6.7 Medan Elektromagnetik [PDF]

Citation preview

6.7



Tetapkan besarnya konduktivitas germanium tipe n pada suhu kamar, dengan menganggap adanya satu atom donor per 108 atom germanium. Rapat germanium adalah 5,32 x 103 dan beratnya atomnya 72,6 kg/kmol. Ada



















1  3 28  5.32 x10  4.41x10 atom/m3  72.6 



N  6.02 x10 26 



Dan ini memberikan











N e  10 8 4.41 x 10 28  4.41x10 28 electron /m3



Konsentrasi intrinsic ni untuk germanium pada 300 K adalah 2,5 x 1019 per m3. 2 Hukum tindan-massa , N e N h  ni kemudian memberikan kerapatan jumlah



lubang sebagai  2.5 x 1019 N h   20  4.41 x 10







  1.42 x1018 lubang/m3 



Kemudian, menggunakan mobilitas dari soal 6.6   N e e e  N h e h



























 4.41 x 10 20 1.6 x 10 19  0.38  1.42 x 1018 1.6 x 10 19  0.18



= 26.8 + 0.041 = 26.8 S/m Pada germanium tipe n ini jumlah electron dalam setiap meter kubik adalah 4,41 x 1020, dibandingkang lubang sebanyak



1,42 x 1018. maka



konduktivitasnya dikontrol oleh electron-elektron yang diberikan oleh zat penambah yang bervalensi lima itu 6.8



Pada suatu penghantar yang panjangnya 150 m dan berpenampang terdapat penurunan potensial 1,3 V dan rapat arus 4,65 x 10 5 A/m2. Berapa konduktivitas bahan penhantar itu? Karena E  V /  dan J  σσ  1.3    150 



4.65 x 10 5   



6.9



atau



  5.37 x 10 7 S/m



Suatu daftar restivitas memberikan harga 10,4 ohm circular mils untuk setiap ft tembaga (annealed). Berapa konduktivitasnya dalam siemens per meter? Suatu circular mil adalah luas dari suatu lengkaran dengan diameter 1 mil



10



3



inci



   10  3 in   2   



1 cir mil =   



PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB



 



 0.0254



m   in  



2



 5.07 x10 10 m2



Ir. Bambang Hutomo, Bc.



MEDAN ELEKTROMAGNETIK



1



Konduktivitas adalah kebalikan dari resistivitas. 



1 ft   10 . 4 Ω  cir mil  



 







 12 







in   m   0.0254  ft   in 







1 cir mil  5.07 x 10 10 m 2  



  5.78 x 10 7  



S/m 6.10



Kawat aluminium AWG  20 mempunyai hambatan 16.7 ohm setiap 1000 ft. Berapakah konduktivitas aluminium menurut data ini? Dari daftar dawai-dawai, dawai  20 mempunyai diameter 32 mil.  32 x 10 3  A  0.0254   2  



2



 5.19 x 10  7 m 2



  (1000 ft) (12 in/ft)(0.0254 m/in) = 3.05 x 102 m



Akhirnya dari R =  / A,  



6.11



3.05 x 10 2 32.2 MS/m 16.7   5.19 x 10 7 



Dalam penghantar silindris dengan radius 2 mm, rapat arus berubah dengan jarak dari sumbunya mengikuti J  10 3 e 400 r (A/m2)



Tentukan arus total I. I 



2



 J  dS   J dS    0



0.002



0



 e  400 r   400r  1   2 10   2  (400)  3



6.12



r



10 3 e  400 r dr d







0.002



 7.51 mA 0



Tentukan arus yang melalui bagian dari bidang y = 0 yang ditentukan oleh  0,1  x  0,1m dan  0.002  z  0,002 m, kalau



J  10 2 x a y (A/m2) I 



6.13



 J  dS  



0.002







0.1



10 2 x a y  dx dz ay  4 mA



 0.002  0.1



Tentukan arus listrik yang melalui bagian dari bidang x = 0 yang ditentukan



oleh `   / 4  y   / 4 dan  0,01  z  0,01 m jika J = 100 cos 2y ax (A/m2) I 



6.13



 J  dS  



0.01







 /4



 0.01  / 4



100 cos 2 ya x  dy dz a x  2.0 A



Diberikan J = 103 sin  ar A/m2 dalam koordinat bola, tetapkan arus yang melalui permukaan bolq 0,02 m Karena



PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB



Ir. Bambang Hutomo, Bc.



MEDAN ELEKTROMAGNETIK



2



dS  r 2 sin θ dθ d a r



Adalah radial I 



6.15



2



  0







0



10 3  0.02  sin 2  d d  3.95A 2



Tunjukan bahwa hambatan bagi penghantar yang panjangnya I dan berpenampang serbasama seluas A adalah R = l / A , jika distribusi arusnya dianggap serbasama Penampang yang serbasama sepanjang l itu mengakibatkan konstannya E, dan penurunan potensial di sana adalah V 



 E  dl  E



Kalau arus terbagi rat pada luas A I 



Di mana



 J  dS  JA  EA



 adalah konduktivitasnya. Maka karena R = V/I, R



6.16







A



Tetapkan hambatan dari isolasi kabel koaksial sepanjang I, seperti tampak di gambar 6-14. Kita anggap ada arus total I dari penghantar di dalam ke penghantar luar. Maka pada jarak radius r. J 



1 1  A 2r



E



1 2r



Sehingga



Beda potensial di antara ke dua penghantar itu adalah a



Vab    E  dl  Vab    b



a



b



1 1 b dr  In 2 r 2 a



Hingga hambatan yang dinyatakan adalah R



6.17



V 1 b  In I 2  a



Suatu lembaran arus selebar 4 m berada pada bidang z = 0 dan mencakup arus total 10 A dalam arah langsung dari titik asal ke (1, 3, 0)m. Peroleh bentuk ungkapan bagi K. Pada setiap titik dari lembaran itu arah K adalah vector satuan a x  3a y 10



PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB



Ir. Bambang Hutomo, Bc.



MEDAN ELEKTROMAGNETIK



3



Dan besarnya K adalah (10/4) A./m. sebab itu K



6.18



10  a x  3a y  4  10 



 A / m 



Arus sebesar IT mengalir ke bawah melalui filament sepanjang sumbu x dan kemudian suatu lembaran konduktor titpis di z = 0, seperti pada. nyatakan K pada lembaran tersebut. Pandangan suatu lingkaran pada bidang z = 0. Arus IT menyebar secara serbasama melalui keliling lingkaran itu yang panjangnya 2r. Arah K adalah ar. Jadi K



6.19



IT ar 2r



Untuk arus pada soal 6.18 tetapkan besarnya arus yang masuk sector sebesar 30O dari bidang itu I   K n d  



 /6



0



IT I r d  T 2r 12



Sebenarnya di sini tak perlu integrasi karena pada arus yang tersebar merata, suatu segmen sebesar 30O akan mengandung 30O/360O atau 1/12 dari arus total. 6.20



Suatu arus I memasuki satuan silender penghantar tipis pada permukaan atasnya, seperti ditunjukan. Nyatakan K kalau jari-jari silender 2 cm. Pada permukaan atas, arus itu tersebar rata pada keliling 2 r sehingga K 



Pada



selubung



I   a r  (A/m) 0.04



silender,



arus



itu



terbagi



rata



sepanjang



keliling



2π 0,02m  sehingga



K 



6.21



I   az  0.04



Pada suatu titik di permukaan suatu penghantar E = 0,70 a x – 0.35 ay – 1.00 az V/m. Berapakah rapat muatan permukaan di titik itu? Dalam keadaan statis di permukaan penghantar komponen tangensial Et adalah nol. Sebab itu vector E yang diberikan itu mestilah normal terhadap permukaan konduktor tadi. Dengan menganggap ruang bebas di permukaan itu.



PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB



Ir. Bambang Hutomo, Bc.



MEDAN ELEKTROMAGNETIK



4



 s  D n   0  E n   0 E  



10 9 36



 0.70 2   0.35 2  1.00 2



 11.2pC/m 2



Tanda    digunakan kalau diketahui E tersebut mengarah ke luar dari permukaan itu. 6.22



Suatu penghantar silindris dengan jari-jari 0,05 m dengan porosnya pada sumbu x mempunyai rapat muatan permukaan  s = (  0 / z ) (C/m2). Tuliskan suatu ungkapan untuk E di permukaannya. Karena Dn   s , E n   s /  0 di (0.05,,z), E  En ar 



6.23



0 ar 0z



Suatu penghantar yang mengisi bagian ruangan x  5 mempunyai kerapatan muatan permukaan s 



0 y  z2 2



Tuliskan ungkapan untuk E dan D tepat di luar penghantar itu. Vektor normal dalam hal ini adalah  a x . Maka tepat diluar konduktor itu 0



D  Dn   a x    s   a x  



y  z2 2



  ax 



Dan E



6.24



0 0 y2  z2



  ax 



Dua penghantar silinder seporos, dengan jari-jari ra = 0,01 m dan rb = 0,08 m, mempunyai rapat-rapat muatan  sa  40pC/m 2 dan  sb , sedemikian hingga medan-medan D dan E-nya hanya ada di dalam ruangan di antara kedua silinder itu. Krena simetris, medan di antara kedua silinder mestilah radial dan merupakan fungsi r saja. Maka untuk ra < r < rb D 



Untuk



1 d  rDr   0 atau r dr



menghitung



konstanta



c,



rDr = c



pergunakan



bahwa



Dn



=



Dr



=



 sa  di r  ra  0











c   0.01 40 x 10 12  4 x 10 13 C/m



Maka pula



PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB



Ir. Bambang Hutomo, Bc.



MEDAN ELEKTROMAGNETIK



5



D



4 x 10 13 a r C/m 2 r











E



dan



D 4 x 52 2  a r (V/m) 0 0.08



Kerapatan  sb kemudian kita peroleh dari



 sb  Dn 



  Dr r  rb  0



r  rb  0



4 x 1013   pC/m 2 0.08



Soal-soal Tambahan 6.25



Tetapkan mobilitas dari electron konduksi dalam uluminium, jika diberikan konduktivitas aluminium 38,2 MS/m dan rapat muatan konduksinya 1,70 x 1029 m



6.26



3



Jawab.



1,40 x 10 3 m 2 /V  s



Ulangi soal 6.25 (a) untuk tembaga, di mana   58.0 MS/m dan Ne = 1,13 x 1029 m 3 (b) untuk perak, di mana   61.7. MS/m dan Ne = 7,44 x 1028 m 3



Jawab. 6.27



(a)



3.21 x 10 3 m2 / V  s; (b) 5,18 x 10 3 m2 / V  s;



Tetapkan konsentrasi lubang, Nh dalam germanium tipe p, di mana   10 4 S/m dan mobilitas lubang itu  h  0,18 m 2 /V  s Jawab.



6.28



3,47 x 1023 m 3



Memakai data pada soal 6.27, tetapkan konsentrasi electron, Ne, kalau konsentrasi intrinsikny ni = 2,5 x 1019 m 3



6.29



Jawa. 1,80 x 1015 m 3



Tetapkan konsentrasi lubang dan electron dalam silicon tipe n untuk mana   10,0 S/m,  e  0,13m 2 /V  s dan ni = 1,5 x 1016 m 3



Jawab. 6.30



4, 81 x 1020 m 3 , 4,68 x 1011 m 3



Tetapkan jumlah electron konduksi tungsten setiap meter kubuknya, kalau rapat massanya 18,8 x 103 kg/m3 dan berat atomnya 184,0. Anggaplah ada dua electron konduksi bagi setiap atomnya.



6.31.



Jawab.



1,23 x 1029



Tetapkan banyaknya electron konduksi dalam satu meter kubik tembaga, jika   58 MS/m dan   3,2 x 10 3 m 2 /V  s



PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB



Berarti pukul rata berapa electron



Ir. Bambang Hutomo, Bc.



MEDAN ELEKTROMAGNETIK



6



per atomkah ini? Berat atomnya 63,54 dan rapat massanya 8,96 x 10 3 kg/m3. Jawab 6.32



1,13 x 1029, 1,33



Sepanjang suatu batang tembaga dengan penampang persegi panjang 0,02 m x 0,08 dan panjang 2,0 m dijumpai penurunan potensi 50 mV. Tetapkan hambatan, kuat arus, rapat arus, kuat medan listrik, dan kecepatan hanyut electron-elektron konduksi dalam hal ini. Jawan.



6.33



21,6 , 2,32 kA, 1,45 MA/m2, 25 mV/m, 0,08 mm/s



Suatu batang aluminium dengan penampang 0,01 m x 0,007 m dan panjangnya 3 m dilalui arus 300 A. Tetapkan kuat medan listrik, rapat arus dan kecepatan hanyut electron-elektron konduksi di dalamnya. Jawab.



6.34



1,12 x 10 2 V/m, 4,28 x 105 A/m2, 1,57 x



5



m/s



Suatu daftar dawai menyatakan hambatan dari dawai tembaga AWG  20 adalah 1,21 x 10 3 /cm. berapakah konduktivitas (dalam S/m) tembaga artinya ini? Diameter dawai tersebut adalah 32 mils. Jawab.



6.35



5,8 x 107 S/m



Suatu daftar dawai menyatakan hambatan dari dawai platina AWG  18 adalah 1,21 x 10  3 / cm . Berapakah artinya ini bagi konduktivitas (dalam S/m) untuk platina? Diameter dawai AWG  18 adalah 40 mils. Jawab.



6.36



1,00 x 107 S/m



Berapakah konduktivitas dawai tungsten AWG  32 dengan hambatan 0,0172 /cm? Dia meter dawai tersebut adalah 8,0 mils.



6.37



179 MS/m



Tetapkan hambatan per meter suatu pipa eluminium dengan diameter 32 mm dan tebal 6 mm.



6.38



Jawab.



53,4 /m



Jawab.



Tetapkan hambatan suatu lembaran eluminium setebal 0,1 mil dan berbentuk bujursangkar bersisi 5,0 cm (a) diantara dua sisinya yang berhadapan, (b) di antara kedua mukanya.



6.39



Jawab.



(a). 1,03 m,



(b) 266 p



Tetapkan hambatan 100 ft dawai AWG  4/0 dari tembaga dan dari aluminium. Diameter dawai AWG  4/0 adalah 460 mil. Jawab. 4,91 m, 7,46 m



6.40



Tetapkan hambatan dari suatu dawai tembaga sepanjang 2 m berpenampang lingkaran dengan jari-jari 1mm di salah satu ujung, yang bertambah besar secra linear hingga menjadi 5 mm pada ujung yang lain.



PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB



Ir. Bambang Hutomo, Bc.



Jawab. 2,20 m



MEDAN ELEKTROMAGNETIK



7



6.41



Tetapkan hambatan dawai tembaga sepanjang 1 m dengan penampang bujursangkar dengan sisi 1 mm pada salah satu satu ujung , dan bertambah besar secara linear menjadi 3 mm pada ujung yang lain.



6.42



Jawab. 5,75 m



Turunkanlah ungkapan bagi hambatan suatu penghantar yang panjangnya  jika penampangnya mempunyai bentuk yang tetap tapi luasnya bertambah secra linear dari A sampai kA dalam jarak  tersebut.   In k    A  k  1 



Jawab. 6.43



Tetapkan rapat arus pada suatu dawai AWG  12 kalau ia dilalui 30 A. Dawai  12 itu mempunyai diameter 81 mil.



6.44



9,09 x 106 A/m2



Jawab.



Tentukan arus total dalam suatu dawai penghantar berpenampang lingkran dengan jari-jari 2 mm, kalau rapat arusnya berubah dengan r menurut J = 103/r (A/m2).



6.45



Dalam



Jawab. koordinat



4 A silindris



J



= 10e



100r



a



(A/m2)



untuk



daerah



0,01  r  0,02 m



0 < z  1 m. Tentukan arus total yang mellaui perpotongan daerah ini dengan bidang  = konstan. 6.46



Jawab. 2,33 x 10 2 A



Jika diberikan rapat arus  10 3  J   2 cos   a (A/m2)  r 



Dalam



koordinat



bola,



tentukan



   / 4, 0,001  r  0,080 m



6.47



arus



Jawab.



yang



melalui



pita



kerucut



1,38 x 104 A



Hitunglah arus total yang keluar dari kubus dengan panjang sisi 1 m, yang satu titik sudutnya di titik asal dan dengan sisi-sisinya sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat, kalau J = 2x2 ax + 2xy3 ay + 2xyaz (A/m2).



6.48



Jawab. 3,0A



Suatu arus filament I (A) turun melalui sumbu z sampai z = 5 x 10 2 m di mana ia masuk ke dalam bagian 0     / 4 dari suatu kulit bola dengan jarijari 5 x 10 2 m. Tentukan rapat arus permukaan K untuk hal ini Jawab.



6.49



80 I a (A/m)  sin 



Suatu lembaran arus dengan kerapatan K = 20az A/m berada pada bidang x = 0, dan rapat arus sebesar J = 10 az A/m2 juga terdapat di seluruh ruangan. (a) Tetapkan arus yang melalui permukaan yang dikelilingi lingkarn berjari-jari



PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB



Ir. Bambang Hutomo, Bc.



MEDAN ELEKTROMAGNETIK



8



0,5 m dengan pusatnya di titik asal pada bidang z = 0. yang melalui bujursangkar Jawab. 6.50



x  0,24 m,



(b) Tetapkan arus



y  0,25 m, z  0



(a) 27, 9 A ; (b) 12,5 A



Suatu pipa penghantar berdinding tipis dengan penampang persegi panjang berukuran 0,1 m x 0,02 m dilalui arus 10 A dalam arah x. Tentukan K. Jawab.



6.51



167 ax A/m



Suatu penghantar pejal yang satu permukaannya dinyatakan oleh x + y = 3 m, mencakup titik asal. Pada permukaan tersebut kuat medan listriknya adalah 0,35 V/m. Ungkapan E dan D di permukaan itu, dan tentukan pula  s



6.52



Jawab.



 0.247 a x  a y 



`



 3.10 x 10 12 C/m2,



V/m,



 2.19 x 10 12  a x  a y  C/m2,



Suatu penghantar yangb berada di daerah z < 0 salah satu permukaanya pada z =



0,



di



mana



terdapat



kerapatan



muatan



permukaan



sebesar



 s  5 x 10 10 e 10 r sin 2  (C/m2) dalam koordinat silindris. Tentukan kuat



medan listrik di (0,15 m, /3,0) 6.53



Jawab.



9,45 ax V/m



Suatu bola penghantar dengan jari-jari 3 dan berpusat di titik asal mempunyai muatan di permukaannya dengan kerapan muatan  s   0 cos 2  . Tentukan E dipermukaan bola itu.



6.54



Jawab.



0 cos 2 a r 0



Kuat medan listrik pada suatu titik di permukaan suatu penghantar adalah E = 0,2ax – 0,3ay – 0,2az V/m. Berapa besarnya rapat muatan permukaan di tempat itu



6.55



Jawab.



3,65 pC/m2



Suatu bola penghantar yang berpusat di titik asal, di permukaannya terdapat medan listrik sebesar E = 0,53 (sin2  ar V/m dalam koordinat bola. Berapa besarnya kerapatan muatan di titik potong bola dengan sumbu y ? Jawab.



4,69 pC/m2



PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB



Ir. Bambang Hutomo, Bc.



MEDAN ELEKTROMAGNETIK



9