7.mekanika Kuantum Schroudingger-1 [PDF]

Citation preview

MEKANIKA KUANTUM



Pengantar Persamaan Schrödinger



Persamaan gel. ∂2y/∂x2 = (1/v2) ∂2y/∂t2 Peluang partikel dlm suatu daerah x2



P=



∫ ᴪ2 dx x1



Solusi persm gel : y = F (t ± x/v) +x, -x Untuk gel harmonik monokromatik : y = A e -i 𝜔 (t – x/v) atau



MEKANIKA KUANTUM • y = Acos 𝜔(t-x/v) – iAsin𝜔 (t-x/v) • y = Acos 𝜔(t-x/v) • Persm Schrodinger ᴪ = f(t) bergantung t • ᴪ = A e -i 𝜔 (t – x/v) • Energi : E = h f = 2𝛑 Ҕf , 𝜆 = h/p = 2𝛑Ҕ/p • Diperoleh persm gel. Partikel bebas : • ᴪ = A e –(i/Ҕ) (Et – px) • Diferensial-2 trhd X : ∂2ᴪ/∂x2 = -(p2/Ҕ2) ᴪ • Diferensial-1 terhdp t : ∂ᴪ/∂t = -(iE/ Ҕ) ᴪ



MEKANIKA KUANTUM



• Energi total : E = p2/2m + V dikalikan dg ᴪ • E ᴪ = p2ᴪ /2m + V ᴪ.......4 • E ᴪ = -(Ҕ/i) ∂ᴪ/∂t p2ᴪ = - Ҕ2(∂2ᴪ/∂x2) • Persm Schrodinger fungsi waktu : satu dimensi x • (i h/2𝛑) ∂ᴪ/∂t = -(h2/8𝛑m) (∂2ᴪ/∂x2) + V ᴪ • Tiga dimensi : x , y , z : • (i h/2𝛑) ∂ᴪ/∂t = -(h2/8𝛑m) (∂2ᴪ/∂x2 +∂2ᴪ/∂y2 +∂2ᴪ/∂z2 ) + V ᴪ



MEKANIKA KUANTUM



• Persm Schrodinger keadaan stedy : • ᴪ = A e –(i/Ҕ) (Et – px) • ᴪ = ᴪ e –(iE 2𝛑/h)t • Energi total E = K + V • E ᴪ e –(iE 2𝛑)t = -(h2/8𝛑m) e –(iE 2𝛑)t(∂2ᴪ/∂x2) + V ᴪ e –(iE 2𝛑)t • Schrodinger keadaan tunak : • (∂2ᴪ/∂x2) + 8𝛑2 m/h2 (E-V)ᴪ = 0 satu dimensi x



Representasi di dalam sumur potensial



MEKANIKA KUANTUM • • • • • • • • • • •



Tiga dimensi x, y, z (∂2ᴪ/∂x2 + ∂2ᴪ/∂y2 + ∂2ᴪ/∂z2) + 8𝛑2 m/h2 (E-V)ᴪ = 0 Panjang gel. Yg memenuhi : 𝜆n = 2L/(n + 1) n = 0,1,2,3..... Tingkat energi : En = -(me4/32𝛑2𝜀o2)(1/n2) n = 1, 2, 3 , 4 ..... Partikel dalam kotak, (∂2ᴪ/∂x2) + 8𝛑2 m/h2 (E-V)ᴪ = 0, V = 0 E = K. (∂2ᴪ/∂x2) + 8𝛑2 m/h2 (E)ᴪ = 0



MEKANIKA KUANTUM



• • • • • • • • •



Solusinya : ᴪ = A sin(√2mE)/Ҕ)x + Bcos(√2mE)/Ҕ)x pada x = 0 , x = L nilai ᴪ = 0 , jika (√2mE)/Ҕ)L = n 𝛑 n = 1 ,2 ,3.... Shg Energi En = (n𝛑Ҕ)2/2mL2 Dg fungsi gel. ᴪ = A sin(√2mE)/Ҕ)x atau ᴪ = A sin(n𝛑x/L) ᴪ = (√2/L)sin(n𝛑x/L) A = √2/L amplitudo



MEKANIKA KUANTUM • Soal : TUGAS KELOMPOK 1. Persamaan Gel : y = A cos 2𝛑f (t – x/w) , dimana gel de Broglie : 𝜆 = h/mv v V : Partikel selalu melewati perintang (klasik) E > V : Partikel terjadi pemantulan & transmisi oleh perintang.



MEKANIKA KUANTUM



• EFEK TEROBOSAN I II III X=0 X=L Persamaan Schrodinger daerah I & III • (∂2ᴪI /∂x2) + 8𝛑2 m/h2 (E)ᴪI = 0, V = 0 • (∂2ᴪIII /∂x2) + 8𝛑2 m/h2 (E)ᴪIII = 0, V = 0 • Solusinya : • ᴪI = A exp(ik1x) + Bexp(-ik1x) • ᴪIII = F exp(ik1x) + Gexp(-ik1x) • Bil.gel diluar perintang • k1 = 2𝛑/𝜆 = (√2mE)/Ҕ



MEKANIKA KUANTUM



PELUANG TRANSMISI PADA PERINTAN • T = │ᴪIII+│2 f / │ᴪI+│2 f • Persamaan Schrodinger pada perintang (II) • (∂2ᴪII /∂x2) + 8𝛑2 m/h2 (E-V)ᴪII = 0, V ≠ 0 • Solusinya : ᴪII = C exp(ik’ x) + Dexp(-ik’ x) • k’ = [√2m(E-V)]/Ҕ • Bil.gel dalam perintang : k2 = -ik’ • k2 = [√2m(V – E)]/Ҕ



MEKANIKA KUANTUM Fungsi gel. Pada perintang (II) : • ᴪII = C exp(-k2x) + Dexp(k2x) • Terapan syarat batas pada perintang • Pada x = 0 ,ᴪI = ᴪII • ∂ᴪI/∂x = ∂ᴪII/∂x • Pada x = L , ᴪII = ᴪIII • ∂ᴪII /∂x = ∂ᴪIII /∂x • Aproksimasi peluang transmisi pada perintang • T = e-2k2L OSILATOR HARMONIK • Hkm.Hooke : F = -kx, ma = -kx md2x/dt2 = -kx • d2x/dt2 + (k/m)x = 0 • Solusinya : x = A cos (2𝛑ft + 𝛟) • Frekuensi osilator harmonik • f = (1/2𝛑)√k/m