Medan Elektromagnetik [PDF]

Citation preview

MODUL MEDAN ELEKTROMAGNETIK



Disusun Oleh: Fitriani Said, S.T., M.T



NIDN 1122087201



Abdul Muis Prasetya, S.T., M.T



NIDN



PROGRAM STUDI S-1 TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BORNEO TARAKAN Nopember 2019 DESKRIPSI MATAKULIAH MEDAN ELEKTROMAGNETIK



Mata kuliah Medan Elektromagnetik merupakan matakuliah untuk yang membahas teori dasar medan elektromagnetik derta aplikasinya pada teori bahan konduktor, semikonduktor dan kapasitor. Selain itu, mata kuliah medan elektromagnetik ini memberikan pengetahuan mengenai konsep medan elektromagnetik yang tetap dan berubah terhadap waktu serta penerapannya dalam komponen maupun mesin listrik. Juga membahas mengenai medan magnet statis, medan magnet dinamis dan aplikasinya. Mata Kuliah Medan Elektromagnetik mempunyai bobot 3 sks dan disajikan dalam 9 modul untuk 14 kali pertemuan, setiap modul memuat penjelasan materi, contoh serta soal-soal latihan. Materi tersebut dirinci sebagai berikut: Modul 1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat Modul 2 Hukum Coulomb dan Intensitas Medan Listrik Modul 3 Kerapatan Fluks Listrik, Hukum Gaus dan Divergensi Modul 4 Energi dan Potensial Modul 5 Konduktor, Dielektrum dan Kapasitansi Modul 6 Medan dan Magnet Statis Modul 7 Bahan & Gaya Magnet Induktansi Modul 8 Medan yang berubah terhadap waktu, Teorema Maxwell Modul 9 Gelombang Datar Serbasama Diakhir setiap modul diberikan latihan dan daftar pustaka, sehingga pembaca dapat mencari dan menggunakan referensi tersebut untuk pemahaman lebih lanjut. Setelah menyelesaikan matakuliah ini mahasiswa mampu menganalisis permasalahan medan elektrostatis, elektromagnet tetap dan berubah terhadap waktu, dan menggunakan hukum-hukum dasar yang berkaitan. Dan mampu menganalisis persoalan-persoalan medan magnet statis dan medan elektromagnet dinamis serta mampu menganalisis perambatan gelombang serbasama diberbagai medium



MODUL I ANALISIS VEKTOR DAN SISTEM KOORDINAT Materi ini merupakan prasyarat dalam mempelajari teori medan, maka pada modul ini akan membahas tentang pengertian/ defenisi vektor, aturan penulisan vektor, hukum aljabar dan operasi vektor diharapkan dngan memahami vektor akan memudahkan memahami gejalagejala medan elektromagnetik. Dan juga pada materi ini akan diperkenalkan tiga jenis sitem koordinat yaitu Koordinat Kartesian, Tabung dan Bola. Kegiatan Belajar 1 Vektor dan Skalar 1.



Defenisi Vektor dan Skalar Dalam mempelajari dasar-dasar fisika, terdapat beberapa macam kuantitas kelompok besaran yaitu Vektor dan Skalar. 1.



Skalar : Besaran yang dapat dinyatakan dengan sebuah bilangan nyata dengan kata lain skalar adalah besaran yang hanya mempunyai magnitudo (ukuran besar). Contoh : Suhu, panjang, Waktu, Massa, Berat Jenis, Kelembaban dsb.



2.



Vektor : Besaran yang mempunyai magnitudo (ukuran besar) dan arah. Contoh: Medan Listrik, Medan Magnet, Kecepatan, Percepatan, Gaya dan Perpindahan. Vektor disimbolkan dengan Huruf Kapital yang di tebalkan (A), Huruf A) Kapital yang diberi tanda panah diatas (⃗



2.



Aljabar Skalar Skalar ada 2 Macam a.



Skalar Biasa; dinyatakan dalam bilangan riil



b.



Skalar Kompleks atau fasor; memerlukan 2 angka riil sebagai bagian dari riil dan hayal, bisa juga dinyatakan dalam amplitudo dan sudut. Fasor merupakan bentuk pengganti dari bentuk sinusoidal -



Skalar Kompleks mempunyai 2 bentuk yaitu;



o Bentuk Rectangular



´ A−A=a+ jb dengan ; j=√ −1 o Bentuk Polar ´ −| A|∠ φ A =| A| e j(φ ) A A



3.



Aljabar Vektor Aljabar Vektor adalah operasi-operasi matematis yang dilakukan pada besaran vektor,



maka harus diketahui kaidah-kaidah yang berlaku pada aljabar vektor. - Representasi Vektor 



Panjang Anak Panah mewakili Ukuran Besar (Magnitudo)







Arah anak Panah mewakili arah vektor



- Notasi Vektor dalam koordinat ⃗ A=A x a^ x + A y a^ y + A z a^ z dengan a^ x , a^ y , a^ z adalah vektor satuan masing-masing sumbu koordinat - Vektor Satuan Maka



adalah vektor bermagnitudo satu dengan arah sesuai



dengan arah



Vektor ⃗ ⃗ A A A=A x a^ x + A y a^ y + A z a^ z , maka a^ A = = Jika ⃗ 2 | A| √ A x + A2y + A 2z 4.



Penjumlahan Vektor A dan ⃗ B adalah suatu vektor dan ⃗ C adalah hasil penjumlahan dari kedua vektor Jika ⃗



maka secara matematis dapat dituliskan: ⃗ A+ ⃗ B= ⃗ C B A



A B



Gambar. 1. Penjumlahan Vektor



Yang Harus dimiliki dalam Penjumlahan Vektor adalah memenuhi: 1. Hukum Komutatif



⃗ A+ ⃗ B= ⃗ B+⃗ A



2. Hukum Asosiatif



⃗ ⃗ A+( ⃗ B+ ⃗ C )=( ⃗ A +⃗ B)+ C



Catatan: Penjumlahan vektor berarti penjumlahan komponen-komponen Vektor 5.



Pengurangan Vektor Pengurangan Vektor sama dengan penjumlahan vektor, sedangkan tanda minus (-)



A di kurangi pada vektor berarti besar vektor sama hanya arah yang berlawanan. Jika vektor ⃗ B dan menghasilkan vektor ⃗ D , maka secara matematis dapat dituliskan vektor ⃗ ⃗ A−⃗ B =⃗ A+(−⃗ B )=⃗ D ሬ Ԧ 𝐵 ሬ Ԧ −𝐵 ሬ Ԧ 𝐵 ሬ Ԧ −𝐵



𝐴Ԧ



ሬԦ 𝐷



ሬ Ԧ 𝐵



𝐴Ԧ



ሬ Ԧ 𝐵 ሬ Ԧ −𝐵



ሬ Ԧ 𝐵 ሬ Ԧ 𝐴Ԧ 𝐷 ሬԦ ሬԦ ሬ Ԧ −𝐵 𝐷 𝐵 ሬ Ԧ 𝐵 ሬ Ԧ 𝐴Ԧ 𝐷 ሬԦ ሬ Ԧ −𝐵 𝐵 ሬ Ԧ 𝐵 ሬ Ԧ 𝐴Ԧ 𝐷 ሬԦ ሬ Ԧ −𝐵 𝐵 Ԧ Ԧ ሬ Ԧ ሬ Ԧ ሬ Ԧ ሬ Ԧ ሬԦ ሬ Ԧ 𝐴 𝐷 𝐵 −𝐵 𝐵 𝐴 𝐷 𝐵



Gambar 1.2 Pengurangan Vektor Contoh Soal Diketahui : ⃗ A=2 ⃗ax +3 ⃗a z ⃗ B=5 a⃗ x +⃗a y +3 a⃗ z Ditanyakan



:



A+ ⃗ B a. ⃗ A −3 ⃗ B b. 2 ⃗ Penyelesaian : a.



⃗ A+ ⃗ B



= (2 ⃗a x +3 ⃗az )+(5 ⃗ax + a⃗ y +3 ⃗az ) = (2+5) ⃗a x + a⃗ y +(3+3)⃗a z



⃗ A+ ⃗ B b.



= 7 a⃗ x + ⃗a y +6 a⃗ z



2⃗ A −3 ⃗ B = 2(2 ⃗a x + 3 ⃗az )−3 (5 ⃗a x + ⃗a y +3 ⃗a z) = ( 4−15) ⃗a x −3 ⃗a y +(6−15) a⃗ z



ሬ Ԧ 𝐵



2⃗ A −3 ⃗ B = −11 a⃗ x −3 a⃗ y −9 ⃗a z Kegiatan Belajar 2 Sistem Koordinat Untuk mengetahui posisi benda dalam dimensi ruang maka diperkenalkan beberapa model sistem koordinat, antara lain: 1. Sistem Koordinat Kartesian 2. Sistem Koorsinat tabung 3. Sistem Koordinat Bola 2.1 Sistem Koordinat Kartesian Sistem Koordinat Kartesian juga dikenal dengan sistem Kaidah Tangan kanan, seperti terlihat pada gambar dibawah ini



Z



Y



(0;0;0)



X



(0;0;0)



Y atau



X



Z Gambar 1.3 Koordinat Kartesian dengan Sistem Putaran



Dari gambar dapat dilihat jika arah sumbu x diputar searah sumbu y dengan ibu jari menggambarkan sumbu z dan arah lipatan keempat jari lainnya merupakan arah putaran sumbu x dan y. Untuk menggambarkan letak titik P(x, y, z) langkah-langkahnya adalah sebagai berikut, pertama kita tentukan dulu titik-titik x, y, dan z pada masing-masing sumbu yang terdapat pada koordinat kartesian. Kemudian buatlah garis melalui x dan y yang masingmasing sejajar dengan sumbu x dan sumbu y, naka diperoleh titik P 1 (x,y) pada bidang x, 0, y, dianggap sumbu z = 0, kemudian hubungkan titik 0 dengan titik P 1, dan buatlah garis melalui z yang sejajar dengan P1 dan melalui titik P1 juga dibuat garis sejajar dengan sumbu z, maka didapatlah titik P(x, y, z).



Contoh Gambarlah posisi titik P (1, 3, 4) Penyelesaian



Z 4 P(1;3;4)



Y



3



1 X



Gambar 1.4 Cara menggambar Titik P 2.1.1 Vektor dalam Koordinat Kartesian Dalam sistem koordinat kartesian terdapat tiga sumbu yang saling tegak lurus, seperti terlihat pada gambar dibawah ini: z







a



z 



a







a



y y



x



x Gambar 1.5 Sistem Koordinat Kartesian a⃗ x



= Vektor Satuan dalam arah x



a⃗ y



= Vektor Satuan dalam arah y



a⃗ z



= Vektor Satuan dalam arah z



Sistem Koordinat pada gambar 1.4 digunakan untuk menyatakan vektor, sebagai contoh vektor A yang bertitik di pusat koordinat seperti terlihat pada gambar 1.6, dan pada penjelasan



sebelumnya telah diterangkan bahwa Vektor adalah suatu besaran (magnitudo) yang mempunyai atau memiliki besar (harga) dan arah 𝐴𝑥



Z



𝐴𝑦 𝐴𝑧



𝐴



𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧



Y



𝐴𝑥 X



𝐴𝑦 𝐴𝑧



Gambar 1.6 Vektor Satuan dalam Koordinat Kartesian Ax



= Harga Vektor pada Sumbu x



Ay



= Harga Vektor pada Sumbu y



Az



= Harga Vektor pada sumbu z



Atau dapat dituliskan: ⃗ A=A x a^ x + A y a^ y + A z a^ z Besar Vektor A dapat diperoleh dengan persamaan



| A|= A=√ A 2x + A2y + A 2z Vektor Satuan adalah vektor yang mempunyai harga absolut (panjang) satu, hal ini bisa diperoleh dengan cara membagi vektor dengan nilai absolutnya ⃗ A a^ A = | A| Dengan a^ A



= Vektor Satuan dalam arah ⃗ A



⃗ A



= Vektor A



| A|



= Nilai (Harga Absolut/ Mutlak) vektor tersebut



A=A x a^ x + A y a^ y + A z a^ z dan pengertian vektor satuan, dapat di lihat bahwa a^ x , a^ y , a^ z Dari ⃗ masing-masing adalah vektor satuan dalam sumbu x, y dan z. Contoh A=4 a^ x +5 a^ y +6 a^ z berada dititik P(0, 0 , 0) Carilah vektor satuan dari ⃗ Penyelesaian :



| A|=√ A 2x + A 2y + A 2z = √ 4 2+ 52+ 62= √77=8,775 ⃗ A 4 a^ +5 a^ y +6 a^ z a^ A = = x =0,456 a^ x + 0,570 a^ y +0,684 a^ z | A| √ 77



|a^ A|=√ 0,4562+ 0,5702 +0,6842 =1 ⃗ A=A x a^ x + A y a^ y + A z a^ z 2.1.2 Hubungan antara Vektor dan Titik dalam Koordinat Dalam sistem koordinat terdapat dua titik, dimana dari kedua titik tersebut dapat dibuat vektor dari atau kearah masing-masing titik tersebut Contoh: Vektor dapat dibentuk dari dua titik A(0,0,0) ke tituk P(x p, yp, zp), dapat di buat persamaan sebagai berikut: ⃗ P=( x p ⃗ax + y p ⃗a y + z p ⃗a z)−( 0 ⃗a x + 0 ⃗a y +0 ⃗a z ) =x p a⃗ x + y p ⃗a y + z p a⃗ z Secara umum vektor dapat dibentuk dari dua buah titik P(xp, yp, zp) dan Q (xq, yq, zq) adalah: a. Vektor dengan titik asal P ke Q, maka dapat ditulis ⃗ R12= ⃗ R 2− ⃗ R1 ¿ ( x q ⃗a x + y q a⃗ y + zq a⃗ z ) −( x p ⃗ax + y p ⃗a y + z p ⃗a z ) ⃗ R12=( x q −x p ) a⃗ x + ( y q − y p ) ⃗a y + ( z q−z p ) a⃗ z b. Vektor dengan titik asal Q ke P, maka dapat ditulis ⃗ ⃗ 1− ⃗ R21= R R2 ¿ ( x p ⃗a x + y p ⃗a y + z p ⃗a z )−( x q a⃗ x + y q ⃗a y + z q ⃗a z ) ⃗ R12=( x p−x q ) a⃗ x + ( y p− y q ) ⃗a y + ( z p−z q ) a⃗ z R12dapat dihitung dengan persamaan Maka Besar (Magnitudo) vektor ⃗ 2 2 2 ⃗ R12=|⃗ R 12|=|⃗ R 2− ⃗ R1|= ( x q−x p ) + ( y q − y p ) + ( z q−z p )



√



Vektor satuan dalam arah P ke Q disimbolkan a⃗ 12, ditentukan dengan membagi vektor dengan besar vektor yang bersangkutan. a⃗ 12=



⃗ R12 ⃗ R2 − ⃗ R 1 ( x2 −x1 ) a⃗ x + ( y 2− y 1 ) ⃗a y + ( z 2−z 1 ) ⃗a z ¿ 2 2 2 |R⃗12| |⃗R2 −⃗R 1| ( x −x ) + ( y − y ) + ( z −z )



√



2



1



2



1



2



1



 R 12



z



P2(x2, y2, z2)



 R 12



P1(x1, y1, z1)



z



P2(x2, y2, z2)



P1(x1, y1, z1)



 az



 R1



 az



 R1  ay



y



 ay



 ax



y



 ax



x



x



Gambar 1.7 Vektor yang dibuat oleh dua titik 2.1.3 Perkalian Titik (Dot Produk) a. Perkalian titik dua buah vektor A dan ⃗ B didefenisikan sebagai: Perkalian titik dua buah vektor ⃗ ⃗ A ⋅⃗ B=|⃗ A||⃗ B| cosθ=ABcosθ θ = sudut terkecil antara vektor ⃗ Adan vektor ⃗ B Dalam perkalian titik, dapat ditinjau dari beberapa kasus A dan ⃗ B saling tegak lurus), maka 1. Jika θ=90 ° (⃗ ⃗ ⃗ =AB cos 90° =0 A∙B A dan ⃗ B sejajar), maka 2. Jika θ=0 ° (⃗ ⃗ ⃗ =AB cos 0 ° =AB A∙B A=⃗ B, maka 3. Jika ⃗ ⃗ A∙⃗ B =⃗ A ∙⃗ A=⃗ B∙⃗ B= A 2=B 2 b. Perkalian titik antara vektor dengan vektor satuan Perkalian antara vektor dengan vektor satuan dalam arah sumbu x, y, dan z didefenisikan sebagai a⃗ x ∙ ⃗ A=|⃗a x||⃗ A|cos α = A x α = sudut antara ⃗ A dan sumbu x +¿ a⃗ y ∙ ⃗ A =|⃗a y||⃗ A|cos β =A y β = sudut antara ⃗ A dan sumbu y +¿ a⃗ z ∙ ⃗ A =|⃗az||⃗ A| cos γ = A z



γ = sudut antara ⃗ A dan sumbu z +¿ A x , A y , A z masing-masing adalah komponen vektor ⃗ A dalam arah x, y, z c. Perkalian titik antara dua vektor satuan a⃗ x ∙ a⃗ y =⃗a y ∙ ⃗a z=⃗a z ∙ ⃗ax =0 a⃗ x ∙ a⃗ x =⃗a y ∙ ⃗a y =⃗a z ∙ a⃗ z=1 d. Perkalian titik Dua buah vektor dalam koordinat kartesian Contoh ⃗ A=A x ⃗a x + A y ⃗a y + A z ⃗az ⃗ B=B x b⃗ x +B y a⃗ y + B z ⃗a z



⃗ A∙⃗ B =( A ¿ ¿ x ⃗a x + A y ⃗a y + A z ⃗az ) ∙(B x ⃗ax + B y ⃗a y + Bz a⃗ z )¿ ¿ A x Bx + A y B y + A z B z Hasil perkalian titik dari dua buah vektor adalah berupa Besaran Skalar 2.1.4 Perkalian Silang (Cross Product) A dan ⃗ B akan menghasilkan vektor lain dengan arah Perkalian silang dua buah vektor ⃗ tegak lurus terhadap kedua vektor tersebut. Secara matematis perkalian silang antara A dan ⃗ B dirumuskan dua buah vektor ⃗



⃗ ⃗ =|⃗ Ax⃗ B=C A||⃗ B|sin θ ⃗an



𝐶Ԧ 𝑎Ԧ𝑛 y



x



𝐴Ԧ



𝜃



ሬ Ԧ 𝜃Ԧ = sudut antara 𝐴Ԧdan 𝐵 𝑎Ԧ𝑎 = vektor satuan yang mempunyai arah tegak lurus terhadap ሬ Ԧ vektor 𝐴Ԧdan 𝐵



ሬ Ԧ 𝐵 Gambar 1.8 Perkalian Silang antara dua vektor



Pada perkalian silang antara dua buah vektor tidak berlaku hukum komutatif ⃗ Ax⃗ B≠⃗ Bx⃗ A ⃗ Ax⃗ B=−( ⃗ B x⃗ A)



z



ሬԦ = 𝐵 ሬ Ԧ𝑥𝐴Ԧ= −ห𝐴Ԧหห𝐵 ሬ Ԧห𝑠𝑖𝑛 𝜃𝑎Ԧ𝑛 𝐷



𝑎Ԧ𝑎 y



x



𝐴Ԧ



Tanda minus (-) menunjukkan arah berlawanan



𝜃



ሬԦ 𝐷



ሬ Ԧ 𝐵



Gambar 1.9 Perkalian Silang antara dua vektor kebalikan dari Gambar 1.7 Perkalian silang antara dua vektor satuan: a⃗ x x ⃗a y =⃗a z



a⃗ y x ⃗ax =−⃗a z



a⃗ y x ⃗az =⃗a x



a⃗ z x a⃗ y =−⃗a x ⃗az x ⃗a x =⃗a y a⃗ x x ⃗a z=−⃗a y



a⃗ x x ⃗a x =⃗a y x ⃗a y =⃗a z x ⃗az =0 karena θ=0 ° A dan ⃗ B dalam koordinat kartesian dapat dituliskan dalam Perkalian dua buah vektor ⃗ persamaan: ⃗ Ax⃗ B= ( A x ⃗a x + A y ⃗a y + A z ⃗az ) x ( B x ⃗a x + B y ⃗a y + B z a⃗ z ) ¿ ( A y Bz −A z B y ) a⃗ x + ( A z B x − A x Bz ) ⃗a y + ( A x B y − A y B x ) a⃗ z Atau dapat dituliskan dalam bentuk matriks determinan a⃗ x ⃗a y ⃗ Ax⃗ B= A x A y Bx By



|



a⃗ z Az Bz



|



2.1.5 Volume Diferensial Elemen-elemen Permukaan dan Garis pada Sistem Koordinat Kartesian a.



Elemen Garis (dl) Elemen garis dl adalah diagonal yang melalui P, yaitu: dl=d x ⃗a x + d y a⃗ y + d z ⃗a z



atau



dl 2=d 2x +d 2y +d 2z b.



Elemen Permukaan (ds) Elemen permukaan adalah suatu bagian yang terbentuk dari elemen-elemen garis (dl), yaitu dS=± dl 1 x dl 2 Terlihat pada gambar 1.10



 Permukaan depan



: ± dy ⃗a y x dz ⃗a z=dydz ⃗a x



 Permukaan Samping



: ± dz ⃗az x dx a⃗ x =dzdx a⃗ y



 Permukaan Alas



: ± dx ⃗ax x dy ⃗a y =dxdy ⃗a z



Gambar 1.10 Elemen-elemen permukaan dS dan dV c.



Elemen Volume (dV) Elemen volume adalah suatu bagian yang terbentuk dari elemen-elemen permukaan (dS), yaitu: dV =dl 1 x dl 2 x dl 3. Ambil dS permukaan depan yaitu dS=dydz a⃗ x , maka dV =dxdydz, demikian pula permukaan-permukaan lain didapat dV =dxdydz



2.2 Sistem Koordinat Tabung (Koordinat Silindris) Jika menemukan suatu permasalahan pada sistem koordinat maka akan lebih mudah penyelesaiannya apabila kita mengetahui cara penyelesainnya dalam sistem koordinat yang sesuai. Karena tidak semua benda mempunyai bentuk siku-siku seperti balok, kubus, bujur sangkar dan bentuk-bentuk siku lainnya, benda-benda seperti tabung, botol, pipa, tempat sampah, kerucut memiliki bentuk lingkaran dengan simetri yang khas. Bentuk-bentuk seperti ini susah digambarkan pada koordinat kartesian karena simetri lingkaran sulit untuk digambarkan, maka berikut ini akan dipaparkan mengenai salah satu koordinat setelah koordinat kartesian yaitu koordinat Tabung atau koordinat silinder, dan juga akan dijelaskan hubungan antara koordinat kartesian dan koordinat tabung. Jika dalam koordinat kartesian kita mengenal tiga sumbu yaitu sumbu x, sumbu y dan sumbu z, maka pada koordinat tabung diperkenalkan variabel-variabel: ρ , φ dan z untuk menggambarkan suatu posisi titik



z



z 𝜌 𝑠𝑖𝑛 𝜑



𝜌 𝑐𝑜𝑠 𝜑



𝜌1



𝑎Ԧ𝑧



𝑑𝜌



𝜌 𝑎Ԧ𝜑



𝑑𝑧 𝑧1



𝑧 + 𝑑𝑧



𝑎Ԧ𝜌



𝑧



𝜌𝑑𝜑



y 𝜑1



𝜌



𝜑 + 𝑑𝜑



𝜑 = 𝜑1



x



y



𝜑



𝜌 = 𝜌1



𝜌 + 𝑑𝜌



x (a)



(b)



Gambar 1.11 Hubungan antara variabel koordinat kartesian dan Tabung Gambar (a) terlihat Volume diferensial dalam koordinat tabung diperoleh dengan menambah ρ , φ dan z dengan pertambahan diferensial dρ , dφ dan dz. Gambar (b) mendekati bentuk kotak dengan volume sangat kecil dan panjang sisi-sisinya dρ , ρdφ dan dz. dρ dan dz adalah dimensi panjang, sedangkan dφ bukan dimensi panjang untuk mengubah menjadi dimensi panjang maka dikalikan dengan ρ sehingga menjadi ρdφ. Maka; Luas permukaannya adalah



: ρdρdφ ,dρdz , ρdφdz



Volumenya adalah



: ρdρdφdz



2.2.1 Vektor Satuan dalam Koordinat Tabung dan Hubungannya dengan Koordinat Kartesian Yang dimaksud dengan vektor satuan adalah vektor yang mempunyai harga absolut sama dengan satu. Dalam sistem koordinat tabung ada tiga komponen vektor satuan yaitu: a⃗ r=



r⃗ , a dan ⃗az . ⃗ |r| φ



a⃗ r



= vektor satuan pada komponen ρ (sesuai dengan arah penambahan harga)



a⃗ φ



= vektor satuan pada komponen φ (sesuai dengan arah penambahan harga)



a⃗ z



= vektor satuan pada komponen z (sesuai dengan arah penambahan harga)



Perhatikan gambar (1.11) diatas, hubungan antara koordinat Kartesian dan Koordinat Tabung sebagai berikut:



x=ρ cos φ



ρ2=x 2 + y 2



y= ρsin φ



φ=tan−1



z=z



z=z



y x



Besar sudut φ ditentukan dengan melihat besar dan tanda komponen x dan y x=1 , y=1 →φ=45 ° x=−1 , y=1 → φ=135 ° x=1 , y=−1 → φ=135 ° x=−1 , y=1 → φ=225 °  Vektor dalam koordinat kartesian ⃗ A=A x ⃗a x + A y ⃗a y + A z ⃗az  Vektor dalam koordinat tabung ⃗ A=A ρ a⃗ x + A φ ⃗aφ + A z a⃗ z  Transformasi Vektor A ρ= ⃗ A ∙ ⃗a ρ= A x a⃗ x ∙ a⃗ ρ + A y ⃗a y ∙ ⃗a ρ+ A z ( a⃗ z ∙ ⃗a ρ) =0 ¿ A x cos φ+ A y sin φ+0 Aφ = ⃗ A ∙ ⃗aφ = A x ⃗a x ⃗aφ + A y ⃗a y ⃗a φ + A z ( ⃗a z ∙ a⃗ φ ) =0 ¿− A x sin φ+ A y cos φ+0 ⃗ A z= ⃗ A∙⃗ A z= A x (a ¿ ¿ x ⃗az )=0+ A y (⃗a ¿ ¿ y ∙ ⃗a z )=0+ A z ( a⃗ z ∙ ⃗a z)=1¿ ¿ ¿ ¿ Az Jika dituliskan dalam bentuk matriks Aρ cos φ sin φ 0 A x A φ = −sin φ cos φ 0 A y 0 0 1 Az Az



[ ][



][ ]



Untuk mendapatkan hubungan balikannya maka harus digunakan “INVERS MATRIKS”. Perhatikan bahwa harga determinan dari matriks tersebut adalah (1) maka invers matriks diatas sama dengan transposenya Ax cos φ sin φ 0 = A y −sin φ cos φ 0 0 0 1 Az



[ ][



−1



Aρ cos φ −sin φ 0 A ρ A φ =¿ sin φ cos φ 0 A φ 0 0 1 Az Az



][ ] [



][ ]



Tabel perkalian titik dan vektor satuan dalam sistem koordinat tabung dan koordinat kartesian aρ



aφ



az



ax ∙ ay∙ az ∙



cos φ sin φ 0



−sin φ cos φ 0



0 0 1



Contoh Tentukan posisi titik koordinat kartesius dari titik A(10 ; 53,13 ° ,5) dan posisi titik koordinat tabung dari titik B (-5, -5, 2) Penyelesaian a.



Menetukan posisi titik koordinat kartesius A dari titik A(10 ; 53,13 ° ,5) X =ρ cos φ=10 cos 53,13 °=6 Y = ρsin φ=10 sin 53,13 °=8 Jadi titik koordinat kartesius dari (10 ; 53,13 ° , 5) adalah (6; 8; 5)



z



(6;8;5) y x Menentukan posisi titik B(tabung) dari titik B (-5; -5; 2)



ρ=√ x 2 y 2=√ (−5)2 +¿ ¿ y −5 tan φ= = =1 x −5 φ=inv tan φ=inv tan ( 1 ) =45 °



(



Jadi titik koordinat B adalah 5 √ 2 ,



π ,2 4



)



z



𝜋 ቀ5ξ 2, , 2ቁ 4 y



x



2.3 Sistem Koordinat Bola Koordinat bola digunakan untuk menyatakan sutau objek yang mempunyai bentuk simetri bola. Sebagai contoh adalah bumi, kedudukan objek-objek yang berada di bumi akan sulit dijelaskan dengan koordinat kartesius dan koordinat tabung karena bentuknya yang bulat, oleh karena itu digunakan sistem koordinat bola agar mudah dibayangkan. Sistem koordinat bola mempunyai variabel-variabel r , θ , φ, untuk menentukan posisi titik P dalam koordinat bola seperti gambar berikut z



z



𝜃



𝑑𝑟



y r P 𝜑



y



𝑎Ԧ𝜑



𝑟𝑑𝜃



𝑎Ԧ𝑟 𝑎Ԧ𝜃



x



x



(a)



𝑟 sin 𝜃 𝑑 𝜑



(b)



Gambar 1.12 (a) Posisi titik P (r , θ , φ) dalam sistem koordinat bola, (b) unsur diferesial dalam koordinat bola Penulisan vektor dalam sistem koordinat bola ⃗ A=A r ⃗ar + A θ ⃗aθ + Aφ ⃗aφ Ar = besar komponen vektor A dalam arah r



Aθ = besar komponen vektor A dalam arah θ Aφ = besar komponen vektor A dalam arah φ a⃗ r = vektor satuan dalam arah radial a⃗ θ = vektor satuan dalam arah θ a⃗ φ = vektor satuan dalam arah φ  Transformasi skalar dari sistem koordinat kartesian ke koordinat bola x=r sin θ cos φ y=r sin θ sin φ z=r cos θ  Transformasi skalar dari sistem koordinat bola ke koordinat Kartesian r =√ x 2 + y 2 + z 2 θ=cos−1 φ=tan−1



z



√x



2



+ y2 + z2



y x



 Transformasi koordinat kartesian dan bola A=A x ⃗a x + A y ⃗a y + A z ⃗az di transformasikan ke Vektor pada sistem koordinat kartesian ⃗ koordinat bola menjadi Ar =⃗ A ∙ ⃗ar =A x ⃗a x ∙ ⃗ar + A y ⃗a y ∙ a⃗ r + A z ⃗az ∙ ⃗ar Aθ = ⃗ A ∙ a⃗ θ= A x a⃗ x ∙ a⃗θ + A y ⃗a y ∙ ⃗aθ + A z ⃗a z ∙ a⃗ θ Aφ = ⃗ A ∙ ⃗aφ = A x ⃗a x ∙ ⃗aφ + A y ⃗a y ∙ a⃗ φ + A z ⃗a z ∙ a⃗ φ Dalam bentuk matriks Ar a⃗ x ∙ a⃗ r a⃗ y ∙ ⃗ar a⃗ z ∙ a⃗ r A x = Aθ a⃗ x ∙ ⃗aθ ⃗a y ∙ a⃗θ ⃗az ∙ ⃗aθ A y Aφ ⃗a x ∙ ⃗aφ a⃗ y ∙ a⃗ φ a⃗ z ∙ a⃗ φ A z



[ ][



][ ]



Dengan cara yang sama transformasi dari koordinat bola ke kartesian Ax a⃗ r ∙ a⃗ x a⃗θ ∙ ⃗a x a⃗ φ ∙ ⃗a x A r = Ay a⃗ r ∙ ⃗a y ⃗aθ ∙ a⃗ y a⃗ φ ∙ ⃗a y A θ Az ⃗ar ∙ ⃗az ⃗aθ ∙ a⃗ z ⃗aφ ∙ a⃗ z Aφ



[ ][



][ ]



Perkalian titik vektor satuan dalam sistem koordinat bola dan koordinat kartesian



ar sin θ cos φ sin θ sin φ cos θ



ax ∙ ay∙ az ∙



aθ cos θ cos φ cos θ sin φ −sin θ



aφ −sin φ cos φ 0



 Tranaformasi dari koordinat bola ke koordinat kartesian menjadi Ax sin θ cos φ cos θ cos φ −sin θ Ar = Ay sin θ sin φ cos θ sin φ cos φ A θ cos θ −sin θ 0 Az Aφ



[ ][



][ ]



 Tranaformasi dari koordinat kartesian ke koordinat bola menjadi Ar sin θ cos φ sin θ sin φ cos θ A x = Aθ cos θ cos φ cos θ sin φ −sin θ A y −sin φ cos φ 0 Aφ Az



[ ][



][ ]



 Komponen-komponen koordinat dalam panjang, luas dan volume Koordinat



Panjang dx dy dz dρ ρdφ dz dr r sin θ dφ rdθ



Kartesian Tabung Bola



3.



Luas dxdy dxdz dydz ρdρdφ dρdz ρdzdφ dr ∙ rsinθdφ dr ∙ rdθ rdθ rsinθdφ



Volume dxdydz ρdρdφdz dr ∙ rdθ∙ rsinθdφ



Soal-soal Latihan →



→



→



→



→



→



→



A =2a x +4 a y −3 a z dan B =a x −a y , tentukan : 1. Diberikan →



Jawaban : -2, →



→



→ →



A⋅B dan



→



→



A ×B



→



−3 a x−3 a y −6a z →



→



→



→



→



A =2a x +4 a y dan B =6a y −4 az , tentukan : sudut terkecil antara kedua 2. Diberikan vektor tersebut dengan menggunakan a. hasil kali silang b. hasil kali titik



Jawaban : a. 41,9 ° b. 41,9 ° 3.



Jika diketahui titik-titik M(-1, 2, 1), N(3, -3, 0) dan P(-2, -3, -4) tentukanlah



(a )⃗ R MN ( b ) ⃗ RMN + ⃗ RMP ( c )|r⃗ M| ( d ) a⃗ MP ( e )|2 r⃗ p −3 r⃗ n| Jawaban: ( a ) 4 ⃗a x −5 ⃗a y −⃗a z ; ( b ) 3 a⃗ x −10 a⃗ y −6 ⃗a z ; ( c ) 2,45 ;



( d )−0,14 ⃗a x −0,7 a⃗ y −0,7 a⃗ z ; ( e ) 1,56 4.



Sebuah medan vektor ⃗S dinyatakan dalam sistem koordinat Kartesian sebagai ⃗S=¿ ,ditanyakan (a) tentukan nilai dan arah ⃗S di titik P(2, 3, 4), (b) Carilah Vektor satuan yang memiliki arah sama dengan ⃗S dititik P. (c) Tuliskan persamaan untuk sebuah permukaan f (x , y , z) dimana |⃗S|=1 Jawaban: ( a ) 5,95 ⃗a x +11,90 ⃗a y +23,8 ⃗a z ; ( b ) 0,218 ⃗a x +0,436 ⃗a y +0,873 ⃗a z 2



2



2



( c ) √ ( x−1 ) ( y−2 ) ( z+1 ) =125 5.



Tiga sudut sebuah bidang segitiga masing-masing berada pada titik A(6, -1, 2) B(-2, 3, R AB ; (b) ⃗ R AC ; (c) sudut θ BAC yang terletak dititik A; (d) -4) dan C(-3, 1, 5) tentukan (a) ⃗ R AB pada ⃗ R AC Vektor proyeksi ⃗ Jawaban: (a) −8 a⃗ x +4 ⃗a y −6 ⃗az ; (b) −9 a⃗ x +2 ⃗a y +3 ⃗a z; (c) 53,6 °; (d) −5,94 a⃗ x +1,319 ⃗a y +1,979 ⃗a z



6.



Tiga sudut sebuah bidang segitiga masing-masing berada pada titik A(6, -1, 2) B(-2, 3, R AB x ⃗ R AC ; (b) luas daerah segitiga; (c) sebuah vektor -4) dan C(-3, 1, 5) tentukan (a) ⃗ satuan yang tegak lurus terhadap bidang segitiga ini Jawaban: (a) 24 ⃗ax +78 ⃗a y +20 a⃗ z; (b) 42; (c) 0,268 a⃗ x + 0,928 ⃗a y +0,238 ⃗a z



7.



(a) Tentukan koordinat kartesian dari titik C ¿, (b) Tentukan koordinat tabung dari titik D( x=−3,1; y=2,6 ; z =−3), (c) hitunglah jarak dari titik C ke titik D Jawaban: ( a ) C ( x=−1860 ; y =−3,99 ; z =2 ) ,



( b ) D( ρ=4,05 ; φ=140,0 ° ; z−3) (c) 8,36 8.



F =10 ⃗a x −8 ⃗a y +6 ⃗az , dititik P(10, Transformasikan kekoordinat tabung vektor-vektor: ( a ) ⃗ G= (2 x + y ) ⃗ax −( y−4 x )⃗a y, dititik Q(ρ , φ , z), (c) Tentukan komponen-8,6); ( b ) ⃗ komponen



koordinat



kartesian



dari



vektor



⃗ H =20 ⃗aρ −10 ⃗aφ + 3 ⃗az



P(x = 5, y = 2, z = -1) Jawaban: ( a ) 12,8 ⃗a ρ +6 ⃗a z;( b ) ( 2 ρ cos2 φ−ρ sin 2+ ρ sin φ cos φ ) + ¿



dititik



(c ) ⃗ H x =22,3 ; ⃗ H y =−1,857; ⃗ H z=3 9.



Bila diketahui dua buah titik C(-3, 2, 1) dan D(r =5,0 ; θ=20 ° ; φ=−70° ), tentukan (a) koordinat bola dari titik C, (b) koordinat kartesian dari titik C (b) koordinat kartesian dari titik D; (c) jarak C ke D Jawaban: ( a ) C (r=3,74 ;θ=74,5 ° ; φ=146,3 °);



( b ) D( x=0,585; y =−1,607 ; z=4,70); ( c ) 6,29 10. Transformasikan vektor-vektor berikut ini kedalam koordinat bola pada titik-titik yang disebutkan: ( a ) 10 ⃗a x dititik P ( x=−3 , y=2 , z=4 ) , ( b ) 10 ⃗a y dititik Q ( ρ=5 , φ=30 ° , z=4 ) ,



( c ) 10 ⃗az dititik M ( r=4 , θ=110 ° , φ=120 ° ) Jawaban: ( a )−5 ,57 ⃗ar −6,18 ⃗aθ −5,55 ⃗aφ; ( b ) 3,90 ⃗ar + 3,12 a⃗ θ+ 8,66 ⃗aφ



( c ) −3,42 ⃗ar−9,40 ⃗aθ Daftar Bacaan 1. William H Hayt, Jr, Jhon A Buck; Elektromagnetika Edisi Ketujuh, Erlangga 2. Jaja Kustija, Modul Medan Elektromagnetik 3. Muhammad Ali, Modul Kuliah Medan Elektromagnetik 4. M. Hariansyah, Kuliah Medan Elektromagnetik 5. Salama Manjang, Bahan Kuliah Medan Elektromagnetika



MODUL 2 HUKUM COULOMB DAN INTENSITAS MEDAN LISTRIK A. Deskripsi Materi pada modul ini akan membahas tentang beberapa prinsip dasar kelistrikan, yaitu membahas tentang hukum-hukum eksperimental dan menuliskan hukum-hukum tersebut dalam notasi vektor lalu mecoba menyelesaikan beberapa soal sederhana, dengan cara ini pemahaman terhadap analisis vektor, berbagai konsep medan listrik dan magnet akan terbentuk dan akan mudah memahaminya. Kegiatan Belajar 1 Hukum Coulomb B. Hukum Eksperimental Coulomb Seorang kolonel pada pasukan zeni Prancis yang bernama Kolonel Charles Coulomb yang merupakan seorang perwira yang biasa berfikir teratur dan tepat melakukan serangkaian percobaan atau eksperimen yang melanjutkan beberapa eksperimen sebelumnya yaitu eksperimen dari Dr. Gilbert yang merupakan dokter untuk ratu Inggris dimana dokter Gilbert ini pertamakali melakukan eksperimental mengenai efek tarikan dan dalam tahun 1600



menyatakan bahwa kaca, belerang, batu ambar dan bahan lainnya “tidak hanya dapat menarik jemari dan sekam, tetapi juga logam, kayu, batu, tanah bahkan air dan minyak”. Dari eksperiman inilah maka kolonel Charles melakukan serangkaian eksperimen lanjutan dengan menggunakan timbangan torsi yang peka dan dirancang sendiri untuk menentukan secra kuantitatif gaya yang bekerja antara dua benda yang masing-masing bermuatan listrik statis. Hasil pekerjaan yang diterbitkannya sekarang banyak diketahui siswa sekolah lanjutan dan bentuknya serupa dengan hukum grafitasi Newton yang didapatkan seratus tahun lebih dahulu. Coulomb menyatakan bahwa “Garis gaya antara dua benda yang sangat kecil dalam ruang hampa berbanding lurus dengan muatan masing-masing benda tersebut dan berbanding terbalik dengan jarak kuadrat tersebut” atau; ⃗ F =k



Q1 Q2



(1)



R2



Dengan  Q1 dan Q2 menyatakan besar muatan masing-masing benda (positif atau negatif)  Jika Q1 dan Q2 mempunyai tanda yang sama (positif semua atau negatif semua), maka gaya akan tolak menolak dan jika tanda berlawanan (satu positif dan satu negatif) maka gaya akan tarik menarik. Dan vektor gaya F2 pada Q2 akan mengarah kearah yang sama dengan vektor jarak R12



Ԧ12 = 𝑟Ԧ2 − 𝑟Ԧ1 𝑅ሬ 𝑎Ԧ12 𝑄1



Ԧ12 𝑅ሬ



𝐹Ԧ2 𝑄2



𝑟Ԧ2



𝑟Ԧ1



Gambar 1 Vektor Gaya F2 pada Q2 



R= jarak antara Q1 dan Q 2



 k =¿konstanta yang tergantung dari medium tempat muatan berada; k=



1 1 = 4 πε 4 π ε 0 ε r



(2)



dengan: ε = permitivitas medium ε =ε 0 ε r yang merupakan gaya aksi reaksi ε r= permitivitas relative mediumterhadap ruang hampa ε 0=Permitivitas Vakum=8,854 x 10−12 F /m=



1 10−9 F /m 36 π



Maka dalam ruang hampa konstanta menjadi k=



1 =9 x 109 F /m 4 π ε0



Sehingga persamaan (2.1) diruang hampa atau medium udara menjadi: 1 Q1 Q 2 9 Q1 Q 2 ⃗ F= =9 x 10 4 π ε 0 R2 R2



(3)



Persamaan (2.3) selanjutnya disebut Hukum Coulomb Untuk medium lain Besar Gaya ⃗ F=



Q1 Q2 4 π ε0 εr R



=9 x 109 2



Q1 Q 2 εr R2



C. Gaya Coulomb Muatan listrik Q1 dan Q2 dinyatakan sebagai tempat kedudukan titik-titik dalam suatu ruang yang membentuk garis, sehingga keduanya dijabarkan dalam koordinat ruang dan jarak yang menghubungkan kedua muatan tersebut satu sama lain dinyatakan sebagai vektor. Gaya Coulomb yang terjadi pada muatan Q 1 akibat muatan Q2 dinyatakan dalam koordinat Kartesian dan diberikan pada Gambar 2



z 𝐹Ԧ12 𝑟Ԧ1



𝑄1 𝑟Ԧ2



𝑟Ԧ2 − 𝑟Ԧ1 𝑄2 y



x F 12 Gaya Coulomb yang terjadi pada muatan Q 1 yang disebabkan oleh muatan Q 2 Gambar 2 ⃗ yang dinyatakan dalam koordinat Kartesian Dari gambar 2 dapat didefenisikan: ⃗ R12= ⃗ R 2− ⃗ R1 ⃗ R12=( x 2 ⃗a x + y 2 ⃗a y + z 2 ⃗az )−( x 1 ⃗ax + y 1 ⃗a y + z 1 a⃗ z ) ⃗ R12=( x 2−x 1 ) ⃗a x + ( y 2− y 1 ) ⃗a y + ( z 2−z 1 ) ⃗az a⃗ 12=



⃗ R12 ⃗ R 2− ⃗ R 1 ( x 2−x 1 ) ⃗a x + ( y 2− y 1 ) ⃗a y + ( z 2−z 1 ) ⃗az = = 2 2 2 |⃗R12| |⃗R2− ⃗R 1| ( x −x ) + ( y − y ) + ( z −z )



√



2



1



2



1



2



1



Sehingga gaya Coulomb pada Q1 dapat dituliskan sebagai vektor: ⃗ F 1=⃗ F1 ⃗a12=



k Q 1 Q2 ε 0 ε r R 212



⃗a12=9 x 109



Q1 Q2 ε r R 212



a⃗12



(4)



Dengan: Q1



= besar muatan 1 (Coulomb)



Q2



= besar muatan 2 (Coulomb)



R12



= jarak antar muatan (m)



a⃗ 12



= vektor satuan dengan arah dari 1 ke 2



εr



= permitivitas relatif medium



Contoh soal Dua buah muatan Q 1=200 μC berada pada titik (1, 0, 3) dan Q 2=30 μC berada pada titik (0, 2, 1). Jika muatan tersebut berada dalam medium udara, maka tentukan gaya yang dialami oleh muatan Q 2



Penyelesaian: Diketahui



: Q 1=200 μC ;



Q 2=30 μC



Ditanyakan



F ¿¿ 2) ¿ : Gaya ( ⃗



Penyelesaian : ⃗ R12= ⃗ R 1− ⃗ R 2=( 0 a⃗ x +2 ⃗a y +1 ⃗az )−( ⃗ax +0 a⃗ y +3 ⃗az ) =−⃗a x +2 ⃗a y −2 ⃗az 2 2 2 ⃗ R12=|⃗ R 12|=|⃗ R 2− ⃗ R1|=√ (−1 ) + ( 2 ) + (−2 ) =3



a⃗ 12=



⃗ R12 −⃗a x + 2 ⃗a y −2 a⃗ z = 3 |⃗R12|



⃗ F 2=9 x 109



Q1 Q2 ε r R 212



=9 x 10 9



30 x 10−6 x 200 x 10−6 =6 N 1 x 32



Maka ⃗ F 2=F2 ⃗a12=6



( −⃗a +23a⃗ −2 ⃗a )=−2 ⃗a +4 ⃗a −4 ⃗a x



y



z



x



y



z



Gaya dinyatakan dalam hukum Coulomb merupakan gaya timbal balik, karena masingmasing muatan mengalami gaya yang besarnya sama tetapi arahnya berlawanan, sehingga kita bisa menuliskan gaya yang terjadi pada muatan Q1 akibat muatan Q2 adalah: ⃗ F 2=−⃗ F1 =



k Q1 Q2 ε0 εr R



2 21



⃗a21=9 x 10



9



Q1 Q 2 ε r R221



⃗a21



(5)



Dari penjelasan diatas dapat diturunkan 1 ⃗ F medium= ⃗ F F harganya hampir sama dengan di vakum. didalam udara ⃗ ε r vakum Gaya pada satu muatan Q yang disebabkan oleh banyak muatan ditlis dalam bentuk hubungan matematik 1 ⃗ FR= ¿ 4 πε



(6)



Gaya interaksi akibat muatan-muatan listrik ini ada yang tarik menarik (jika jenis muatannya berbeda) dan tolak menolak jika jenis muatannya sama. Hal-hal penting yang berkaitan dengan persamaan diatas: 1. Persamaan diatas hanya berlaku untuk muatan titik 2. k adalah tetapan pembanding, sedangkan tetapan ε 0 disebut permitivitas listrik ε 0=8,85 x 10



−12



C2 N .2



3. Bila muatan Q 1 dan Q 2 mempunyai tanda sama (sejenis) akan terjadi gaya tolak menolak. Bila muatan Q1dan Q 2 berlawanan tanda (tidak sejenis) maka akan terjadi gaya tarik menarik. 4. Persamaan diatas hanya berlaku bila muatan Q 1 dan Q 2, berada dalam vakum (ruang hampa) termasuk udara. Untuk medium isolator lain tetapan pembandingnya berbeda. 5. Hukum Coulomb merupakan hukum yang linier artinya jika kita kalikan Q1 dengan faktor n, maka gaya yang bekerja pada Q1 juga besarnya akan dikalikan dengan faktor n demikian juga dengan gaya pada Q2. Karena linier maka jika ada beberapa muatan, maka gaya yang timbul adalah jumlah gaya yang disebabkan oleh masing-masing muatan tersebut. z



Contoh soal 1.



Hitung gaya di Q 1 jika diketahui: Q1=2 mC pada posisi ( 3 ,−2 ,−4 ) 𝑄2



Q 2=2 μC pada posisi (1 ,−4 , 2)



𝑟Ԧ2



-y



penyelesaian



𝑟Ԧ1



r⃗ 1−⃗r 2=2 ⃗a x +2 ⃗a y −6 ⃗a z



|r⃗1 −⃗r 2|=√ 22 +22 +22=√ 44 ⃗ F 12=K



Q1 Q2 ( r⃗ 1−⃗r 2) 3



|r⃗1−⃗r 2|



𝑄1 9



=9 x 10



2 x 10−3 x 5 x 10−6 3



|√ 44|



( 2 a⃗ x +2 ⃗a y −6 ⃗az )



¿ 0,616 a⃗ x + 0,616 ⃗a y −1,8484 ⃗a z ⃗ F 12= √0,616 2+ 0,6162 +1,84842= √ 4,174=2,04 Newton D. Gaya pada Beberapa Muatan Empat buah muatan terdistribusi seperti ditunjukkan pada gambar 3



𝐹Ԧ12



y



y



𝑄2



𝑄2 𝑄1



𝑄1



𝑄3



𝑄3 x



𝑄4



x



𝑄4 (b)



(a) Gambar 3. ( a ) Vektor posisi Q1 ,Q 2 , Q 3 danQ 4



( b ) Vektor relatif Q1 terhadap Q2 ,Q3 dan Q4 Bila Q 1 ,Q 2 , Q 3 danQ 4 terpasang kuat pada posisi masing-masing, gaya resultan pada Q 1 oleh karena Q1 ,Q2 , Q3 danQ 4 adalah: ⃗ F i =⃗ F12 + ⃗ F13 + ⃗ F 14 Dengan ⃗ F 12 gayaCoulomb antaraQ 1 dan Q2 saja ⃗ F 13 gayaCoulomb antara Q 1 dan Q 3 saja dan seterusnya Jadi gaya pada Q1 oleh beberapa muatan adalah superposisi interaksi antara Q 1 dengan masing-masing muatan. Pernyataan ini dikenal sebagai prinsip superposisi pada interakasi Coulomb. E. Medan Listrik Interaksi dua buah muatan listrik saling berdekatan, muatan Q adalah muatan yang diletakkan ditempat yang tetap sedangkan muatan q berupa muatan yang dapat bergerak bebas di sekitar Q dan berada dalam pengaruh medan listrik Q.  E q



+Q



r



𝑄 = 𝑀𝑢𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑆𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟 𝑞 = 𝑀𝑢𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑢𝑗𝑖 𝑟 = 𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑟𝑎 𝑚𝑢𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟 𝑑𝑎𝑛 𝑚𝑢𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑢𝑗𝑖 𝑎Ԧ𝑟 = 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑎𝑟𝑎ℎ 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑙



Gambar 4 Mdan listrik yang terjadi pada suatu muatan



Jika diasumsikan medan listrik disekitar muatan Q serbasama, untuk jarak r yang sama maka muatan q akan mendapatkan besar gaya coulomb yang sama. Besar kecilnya gaya yang diterima q bergantung dari besar muatan Q, q dan jarak r, serta jenis medium tempat muatan tersebut berada. Jika q adalah muatan uji sebesar 1 Coulomb maka gaya yang dialami q E adalah gaya persatuan muatan, selanjutnya gaya persatuan muatan uji disebut medan lisrik (⃗ ): ⃗ F Q ⃗ E= = ⃗a q 4 π ε0 εr r 2 r



(7)



Medan listrik merupakan besaran vektor dan dapat dinyatakan dalam sistem koordinat seperti gambar 5  E



z Q1(x1, y1, z1)



qp



 R 1p



P(xp, yp, zp)



 Rp



 R1



x y



x



Gambar 5 Vektor medan listrik dalam koordinat kartesian Sehingga diperoleh persamaan ⃗ Q1 R p −⃗ R1 ⃗ E= 2 ⃗ R1| 4 π ϵ ϵ |⃗ R −⃗ R | |R p −⃗ 0 r



p



1



⃗ E=



⃗ Q1 R p −⃗ R1 3 4 π ϵ 0 ϵ r |⃗ R p− ⃗ R1|



⃗ E=



⃗ Q1 R1 p 3 4 π ϵ 0 ϵ r |⃗ R 1 p|



Contoh soal F.



(8)