟ • آيا همۀ خطوط متقاطع بر هم عمود مي باشند؟
B
C
E
G A
C
C
FG E
D D
D
F E
B G
F
B
B A A
E
A
158
´e e ´e
e ´e
زواياي متبادلۀ داخلي و خارجی ()Alternate interior and exterior angles
زوایای متبادلۀ خارجی
ش��كل مقابل را مش��اهده و در م��ورد زواياي تشكيل شدة آن اظهار نظر کنید.
زوایای متبادلۀ داخلی
فعالیت دو خط موازي d1و d 2و دو خط غير موازي d3و d 4را رسم كنيد. خطوط d 3و d 4را قطع • دو خط قاطع را كه يكي از آن خطوط d1و d 2و ديگر آن E كند رسم كنيد. ﺧﺎﺭﺟﻰ ﺧﺎﺭﺟﻰ A B • زوايایي را كه قاطع با خطوط موازي ميسازند و زوايايي را كه قاطع با خطوط غير موازي ﺩﺍﺧﻠﻰ ﺩﺍﺧﻠﻰ مي سازند ،توسط نقاله اندازه بگیرید .چه نتيجهیی به دست مي آيد؟ D
دو قطعهخط ABو CDبا هم موازي اند و توسط EFقطع شده اند. B طوريكه در شکل مشاهده ميشود ناحيه بين دو خط را ناحيۀ داخلي و ناحيۀ خارج دو طرف دو خط را ناحيۀ خارجي D مي گويند. AB || CDاست و خط LKاین دو خط را قطع کرده است. ∧ ∧ براي نش��ان دادن اين كه 3 = 6اس��ت ،نقط��ۀ Oرا روي خط LKانتخ��اب نموده و از نقطۀ Oخ��ط عمود بر ABو CD ∆ ∆ B رسم ميكنيم ،دو مثلث OMEو OFNتشكيل مي شود. ∧
∧
چــون MOE = FONمــتقــابــل به رأس و ∧ ∧ OME = ONF = 90است؛ پس زاويه هاي سومي اين
159
D
B
E
ﺧﺎﺭﺟﻰ ﺧﺎﺭﺟﻰ
ﺧﺎﺭﺟﻰ ﺧﺎﺭﺟﻰ F
A
ﺩﺍﺧﻠﻰ ﺩﺍﺧﻠﻰ ﺧﺎﺭﺟﻰ ﺧﺎﺭﺟﻰ
C
F K M E
A
3 4
O
5 6
C
F N
K
M E
L
3 4
O D
C
5 6
A C
F N
L
∧
∧
∧
∧
∧
∧
مثلث ها نيز با هم مساوي مي باشند؛ در نتيجه 6 = 3مي شود .زوايای 3و 6را به نام زواياي E
داخلي نیز متبادلۀ داخلي ياد مي كنند؛ به همين ترتيب 4 = 5 ،است و هر دو زواياي متبادلة 1 3 B
مي باشند.
∧ ∧
∧
∧
همچني��ن در ش��كل زواي��اي 2 , 7 , 1و 8زواي��اي متبادل��ۀ خارجي ميباش��ند؛ پس به كمك زواياي متبادلۀ داخلي داريم: ∧
∧
∧
8=2
∧
1=7 ,
∧
∧
∧
∧
∧
∧
زواياي 6 , 5 , 3 , 2 , 1و 8چند درجه مي باشند؟ حل: 6 = 60متبادلۀ داخلي ∧ 5 = 120متقابل به رأس
8 = 6 = 60 متقابل به رأس
5 = 3متبادلة داخلي
خارجي ........ 2 = 8متبادلة
∧
∧
D B
∧
∧
D B
∧
∧
D ∧
E
5 6 8 120
1 2 E 4 3
D
A F C A A C F
5 6 F 8 120 1 2 60 3
E
در نتيجه 3 = 120است و از مقایسۀ مساوات فوق 2 = 60مBیباشد.
C A
2 4 1
1 2 60 3 E 5 6 8 120 1 2 E 60 3 5 61 2 60 3 8 120
B
B D
خارجي 1 = 120متبادلة ..........
∧
B D
1 3 F A C 2 4 E C F2 4 1 3 A F E C 2 4
D B
∧
∧
D B
E 3
D
مثال :در شكل مقابل دو زاويۀ 60و 120داده شده اند،
E
A
1 2
F
C A C
A F
5 6
C
E 8 7 A B اگر دو خط موازي ABو CDتوسط خط قاطع EFقطع شوند دو جوره 4 3 متبادلۀ زوایای C F 85 61 2 D داخلي و دو جوره زوایای متبادلۀ خارجي را مي سازند كه: A B 74 3 ∧
∧
متبادلۀ داخلي4∧ = 6∧ : متبادلۀ خارجي2 = 8 :
,و ,و
∧
∧
∧3∧ = 5 1=7
D B D
تمرین ∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
B
E
D B
E
D ∧B
-1اگر AB || CDباشد ،در شكل زواياي 2 ,6,7,8, 3, 1
∧
D B
∧
2 ,6,7,8,چند درجه میباشند؟ و 3, 1
∧
-2در شــكـل اگــر 7 = 120بــاشـد ،مقـــدار زوايـــاي
D B
2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 8و 1را دريابيد.
B D
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
E C F85 6 7 1 2 A 4 3 F 5 6 E C 8
D B
D B D
E
2
1
7
30 3
150 6 1 2 8 730 3 150 6 8 7 1 2 30 3
F
A
C A
C A F
C F 8150 6 7 1 2 A 30 3 E F 150 6 C 8 7 1 2 E A 4 3 F 5 6 1 2 A C 8 1204 3 E
5 6 C A F 8 1204 1 3 2 E C F85 6 120 1 2 A 4 3 F 5 6 C 8
160
120
F
موازی بودن دو خط در صورتی که زوایای متبادله با هم مساوی باشند ∧
∧
K
در شكل مقابل زوایایی 3و 6كه دو زاوية متبادلة داخلي اند با هم مساوی میباشند. آيا AB || CDشده می تواند؟
E
B
A
3
O
6
D
C
F L
فعالیت ∧
E
∧
زواياي 3و 6با هم مساوي اند. K B Oوسط • در شكل مقابل از نقطة 110°خط EFباالیAB A K E بناميد و A B آن را تقاطع عمود رسم كنيد .نقطة Dبا ABرا120°M3 C B امتداد دهيد كه خط CDرا در Nقطع Oكند. ∆ ∆ 6 F F D C • نشان دهيد كه دو مثلث MOEو FONبا Fهم مساوي اند. D • آيا خط مستقیم MNبر خط مستقیم CDنیز عمود Lاست؟ • چرا ABموازی با CDاست؟
A
K
E
C 110°
B
110°E 3 DO
A
B
6
70°
D
C
F L
مثال اول :در اشكال زير كدام دو خط مستقیم ABو CDبا هم موازي اند ؟ A
E B D
E
C A
110° 120°
C
110°
E B
F
D
K
110°
F
B
110° B D
G120°
A
A
حل 70 = 70 :متبادلة خارجي؛ پس CC AB || CDاست. 3 4 است. F AB 110 = 110متبادلة داخلي؛ پس E || CD H 120 ≠ 110؛ پس AB || CDاست.
161 A
70°
A C
D
2
A
110° 70°
F
1
E
C
B
L
D
110°
B F
D
D
B
∧
∧
∧
∧
∧
∧
مثال دوم :اگر 2 = 3 ، 1 = 2و 3 = 4باشد ،كدام جوره از خطوط موازي اند؟ حل: A ∧
∧
چون 1 = 2است؛ پس FG || BC ∧
∧
∧
∧
G
2 = 3است؛ پس AB || CH
3 = 4؛ پس BC || DEميباشد.
C
E
4
1
2
3
F
B
D
H
اگر دو خط توسط یک خط طوری قطع شوند که دو زاویۀ متبادلۀ مساوی را بسازند ،این دو خط با هم موازی اند.
تمرین ∧
∧
B
∧
1
A
∧
B
A
-1در شكل زیر B1 = D 2و B2 =2 D1است ،آيا 2AB || CDاست؟ چرا؟ 2
C
-2در شكل زیر ،اگر: ∧
∧
∧
1
1
B
D
2C
1
2
A 1 D 2
C
1
D
∧
A1 = D 2و A 2 = D1باشد ،كدام خطوط A مستقیم با هم موازي اند؟ 1 2
E
1 2
E
1 2
C
A
D
E
B
C
A 1 2
1 2
B
D
-3در هر يك از شكلهاي زير كدام دو خط ABو CDبا هم موازي اند؟
1 2
C
B
120° 130°
D
A
B
C
130° DB D 150° 120°
c
B 120°
150°
b
D
B D F
30° 1 70°
2
E
D
A
A
B D FG F
150° 60° 150°
B DD
C
BA DC
150° 60°
BB
CA C
130°
B
a
D
30° 1 70° 30° 1 2 70°
2
150°
A C
E E
A CG G
AA
B
A CC
B D
C
D
162
60° 60°
60°
60°
زواياي متوافقه()Corresponding angles
F
در ش��كل AB || CDاست و خط EFاين دو خط را قطع كرده است. ∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
1 2 4E 3
B
∧
زواياي( 4و 2 ( ،)8و 7 ( ،) 6و ) 3و( 1و) 5 را ب��ه نام زواياي متوافقه ي��اد مي كنند .آيا اين
B
D
زوايا با هم مساوي اند؟
51 2 4 36
E
E
B D
A
8 7
1 2 5 6 8 7 41 23
B
D
A
4 3
C
E
A
F 5 6 8 7
فعالیت
E
C
F
F
M
1 2 4 3
B
شكل مقابل را در نظر بگيريد. • چهار طرف شكل را توسط قيچي ببريد. 5 6 D 8 7 1 12 2 B B • سپس محل نقطهچين را جدا كنيد. N 4 43 3 • حال قطعهخط CDرا به روي قطعهخط ABقرار دهيد تا Mروی Nقرار گیردF 5 6 . 5 6 D D 8 7 ∧ ∧ 8 7 8 1 گفت؟ توان ي م چه تا دربارة زواياي F ∧
C
85 76
D
∧
A C
E E
A C A C C
∧ ∧ F
∧
1=5 , ⋅⋅⋅= 2 , ⋅⋅⋅ = 7 ⋅⋅⋅ =∧ , ∧ 4 • به كمك نقاله زواياي 1تا 8را اندازه کرده ،درستي برابري هاي باال را بررسي كنيد. E
همچنين اگر دو خط توسط يك قاطع طوری قطع شوند که زواياي متوافقۀEمساوي را بسازند 1 2 A B 4 3 اين دو خط با هم موازي اند. E دو قطعهخط مستقیم ABو CDتوسط خط مستقیم EFقطع شده اند. ∧
∧
B
D B
اگر 2 = 6باشد ،مي خواهيم نشان دهيم كه AB || CDميباشد. چون
∧
∧
قرار متقابل به رأس 2 = 4 ∧
D
1 2 4 3
A
5 6 1 2 85 67 4 3
C A C
8 7
F
C F 85 6 7
D
F
∧
قرار مفروض ∧2 = 6 ∧ ∧ ∧ در نتيجه 4 = 6است .از طرف دیگر چون 4و 6زواياي متبادله استند ،در نتيجه AB || CD می باشد. ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ a b c d A مثال اول :در شكل m = o ، b = j ، h = p :و n = pمي باشدe af b g h c dB . A B e f g h آیا قطعهخط ABموازی با قطعهخط CDو d1 || d 2است؟ i j k q C D D B
163
d
m n j o p q i a b k c
m ne o pg f h
d2
k q o p
D
E
d1
i j m n
C A C
حل :چون h = pو b = jمیباشد که زوایای متوافقه اند و با هم مساوی؛ پس AB || CD ∧
است. و چون n = pو ∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
A است.
m = oمیباشدکه زوایای متوافقه اند و با هم مساوی؛ پس A A d1 || d 2 ∧ ∧ G 2 1 A مثال دوم :در شکل( )aدو زاویۀ ABCو DEFکه ضلع AB 1 C DG G موازی و همجهت با EDو ضلع BCموازی و همجهت با 2 2 EF C 1 C D DG 2 A ∧ ∧
میباشد .آیا می توانید نشـان دهیـد که 1 = 3میباشد؟ 2 EDراGامتداد حل :ابتدا مطابق شکل های( )aو ( )bاضالع BCو CD ميدهيم تا در نقطۀ Gهمدیگر را قطع كنند. ∧
در شکل : a ∧
∧
متوافقه ∧1∧ = 2 متوافقه 3 = 2
∧
در نتیجه 1 = 3 :میباشد.
1
F
B F
A
E A
CA
2A
1
G CC
E
B
B 31
F
FB
)b( FDBF
1
33
2 2
A
E3
E E
3
1
B
)a( B
E
3
FF
3
F
3 D C
B
1 B
D
همچني��ن در ش��کل( )bضلع ABم��وازی و مختلفالجهت با ضل��ع GB E EC موازیDو BC G،EDو 1 3 2 F ∧
∧
∧
∧
ان��د؛ E مختل��ف الجه��ت با ضلع EFمیباش��د .زوایای و نیز باCهم مس��اوی G زیرا1 = 2 : 3 1 ∧
∧
G
(قرارمتبادله)( ،قرارمتوافقه) 3 = 2 ∧
2
3
E
ﺳﺒﺰ ﺁﺑﻰ D ﻗﺮﻣﺰ ﺯﺭﺩ
∧
ﺁﺑﻰ ﺁﺑﻰ ﺳﺒﺰ ﺳﺒﺰ ﺳﺒﺰ ﺁﺑﻰ ﺯﺭﺩ ﺯﺭﺩ ﻗﺮﻣﺰﻗﺮﻣﺰ
در نتیجه 1 = 3 :ميباشد. اگر دو خط موازي توس��ط ي��ك خط قاطع قطع ش��وند ،زواياي قاطع خط ﺁﺑﻰ مساوي متوافقه را ميسازند و اگر دو خط مستقیم توسط ﺳﺒﺰ ﻗﺮﻣﺰ ﺯﺭﺩ خط طوري قطع شوند كه زواياي متوافقة مساوي را بسازند ،اين دو E ﺳﺒﺰ ﺁﺑﻰ با هم موازي اند.
B
D
120° D
120°
F
110°
B
A 120° C
D 110°
F
F BD D
D
DB
C E
D
30°C
B D
i m n
k q o p
30° 30°
30° E
30°
A a b
AC e fD
F F
i j
a mb n e f
A C
C
164
i j m n
C
A C F
A
a b e f
AC
30°
C
i j m n
C A
F
j
k q o p
c d g hj
30°
i C a bm Fn A e f
k q o p
a b e f
A
30°E
B
k q o pc d g h
c d g h
D
k q o p
CA
c d g h
110°
-2دو خط مستقیم ABو CDبا هم موازی اند ،كدام زاويه ها B با هم مساوي اند؟ c d g h
B
30° E
D B
A 30°
DB
F
B
F
E
B
C A
110°
E
ﺳﺒﺰ ﺁﺑﻰ ﻗﺮﻣﺰ ﺯﺭﺩ
A
120° E
D
E B
ﺯﺭﺩ ﻗﺮﻣﺰ ﻗﺮﻣﺰ ﺯﺭﺩ
E BD 110° 120°
تمرین -1كدام جوره از خطوط مستقیم با هم موازي اند؟
ﻗﺮﻣﺰ ﺯﺭﺩ
ﺳﺒﺰ ﺁﺑﻰ ﺁﺑﻰ ﺳﺒﺰ ﺁﺑﻰ ﺯﺭﺩ ﺳﺒﺰ ﻗﺮﻣﺰ
ﻗﺮﻣﺰ ﺯﺭﺩ
B
D
A C
زواياي متممۀ داخلي يك طرف خط قاطع()Supplementary Angles اگ��ر AB || CDو خ��ط مس��تقیم EFدو خط موازي را طوري كه در ش��كل مش��اهده مي شود قطع كرده باشد ،آيا مي توانيد بگوييد ∧ ∧ كه 2+ 3چند درجه میشود؟
E B
A
2 3
D
C
E
E F
B
2
B
D
3
2
A
C
3
F
D
فعالیت
A
C
E
F 1 2
B مطابق شكل قطعAكرده دو خط مستقیم ABو CDموازي اند و خط مستقیم EFآنها را 4 3 است.
•
∧
D
∧
= 3+ 4 ∧
1 2 4 3
B
∧
D
C
4 3
D
∧
• به كمك نقاله زاويه های 3و 6را اندازه گرفته ،مجموع آن دو را به دست آوريد. A B • خانة خالي زیر را پر كنيد. ∧
A
F
= 3+ 6 ∧
5 6 18 27
B
∧
A
F
E
• از طرف ديگر 4 = 6است .چرا؟ • از دو تساوی باال خانۀ خالی زیر را پر كنيد. ∧
E
5 6 8 7
C
5 6 8 7
F
∧
= 4+ 5
1 75° 2B
∧
∧
A
مثال :در شكل اگر خطوط مستقیم ABو CDبا هم موازی باشند ،اندازۀ 1و 2را 1 75° دريابيد. D
∧
C
2
حل :چون 1و زاویۀ 75متممۀ داخلی استند و مجموع آن ها 180است؛ BC ∧
D
1+ 75 = 180
165
∧
2 = 75
A A
C
∧
پس1 = 180 − 75 = 105 : ∧ چون زاویۀ 75و 2متبادله استند:
1 75° 2
=4+5 D 3D 4+ = 5+ =4
C
BC
3+ = 3 4+ =6 =3+6
=4+5
اگر دو خط مستقیم ABو CDموازی باشند و خط مستقیم EFاين دو خط را طوري كه F در شكل مشاهده مي شود قطع كرده باشد ،دو زاويۀ داخلي يك طرف قاطع به نام زواياي متممۀ داخلی یک طرف خط B A 1 2
F مساوی به 180مي شود. قاطع ياد میگردند كه مجموع شان ∧
∧ B
∧
∧
D
A
2+ 3 = 180و .1+ 4 = 180 مستقیم ،دو4 3 زاوية متممة Cداخلي اگر يك خط قاطع با دو خط D يك طرف خط قاطع را بسازد ،اين دو خط با Eهم موازي اند. 1 2
4 3 F
E
B
A
1 2
A
4 3
D
A
تمرین ∧
D
C
D A
∧
F
B
D
F
D
81
99
140
C
B
F
E B
F
E
B
30
E
C
E
-1در شكل مقابل دو C ABCو BDEFرا داريم زاويۀ D G كه ضلع ABموازي و همجهت EDو ضلع BCموازي C بــاشد؛ نشــان دهــيد كــه F و مـختـلفالــجهت EFميG D E ∧ ∧ ABC+ DEF = 180مي شود. G -2كدام جوره از خطوط مستقیم زير با هم موازي اند؟
B
C
E
A B
B
118
D
DF
C
F
61
99
EB
A
A
B
C
D
B
E D
F
A 81
A
60
F
120
F
E
C
D
C
61 AC 80 E
118
D
B
C
61
D
166 A
D 60
BA
B A
A
C
C
81
E
A
F
D 99
E 118
D
F
C F
C
A
80
C
چهارضعلی ها()Quadrilaterals در ش��کل مقابل چه تعداد چهارضلعی مشاهده میشود؟
A D
B
فعالیت
C
A
• ABCDیک چهارضلعی است .چهار ضلع ،چهار رأس ،چهار زاویه و دو قطر آن را نام ببرید. • هر یک از چهارضلعی های زیر را نام ببرید. A
B
C
شکل()1
B
D
B
C
C
B
شکل()5
B
A
شکل()2
A
C
D
A
B
B
D C D
C
B
A
D
A
C
شکل()3
D
شکل()4
C
D
A
D
طوری که می دانید در تمام چهارضعلی های باال ،به Bجز ذوزنقه ،اضالع Aمقابل آنها دو به دو با هم موازی اند و در ذوزنقه فقط دو ضلع مقابل آن با هم موازی استند. B شکل شماره ( )1متوازی االضالع( :)Parallelogramیک چهارضلعي است که اضالع باشند. مقابل آن دو به دو با هم موازی و مساوی می C D شکل ( )2مستطیل( :)Rectangleیک چهارضلعي است که اضالع مقابل آن دو به دو موازی و مساوی اند و هر چهار زاویة آن قایمه می باشند. 1 شکل ( )3مربع( :)Squareیک چهارضلعي است که هر چهار ضلع آن با هم مساوی
167
2
5 43
B
C
A
C
و هر چهار زاویۀ آن قایمه می باشند. شکل( )4معین یا لوزی( :)Rhombusیک چهارضلعي است که اضالع مقابل آن دو به دو موازی و هر چهار ضلع آن با هم مساوی و زوایای مقابل آن نيز با هم مساوی مي باشند. شکل ( )5ذوزنقه یا منحرف ( :)Trapezoidچهارضلعيیی است که فقط دو ضلع مقابل آن با هم موازی اند. F مثال :در اشکال زیر ،مربع ،مستطیل ،متوازی B نشان االضالع ،معینAیا لوزی و ذوزنقه را B دهید. E G F
B
)(a B
)(c
D
)(b
E
G
D
A
H
B H
B
F
C
B
E
F
D
D
)(d
C
A C
C
A
C
E
E
C
E
B
A
D
A
D
A
C
A
F
C
F
D
حل :در شکل ( ABDC )aمربع و شکل FEHGمعین میباشد؛ در شکل(ABDC )b یک ذوزنقه است ،در شکل ( )cاشکال EFDC ،ABDCو B ABFEذوزنقه میباشندAو در F AFCE مستطیل است. یک شکل( ABDC ،)dیک متوازیاالضالع و A B B B
G
تمرین D
D
A H F
D
E
E D B
E
B
CC
F
F
E
C
E
A
B D
A
A
C
F
C C
E -1در شکل مقابل کدام یک مستطیل و کدام B یک ذوزنقه است؟Aو نیز بگویید که در این شکل چند مثلث موجود مFیباشد؟ E اند؟ -2کدام جمالت درست و کدام نادرست C D D ی تواندA. • هیچگاه یک ذوزنقه متوازیاالضالع شده نمB • اضالع مقابل مستطيل دو به دو موازي و مساوي اند. موازي و مساوي Eمي باشندC. • اضالع مقابل ذوزنقه دو به دو D F • لوزی یک متوازیاالضالع است. • مربع یک متوازیاالضالع است. B •لوزی یک مربع است. -3در ش��کل مقاب��ل س��ه ذوزنق��ه ،ی��ک مس��تطیل و یک D E متوازی االضالع را نشان دهید.
D
C
A
168
F
C
A
F
D
B B BB
زوایای مقابل متوازی االضالع
A
A AA D
D
C
C CC
آیا زوایای مقاب��ل متوازی DD االضالع با هم مساوی استند؟
B B BB
110°
A AA110°
110° 110°
70°
D
70°
D DD
A
C 70° CC 70°
فعالیت =A+C
متوازی االضالع ABDCداده شده است. •چون AB || CD
• چون AC || BD
• از رابطۀ باال داریم: ∧
• از تفريق كردن C ∧
B
=A+C ==AA++CC ،پس =C+D ،پس ==CC++DD B A+C=C+ AA++CC==CC++ از هر دو طرف چه رابطه یی به دست ميآيد؟
A
=C+D D
+AC = C +
CA
=
∧
∧
∧
ی توان گفت؟ به همین ترتیب نشانDدهید B = CمیباشدC . • راجع به زوایای Aو Dچه م =
==
B
=A+B+C+D ==AA++BB++CC++DD
در یک متوازیاالضالع زوایای مقابل آن با هم مساوی اند.
متوازی Aاالضالع است ،اندازة مثال :شکل ABDCیک =
زوایای ∧ و ∧ را معلوم کنیدAA == . D B
حل :چون زوایای مقابل یک متوازیاالضالع با هم ∧
∧
A + B +A110° =C+D
∧
∧
مساوی اند؛ پس D = A = 110و B = C = 70
D
70°
= A
B
110°
A
=A+C =C+D
D
A+C=C+ =
169
C
=A+C
=A+B+C+D
=C+D
A + CA==C +
70°
C
C
فعالیت B
=D+C+C+D
چهارضلعی ABDCرا در نظر می گیریم. •
∧
∧
∧
A
= 2C + 2D
∧
= )I(........ A + B+ C+ D
=C+D
D
∧
∧
∧
C
∧
∧
B =, C , A =, داریمA: • با توجه به تساوي زواياي مقابل متوازیاالضالع = • اکنون در رابطۀ( )Iبه عوض Aو Bمقدارهای Cو Dرا می گذاریم. =D+C+C+D
از رابطة باال
B
B 70°
= 2C + 2D =C+D
110°
D
A
D 110°
∧
B=C
A
70°
C
C
• قطعهخطهای ABو CDچه رابطه یی با هم دارند؟ • به طور مشابه چه رابطه یی بین ACو BDوجود دارد؟ B
A
70° االضالع چهارضعلی متوازی 110°باشند ،این آن با هم مساوی اگر در یک چهارضعلی زوایای مقابل B A B A 100° 80° است. 70° 110°
C
D
تمرین
C
D
D
80°
100°
A B
A
∧110°
120°
∧
∧
∧
B
D
-1اگر در متوازياالضالع زیر D = 110باشد ،زوايای A , Bو Cرا دريابيد.
B
D
D
80°
B
D
B
A
110 C
50°
A 80°
D
C
100°
100°
C
A
C 80°
C
A
B چهارضعلی را بهAدو مثلث انطباق پذير تقسيم كند ،آيا اين -2اگر قطر يك چهارضلعي، 110° 120° B D چهارضلعي متوازياالضالع است؟ D
80°
50°
C
C
170
C
زواياي خارجي يك چهارضلعي آي��ا مي تواني��د بگوييد ك��ه مجم��وعزواياي خارجي يك چهارضلعي چند درجه مي شود؟
B
6
D
5 2
A
1
8
3
4
C
7
∧
∧
∧
اضالع BD ، AB ، ACو CDرا مطابق شكل باال امتداد ميدهيم .زواياي 7 ، 6 ، 5 ∧
و 8زواياي خارجي اين چهارضلعي مي باشند. ∧ ∧ ∧ ∧ ميخواهيم نشان دهيم كه 5+ 6+ 7 + 8 = 360مي باشد.
1 + 5 = 180° 2 + 6 = 180° 4 + 7 = 180°
اگر هر دو طرف را جمع كنيم داريم كه:
3 + 8 = 180° ∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
360° +
∧
∧
∧
1+ 2+ 3+ 4 + 5+ 6+ 7 + 8 = 180 + 180 + 180 + 180
با توجه به این که مجموع زوایای داخلی چهارضلعی 360° 360°است داریم: ∧
∧
∧
+
360°
∧
= 5+ 6 + 7 + 8
در نتیجه 5+ 6+ 7+ 8 = 360پس مجموع زوایای خارجی یک چهارضعلی 360میباشد.
فعالیت در شكل دو زاويۀ خارجي چهارضلعي نامعلوم مي باشند؛ آنها را دريابيد.
171
مثال :سه زاوية خارجي اين چهارضلعي داده شده اند .زاوية چهارمي آن چند درجه مي شود؟ حل: 150 + 30 + 85 = 265 چون مجموعة هـــر چهار زاوية خــارجي يك چهارضلعي 360ميباشد ،زاوية چهارمي مساوي است به360 − 265 = 95 :
85° 30°
150°
85°
30°
مجموعة زواياي خارجي يك چهارضلعي 360ميباشد. 150°
تمرین -1مجم��وع س��ه زاوي��ۀ خارجي ي��ك چهارضلع��ي 301مي باش��د .زاوي��ة چهارمی اين چهارضلعي چند درجه ميشود؟ -2در شكل مقابل يك زاوية خارجي چهارضلعي داده شده است ،سه زاوية خارجي ديگر اين چهارضلعي را دريابيد.
C
2
1 2
1
D
110°
1
B
2
A 1110°
-3آيا مجموع چهار زاوية داخلي يك چهارضلعي با مجموع چهار زاوية خارجي يك چهارضلعي مساوي است؟ چرا؟ -4مجموع زوايای داخلي و خارجي يك چهارضلعي مساوي است به:
a) 360 b) 720 -5اگر مجموع سه زاوية داخلي يك چهارضلعي 315باشد ،زاوية چهارم داخلی اين چهارضلعي چند درجه است؟ c) 25
b) 45
a) 50
172
B
2
خاصيت هاي قطرهاي چهارضلعي خاصيتهای قطرهاي متوازياالضالع در م��ورد قطره��اي ي��ك متوازياالضالع چه مىتوان گفت؟
3
4
D
B
A
1
2
D
4
1
B
3
2
4
D
BCو ADدو قطر متوازياالضالع ABDCميباشند.
B
فعالیت • ابتداء طول قطرهاي متوازياالضالع را معلوم كنيد. • گفته ميتوانيد كه قطرها با همديگر چه رابطه یی دارند؟ • خانههاي خالي زير را پر كنيد. B چرا؟ =1 چرا؟
=3
چرا؟
= AB
A
3
E
=3
2
E
2
E
3
4
3
4
C
A
1
C
A =1 = 31
A
A
C
1
=1
AB = D
D
C
C
= AB
چرا؟ آيا مي توانيد از تساوي دو مثلث ABEو CEDبگوييد كه قطرهاي متوازياالضالع E B A يك ديگر را نصف مي كنند؟ 3 2 B
E
قطرهاي متوازي االضالع يكديگر را نصف مي كنندD.
4
C
باشد؛ قطر AD = 6cmمي C مث�ال :در متــوازي االضالع ABDCقــطر BC = 8cmو D طولهای AEو ECرا معلوم كنيد. 1
A
B
E D
173
=1 =3 = AB
C
حل :چون قطرهاي متوازياالضالع يك ديگر را نصف مي كنند ،بنابراین: BC 8cm AD = = 4cm 2 2
AD = EC
،
AD AD 6cm = = 3cm 2 2
= AD AE
تمرین -1در چهارضلعي زیر قطعهخط هاي نامعلوم را دريابيد. A
B 2.5cm
2cm
R
3cm
D
C
4.5cm
-2کاملترین جواب را نشانی کنید. در يك متوازياالضالع قطرها: )aبا هم عمود اند . )bيكديگر را نصف مي كنند . )cهر دو درست اند.
B 2.5cm
A 4cm
3cm
4cm
4cm
D
در يك متوازياالضالع: )aزواياي مقابل آن دو به دو با هم مساوي اند. )bاضالع مقابل آن دو به دو با هم مساوي اند. )cهر دو درست اند. از تقاطع قطرهاي متوازياالضالع: B )aدو جوره مثلثهاي انطباقپذير تشكيل مي شوند. 4cm )bچهار مثلث انطباقپذير تشكيل مي شوند. D
5cm
C
A
2cm
5cm
3cm
1.5cm
C
174
قطرهاي مستطيل در ش��كل مقاب��ل س��طح روي ميز كدام شكل هندسي را دارد؟ در مورد خواص آن چه مي دانيد؟
فعالیت مستطيل ABDCرا در نظر بگیرید: بناميد. • قطرهاي مستطيل را رسم نموده ،نقطۀ تقاطع را B E = DB • قطرهای مستطیل را با خطکش اندازه گرفته و ببینید که با هم مساوی اند؟ مثلث ACDو ، BCDخانه هاي خاليEزير را پر كنيد. • با در نظرداشت شكل زیر دو = C = = DB
B
ضلع مشترك
A D
=C
A
C
E
= C
D
• دربارة دو مثلث ACDو BCDچه مي توان گفت؟ • آیا BC = ADاست؟ در هر مستطيل قطرها با هم مساوي و يكديگر را نصف مي كنند. مثال :در شكل مقابل ADو BCقطرهاي مستطيل ADباشد ،طول ABDCميباشند؛ اگر ED = 4cm BCرا معلوم كنيد.
175
A
B
E D B
D
C A
C
حل :چون قطرهاي مستطيل يكديگر را نصف مي كنند AE = 4cm :و AD = 8cm
مي باشند. از طرف ديگر چون قطرهاي مستطيل با همديگر مساوي اند BC = AD .؛ پس BC = 8cm ميباشد.
تمرین -1در مستطيل زير طولهاي نامعلوم را دريابيد.
B
A
8cm 5cm
6cm B
8cm
E
5cm 6cm
D
A C
E
C
D
-2اگر BC = 6cmباشد ،طول EB ، ED ، AE ، ADو ECرا معلوم كنيد. B
B
E D
A
A C
-3اگر يك قطر مستطيل 18cmباشد ،اندازة قطر ديگر اين مستطيل E مساوي است به: a) 9cm c) 4.5cm C D b) 18cm
-4اگر نصف يک قطر يك مستطيل 6cmباشد ،هر قطر اين مستطيل مساوي است به: a) 12cm b) 6cm c) 24cm -5از تقاطع قطرهاي يك مستطيل چند مثلث انطباقپذير تشكيل ميشوند؟ b) 4 هر دو غلط اند )c
a) 2
-6کاملترین جواب را نشانی کنید. در مستطيل قطر ها: )aبا هم مساوي اند . )bيكديگر را نصف ميكنند . )cهر دو درست اند . -7چهارضلعي هایي كه تمام خواص متوازياالضالع را دارند ،عبارت اند از: )dهر سه پاسخ درست اند )cمستطيل )bمعين (لوزي) )aمربع
176
قطرهاي لوزي(معين) در شکل مقابل اشکال هندسی را نام ببرید.
فعالیت • يك لوزي را رسم کنید كه يك ضلع آن 4cmو يك زاوية آن 50باشد. • قطرهاي این لوزي را رسم كنيد. • زاويه بين قطرهاي اين لوزي را اندازه بگیرید .در مورد آن چه ميتوان گفت؟ ACو BDدو قطر لوزي ABCDميباشند. مي خواهيم ثابت كنيم كه قطرهاي لوزي بر يكديگر عمود اند. در لوزي ABCDداريم كه: اضالع لوزي با هم مساوی اند AB = BC = CD = AD .... از طرف ديگر دو قطر ACو BDيكديگر را نصف مي كنندC . (لوزي يك متوازياالضالع است). پس: EB = ED
AE = EC ∆
∆
B
E
A
D
دو مثلث ABCو ACDمتساويالساقين ميباشند(.اضالع لوزي با يكديگر مساوي اند). ∆ در مثلث متساويالساقين ABCضلع ACبه دو قسمت مساوي تقسيم شده است؛ بدين ∆ معني كه خط مستقیم BEميانه و ارتفاع مثلث ABCنیز ميباشد. چون در نقطة Eخط مستقیم BEعمود بر ACو همچنین در نقطة Eخط مستقیم ED عمود بر ACمي باشد؛ در نتيجه BD ⊥ AC :ميباشد.
177
A D
B
C
مثال :در شكل مقابل ACو BDقطرهاي لوزي ABCD مي باشند. ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ 34 اگر A1 = A 2 = C5 = C6 = 60باشد ،اندازة زواياي ، B3 ∧ ∧ ∧ D D 7 ، B4و 8 دريابيد. را 1 5 ∆ ∆ ∆ A B2 A 6 C ∆A B B حل :چون مثلث هاي CDE ، BCE ، ABEو ADEقايم الزاويه E مي باشند. 87 ∧ D7 = 90 − 60 = 30 D ∧ ∧ ∧ C C ∧C D A D در نتيجه B3 = B4 = D7 = D8 = 30 :مي باشد. A B قطرهاي لوزي بر همديگر عمود اند و يكديگر را نصف مي كنند. B C
B
D C
تمرین -1آيا قطرهاي لوزي زاويه هاي رأس را نصف مي كنند؟ -2آيا در لوزي قطرها با هم مساوي و بر یکدیگر عمود اند؟ -3آیا قطرهای معین یکدیگر را نصف میکنند؟
A
-4آيا معين(لوزي) يك متوازياالضالع است؟ -5در این شكل معين(لوزي) در صورتیکه یک زاویه آن 35باشد. ∧
∧
∧
∧
∧
مقدار زواياي 4 , 3 , 2 , 1و 5را دريابيد.
2 B
11
2
35
5 35
D5 43
43
C
178
A
D
D
خالصۀ فصل ششم • دو خط مستقیمی كه در يك مستوي قرار دارند و خود شان یا امتداد شان نقطة مشتركی نداشته باشند ،با هم موازی اند .فاصلۀ بین دو خط موازی ،مساوی است.
• دو خط مستقیم عمود بر یک خط مستقیم ،با هم موازی اند.
• دو خط مستقیم وقتي بر همديگر عمود مي باشند كه زاويه بين آنها 90باشد.
• اگر دو خط موازي توسط خط قاطع قطع شوند ،چهار زاوية متبادلة داخلي و چهار زاوية متبادلة خارجي را مي سازند كه دو به دو با هم مساوي اند. ∧
∧
2=8
زواياي متبادلة خارجي
1=7 ∧
∧
∧
E ∧B
3 = 5
1 2 4 3
زوایاي متبادلة داخلي 4 = 6 ∧
∧D
A 5 6 8 7
C F
• اگر دو خط مستقیم توسط يك خط مستقیم طوري قطع شوند كه زاويههاي متبادلة مساوي را بسازند ،اين دو خط با هم موازي اند.
• اگر دو خط موازي توسط يك خط مستقیم قطع شوند 8زاوية متوافقة مساوي را مي سازند که دو به دو با هم مساوی اند. ∧
∧
∧
∧
1=5 4=8
∧
∧
∧
∧
2=6 3=7
• اگر دو خط مستقیم توسط يك خط طوري قطع شوند كه زاويه هاي متوافقۀ مساوي را بسازند ،اين دو خط با هم موازي اند.
• اگر دو خط مستقیم موازي توسط يك خط مستقیم قطع شوند ،مجموع زواياي داخلي يك
طرف خط قاطع مساوی به 180مي باشد.
• اگر دو خط مستقیم توسط يك خط طوري قطع شوند كه مجموع زواياي داخلي يك
طرف خط قاطع 180باشد ،اين دو خط با هم موازي اند.
•در يك متوازياالضالع زواياي مقابل آن ،دو به دو با هم مساوي می باشند.
• قطرهاي متوازياالضالع يكديگر را نصف کرده و از تقاطع آنها دو جوره مثلث انطباق
179
پذير تشكيل مي شوند.
•در مستطيل قطرها با هم مساوي اند و يكديگر را تنصيف نموده ،از تقاطع قطرها دو جوره مثلث انطباقپذير تشكيل مي شوند و هر چهار زاوية مستطيل قايمه مي باشند.
•چهار ضلع معين(لوزي) با هم مساوي اند ،قطرها بر هم عمود اند و يكديگر را نصف
مي كنند و از تقاطع آنها چهار مثلث انطباقپذير تشكيل مي شوند .همچنین قطرها زاوية رأس را نصف مي كنند.
• قطرهاي مربع با هم مساوي اند ،بر يك ديگر عمود اند و يك ديگر را نصف میكنند.
قطرهاي مربع ،زاوية رأس را نصف مي كنند و از تقاطع آنها چهار مثلث انطباق پذير تشكيل
مي شوند.
•مجموع چهار زاوية داخلي يك چهارضلعي 360ميباشد و مجموع چهار زاوية خارجي يك چهارضلعي نيز 360است.
• تقاطع خاصيتهاي متوازياالضالع ،مستطيل ،معين(لوزي) و مربع در دياگرام وين توسط
تقاطع ست ها نشان داده شده است.
ﻣﺘﻮﺍﺯﻯ ﺍﻻﺿﻼﻉ ﻣﻌﻴﻦ ﻣﺮﺑﻊ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ
180
B 50°
A
40°
B
B
60°
C
D تمرينات فصل ششم 50°
A
60°
D
B
-1در كدامDيك از اشكال زير ،دو قطعهخط ABو CD B 40° D
C
B 70°50° B
D
A
40° 110°
D
C
70° C
C
A 60°
80° 60°
70°
C
80°
B
A
110° C
80°
D
A
C
E
A
A
CC A
80°
D
A
C
C
B
B
110° D
60° موازي اند؟
80°D D B
A
A
60° 80°
D B
A
∧C
∧
A B چند درجه AB || CDو CD || EFباشد ،زواياي 1و 2 -2در اشكال 1زير اگر 110° 30° 1E مي باشند؟ 95° 2
B 30°
A
C 1
C
D
110°
F
2
B
C 30°
1
95°
ED
D A
1
110°
F
D
C
2
CB
1D
2
A2
B95°
∧
A
2
∧
زوايای 1و 2را دريابيد. -3در شكل زير اگر AB || EDو FE || CDباشدF ، D
C
F B
C D
181
2
C D
F
110°
110°
1F
B D
1
E
2
B
110°
A A
E 2 1
A E
B
-4هر خاصيتی كه چهارضلعيها دارند ،در مقابل آن عالمت را بگذاريد. مربع
لوزي
مستطيل
متوازي االضالع
خاصيتها قطرها يكديگر را نصف مي كنند قطرها با هم مساوي اند. قطرها بر هم عمود اند. قطرها زواياي رأس را نصف مي كنند. از تقاطع قطرها دو جوره مثلث انطباقپذير تشكيل مي شوند. از تقاطع قطرها ،چهار مثلث انطباق پذير تشكيل مي شوند. اضالع مقابل مساوي و موازي اند. تمام اضالع مساوي اند. زواياي مقابل مساوي اند. هر چهار زاويه با هم مساوي اند.
-5جواب درست را انتخاب كنيد: وقتي كه از تقاطع دو خط مستقیم با يك قاطع زاويه هاي متبادلۀ مساوي تشكيل شود ،اين دو خط با هم: )cمتقاطع اند. )bموازي اند. )aعمود اند. دو زاويهیی كه اضالع شان موازي و هم جهت يا موازي و مختلف الجهت باشند: )bمتمم يكديگر اند )c .مجموع این دو زاويه 90مي شود. )aمساوي اند. دو زاويهيى كه دو ضلع آنها موازي و هم جهت و دو ضلع آنها موازي و مختلف الجهت باشند: )cبا هم مساوي اند. )aمجموع آنها 180مي شود )b .مجموع آنها 90مي شود.
182
دو خط مستقیم عمود بر يك خط ،با هم: )cمتقاطع اند. )bعمود اند. )aموازي اند. اگر دو خط مستقیم توسط يك خط طوري قطع شوند كه مجموع دو زاوية داخلي يك طرف خط قاطع 180شود ،اين دو خط با هم: )bعمود اند. )aموازي اند.
)cمتقاطع اند.
2.5هاي زير طول اضالعی را5كه معلوم نيستند ،دريابيد: -6در چهارضلعي 2.5
2.5
4
2.5
2.5
5
4 4 3
4
5
3
4
2.5
3
4
-7اندازة سه زاوية ديگر چهارضلعي هاي زير را به دست آورید: 90°
130°
60°
130°
90°
60°
130°
90°
60°
∧
-8در شكل Pp || qو m || nاست؛ اگر 2 = 40باشد ،اندازۀ زاويه هاي متباقي چند درجه مي باشد؟ n
m
m n 1 2 9 10 m n 4 3 12 11 1 2 9 10 4 13 2 129 1110 5 6 13 14 4 3 12 11 8 7 16 15 5 6 13 14 8 7 16 15 5 6 13 14 8 7 16 15
183
p p p q q
q
-9در بین جملههای زیركدامها درست و كدامها نا درست اند؟ • قطرهاي متوازياالضالع با هم مساوي اند. • قطرهاي مربع بر يكديگر عمود اند. • قطرهاي معين (لوزي) يكديگر را نصف مي كنند. • هر چهار زاوية معين (لوزي) قايمه مي باشند. • اضالع مقابل يك متوازياالضالع دو به دو با هم مساوي و موازي اند. • اضالع مقابل يك ذوزنقه دو به دو موازي ميباشند. • هيچ گاه يك ذوزنقه متوازياالضالع شده نميتواند. • هر مستطيل يك چهارضلعي است. • معين(لوزي) يك متوازياالضالع ميباشد. • مربع یگانه چهارضلعي یی است كه هر چهار زاوية آن قايمه ميباشند. • اگر مجموع سه زاوية يك چهارضلعي 300°باشد ،زاوية چهارم آن 60است. • مجموع زواياي خارجي يك چهارضلعي 360ميباشد. • مجموع زواياي داخلي يك چهارضلعي 360ميباشد. • قطرهاي يك متوازياالضالع بر هم عمود اند. • از تقاطع قطرهاي مستطيل ،چهار مثلث انطباقپذير تشكيل ميشود. • از تقاطع قطرهاي معين(لوزي) چهار مثلث انطباقپذير تشكيل ميشود. • قطرهاي مستطيل يكديگر را نصف میکنند. • قطرهاي معين برهمديگر عمود اند. -10اگر يك زاوية متوازی االضالع قايمه باشد ،نشان دهيد كه سه زاوية ديگر آن نيز قايمه مي باشند. -11اگر يك زاوية متوازياالضالع 55باشد ،سه زاوية ديگر اين متوازياالضالع را دريابيد. ∧
∧
∧
-12در شكل زير AB || CDميباشد؛ 2 ،1و 3را دريابيد. C
90°
90°
A
3 2 D
70° 1 50° B
184
فصل هفتم احصائیه
احصائیه ،روشن گر اطالعات اطراف ما می باشد.
روش هاي جمعآوري اطالعات مدي��ر مكتب ش��ما مي خواهد ی��ک برنامۀ تفريحي را براي شما تهيه كند. اگـر شما بـه جـاي مـدیر مــكتب باشيد چه اطالعاتي را بايد کسب كنيد؟
فعالیت مدير مكتب از شما خواسته است که اطالعاتي از همصنفيهاي خود جمعآوري كنيد و در اختيار او قرار دهيد تا بتواند يك برنامة تفريحي براي شما تهيه كند. -1از 5نفر از همصنفيهاي خود سؤاالت زير را بپرسيد: • چه نوع ورزشي را دوست داريد؟ • چند ساعت در هفته میخواهيد ورزش کنید؟ • آياحاضر استید در روز رخصتی برای ورزش کردن به مکتب بیایید؟ -2چه فكر می كنيد اطالعات باال را بهتر است که با پرسيدن شفاهي از هم صنفيهاي خود به دست آوريد يا سؤاالت را براي آن ها بنويسيد و آن ها پاسخ بگویند؟ • پرسيدن شفاهي با پرسيدن كتبي چه فرقی میكند؟ • مي خواهيد بفهميد كه كدام همصنفي شما بازي واليبال را بلد است؟ آيا از او میپرسيد؟آيا ترجیح مي دهيدکه بازي او را تماشا كنيد؟• دو روش باال چه فرقی با هم دارند؟ كدام يك بهتر است؟ • براي انتخاب تيم بسكتبال ،قد همصنفي هاي خود را اندازه بگيريد. • آیا روش دیگری برای پیدا کردن اندازۀ قد آنها وجود دارد؟ اطالعات خود را در يك ورق بنويسيد و به معلم بدهيد. وقتي که برای جمعآوري اطالعات ،سؤال میکنید ،سؤال را مي توانید به شكل شفاهي يا كتبي بپرسيد .برخی اوقات بهتر است سؤال نكنيم؛ در اين مورد به مشاهده آن بپردازيم تا اطالعات بهتر به دست آوريم و بعضي اوقات بايد آزمايشي را انجام دهیم تا اطالعات را جمعآوري نماییم.
187
برخی از روش هاي جمعآوري اطالعات عبارت از جمع آوري معلومات از طريق پرسش (شفاهي یا كتبي) ،مشاهده و آزمايش اند. مثال: -1اگر بخواهیم درآمد يك خانواده را بدانيم ،از چه روشی بهتر است اطالعات را جمع آوري نماييم یا از اطالعاتی که از قبل ثبت شده ،استفاده نماییم؟ -2اگر بخواهيم نمرۀ رياضي شاگردان صنف ششم را بررسي نماییم ،از چه روشي بهتر است اطالعات را جمع آوري نماییم؟ -3اگر بخواهیم تعداد خواهران و برادران شاگردان را بدانيم از چه روشي اطالعات را جمعآوري كنیم؟ -4اگر بخواهیم وزن نوزادان را بررسی کنیم ،از چه روشی بهتر است اطالعات را جمع آوری نماییم؟ حل در مثال 1هرگاه در آمد کم باشد ،ممکن است شاگردان خوش نداشته باشند که معلومات دهند؛ پس بهتر است بدون نام از آن ها بپرسیم. در مثال ( )2ممكن است شاگردان نمرۀ واقعي خود را نگويند ،بهتر است از دفاتر ثبت شده استفاده كنيم. در مثال ( )3می توانیم از پرسش شفاهی یا کتبی استفاده کنیم. در مثال ( )4باید وزن نوزادان را اندازه گیری نماییم.
تمرین -1اگر شما بخواهيد تعداد اشخاص با سواد محل تان را بدانید از چه روشي بايد استفاده كنيد؟ -2اگر شما بخواهيد تعداد شاگردان مکتب خود را بیابید ،از چه روشی باید استفاده کنید؟ -3اگر شما بخواهید رفتار حیوانات را در شب بررسی کنید ،از چه روشی باید استفاده کنید؟ -4دو موضوع بررسي براي هر يك از روشهاي جمعآوري اطالعات بيان كنيد. • پرسش شفاهي ( مصاحبه) • پرسش كتبي • مشاهده
188
جامعه و نمونه()Population and sample آيا يک مشت برنج نمونه يى از يک بوجى برنج شده مى تواند؟
فعالیت وزارت معارف میخواهد نظر معلمان را در مورد كافي بودن تعداد ساعتهاي درسی مضمون رياضي بررسی كند. • فكر ميكنيد ،از چه كساني بايد سؤال شود؟ • آيا از معلمان صنف خاصي بايد سؤال صورت گیرد؟ • چه فكر ميكنيد؛ اگر بخواهيم از همة معلمان مربوطه سؤال كنيم ،چه مشكالتي وجود خواهد داشت؟ • آيا کافی است تا از یک بخشی از معلمان سؤال كنيم؟ • آيا کافی است تا اين بخش را فقط از معلمان صنف هفتم انتخاب كنيم؟ درفعاليت باال معلمان رياضي ،افرادی استند كه از آنها بايد سؤال شود؛ ولي لزومي ندارد كه از معلم اجتماعيات سؤال شود. دریک بررسي ،همة افراد و اشيایی كه از آن ها اطالعات مورد نياز را دريافت مي كنيم ،جامعه میناميم؛ اگر اطالعات را از همة اعضاي جامعه به دست آوريم ،این عمل را رأیپرسی همگانی مي گويند .برخي اوقات به دليل مشكالتی چون كمبود وقت ،مشكالت اقتصادي، امكان نداشتن دسترسي به همة افراد جامعه مجبور استيم فقط اطالعات بخشي از اعضاي جامعه را به دست آوریم. ُ نمونه ،بخشی از اعضاي جامعه است .نمونهیی از یک جامعه ،بايد خاصيت و صفات کل جامعه را داشته باشد.
189
مثال :مثال هایي از جامعه و موضوع مورد بررسي آن ها به صورت زير است: ......................سابقۀ تدريس معلمان در هرات • معلمان واليت هرات ......................ميزان توليد پنبه • محصول پنبة سمت شمال • محصوالت زراعتي افغانستان ......................انواع محصوالت افغانستان -2مثال هایي از نمونه به صورت زير است : • يك مشت برنج ،نمونه یی از يك بوجي برنج است. • شاگردان صنف هفتم مكتب شما نمونه یی از شاگردان صنف هفتم افغانستان استند . • معلمان رياضي کندز ،نمونهیی از معلمان کندز است. • گندم نمونهیی از محصوالت زراعتي افغانستان است.
تمرین -1در موضوعهاي بررسی زیر جامعۀ آنها را تعیین کنید: • ميزان تحصيالت اعضاي خانوادة شما. • تعداد خوا هران و برادران شاگردان صنف شما. • ساعات كار دكتوران شفاخانة عليآباد. • مدت زمان عبور موترها از يك سرك. -2در كدام حالت از سرشماري و دركدام حالت از نمونهگيري براي جمعآوري اطالعات استفاده مي كنيم؟ • پيدا كردن جمعيت افغانستان. • ميزان عالقة كودكان 5ساله به فوتبال. • وزن متوسط يك گوسفند 2ساله. • نمرة رياضي شاگردان صنف هفتم براي درجه بندي . • قابليت نوشيدن آب يك چاه. • رضايت مشتريان از محصوالت يك كارخانه. • احصائيه گیري تعداد فرزندان هر خانواده در شهر كابل.
190
نمونۀ تصادفي در ای��ن کارت��ن نامهای ش��اگردان صنف هفتم در پارچههای کاغذ نوش��ته شده اند؛ اگر ب��رای انتخاب اعضای تیم باس��کتبال، این ش��اگرد نامهای پنج نف��ر را از کارتن بیرون کن��د ،آیا این یک نمون��ۀ تصادفی شده میتواند؟
فعالیت مي خواهيم قد شاگردان صنف دهم واليت شما را اندازه بگيريم: • آيا میتوانيم بلندي قد همة شاگردان صنف دهم واليت شما را تعيین كنيم؟ • آيا اعضاي تيم باسكتبال صنف دهم واليت شما را میتوانيم براي اين بررسي انتخاب كنيم؟ چرا؟ • به عنوان نمونة صنف دهم مكتب خود را در نظر بگيريد 6 ،نفر از آنها را به ترتيب الفباي نام شان انتخاب كنيد .آيا اين نمونه میتواند نشاندهندۀ قد شاگردان صنف دهم مكتب شما باشد؟ • آيا اين نمونه مي تواند نمونۀ قد تمام شاگردان صنف دهم والیت شما باشد؟ در فعاليت باال نمونۀ انتخاب شده در تيم باسكتبال يك نمونة تصادفي نيست؛ زيرا از قبل مي توانيم حدس بزنيم همة آنها قد بلند اند؛ ولي نمونۀ انتخاب با حروف الفباي نام شان يك نمونة تصادفي است؛ زيرا نام شاگردان به قد آنها مربوط نمي باشد و اگر از قبل شاگردان را نشناسيم نميتوانيم با دانستن نام آنها قد شان را حدس بزنيم. براي آن كه يك نمونه ،نشاندهندۀ يك جامعه و داراي خصوصيات جامعه باشد ،بايد خصوصیات زير را داشته باشد: امكان انتخاب هر فرد و يا شي به عنوان عضوی از نمونه امكانپذير باشد. قبل از انتخاب نمونه نتوانیم در بارة اعضاي نمونه قضاوت كنيم. -تمام اعضاي جامعه به عنوان يك نمونه سهم برابر داشته باشند.
191
مثال :کدام یک از نمونه های زیر یک نمونة تصادفی است؟ موضوع بررسی :سواد اهالی شهر. جامعه :اهالی شهر . نمونۀ اول :هر فردی که ساعت 5بعد از ظهر از سرک عبورکند. نمونۀ دوم :دکتوران یک شفاخانه.حل: نمونۀ اول یک نمونة تصادفی است؛ زیرا از قبل سواد افرادی که از سرک میگذرند رانمی توان پیشبینی کرد. نمونۀ دوم یک نمونة غیرتصادفی است؛ زیرا از قبل میتوان نتیجه را پیشبینی کرد و ایننمونه نشان دهندة همه جامعه نیست.
تمرین -1در هر يك از بررسيهاي زير ،علت مناسب بودن يا مناسب نبودن نمونهها را بيان كنيد. • موضوع :رضايت مشتريان از محصوالت يك كارخانه. نمونه :خانوادة كارگران كار خانه. • موضوع :مطالعۀ تعداد فرزندان هر خانواده در شهر . نمونه :ساكنين يكي از مناطق یک شهرکه به گونة تصادفی انتخاب شده باشند. -2نام تمام همصنفيهاي خود را روی كاغذ های كوچك نوشته و سپس به اساس قرعه 5 نفر را انتخاب كنيد .آيا اين يک نمونة تصادفي است؟ چرا؟
192
متحول تصادفی و انواع آن زلمی به بازار رفت و از دیدن رنگهای مختلف میوهها شادمان شد .چند عدد کیله چند عدد بادرنگ و 2کیلو گرام انگور خرید .طرز خریدن این میوهها چه تفاوتی با هم دارند؟
فعالیت • یک موضوع مورد بررسی را نام ببرید که اطالعات پیرامون آن را میتوانیم با اندازه گیری بهدست آوریم. • یک موضوع مورد بررسی را نام ببرید که برای پاسخ دادن به آن بتوان شمارش کرد. • پاسخهای دو موضوع باالچه تفاوتی با هم دارند؟ • یک موضوع مورد بررسی را نام ببرید که پاسخ های آن را نمیتوانیم با عدد بیان کنیم. • در هر یک از موارد باال یک جامعه را بررسی و معرفی کنید. • در مثال های باال آیا اطالعات در مورد موضوعی را می توان قبل از جمعآوری اطالعات در مورد هر یک از اعضای جامعه پیشبینی کرد؟ اگر اطالعات جمع آوری شده از موضوع مورد مطالعه از یک عضو جامعه به عضو دیگر قابل پیشبینی نباشد ،موضوع را متحول تصادفی می نامیم. برخی از اطالعات را با عدد می توان بیان نمود. این دسته از متحول ها را به نام متحول کمی یا عددی مینامیم؛ هرگاه در متحول ک ّمی نتوانیم بین دو واحد پشت سر هم عددی پیدا کنیم ،آن را متحول کمی مجزا می نامیم. اگر بین دو واحد پشت سر هم بتوانیم عددی را پیدا نماییم ،آن متحول را متحول کمی پیوسته می نامیم. در صورتی که اطالعات را توصیف و بدون عدد بیان کنیم ،متحول را متحول کیفی یا توصیفی می نامیم.
193
مطالب باال را میتوان به شکل زیر نشان داد:
متحول تصادفی کمی پیوسته
کیفی منفصل
مثال: سه متحول تصادفی را نام بگیرید که بتوان با شمارش ،سه متحول تصادفی را نام ببرید که بتوان با اندازه گیری و سه متحول تصادفی را نام ببرید که بتوان با توصیف در مورد آن ها سخن گفت. ک ّمی پیوسته
ک ّمی مجزا
طول قد شاگردان
تعداد اعضای خانوادۀ تان تعداد صنفهای مکتب
کیفی
رنگ چشم شاگردان
درجة حرارت شهر شما میزان سواد کارگران
تعداد موترهایی که از یک سرک میگذرند وزن گوسفندان
موسیقی مورد عالقۀ مردم
تمرین -1متحول های تصادفییی را نام ببرید که مربوط به سه نوع شکل ماده :مایع ،جامد و گاز باشند. -2آیا درجۀ حرارت والیت کابل در روزهای ماه جدی متحول های تصادفی می باشد؟ چرا؟ نوع آن را تعیین کنید. -3آیا تعداد موترهایی که از پیشروی شما در ساعت هشت صبح می گذرد متحول تصادفی است؟ چرا؟ نوع آن را تعیین کنید. -4کدام یک از متحول های زیر مجزا ،پیوسته و کدام یک آن ها کیفی اند؟ • تعداد مکالمات تیلفونی یک اداره در یک روز. • زمان مکالمات تیلفونی یک اداره. • جنسیت شرکت کننده گان در یک مهمانی. • تعداد نامههای یک صندوق. • وضع سواد مردم یک والیت. • وزن نامههای موجود در یک صندوق. • تعداد بیماران مراجعه کننده به یک شفاخانه در طول روز. • میزان تحصیالت اهالی یک شهر (بکلوریا ،لیسانس ،ماستر ،دکتور). • حالت متأهل بودن کارمندان یک اداره.
194
جدول کثرت()Frequency Table در کلمۀ معلم چند مرتبه حرف "م" تکرار شده است؟
ﻣـﻌـﻠـﻢ
فعالیت رنگ مورد عالقۀ 30نفر از شاگردان مکتب شما را که همة به گونة تصادفی انتخاب شده بودند پرسیدیم .جواب آنها قرار زیر است:
سبز سرخ زرد
آبی زرد سرخ
زرد سبز زرد
سرخ آبی آبی
سبز آبی آبی
سفید سبز سبز
آبی زرد آبی
سبز زرد سرخ سرخ سفید آبی سرخ زرد زرد
• آیا با یک نگاه سریع میتوانید بگویید کدام رنگ بیشتر از همه یا کمتر از همه رنگها مورد عالقه واقع شده است؟ • با شمارش بگویید ،تعداد افرادی که هر رنگ را انتخاب کرده اند چند است؟ جواب را در جاهای خالی بنویسید. • جمع اعداد ستون راست چند است؟ این عدد چه چیزی را نشان می دهد؟ • اکنون با نگاه کردن به رنگها ،آیا میتوانید سریعتر به سؤال اول جواب دهید؟ • اگر ترتیب نوشتن رنگها را عوض کنیم ،آیا جواب شما عوض می شود؟
ﺗﻌﺪﺍﺩ ﺭﻧﮓ ﺁﺑﻰ
ﺯﺭﺩ ﺳﺒﺰ
ﺳﻔﻴﺪ
ﺳﻴﺎﻩ
ﺳﺮﺥ
در یک بررسی ،داتاهای جمعآوری شده را که روی آن هیچ عملی انجام نشده باشد داتای خام می نامند .در هر بررسی با منظم کردن داتاها جدولی تشکیل نموده که آن را جدول کثرت می نامیم ،در فعالیت فوق ستون چپ این جدول نشاندهندة داتا ها و ستون راست این جدول نشاندهندة کثرت هر یک از این داتا ها می باشد .برخی اوقات جدول را به شکل سطری ترتیب نموده و تعداد دفعاتی را که یک داتا تکرار شده است کثرت آن داتا می نامیم.
195
مجموع کثرت داتاها در یک نمونه برابر با کل داتا ها یا تعداد اعضای نمونه میباشد؛ اگر f1کثرت دیتای اول f 2 ،کثرت داتای دوم f n ...،کثرت داتای -nام و تعداد ُکل داتاها مساوی به nباشد؛ پس: n = f1 + f 2 + ... + f n توجه :اطالعات اولیة جمعآوري شده را دایتا ( )Dataمي گويند. مثال: یک شهر را به عنوان جامعه و چهل خانوادة از این شهر را به عنوان نمونه انتخاب کرده؛ سپس از این خانوادهها تعداد اعضای شان را میپرسیم و داتا های زیر را به دست میآوریم:
3 6 7 3
4 2 3 3
1 4 4 2
2 4 2 4
5 3 5 5
2 3 1 4
3 4 2 3
5 1 4 6
1 5 1 8
2 3 6 7
برای به دست آوردن معلومات بهتر ،داتا های باال را به صورت منظم در جدول زیر خالصه میکنیم .در این جدول سطر اول نوع خانواده از نظر جمعیت و سطر دوم تعداد خانواده ها را نشان می دهد: مجموع
40
8 1
7 2
6 3
4 8
5
5
3 9
2 7
1تعداد اعضای هر خانواده تعداد خانوادهها
5
جدول باالنشان میدهد که پنج خانواده 1نفر عضو و 8خانواده 4نفر عضو دارند و در بین خانواده ها فقط یک خانواده دارای 8عضو است.
تمرین
40
8 1
7 2
6 3
5 6
4 8
3 9
2 7
1 4
-1از 20نفر دوستان ،فامیل یا همسایهگان خود بپرسید که به کدام یک از ورزش ها (فتبال ،والیبال ،باسکتبال و دوش) عالقه دارند .پاسخ ها را در یک جدول کثرت خالصه کنید .کدام ورزش بیشتر از دیگر ورزش ها مورد عالقه است؟ -2جدول مقابل اوسط حرارت شهر های مختلف را در ماه حمل بر حسب درجۀ سانتی گرید نشان میدهد. • کدام شهر در این ماه از همه سردتر است؟ • کدام شهر در این ماه از همه گرمتر است؟
نام شهر
اوسط درجۀ حرارت
بلخ
20
بامیان
10
کندز
24
جالل آباد
25
196
گراف تصویری اگر در ابتدای یک سرک عالمت
ببینید ،چه پیامی به ذهن تان می رسد؟
را
فعالیت انسانهای اولیه خواندن و نوشتن را نمیدانستند؛ اگر شما به جای انسانهای اولیه میبودید برای بیان تعداد گوسفندان خود چه میکردید؟ • اگر یک گوسفند میداشتید؟ • اگر پنج گوسفند میداشتید؟ • اگر صد گوسفند میداشتید؟ از فعالیت باال فهمیده می شود که برای دانستن اطالعات می توانیم از سمبول ها و اشکال استفاده کنیم ،این روش ارائه توسط تصویر را به نام گراف تصویری یاد می کنند .در صورتی که کثرت (فریکونسی) دادهها زیاد باشد ،از مقیاس استفاده می کنیم. مثال :یک هنرمند یک تعداد مجسمه را در مدت زمان شش ماه (حمل ،ثور ،جوزا ،سرطان، اسد و سنبله) می سازد و آن ها را در یک قفسة کارگاه خود ،قرار شکل زیر جا به جا می کند:
=2
197
ﺣﻤﻞ
ﺛﻮﺭ
ﺟﻮﺯﺍ
ﺳﺮﻃﺎﻥ
ﺍﺳﺪ
ﺳﻨﺒﻠﻪ
• در کدام ماه تعداد بیشتر مجسمه ساخته شده اند؟ چند تا؟ • در کدام ماه تعداد کمتر مجسمه ساخته شده اند؟ چند تا؟ حل :مقیاس «دو» است ،پس هر عالمت دو مجسمه را نشان میدهد ،بیشترین مجسمه در ماه سرطان ساخته شده اند؛ زیرا 6 × 2 = 12میشود و کمترین مجسمه در ماه جوزا و اسد ساخته شده اند؛ زیرا 3 × 2 = 6است .گراف نشان میدهد که در ماههای جوزا و اسد به تعداد برابر مجسمه ساخته شده اند. ﻣﺬﻫﺒﻰ ﻣﺬﻫﺒﻰ ﻣﺬﻫﺒﻰ
ﺩﺍﺳﺘﺎﻧﻰ
ﺩﺍﺳﺘﺎﻧﻰ
ﺩﺍﺳﺘﺎﻧﻰ
ﺩﺭﺳﻰ تمرین
ﺩﺭﺳﻰ
ﺩﺭﺳﻰ
-1خالد تعدادی از کتاب هاي خود را با گراف تصویری زیر نشان داده است.
نوع کتابها
•خالد از هر نوع کتاب چند تا دارد ؟ •از کدام نوع کتاب بیشتر دارد ؟
ﺭﻭﺯﻫﺎﻯ ﻫﻔﺘﻪ
ﻫﺎﻯ ﻫﻔﺘﻪ ﭼﻬﺎﺭﺷﻨﺒﻪ
ﭼﻬﺎﺭﺷﻨﺒﻪ
ﺳﻪ ﺷﻨﺒﻪ
ﺩﻭﺷﻨﺒﻪ
ﻳﻚ ﺷﻨﺒﻪ
ﻣﺬﻫﺒﻰ
ﺩﺍﺳﺘﺎﻧﻰ
ﺩﺭﺳﻰ
ﻣﺬﻫﺒﻰ
ﺩﺍﺳﺘﺎﻧﻰ
ﺩﺭﺳﻰ
ﺷﻨﺒﻪ
ﺷﻨﺒﻪ در روزهای مختلف نشان میدهد. ﺷﻨﺒﻪخالد را مطالعۀ گراف میزان ﻳﻚ ﺷﻨﺒﻪ زیرﺩﻭﺷﻨﺒﻪ -2ﺳﻪ ﭼﻬﺎﺭﺷﻨﺒﻪ ﺳﻪ ﺷﻨﺒﻪ
ﺩﻭﺷﻨﺒﻪ
ﻳﻚ ﺷﻨﺒﻪ
ﺷﻨﺒﻪ ﺭﻭﺯﻫﺎﻯ ﻫﻔﺘﻪ
ﭼﻬﺎﺭﺷﻨﺒﻪ
ﺳﻪ ﺷﻨﺒﻪ
ﺩﻭﺷﻨﺒﻪ
ﻳﻚ ﺷﻨﺒﻪ
ﺷﻨﺒﻪ
3ساعت = نشاندهندة چیست؟ نشاندهندة چیست؟ • • خالد در هر روز چند ساعت مطالعه کرده است ؟ ﺭﻭﺯﻫﺎﻯ ﻫﻔﺘﻪ
ﭼﻬﺎﺭﺷﻨﺒﻪ
ﺳﻪ ﺷﻨﺒﻪ
ﺩﻭﺷﻨﺒﻪ
ﻳﻚ ﺷﻨﺒﻪ
ﺷﻨﺒﻪ
198
ُمـــد() Mode فابریکه های تولید لباس ،از بعضی رنگها بیشتر استفاده میکنند .فکر می کنید چرا؟
فعالیت در یک والیت که حدود دوصدوپنجاه هزار جمعیت دارد سه نفر می خواهند ،برای عضویت در شورای ملی خود را کاندید نمایند ،کسی که بیشترین رأی را کسب نماید عضو مجلس شورای ملی می گردد .در رأى گیری 150000نفر شرکت کردند. شما می خواهید بدانید که کدام یک از این کاندید ها عضویت شورای ملی را حاصل نموده است. 30فیصد آراء را از خود میکند. کاندید اول 50فیصد آراء را از خود میکند. کاندید دوم 20فیصد آراء را از خود میکند. کاندید سوم • جدول کثرت برای تعداد رأی هر کاندیدا را تشکیل دهید. • بیشترین تعداد رأی را چه کسی گرفته است؟ چند رأی گرفته است؟ • چه کسی وارد شورای ملی میشود؟ • آیا تفاوت رأی بین رایهای دو کاندید دیگر ،در انتخابات اثرگذار است؟ در فعالیت باال دیدیم که میتوان داتایی را یافت که بیشترین فریکونسی را دارد ،داتایی که بیشترین کثرت داشته باشد Modeمینامیم .مد در بسیاری از موضوعات کاربرد دارد؛ مانند: رأی گیری ها ،فروش کاال ها و غیره. مثال اول :نمرات مضمون ریاضی یک شاگرد صنف هفتم در طول شش سال گذشته برابر است با: 91
199
,
81.5
,
70
,
81
,
, 91
71
مد نمرات شاگرد را حساب كنيد. مد نمرات شاگرد عدد 91است؛ زیرا بیشتر از بقیة داتا ها آمده است. توجه :ممکن است یک مجموعه از اطالعات داده شدة یک یا بیشتر از یک مُد داشته باشد و یا هم هیچ مُد نداشته باشد. مثال دوم :اطالعات داده شدة 1 , 1 , 2 , 3 , 4 , 2 , 5 , 7, 5 , 5 داراي سه مد 1، 2و 5است همچنان اطالعات داده شدة 2 ,4 , 3 , 5 , 7 هیچ مد ندارد.
تمرین -1مد اطالعات داده شدۀ زیر را در یافت کنید. • 2 , 2 , 5 , 7 , 9 , 9 , 10 , 10 , 11 , 12 , 18 • 3 , 5 , 8 , 10 , 2 , 15 , 16 • 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 5 , 7, 7, 7 -2مُد را در ست های زیر دریافت کنید.
}A = {17, 19, 19, 19, 21 } B = {1, 4, 10, 61
ﺩﺭﻯ
ﭘﺸﺘﻮ
ﺗﻌﻠﻴﻤﺎﺕC = {0 , 9 , 8 , }5 , 9 , 10, 8 ﺍﻧﮕﻠﻴﺴﻰ
ﻋﺮﺑﻰ
ﺍﺳﻼﻡ
ﺍﺟﺘﻤﺎﻋﺎﺕ ﺗﺮﺑﻴﺖ ﺑﺪﻧﻰ
دریافت78کنید. است .مد 77آن را شده -3نمرات ساالنۀ يك شاگرد در زیر داده 81 84 68 90 دری
پشتو انگلیسی عربی تعلیمات اسالمی
اجتماعیات
تربیت بدنی
هنر
ساینس
95
ﻫﻨﺮ
ﺳﺎﻳﻨﺲ
ﺭﻳﺎﺿﻰ
80
82
97
ریاضی
97 82 80 95 81 78 84 77 68 90 -4در یک مغازۀ لباس ،پنج نوع لباس به رنگ های سرخ ،سبز ،سیاه ،سفید و آبی موجود است .از لباس سرخ ، 9از لباس سبز ، 14از لباس سیاه ،12از لباس سفید 8و از لباس آبی 19دست به فروش رسیده است؛ بیش ترین لباس هایی که به فروش رسیده اند را تعیین کنید. -5در گراف زیر محل تقریبی مد را مشخص کنید.
200
اوسط()Mean اوسط نمرات یک شاگرد 78است و اوسط نمرات شاگرد دیگر 82آیا ﺍﻧﮕﻠﻴﺴﻰ ﭘﺸﺘﻮ ﺩﺭﻯ می توان گفت که شاگرد دوم در تمام 77 بهتر است؟68 مضامین از شاگرد اول90
ﻋﺮﺑﻰ
ﺗﻌﻠﻴﻤﺎﺕ ﺍﺳﻼﻡ
ﺍﺟﺘﻤﺎﻋﺎﺕ ﺗﺮﺑﻴﺖ ﺑﺪﻧﻰ
37 +8145 +7829 84 ?= 3
95
فعالیت پرویز چهار روز متوالی کتاب خواند؛ روز اول 12صفحه ،روز دوم 14صفحه ،روز سوم 13 صفحه و روز چهارم 11صفحه؛ این اطالعات با گراف زیر نشان داده شده است.
چهارم روز ﺳﻪ ﺷﻨﺒﻪ
روز سوم ﺩﻭﺷﻨﺒﻪ
روز دوم ﻳﻜﺸﻨﺒﻪ
اول روز ﺷﻨﺒﻪ
• پرویز چند صفحه خوانده است؟ • مربع های روی میله ها را طوری جابه جا کنید که هر چهار میله طول یکسان داشته باشند، شکل آن را رسم کنید. • طول میله ها پس از برابری ،مساوی به چند واحد است؟ • مجموع طول میله های برابر چقدر است؟ آیا این مجموع تفاوتی با مجموع صفحات خوانده شده دارد؟ • چطور می توانیم طول میله های برابر را با داشتن تعداد کل صفحات و تعداد روزها پیدا کنیم؟ • آیا پرویز می تواند بگوید که به طور اوسط هر روز چند صفحة کتاب را خوانده است؟ از فعالیت باال معلوم شد که اوسط چند عدد را میتوانیم با تقسیم حاصل جمع اعداد بر تعداد عدد ها پیدا کنیم .اگر به تعداد nديتا داشته باشیم و آنها را با ....x nو x 2و x1نشان دهیم و اوسط را به Xداریم:
201
x1 + x 2 + ..... + x n n
=X
ﻫﻨﺮ
80
مثال :نمره های نازو و زرغونه در پایان سال گذشته در مضمونهای مختلف به صورت زیر است:
مضمون
زرغونه: نازو:
ریاضی
ساینس
دری
پشتو
عربی
تعلیمات اسالمی
هنرها
تربیت بدنی
انگلیسی
علوم اجتماعی
78 86
78 89
85 85
87 88
79 91
90 79
70 89
85 90
91 73
86 92
بادیدن نمرات ،آیا می توانید بگویید کدام شاگرد ،بیشتر درس خوانده است؟ باپید اکردن اوسط نمرات ابراز نظر کنید. اگر مکتب به زرغونه دوباره فرصت دهد تا اوسط خود را بهتربسازد ،فکر می کنید که کدام مضمون را باید دوباره امتحان دهد؟ برای آن که اوسط نمرات زرغونه به 85برسد ،در مضمون هنرها چه نمره یی باید بگیرد؟ آیا امکان دارد که اوسط او به 90برسد؟ حل: 829 86 + 91 + 85 + 70 + 90 + 79 + 87 + 85 + 78 + 78 831 = ==83.1 اوسط نمرات زرغونه 82.9 10 10 10 92 + 73 + 90 + 89 + 79 + 91 + 88 + 85 + 89 + 86 862 = == 86.2 اوسط نمرات نازو 86.2 10 10
نمره ی��ی را ک��ه زرغون��ه در امتح��ان مج��دد در مضمون هنره��ا باید به دس��ت آورد چنین پیدا میکنیم. 86 + 91 + 85 + + 90 + 79 + 87 + 85 + 78 + 78 = 85
10 + 759 = 85 · 10 = 850 = 850 - 759 = 91
پ��س برای آن که اوس��ط نم��رات زرغونه 85ش��ود ،او باید نم��رۀ 91را در مضمون هنرها به دست آورد. برای آن که اوسط نمرات زرغونه 90شود ،چنین عمل می کنیم. = 90
+ 90 + 79 + 87 + 85 + 78 + 78
86 + 91 + 85 +
10 + 759 = 90 × 10 = 900 = 900 − - 759 = 141
کسب چنین نمره یی امکان ندارد؛ پس اوسط نمرات زرغونه با یک امتحان دیگر در مضمون هنرها هیچگاه 90نمی شود.
202
تمرین -1محصوالت پنبۀ سه مزرعه در پنج سال گذشته به صورت زیر بوده است( .عددها برحسب ت ُن است).
مزرعۀ اول: مزرعۀ دوم: مزرعۀ سوم:
8 13 10
13 18 8
20 7 11
12 11 18
15 17 9
• اوسط محصول پنبۀ هر مزرعه را در پنج سال گذشته پیدا کنید. کدام مزرعه به طور متوسط تولید بیشتری داشته است؟ -2درآمد ماهانۀ 6نفر از اعضای یک خانواده قرار زیر است: 5000افغانی 10000 ،افغانی 8000 ،افغانی 5000 ،افغانی 15000 ،افغاني و 3500افغانی • مجموعة درآمد این خانواده را پیدا کنید. • اوسط درآمد ماهوار این خانواده را پیدا کنید. -3سن بازیکنان تیم ملی فوتبال به شرح زیر است: 22 21
23 31
18 33
31 25
19 25
29 29
26 23
26 27
24 26 25
27 25 26
• اوسط سن بازیکنان تیم را به دست آورید. • تعداد بازیکنانی که سن آنها باالتر از اوسط .و همچنان تعداد بازیکنانی که سن آنها کمتر از اوسط است را تعیین کنید. -4اوسط 9عدد a،8،7،3،9،5،8،3و 4برابر 5.5است؛ aرا پیدا کنید.
203
-5نمرات امتحان ساالنۀ احمد و حامد در جدول زير داده شده اند: ﻣﻀﻤﻮﻥ
ﺭﻳﺎﺿﻰ
ﺳﺎﻳﻨﺲ
ﻋﺮﺑﻰ
ﺍﻧﮕﻠﻴﺴﻰ
ﺩﺭﻯ
ﭘﺸﺘﻮ
ﻋﻠﻮﻡ ﺍﺟﺘﻤﺎﻋﻰ
ﺗﺮﺑﻴﺖ ﺑﺪﻧﻰ ﻫﻨﺮ ﻫﺎ
ﺗﻌﻠﻴﻤﺎﺕ ﺍﺳﻼﻣﻰ
ﺍﺣﻤﺪ
73
71
76
86
93
75
82
85
62
92
ﺣﺎﻣﺪ
85
65
76
82
94
78
66
93
91
82
• اوسط نمرات هر كدام را حساب كنيد. • با مقايسۀ اوسط نمرات آنها بگوييد كه :كدام يك بيشتر نمره گرفته است؟
204
خالصه فصل هفتم • اطالعات جمعآوری شده را ديتا میگويند.
-روشهای جمعآوری اطالعات عبارت اند از:
-پرسش (شفاهی یا کتبی) مشاهده ،انجام آزمایش و استفاده از اطالعات ثبت شده.
• جامعۀ احصائیهیی یا به طور خالصه جامعه ،مجموعه یی از افراد و اشیايی است که در بارة اعضای آن اطالعات مورد نیاز را دریافت میکنیم.
• بخشی از جامعه را نمونه می گویند.
-تعداد اعضای جامعه اندازۀ جامعه و تعداد اعضای نمونه را اندازة نمونة مینامند.
• برای شناخت جامعه ،نمونه يي را كه از آن جامعه انتخاب می کنیم ،باید نمونة تصادفی
باشد ،شرطهای انتخاب نمونه قرار زیر اند:
-انتخاب هر فرد به عنوان عضوی از نمونه امکان پذیر باشد.
-پيش از انتخاب يك نمونه بايد نتوانيم دربارة مشخصات آن قضاوت كنيم.
• اطالعات جمعآوری شده در بارة یک موضوع را متحولهای تصادفی میگويند. • متحول هاي تصادفي دو نوع اند:
-ك ّمي يا عددي كه قابل اندازه گيري اند.
-كيفي يا غير عددي كه قابل اندازهگيري نمی باشند.
• متحولهاي ك ّمي دو نوع اند:
-پيوسته ،كه بين هر دو مقدار آن میتوان مقدار ديگر را دريافت كرد.
-مجزا ،كه پيوسته نباشد.
• اگر x1, x2, ... , xnتعداد ديتای یک موضوع باشند ،تعداد دفعاتی که یک ديتا تکرار میشود به نام کثرت آن ديتا ياد میشود و معموالً آن را به f1 , f2 , ... , fnنشان می دهند. • گاهی برای دانستن اطالعات داده شده از سمبولها و اشکال استفاده می کنند که این ارائه توسط تصوير را به نام گراف تصویري ياد می کنند.
• مُد ديتايى است که بیشترین کثرت را داشته باشد.
• اوسط ديتا را میتوان از تقسیم حاصل جمع ديتا بر تعداد ديتا به دست آورد.
205
تمرین فصل هفتم -1موضوعات زیر را در نظر گرفته و دربارۀ بهترین روش جمعآوری دادهها برای آزمایش این فرضیهها تصمیم بگیرید.
بیشتر مردم فکر میکنند حد اکثر سرعت در دستگاه ها باید معین باشد. -در زمان مطالعه گوش دادن به موسیقی به یاد گیری کمک میکند.
-رژیم گرفتن موجب کاهش هوش میشود.
-2اگر گفته شود که تعداد فرزندان خانوادهها در سالهای قبل به طور اوسط 7نفر بوده و اکنون 5نفر است و از شما خواسته شود که یک نمونه 100تایی را در نظر گرفته و درستی این موضوع را بررسی کنید ،در این مطالعه ،جامعه و نمونه را واضح سازيد.
-3یک موضوع بررسی و جامعه یی را نام بگیرید که صنف شما نمونة آن باشد. -4یک موضوع بررسی و نمونه یی از جمعیت افغانستان را نام بگیرید. -5جاهای خالی را پرکنید.
-اگر تمام افراد جامعه را مورد مطالعه قرار دهیم ،می گوییم ..........کرده ایم.
-نمونه مجموعة ............از جامعه است.
-تعداد اعضای جامعه را .............جامعه می گويند.
-تعداد اعضای نمونه را ..................نمونه می گویند.
-6متحول های تصادفی چند نوع اند؟
-7چهار نوع متحول تصادفی را نام ببرید و نوع هر یک را از نظر ک ّمی و کیفی بودن تعیين کنید.
-8چهار نوع متحول ک ّمی را نام ببرید که دو تای آن ها پیوسته و دو تای آن ها مجزا باشند.
-9شش نوع متحول تصادفي را نام ببرید که سه تای آن ها قابل اندازه گیری و سه تای دیگر آنها قابل اندازه گیری نباشند.
-10در جملۀ «من متعلم صنف هفتم استم»
بیشترین کثرت را کدام حرف دارد؟ تعداد آن را معین کنيد.
206
-11طول قد یک گروه ده نفری برحسب سانتی متر قرار زیر داده شده است: 175
156
170
151
177
177 156
156 170
159151
152 177
175
156
159
152
177
177
177را بنویسید. کثرت عدد 177و عدد 159 40 -12خانواده را از یک شهر به عنوان نمونه انتخاب کرده و آنها را به سه دسته مانند جدول تقسیم کنید.
ﺟﻤﻊ ﺟﻤﻊ 40 40
ﺑﺎ ﺟﻤﻌﻴﺖ ﭘﺮﺟﻤﻌﻴﺖ ﺑﺎ ﺟﻤﻌﻴﺖ ﻣﺘﻮﺳﻂﻛﻢ ﺟﻤﻌﻴﺖ ﻧﻮﻉ ﺧﺎﻧﻮﺍﺩﻩ ﭘﺮﺟﻤﻌﻴﺖ ﻣﺘﻮﺳﻂ
ﻛﻢ ﺟﻤﻌﻴﺖ ﻧﻮﻉ ﺧﺎﻧﻮﺍﺩﻩ
12 12
2020
ﺗﻌﺪﺍﺩ ﺧﺎﻧﻮﺍﺩﻩ 8ﺗﻌﺪﺍﺩ ﺧﺎﻧﻮﺍﺩﻩ
8
اعداد 12 ، 8و 20را به نام چه یاد می کنند؟ -13در باغ وحش پنج نوع ماهی قرار جدول زیر نگهداری میشوند.
ﻣﻴﺪﺍﻥﻭﺭﺩﻙ ﻣﻴﺪﺍﻥ ﻏﺰﻧﻰ ﻏﺰﻧﻰ 500000 ﻭﺭﺩﻙ 200000 500000 200000 ﭘﻨﺠﻢ ﻧﻮﻉ ﭼﻬﺎﺭﻡ ﻧﻮﻉ ﺍﻭﻝ ﻧﻮﻉ ﺩﻭﻡ ﻧﻮﻉ 400000ﻧﻮﻉ ﺳﻮﻡ ﻟﻮﮔﺮ ﭘﺮﻭﺍﻥ 350000 ﻟﻮﮔﺮ ﭘﺮﻭﺍﻥ 350000 400000 ﻛﺎﭘﻴﺴﺎ ﻟﻐﻤﺎﻥ 450000 250000 ﻛﺎﭘﻴﺴﺎ ﻟﻐﻤﺎﻥ 70 120 100 450000110 25000080
ﺳﻮﻡ ﻧﻮﻉ ﭼﻬﺎﺭﻡ ﻧﻮﻉ ﭘﻨﺠﻢ باشد ،ﺍﻭﻝ اگر نشاندهندة 10ماهی ﻧﻮﻉ ﻧﻮﻉکنید. ﻧﻮﻉهاﺩﻭﻡرا رسم گراف آن
-14مد ديتاي زیر را حساب کنید. , 15 137 , 4 155 , 0 , 13912 , 150 15 ,155 6 , 50 شود؟ 130حاصل می 135چه تأثيری160در مقدار مد 141برابر کنیم، -15اگر دیتا های باال را دو 132 100
158
144
80
120
150
142
دهد. متر نشان می146 حسب سانتی138 شاگرد را بر 140 -16ديتای زیر ،قد 141 20
70
151 156
155
150
139
155
137
141 158 141
135 144 140
160 142 138
130 150 146
132 151 156
-اوسط قد شاگردان يک صنف را حساب کنید.
207
110
5
اگر در هر ديتا عدد 2را ضرب کنیم ،چه تغییری در اوسط وارد میشود؟ -اگر از هر یک ديتا 10تا کم شود ،چه تغییری در دیتا وارد می شود؟
-17اگر تعداد ديتا 20و اوسط ديتا 8.5باشد ،مجموع ديتا را حساب کنید.
-18نمرات چهارونيم ماهة 5شاگرد صنف ششم در جدول زير داده شده است ،بگوييد كه اوسط نمرات كدام شاگرد بيشتر است. ﻣﻀﻤﻮﻥ
ﺭﻳﺎﺿﻰ
ﺳﺎﻳﻨﺲ
ﻋﺮﺑﻰ
ﺍﻧﮕﻠﻴﺴﻰ
ﭘﺸﺘﻮ
ﺩﺭﻯ
ﺗﻌﻠﻴﻤﺎﺕ ﺍﺳﻼﻣﻰ
ﻫﻨﺮ ﻫﺎ
ﻋﻠﻮﻡ ﺗﺮﺑﻴﺖ ﺑﺪﻧﻰ ﺍﺟﺘﻤﺎﻋﻰ
ﻣﺤﻤﻮﺩ
24
35
20
25
27
22
36
34
30
40
ﺍﺣﻤﺪ
22
26
28
30
35
40
37
32
38
33
ﻣﻨﺼﻮﺭ
40
38
32
30
33
35
33
40
39
ﺧﺎﻟﺪ
40
30
20
35
38
34
22
27
30
ﭘﮋﻭﺍﻙ
35
38
39
40
35
26
28
40
35
208
فصل هشتم احتماالت
احتمال به ما کمک می کند که از طریق پیش بینی حوادث ،برای آیندة ما برنامه ریزی کنیم.
چـانس آيا فردا هم چانس باريدن باران وجود دارد؟ تصوير از ابر و باران
فعالیت چانس وقوع رویدادهای زیر را بر اساس تجارب روزانه ،با يكي از عبارتهاي "حتمي
است"" ،ممكن است" و "ناممكن است"جواب دهيد ،جواب تان را در خانههاي خالي مقابل رویدادهای داده شدۀ زير بنويسيد.
• هر همصنفي ما ،روزانه يك گيالس شير مينوشد. • فيل پرواز ميكند.
• بازي با توپ فوتبال باالي بام خانه خطر ندارد. • آفتاب از شرق طلوع ميكند.
• نتیجة باال انداختن سکه رو يا پشت(شير يا خط) سكه است . 2
• اگر سكه را باال بيندازيم ،دو باره پايين نميآيد .
(
)
(
• چانس به روی آمدن سكه برابر به 1است.
(
)
(
(
( (
• به جاي كلماتیکه براي پاسخها به كار برديدكلمات مناسب ديگري بنويسيد.
حتمي (
)
(
)
ناممكن (
)
(
)
ممكن (
211
)
(
)
) )
)
) )
از فعاليت صفحة قبل نتيجة زير به دست مي آيد: نتيجه :يك حادثه را ميتوان با سه درجۀ «حتمي»« ،ممكن» و «ناممكن» ويا با كلمات معادل آنها؛ مانند :صد فيصد ،شايد و هيچ ،ارزيابي کرد و با كاربرد كلمة «چانس» آن را پيش بيني نمود. مثال :كلمات حتمي ،ممكن ،ناممكن ،شايد ،صد فيصد ،و صفر فيصد را مقابل جمله هاي زير در جاهای خالی مناسب بنويسيد: (حتمی ،صد فيصد) )aزمستان پس از خزان می آید. (ناممكن ،صفر فيصد) )bآفتاب در شمال غروب ميكند. (ممكن ،شايد) )cمرغ همسايه يك لنگ دارد. (ناممكن ،صفر فيصد) )dاز آسمان صاف همیشه ژاله مي بارد. (ممكن ،شايد) )eاطفال شيریني را دوست ندارند. )fیک توپ که به هوا پرتاپ شده باشد ،به زمین بر می گردد( .حتمی ،صد فيصد)
تمرین براي كلمات حتمي ،ممكن و ناممکن از زنده گی روزمرة خود هر كدام مثال هایی دريافت کرده و در جا هاي خالي بنویسيد: -1حتمي: )aزمين به دور آفتاب مي چرخد. ....................................................... )b ...................................................... )c -2ممكن: )aممكن است شب به خاطر ديدن پدركالنم بروم. ........................................................ )b ........................................................ )c -3ناممكن: )aشتر پرواز مي كند. ........................................................ )b ........................................................ )c
212
احتمال ()Probability زلميبه همصنفي اش گفت: «امروز بعد از ظهر پيش من بيا تا با هم فوتبال بازي كنيم». هم صنفی اش جواب داد« :ممكن است بيايم».
فعالیت از جريان فعاليتهاي روزمرة خود با درجههاي مختلف امكانات ،با در نظرداشت فيصدي هاي داده شده مثالهایی بگوييدکه در آنها فيصدي احتمال صورت گرفتن واقعه وجود داشته باشد. 95% -1امكان داردکه فردا مكتب بياييم. ( 95فيصد) 0% -2بز پرواز می كند. ( 0فيصد) ................................................................. -3 ( 10فيصد) ................................................................. -4 ( 50فيصد) ................................................................ -5 ( 20فيصد) ................................................................. -6 ( 75فيصد) ................................................................. -7 ( 80فيصد) ................................................................ -8 ( 99فيصد) ................................................................. -9 ( 100فيصد) ............................................................... -10 ( 1فيصد) سؤال: َ مثالي راکه در فعاليت باال براي شمارة 5آورده ايد ،به پهلوفيل خود نشان داده و از او بپرسيد که آيا او هم با شما موافق است که احتمال صورت گرفتن واقعه 20%است. از فعاليت فوق نتيجۀ زیر به دست مي آيد:
213
نتيجه: براي پيش بيني احتمال وقوع يك اتفاق ،يك واقعۀ ناممكن را با 0%و احتمال يك واقعة مطمئن یا امكانپذير قطعي را با 100%يا 1نشان ميدهند. احتمال وقوع واقعههاي ممكن بين اعداد 0و 1واقع مي گردد. مثال :1بازي چرخ طالع بجنگان را طوري در نظر مي گيريمکه قرار شكل ذيل با دوران عقربة ساعتي باالي نواحي رنگه ايستاده مي شود. فيصدي احتمال واقعات زير را طوري دريافت كنيدکه عقربه بعد از دوران باالي رنگهاي زير ايستاده شود.
-1احتمال اينکه باالي رنگ نارنجي ايستاده شود 50% ،ميباشد؛ زيرا:
1 50 = (نسبت مساحت رنگ نارنجي نظر به مساحت كل دايره) = 50% 2 100
-2احتمال اينکه باالي رنگ سرخ ايستاده شود ( )25%ميباشد؛ زيرا:
1 25 = (نسبت مساحت رنگ سرخ نظر به مساحت كل دايره) = 25% 4 100
-3احتمال اينکه باالي رنگ سياه ایستاده شود )0%( ،ميباشد؛ زيرا:
0 =0 (نسبت مساحت رنگ سياه در دايره وجود ندارد) = 0% 100
تمرین شكل بازي چرخ طالع بجنگان را در نظر گرفته و احتمال رویدادهای زير را دريافت كنيد. -1احتمال اينکه عقربه باالي رنگ آبي يا سبز ايستاده شود. -2احتمال اينکه عقربه باالي رنگ زرد ايستاده شود. -3احتمالهاي كدام رنگها با هم برابر اند؟ -4احتمال كدام رنگ دو چند احتمال رنگ ديگر است؟ قيمتهاي آن را دريافت كنيد. -5احتمال آمدن یکی از رنگها چند است؟
214
تجربه كردن يك اتفاق برای آغاز مسابقۀ واليبال از طرف راست میدان ،داور يك سكه را میان دو تيم به هوا مي اندازد. مي توانيد بگوييد که کدام یک از دو تيم والیبال اولين سرويس را از سمت راست انجام خواهد داد ؟
فعالیت يك سكه را چندين بار به هوا انداخته ،نتايج به ُرخ يا به پشت آمدن آن را درجدول زير نوشته و احتمال واقعه را محاسبه كنيد(.رخ= خط ،پشت = شیر) احتمال
تعداد آمدن رخ
تعداد دفعات پرتاب سكه
مسؤول انجام تجربه
شماره
3 8
3
8بار
محمود
1
215
15بار
2
20بار
3
25بار
4
40بار
5
20بار
6
30بار
7
از فعاليت باال مي توانيم دو نتيجة زير را بگیریم: نتيجه: -1بیان چانس وقوع یک حادثه توسط اعداد به نام «احتمال» یاد میشود. -2در فعاليت باال ديده شدکه نتايج تجارب براي افراد مختلف متفاوت مي باشند. مثال :نتايج مسابقات تيمهاي ورزشي افغانستان در پنج سال اخير نشان مي دهد،که تيم تكواندوي دختران در مسابقات منطقه یي برنده نبوده اند؛ براي پيش بيني نتيجه در مسابقات منطقه یي امسال ،به جملههاي زير با كلمات صحيح و يا غلط جواب دهيد: -1بر اساس نتایج سال های گذشته احتمال برنده شدن تیم دختران در مسابقات امسال چقدر است؟ جواب :چون تیم دختران در هیچ یک از 5سال گذشته برنده نبوده است ،احتمال برنده شدن 0 امسال برابر است با= 0 : 5 ولی چون در بیان احتمال ،یک پیشبینی انجام می شود ،این پیش بینی ممکن است صحیح نباشد ،یعنی تیم دختران یا تیم پسران امسال امکان برنده شدن را نیز دارند. ) • احتمال دارد تيم ورزشي دختران برنده شود( . ) • احتمال دارد تيم ورزشي پسران برنده شود( .
تمرین -1يك دانه رمل 1را هشت بار انداختیم ،سه بار عدد 1آمد. احتمال اينکه در پرتاب بار نهم شمارة رمل 1بيايد چقدر است؟ -2در يك مكتب حاضري روزانه هر صبح باالي لين گرفته مي شود ،دريافت كنيد احتمال آنکه امروز: )aحاضري باالي لين گرفته شود. )bحاضري باالي لين گرفته نشود.
-1رمل :يك دانة مكعبي استکه داراي شش سطح برابر و در هر سطح شماره ها (خال ها) .....، ¨¨ ، ¨. ، ¨ ، .و ¨¨ را دارا ¨¨ ميباشد.
216
تجربة تصادفي آيا شاگردان صنف اول با سواد استند؟ گفته ميتوانيدکه يك نطاق تلويزيون باسواد یا بی سواد است؟ آيا هر باشندة كوچه ما با سواد است؟
فعالیت • اگر كنار يك سرك پر از ازدحام ترافيك ايستاده باشيد ،از همه اول تر انتظار عبور كدام نوع عراده را خواهيد داشت؟ (الري ،سرويس ،تيزرفتار ،موترسايكل ،بايسكل و يا گادي) آيا گفته ميتوانيدکه: • در يك ساعت چند عدد الري از پيش روي تان خواهد گذشت؟ • چند موتر تيز رفتار از طرف راست به چپ در هر ساعت عبور خواهد كرد؟ • موتر بعدي كدام نوع خواهد بود؟ • فيل هم از پيش روي تان خواهد گذشت؟ • عبور فيل در جاده با حادثة عبور الري در سرك چه فرقی دارد؟ • آيا ميتوانید يك حادثة تصادفی را قبل از وقوع پيش بیني كنید؟ از فعاليت باال نتيجۀ زير را به دست مي آوريم: نتيجه: يك حادثهکه هنوز نتايج آن به صورت قطعي معلوم نشده و به صورت تصادفي اتفاق افتاده است تجربۀ تصادفي ياد مي شود. برای حوادثیکه تصادفي و يا اتفاقي نيستند ،پيش بيني معنا ندارد.
217
مثال :برای انتخاب نمايندة صنف از راه قرعه کشی ،پنج تن از متعلمان عالقهمند (حسن، زلمي ،خيبر ،انور و زمري) نامهاي خود را در ورقههاي كوچك كاغذي نوشته و داخل يك جعبه مياندازند. از میان جعبه يك ورقه راکه روی آن ها نام يكي از نامزدان نوشته شده ،بي طرفانه بر می داريم. اين پروسه جمعاً يك تجربه تصادفي مي باشد. اما اگر پنج نفر نامزد نباشند و تنها يك نفر مث ً ال :خيبر نامزد باشد ،آيا مي توان گفتکه تجربه در اين صورت نيز تصادفي است؟ نخیر؛ زیرا نتیجۀ آن پیش از پیش معلوم است.
تمرین -1آيا انداختن يك سك ه که هر دو طرف آن يكسان است ،ميتواند يك تجربۀ تصادفي باشد؟ اگر نه ،چرا؟ -2انتخاب رئيس جمهور که توسط رأي مستقيم مردم به صورت سري صورت می گیرد مي تواند يك تجربۀ تصادفي باشد؟ -3دو نمونه از تجربۀ تصادفي را از زنده گي روزمرۀ خود بنویسید. ..................................)a ..................................)b -4آيا گرفتن يك گلوله از يك جعبهکه در آن 3گلوله به رنگ سبز قرار دارند ،مي تواند يك تجربۀ تصادفي باشد؟
218
فضاي نتيجه و یا نمونه نتيجه چه خواهد شد؟ شیر یا خط ،کدام یک؟
فعالیت • آيا پرتاب سكه يك تجربۀ تصادفي است؟ • آيا ميتوان گفتکه سكه خط خواهد آمد؟ • اگر سكه خط نيايد ،چه خواهد آمد؟ • آيا غير از دو حالت شیر و خط سكه ،حالت سومي هم وجود دارد؟ • بگوييدکه تجربه چند نتيجة ممكن دارد. • نتايج ممكن انجام تجربۀ تصادفي را داخل عالمت ست ( )setبنويسيد. بعد از انجام فعاليت باال به نتيجة زير مي رسيم: نتيجه: تمام نتايج ممكن يك تجربۀ تصادفي را در يك مجموعه يا ست ( )Setنشان داده ميتوانيم که به نام فضاي نمونه ياد ميشود .فضاي نمونه را معموالً به Sنشان ميدهيم. هر عضو فضاي نمونه ،يك نتيجة ممكن همان تجربۀ تصادفي است که به نام حوادث اولیه یاد می گردند. مثال :شکل مقابل انداختن يك تير را از فاصلة سه متری باالي يك صفحۀ دايره یي نشان مىدهد .دايره به چند ناحية مختلف تقسيم شده است؟
219
هرگاه تير به شمارههاي داده شدة 3،1،2و 6اصابت كند ،همان شماره که تير به آن اصابت کرده نتيجه است .يادداشت :اگر تير خارج دايره اصابت كند به نتيجه نمرۀ 0داده مي شود. بنابر اين تعداد نتايج ممكنه پنج عدد استکه فضاي نمونة آن عبارت است از : }S = {0,1, 2,3, 6
در شكل صفحة قبل بعضي قسمتهاي دايره دو بار توسط يك عدد نشان داده شده است؛ مث ً ال عدد . 2اين مسأله چانس اصابت به ناحیة 2را بيشتر کرده؛ ولي دو نتيجه از هم متفاوت نميباشند.
8
تمرین 13 12 2
17
شكل مقابل داده شده است در نظر -1خریطهیی را که 5قرار6 4 بگيريد .در داخل آن به تعداد 8گلولة يكسان که با اعداد مختلف نمرهگذاري شده اند ،قرار دارند؛ اگر از داخل آن چشمبسته ،به صورت تصادفي يك گلوله برداشته شود ،آیا امكان دارد که از خریطه ،گلولهیی با شمارة 50بيرون آيد؟
5
8
اگر نه؛ پس فضاي نمونه و تعداد نتايج ممكن را ارائه كنيد. -2فضاي نمونه و تعداد نتايج ممكن را براي انداختن يك دانۀ رمل بنویسيد.
13 4
2 6
12 17
50
220
احتمال نظري حسن ،زلمي ،خيبر ،انور و زمري برای نماينده گي صنف ،خود را نامزد کرده بودند. آيا احتمال دارد زلميبرنده شود؟ احتمال برد انور چقدر است؟
فعالیت فضاي تجربة انداختن يك دانۀ رمل را در نظر ميگيريم ،نتايج ممكنه عبارت اند از:
• فضاي نمونة تجربه را بنويسيد. • تعداد نتايج ممكنه چند است؟ • ديده مي شودکه آمدن شمارة 2يكي از 6حالت ممكن دانة رمل است ،احتمال آن را با يك كسر بنويسيد. • آيا احتمال آمدن شمارة 1و شمارة 2رمل با هم برابر اند؟ • احتمال آمدن هر شمارۀ رمل چند است؟ • چند شمارة رمل جفت اند؟ احتمال آمدن شمارۀ جفت را با يك كسر بنویسيد. در دريافت احتمالهاي حوادث فوق ،ارقام صورت كسر تعداد حاالت مساعد نتيجۀ مورد نظر و يا مطلوب را نشان ميدهد. از حاالت فوق مي توان نتيجۀ زير را به دست آورد: نتيجه: احتمال يك نتيجه را ميتوان توسط كسر ذيل به دست آورد: تعداد حاالت مساعد براي وقوع حادثۀ اتفاقی تعداد كل حاالت نتيجههاي تجربه = احتمال وقوع يك نتيجه يا حادثۀ اتفاقي
221
مثال :در تجربة تصادفي ،انداختن يك دانۀ رمل را در نظر گرفته و احتمال حوادث زير را دريافت كنيد. )aشمارۀ دانۀ رمل طاق باشد. )bشمارۀ دانۀ رمل 5باشد. )cشمارۀ دانۀ رمل 8باشد. )dشمارۀ دانۀ رمل بزرگتر از 1یا مساوی به 1باشد. حل :ميدانيمکه تعداد كل حاالت ممكن مساوی به 6است؛ با در نظرداشت تعريف احتمال داريم: )aحاالت مساعد در اين صورت 3عدد بوده؛ بنابراين: 3 1 = = 50% 6 2
= (احتمال اينكه شماره رمل طاق باشد)
)bحاالت مساعد در اين صورت مساوي به 1بوده؛ پس: 1 = 0.167 = 16.7% 6
= (احتمال اينکه شمارة 5باشد)
)cحاالت مساعد در اين صورت براي شمارة 8وجود ندارد؛ بنابراين: 0 = 0 = 0% 6
)dحاالت مساعد براي اين حالت 6عدد بوده؛ بنابراين: 6 = 1 = 100% 6
= (احتمال اينکه شمارة 8باشد)
= (احتمال اينکه شماره بزرگتر از 1یا مساوی به 1باشد)
تمرین -1از بين 12پسر و 6دختر نمایندة صنف هاي مختلف يك مكتب ،يك تن به حيث نمايندۀ عمومي متعلمين بر اساس قرعه انتخاب مي گردد؛ احتمال اينکه: )aنمايندۀ عمومي شاگردان ،يك دختر باشد. )bنمايندۀ عموميشاگردان ،يك پسر باشد. -2در بين يك جعبه سه عدد گلوله به رنگ سبز ،دو عدد به رنگ زرد و يك عدد به رنگ سرخ قرار دارد؛ اگر به صورت اتفاقي از بين جعبه يك گلوله برداريم ،احتمال حوادث زير را دريافت كنيد. )aاحتمال آنکه رنگ گلوله سبز باشد. )bاحتمال آنکه رنگ گلوله زرد باشد. )cاحتمال آنکه رنگ گلوله سياه باشد. -3در انداختن تجربۀ تصادفي يك سكه ،احتمال حوادث ذيل را به دست آوريد: )aسكه به رو بيايد. )bسكه نه به رو و نه به پشت بيايد.
222
خالصۀ فصل هشتم
چانس :در پیش بینی حوادثيکه از نگاه عددي قابل اندازه نباشند ،از كلمۀ چانس استفاده ميگردد .كلمات :امكان دارد ،ممكن نيست ،حتمي است ،چانس كمتر، چانس بيشتر و چانس ندارد براي پيش بيني يك اتفاق به كار برده مي شوند؛ مث ً ال :
-1چانس طي نمودن فاصلة هرات -لغمان با موتر در يك ساعت ،ناممكن است.
-2چانس آمدن روز بعد از هر شب به رضاي خداوند(ج) حتميو صد فيصد است. -3چانس باريدن باران در تابستان نيز ممكن است.
احتمال :اگر چانس يك اتفاق با اعداد و ارقام پيش بيني گردد ،به نام احتمال حادثۀ
اتفاقي ياد مي شود.
احتمال يك واقعۀ ناممكن 0و احتمال يك حادثۀ مطمئن 1است؛ مث ً ال :
-1احتمال اينکه مدير يك ليسه بي سواد باشد 0 ،است. -2احتمال اينکه آفتاب از شرق طلوع كند 1 ،است.
حادثة اتفاقي :به تجربهییکه نتيجة ممكنة آن هنگام اجرا معلوم نباشد ،حادثۀ اتفاقي مي گویند .مث ً ال : -1آيا ميتوان پيش بيني كردکه برندۀ نمرات عالي كانكور امسال يك دختر باشد؟ -2آيا ميتوان پيش بيني كردکه زمستان امسال با خانواده به جالل آباد می رويم؟
تجربۀ تصادفي :يك فعاليتکه تا هنوز نتايج آن معلوم نباشد و يا حادثه یی که به صورت تصادفي اتفاق افتد ،به نام تجربۀ تصادفي ياد مي گردد؛ مث ً ال: انتخاب نمايندة صنف از میان چند نامزد توسط قرعه يك تجربۀ تصادفي است.
يا انداختن يك سكهکه نتيجة آن به رو يا پشت قرارگرفتن سكه منجر ميشود نيز يك
تجربۀ تصادفي است.
223
احتمال تجربي :احتمالیکه توسط انجام تجربه به شكل عملي يا از روي تعداد نتايج يك تجربه به دست ميآيد ،به نام احتمال تجربي ياد مي گردد.
احتمال نظري :احتماليکه از روي فضاي نمونه ،نسبت حاالت مساعد بر تعداد كل حاالت يك تجربه به دست مي آید ،به نام احتمال نظري ياد مي گردد. تعداد حاالت مساعد براي حادثۀ اتفاقی
تعداد كل حاالت نتيجههاي تجربه = احتمال يك نتيجه يا حادثۀ اتفاقي
224
تمرينات فصل هشتم -1سؤاالت زیر را با کار برد کلمات :ممکن است ،ممکن نیست و حتمی است ،جواب دهید.
• از آسمان ابری ،باران میبارد.
• چانس دیدن ستاره ها روزانه ممکن نیست. • شترمرغ پرواز می کند.
• گوسفند چوچه نمی دهد ،تخم می دهد.
-2یک تجربۀ تصادفی را مثال گفته ،حوادث اتفاقی اولیه و چند حادثة اتفاقی آن را مشخص کنید.
-3یک فضای نمونه که 4حادثۀ اولیة اتفاقی داشته باشد ،چند حادثۀ اتفاقی دارد .با یک مثال واضح کرده و فهرست حوادث اتفاقی را بنویسید.
-4حادثة اتفاقی مطمئن و ناممکن را در یک مثال تجربۀ اتفاقی واضح سازید. -5یک فضای نمونه چیست؟ با عالمت ( )Pجواب صحیح را نشانی کنید. (
)هر نتیجه یک تجربه فضای نمونه است.
(
)ست تمام نتایج ممکن یک تجربه است.
(
(
)فضای نمونه نتیجه ندارد.
)حادثة مطمئن و ناممکن است.
-6در یک تجربۀ تصادفی هر حادثۀ اتفاقی ( ....جواب درست را با ( )Pنشانی کنید). (
)یک عنصر فضای نمونه است.
(
)در یک تجربۀ تصادفی حادثۀ اتفاقی چانس ندارد.
(
(
)ست فرعی فضای نمونه است. )ناممکن است.
-7در انداختن دو دانه سکه:
• فضای نمونه را تشکیل دهید.
• دریافت کنید احتمال آن که هر دو سکه شیر باشند. • دریافت کنید احتمال آن که هر دو سکه خط باشند.
• در یافت کنید احتمال آن که هر دو سکه یکسان باشند.
225
-8در بين گلولههای مساوی که در يک خريطه قرار دارند و روی آنها از 1تا 100شماره زده شده است ،قرعهکشی میشود ،دریافت کنید احتمال این که:
• عدد قرعة برآمده قابل تقسیم بر 5باشد. • عدد قرعه جفت باشد.
• عدد قرعه بر 12قابل تقسیم باشد. • عدد سهرقمی باشد.
• عدد چهاررقمی باشد.
226