Matter 2 (Himpunan) [PDF]

Citation preview

HIMPUNAN



DisusunOleh: Kelompok 5 -JAFAR SIDIK(5192451007) -FIYA MONALISA(5193151005)



DosenPengampu: Amirhud Dalimunthe, S.T., M.Kom.



PROGRAM STUDI PENDIDIKAN TEKNOLOGI INFORMATIKA DAN KOMPUTER JURUSAN PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NEGERI MEDAN 2020



KATA PENGANTAR



Puji syukur kami ucapkan kepada Allah SWT yang telah memberikan rahmat



dan



karunia-Nya



sehingga



kami



dapat



menyelesaikan



tugas



makalah Matematika tentang “Himpunan” dengan baik dan lancar, penulisan makalah  ini bertujuan untuk melengkapi tugas mata kuliah Matematika Terapan Dalam penyampaian materi di dalam makalah ini kami mencoba menyajikannya dengan bahasa yang mudah dan ringan agar dapat dimengerti oleh semua pihak. Harapan kami, semoga makalah ini berguna untuk proses kegiatan belajar mengajar, dan kami sadar dalam pembuatan makalah ini masih jauh dari kata sempurna untuk itu kritik dan saran yang membangun sangat kami harapkan untuk perbaikan di masa yang akan datang.



Medan,



Penulis



i



DAFTAR ISI



KATA PENGANTAR..............................................................................................i DAFTAR ISI.............................................................................................................ii BAB I PENDAHULUAN.........................................................................................1 1.1..............................................................................................................LatarBelakang 1 1.2..............................................................................................................Tujuan 1 BAB II PEMBAHASAN..........................................................................................3 2.1. Definisi Himpunan.............................................................................3 2.2. Penyajian Himpunan...........................................................................4 2.3. Kardinalitas.........................................................................................7 2.4. Jenis-Jenis Himpunan.........................................................................8 2.5. Operasi Terhadap Himpunan .............................................................11 2.6. Hukum-Hukum Himpunan.................................................................17 2.7. Prinsip Dualitas...................................................................................18 2.8. Prinsip Inklusi-Eksklusi......................................................................19 2.9. Partisi..................................................................................................23 2.10. Pembuktian proposisi Himpunan......................................................24 BAB III PENUTUP..................................................................................................27 3.1. Kesimpulan.........................................................................................27 3.2. Saran ..................................................................................................27 DAFTAR PUSTAKA...............................................................................................29



ii



BAB I PENDAHULUAN



1.1.



LatarBelakang “Himpunan”. Satu kata penuh pertanyaan. Beberapa orang belum mengetahui



apa arti sebenarnya dari himpunan sehingga kadang-kadang orang itu salah mengartikannya.



Sebenarnya



kata



himpunan



itu



erat



kaitannya



dengan



pengelompokkan . Beberapa orang yang telah mengetahui kaitan himpunan dengan pengelompokkan ini akhirnya bisa menyimpulkan sendiri meskipun belum biasa mendeksripsikannya secara jelas. Seringkali masalah ini akhirnya berhubungan dengan masalah sampah juga. Ketika suatu tempat sampah tertulis “Sampah basah”, beberapa orang masih saja salah membuang sampah di tempat yang tidak sesuai dengan labelnya. Mereka tidak mempedulikan arti dari himpunan “Sampah basah” itu. Mereka belum mengerti secara jelas karena mereka belum menguasai konsep dasarnya, yaitu himpunan. Kita harus melakukan 3M ,Mulai dari diri sendiri, Mulai dari kecil/dini, dan Mulai dari sekarang. Beranjak dari hal itu , untuk meningkatkan kesadaran kita sebagai mahasiswa Kesehatan Masyarakat, kita harus memperhatikan pemilahan atau pengelompokkan sampah yang baik dan benar sehingga di masa yang akan datang kita bisa menerapkannya juga kepada orang lain atau bisa bermanfaat bagi semua orang. Mengingat akan penting dan manfaatnya himpunan dalam kehidupan sehari-hari terutama dalam dunia kesehatan maka penulis bermaksud menulis makalah tentang “Himpunan”. 1.2.



Tujuan dan Manfaat Penulisan 



Menambah pengetahuan tentang himpunan







Mengetahui cara penyajian himpunan



1







Mengetahui tentang kardinalitas







Mengetahui apa saja jenis-jenis himpunan







Mengetahui cara pengoprasian terhadap himpunan







Mengetahui apa saja hukum-hukum himpunan







Mengetahui tentang prinsip dualitas







Mengetahui tentang prinsip inklusi-ekslusi







Menambah pengetahuan tentang partisi







Menambah cara pembuktian proposisi himpunan



2



BAB II PEMBAHASAN 2.1. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas. Benda atau objek dalam himpunan disebut elemen atau anggota himpunan. Dari defi nisi tersebut, dapat diketahui objek yang termasuk anggota himpunan atau bukan. Contoh himpunan : 



Himpunan warna lampu lalu lintas, anggota himpunannya adalah merah, kuning, dan hijau.







Himpunan bilangan prima kurang dari 10, anggota himpunannya adalah 2, 3, 5, dan 7.



Contoh bukan himpunan: 



Kumpulan baju-baju bagus.







Kumpulan makanan enak.



Notasi himpunan dilambangkan menggunakan huruf kapital (A, B, …). Benda atau objek yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulis di antara tanda kurung kurawal {...}. Anggota suatu himpunan dinotasikan dengan ∈, sedangkan yang bukan anggota himpunan dinotasikan dengan ∉. Banyak anggota suatu himpunan dinyatakan dengan n. Contoh: A adalah himpunan bilangan positif kurang dari 5. Anggota himpunan bilangan positif kurang dari 5 adalah 1, 2, 3, dan 4. Jadi, A = {1, 2, 3, 4} dan n(A) = 4.



3



Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Notasi himpunan kosong adalah { } atau ø. Contoh: N adalah himpunan bilangan negatif yang lebih besar dari nol. N dalam notasi himpunan adalah N = { } karena semua bilangan negatif kurang dari nol.



Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota atau objek himpunan yang dibicarakan. Notasi himpunan semesta adalah S. Contoh: Misalkan, himpunan P = {2, 3, 5, 7}. Himpunan semesta yang mungkin dari P adalah S = {bilangan cacah} atau S = {bilangan prima}.



2.2. Penyajian Himpunan Ada banyak cara menyajikan himpunan. Disini akan dijelaskan 4 cara penyajian, yaitu



mengenumerasi



elemen-eleelemen,



menggunakan



simbol-simbol



baku,



menyatakan syarat keanggotaan dan menghunakan diagram ven. 1. Enumeras Jika sebuah himpunan terbatas dan tidak terlalu besar kita bisa menyajikannya dengan cara enumerasi maksudnya menulis semua elemen himpunan yang bersangkutan diantara dua buah kurung kurawal {}. contoh: Himpunan k berisi lima bilangan genap positif maka, k ={2, 4, 6, 8, 10}



4



2. Simbol-simbol Baku Beberapa himpunan dituliskan dengan simbol-simbol baku. simbol baku ditulis dalam bentuk huruf tebal (boldface) . yanh sering digunakan untuk mendefinisikan himpunan, antar lain sebagai berikut: P adalah bilangan bulat positif N adalah bilangan asli Z adalah bilangan bulat Q adalah bilangan rasional R adalah bilangan rill C adalah bilangan kompleks U adalah bilangan universal atau semesta contoh: U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U,dengan A={1, 3, 5} 3. Notasi pembentuk Himpunan Cara penyajian ini dengan cara himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi oleh anggotanya.



Notasi { x l syarat yang harus dipenuhi oleh x } aturan yang digunakan dalam menulis syarat keanggotaan:  bagian



dikiri



tanda



|



melambangkan



elemem



dibaca dimana atau sedemikian sehingga  bagian dikanan tanda | menunjukkan syarat keanggotaa himpunan  setiap tanda (,) didalam syarat keanggotaan dibaca



5



himpunan,



contoh: C adalah himpunan bilangan bulat positif yang lebih kecil dari 5 C = { x | x adalah himpunan bilangan bulat positif yang lebih kecil dari 5} maka notasi ringkasnya: C = { x | x E,  x < 5} 4. Diagram Venn Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan cara menuliskan anggotanya dalam suatu gambar (diagram) yang dinamakan diagram Venn.Aturan dalam pembuatan diagram Venn adalah sebagai berikut. 1. Menggambar sebuah persegi panjang untuk menunjukkan semesta dengan mencantumkan huruf S di pojok kiri atas. 2. Menggambar kurva tertutup sederhana yang menggambarkan himpunan. 3. Memberi noktah (titik) berdekatan dengan masing-masing anggota himpunan. contoh: misalkan S ={1, 2, 3,…7, 8, 9}, A ={1, 2, 3, 4, 5} dan B ={ 2, 5, 6, 7}. ketiga himpunan



tersebut



ditulis



dalam



diagramvennn.



perhatikan



bahwa A dan B mempunyai anggota yang sama yaitu 2 dan 5. anggota S yang lain yaitu 8 dan 9 tidak termasuk dalam himpunan  A  dan B



.



6



2.3. Kardinalitas Kardinalitas dari sebuah himpunan dapat diartikan sebagai ukuran banyaknya elemen yang dikandung oleh himpunan tersebut. Banyaknya elemen himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} adalah 4. Himpunan {p, q, r, s} juga memiliki elemen sejumlah 4. Berarti kedua himpunan tersebut ekivalen satu sama lain, atau dikatakan memiliki kardinalitas yang sama.  Kardinalitas adalah himpunan bilangan yang menunjukkan banyaknya Jumlah Anggota. Himpunan Kardinalitas terdiri dari : a. Himpunan Berhingga (finit) dan Himpunan Tak berhingga (infinit) Himpunan Berhingga (finit) adalah himpunan yang anggotanya berbatas. Contoh : A = {Himpunan bilangan genap < 10 }  => A = ( 2,4,6,8 } B = {Himpunan bilangan ganjil < 10 }   => B = { 1,3,5,7,9 } b. Himpunan Tak Berhingga (infinit) adlah himpunan yang anggotanya berbatas. Contoh : A = { Himpunan bilangan genap }  =>  A = { 2,4,6,8,… } B = { Himpunan bilangan ganjil }  => B = { 1,3,5,7,9,… } c. Himpunan Denumerable dan Himpunan Nondenumerable -



Himpunan Denumerable adalah jika sebuah himpunan ekuivalen dengan Himpunan N yaitu Himpunan bilangan asli. Contoh : A = { Himpunan bilangan asli }  =>A = { 1,2,3,4,5,… }



-



Himpunan Nondenumberable adalah jika sebuah himpunan ekuivalen dengan himpunan R yaitu himpunan bilangan riil. Contoh : A = { Himpunan bilangan riil } =>A = { 1.01,1.001,1.0001,… }



7



d. Himpunan Countable dan Himpunan Uncountable -



Himpunan Countable jika himpunan itu merupakan himpunan finit atau denumberable. Contoh : Dalam kehidupan sehari-hari : Beras , Rambut (memiliki unit ) Dalam bilangan : semua bilangan yang berbatas



-



Himpunan Uncountable hika himpunan itu merupakan infinit atau nodumerable. Contoh : Dalam kehidupan sehari-hari : Air, Udara Dalam bilangan : bilangan riil



2.4 Jenis-Jenis Himpunan A. Himpunan Kosong Definisi :  Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinalitas = 0 (nol) atau {}. Contoh soal : Sebutkan bilangan ganjil yang ada ! Jika Diketahui : A= {2, 4, 6, 8} B= {4, 6, 10}  Jawabannya adalah {} atau Ø.  Karena pada himpunan A dan B tidak terdapat bilangan ganjil.



8



B. Himpunan Bagian Definisi : Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A. Contoh soal : Buktikan bahwa A bagian himpunan dari B! Jika : Diketahui : A={2,  4, 6}       B={2, 3, 4, 5, 6} Jawabannya: A ⊆ B= {2, 4, 6} Kenapa {3, 5} tidak termasuk ? Karena 3 dan 5 tidak termasuk anggota himpunan A. C. Himpunan sama Definisi : Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika keduanya mempunyai elemen yang sama. Dengan kata lain, A sama dengan B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka kita katakan A tidak sama dengan B. Notasi : A = B    A ⊆ B dan B ⊆ A Tiga hal yang harus diperhatikan dalam memeriksa kesamaan dua buah himpunan : 1. Urutan elemen di dalam himpunan tidak penting. Jadi, {1,2,3} = {3,2,1 = {1,,3,2}



9



2. Pengulangan elemen tidak mempengaruhi kesamaan dua buah himpunan. Jadi, {1,1,1,1} = {1,1} = {1} 3. Untuk tiga buah himpunan, A,B dan C berlaku aksioma berikut: (a) A = A, B = B dan C = C (b) Jika A = B, maka B = A (c) Jika A = B dan B = C, maka A = C D. Himpunan Ekuivalen Definisi: Dua himpunan dikatakan Ekuivalen apabila jumlah anggota kedua himpunan itu sama tetapi bendanya ada yang tidak sama. Contoh : P



=



{



a,



I,



u,



e,



o



}



;



Q



=



{



1,



2,



3,



4,



5



}



Kedua himpunan P dan Q anggota-anggotanya tidak sama tetapi jumlah anggotanya sama maka himpunan P Ekuivalen dengan Q, jadi ( P ~ Q ). E. Himpunan saling lepas lepas Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua himpunan itu tidak mempunyai satupun anggota yang sama . Contoh : P = { 1, 3, 5, 7, 9} Q = { 2, 4, 6, 8, 10 } perhatikan, tidak ada anggota himpunan P dan Q yang sama maka himpunan P dan Q adalah dua himpunan yang saling lepas, jadi  P// Q



10



2.5 Operasi Terhadap Himpunan 1. Irisan (intersection) Irisan dari himpunan A dan B adalah sebah himpunan yang setiap elemen nya merupakan bagian dari himpunan A dan himpunan B. Notasi : A ∩ B = { x | x  ∈ A dan x  ∈ B } Diagram Venn untuk A ∩ B seperti gambar berikut :



Daerah yang diarsir merupakan bagian dari daerah A dan daerah B. Jika dua himpunan saling lepas, maka irisan nya adalah himpunan kosong, karena tidak ada elemen yang sama didalam kedua himpunan tersebut.



Contoh lainnya :



11



a. Jika A = {3, 6, 9, 12} dan B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, maka A ∩ B = {6, 12} b. Jika A  = {4, 7, 9} dan B = {-2, 5}, maka A ∩ B = ∅. Yang berarti A || B 2. Gabungan (union) Gabungan (union) dari himpunan A  dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B. Notasi : A  ∪ B = { x |  x  ∈ A atau x  ∈ B } Diagram Venn untuk A ∪ B seperti gambar berikut.



Dapat kita perhatikan bahwa gabungan dari himpunan A dengan himpunan B menjadikan satu kesatuan antara dua buah himpunan. Jadi, misalkan : A = {2, 4, 6} dan B = {1, 3, 5}, maka A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Contoh lainnya : a. Jika A =  {1, 5, 8} dan B = {7, 10, 15}, maka A ∪ B = {1,5,7,8,10,15} b. Jika A  = {a, b, c} dan B = {d, e, f}, maka A ∪ B = {a,b,c,d,e,f}



12



3. Selisih (difference) Selisih dari dua himpunan A  dan B adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen dari A  tetapi bukan elemen dari B. Operasi selesih hanya mengambil bagian yang tidak terdapat pada pasangan himpunan nya. Notasi : A – B = { x | x ∈ A dan x  ∉ B }



Diagram Venn untuk A - B ditunjukkan pada gambar berikut.



Perhatikan bahwa bagian yang diarsir hanya elemen-elemen khusus yang terdapat pada elemen A saja, dan bukan pada elemen B. Contoh lainnya : a. Jika A = {1,2,3,…,10} dan B = {1,3,5,7,9}, maka A – B = {2,4,6,8,10} dan B – A = Ø b. {3, 7, 9} – {3, 6, 7} = {9} c. {3, 6, 7} – {3, 7, 9} = {6} 4. Komplemen (complement) Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta U adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen U yang bukan elemen A. Notasi : Ā = {x |  x  ∈ U dan x  ∉ A}



13



Operasi komplemen himpunan A terhadap himpunan semesta U adalah sebagai berikut.



Contoh 1 : Misalkan U = {1,2,3,..10} a. Jika A = {2,4,6,8,10}, maka Ā = {1,3,5,7,9} Contoh 2 : A = himpunan semua rumah yang berada di Jakarta B = himpunan semua rumah yang berada di Medan C = himpunan semua rumah yang dibangun setelah tahun 2016 D = himpunan semua rumah yang nilai jualnya diatas dari Rp 500 juta E = himpunan semua rumah milik mahasiswa univeristas tertentu a. Pernyataan "semua rumah milik mahasiswa universitas ini berada di Jakarta atau berada di Medan" dapat dinyatakan dalam notasi himpunan sebagai (E ∩ A) ∪ (E ∩ B) atau



14



E ∩ (A ∪ B) b. Pernyataan "semua rumah yang berada di Jakarta yang dibuat setelah tahun 2016 yang nilai jualnya diatas dari Rp 500 juta" dapat dinyatakan dalam notasi himpunan sebagai A∩C∩D c. Pernyataan "semua rumah yang nilai jualnya diatas Rp 500 juta yang berada di luar Jakarta yang bukan milik mahasiswa di Universitas tertentu" dapat dinyatakan dalam notasi himpunan sebagai Ā ∩ Ē ∩ D 5. Beda-Setangkup (symmetric difference) Operasi beda setangkup dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemen nya ada pada himpunan A dan B tetapi tidak pada keduanya. Dengan kata lain, operasi beda setangkup mengambil semua bagian yang berbeda dari kedua himpunan. Notasi : A  ⊕ B = (A  ∪ B)– (A ∩ B) Diagram Venn untuk A ⊕ B adalah sebagai berikut.



Contoh : a. Jika A = {2, 5, 8} dan B = {2, 4, 6}, maka



15



A ⊕ B = {4,5,6,8} b. A = himpunan segitiga sama kaki B = himpunan segitiga sama siku-siku A ⊕ B = himpunan segitiga sama kaki yang tidak siku-siku dan segitiga siku-siku yang tidak sama kaki. 6. Perkalian Kartesian (cartesian product) Perkalian kartesian dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan yang berurutan (ordered pairs) yang dibentuk dari komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B. Notasi : A x B = {(a, b) |  a  ∈ A dan b  ∈ B} Contoh 1: Misalkan C = {1,2,3}, dan D = {a,b}, maka perkalian kartesian C dan D adalah C x D = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)} Contoh 2: Misalkan : A = himpunan makanan = {n = nasi lemak, b = bubur, m = mie rebus, g = gorengan } B = himpunan minumam = {j = jus jerus, t = teh manis, a = air putih} Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat dihasilkan dari kedua himpunan diatas?



16



= |A x B| = |A|.|B| = 4 . 3 = 12 kombinasi makanan dan minuman, yaitu {(n,j),(n,t),(n,a),(b,j),(b,t),(b,a),(m,j), (m,t),(m,a),(g,j),(g,t),(g,a)}. Perlu diperhatikan bahwa : a. Jika A dan B adalah himpunan berhingga, maka: |A x B| = |A| |B| . b. Susunan (a, b) berbeda dengan (b, a), artinya (a, b) ≠ (b, a). c. Jika A = Ø atau B = Ø, maka A x B = B x A = Ø.



2.6 Hukum-Hukum Himpunan



17



2.7 Prinsip Dualitas Contoh prinsip dualitas : Misalkan A ∈ U dimana A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B), maka pada dualnya, misalkan U*, berlaku : A = (A ∪ B) ∩ (A ∪ B) Dalam membuktikan kebenaran suatu pernyataan atau merepresentasikan suatu pernyataan dengan cara lain dengan menggunakan bantuan himpunan ada beberapa cara, antara lain : A. PEMBUKTIAN DENGAN MENGGUNAKAN DIAGRAM VENN Contoh pembuktian menggunakan diagram venn Misalkan



A,



B,



dan



C



adalah



himpunan.



Tunjukan bahwa A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) dengan diagram Venn Jawab :Cara ini dilakukan bukan dalam pembuktian formal, dengan menggambarkan sejumlah himpunan yang diketahui dan mengarsir setiap operasi yang diinginkan secara bertahap, sehingga diperoleh himpunan hasil operasi secara keseluruhan.



Kedua



digaram



Venn



memberikan



area



arsiran



yang



sama.



Terbukti bahwa A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). B. PEMBUKTIAN DENGAN MENGGUNAKAN ALJABAR HIMPUNAN Contoh 1: Misalkan A dan B himpunan. Tunjukan bahwa A ∪ (B – A) = A ∪ B



18



Jawab



1:



A ∪ (B – A) = A ∪ (B ∩ Ā)                      (Definisi operasi selisih) =



(A



=



(A



∪ ∪



B) B)



∩ ∩



(A U



 



∪ Ā)



 



 



 



 



   



   



 (Hukum  (Hukum



distributif) komplemen)



= A ∪ B                     (Hukum identitas) Contoh 2: Tunjukan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B, berlaku; a. A ∪ (A ∩ B) = A ∪ B dan b. A ∩ (A ∪ B) = A ∩ B Jawab 2: a. A ∪ (A ∩ B)  = ( A ∪ A) ∩ (A ∪ B)          (H. distributif) = U ∩ (A ∪ B)                (H. komplemen) = A ∪ B                    (H. identitas) (b) adalah dual dari (a) b. A ∩ (A ∪ B) = (A ∩ A) ∪ (A ∩ B)        (H. distributif) = ∅ ∪ (A ∩ B)              (H. komplemen) = A ∩ B                   (H. identitas)



2.8 Prinsip Inklusi-Eksluksi Banyaknya anggota himpunan gabungan antara himpunan A dan himpunan B merupakan jumlah banyaknya anggota dalam himpunan tersebut dikurangi banyaknya anggota di dalam irisannya. Dengan demikian, n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)



19



Contoh 1. Dalam sebuah program studi pendidikan matematika yang terdiri atas 350 mahasiswa, terdapat 175 mahasiswa yang mengambil mata kuliah persamaan diferensial dan 225 mahasiswa yang mengambil mata kuliah analisis kompleks, dan 50 mahasiswa yang mengambil mata kuliah persamaan diferensial dan analisis kompleks. Ada berapa mahasiswa di dalam perkuliahan itu jika setiap mahasiswa mengambil mata kuliah persamaan diferensial, analisis kompleks, atau kedua-duanya? Penyelesaian: Misalkan A adalah banyaknya mahasiswa yang mengambil mata kuliah persamaan diferensial dan B menyatakan mahasiswa yang mengambil mata kuliah analisis kompleks. Maka A B merupakan himpunan mahasiswa yang mengambil kedua mata kuliah tersebut. Banyaknya mahasiswa di dalam kelas itu yang mengambil mata kuliah persamaan diferensial, analisis kompleks, atau kedua-duanya adalah n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) = 175 + 225 – 50 = 350 Ini berarti, terdapat 350 mahasiswa di dalam kelas yang mengambil mata kuliah persamaan diferensial, analisis kompleks, atau kedua-duanya. Karena banyaknya siswa keseluruhan di dalam kelas tersebut adalah 350 mahasiswa, artinya tidak terdapat mahasiswa yang tidak memilih salah satu dari kedua konsentrasi itu. Contoh 2 Di sebuah jurusan dalam suatu perguruan tinggi terdapat 134 mahasiswa tingkat 3. Dari sekian banyak mahasiswa tersebut, 87 di antaranya mengambil mata kuliah teori graf diskrit, 73 mengambil mata kuliah matematika ekonomi, dan 29 mengambil mata kuliah teori graf dan matematika ekonomi. Berapa banyak mahasiswa yang tidak mengambil sebuah mata kuliah baik dalam teori graf maupun dalam matematika



20



ekonomi? Penyelesaian: Untuk menentukan banyaknya mahasiswa tingkat 3 yang tidak mengambil mata kuliah teori graf ataupun matematika ekonomi, kurangilah banyaknya mahasiswa yang mengambil mata kuliah dari salah satu mata kuliah ini dari keseluruhan banyaknya mahasiswa tingkat 1. Misalkan A merupakan himpunan semua mahasiwa tingkat 3 yang mengambil mata kuliah teori graf, dan B adalah himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah matematika ekonomi. Maka n(A)=87, n(B)=73, dan n(A ∩ B) = 29. Banyaknya mahasiswa tingkat 3 yang mengambil mata kuliah teori graf atau matematika ekonomi adalah n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) = 87 + 73 – 29 = 160-29 = 131 Ini artinya terdapat sebanyak 134–131 = 3 mahasiswa tingkat 3 yang tidak mengambil mata kuliah teori graf ataupun matematika ekonomi. Dalam bagian berikutnya akan diuraikan bagaimana cara-cara menentukan banyaknya anggota dalam gabungan antara himpunan terhingga dari sebuah himpunan. Hasil ini kemudian akan dikembangkan menjadi sebuah prinsip yang dinamakan Prinsip Inklusi-Eksklusi. Sebelum membicarakan gabungan dari n himpunan, dengan n sebagai bilangan bulat positif, sebuah rumusan bagi banyaknya anggota dalam gabungan 3 himpunan A, B, dan C akan diturunkan. Untuk menyusun rumus ini perlu diingat bahwa n(A) +n(B)+n(C) membilang tiap anggota tepat satu kali dari ketiga himpunan tersebut satu kali, anggota yang tepat 2 kali dari himpunan-himpunan itu adalah dua kali, dan anggota-anggota dalam 3 himpunan tersebut 3 kali. Ini diilustrasikan dalam Gambar berikut :



21



Ekspresi final ini membilang tiap anggota satu kali, apakah itu 1, 2 atau 3 dalam 3 himpunan. Jadi, n(A ∪ B ∪ C)= n(A)+n(B)+n(C)- n(A ∩ B) – n(B ∩ C) – n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) Teorema (Prinsip Inklusi-Eksklusi)



Aplikasi Prinsip Inklusi-Eksklusi Prinsip Inklusi-Eksklusi memiliki banyak aplikasi, di antaranya dalam penyelidikan banyaknya bilangan prima dalam yang tidak meliebihi suatu bilangan bulat positif tertentu. Perhitungan ini dapat dimanfaatkan dalam menjawab permasalahan saringan Eratosthenes. Dalam saringan Eratosthenes, kita membuat suatu saringan yang mampu menyaring bilangan-bilangan, demikian sehingga yang tersisi setelah disaring hanyalah bilangan prima yang dimaksud.



22



Untuk memahami prinsip ini, pertama-tama kita kaji pengertian bilangan bulat komposit. Bilangan komposit adalah bilangan yang habis dibagi oleh bilangan prima yang tidak melebihi akar kuadratnya. Sebagai contoh, 50 adalah bilangan komposit. Bilangan ini dapat dibagi habis oleh bilangan prima yang tidak lebih dari 50 7 . Dalam hal ini 50 habis dibagi 2 dan 5. Untuk mencari banyaknya bilangan prima yang tidak lebih dari 100, kita perlu mencari bilangan komposit yang tidak melebihi 100. Karena 100 10 , maka bilanganbiangan prima yang kurang dari 10 adalah 2, 3, 5, 7. Dengan demikian banyaknya bilangan prima yang tidak lebih dari 100 adalah 4 ditambah dengan banyaknya bilangan bulat positif antara 100 yang habis dibagi 2, 3, 5, atau 7.Untuk memecahkan masalah ini akan kita gunakan prinsip Inklusi-Eksklusi 2.9 Partisi Tinjau sekumpulan mahasiswa di sebuah kelas. Bagaimana caranya agar dosen membagi (partisi) himpunan ini? Dosen dapat membagi menjadi beberapa buah himpunan bagian, yang dalam hal ini setiap himpunan bagian mungkin berisi 1 orang mahasiswa, 2 orang mahasiswa, dan seterusnya, bahkan kosong. Tidak ada mahasiswa yang sama berada dalam dua atau lebih himpunan bagian yang berbeda. Gabungan dari seluruh himpunan bagian itu adalah seluruh mahasiswa dalam kelas. Definisi Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A1,A2…..dari A sedemikian sehingga : (a)    A1  A2  …. = A, dan (b)   Himpunan bagian Ai saling lepas; yaitu Ai ∩ Aj = Ø untuk i ≠ j Contoh



:



Misalkan A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, maka { {1},{2, 3, 4},{7, 8},{5, 6}} adalah partisi A. Catatlah bahwa partisi membagi himpunan A menjadi beberapa buah “blok”. Pada contoh diatas, himpunan A dibagi menjadi 4 buah blok, yaitu {1},{2, 3, 4},{7, 8},



23



dan {5, 6}. Jika himpunan A terbatas jumlah elemennya, maka jumlah blok yang dapat dibentuk tidak lebih besar dari │A│. 2.10 Pembuktian Proposisi Himpunan Proposisi himpunan adalah pernyataan yang menggunakan notasi himpunan. Pernyataan dapat berupa kesamaan (set identity), misalnya A (B C) = (A B) (A C)  adalah kesamaan himpunan atau dapat berupa implikasi seperti “ jika A B =  dan (B C), maka selalu berlaku bahwa A Terdapat beberapa metode untuk membuktikan kebenaran proposisi himpunan. Untuk suatu proposisi himpunan . untuk suatu proposisi himpunan kita dapat membuktikannya dengan beberapa metode yang menghasilkan kesimpulan yang sama. Di bawah ini dikemukakan beberapa metode pembuktian proposisi perihal himpunan. a.



Dengan diagram venn Buatlah diagram venn untuk bagian ruas kiri kesamaan dan diagram venn untuk ruas kanan kesamaan. Jika diagram venn keduanya sama beraarti kesamaan tersebut benar. Kelebihan metode ini yaitu pembuktian dapat dilakukan dengan cepat sedangkan kekurangannya hanya dapat digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak banyak jumlahnya. Metode ini lebih mengilustrasikan



dibandingkan



membuktikan



fakta.



Dan



banyak



matematikawan tidak menganggap sebagai pembuktian valid untuk pembuktian secara formal. Oleh karena itu pembuktian dengan diagram venn kurang dapat diterima. b.



Pembuktian dengan tabel keanggotaan Kesamaan himpunan dapat dibuktikan dengan menggunakan tabel keanggotaan. Kita menggunakan angka 1 untuk menyatakan bahwa suatu elemen adalah anggota himpunan , dan 0 untuk menyatakan bukan himpunan. (nilai ini dapat dianalogikan dengan true dan false). Contoh : Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. buktikan bahwa A (B C) = (A B) (A C) tabel keanggotaan untuk kesamaan tersebut adalah seperti



24



dibawah ini. Karena kolom A (B C) dan kolom (A B) (A C) sama maka kesamaan tersebut benar. A 0 0 0 0 1 1 1 1



B 0 0 1 1 0 0 1 1



C 0 1 0 1 0 1 0 1



BC 0 1 1 1 0 1 1 1



A(BC) 0 0 0 0 0 1 1 1



AB 0 0 0 0 0 0 1 1



AC 0 0 0 0 0 1 0 1



(AB)(AC) 0 0 0 0 0 1 1 1



c. Pembuktian dengan aljabar himpunan Aljabar himpunan mengacu pada hukum- hukum aljabar himpunan, termasuk di dalamnya teorema-teorema ( yang ada buktinya ), definisi suatu operasi himpunan dan penerapan prinsip dualitas. Contoh : Misalkan A dan B himpunan . buktikan bahwa A  (B - A) = A Penyelesaian: A  (B - A) = A  (B  Ac)                 definisi operasi selisih                     = (A B)  (A  Ac)           hukum distributif                     = (A B)                      hukum komplemen                     = A B                         hukum identitas          d. Pembuktian dengan menggunakan definisi Metode ini digunakan untuk membuktikan proposisi himpunan yang tidak berbentuk kesamaan , tetapi proposisi yang berbentuk implikasi. Biasanya di dalam implikasi tersebut terdapat notasi himpunan bagian ( ). Langkah-langkah untuk membuktikan bahwa X   Y  adalah sebagai berikut: -



Ambil sembarang x  X



-



Dengan langkah-langkah yang benar tunjukkan bahwa x  Y



Oleh karena itu x diambil sembarang dalam X , maka berarti bahwa setiap anggota X merupakan anggota Y atau  X   Y.  Pembuktian yang melibatkan kesamaan himpunan (X = Y) haruslah melalui  2 arah sesuai dengan definisinya , yaitu X   Y   dan Y   X. e. Pembuktian dengan menggunakan sifat keanggotaan.



25



Contoh : Bagaimana membuktikan A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)?           x ∈A ∪ (B ∩ C)       ⇔x ∈ A ∨ x ∈ (B ∩ C)       ⇔x ∈ A ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C)       ⇔(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ C)           (hukum distributif untuk logika matematika)      ⇔x ∈ (A ∪ B) ∧ x ∈ (A ∪ C)      ⇔x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) f. Argument dan diagram venn Banyak statemen verbal dapat dialihkan menjadi statemen himpunan. Statemen ini dapat digambarkan dengan diagram Venn. Oleh karena itu, diagram Venn acap kali digunakan untuk menganalisa validitasnya suatu argumen. Contoh : Pandang asumsi SI, S2, S3 berikut : S1  : Guru adalah orang yang tenteram hidupnya S2  : Setiap raja merupakan orang kaya S3  : Tidak ada orang kaya yang juga tenteram hidupnya Kita hendak menggambarkan asumsi di atas dalam diagram Venn. Himpunan guru termuat dalam himpunan orang yang tentram hidupnya (asumsi SI). Himpunan orang tenteram hidupnya akan saling lepas dengan himpunan orang kaya (asumsi S3). Himpunan raja termuat seluruhnya di dalam himpunan orang kaya (asumsi S2).



26



BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan 1. Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau lambang-lambang yang mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas mana yang merupakan anggota himpunan dan mana bukan anggota himpunan 2. Jenis-jenis terdiri dari himpunan bagian, himpunan kosong, himpunan semesta, himpunan sama, himpunan lepas, himpunan komplement, dan himpunan ekuivalent. 3. Himpunan dapat ditulis dengan menyebutkan semua anggota, menyebutkan syarat-syarat anggota, notasi pembetuk himpunan, dan secara grafik 4. Operasi pada himpudan terdiri dari gabungan, irisan, komplement, selisih, dan hasil kali kartesius 5. Pembuktian proporsi himpunan dapat menggunakan diagram venn, tabel keanggotaan, aljabar himpunan, dan definisi 6. Manfaat mempelajari himpunan adalah membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren, meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif, menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan mandiri, memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas sistematis, meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpikir, kekeliruan serta kesesatan, mampu melakukan analisis terhadap suatu kejadian. 3.2 Saran Demikianlah makalah matematika terapan ini kami buat. Kami sadar, bahwa makalah ini sebenarnya masih banyak kekurangan dan termasuk jauh dari kata sempurna. Oleh karenaitu, kami sangat mengharapkan saran dan kritik yang



27



membangun dari pembaca agar makalah ini bisa lebih sempurna. Semoga makalah ini dapat memberi manfaat bagi kami dan para pembaca.



28



DAFTAR PUSTAKA



http://erlangga.co.id/materi-belajar/smp/7855-pengertian-himpunan-.html https://kasmahdiana.wordpress.com/2017/12/27/cara-penyajian-himpunan/ https://purnawantomaksum.wordpress.com/bahan-ajar/himpunan/kardinalitas-himpunan/ https://lintiyuni.wordpress.com/matematika-diskrit/himpunan/jenis-jenis-himpunan/ http://www.catatanrobert.com/himpunan-operasi-terhadap-himpunan/ https://slideplayer.info/slide/4888798/ https://komarru04.wordpress.com/2017/03/21/prinsip-dualitas/ https://ibumei.wordpress.com/2011/03/25/matematika-diskret-2-prinsip-inklusi-daneksklusi/ https://ainunannisablog.wordpress.com/2013/09/28/6/ http://blogngori.blogspot.com/2015/11/makalah-himpunan.html



29