Mekanika Kuantum (Bab Bonus) [PDF]

Citation preview

i



Undang-Undang RI Nomor 28 Tahun 2014 tentang Hak Cipta Ketentuan Pidana Pasal 113 ayat (3) dan (4): (3) Setiap orang yang dengan tanpa hak dan/atau tanpa izin Pencipta atau pemegang Hak Cipta melakukan pelanggaran hak ekonomi Pencipta sebagaimana dimaksud dalam Pa­sal 9 ayat (1) huruf a, huruf b, huruf e, dan/atau huruf g untuk Penggunaan Secara Ko­mer­sial di­pi­dana dengan pidana penjara paling lama 4 (empat) tahun dan/pidana denda paling banyak Rp1.000.000.000,00 (satu miliar rupiah). (4) Setiap orang yang memenuhi unsur sebagaimana dimaksud pada ayat (3) yang dilakukan da­ lam bentuk pembajakan, dipidana dengan pidana penjara paling lama 10 (sepuluh) ta­hun dan/atau pidana denda paling banyak Rp4.000.000.000,00 (empat miliar rupiah). Pasal 114: Setiap orang yang mengelola tempat perdagangan dalam segala bentuknya yang dengan sengaja dan mengetahui membiarkan penjualan dan/atau penggandaan barang hasil pe­langgaran Hak Cipta dan/atau Hak Terkait di tempat perdagangan yang dikelolanya se­bagaimana dimaksud da­lam Pasal 10, dipidana dengan pidana denda paling banyak Rp100.000.000,00 (seratus juta ru­piah).



MEKANIKA KUANTUM



oleh: VANI SUGIYONO, S.T. © all rights reserved Hak cipta dilindungi undang-undang Desain Sampul: Duri F. Penyunting: Tri Admojo Pemeriksa Aksara: Bala Seda Diterbitkan oleh: CAPS (Center for Academic Publishing Service) Jl. Cempaka Putih No. 8 Deresan CT X, Gejayan, Yogyakarta 55283 Telp. (0274) 556043/555939, Fax. (0274) 546020 Email: [email protected] VANI SUGIYONO, S.T. MEKANIKA KUANTUM; - Cet. 1 - Yogyakarta: CAPS, 2016, x + 558 hlm, 15 x 23 cm ISBN (10) 602-9324-75-6 ISBN (13) 978-602-9324-75-4 1. Literature II. Tri Admojo











Distributor tunggal: PT BUKU SERU Jl. Kelapa Hijau No. 22 RT 006/03 Kelurahan Jagakarsa, Kecamatan Jagakarsa Jakarta 12620 Telp. (021) 7888-1850 Faks. (021) 7888-1860 Email: marketingbukuseru.com Website: www.bukuseru.com Cetakan Pertama, 2016



I. Judul 800



KATA PENGANTAR Alhamdulillahirabbil’alamin



S



egala puji bagi Allah Azza wa Jalla atas segala rahmat, nikmat, kesehatan dan kekuatan, sehingga buku “Mekanika Kuantum“



ini dapat terselesaikan dengan penuh rasa sukur. Semoga shalawat serta salam juga selalu tercurahkan bagi Baginda Nabi Muhammad Shalallahu’alaihi wa salam. “Mekanika Kuantum” merupakan salah satu mata kuliah wajib bagi mahasiswa Jurusan Fisika. Persoalan yang dihadapi oleh mahasiswa Fisika dalam mem­ pelajari Mekanika Kuantum adalah kurangnya buku-buku referensi dalam bahasa Indonesia, sekaligus kurangnya buku-buku referensi yang mudah dipahami dengan bahasa para mahasiswa. Karena itu banyak sekali mahasiswa yang gagal mendapatkan nilai bagus untuk mata kuliah ini. Kegagalan mendapatkan nilai bagus bukanlah sesuatu hal yang esensial, namun jika gagal dalam memahami Mekanika Kuantum secara utuh dan menyeluruh, itu baru suatu kesalahan mendasar yang akan mempersulit mahasiswa di kemudian hari. Itulah sebabnya buku “Mekanika Kuantum” ini sengaja disusun secara sekuensial dan rekursif, sehingga pemahaman pembaca pada bab sebelumnya akan membantu me­mahami bab-bab selanjutnya. Setiap materi disajikan dengan membawa emosi pembaca untuk mengenal sejarah bagaimana gagasan kuantum dilahirkan, bagaimana rumus diciptakan, mengapa kita mempelajari gagasan itu, dan apa pentingnya gagasan itu dalam kehidupan kita seharihari. Semua ada di sini. Di dalam buku yang sederhana ini. v



Selain itu dalam buku “Mekanika Kuantum” ini juga dilengkapi dengan contoh soal, pembahasan, dan soal latihan untuk menguji pemahaman pembaca. Harapan saya, buku “Mekanika Kuantum” ini mampu menjadi sarana untuk membantu pembaca dalam me­ mahami Mekanika Kuantum dengan cara yang berbeda, sesuai dengan tingkat logika, imajinasi dan pemahaman mereka. Penulis juga tidak lupa menyampaikan rasa terima kasih yang sebesar-besarnya kepada keluarga: Ayah, Mama, Bapak dan Emak, adek-adek, keponakanku yang lucu Raihan, istriku yang tercinta Fiya, putra kami tersayang Enzo, dan juga teman-teman redaksi CAPS, mas Tri Admojo, mas Bala, mas Hasnul dan juga tim. Dengan dukungan penuh dan doa dari mereka, akhirnya buku “Mekanika Kuantum” ini dapat diselesaikan dengan penuh rasa syukur. Terima kasih juga penulis sampaikan kepada teman-teman di facebook yang memberikan masukan dan saran yang membangun. Seperti sebuah pepatah, “Tak ada gading yang tak retak” tentu saja di dalam buku yang sederhana ini akan terdapat banyak sekali lubanglubang yang mungkin saja mengganggu, karena keterbatasan ilmu dan pengalaman penulis. Saran dan kritik yang membangun dari teman-teman pembaca sangat penulis harapkan. Teman-teman dapat menghubungi penulis di laman: vanisugiyono.ST Akhir kata, semoga buku “Mekanika Kuantum“ ini mampu menginspirasi dan ber­manfaat bagi pembaca pada umumnya, serta mahasiswa Jurusan Fisika pada khususnya. Di ruang kerja penulis, Banyuwangi Vani Sugiyono, S.T. vi



DAFTAR ISI: KATA PENGANTAR ~ v DAFTAR ISI ~ vii PENDAHULUAN ~ 1 BAB 1 Pendalaman Matematika ~ 7 1.1. Vektor ~ 7 1.2. Matriks ~ 11 1.3. Nilai Eigen dan Vektor Eigen ~ 22 1.4. Ruang Hilbert ~ 30 Contoh Soal dan Soal Latihan ~ 40 BAB 2 Lahirnya Teori Kuantum ~ 55 2.1. Radiasi Benda Hitam ~ 55 2.2. Bencana Ultraviolet ~ 60 2.3. Kuanta Energi Planck ~ 65 2.4. Hukum Pergeseran Wien ~ 74 Contoh Soal dan Soal Latihan ~80 BAB 3 Efek Fotolistrik dan Relativitas ~ 95 3.1. Sinar Katoda ~ 96 3.2. Efek Fotolistrik ~ 100 3.3. Relativitas Einstein ~ 107 Contoh Soal dan Soal Latihan ~120 BAB 4 Momentum Gelombang ~ 139 4.1. Efek Compton ~ 140 4.2. Panjang Gelombang de Broglie ~ 145 Contoh Soal dan Soal Latihan ~152 vii



BAB 5 Persamaan SchrÖdinger ~ 171 5.1. Persamaan SchrÖdinger Non-relativistik~ 172 5.2. Persamaan SchrÖdinger Relativistik~ 177 5.3. Persamaan SchrÖdinger Tak Gayut Waktu ~ 181 Contoh Soal dan Soal Latihan ~188 BAB 6 Probabilitas Gelombang Materi ~ 209 6.1. Gagasan Max Born ~ 209 6.2. Kucing SchrÖdinger ~ 216 Contoh Soal dan Soal Latihan ~220 BAB 7 Ketidakpastian Heisenberg ~ 237 7.1. Asas Ketidakpastian Heisenberg ~ 237 7.2. Distribusi Gaussian Ternormalisasi ~ 243 Contoh Soal dan Soal Latihan ~250 BAB 8 Postulat I, II, III, dan IV ~ 267 8.1. Postulat I ~ 267 8.2. Postulat II ~ 272 8.3. Postulat III ~ 277 8.4. Postulat IV ~ 280 Contoh Soal dan Soal Latihan ~ 284 BAB 9 Aplikasi Persamaan SchrÖdinger ~ 307 9.1. Sumur Potensial ~ 307 9.2. Osilator Harmonik ~ 326 9.3. Partikel Bebas (Satu Dimensi) ~ 345 9.4. Partikel Bebas (Tiga Dimensi) ~ 348 Contoh Soal dan Soal Latihan ~354 viii



BAB 10 Atom Hidrogen ~ 391 10.1. Operator Laplacian (Koordinat Bola) ~ 391 10.2. Persamaan SchrÖdinger (Koordinat Bola) ~ 405 10.3. Sumur Potensial Bola ~ 414 10.4. Atom Hidrogen ~ 420 10.5. Spektrum Atom Hidrogen ~ 432 Contoh Soal dan Soal Latihan ~ 436 BAB 11 Momentum Sudut Orbital dan Rotasi~ 461 11.1. Operator Momentum Sudut ~ 463 11.2. Nilai Eigen L2 dan Lz ~ 466 11.3. Fungsi Eigen L2 dan Lz ~ 475 11.4. Momentum Sudut Rotasi ~ 481 11.5. Larangan Pauli ~ 483 Contoh Soal dan Soal Latihan ~486 BAB 12 Pendekatan “W.K.B.” ~ 505 12.1. Sejarah Pendekatan “W.K.B.” ~ 505 12.2. Wilayah Klasik ~ 507 12.3. Sumur Potensial ~ 512 12.4. Persamaan Koneksi ~ 518 12.5. Efek Terowongan ~ 526 12.6. Peluruhan Alfa ~ 530 Contoh Soal dan Soal Latihan ~ 534 PENUTUP ~ 551 DAFTAR PUSTAKA ~ 555 TENTANG PENULIS ~ 558



ix



“Tuhan memberi soal secara implisit di alam semesta, lalu para fisikawan menjawabnya dengan suka rela.” ~Vani Sugiyono



PENDAHULUAN



S



emua berawal dari kata “keraguan”. Ya, keraguan. Keraguan akan keyakinan yang selama ini diimani oleh para Fisikawan



Klasik, bak agama yang fanatik. Para Fisikawan modern mulai kehilangan “keimanan”-nya (dalam tanda kutip) pada gagasan klasik, karena mereka memandang fisika dari kacamata yang berbeda. Mereka menemukan gagasangagasan meragukan yang terdistribusi acak pada setiap gagasangagasan fisika klasik yang dulu pernah mereka imani. Ada 6 gagasan klasik yang dianggap sakral dan diimani oleh para fisikawan klasik pada masa itu, di antaranya adalah: 1. Alam semesta merupakan manifestasi dari sistem-sistem sederhana yang terkuantisasi menjadi sistem raksasa. 2. Fatwa Newton tentang gerak yang selalu disebabkan oleh hukum sebab-akibat. 3. Keadaan-keadaan gerak yang diimani bersifat sekuensial, sehingga keadaan sekarang bisa untuk menentukan masa lalu ataupun masa yang akan datang. 4. Mereka percaya bahwa Maxwell telah lengkap menjelas­ kan fenomena gelombang elektromagnetik cahaya. 5. Energi dapat dimodelkan dengan model partikel ataupun model gelombang. 6. Dan yang terakhir, tidak mustahil mengukur dua hal dalam waktu yang bersamaan dengan ketelitian tinggi. Itulah 6 gagasan klasik yang dianggap sakral yang juga mulai diragukan oleh para fisikawan modern hingga saat ini. 1



MEKANIKA KUANTUM Eksperimen-eksperimen yang telah mereka lakukan pun mem­ benarkan keragu-raguan mereka. Hingga 30 tahun lamanya, secara diam-diam, mereka bersepakat untuk melakukan sebuah kudeta, menggulingkan kerajaan fisika klasik dan menggantinya dengan sesuatu yang baru, sesuatu yang lebih shahih kebenarannya. Diawali dengan “bencana ultraviolet” menjelang berakhirnya abad 19. Sebuah teori yang membuat keimanan Max Planck ter­ hadap gagasan klasik mulai goyah. Dan tidak lama kemudian dia berhasil membuktikan bahwa “bencana ultraviolet” yang sempat menjadi kontroversi itu tidaklah benar. Planck berhasil menemukan rumusan sederhana tentang radiasi benda hitam. Walau sederhana, tapi penemuannya inilah yang membidani lahirnya Mekanika Kuantum di awal abad 20. Pada waktu yang hampir bersamaan, dalam selang waktu be­ berapa tahun saja, seorang pemuda biasa yang bekerja di sebuah kantor paten di Swiss—Albert Einstein—dengan rasa percaya diri yang tinggi mengirimkan makalah­nya yang berisi gagasan tentang efek fotolistrik pada tahun 1905. Gagasan Einstein tersebut, selain juga membuktikan rumusan sederhana Planck, juga menunjukkan bahwa fisika klasik sudah berakhir. Dan Setidaknya Planck tidak sendiri, dia berjalan bergandengan bersama Einstein. Tidak mau kalah dengan Einstein, seorang laki-laki terhormat dari kalangan akademisi—yang memang seharusnya dia turut me­ nyumbangkan gagasan baru bagi ilmu pengetahuan—Neils Bohr, juga turut menyumbangkan gagasannya tentang spektrum cahaya pada tahun 1913. Sembilan tahun kemudian, tepatnya 1922, seorang Fisikawan Amerika Serikat bernama Arthur Compton melakukan eksperimen yang sangat luar biasa. Dalam eksperimennya tersebut, cahaya tidak lagi dapat dibedakan perilakunya, antara partikel atau gelombang. 2



Pendahuluan Prancis pun juga turut berbangga diri, di tahun 1923, karena salah satu pangeran mereka yang sangat cerdas, bernama Pangeran Louis de Broglie berhasil merumuskan momentum linier sebuah gelombang pada tugas akhirnya. Walaupun pada awalnya sempat mendapat penolakan dari panitia penguji, namun akhirnya Einstein membantu meyakinkan panitia penguji bahwa gagasan de Broglie bukanlah main-main, tapi inilah fakta yang sebenarnya yang sedang alam katakan pada mereka, diam-diam dan pelan-pelan. Pada tahun 1924, Wolfgang Pauli datang dengan larangannya. Ya, larangan yang tidak mengijinkan dua buah elektron atau lebih memiliki empat bilangan kuantum yang sama (alamat elektron pada sebuah atom). Tentu saja elektron tidak seperti burung merpati dan orbital bagi elektron tidak sama dengan rumah merpati, sehingga teori pigeon hole tak berlaku di sini. Beberapa bulan kemudian, tepatnya di musim dingin 1925, seorang fisikawan yang flamboyan, Erwin SchrÖdinger berhasil me­ nemukan gagasan gelombangnya yang revolusioner—secara tidak sengaja saat melakukan aktivitas romantis bersama pasangannya —aktivitas romantis yang penuh cinta di bawah temaram lampu dan udara segar pegunungan Tyrol, Austria. Saat itu dia memang sedang liburan Natal dan membutuhkan suasana yang inspiratif untuk menyelesaikan persamaan gelombangnya. Namun, gagasan gelombang SchrÖdinger seakan-akan meng­ hidupkan kembali gagasan klasik yang mulai diragukan. Tak berselang lama setelah persamaan gelombang SchrÖdinger terpublikasikan, bulan juli 1926, seorang pemuda sok tahu bertanya pada SchrÖdinger tentang apa yang tidak dapat dijelaskan oleh per­ samaan gelombangnya pada saat di Munich. Saat itu SchrÖdinger memang hanya me­nemukan gagasan gelombang yang bisa dibilang “mentah”. Dan dia bahkan tidak tahu apa yang ditemukannya. 3



MEKANIKA KUANTUM Pemuda sok tahu dalam kuliah umum SchrÖdinger saat di Munich itu adalah Werner Heisenberg, seorang fisikawan jenius berkebangsaan Jerman yang telah memublikasikan gagasan­ nya tentang mekanika matriks. Pemuda yang saat ini dikenal dengan prinsip ketidakpastiannya. Ya, prinsip yang sangat revolusioner yang pernah ditemu­kan oleh seorang anak muda yang sok tahu. Misteri persamaan SchrÖdinger akhirnya mulai terpecahkan saat Max Born mempublikasikan gagasannya tentang probabilitas gelombang pada musim panas 1926. Born menjabarkan bahwa norma dari gelombang SchrÖdinger me­rupakan sesuatu yang tak pasti atau bersifat probabilistik. Merasa gagasan gelombangnya telah ditafsirkan seenaknya oleh Born, SchrÖdinger membuat sebuah pertanyaan eksperimental yang dia sebut sebagai “Kucing SchrÖdinger”. Pertanyaan yang dia harap mampu menepis gagasan Born yang seenaknya itu. Tapi upaya SchrÖdinger itu sepertinya gagal. Dengan dingin, Born menjawab “Kucing SchrÖdinger” itu dengan jawaban yang bisa dibilang ber­tentangan dengan akal sehat, namun cukup ilmiah dan logis untuk menjawab soal yang mengada-ada itu. Walaupun terjadi perseteruan antara fisikawan pada masa itu karena perbedaan masing-masing gagasan, tapi akhirnya mereka disatukan pada sebuah pertemuan di tahun 1927. Pertemuan itu bertajuk Konferensi Solvay, yang digagas oleh Ernest Solvay untuk membahas gagasan baru yang akan menggantikan gagasan klasik yang mulai diragukan. Tiga puluh fisikawan modern top dunia datang pada konferensi ter­sebut yang akhirnya ber­hasil menyatukan perbedaan dan berhasil membidani sebuah gagasan baru yang akhirnya kita kenal sebagai “Mekanika Kuantum”. [ ]



4



Untuk istriku Fiya dan putra kami Enzo



“Penglihatan hanya sekadar proyeksi, tapi matematika menyusunnya menjadi persepsi.” ~ Vani Sugiyono



Jika Anda berminat untuk membeli buku “Mekanika Kuantum“ karya Vani Sugiyono, S.T., bisa Anda order di: Toko Buku terdekat (Gramedia, Togamas, dll) Atau silakan hubungi *) facebook: vanisugiyono.ST WhatsApp kami: 0857 859 83 888 *) free tanda tangan penulis + sampul



U A N TU M K A MEKANIK



“Gangguan membuat kita termotivasi.” ~Vani Sugiyono



TEORI GANGGUAN A



BAB



BONUS



lam semesta terdiri dari berbagai sistem yang amat sangat kompleks. Salah satu sistem kompleks yang telah kita kenal



adalah atom Hidrogen. Namun, pada bab sebelumnya kita hanya menyelesaikan atom Hidrogen dengan hanya menganalisis interaksi gaya-gaya Coulombnya saja. Apabila semua hal, seperti aspek relativistik dan kopling putar orbital juga di­perhitungkan, maka analisis yang kita lakukan selama ini bisa di­anggap terlalu ideal dan tidak menunjukkan keadaan yang sebenarnya sistem. Akan tetapi, apabila kita masukkan aspek-aspek tersebut, maka penyelesaian sistem tidak lagi menjadi eksak (pasti). Karena itu, kita butuh pendekatan matematika yang mampu membantu kita dalam menyelesaikan berbagai sistem kompleks. Salah satu yang sebelumnya kita kenal adalah pendekatan “W.K.B.”, dan kali ini kita akan mengenal satu pendekatan lain, yang bernama Teori Gangguan.



13.1 Sejarah Teori Gangguan Teori Gangguan merupakan salah satu metode matematika yang gunanya untuk mencari pendekatan dari sebuah penyelesaian suatu sistem kompleks, dengan catatan sistem tersebut harus me­ miliki sistem lain yang serupa yang sudah diketahui nilai eksaknya (yang mana kita akan me­mulai dari nilai eksak tersebut). Misalkan saja sebuah sistem persamaan z 2 = 26 , maka untuk mendapatkan nilai z dalam bentuk bilangan desimal tertentu, kita bisa saja menggunakan teori Gangguan. 561 © Vani Sugiyono, S.T.



MEKANIKA KUANTUM Kita bisa memulainya dari nilai eksak z 02 = 25 , sehingga kita akan peroleh persamaan: z 2 = z 02 (1 + x )



(13.1)



Dengan x adalah parameter yang nilainya sangat kecil sekali, sedangkan persamaan (13.1) disebut sebagai persamaan gangguan, yang mana diganggu oleh parameter x tersebut. z 2 = 26 = 25 + 1 = 25(1 + 0,04 ) = 5 2 (1 + 0,04 )



(13.2)



Sehingga penyelesaian dari persamaan (13.1) di atas, adalah sebagai berikut: z = 25 (1 + 0, 04) = 5 1, 04 = 5 # 1, 02 . 5, 1



(13.3)



Nilai z = 5, 1 yang kita peroleh di atas, ternyata sangat dekat dengan nilai



26 = 5, 09902 . Sehingga bisa dikatakan metode ini



dapat kita gunakan dengan baik untuk menganalisis sebuah sistem tertentu yang me­miliki sistem lain yang serupa yang sudah diketahui nilai eksaknya. Teori Gangguan sebenarnya bukan sesuatu yang baru dalam dunia matematika. Karena metode ini sudah digunakan oleh para matematikawan seperti Laplace, Poisson, dan bahkan Gauss pada 562 © Vani Sugiyono, S.T.



BAB BONUS: Teori Gangguan kasus-kasus tertentu yang mereka selidiki. Namun, baru mendapat perhatian khusus pada tahun 1848, yaitu saat John Couch Adams dan Urbain Le Verrier menemukan planet Neptunus dengan meng­ gunakan metode ini. Sekitar pertengahan abad ke-19, dasar dari teori Gangguan untuk persamaan diferensial dikembangkan oleh pakar matematika berkebangsaan Perancis yang bernama Charles Eugène Delaunay saat dia meneliti sistem tata Surya yang terdiri dari bumi, bulan, dan matahari. Dan puncaknya terjadi di akhir abad ke-19, saat pakar matematika kopatriot Delaunay, yang bernama Henri Poincaré me­ ngenalkan teori chaos dan butterfly effect yang sangat terkenal. Dalam Fisika Kuantum, secara definitif, teori Gangguan me­ rupakan skema atau prosedur yang sistematis untuk mendapatkan pendekatan penyelesaian dari sistem yang terganggu dengan ber­ landaskan pada penyelesaian eksak (dari sistem yang serupa), se­ hingga sistem seolah-olah tidak lagi terganggu.



13.2



Teori Gangguan Tak Gayut Waktu



Persamaan ScrÖdinger tak gayut waktu dari sebuah sistem ter­ tentu apabila kita tulis dalam bentuk persamaan eigen, akan seperti di bawah ini: Ht yn = En yn



(13.4)



Dalam teori Gangguan, hamiltonian Ht dapat kita tulis sebagai penjumlahan sebagai berikut: Ht = Ht 0 + xHt l



(13.5)



563 © Vani Sugiyono, S.T.



MEKANIKA KUANTUM Sedangkan energi En (atau nilai eigen dari Ht ) dan fungsi eigen yn dalam teori Gangguan, dapat kita tulis sebagai deret pangkat dari suatu parameter x yang nilainya sangat kecil sekali, sebagai berikut: En = E n0 + xE n1 + x 2E n2 + g ,



(13.6)



ψn = ψn0 + ξψn1 + ξ 2 ψn2 + g



(13.7)



Lalu kita masukkan persamaan (13.5), (13.6) dan (13.7) di atas, ke dalam persamaan (13.4), maka kita akan peroleh: 0 0 1 2 2 8Ht + ξHt lB 8ψn + ξψn + ξ ψn + gB



= 8E n0 + ξE n1 + ξ 2E n2 + gB 8ψn0 + ξψn1 + ξ 2 ψn2 + gB (13.8) Jika kita sederhanakan lagi, maka akan kita dapatkan: Ht 0 ψn0 + ξ 8Ht 0 ψn1 + Ht lψn0 B + ξ 2 8Ht 0 ψn2 + Ht lψn1B + g



= E n0 ψn0 + ξ 8E n0 ψn1 + E n1 ψn0 B + ξ 2 8E n0 ψn2 + E n1 ψn1 + E n2 ψn0 B + g (13.9) Untuk x 0 hingga x 2 , kita peroleh persamaan eigen: ξ 0 : Ht 0 ψn0 = E n0 ψn0 ,



(13.10)



ξ 1 : Ht 0 ψn1 + Ht lψn0 = E n0 ψn1 + E n1 ψn0 ,



(13.11)



ξ 2 : Ht 0 ψn2 + Ht lψn1 = E n0 ψn2 + E n1 ψn1 + E n2 ψn0



(13.12)



564 © Vani Sugiyono, S.T.



BAB BONUS: Teori Gangguan Persamaan (13.10) di atas adalah persamaan yang kita ketahui penyelesaian eksaknya, yang mana fungsi eigen yn0 merupakan himpunan komplet dan bersifat ortonormal, sehingga hasilkali titik­ nya adalah: ψn0 ψm0 = δnm



(13.13)



Pendekatan Derajat Satu ( x 1 ) Pada derajat satu x 1 , kita peroleh persamaan (13.11), yang mana persamaan hasilkali titik­nya adalah: yn0 Ht 0 yn1 + yn0 Ht lyn0 = E n0 yn0 yn1 + E n1 yn0 yn0 (13.14) Ingat sifat di bawah ini: yn0 Ht 0 yn1 = Ht 0 yn0 yn1 = E n0 yn0 yn1 = E n0 yn0 yn1



(13.15)



Masukkan persamaan (13.15) ke dalam persamaan (13.14), maka kita akan peroleh: yn0 Ht lyn0 = E n1 yn0 yn0



(13.16)



Kamudian ingat bahwa yn0 yn0 = 1, maka: yn0 Ht lyn0 = E n1



(13.17)



565 © Vani Sugiyono, S.T.



MEKANIKA KUANTUM Dari persamaan (13.17) di atas, kita akan peroleh persamaan koreksi energi derajat satu E n1 , sebagai berikut: E n1 = yn0 Ht l yn0



(13.18)



Kemudian apabila kita tulis ulang persamaan (13.11), maka kita akan peroleh persamaan sebagai berikut: -`Ht l - E n1j yn0 = `Ht 0 - E n0j yn1



(13.19)



Padahal fungsi gelombang koreksi derajat satu yn1 dapat kita nyatakan dengan persamaan deret seperti di bawah ini: yn1 =



!C m(n )ym0



n!m



(13.20)



Selanjutnya kita masukkan persamaan (13.20) ke dalam per­ samaan (13.19), maka akan kita peroleh: -`Ht l - E n1j yn0 = =



! `Ht 0 - E n0j C m(n )ym0



n!m



! `E m0 - E n0j C m(n )ym0



n!m



(13.21)



Jika kita hasilkali titikkan dengan ym0 , maka kita akan dapatkan persamaan sebagai berikut: - ym0 Ht l yn0 + E n1 ym0 yn0 =



! `E m0 - E n0j C m(n )



n!m



- ym0 Ht l yn0 = `E m0 - E n0j C m(n )



566 © Vani Sugiyono, S.T.



ym0 ym0 (13.22)



BAB BONUS: Teori Gangguan Dari persamaan (13.22) di atas, kita akan peroleh nilai C m(n ) adalah sebagai berikut:



C m(n )



=



ym0 Ht l yn0



(13.23)



`E n0 - E m0 j



Sekarang kita coba untuk menganalisis sumur potensial yang diberi gangguan tertentu seperti di bawah ini: U (x )



U0 a



0



x



Pada kasus sumur potensial terganggu di atas, gangguan Ht l nilainya sama dengan U , Ht l =U . Maka dengan menggunakan per­ 0



0



samaan (13.18) di atas, koreksi energi derajat satu E n1 dari kasus tersebut adalah: E n1 = yn0 U0 yn0 = U0 yn0 yn0 = U0



(13.24)



Sedangkan nilai C m(n ) adalah:



C m(n )



=



U0 ym0 yn0 `E n0 - E m0 j



=0



(13.25)



567 © Vani Sugiyono, S.T.



MEKANIKA KUANTUM Maka untuk kasus sumur potensial terganggu di atas dengan analisis pendekatan derajat satu x 1 , kita akan peroleh: En = E n0 + xU0



(13.26)



yn = yn0



(13.27)



Kemudian kita coba untuk menganalisis sumur potensial yang diberi gangguan tertentu seperti di bawah ini: U (x )



U0 0



1 a 2



a



x



Pada kasus sumur potensial terganggu di atas, gangguan Ht l nilainya sama dengan U0 , Ht l =U0 . Kita ketahui bahwa persamaan gelombang yn0 pada sumur potensial dapat dinyatakan oleh: 2 nπ ψn0 (x ) = a sin a x



(13.28)



Maka koreksi energi derajat satu E n1 -nya adalah: E n1 = ψn0 U0 ψn0 2 = a U0



# 0



1 a 2



nπ 1 sin 2 a x dx = U0 2



568 © Vani Sugiyono, S.T.



(13.29)



BAB BONUS: Teori Gangguan Sedangkan nilai C m(n ) adalah:



C m(n )



=



=



U0 ψm0 ψn0 `E n0 - E m0 j



2 a U0



#



1 a 2



0



mπ nπ sin a x sin a x dx `E n0 - E m0 j



2 a U0 cos mπ sin nπ =`E n0 - E m0 j



(13.30)



Maka untuk kasus sumur potensial terganggu di atas dengan analisis pendekatan derajat satu x 1 , kita akan peroleh: En = E n0 + 12 xU0



ψn =



ψn0 +



ξ!



n!m



2 a U0 cos mπ sin nπ 0 ψm `E m0 - E n0j



(13.31)



(13.32)



Penyelesaian yang kita peroleh di atas hanya sampai pada koreksi derajat satu saja, sedangkan yang lain dianggap kecil. Pendekatan Derajat Dua ( x 2 ) Pada derajat dua x 2 , kita peroleh persamaan (13.12), yang mana persamaan hasilkali titik­nya adalah: yn0 Ht 0 yn2 + yn0 Ht lyn1 = E n0 yn0 yn2 + E n1 yn0 yn1 + E n2 yn0 yn0 (13.33) 569 © Vani Sugiyono, S.T.



MEKANIKA KUANTUM Ingat sifat di bawah ini: yn0 Ht 0 yn2 = Ht 0 yn0 yn2 = E n0 yn0 yn2 = E n0 yn0 yn2



(13.34)



Selanjutnya masukkan persamaan (13.34) ke dalam persama­ an (13.33), dengan demikian kita akan peroleh persamaan yang lebih sederhana seperti di bawah ini: yn0 Ht lyn1 = E n1 yn0 yn1 + E n2 yn0 yn0



(13.35)



Lalu ingat bahwa yn0 yn0 = 1 dan yn0 yn1 = 0 , maka kita akan dapatkan: yn0 Ht lyn1 = E n2



(13.36)



Kemudian masukkan persamaan (12.20) dan (13.23) ke dalam persamaan (13.36) di atas, maka kita akan dapatkan persamaan koreksi energi derajat dua E n2 , sebagai berikut: E n2 = yn0 Ht lyn1 = =



=



! C m(n )



n!m



!



n!m



!



n!m



yn0 Ht lym0



ym0 Ht l yn0 ym0 Ht l yn0 `E n0 - E m0 j



570 © Vani Sugiyono, S.T.



yn0 Ht lym0



`E n0 - E m0 j 2



(13.37)



BAB BONUS: Teori Gangguan Kemudian apabila kita tulis ulang persamaan (13.12), maka kita akan peroleh persamaan sebagai berikut: -`Ht l - E n1j yn1 + E n2 yn0 = `Ht 0 - E n0j yn2



(13.38)



Padahal fungsi gelombang koreksi derajat satu yn2 dapat kita nyatakan dengan persamaan deret seperti di bawah ini: yn2 =



! D m(n )ym1



(13.39)



n!m



Selanjutnya kita masukkan persamaan (13.39) ke dalam per­ samaan (13.38), maka akan kita peroleh: -`Ht l - E n1j yn1 + E n2 yn0 = =



! `Ht 0 - E n0j D m(n )ym1



n!m



! `E m0 - E n0j D m(n )ym1



n!m



(13.40)



Jika kita hasilkali titikkan dengan ym1 , maka: - ym1 Ht l yn1 + E n1 .0 + E n2 .0 =



! `E m0 - E n0j D m(n )



n!m



- ym1 Ht l yn1 = `E m0 - E n0j D m(n )



ym1 ym1 (13.41)



Dari persamaan (13.22) di atas, kita akan peroleh nilai D m(n ) adalah sebagai berikut:



D m(n )



=



ym1 Ht l yn1 `E n0 - E m0 j



(13.42)



571 © Vani Sugiyono, S.T.



MEKANIKA KUANTUM Kemudian apabila kita sederhanakan lagi, dengan memasuk­ kan persamaan (13.20), maka persamaan (13.42) di atas menjadi:



D m(n )



=



=



=



!



n!m



(n ) 2 j `C m



ym1 Ht l yn1 `E n0 - E m0 j 2



ym0 Ht l yn0



!



n!m



2



`E n0 - E m0 j



`E n0 - E m0 j



3



ym0 Ht l yn0



!



n!m



ym1 Ht l yn1



(13.43)



3



`E n0 - E m0 j



Sehingga fungsi gelombang koreksi derajat satu yn2 dapat kita nyatakan dengan persamaan deret seperti di bawah ini:



yn2 =



=



!



n!m



!



n!m



3



ym0 Ht l yn0



!C m(n )ym0



3



`E n0 - E m0 j



n!m 4



ym0 Ht l yn0 `E n0 -



ym0



4 E m0 j



(13.44)



Untuk suatu kasus terganggu, maka dengan analisis pendekat­ an derajat dua x 2 , kita akan peroleh:



En =



ψn =



E n0 +



ψn0 +



ξ



ψn0



ξ!



n!m



Ht l ψn0 + ξ 2 ψm0 Ht l ψn0 `E n0 -



E m0 j



!



ψm0 Ht l ψn0



+ξ



(13.45)



`E n0 - E m0 j



n!m



ψm0



2



2



!



n!m



4



ψm0 Ht l ψn0 `E n0 -



4 E m0 j



ψm0



(13.46) 572 © Vani Sugiyono, S.T.



BAB BONUS: Teori Gangguan



13.3



Struktur Halus Atom Hidrogen



Pada bab sebelumnya, kita hanya mempelajari atom Hidrogen secara kasar, dengan hanya memperhitungkan interaksi Coulomb saja. Sehingga hamiltonian Ht yang kita pakai hanya berbentuk sebagai berikut: 2



2



' e 1 Ht = d2 2m 4πε0 r A BBBB C A BBBB C kinetik Coulomb



(13.47)



Yang mana hamiltonian Ht terbentuk dari energi kinetik dan energi potensial Coulomb, tanpa memperhitungkan sama sekali aspek relativistik sistem. Padahal, partikel berkelakuan menyerupai gelombang cahaya. Selain itu aspek kopling putar orbital seharus­ nya juga diperhatikan, namun pada analisis kita sebelumnya tidak. Apabila aspek relativistik dan kopling putar orbital kita perhati­ kan, maka struktur atom Hidrogen yang demikian kita sebut sebagai Struktur Halus Atom Hidrogen. Tentunya akan sangat rumit untuk menganalisis sistem yang demikian, tapi untunglah kita punya teori Gangguan. Koreksi Relativistik Aspek relativistik pada hamiltonian di atas dapat kita analisis dari energi kinetik. Energi kinetik pada persamaan (13.47) adalah (- ' 2/2m ) d 2 , yang mana dia juga dapat dinyatakan oleh persama­ an sebagai berikut:



-



pt 2 '2 2 d = 2m 2m



(13.48)



573 © Vani Sugiyono, S.T.



MEKANIKA KUANTUM Pada konsep relativitas, energi kinetik dinyatakan oleh per­ sama­an di bawah ini:



K=



mc 2 2



v 1- 2 c



- mc 2



(13.49)



Sedangkan kuadrat energi relativistik total dapat dinyatakan oleh persamaan sebagai berikut: m 2c 4 = m 2c 4 + p 2c 2 v2 1- 2 c



(13.50)



Kemudian kita masukkan persamaan (13.50) ke dalam per­ samaan (13.49), maka kita akan peroleh: K = m 2c 4 + p 2c 2 - mc 2



(13.51)



Bila kita keluarkan mc 2 dari ruas kanan sehingga dia berada di luar tanda kurung, dan setelah itu kita ekspansikan (urai), maka per­samaan (13.51) di atas akan menjadi: K = mc 2 > 1 + = mc 2 >1 +



p2 - 1H (mc ) 2



2 4 1 p 1 p + g - 1H 2 (mc ) 2 8 (mc ) 4



p2 p4 = +g 2m 8m 3c 2



574 © Vani Sugiyono, S.T.



(13.52)



BAB BONUS: Teori Gangguan Jika kita masukkan persamaan (13.48) ke dalam persamaan (13.52) di atas, maka kita akan peroleh: pt 4 '2 2 Kt = d +g 2m 8m 3c 2



(13.53)



Dengan demikian hamiltonian Ht ketika kita memperhatikan aspek relativistik adalah sebagai berikut: p4 e2 1 '2 2 Ht = d 2m 4πε0 r 8m 3c 2 C A BBBBBBBBB B C A BBHt BB t0 l



(13.54)



H



Dari persamaan (13.54) di atas kita akan memperoleh: pt 4 Ht l =8m 3 c 2



(13.55)



Berdasarkan gangguan Ht l di atas, kita dapat memperoleh nilai koreksi energi derajat satu E n1 sebagai berikut:



E n1 = yn0 -



pt 4 yn0 8m 3c 2



1 yn0 pt 4 yn0 8m 3c 2 1 =pt 2 yn0 pt 2 yn0 8m 3 c 2 =-



(13.56)



Pada persamaan (13.56), kita perlu mendefinisikan operator momentum pt dalam bentuk lain. Mungkin kita bisa mendapatkan



575 © Vani Sugiyono, S.T.



MEKANIKA KUANTUM jawabannya pada persamaan ScrÖdinger tak gayut waktu. Kita ketahui bahwa per­samaan ScrÖdinger tak gayut waktu, apabila kita tengok persamaan (13.48), ternyata juga dapat ditulis sebagai berikut: pt 2 y = 8En -U (r )B y 2m



(13.57)



Dari persamaan (13.57) di atas, kuadrat operator momentum dapat kita nyatakan sebagai: pt 2 = 2m 8En -U (r )B



(13.58)



Kemudian masukkan persamaan (13.58) ke dalam persamaan (13.56), maka kita akan peroleh: 1 pt 2 yn0 pt 2 yn0 8m 3c 2 2 1 2m 8En -U B =3 2 8m c 2 1 =E - U D 2: n 2mc 2 1 =E - 2En U + U 2 D 2 :` n j 2mc



E n1 = -



(13.59)



Kita ketahui bahwa energi potensial U (r ) yang dimaksud di atas adalah energi potensial Coulomb.



U (r ) = -



e2 1 4πε0 r



576 © Vani Sugiyono, S.T.



(13.60)



BAB BONUS: Teori Gangguan Selanjutnya masukkan persamaan (13.60) ke dalam persamaan (13.59), maka kita akan peroleh: E n1 = =-



2 1 :`En j - 2En U + U 2 D 2mc 2 2 1 e2 1 e2 2 1 + E + 2En e 2 >` n j 4πε0 r 4πε0 o r 2 H 2mc



(13.61)



Berdasarkan teorema Feynman-Hellmann, maka kita akan per­ oleh dua persamaan sebagai berikut: 1 1 me 2 , = r n 2 4πε0 ' 2



(13.62) 2



1 1 me 2 = 2 2p 1 3f r `l + 2 j n 4πε0 '



(13.63)



Lalu subtitusikan persamaan (13.62) dan (13.63) ke dalam per­ samaan (13.61), sehingga kita akan peroleh:



E n1 = -



2 1 m e2 2 m2 e2 4 E 2 E + + ` j e o e oH n n > 1 2mc 2 n 2 ' 2 4πε0 `l + 2 j n 3 ' 4 4πε0



(13.64) Kemudian kita ketahui bahwa energi En pada atom Hidrogen menurut Bohr dapat dinyatakan oleh persamaan:



En = -



m e2 2 me 4 = e o 2n 2 ' 2 4πε0 32π2 ε20 n 2 ' 2



(13.65)



577 © Vani Sugiyono, S.T.



MEKANIKA KUANTUM Dengan memasukkan persamaan (13.65) ke dalam persamaan (13.64), maka kita akan dapatkan:



E n1 = -



2



2



1 me 4 me 4 - 4f p 2 >f 2 2 2 2p 2mc 32π ε0 n ' 32π2 ε20 n 2 ' 2 2



+



4 me 4 2 2 2 2p H 1 f `l + 2 j 32π ε0 n ' 2



2



=-



1 me 4 4n me 4 - 3f + 2 > 2 2 2 2p 2 2 2 2p H 1 f 2mc 32π ε0 n ' `l + 2 j 32π ε0 n '



=-



1 me 4 4n - 3H f p 2mc 2 32π2 ε20 n 2 ' 2 > `l + 12 j



2



(13.66)



Dari persamaan (13.66) di atas, kita dapat memperoleh nilai koreksi energi derajat satu E n1 sebagai berikut: E n1 = -



4 3 m e2 n - H e o 2 4πε n' > 1 2c 0 `l + 2 j 4



(13.67)



Dengan l adalah bilangan kuantum orbital. Koreksi Kopling Putar Orbital Selain aspek relativistik, kita juga harus memperhitungkan kopling putar orbital. Mekanismenya sederhana, elektron yang ber­ putar (berevolusi) mengelilingi inti atom akan menghasilkan kuat medan magnetik B yang dapat kita rumuskan sebagai berikut:



B=



m0 m0 e i= 2r 2r T



578 © Vani Sugiyono, S.T.



(13.68)



BAB BONUS: Teori Gangguan B



e+



L



r



e-



e+



r



i



e-



v



Kuat medan magnet B pada sistem di atas ternyata memiliki arah sama dengan momentum sudut orbital elektron L (inti dalam keadaan diam), yang dapat dirumuskan sebagai berikut: L = Iω = mr 2



2π T



(13.69)



Jika kita gabungkan persamaan (13.68) dan persamaan (13.69) di atas, maka kita akan peroleh persamaan:



B=



µ0 e



4πmr 3



L



(13.70)



Elektron pada orbital bergerak dengan kecepatan yang sangat cepat sekali, seolah-olah dia memenuhi setiap ruang dalam orbital, sehingga orbital seakan-akan seperti cincin padat yang bermassa m (sama dengan massa elektron).



e+



r



e+



em v



r



e-



m



v



579 © Vani Sugiyono, S.T.



MEKANIKA KUANTUM e+



r



e-



S



m



i



e+



m



r



e-



m



v



Kemudian apabila kita anggap inti tidak dalam keadaan diam, tetapi dia berotasi pada porosnya dan kala rotasinya sama dengan kala revolusi elektron, maka momentum sudut rotasi inti (cincin) dapat kita nyatakan dengan persamaan yang hampir sama dengan persamaan (13.69), namun memiliki perbedaan makna fisis: S = Iω = mr 2



2π T



(13.71)



Sedangkan momen dipol magnetik cincin dapat kita definsikan sebagai arus listrik yang mengelilingi luas lingkaran (cincin). Secara matematis, momen dipol magnetik cincin dapat dinyatakan dengan persamaan sebagai berikut: µ = Ai = πr 2



e T



(13.72)



Jika kita gabungkan persamaan (13.71) dan persamaan (13.72) di atas, maka kita akan peroleh persamaan:



m =-



e S 2m



580 © Vani Sugiyono, S.T.



(13.73)



BAB BONUS: Teori Gangguan Hamiltonian pengganggu dari sistem tersebut dapat kita nyata­ kan dengan persamaan sebagai berikut: Ht l = - µ $ B = - b=



µ0 e e Sl $ e Lo 2m 4πmr 3



µ0 e 2



8πm 2r 3



(S $ L )



(13.74)



Kita ketahui bahwa momentum sudut total sistem J merupa­ kan hasil penjumlahan dari momentum sudut orbital elektron dan momentum sudut rotasi inti, maka kita akan dapatkan nilai kuadrat norma momentum sudut total sistem sebagai berikut: J 2 = `L + S j $ `L + S j = L 2 + 2`S $ Lj + S 2



(13.75)



Bila kita masukkan persamaan (13.75) ke dalam persamaan (13.74) di atas, maka kita akan peroleh persamaan: µ0 e 2 t l H = (S $ L ) 8πm 2r 3 =



µ0 e 2



1 2 ( J - L 2 - S 2) 8πm r 2 2 3



(13.76)



Pada bab 11 kita sudah mempelajari momentum sudut orbital elektron L dan momentum sudut rotasi S , yang mana momentum sudut orbital nilainya bergantung pada bilangan kuantum orbital l dan momentum sudut rotasi nilainya bergantung pada bilangan 581 © Vani Sugiyono, S.T.



MEKANIKA KUANTUM kuantum spin s . Keduanya secara sederhana dinyatakan oleh per­ samaan di bawah ini: L = ' l `l + 1j ,



(13.77)



S = ' s `s + 1j



(13.78)



Sedangkan nilai momentum sudut total J ternyata juga ber­ gantung pada bilangan kuantum momentum sudut total j , yang di­nyatakan oleh persamaan: J = ' j ` j + 1j



(13.79)



Langkah selanjutnya memasukkan persamaan (13.77), (13.78) dan (13.79) ke dalam persamaan (13.76), maka kita peroleh: µ0 e 2 ' 2 Ht l = : j ` j + 1j - l `l + 1j - s `s + 1jD 16πm 2r 3



(13.80)



Kecepatan cahaya menurut Maxwell didefinsikan sebagai: c=



1 µ0 ε0



(13.81)



Sehingga persamaan (13.80) di atas menjadi:



Ht l =



e2'2 : j ` j + 1j - l `l + 1j - s `s + 1jD 16πε0 m 2c 2r 3



582 © Vani Sugiyono, S.T.



(13.82)



BAB BONUS: Teori Gangguan Berdasarkan gangguan Ht l di atas, kita dapat memperoleh nilai koreksi energi derajat satu E n1 sebagai berikut: E n1 = ψn0



e2'2 : j ` j + 1j - l `l + 1j - s `s + 1jD ψn0 16πε0 m 2c 2r 3



=



1 e2'2 : j ` j + 1j - l `l + 1j - s `s + 1jD ψn0 3 ψn0 16πε0 m 2c 2 r



=



1 e2'2 j ` j + 1j - l `l + 1j - s `s + 1jD 3 2 2: 16πε0 m c r (13.83)



Berdasarkan teorema Feynman-Hellmann, maka kita akan per­ oleh persamaan sebagai berikut: 3



1 1 me 2 = f 3 2p r l `l + 12 j`l + 1j n 3 4πε0 '



(13.84)



Kemudian masukkan persamaan (13.84) ke dalam per­samaan (13.83), sehingga kita akan peroleh:



E n1 =



=



j ` j + 1j - l `l + 1j - s `s + 1j me 8 H 4 4 3 4 2 > 1024π ε0 n ' c l `l + 12 j`l + 1j 4 j ` j + 1j - l `l + 1j - s `s + 1j mn e2 H > e o 4c 2 4πε0 n' l `l + 12 j`l + 1j



(13.85)



Dengan nilai j dan l sesuai dengan nilai-nilainya, sedangkan s dapat kita ketahui dengan pasti bahwa nilainya adalah s = 12 ,



sehingga s `s + 1j = 12 ` 12 + 1j = 3/4 .



583 © Vani Sugiyono, S.T.



MEKANIKA KUANTUM Dengan demikian nilai koreksi energi derajat satu E n1 pada saat kita memperhitungkan kopling putar orbital adalah sebagai berikut: R V 3 W S 4 j ` j + 1j n - l `l + 1j n - n m e2 4 W S E n1 = 2 e o 1 S WW 4 πε n ' c 0 S 4l `l + 2 j`l + 1j T X



(13.86)



Koreksi Total Setelah kita temukan nilai koreksi energi derajat satu E n1 pada aspek relativistik dan kopling putar orbital, selanjutnya kita jumlah­ kan keduanya untuk mencapatkan koreksi total keduanya. R V S j ` j + 1j n - l `l + 1j n - 3 n W m e 4 W S E n1 = 2 e o S 1 WW 4 n ' πε c 0 S 4l `l + 2 j`l + 1j T 4 X 3 m e2 n - 2e o 2c 4πε0 n' > `l + 12 j 4 H 2



4



R V 3 S W 4 j ` j + 1j n - l `l + 1j n - n 3 n m e2 4 S = 2e + WW o 1 1 S n 4 ' πε c 0 S 2`l + 2 j 8 W 4l `l + 2 j`l + 1j T X R V 3 W 4 S 2j ` j + 1j n - 2l `l + 1j n - n - 4l `l + 1j n 2 m e 2 1 S En = 2 e + 3 WW o 8c 4πε0 n' SS W l `l + 12 j`l + 1j X V RT 3 S W 4 2j ` j + 1j n - n - 6l `l + 1j n m e2 2 S = 2e + 3 WW o 1 S 4 n ' πε 8c 0 S W l `l + 2 j`l + 1j T X (13.87) Ingat bahwa j - l = ! 12 , atau kita ambil saja l = j - 12 . 584 © Vani Sugiyono, S.T.



BAB BONUS: Teori Gangguan Kemudian kita sederhanakan dengan memasukkan l = j -



1 2



ke dalam persamaan (13.87), maka akan kita peroleh:



E n1 =



=



=



E n1 = =



R V 3 S W 2 j j 1 n n l l n ` j ` j 6 1 + + m e2 2 S W 3 + e o 1 WW 8c 2 4πε0 n' SS l `l + 2 j`l + 1j TR X V 3 1 1 W S 4 2j ` j + 1j n - n - 6 ` j - 2 j ` j + 2 j n 2 m e 2 S + 3 WW e o 8c 2 4πε0 n' SS W j ` j - 12 j` j + 12 j TR X V 6 3 2 S 2 W 4 2j n + 2jn - n - 6j n + n 2 m e 2 4 S + 3 WW e o 8c 2 4πε0 n' SS W j ` j - 12 j` j + 12 j T X R V 3 3 2 2 W 4 S 2j n + 2jn - n - 6j n + n m e2 2 2 S + 3 WW e o 8c 2 4πε0 n' SS W j ` j - 12 j` j + 12 j T X 4 2jn - 4j 2n m e2 + 3H e o > 8c 2 4πε0 n' j ` j - 1 j` j + 1 j 4



2



2



4 - 4j ` j - 12 j n m e2 = 2e + 3H o > 8c 4πε0 n' j ` j - 12 j` j + 12 j



=



4 m e2 - 4n + 3H e o 2 4πε n' > 1 8c 0 `j + 2j



(13.88)



Dari persamaan (13.88) di atas, akhirnya kita dapatkan nilai koreksi energi total derajat satu E n1 , yaitu pada saat kita mem­ perhitungkan aspek relativistik dan kopling putar orbital adalah sebagai berikut:



E n1 =



4 m e2 4n 3H 2 e 4πε n' o > 8c 0 j + 12



(13.89)



585 © Vani Sugiyono, S.T.



MEKANIKA KUANTUM Berdasarkan teori atom Bohr, kita ketahui bahwa:



E n0 = -



13, 6 eV m e2 2 =e 2 4πε n o 2' n2 0



(13.90)



Dengan demikian tingkatan energi pada struktur halus atom Hidrogen dapat di­nyata­kan oleh persamaan sebagai berikut: E n = E n0 + E n1 =-



4 m e2 2 m e2 4n + 3e o e o H 2 4πε n 2 4πε n' > 2' 8c 0 0 j + 12



=-



2 m e2 2 1 e2 4n 1 - 2e 3o H > 2 e 4πε n o f 4 ' n πε 2' 4 c 0 0 j + 12 p



=-



2 13, 6 eV 1 e2 4n 1 + - 3 Hp e o > f 2 2 4πε 'c n 4n 0 j + 12



(13.91)



Untuk menyederhanakan persamaan (13.91) di atas, kita perlu memasukkan nilai-nilai konstanta di atas. 2 1 e2 ξ= e = 1,33 # 10 - 5 o 4 4πε0 'c



(13.92)



Jika kita masukkan persamaan (13.92) ke dalam per­samaan (13.91), maka kita peroleh tingkatan energi pada struktur halus atom Hidrogen adalah sebagai berikut:



En = -



x 4n 13, 6 eV - 3 Hp 1+ 2> f 2 n n j + 12



586 © Vani Sugiyono, S.T.



(13.93)



BAB BONUS: Teori Gangguan



13.4 Efek Zeeman Pada tahun 1890-an para Fisikawan dipusingkan oleh sebuah fenomena menggemparkan yang berhubungan dengan spektrum atom Hidrogen yang tidak mampu mereka jelaskan. Dia bernama Pieter Zeeman, seorang fisikawan berkebangsaan Belanda yang pada tahun 1896 melakukan penelitian mendalam tentang spektrum atom Hidrogen. Zeeman menemukan bahwa garis spektrum atom Hidrogen akan terpecah menjadi beberapa garis spektrum apabila atom Hidrogen berada pada ruang yang dipengaruhi oleh medan magnet tertentu. Semakin besar medan magnet tersebut, semakin lebar jarak pisah antar spektrum. Efek Zeeman



Normal



l =2



l =1



Sebelumnya tak ada yang mampu menjelaskan efek Zeeman hingga ScrÖdinger datang bak pelita yang menerangi ruangan yang tadinya gelap gulita. Medan magnet dari luar sistemlah yang men­ jadi biang keladi dari terpecahnya spektrum atom Hidrogen men­ jadi beberapa spektrum. Ingat pada pembahasan sebelumnya kita telah mempelajari struktur halus atom Hidrogen yang juga dipengaruhi oleh medan magnet B internal (dari dalam), yaitu medan magnet dari elektron yang sedang berputar. Medan magnet tersebut mempengaruhi tingkat energi En dan kita tahu tingkat energi En adalah salah satu 587 © Vani Sugiyono, S.T.



MEKANIKA KUANTUM yang telah membentuk spektrum atom Hidrogen. Berarti bisa jadi medan magnetlah yang membuat spektrum atom Hidrogen menjadi seperti itu (merubah spektrum atom). Namun, kali ini berbeda, bukan medan magnet dari dalam tetapi medan magnet pengganggu yang berasal dari luar B luar . Dengan adanya medan magnet dari luar tersebut sehingga ter­ cipta kemungkinan energi En yang lebih banyak dari sebelum­nya, akibatnya spektrum atom Hidrogen terpecah menjadi sebanyak kemungkinan tingkatan energi En tersebut. Hamiltonian penggangu untuk efek Zeeman (medan magnet dari luar) dapat kita nyatakan dengan persamaan: Ht l = - (mL + mS ) $ B luar =



e (g L + gs S ) $ B luar 2m l



(13.94)



Dengan gl dan gs adalah rasio gyromagnetik yang nilainya tergantung dari sistem. Kita ketahui bahwa gl . 1 dan gs . 2 , selain itu pada bab 11 kita juga telah mengetahui bahwa L = ml ' begitu juga dengan S = ms ' , dengan demikian persamaan (13.94) di atas dapat kita tulis secara sederhana menjadi sebagai berikut: e' Ht l = (m + 2ms ) B luar 2m l



(13.95)



Ingat bahwa ms = ! s = ! 12 , maka persamaan (13.95) dapat kita sederhanakan lagi menjadi: e' Ht l = (m ! 1) B luar 2m l



588 © Vani Sugiyono, S.T.



(13.96)



BAB BONUS: Teori Gangguan Dari persamaan (13.96) dapat kita simpulkan bahwa bilangan kuantum magnetik ml memiliki peran yang sangat penting terjadi­ nya efek Zeeman. Efek Zeeman



Normal



l =2



ml = 2 ml = 1 ml = 0 ml = - 1 ml = - 2



l =1



ml = 1 ml = 0 ml = - 1



Dan akhirnya terjawab, bagaimana mekanisme yang terjadi pada efek Zeeman. Sekali lagi, ScrÖdinger berhasil menjawabnya. Atas jasanya yang telah berhasil menemukan fenomena efek Zeeman, maka Pieter Zeeman mendapatkan hadiah nobel bidang fisika pada tahun 1902, di tahun kedua penghargaan tersebut kali pertama diadakan.



13.5 Efek Stark Selain efek Zeeman, ternyata fenomena aneh yang melibatkan spektrum atom Hidrogen juga berulang untuk kali kedua. Kali ini bukan medan magnet dari luar yang mempengaruhi spektrum atom Hidrogen, melainkan medan listrik dari luar yang mempengaruhi. Efek Stark merupakan fenomena yang mana spektrum atom Hidrogen terurai menjadi spektrum-spektrum baru. Fenomena ini kali pertama ditemukan oleh, Johannes Stark, seorang fisikawan ber­kebangsaan Jerman pada tahun 1913. Namun, ada kontroversi tersendiri dengan ditemukannya efek ini. Karena seorang fisikawan berkebangsaan Italia yang bernama 589 © Vani Sugiyono, S.T.



MEKANIKA KUANTUM Antonio Lo Surdo mengaku telah melakukan penelitian yang sama namun terpisah dengan Stark. Ajaibnya keduanya menemukan dua hal yang sama pula. Akan tetapi, karena Lo Surdo lebih cenderung pada politik dan dia lebih fokus dalam proyek-proyek Hitler dan Mussolini sehingga dia keluar dari kandidat peraih nobel bidang fisika atas jasanya me­ nemukan efek tersebut. Hingga akhirnya pada tahun 1919, hanya Stark satu-satunya yang meraih hadiah nobel bidang fisika untuk penemuan (yang seharusnya disebut efek Stark-Lo Surdo) tapi akhir­ nya disebut sebagai efek Stark. Hamiltonian penggangu untuk efek Stark (medan listrik dari luar) dapat kita nyatakan dengan persamaan: Ht l =- e E luar $ r



(13.97)



Dari persamaan (13.97) di atas, maka kita akan dapatkan per­ samaan koreksi energi derajat satu E n1 , sebagai berikut: E n1 = ψn0 - e E luar $ r ψn0 = - e E luar ψn0 r ψn0 = - e E luar r =- eE = - n2



luar



n



2



4πε0 ' 2 me 2



4πε0 ' 2 luar me E



(13.98)



Dari persamaan (13.96) di atas dapat kita simpulkan bahwa bilangan kuantum utama n memiliki peran yang sangat penting terjadi­nya efek Stark. 590 © Vani Sugiyono, S.T.



BAB BONUS: Teori Gangguan



13.6



Teori Gangguan Gayut Waktu



Setelah sebelumnya telah kita pelajari teori Gangguan Tak Gayut Waktu, maka kali ini kita akan mempelajari teori Gangguan Gayut Waktu. Keduanya hampir sama, namun kali ini kita meng­ anggap fungsi gelombang tidak hanya sebagai fungsi posisi, tetapi sebagai fungsi waktu juga. Persamaan ScrÖdinger gayut waktu dari sebuah sistem ter­tentu dapat dinyatakan oleh persamaan di bawah ini: 2Y Ht Y = i ' 2t



(13.99)



Sedangkan persamaan ScrÖdinger tak gayut waktunya, Ht y = E y



(13.100)



Dengan penyelesaian dari persamaan (13.99) di atas adalah sebagai berikut: Ψ (x, y, z, t ) = ψ (x, y, z ) e -



iEt '



(13.101)



Dua Sistem Bertingkat Apabila kita mengetahui ada dua sistem yang saling bertingkat yang mana salah satu sistem berada di atas sistem lain dan keduanya dalam keadaan tidak diganggu, sebagai berikut: Ht 0 ya = E a0 ya



(13.102)



591 © Vani Sugiyono, S.T.



MEKANIKA KUANTUM Dan sistem yang lain, Ht 0 yb = Eb0 yb



(13.103)



Dengan catatan, untuk ya dan yb berlaku hubungan: ψa ψb = δab



(13.104)



Kita asumsikan ya adalah keadaan di tingkat lebih bawah dari keadaan yb , bisa kita lihat di bawah ini: yb ya



Maka penyelesaian dari dua tingkat energi di atas dapat kita nyatakan sebagai berikut:



Ψ (x, y, z, t ) = Ca ψa (x, y, z ) e -



i Ea t '



+ Cb ψb (x, y, z ) e -



i Eb t '



(13.105) Nilai peluang total dari fungsi gelombang di atas adalah: 2



Ca + Cb



2



=1



(13.106)



Itu artinya, peluang sebuah partikel berada pada keadaan 2



ya adalah Ca , sedangkan peluang sebuah partikel berada pada 2



keadaan yb adalah Cb . 592 © Vani Sugiyono, S.T.



BAB BONUS: Teori Gangguan Apabila posisi (x, y, z ) tidak menjadi masalah untuk analisis kita, maka semua akan bergantung hanya pada waktu, sehingga persamaan (13.105) di atas dapat kita tulis:



Ψ (t ) = Ca ψa e -



i Ea t '



+ Cb ψb e -



i Eb t



(13.107)



'



Dengan catatan persamaan (13.107) berlaku pada sistem yang tidak terganggu atau tidak sedang diganggu. Hamiltonian sistem yang terganggu dinyatakan oleh persamaan: Ht = Ht 0 + Ht l(t )



(13.108)



Sedangkan untuk sistem yang terganggu oleh Ht l(t ), maka Ca (t ) dan Cb (t ) merupakan fungsi yang bergantung oleh waktu. Ψ (t ) = Ca (t ) ψa e -



i Ea t '



+ Cb (t ) ψb e -



i Eb t



(13.109)



'



Kemudian dengan memasukkan persamaan (13.108) dan per­ samaan (13.109) di atas, ke dalam persamaan (13.99), maka kita akan peroleh:



Ca (t ) Ht 0 ya e -



i Ea t '



+ Cb (t ) Ht 0 yb e -



+ Cb (t ) Ht l(t ) yb e +i '



i Eb t '



i Eb t '



+ Ca (t ) Ht l(t ) ya e -



= Ca (t ) Ea ya e -



i Ea t '



i Ea t



+ Cb (t ) Eb yb e -



'



i Eb t '



i Ea t i Eb t dCa (t ) dCb (t ) ya e - ' + i ' yb e - ' dt dt



(13.110) 593 © Vani Sugiyono, S.T.



MEKANIKA KUANTUM Dengan mengingat persamaan (13.102) dan (13.103), maka persamaan (13.105) di atas dapat kita sederhanakan lagi menjadi sebagai berikut:



Ca (t ) Ht l(t ) ya e i'



i Ea t '



+ Cb (t ) Ht l(t ) yb e -



i Eb t '



=



i Ea t i Eb t dCa (t ) dCb (t ) ya e - ' + i ' yb e - ' dt dt



(13.111)



Lalu persamaan (13.111) di atas, kita hasilkali titik dengan ya (ingat bahwa ya yb = 0 ), maka kita akan peroleh: Ca (t ) ya Ht l(t ) ya e -



i Ea t



= i'



'



+ Cb (t ) ya Ht l(t ) yb e -



dCa (t ) - i Ea t e ' dt



i Eb t '



(13.112)



Dari persamaan (13.112) di atas, kita dapat menyederhanakan lagi dan akan memperoleh persamaan sebagai berikut: i (Eb - Ea )t dCa i = - =Ca ya Ht l ya + Cb ya Ht l yb e - ' G ' dt



(13.113) Untuk kasus ini ternyata berlaku



ya Ht l ya = 0 , sehingga



persamaan (13.113) di atas menjadi: i (Eb - Ea )t dCa i = - Cb ya Ht l yb e - ' ' dt



594 © Vani Sugiyono, S.T.



(13.114)



BAB BONUS: Teori Gangguan Kita lakukan hal yang sama, hasilkali titikkan juga persamaan (13.111) dengan yb , maka kita akan peroleh: Ca (t ) yb Ht l(t ) ya e -



i Ea t



= i'



'



+ Cb (t ) yb Ht l(t ) yb e -



dCb (t ) - i Eb t e ' dt



i Eb t '



(13.115)



Dari persamaan (13.115) di atas, kita dapat menyederhanakan lagi dan akan memperoleh persamaan sebagai berikut: i (Eb - Ea )t dCb i = - =Ca yb Ht l ya + Cb yb Ht l yb e ' G ' dt



(13.116) Untuk kasus ini ternyata berlaku



ya Ht l ya = 0 , sehingga



persamaan (13.113) di atas menjadi: i (Eb - Ea )t dCb i = - Ca yb Ht l ya e ' ' dt



(13.117)



Apabila selanjutnya kita menganggap ya Ht l yb = Htab dan yb Ht l ya = Htba , maka persamaan (13.114) dan (13.117) di atas akan menjadi sebagai berikut: i (Eb - Ea )t dCa i =- Htab e - ' Cb , ' dt



(13.118)



i (Eb - Ea )t dCb i =- Htba e ' Ca ' dt



(13.119)



595 © Vani Sugiyono, S.T.



MEKANIKA KUANTUM Sekarang kita dapat menggunakan persamaan (13.118) dan (13.119) bersamaan secara sekuensial (berurutan). Misalkan saja sebuah partikel awalnya berada pada keadaan ya , maka Ca (0) = 1 (ada di ya ) dan Cb (0) = 0 (tidak ada di yb ). Untuk mendapatkan Cb1 (derajat 1), masukkan nilai Ca (0) = 1 ke dalam persamaan (13.119), sehingga kita dapatkan: i (Eb - Ea )t dCb i =- Htba e ' ' dt



(13.120)



Kemudian kita integralkan, maka kita peroleh:



Cb1 (t ) =-



i '



t



# Ht 0



ba e



i (Eb - Ea )t '



dt



(13.121)



2



Dengan Cb1 (t ) didefinsikan sebagai peluang transisi partikel dari keadaan ya menjadi yb , atau peluang transisi tersebut dapat kita rumuskan sebagai berikut:



Pa " b (t ) =



1 '2



t



# Ht 0



ba e



i (Eb - Ea )t '



dt



2



(13.122)



Transisi inilah yang disebut oleh Bohr dalam teori atomnya sebagai loncatan kuantum. Jadi elektron yang berada pada tingkat energi tertentu dapat melakukan loncatan menuju ke tingkat energi lain yang lebih rendah ataupun yang lebih tinggi, tentunya dengan konsekuensi elektron tersebut menyerap atau mengemisi energi (radiasi) dari atau keluar dari sistem. Fisikawan percaya, jika loncatan kuantum ini benar dan dapat diterapkan dalam dunia nyata, maka inilah konsep teleportasi. 596 © Vani Sugiyono, S.T.



BAB BONUS: Teori Gangguan



13.7 Emisi dan Serapan Radiasi Sebelumnya telah kita singgung bahwa apabila elektron ber­ pindah dari tingkat energi tertentu menuju tingkat energi yang lain, maka elektron akan menyerap atau mengemisi energi (radiasi). Sebelumnya kita luruskan terlebih dahulu, apakah radiasi itu? Banyak orang yang mendengar kata radiasi akan langsung alergi dan teringat dengan kejadian yang menimpa kota Chernobyl, yaitu bulan April 29 tahun silam, saat material nuklir membanjiri kota yang tenang ini dengan radiasi. Orang awam akan melihat bahwa radiasi menyebabkan banyak sekali korban berjatuhan, manusia, hewan bahkan tumbuhan. Dan sampai saat ini radiasi di kota ini masih dalam keadaan kritis, yaitu masih berada pada 5,6 Gy/s, nilai radiasi yang cukup berbahaya untuk ditinggali. Itulah radiasi dari kacamata orang awam. Padahal radiasi ada banyak jenisnya, tidak hanya radiasi nuklir saja. Radiasi merupakan gelombang elektromagnet yang merambat dengan membawa sejumlah energi tertentu, tanpa harus memerlu­ kan media rambat (medium). Cahaya matahari merupakan radiasi, cahaya lampu neon merupakan radiasi, microwave di dapur ibumu merupakan radiasi dan bahkan smartphone android-­mu me­ mancarkan radiasi. Ya, radiasi ada di mana-mana. Gelombang elektromagnet terbentuk dari elektro (listrik) dan magnet yang berbentuk gelombang (getaran berjalan). Secara matematis radiasi gelombang elektromagnet dapat di­ nyatakan oleh dua persamaan sebagai berikut: E = E0 cos wt kt ,



(13.123)



B = B0 cos wt it



(13.124)



597 © Vani Sugiyono, S.T.



MEKANIKA KUANTUM Hamiltonian pengganggu untuk kasus sebuah atom yang ter­ papar oleh medan listrik tertentu dapat dinyatakan oleh: Ht l = - q (E0 cos wt kt ) $ z kt = - q E0 cos wt z



(13.125)



Dari persamaan (13.125), nilai Htba dapat kita peroleh dengan persamaan sebagai berikut: Htba = ψb - q E0 cos ωt z ψa = - q E0 cos ωt ψb z ψa



(13.126)



Dengan demikian peluang transisi partikel dari tingkat energi Ea (keadaan ya ) menuju tingkat energi Eb (keadaan yb ), dapat kita peroleh sebagai berikut:



Pa " b (t ) = =



1 '2



t



# :-q E 0



0 cos ωt



1 - q E0 ψb z ψa '2



ψb z ψa D e



#



t



0



cos ωt e



i (Eb - Ea )t '



i (Eb - Ea )t '



dt



dt



2



2



(13.127) Ingatlah hubungan antara trigonometri dengan eksponensial berpangkat bilangan kompleks sebagai berikut:



cos f =



e i f + e -i f , 2



(13.128)



sin f =



e i f - e -i f 2i



(13.129)



598 © Vani Sugiyono, S.T.



BAB BONUS: Teori Gangguan Kemudian kita selesaikan terlebih dahulu integral pada per­ samaan (13.127),



#



t



0



cos wt e



i (Eb - Ea )t '



dt =



1 2



# 8e



=



1 2



t



t



i wt



0



# :e 0



i



+ e -i wt B e



(Eb - Ea ) + w' '



t



i (Eb - Ea )t



+ ei



'



dt



(Eb - Ea ) - w' '



t



De



i (Eb - Ea )t '



dt



R (E - E ) + w' V (Eb - Ea ) - w' S i b a W t i t -1 e - 1W 1 e ' ' = S (E - E ) + w' + (Eb - Ea ) - w' b a 2S WW S ' ' T X (Eb - Ea ) + w' (Eb - Ea ) - w' i t i t -1 e -1 ' e ' ' H = > + 2 (Eb - Ea ) + w' (Eb - Ea ) - w' (13.130) Lalu kita asumsikan nilai (Eb - Ea ) + w' & (Eb - Ea ) - w' , maka persamaan (13.128) menjadi:



# 0



t



cos wt e



i (Eb - Ea )t '



(Eb - Ea ) + w'



(Eb - Ea ) - w'



t t - 1 ei -1 ' ei ' ' H dt = > + 2 (Eb - Ea ) + w' (Eb - Ea ) - w' (Eb - Ea ) - w'



t ei -1 ' ' H = >0 + 2 (Eb - Ea ) - w' (Eb - Ea ) - w'



(Eb - Ea ) - w'



t t - e- i ' (Eb - Ea ) - w' t e i 2' 2' H > = ei 2' 2 (Eb - Ea ) - w' R V (Eb - Ea ) - w' S W t sin b l (Eb - Ea ) - w' 2' W i t S = i 'e 2' SS (Eb - Ea ) - w' WW T X (13.131)



Setelah kita peroleh persamaan (13.131), masukkan persama­ an tersebut ke dalam persamaan (13.127), sehingga kita akan per­ 599 © Vani Sugiyono, S.T.



MEKANIKA KUANTUM oleh persamaan sebagai berikut: 1 Pa " b (t ) = 2 - q E0 ψb z ψa ' =



1 - q E0 '2



= bq E0



#



t



cos ωt e



0



i (Eb - Ea )t '



2



dt



R V (Eb - Ea ) - ω' S W t sin b l (Eb - Ea ) - ω' 2' W i t S ψb z ψa i 'e 2' SS (Eb - Ea ) - ω' WW T X



ei 2 ψb z ψa l



(Eb - Ea ) - ω' '



t



sin 2 b



(Eb - Ea ) - ω' 2'



t



2



l



2 8(Eb - Ea ) - ω'B



(13.132) Ingat bahwa tanda g , merupakan tanda norma, yang mana semua komponen imajiner harus kita hapus. Maka eksponensial pangkat imajiner pada persamaan (13.132) harus dihapus, sehingga kita akan memperoleh peluang transisi partikel dari tingkat energi Ea menuju tingkat energi Eb sebagai berikut:



Pa " b (t ) = q E0 ψb z ψa



2



sin 2 b



(Eb - Ea ) - ω' 2'



t



l



2 8(Eb - Ea ) - ω'B



(13.133)



Serapan Radiasi Kita ketahui bahwa terjadi perpindahan partikel dari tingkat energi lebih rendah (energi Ea ) menuju tingkat energi lebih tinggi (energi Eb ), maka terjadi fenomena serapa radiasi oleh partikel. Eb Ea 600 © Vani Sugiyono, S.T.



BAB BONUS: Teori Gangguan Emisi Radiasi Sedangkan apabila terjadi perpindahan partikel dari tingkat energi lebih tinggi (energi Eb ) menuju tingkat energi lebih rendah (energi Ea ), maka akan terjadi fenomena emisi radiasi (pancaran radiasi) oleh partikel. Ada dua jenis emisi, yaitu: emisi radiasi ter­ rangsang dan emisi radiasi spontan. Untuk emisi radiasi terrangsang, maka partikel harus mendapat rangsangan dari luar terlebih dahulu, baru dia akan mulai meng­ emisi sejumlah radiasi. Eb Ea Sedangkan emisi radiasi spontan, partikel tak harus mendapat rangsangan dari luar terlebih dahulu, karena dia akan secara alami mengemisi radiasi dengan sendirinya. Eb Ea Saya rasa Bab Bonus tentang Teori Gangguan ini sampai di sini dulu. Kesimpulan yang dapat kita peroleh adalah terdapat beberapa pendekatan matematis dalam Mekanika Kuantum, salah satunya adalah dengan teori Gangguan, sehingga kasus-kasus yang tergolong rumit dalam Mekanika Kuantum dapat kita selesai­kan dengan mudah. [ ]



601 © Vani Sugiyono, S.T.



MEKANIKA KUANTUM



A Contoh Soal 1. Sebuah partikel bermassa m bergerak dalam satu dimensi dengan hamiltonian seperti di bawah ini: p2 H0 = + U (x ) 2m



(13.134)



Sehingga persamaan eigen untuk sistem partikel satu dimensi tersebut adalah: H0 yn (x ) = En yn (x )



(13.135)



Dengan En dan yn (x ) sudah kita ketahui. Lalu kita tambahkan pengganggu pada hamiltonian H l = lp/m (dengan l dan m bernilai konstan, sedangkan p adalah operator momentum). Maka hamiltonian akan berubah menjadi: l H = H0 + m p



(13.136)



Dengan nilai hamiltonian yang baru, turunkanlah nilai eigen dan fungsi eigen sistem tersebut! Penyelesaian: Masukkan persamaan (13.134) ke dalam persamaan (13.136) dan definisikan juga p =- i 'd , maka kita akan peroleh: H =-



' 2 2 i 'l d - m d + U (x ) 2m



602 © Vani Sugiyono, S.T.



(13.137)



BAB BONUS: Teori Gangguan Kita susun persamaan eigen untuk hamiltonian yang baru, lalu masukkan persamaan (13.137) ke dalamnya, maka kita akan peroleh persamaan diferensial orde dua (dengan adanya orde 1 sebagai dumper di dalamnya), sebagai berikut: Hψu n (x ) = Eun ψu n (x ) 2 =- ' d 2 - i 'λ d + U (x )G ψu n (x ) = Eun ψu n (x ) m 2m 2 =- ' d 2 + U (x ) - Eun G ψu n (x ) - i 'λ dψu n (x ) = 0 m 2m



i 'λ 2 u '2 22 ψ (x ) = 0 =- 2m 2 + U (x ) - Eun G ψu n (x ) - m 2x n 2x



(13.138)



Penyelesaian dari persamaan orde dua (13.138) di atas adalah sebagai berikut: λ ψu n (x ) = e - ' x ψn (x )



(13.139)



Dengan yn (x ) adalah penyelesaian dari persamaan diferensial orde dua di bawah ini: '2 22 =- 2m 2 + U (x ) - En G yn (x ) = 0 2x



(13.140)



Dengan demikian, kita akan peroleh fungsi eigen hamiltonian yang baru dari sistem tersebut adalah:



λ ψu n (x ) = e - ' x ψn (x )



603 © Vani Sugiyono, S.T.



MEKANIKA KUANTUM Masukkan persamaan (13.134) ke dalam persamaan (13.136) tanpa definisi dari p =- i 'd , maka kita akan peroleh: H= =



p2 l + m p + U (x ) 2m p2 l l2 l2 + m p + m - m + U (x ) 2m



(p + l) 2 l2 = - m + U (x ) 2m



(13.141)



Jika kita anggap l sangat kecil sekali, hampir mendekati nol. Maka persamaan (13.141) di atas menjadi: H=



p 2 l2 l2 - m + U (x ) = H0 - m 2m



(13.142)



Kita susun persamaan eigen untuk hamiltonian yang baru, lalu masukkan persamaan (13.142) ke dalamnya, maka kita akan peroleh: Hψu n (x ) = Eun ψu n (x ) 2 =H0 - λ G ψu n (x ) = Eun ψu n (x ) m



λ2 H0 ψu n (x ) - m ψu n (x ) = Eun ψu n (x ) λ λ2 e - ' x H0 ψn (x ) - m ψu n (x ) = Eun ψu n (x ) λ λ2 e - ' x En ψn (x ) - m ψu n (x ) = Eun ψu n (x )



λ2 En ψu n (x ) - m ψu n (x ) = Eun ψu n (x ) 2 =En - λ G ψu n (x ) = Eun ψu n (x ) m



604 © Vani Sugiyono, S.T.



(13.143)



BAB BONUS: Teori Gangguan Dengan demikian, kita akan peroleh nilai eigen hamiltonian yang baru dari sistem tersebut adalah: l2 Eun = En - m



2. Sebuah partikel bermassa m terikat di dalam sumur potensial berhingga yang berada pada batas -a/2 1 x 1 a/2. a. Carilah nilai eigen sistem tersebut pada keadaan dasar! b. Carilah fungsi eigen sistem tersebut pada keadaan dasar! c. Apabila pengganggu yang sangat kecil ditambahkan pada sistem, yaitu: U l (x ) = 2e | x |/ a . Maka perubahan energi karena adanya gangguan adalah ... (Kita gunakan teori gangguan derajat satu pada soal ini) Penyelesaian: a. Nilai eigen dari sistem pada keadaan dasar: Untuk mengerjakan soal ini kita bisa kembali melihat analisis sumur potensial berhingga pada bab 9. Pada bab tersebut untuk batas -b 1 x 1 b , nilai eigennya pada keadaan dasar: E0 =



p2 ' 2 8mb 2



(13.144)



Maka untuk batas -a/2 1 x 1 a/2, nilai eigennya adalah: E0 = =



p2 ' 2 8mb 2 p2 ' 2



2



8m b 21 a l



=



p2 ' 2 2ma 2



(13.145)



605 © Vani Sugiyono, S.T.



MEKANIKA KUANTUM Dengan demikian, kita akan peroleh nilai eigen sistem pada keadaan dasar adalah:



E0 =



p2 ' 2 2ma 2



b. Fungsi eigen dari sistem pada keadaan dasar: Untuk mengerjakan soal ini kita bisa kembali melihat analisis sumur potensial berhingga pada bab 9. Pada bab tersebut untuk batas -b 1 x 1 b , fungsi eigennya pada keadaan dasar: ψ0 (x ) = A cos



πx 2b



(13.146)



Maka untuk batas -a/2 1 x 1 a/2, nilai eigennya adalah: ψ0 (x ) = A cos = A cos



πx 2b πx 2b



1 a 2



l



πx = A cos a



(13.147)



Kemudian kita lakukan normalisasi kita peroleh: 2 A= a



(13.148)



Dengan demikian, kita akan peroleh fungsi eigen sistem pada keadaan dasar adalah: 2 πx ψ0 (x ) = a cos a 606 © Vani Sugiyono, S.T.



BAB BONUS: Teori Gangguan c. Perubahan energi karena adanya gangguan: Perubahan energi berdasarkan teori gangguan derajat satu dapat kita peroleh dari persamaan:



#



DE =



a/2



U l (x ) y02 (x ) dx



(13.149)



-a/2



Masukkan data-data yang kita peroleh di atas ke dalam per­ samaan (13.149), maka kita akan dapatkan: DE =



#



a/2



-a/2



e



2 2ε | x | oe 2 cos πx o dx a a a



=



4ε a2



#



a/2



=



8ε a2



#



a/2



8ε = 2 a



#



a/2



4ε a2



#



a/2



=



πx | x | cos 2 a dx



-a/2



0



πx x cos 2 a dx 1 + cos xf 2



0



0



2πx a



pdx



2πx x b1 + cos a l dx



(13.150)



Kemudian untuk mempermudah dalam mengintegralkan, kita ubah x = a θ/2π dan a = 2p , maka: 4ε a2 ε = 2 π



DE =



#



a/2



#



π



0



0



2πx x b1 + cos a l dx



θ `1 + cos θj di π



ε θ2 = 2 = + θ sin θ + cos θ G π 2 0 =



ε 2 8 π - 4B 2π2



(13.151)



607 © Vani Sugiyono, S.T.



MEKANIKA KUANTUM Dengan demikian, kita akan peroleh perubahan energi ber­ dasarkan teori gangguan derajat satu adalah:



DE =



ε 2 8 π - 4B 2π2



3. Sebuah inti atom yang memiliki nomor atom Z berbentuk bola sempurna dengan jari-jari R0 dengan densitas muatan merata secara homogen. Asumsikan R0 11 a0 , yang mana a0 adalah jari-jari Bohr atom hidrogen. a. Turunkan persamaan energi potensial antara inti atom dan elektron dalam atom tersebut! b. Carilah beda potensial DU = U (r ) - U0 (r ), dengan U0 (r ) adalah energi potensial di permukaan inti atom! c. Asumsi elektron terikat oleh nukleus pada kondisi terikat paling dasar, maka persamaan gelombang elektron yang kita hitung dengan potensial U0 (r ) adalah ... d. Gunakanlah pendekatan derajat satu teori gangguan untuk menurunkan persamaan perubahan energi elektron pada kondisi dasar dengan ukuran inti atom yang berhingga! Penyelesaian: a. Energi potensial: Berdasarkan hukum Gauss, maka gaya Coulomb di dalam inti atom dan dan di luar inti atom akan memenuhi persamaan: Z 3 2 ] - Ze e r o 2 dU (r ) ] r R0 =[ F =dr 2 ] - Ze ] 2 r \ 608 © Vani Sugiyono, S.T.



r 1 R0 r 2 R0



(13.152)



BAB BONUS: Teori Gangguan Berdasarkan persamaan (13.152) di atas, maka energi potensial adalah hasil intergral dari gaya Coulomb tersebut. Sehingga kita akan peroleh: Z ] ] U (r ) = [ ] ] \



# Zer



2



2



#



r e R o dr 3



0



Ze 2 dr r2



r 1 R0 (13.153)



r 2 R0



Agar U (r ) kontinyu di r = R0 , maka konstanta hasil integral untuk r 1 R0 harus sama dengan -3. Sehingga kita akan dapatkan sebagai berikut: Z 2 ] - Ze 2 3 - r H > e o ] 2R0 R0 U (r ) = [ ] Ze 2 ] - r \



r 1 R0 (13.154) r 2 R0



Dengan demikian, kita akan peroleh energi potensial antara inti atom dan elektron dalam atom tersebut adalah: Z 2 ] - Ze 2 3 - r H > e o ] 2R0 R0 U (r ) = [ ] Ze 2 ] - r \



r 1 R0 r 2 R0



b. Beda potensial: Energi potensial di permukaan inti atom adalah: Ze 2 U0 (r ) =- r



(13.155)



609 © Vani Sugiyono, S.T.



MEKANIKA KUANTUM Padahal beda potensial DU = U (r ) - U0 (r ) dinyatakan oleh persamaan sebagai berikut: Z 2 ] - Ze 2 3 - r H + U0 (r ) > e o ] 2R0 R0 DU ( r ) = [ ] Ze 2 ] - r + U0 (r ) \



r 1 R0 (13.156) r 2 R0



Masukkan persamaan (13.155) pada persamaan (13.156) di atas, maka kita akan dapatkan: Z 2 2 2R0 ] ] - Ze >3 - e r o r H DU ( r ) = [ 2R0 R0 ]] 0 \



r 1 R0



(13.157)



r 2 R0



Dengan demikian, kita akan peroleh beda potensial antara inti atom dan elektron dalam atom tersebut adalah: Z 2 2 2R0 ] ] - Ze >3 - e r o r H DU ( r ) = [ 2R0 R0 ]] 0 \



r 1 R0 r 2 R0



c. Persamaan gelombang elektron paling dasar: Persamaan gelombang paling dasar y100 pada atom hidrogen (dengan Z = 1) dapat kita peroleh dengan tabel pada bab 10, sebagai berikut: ψ100 (r, θ, φ) =



1 πa 03



610 © Vani Sugiyono, S.T.



e -r/a0



(13.158)



BAB BONUS: Teori Gangguan Sedangkan untuk Z ! 1, maka persamaan gelombang paling dasar dari atom yang mirip dengan hidrogen adalah: Z 3 -Zr/a0 e πa 03



Z ψ100 ( r , θ, φ ) =



d. Perubahan energi elektron pada kondisi tertentu: Perubahan energi elektron berdasarkan teori gangguan derajat satu pada kondisi dasar dengan ukuran inti atom yang ber­ hingga dapat kita peroleh dari persamaan:



#



DE =



3



-3



Z 2 DU (r ) ψ100 (r, θ, φ) d 3r



(13.159)



Masukkan persamaan gelombang paling dasar dari atom yang mirip dengan hidrogen yang kita peroleh di atas ke dalam per­ samaan (13.159), maka kita akan dapatkan: DE =



#



3



=



#



3



=



# # #



=



#



-3



0



Z 2 (r, θ, φ) d 3r DU (r ) ψ100 2



Z 3 -Zr/a0 3 DU (r ) > e Hd r πa 03 2π



3



0



0



3



0



π



0



D U (r ) >



2



Z 3 -Zr/a0 2 e H r sin θdθdφdr πa 03



D U (r )



2π π Z 3 -2Zr/a0 2 e r dr sin θdθdφ 3 0 0 πa 0 1 44 44 2 4 4 44 3



D U (r )



Z 2 -2Zr/a0 r e dr 4π πa 03



# #



4π



=



#



=



4Z 3 a 03



0



3



#



0



3



3



DU (r ) r 2e -2Zr/a0 dr



(13.160)



611 © Vani Sugiyono, S.T.



MEKANIKA KUANTUM Lalu masukkan beda potensial antara inti atom dan elektron dalam atom ke dalam persamaan (13.160), maka kita akan peroleh: DE =



4Z 3 a 03



#



=



4Z 3 a 03



# f- 2ZeR



=-



3



0



DU (r ) r 2e -2Zr/a0 dr



R0



2



0



2Z 4 e 2 R0 a 03



0



#



R0



0



2R



r 0 >3 - e R o - r Hpr 2e -2Zr/a0dr 0 2



2R



r 0 >3 - e R o - r Hr 2e -2Zr/a0dr 0 2



(13.161)



Kemudian untuk mempermudah dalam mengintegralkan, kita ubah r = a0 x/2Z dan R0 = a0 x/2Z , maka:



>3 -



r 2 2R0 2 -2Zr/a0 - r Hr e dr R 02



2Z 4 e 2 R0 a 03



#



=-



Z 2e 2 2a0 x



#



x



x 2 -x >3 - x2 - x Hx e dx



=-



Z 2e 2 2a0 x



#



x



1 4 -x -x 2 -x =3x e - x2 x e - 2x x e G dx



=-



2 Z 2e 2 = 2x G 10 2a0 x



DE = -



=



0



0



0



R0



2x



2



Z 2e 2 x 10a0



(13.162)



Dengan demikian, kita akan peroleh perubahan energi ber­ dasarkan teori gangguan derajat satu adalah:



DE =



Z 2e 2 x 10a0



612 © Vani Sugiyono, S.T.



BAB BONUS: Teori Gangguan 4. Sebuah partikel bergerak dalam osilator harmonik tiga dimensi yang memiliki energi potensial U (x, y, z ) sebagai berikut: U (x, y, z ) =



mw2 ` 2 x + y 2 + z 2j 2



(13.163)



Lalu sebuah gangguan yang sangat lemah DU digunakan agar kita bisa menggunakan teori gangguan untuk kasus ini, yang mana DU dinyatakan oleh: U (x, y, z ) = ς xyz +



ς2 2 2 2 x y z 'ω



(13.164)



Asumsi konstanta V sangat kecil sekali. Maka gunakan pen­ dekatan teori gangguan hingga derajat dua untuk mendapat­ kan per­ubahan energi total sistem pada keadaan dasar! Penyelesaian: Perubahan energi total adalah penjumlahan dari perubahan energi pada derajat satu dan perubahan energi pada derajat dua, sebagai berikut: DE = DE (1) + DE (2) =



0 DU (x, y, z ) 0 E 0x, y, z - E0



+



| 1 DU (x, y, z ) 0 | 2 E 0x, y, z - E 1x, y, z



(13.165)



Masukkan DU (x, y, z ) pada DE (1) , maka: 0 D U ( x, y , z ) 0 E 0x, y, z - E0



=V



0 xyz 0 E 0x, y, z - E0



+ V2



0 x 2y 2z 2 0 E 0x, y, z - E0



(13.166)



613 © Vani Sugiyono, S.T.



MEKANIKA KUANTUM Masukkan DU (x, y, z ) pada DE (2) , maka: | 1 DU (x, y, z ) 0 | 2 E 0x, y, z - E 1x, y, z



2



=V



| 1 xyz 0 |2 E 0x, y, z - E 1x, y, z



4



+V



| 1 x 2y 2z 2 0 | 2 E 0x, y, z - E 1x, y, z (13.167)



Sekarang bagian yang berat akan kita lakukan, kita uraikan lagi menjadi bagian-bagian tiap sumbu xyz, maka kita peroleh:



ς



0 xyz 0 E 0x, y, z - E0



=ς =ς



0x0 0y0 0z0 `E 0x + E 0y + E 0z j - E0



0x0



3E 0x - E0 e



=ς



ς



E 0x, y, z - E0



0



#



3



0



=ς 0 x 2y 2 z 2 0



#



3



3



x ψ02 dx o



3 ( 21 'ω) e



2



- ( 21 'ω) 3



x ψ02 dx o



(13.168)



'ω



2



0 x2 0 0 y2 0 0 z2 0



2



0 x2 0



=ς =ς



= ς2



= ς2



`E 0x + E 0y + E 0z j - E0 3



3E 0x - E0 e



#



3



0



3



x 2 ψ02 dx o



3 ( 21 'ω) e



#



0



3



- ( 21 'ω) 3



x 2 ψ02 dx o 'ω



614 © Vani Sugiyono, S.T.



3



(13.169)



BAB BONUS: Teori Gangguan 2



ς



| 1 xyz 0 |2 E 0x, y, z - E 1x, y, z



| 1 x 0 1 y 0 1 z 0 |2



2



=ς



3 ( 21 'ω) - `E 1x + E 1y + E 1z j 3



| 1 x 0 |2



2



=ς



( 32 'ω) - 3E 1x



= ς2



ς



| 1 x 2y 2z 2 0 | 2 E 0x, y, z - E 1x, y, z



3



1



0



0



( 32 'ω) - 3 ( 32 'ω)



= -ς2



4



6



# x ψ ψ dx o



e



4



=ς



6



# x ψ ψ dx o 3



e



1



0



0



(13.170)



3 'ω



| 1 x2 0 1 y2 0 1 z2 0 | 2 3 ( 21 'ω) - `E 1x + E 1y + E 1z j 3



4



=ς



= ς4



| 1 x2 0 | 2 ( 2 'ω) - 3E 1x 3



e



#



3



0



6



x 2 ψ1ψ0 dx o



3 ( 2 'ω)



- 3 ( 32 'ω)



#



x 2 ψ1ψ0 dx o



= -ς4



e



0



3



6



(13.171)



3 'ω



Kita ingat bahwa kasus yang kita kerjakan ini adalah osilator harmonik (ingat bab 9), maka kita akan peroleh: ψ02 = ψ1ψ0 =



mω - mω x 2 e ' , π' 2 mω - mω x 2 xe ' 2π '



(13.172) (13.173)



615 © Vani Sugiyono, S.T.



MEKANIKA KUANTUM Masukkan persamaan (13.172) ke dalam persamaan (13.168) dan (13.169), maka kita akan dapatkan:



e



ς



#



3



0



3



x ψ02 dx o



=ς



'ω



=ς =



ς2



e



#



0



3



mω π'



e



'ω



0



x e-



3 mω 2 x dx o '



mω ' 3 . e π' 2mω o 'ω



ς ' 2 3 8ω π mω



= ς2



= ς2 =



3



'ω



3



x 2 ψ02 dx o



#



mω π'



e



#



3



0



(13.174)



x 2 e-



3 mω 2 x dx o '



'ω e



mω ' π' 3 . π' 2mω mω o



2



2



'ω



ς' 8m 3 ω4



(13.175)



Lalu masukkan kedua persamaan di atas ke dalam persamaan (13.166), sehingga kita peroleh DE (1) adalah:



DE (1) =



0 DU (x, y, z ) 0 E 0x, y, z - E0



=ς =



0 xyz 0 E 0x, y, z - E0



+ς



0 x 2y 2z 2 0 E 0x, y, z - E0



ς ς2 ' 2 ' + 2 3 8ω π mω 8m 3 ω4 616



© Vani Sugiyono, S.T.



2



(13.176)



BAB BONUS: Teori Gangguan Masukkan persamaan (13.173) ke dalam persamaan (13.170) dan (13.171), maka kita akan dapatkan:



ς2



e



6



# x ψ ψ dx o 3



0



1



0



= ς2



3'ω



2 mω 2π '



e



#



3



0



x 2 e-



mω 2 6 x dx o '



3'ω 6



= ς2 =



ς4



e



#



0



3



2 mω ' π' . f ωp m 2 ω m ' 2π



ς2 ' 2 24m 2 ω4



6



x 2 ψ1ψ0 dx o 3'ω



3' ω



= ς4



e



(13.177)



2 mω 2π '



#



0



3



x 3 e-



mω 2 6 x dx o '



3'ω 6



f



'2 2 mω . p 2π ' 2m 2 ω2



4



5



= ς4 =



3'ω



ς ' 8m 6 ω7



(13.178)



Lalu masukkan kedua persamaan di atas ke dalam persamaan (13.167), sehingga kita peroleh DE (2) adalah:



DE (2) =



| 1 D U ( x, y , z ) 0 | 2 E 0x, y, z - E 1x, y, z



= ς2 =-



| 1 xyz 0 |2 E 0x, y, z - E 1x, y, z



+ ς4



| 1 x 2y 2z 2 0 | 2



ς2 ' 2 ς4 ' 5 24m 2 ω4 8m 6 ω7



E 0x, y, z - E 1x, y, z (13.179)



617 © Vani Sugiyono, S.T.



MEKANIKA KUANTUM Setelah semua ditemukan, masukkan persamaan (13.176) dan (13.179) ke dalam persamaan (13.165), maka kita peroleh: DE = DE (1) + DE (2) =



ς ς2 ' 2 ς2 ' 2 ς4 ' 5 ' + + 8ω2 π3mω 8m 3 ω4 24m 2 ω4 8m 6 ω7



=



ς ς2 ' 2 ς4 ' 5 ' + 2 3 3 4 8ω π mω 12m ω 8m 6 ω7



(13.180)



Dengan demikian, kita akan peroleh per­ubahan energi total sistem pada keadaan dasarber­dasarkan teori gangguan derajat dua adalah:



DE =



ς ς2 ' 2 ς4 ' 5 ' + 8ω2 π3mω 12m 3 ω4 8m 6 ω7



5. Sebuah elektron berada dalam osilator harmonik tiga dimensi yang diganggu oleh interaksi gerak rotasi dan gerak melingkar sehingga hamiltoniannya menjadi: H = H0 + USO =e



2 2 p 2 mw2r 2 o + e ' w 2 S $ Lo + 2m 2 2mc



(13.181)



a. Nilai eigen sistem tersebut untuk keadaan dasar adalah ... b. Carilah nilai eigen sistem tersebut pada keadaan terangsang paling rendah! c. Gunakkan teori gangguan untuk menentukan nilai eigen pada keadaan terangsang pertama! 618 © Vani Sugiyono, S.T.



BAB BONUS: Teori Gangguan Penyelesaian: a. Nilai eigen pada keadaan dasar: Nilai eigen sistem osilator harmonik satu dimensi pada keadaan dasar adalah 'w/2, namun untuk sistem tiga dimensi berarti akan ada 3 komponen yang kita anggap sama yang masingmasing dari mereka memiliki nilai eigen pada keadaan dasar 'w/2. Maka nilai eigen sistem osilator harmonik tiga dimensi pada keadaan dasar adalah: E 0x, y, z = E 0x + E 0y + E 0z 1 1 1 'w + 'w + 'w 2 2 2 3 = 'w 2 =



(13.182)



Dengan demikian, nilai eigen dari sistem osilator harmonik tiga dimensi pada keadaan dasar adalah:



E 0x, y, z =



3 'w 2



b. Nilai eigen pada keadaan terangsang paling rendah: Interaksi gerak rotasi dan gerak melingkar juga menyumbang masing-masing 'w/2 pada nilai eigen sistem osilator harmonik tiga dimensi, untuk kasus terangsang: E 0x, y, z, s, l = E 0x + E 0y + E 0z + E 0s + E 0l 1 1 1 1 1 'w + 'w + 'w + 'w + 'w 2 2 2 2 2 5 = 'w (13.183) 2 =



619 © Vani Sugiyono, S.T.



MEKANIKA KUANTUM Dengan demikian, nilai eigen dari sistem osilator harmonik tiga dimensi pada keadaan terangsang paling rendah adalah:



E 0x, y, z, s, l =



5 'w 2



c. Nilai eigen dengan interaksi rotasi-melingkar: Nilai eigen pada keadaan terangsang pertama dapat kita per­ oleh dari persamaan: ' 2 w2 Eu 1j = E 0x, y, z, s, l + S $L 2mc 2 =



' 2 w2 5 'w + 8J (J + 1) - L (L + 1) - S (S + 1)B 2 4mc 2



(13.184)



Keadaan terangsang pertama berarti L = 1 dan S = 21 , maka J1 =



3 2



dan J2 = 21 . Sehingga akan ada dua nilai eigen pada



keadaan terangsang pertama yang akan kita temukan, yaitu sebagai berikut: ' 2 w2 3 3 5 1 1 Eu 1 = 'w + : ( + 1) - 1 (1 + 1) - 2 ( 2 + 1)D 2 4mc 2 2 2 3/ 2



=



' 2 w2 5 'w + 2 8mc 2



(13.185)



Dan juga sebagai berikut: ' 2 w2 1 1 5 Eu 1 = 'w + ( + 1) - 1 (1 + 1) - 21 ( 21 + 1)D 2 :2 2 2 4mc 1/ 2



=



' 2 w2 5 'w 2 2mc 2



(13.186)



620 © Vani Sugiyono, S.T.



BAB BONUS: Teori Gangguan Dengan demikian, nilai eigen pada keadaan terangsang per­ tama pada osilator harmonik tiga dimensi adalah: 5 ' 2 w2 Eu 1 = 'w + 2 8mc 2



5 ' 2 w2 dan Eu 1 = 'w 2 2mc 2



3/ 2



1/ 2



6. Sebuah atom hidrogen dalam keadaan dasar ditempatkan antara plat paralel kapasitor. Untuk t 1 0 kita anggap tidak ada tegangan listrik yang bekerja. Mulai dari t = 0 medan listrik E (t ) = E0 e -t/t bekerja, yang mana t bernilai konstanta. a. Maka turunkanlah persamaan probabilitas transisi elektron dari 1s ke 2s (gunakan teori gangguan gayut waktu untuk menyelesaikan soal ini)! b. Maka turunkanlah persamaan probabilitas transisi elektron dari 1s ke 2p (gunakan teori gangguan gayut waktu untuk menyelesaikan soal ini)! Penyelesaian: a. Persamaan probabilitas (peluang) transisi dari 1s ke 2s: Untuk teori gangguan gayut waktu (seperti yang telah kita pelajari sebelumnya), maka persamaan gelombang dapat di­ nyatakan oleh persamaan: Y (r, t) = !aj (t ) e -iEj t/' j



(13.187)



j



Sedangkan energi potensial gayut waktu adalah: U (t ) =- e | E0 | e -t/t z



(13.188)



621 © Vani Sugiyono, S.T.



MEKANIKA KUANTUM Kemudian dari persamaan SchrÖdinger gayut waktu kita akan dapatkan persamaan sebagai berikut: i' i' i'



2 Y = 8H0 + U (t )B Y 2t



2 !a (t ) e-iEj t/' j = !al (t ) e-iEl t/' 8H0 + U (t )B l 2t j j l



2 a (t ) e -iEj t/' j j = al (t ) e -iEl t/' j H0 + U (t ) l 2t j 2 i a (t ) = - al (t ) e -i (Ej - El) t/' j U (t ) l 2t j ' (13.189)



Dalam soal hidrogen pada keadaan dasar, maka al = a1s = 1. Masukkan persamaan (13.188) ke dalam persamaan (13.189) di atas, setelah itu kita integralkan. 2 i a (t ) = e | E0 | e -t/t - i (Ej - El) t/' j z l 2t j ' aj (3) = =



ie | E0 | j z l ' ie | E0 | t



#



0



3 - [1/t - i (E - E )] t/' j l



e



j z l



dt (13.190)



' - i t (E j - El )



Akhirnya kita dapatkan probabilitas transisi elektron dari l =1s ke j sebagai berikut: P1s " j = | aj (3)| =



2



e 2 | E0 | 2 t 2 j z 1s ' 2 + t 2 (Ej - E1s) 2 622



© Vani Sugiyono, S.T.



2



(13.191)



BAB BONUS: Teori Gangguan Dari persamaan di atas, probabilitas transisi elektron dari 1s ke 2s kita dapatkan sebagai berikut:



P1s " 2s = =



e 2 | E0 | 2 t 2 2s z 1s



2



' 2 + t 2 (E2s - E1s) 2 e 2 | E0 | 2 t 2 0 ' 2 + t 2 (E2s - E1s) 2



=



0



(13.192)



Nilai 2s z 1s = 0 karena sifat paritas. Dengan demikian probabilitas transisi elektron dari 1s ke 2s adalah 0. b. Persamaan probabilitas (peluang) transisi dari 1s ke 2p: Dari persamaan di atas, probabilitas transisi elektron dari 1s ke 2p kita dapatkan sebagai berikut:



P1s " 2s =



=



=



=



.



e 2 | E0 | 2 τ 2 2p z 1s



2



' 2 + τ 2 (E2p - E1s) 2 e 2 | E0 | 2 τ 2 ' + τ (E2p - E1s) 2



2



#



3



2



#



3



2



e 2 | E0 | 2 τ 2 ' + τ (E2p - E1s) 2



2



e 2 | E0 | 2 τ 2 ' + τ (E2p - E1s) 2



2



2



0



0



ψ210 ψ100 d 3r 2πr 4 - 3r e 2a0 dr πa 04 32



1 3 2 a 04



0,745 e 2 | E0 | 2 τ 2a0



#



0



3 4 -3r/3a 0



r e



#



0



π



sin θ cos 2 θdθ



dr



(13.193)



' 2 + τ 2 (E2p - E1s) 2



623 © Vani Sugiyono, S.T.



MEKANIKA KUANTUM 7. Tritium 31H adalah isotop hidrogen 11H, dengan 1 proton dan 2 neutron. Inti tritium akan memancarkan radiasi beta



0 -1 b ,



sehingga muatan tritium tiba-tiba berubah menjadi +2 dan sekaligus mengubah dirinya menjadi isotop helium 23He . Jika awalanya elektron dalam keadaan dasar dalam atom tritium, maka peluang tritium masih dalam keadaan dasar setelah me­ mancarkan beta dan berubah menjadi helium adalah ... Penyelesaian: Pada keadaan dasar tritium 31H yang memiliki nomor atom Z = 1 akan mempunyai persamaan gelombang pada keadaan H dasar y100 yang sama dengan atom hidrogen pada umumnya,



yaitu sebagai berikut: H ψ100 ( r , θ, φ ) =



1 πa 03



e -r/a0



(13.194)



Sedangkan persamaan gelombang helium 23He yang memiliki nomor atom Z = 2 pada keadaan dasar dinyatakan oleh per­ samaan sebagai berikut:



He ψ100 ( r , θ, φ ) =



Z 3 -Zr/a0 e πa 03



=



8 -2r/a0 e πa 03



(13.195)



Peluang tritium masih dalam keadaan dasar setelah berubah menjadi helium dapat kita cari dengan menggunakan dua per­ samaan gelombang di atas, karena kedua persamaan di atas berada pada keadaan dasar. 624 © Vani Sugiyono, S.T.



BAB BONUS: Teori Gangguan Berikut adalah peluang tritium masih dalam keadaan dasar setelah berubah menjadi helium: H He P 0H " He = ψ100 ψ100



=



#



-3



== =



3



He H ψ100 ψ100



H He d 3x ψ100 ψ100



#



-3



#



3



H He d 3x G ψ100 ψ100



# >



3



H He 2 r dr ψ100 ψ100



0



0



= = 4π



3



He H d 3x ψ100 ψ100



2



2π



# #



π



sin θdθdφ 0 0 1 4444 2 4 4 44 3 H



2



4π



#



0



3



H He 2 r dr G ψ100 ψ100



2



(13.196)



Lalu masukkan persamaan (13.194) dan persamaan (13.195) ke dalam persamaan (13.196) di atas, maka kita peroleh: P 0H " He = >



4p 8 pa 03



#



3 2 -3r/a 0



0



r e



3 4 8 a0 => 3 e oH 3 a0



==



dx H



2



2



6



2 3/2 G . 0,702 3



(13.197)



Dengan demikian, peluang tritium masih dalam keadaan dasar setelah me­mancarkan beta dan berubah menjadi helium adalah sebesar:



P 0H " He . 70,2%



625 © Vani Sugiyono, S.T.



MEKANIKA KUANTUM



B Soal Latihan 1. Sebuah partikel bermassa m bergerak dalam satu dimensi dengan hamiltonian seperti di bawah ini: p2 H0 = + U (x ) 2m



(13.198)



Sehingga persamaan eigen untuk sistem partikel satu dimensi tersebut adalah: H0 yn (x ) = En yn (x ) Dengan En dan yn (x ) sudah kita ketahui. Lalu kita tambahkan pengganggu pada hamiltonian H l = | e | p (dengan l dan m bernilai konstan, sedangkan p adalah operator momentum). Maka hamiltonian akan berubah menjadi: H = H0 +| e | p



(13.199)



Dengan nilai hamiltonian yang baru, maka: a. Turunkanlah nilai eigen sistem tersebut! b. Turunkanlah fungsi eigen sistem tersebut!! 2. Sebuah partikel bermassa m terikat di dalam sumur potensial berhingga yang berada pada batas -b 1 x 1 b . a. Carilah nilai eigen sistem tersebut pada keadaan dasar! b. Carilah fungsi eigen sistem tersebut pada keadaan dasar! c. Apabila pengganggu yang sangat kecil sekali ditambahkan 626 © Vani Sugiyono, S.T.



BAB BONUS: Teori Gangguan pada sistem tersebut, yaitu: U l (x ) = 2eb | x -1 |. Dengan menggunakan teori gangguan, maka per­ubahan energi karena adanya gangguan adalah ... 3. Sebuah inti atom yang memiliki nomor atom Z berbentuk bola sempurna dengan jari-jari



1 a 10 0



dengan densitas muatan



merata secara homogen. Ingatlah a0 adalah jari-jari Bohr atom hidrogen. Maka: a. Turunkan persamaan energi potensial antara inti atom dan elektron dalam atom tersebut! b. Carilah beda potensial DU = U (r ) - U0 (r ), dengan U0 (r ) adalah energi potensial di permukaan inti atom! c. Asumsi elektron terikat oleh nukleus pada kondisi terikat paling dasar, maka persamaan gelombang elektron yang kita hitung dengan potensial U0 (r ) adalah ... d. Gunakanlah pendekatan derajat dua teori gangguan untuk menurunkan persamaan perubahan energi elektron pada kondisi dasar dengan ukuran inti atom yang berhingga! 4. Sebuah partikel bergerak dalam osilator harmonik tiga dimensi yang memiliki energi potensial U (x, y, z ) sebagai berikut: U (x, y, z ) =



1 ` 2 L x + y 2 + z 2j 2



(13.200)



Lalu sebuah gangguan yang sangat lemah DU digunakan agar kita bisa menggunakan teori gangguan untuk kasus ini:



DU (x, y, z ) =



5



j -1



! e '1ω o



j=1



ςj x j y j z j



(13.201)



627 © Vani Sugiyono, S.T.



MEKANIKA KUANTUM Asumsi konstanta V sangat kecil sekali. Maka gunakan pen­ dekatan teori gangguan hingga derajat dua untuk mendapat­ kan per­ubahan energi total sistem pada keadaan dasar! 5. Sebuah partikel tak berotasi bergerak dalam osilator harmonik satu dimensi dengan energi potensial: U (x ) =



1 mw2x 2 2



(13.202)



a. Hitunglah koreksi relativistik pada keadaan dasar dengan menggunakan pendekatan derajat satu teori gangguan! b. Jika hamiltonian suatu osilator harmonik adalah:



H=



p 2 mω2x 2 + + αx 3 2m 2



(13.203)



Agar koreksi pada kasus ini bernilai sama dengan soal (a.), maka nilai a adalah ... 6. Sebuah elektron berada dalam osilator harmonik tiga dimensi yang diganggu oleh interaksi gerak rotasi dan gerak melingkar sehingga hamiltoniannya menjadi: H = H0 + USO =e



2 2 U (r ) p 2 mw2r 2 o + f '2 2 1 + S $ Lp r 2m 2 2r 2m c



(13.204)



Jika energi potensial pada sistem di atas dinyatakan oleh per­ samaan U (r ) = Lr 2 (dengan L konstan), maka: 628 © Vani Sugiyono, S.T.



BAB BONUS: Teori Gangguan a. Nilai eigen sistem osilator harmonik tiga dimensi tersebut untuk keadaan dasar adalah ... b. Carilah nilai eigen sistem osilator harmonik tiga dimensi tersebut pada keadaan terangsang paling rendah! c. Gunakkan teori gangguan untuk menentukan nilai eigen pada keadaan terangsang pertama! 7. Dua elektron terikat dengan proton oleh interaksi Coulomb. Tapi, kali ini kita abaikan gaya tolak antar elektron karena muatan mereka yang sama. Maka: a. Energi pada keadaan dasar dari sistem ini adalah ... b. Persamaan gelombang pada keadaan dasar dari sistem ini adalah... c. Bayangkan jika ada energi potensial yang sangat lemah antara dua elektron sebesar: U (r1 - r2) = U0 d 3 (r1 - r2) s1 $ s2



(13.205)



Dengan U0 bernilai konstan dan sj adalah operator rotasi untuk elektron j . Maka dengan menggunakan pendekatan derajat satu teori ganguan, energi terganggu pada keadaan dasar adalah ... 8. Sebuah elektron berada pada kulit L atom hidrogen. Asumsi kita tidak membahas koreksi relativistik di sini, sehingga kondisi 2s dan 2p awalnya terdegenerasi (merosot). Kemudian kita paksakan medan listrik kecil E = | E | zt , untuk mengganggu sistem tersebut. Gunakan teori gangguan untuk mendapatkan bagaimana tingkat energi berubah ke urutan te­rendah dalam pengaruh |E | yang sangat kecil sekali! 629 © Vani Sugiyono, S.T.



“Alam semesta membuatku selalu penasaran, membuatku selalu bertanya-tanya dengan tekatekinya. Mungkinkah kita mampu memecahkan teka-teki raksasa ini?” ~Vani Sugiyono



DAFTAR PUSTAKA



Sugiyono, Vani. Catatan Pribadi Penulis. Ashby, Neil dan Miller, Stanley C. 1970. Principles of Modern



Physics. San Francisco: Holden-day, Inc.



Ballentine, Leslie E. 1998. Quantum Mechanics A Modern Deve



-lopment. Singapore: World Scientific Publishing.



Baumann, Gerd. 2004. Mathematica fot Theoretical Physics, 2nd



Edition. Berlin: Springer-Verlag.



Beiser, Arthur. 2003. Consepts of Modern Physics. New York:



McGraw-Hill Companies.



Biswas, Tarun. 1990. Quantum Mechanics Consepts and Appli



-cation. New York: University of New York.



Brasden, B.H., dan Joachain, C.J. 1989 (2000). Quantum Mechanics.



Harlow: Pearson Education Limited.



Brasden, B.H., dan Joachain, C.J. 1983. Physics of Atoms and



Molecules. Harlow: New York: John Wiley and Sons, Inc.



Cahn, B. Sydney dan Nadgorny, E. Borris. 1994. A Guide to Physics



Problems, part 1. New York: Kluwer Academic Publishers.



Cahn, B. Sydney and Nadgorny, E. Borris. 1994. A Guide to Physics



Problems, part 2. New York: Kluwer Academic Publishers.



Cropper, William H. 2001. Great Physicists . New York: Oxford



University Press, Inc.



Dirac, Paul. A. M. 1958. The Principles of Quantum Mechanics.



London: Oxford University Press. 631 © Vani Sugiyono, S.T.



Griffiths, David J. 1995. Introduction to Quantum Mechanics. New



Jersey: Prentice Hall.



Hameka, Hendrik F. 2004. Quantum Mechanics A Conceptual



Approach. New Jersey: John Wiley and Sons, Inc.



Liboff, Richard L. 1980. Introductory Quantum Mechanics. Mass­



-achusetts: Addison-Wesley Publishing Company.



Lipson, Marc Lars and Lipshultz, Seymour. 2002. Schaum’s Easy



Outline of Linear Algebra. New York: McGraw Hill.



Manning, Phillip. 2008. Atoms, Molecules, and Compounds. New



York: Infobase Publishing.



McEvoy, J.P. dan Zarate, Oscar. 2005. Introducing Quantum The



-ory a Graphic Guide to Science’s Most Puzzling Discovery.







Malta: Gutenberg Press.



McMurry, John E. dan Fay, Robert C. 2012. Chemistry. New Jersey:



Prentice Hall.



Merzbacher, Eugen. 1961. Quantum Mechanics. New York: John



Wiley and Sons, Inc.



Peleg, Yoav dan Friends. 1998. Schaum’s Outline of Theory and



Problems of Quantum Mechanics. New York: McGraw­­Hill.



Phillips, A. C. 2003. Introduction to Quantum Mechanics. New



York: John Wiley and Sons, Inc.



Potter, Franklin dan Jargodzki, Christopher. 2005. Mad About



Modern Physics, Braintwisters, Paradoxes, and Curious-







-cities. New York: John Wiley and Sons, Inc.



Ross, Shepley L. 1984. Differential Equations Third Edition. New



York: John Wiley and Sons, Inc.



Sakurai, J. J. 1994. Modern Quantum Mechanics Revised Edition.



Mass­achusetts: Addison-Wesley Publishing Company.



Shankar, Ramamurti. 1980. Principles of Quantum Mechanics



Second Edition. New York: Plenum Press. 632



© Vani Sugiyono, S.T.



Silberber, Martin S. 1945. Principles of General Chemistry. New



York: McGraw Hill.



Tang, K. T. 2007. Mathematical Methods for Engineer and Scientists



Vol 1: Complex Analysis. Berlin: Springer-Verlag.



Tang, K. T. 2007. Mathematical Methods for Engineer and Scientists



Vol 2: Vector Analysis, Mathematical. Berlin: Springer-







Verlag.



Tang, K. T. 2007. Mathematical Methods for Engineer and Scientists



Vol 3: Fourier Analysis, Partial Differential Equations and







Variational Methods. Berlin: Springer-Verlag.



Tipler, Paul A. 1969. Modern Physics. New York: Worth Publisher,



Inc.



Warren, Warren S. 2000. The Physical Basis of Chemistry, 2nd.



New York: Harcourt Science and Thecnology Company.



Zettili, Nouredine. 2009. Quantum Mechanics, Consept and App



-plications. New York: John Wiley and Sons, Inc.



633 © Vani Sugiyono, S.T.



TENTANG PENULIS



Vani Sugiyono, lahir di kota Banyuwangi, Jawa Timur. Dia merupakan alumni dari jurusan Teknik Fisika, program studi Teknik Nuklir, Universitas Gadjah Mada. Sejak kecil, dia sudah me­nunjukkan bakat yang luar biasa dalam bidang sains dan matematika. Bahkan dia sudah menciptakan rumusrumusnya sendiri saat masih di bangku SMP dan SMA. Kecintaannya terhadap fisika dibuktikan dengan meraih Juara 1 Olimpiade Fisika Mahasiswa Provinsi D.I. Yogyakarta. Tidak hanya berhenti di situ, selama menjadi mahasiswa hingga sekarang, dia telah menelurkan 8 buku (untuk SMP, SMA, dan Olimpiade) dan 2 buku untuk Universitas. Dedikasinya dalam dunia pendidikan dan ilmu pengetahuan terus me­ motivasi­nya untuk selalu menulis buku-buku yang berkualitas demi mencerdaskan generasi penerus bangsa dan kemajuan teknologi Indonesia di masa depan nanti. [ ]



634 © Vani Sugiyono, S.T.



Jika Anda berminat untuk membeli buku “Mekanika Kuantum“ karya Vani Sugiyono, S.T., bisa Anda order di: Toko Buku terdekat (Gramedia, Togamas, dll) Atau silakan hubungi *) facebook: vanisugiyono.ST WhatsApp kami: 0857 859 83 888 *) free tanda tangan penulis + sampul



U A N TU M K A MEKANIK



ii