Menggambarkan Data:: Ukuran Numerik [PDF]

Citation preview

Machine Translated by Google



3 Menggambarkan Data:



Tujuan pembelajaran Ketika Anda telah menyelesaikan



Ukuran Numerik



bab ini, Anda akan dapat:



LO1 Menjelaskan konsep tendensi sentral. LO2 Identifikasi dan hitung rata-rata aritmatika.



LO3 Menghitung dan menginterpretasikan rata-rata tertimbang.



LO4 Tentukan median.



LO5 Mengidentifikasi modus. LO6 Hitung geometri berarti.



LO7 Menjelaskan dan menerapkan ukuran dispersi. LO8 Hitung dan jelaskan varians dan standar deviasi.



Kentucky Derby diadakan pada hari Sabtu pertama di bulan Mei di Churchill Downs di Louisville, Kentucky. Lintasan balap adalah satu dan seperempat



LO9 Menjelaskan Teorema Chebyshev dan Aturan Empiris.



mil. Tabel di Latihan 82 menunjukkan pemenang sejak 1990, mereka margin kemenangan, waktu kemenangan, dan hasil dari taruhan $2. Tentukan rata-rata dan median untuk variabel waktu menang dan hasil pada



LO10 Hitung rata-rata dan simpangan baku dari data yang dikelompokkan.



taruhan $2. (Lihat Latihan 82 dan LO2 dan LO4.)



Machine Translated by Google 58



bagian 3



LO1 Menjelaskan konsep tendensi sentral.



3.1 Pendahuluan



Statistik dalam Tindakan Apakah Anda pernah bertemu dengan orang Amerika "rata-rata"?



Bab 2 memulai studi kami tentang statistik deskriptif. Untuk meringkas data mentah menjadi bentuk yang berarti, kami mengatur data kualitatif ke dalam tabel frekuensi dan menggambarkan hasilnya dalam diagram batang. Dengan cara yang sama, kami menyusun data kuantitatif ke dalam distribusi frekuensi dan menampilkan hasilnya dalam histogram. Kami juga melihat teknik grafis lainnya seperti diagram lingkaran untuk menggambarkan data kualitatif dan poligon frekuensi untuk menggambarkan data kuantitatif. Bab ini berkaitan dengan dua cara numerik untuk menjelaskan variabel kuantitatif, yaitu ukuran lokasi dan ukuran dispersi. Ukuran lokasi sering disebut sebagai rata-rata. Tujuan dari ukuran lokasi adalah untuk menentukan pusat distribusi data. Rata-rata adalah ukuran lokasi yang menunjukkan nilai sentral dari data. Ratarata muncul setiap hari di TV, di berbagai situs web, di surat kabar, dan jurnal lainnya. Berikut beberapa contohnya:



Nah, namanya Robert (itu nominal levelnya



• Rata-rata rumah di AS berganti kepemilikan setiap 11,8 tahun. • Orang Amerika menerima rata-rata 568 tingkat rasio), tingginya surat per tahun. 69,5 inci (sekali lagi tingkat rasio • Rata-rata rumah di Amerika memiliki lebih banyak TV daripada orang. Ada 2,73 set TV dan 2,55 pengukuran), beratnya 172 orang di rumah biasa. • Rata-rata pasangan pon, memakai sepatu Amerika menghabiskan $20.398 untuk pernikahan ukuran 91 ÿ2 , memiliki mereka, sementara anggaran mereka 50 persen pinggang 34 inci, dan memakai setelan ukuran 40. Di dalam lebih sedikit. Ini belum termasuk biaya bulan madu atau cincin pertunangan. • Harga rataSelain itu, rata-rata pria rata tiket teater di Amerika Serikat adalah $7,50, makan 4 pon keripik menurut National Association of Theater Owners. kentang, menonton TV pengukuran), dia berusia 31 tahun (itu adalah



1.456 jam, dan makan 26 pon pisang setiap tahun dan juga tidur 7,7 jam per malam.



Rata-rata wanita Amerika adalah 5 4 tinggi dan berat 140 pound, sedangkan rata-rata model Amerika adalah 5 11 tinggi dan berat 117 pon. Pada hari tertentu, hampir setengah dari wanita masuk Amerika Serikat adalah



Jika kita hanya mempertimbangkan ukuran lokasi dalam sekumpulan data, atau jika kita membandingkan beberapa kumpulan data menggunakan nilai pusat, kita dapat menarik kesimpulan yang salah. Selain ukuran lokasi, kita harus mempertimbangkan penyebaran— sering disebut variasi atau penyebaran—dalam data. Sebagai ilustrasi, misalkan pendapatan tahunan rata-rata eksekutif untuk perusahaan terkait Internet adalah $80.000, dan pendapatan rata-rata eksekutif di perusahaan farmasi juga $80.000. Jika kita hanya melihat pendapatan rata-rata, kita mungkin salah menyimpulkan bahwa distribusi kedua gaji itu sama. Namun, kita perlu mengkaji dispersi atau penyebaran distribusi gaji. Melihat kisaran gaji menunjukkan bahwa kesimpulan tentang pemerataan ini tidak benar. Gaji eksekutif di perusahaan Internet berkisar antara $70.000 hingga $90.000, tetapi gaji eksekutif pemasaran di perusahaan farmasi berkisar antara $40.000 hingga $120.000. Dengan demikian, kami menyimpulkan bahwa meskipun gaji rata-rata sama untuk kedua industri, ada lebih banyak penyebaran atau dispersi gaji untuk eksekutif farmasi. Untuk menggambarkan dispersi, kami akan mempertimbangkan jangkauan, deviasi rata-rata, varians, dan standar deviasi.



sedang diet. Diidolakan di tahun 1950-an, Marilyn Monroe akan



dianggap selesai berat dengan standar saat ini. Dia flu



Kita mulai dengan membahas ukuran lokasi. Tidak hanya ada satu ukuran lokasi; sebenarnya ada banyak. Kami akan mempertimbangkan lima: rata-rata aritmatika, rata-rata tertimbang, median, modus, dan rata-rata geometrik. Rata-rata aritmatika adalah ukuran lokasi yang paling banyak digunakan dan dilaporkan secara luas. Kami mempelajari rata-rata sebagai parameter populasi dan statistik sampel.



diapit antara ukuran Berpakaian 14 dan 18, dan merupakan wanita yang sehat dan menarik.



3.2 Rata-Rata Populasi Banyak penelitian melibatkan semua nilai dalam suatu populasi. Misalnya, ada 12 rekan penjualan yang bekerja di gerai Karpet Reynolds Road oleh Otto. Jumlah rata-rata komisi yang mereka peroleh bulan lalu adalah $1.345. Ini adalah populasi



Machine Translated by Google 59



Menggambarkan Data: Ukuran Numerik



nilai, karena kami mempertimbangkan komisi dari semua rekanan penjualan. Contoh lain dari ratarata populasi adalah: • Rata-rata harga penutupan saham Johnson & Johnson selama 5 hari terakhir adalah $64,75. • Jumlah rata-rata jam kerja lembur minggu lalu oleh enam tukang las di departemen pengelasan Butts Welding Inc. adalah 6,45 jam. • Caryn Tirsch memulai sebuah situs web bulan lalu yang dikhususkan untuk berkebun organik. Rata-rata jumlah klik di situsnya selama 31 hari di bulan Juli adalah 84,36. Untuk data mentah—yaitu data yang belum dikelompokkan dalam suatu distribusi frekuensi— rata-rata populasi adalah penjumlahan dari semua nilai dalam populasi dibagi dengan jumlah nilai dalam populasi. Untuk mencari mean populasi, kita menggunakan rumus berikut.



Jumlahkan semua nilai dalam populasi



Rata-rata populasi LO2 Mengidentifikasi dan menghitung aritmatika



berarti.



Jumlah nilai dalam populasi



Alih-alih menulis dengan kata-kata petunjuk lengkap untuk menghitung rata-rata populasi (atau ukuran lainnya), lebih mudah menggunakan simbol singkatan matematika. Rata-rata populasi menggunakan simbol matematika adalah: X



ARTI POPULASI



[3–1]



N



Di mana:



mewakili rata-rata populasi. Ini adalah huruf kecil Yunani "mu." N adalah jumlah nilai dalam populasi. X mewakili nilai tertentu. ÿ adalah huruf besar Yunani "sigma" dan menunjukkan operasi penjumlahan. ÿX adalah jumlah dari nilai X dalam populasi. Setiap karakteristik terukur dari populasi disebut parameter. Rata-rata populasi adalah contoh parameter. PARAMETER Karakteristik populasi.



Contoh



Ada 42 pintu keluar di I-75 melalui negara bagian Kentucky. Di bawah ini tercantum jarak antara pintu keluar (dalam mil). 11



4



10



2



2



5



4



10



3



14



32 11 82 5 6 3 101 14 75225 33 12 1 3



7



1



9



1



10 7



38



Mengapa informasi ini populasi? Berapa rata-rata jarak tempuh antara pintu keluar?



Larutan



Ini adalah populasi karena kami mempertimbangkan semua pintu keluar di Kentucky. Kami menambahkan jarak antara masing-masing dari 42 pintu keluar. Jarak totalnya adalah 192 mil. Untuk mencari rata-rata aritmatika, kita membagi total ini dengan 42. Jadi rata-rata aritmatika adalah 4,57 mil, diperoleh dari 19242. Dari rumus (3–1): ©X



N



11 4 10 #



#



42



#



1



192 42



4.57



Bagaimana kita menginterpretasikan nilai 4,57? Ini adalah jumlah mil yang khas antara pintu keluar. Karena kami mempertimbangkan semua pintu keluar di Kentucky, nilai ini merupakan parameter populasi.



Machine Translated by Google 60



bagian 3



3.3 Rata-Rata Sampel Sebagaimana dijelaskan dalam Bab 1, kita sering memilih sampel dari populasi untuk memperkirakan karakteristik tertentu dari populasi. Departemen jaminan kualitas Smucker perlu diyakinkan bahwa jumlah selai stroberi dalam toples berlabel berisi 12 ons benar-benar mengandung jumlah tersebut. Akan sangat mahal dan memakan waktu untuk memeriksa berat setiap toples. Oleh karena itu, sampel 20 toples dipilih, rata-rata sampel ditentukan, dan nilai tersebut digunakan untuk memperkirakan jumlah selai di setiap toples. Untuk data mentah—yaitu, data yang tidak dikelompokkan— rata-rata adalah jumlah dari semua nilai sampel dibagi dengan jumlah total nilai sampel. Untuk mencari rata-rata sampel: Jumlahkan semua nilai dalam sampel



Rata-rata sampel



Rata-rata sampel dari data



Jumlah nilai dalam sampel



yang tidak dikelompokkan.



Rata-rata sampel dan rata-rata populasi dihitung dengan cara yang sama, tetapi notasi singkat yang digunakan berbeda. Rumus untuk rata-rata sampel adalah :



X SAMPEL BERARTI



X



[3–2]



N



Di mana:



X mewakili rata-rata sampel. Bunyinya "X bar." n adalah jumlah nilai dalam sampel. X mewakili nilai tertentu. ÿ adalah huruf besar Yunani "sigma" dan menunjukkan operasi penjumlahan. ÿX adalah jumlah nilai X dalam sampel. Rata-rata sampel, atau ukuran lain apa pun berdasarkan data sampel, disebut statistik . Jika ratarata berat sampel 10 toples selai stroberi Smucker adalah 41 ons, ini adalah contoh statistik.



STATISTIK Karakteristik sampel.



Contoh SunCom sedang mempelajari jumlah menit yang digunakan oleh klien di ponsel tertentu rencana tarif. Sampel acak dari 12 klien menunjukkan jumlah menit yang digunakan bulan lalu sebagai berikut. 90



77



94



89



119



112



91



110



92



100



113



83



Berapa jumlah rata-rata aritmatika menit yang digunakan?



Larutan



Dengan menggunakan rumus (3-2), rata-rata sampel adalah:



Rata-rata sampel



Jumlahkan semua nilai dalam sampel Jumlah nilai dalam sampel X



X N



90 77 #



#



12



#83



1170 12



97.5



Jumlah rata-rata hitung menit yang digunakan bulan lalu oleh sampel pengguna ponsel adalah 97,5 menit.



Machine Translated by Google



61



Menggambarkan Data: Ukuran Numerik



3.4 Sifat Rata-Rata Aritmatika Rata-rata aritmatika adalah ukuran lokasi yang banyak digunakan. Ini memiliki beberapa sifat penting: 1. Setiap kumpulan data tingkat interval atau rasio memiliki rata-rata. Ingat dari Bab 1 bahwa data tingkat rasio mencakup data seperti usia, pendapatan, dan bobot, dengan jarak antar angka konstan. 2. Semua nilai disertakan dalam penghitungan rata-rata. 3. Rata-rata unik. Artinya, hanya ada satu rata-rata dalam satu set data. Nanti di bab ini, kita akan menemukan rata-rata yang mungkin muncul dua kali, atau lebih dari dua kali, dalam satu set data. 4. Jumlah simpangan setiap nilai dari rata-rata adalah nol. Menyatakan secara simbolis:



(X X) 0 Sebagai contoh, rata-rata dari 3, 8, dan 4 adalah 5. Maka:



(X X) (3 5)



(8 5)



(4 5)



231 0 Berarti sebagai titik keseimbangan



Dengan demikian, kita dapat menganggap rata-rata sebagai titik keseimbangan untuk sekumpulan data. Sebagai ilustrasi, kami memiliki papan panjang dengan angka 1, 2, 3, . . . , 9 dengan jarak yang sama di atasnya.



Misalkan tiga batang dengan berat yang sama diletakkan di papan pada nomor 3, 4, dan 8, dan titik keseimbangan ditetapkan pada 5, rata-rata dari ketiga angka tersebut. Kami akan menemukan bahwa papannya sangat seimbang! Penyimpangan di bawah rata-rata (3) sama dengan penyimpangan di atas rata-rata (3). Ditampilkan secara skematis:



2



+3



1



1



2 34567 89



_ X



Berarti terlalu dipengaruhi oleh nilai yang luar biasa besar atau kecil



Rata-rata memang memiliki kelemahan. Ingatlah bahwa rata-rata menggunakan nilai setiap item dalam sampel, atau populasi, dalam perhitungannya. Jika satu atau dua dari nilai ini sangat besar atau sangat kecil dibandingkan dengan sebagian besar data, ratarata mungkin bukan rata-rata yang sesuai untuk mewakili data. Misalnya, pendapatan tahunan sekelompok kecil pialang saham di Merrill Lynch adalah $62.900, $61.600, $62.500, $60.800, dan $1.200.000. Pendapatan rata-rata adalah $289.560. Jelas, itu tidak mewakili grup ini, karena semua kecuali satu broker memiliki pendapatan dalam kisaran $60.000 hingga $63.000. Satu pendapatan ($1,2 juta) terlalu mempengaruhi berarti.



Machine Translated by Google 62



bagian 3



Tinjauan Diri 3–1



1. Penghasilan tahunan sampel karyawan manajemen menengah di Westinghouse adalah: $62.900, $69.100, $58.300, dan $76.800. (a) Berikan rumus rata-rata sampel. (b) Tentukan mean sampel. (c) Apakah rata-rata yang Anda hitung dalam (b) statistik atau parameter? Mengapa? (d) Berapa perkiraan terbaik Anda tentang rata-rata populasi? 2. Semua mahasiswa Ilmu Komputer tingkat lanjut 411 adalah populasi. Nilai kursus mereka adalah 92, 96, 61, 86, 79, dan 84. (a) Berikan rumus rata-rata populasi. (b) Hitung rata-rata nilai kursus. (c) Apakah ratarata yang Anda hitung dalam (b) statistik atau parameter? Mengapa?



Latihan Jawaban untuk latihan bernomor ganjil ada di akhir buku.



1. Hitung mean dari nilai populasi berikut: 6, 3, 5, 7, 6. 2. Hitung mean dari nilai populasi berikut: 7, 5, 7, 3, 7, 4. 3. a. Hitung mean dari nilai sampel berikut: 5, 9, 4, 10. b. Menunjukkan bahwa (XX ) 0. 4. a. Hitung mean dari nilai sampel berikut: 1.3, 7.0, 3.6, 4.1, 5.0. B. Menunjukkan bahwa (X X) 0. 5. Hitung mean dari nilai sampel berikut: 16,25, 12,91, 14,58. 6. Misalkan Anda pergi ke toko kelontong dan membelanjakan $61,85 untuk membeli 14 barang. Berapa harga rata-rata per item? Untuk Latihan 7–10, (a) hitung mean aritmatika dan (b) tunjukkan apakah itu statistik atau parameter.



7. Ada 10 tenaga penjualan yang dipekerjakan oleh Midtown Ford. Jumlah mobil baru yang terjual bulan lalu oleh masing-masing tenaga penjualan adalah: 15, 23, 4, 19, 18, 10, 10, 8, 28, 19. 8. Departemen akunting di sebuah perusahaan mail-order menghitung jumlah panggilan masuk berikut per hari ke nomor bebas pulsa perusahaan selama 7 hari pertama bulan Mei: 14, 24, 19, 31, 36, 26, 17. 9. Cambridge Power and Light Company memilih sampel acak dari 20 pelanggan perumahan. Berikut adalah jumlah, dalam dolar terdekat, pelanggan ditagih untuk layanan listrik bulan lalu:



54



48



58



50



25



47



75



46



60



70



67



68



39



35



56



66



33



62



65



67



10. Direktur Hubungan Manusia di Ford mulai mempelajari jam lembur di Departemen Inspeksi. Sampel 15 pekerja menunjukkan bahwa mereka bekerja dengan jumlah jam lembur berikut bulan lalu.



13



13



12



15



7



15



5



6



7



12



10



9



13



12



12



11. AAA Heating and Air Conditioning menyelesaikan 30 pekerjaan bulan lalu dengan pendapatan rata-rata $5.430 per pekerjaan. Presiden ingin mengetahui total pendapatan untuk bulan tersebut. Berdasarkan informasi yang terbatas, dapatkah Anda menghitung total pendapatan? Apa itu? 12. Sebuah perusahaan farmasi besar mempekerjakan lulusan administrasi bisnis untuk menjual produknya. Perusahaan berkembang pesat dan mendedikasikan hanya satu hari pelatihan penjualan untuk tenaga penjualan baru. Sasaran perusahaan untuk tenaga penjualan baru adalah $10.000 per bulan. Sasarannya didasarkan pada penjualan rata-rata saat ini untuk seluruh perusahaan, yaitu $10.000 per bulan. Setelah meninjau tingkat retensi karyawan baru, perusahaan menemukan bahwa hanya 1 dari 10 karyawan baru yang bertahan lebih dari tiga bulan. Mengomentari penggunaan penjualan rata-rata saat ini per bulan sebagai tujuan penjualan untuk karyawan baru. Mengapa karyawan baru keluar dari perusahaan?



Machine Translated by Google 63



Menggambarkan Data: Ukuran Numerik



3.5 Rata-Rata Tertimbang LO3 Menghitung dan menginterpretasikan pembobotan



berarti.



Rata-rata tertimbang adalah kasus khusus dari rata-rata aritmatika. Itu terjadi ketika ada beberapa pengamatan dengan nilai yang sama. Untuk menjelaskannya, misalkan Restoran Wendy terdekat menjual minuman ringan berukuran sedang, besar, dan Biggie masing-masing seharga $0,90, $1,25, dan $1,50. Dari 10 minuman terakhir yang terjual, 3 berukuran sedang, 4 berukuran besar, dan 3 berukuran Biggie. Untuk mencari harga rata-rata dari 10 minuman terakhir yang terjual, kita dapat menggunakan rumus



X X



$.90 $.90 $.90 $1.25 $1.25 $1.25 $1.25 $1.50 $1.50 $1.50 10 $12,20 10



$1,22



Harga jual rata-rata dari 10 minuman terakhir adalah $1,22. Cara yang lebih mudah untuk menemukan harga jual rata-rata adalah dengan menentukan rata-rata tertimbang.



Artinya, kami mengalikan setiap pengamatan dengan berapa kali hal itu terjadi. Kami akan merujuk rataIni dibaca "X bar sub w." 3($0,90) rata tertimbang sebagai Xw.



Xw



$12,20



4($1,25) 3($1,50) 10



10



$1,22



Dalam hal ini, bobot adalah jumlah frekuensi. Namun, ukuran kepentingan apa pun dapat digunakan sebagai bobot. Secara umum, rata-rata tertimbang dari sekumpulan angka yang ditunjuk X1, X2, X3, . . . , Xn dengan bobot yang sesuai w1, w2, w3, . . . , wn dihitung dengan:



BERARTI BERBOBOT



Xw



#



w1X1 w2X2 w3X3 # w1 w2 #



w3 #



# wnXn #



[3–3]



wn



Ini dapat disingkat menjadi:



Xw



(wX) w



Perhatikan bahwa penyebut rata-rata tertimbang selalu merupakan jumlah dari bobot.



Contoh The Carter Construction Company membayar karyawan per jamnya $16,50, $19,00, atau $25,00 per jam. Ada 26 karyawan per jam, 14 di antaranya dibayar dengan tarif $16,50, 10 dengan tarif $19,00, dan 2 dengan tarif $25,00. Berapa rata-rata tarif per jam yang dibayarkan kepada 26 karyawan?



Larutan



Untuk menemukan tarif per jam rata-rata, kami mengalikan setiap tarif per jam dengan jumlah karyawan yang mendapatkan tarif tersebut. Dari rumus (3-3), rata-rata tarif per jam adalah



Xw



14($16.50) 10($19.00) 2($25.00) 14 10 2



$471,00 26



$18,1154



Rata-rata upah tertimbang per jam dibulatkan menjadi $18,12.



Tinjauan Diri 3–2 Pegas menjual 95 setelan pria Antonelli dengan harga reguler $400. Untuk obral musim semi, setelan itu dikurangi menjadi $200 dan 126 terjual. Pada izin akhir, harga diturunkan menjadi $100 dan sisa 79 jas terjual. (a) Berapakah harga rata-rata tertimbang dari sebuah setelan Antonelli? (b) Pegas membayar $200 per setelan untuk 300 setelan. Komentari keuntungan toko per setelan jika seorang wiraniaga menerima komisi $25 untuk setiap penjualan.



Machine Translated by Google 64



bagian 3



Latihan 13. Pada bulan Juni, seorang investor membeli 300 lembar saham Oracle (sebuah perusahaan teknologi informasi) dengan harga $20 per lembar. Pada bulan Agustus, dia membeli 400 saham tambahan seharga $25 per saham. Pada bulan November, dia membeli 400 saham tambahan, tetapi saham tersebut turun menjadi $23 per saham. Berapa harga ratarata tertimbang per saham? 14. The Bookstall Inc. adalah toko buku khusus yang berkonsentrasi pada buku bekas yang dijual melalui Internet. Paperbacks masing-masing seharga $1,00, dan buku hardcover seharga $3,50. Dari 50 buku yang terjual Selasa pagi lalu, 40 buku paperback dan sisanya hardcover. Berapa harga rata-rata tertimbang sebuah buku? 15. Sistem Perawatan Kesehatan Loris mempekerjakan 200 orang staf perawat. Lima puluh pembantu perawat, 50 perawat praktik, dan 100 perawat terdaftar. Pembantu perawat menerima $8 per jam, perawat praktis $15 per jam, dan perawat terdaftar $24 per jam. Berapa upah rata-rata tertimbang per jam? 16. Andrews and Associates berspesialisasi dalam hukum perusahaan. Mereka mengenakan biaya $100 per jam untuk meneliti sebuah kasus, $75 per jam untuk konsultasi, dan $200 per jam untuk menulis ringkasan. Minggu lalu salah satu rekanan menghabiskan 10 jam untuk berkonsultasi dengan kliennya, 10 jam untuk meneliti kasus, dan 20 jam untuk menulis ringkasan. Berapa rata-rata tertimbang biaya per jam untuk layanan hukumnya?



3.6 Median LO4 Tentukan median.



Kami telah menekankan bahwa, untuk data yang berisi satu atau dua nilai yang sangat besar atau sangat kecil, rata-rata aritmatika mungkin tidak representatif. Pusat data tersebut dapat dijelaskan dengan lebih baik oleh ukuran lokasi yang disebut median. Untuk mengilustrasikan perlunya ukuran lokasi selain rata-rata aritmatika, misalkan Anda ingin membeli kondominium di Palm Aire. Agen real estat Anda mengatakan bahwa harga rata-rata unit yang tersedia saat ini adalah $110.000. Apakah Anda masih ingin melihat? Jika Anda telah menganggarkan harga pembelian maksimum sebesar $75.000, Anda mungkin mengira itu di luar kisaran harga Anda. Namun, memeriksa harga masingmasing unit mungkin berubah pikiran. Harganya $60.000, $65.000, $70.000, dan $80.000, dan penthouse superdeluxe seharga $275.000. Harga rata-rata aritmatika adalah $110.000, seperti yang dilaporkan oleh agen real estat, tetapi satu harga ($275.000) menarik rata-rata aritmatika ke atas, menyebabkannya menjadi rata-rata yang tidak representatif. Tampaknya harga sekitar $70.000 adalah usia rata-rata yang lebih tipikal atau representatif, dan memang demikian. Dalam kasus seperti ini, median memberikan ukuran lokasi yang lebih valid.



MEDIAN Titik tengah nilai setelah diurutkan dari yang terkecil ke yang terbesar, atau dari yang terbesar ke yang terkecil. Harga rata-rata unit yang tersedia adalah $70.000. Untuk menentukan ini, kami mengurutkan harga dari rendah ($60.000) ke tinggi ($275.000) dan memilih nilai tengah ($70.000). Untuk median, data harus setidaknya tingkat ordinal pengukuran.



Harga Diurutkan dari Rendah ke Tinggi



Harga Diurutkan dari Tinggi ke Rendah



$ 60,000 $275,000 65,000 80,000 70,000 ÿ Median ÿ 70,000 80,000 65,000 275,000 60,000



Machine Translated by Google 65



Menggambarkan Data: Ukuran Numerik



Median kurang dipengaruhi oleh nilai ekstrim



Perhatikan bahwa ada jumlah harga yang sama di bawah median $70.000 seperti di atasnya. Oleh karena itu, median tidak terpengaruh oleh harga yang sangat rendah atau tinggi. Jika harga tertinggi adalah $90.000, atau $300.000, atau bahkan $1 juta, harga rata-ratanya tetap $70.000. Demikian pula, seandainya harga terendah adalah $20.000 atau $50.000, harga rata-ratanya tetap $70.000. Pada ilustrasi sebelumnya, terdapat jumlah observasi yang ganjil (lima). Bagaimana cara menentukan median untuk jumlah pengamatan yang genap ? Seperti sebelumnya, observasi diurutkan. Kemudian dengan konvensi untuk mendapatkan nilai unik kami menghitung rata-rata dari dua pengamatan tengah. Jadi untuk pengamatan berjumlah genap, median mungkin bukan salah satu dari nilai yang diberikan.



Contoh Facebook adalah situs jejaring sosial yang populer. Pengguna dapat menambahkan teman dan mengirim mereka pesan, dan perbarui profil pribadi mereka untuk memberi tahu teman tentang diri mereka dan aktivitas mereka. Sampel dari 10 orang dewasa mengungkapkan bahwa mereka menghabiskan jumlah jam berikut bulan lalu menggunakan Facebook. 3



5



7



5



9



1



3



9



17



10



Temukan jumlah median jam.



Larutan



Perhatikan bahwa jumlah sampel dewasa adalah genap (10). Langkah pertama, seperti sebelumnya, adalah mengurutkan jam menggunakan Facebook dari rendah ke tinggi. Kemudian identifikasi dua waktu tengah. Rata-rata aritmatika dari dua pengamatan tengah memberi kita jam median. Mengatur nilai dari rendah ke tinggi: 1



3



3



5



5



7



9



9



10



17



Median ditemukan dengan merata-ratakan dua nilai tengah. Nilai tengahnya adalah 5 jam dan 7 jam, dan rata-rata dari kedua nilai ini adalah 6. Kami menyimpulkan bahwa tipikal pengguna Facebook menghabiskan 6 jam per bulan di situs web. Perhatikan bahwa median bukan salah satu nilai. Juga, separuh waktunya berada di bawah median dan separuhnya lagi di atasnya.



Sifat utama dari median adalah:



Median dapat ditentukan untuk semua level data tetapi nominal.



1. Tidak terpengaruh oleh nilai yang sangat besar atau kecil. Oleh karena itu, median adalah ukuran lokasi yang berharga ketika nilai tersebut benar-benar terjadi. 2. Dapat dihitung untuk data tingkat ordinal atau lebih tinggi. Ingat dari Bab 1 bahwa data tingkat ordinal dapat diurutkan dari rendah ke tinggi.



3.7 Modus Modus adalah ukuran lain dari lokasi . LO5 Mengidentifikasi modus.



MODE Nilai observasi yang paling sering muncul. Modus ini sangat berguna dalam meringkas data tingkat nominal. Sebagai contoh penggunaannya untuk data tingkat nominal, sebuah perusahaan telah mengembangkan lima minyak mandi. Bagan batang pada Bagan 3-1 menunjukkan hasil survei pemasaran yang dirancang untuk menemukan minyak mandi yang disukai konsumen. Jumlah terbesar responden menyukai Lamoure, yang dibuktikan dengan bilah tertinggi. Jadi, Lamoure adalah modenya.



Machine Translated by Google bagian 3



400



300



Jumlah Tanggapan



66



200



100



0



Baunya Enak Jauh Jauh



Amor Lamoure Menenangkan kode



Minyak mandi



BAGAN 3–1 Jumlah Responden yang Menyukai Berbagai Minyak Mandi



Contoh Ingat data mengenai jarak dalam mil antara pintu keluar I-75 sampai Kentucky. Informasi ini diulangi di bawah ini. 11



4



10



4



9



3



8



10



3



14



1



10



3



5



2



2



5



6



1



2



2



3



7



1



3



7



8



10



14 75225 11 33 12 1



Berapa jarak modal?



Solusi Langkah pertama adalah mengatur jarak ke dalam tabel frekuensi. Ini akan membantu kita tentukan jarak yang paling sering terjadi. Jarak dalam Mil antara Pintu Keluar



Frekuensi 8



1



7



2



7



34



3



5



4



6 7



1



8



3



9 10



2



11 14



Total



1411



42



Jarak yang paling sering terjadi adalah satu mil. Ini terjadi delapan kali — yaitu, ada delapan pintu keluar yang berjarak satu mil. Jadi jarak modal antara pintu keluar adalah satu mil. Manakah dari tiga ukuran lokasi (rata-rata, median, atau modus) yang paling mewakili lokasi sentral dari data ini? Apakah mode ukuran lokasi terbaik untuk mewakili data Kentucky? TIDAK. Modus hanya mengasumsikan skala nominal dari



Machine Translated by Google 67



Menggambarkan Data: Ukuran Numerik



pengukuran dan jarak tempuh variabel diukur dengan menggunakan skala rasio. Kami menghitung rata-rata menjadi 4,57 mil. Lihat halaman 59. Apakah rata-rata ukuran lokasi terbaik untuk mewakili data ini? Mungkin tidak. Ada beberapa kasus di mana jarak antara pintu keluar besar. Nilai-nilai ini memengaruhi rata-rata, membuatnya terlalu besar dan tidak mewakili jarak antar pintu keluar. Bagaimana dengan mediannya? Jarak rata-rata adalah 3 mil. Artinya, setengah dari jarak antara pintu keluar adalah 3 mil atau kurang. Dalam hal ini, median 3 mil antar pintu keluar mungkin merupakan ukuran yang lebih representatif dari jarak antar pintu keluar.



Kekurangan modus



Singkatnya, kita dapat menentukan modus untuk semua tingkat data—nominal, ordinal, interval, dan rasio. Modus juga memiliki keuntungan karena tidak terpengaruh oleh nilai yang sangat tinggi atau rendah. Modus memang memiliki kelemahan, bagaimanapun, yang menyebabkannya lebih jarang digunakan daripada rata-rata atau median. Untuk banyak kumpulan data, tidak ada mode karena tidak ada nilai yang muncul lebih dari satu kali. Misalnya, tidak ada mode untuk kumpulan data harga ini: $19, $21, $23, $20, dan $18. Namun, karena setiap nilai berbeda, dapat dikatakan bahwa setiap nilai adalah modus. Sebaliknya, untuk beberapa kumpulan data terdapat lebih dari satu mode. Misalkan usia individu dalam klub investasi saham adalah 22, 26, 27, 27, 31, 35, dan 35. Usia 27 dan 35 adalah mode. Dengan demikian, pengelompokan usia ini disebut sebagai bimodal (memiliki dua mode). Seseorang akan mempertanyakan penggunaan dua mode untuk merepresentasikan lokasi kumpulan data usia ini.



Tinjauan Diri 3–3 1. Sampel orang lajang di Towson, Texas, yang menerima pembayaran Jaminan Sosial mengungkapkan tunjangan bulanan ini: $852, $598, $580, $1.374, $960, $878, dan $1.130. (a) Berapakah rata-rata tunjangan bulanan? (b) Berapa banyak pengamatan yang berada di bawah median? Di atasnya? 2. Jumlah penghentian pekerjaan di industri otomotif untuk bulan tertentu adalah 6, 0, 10, 14, 8, dan 0. (a) Berapakah jumlah median penghentian? (b) Berapa banyak pengamatan yang berada di bawah median? Di atasnya? (c) Berapa jumlah modal penghentian pekerjaan?



Latihan 17. Apa yang akan Anda laporkan sebagai nilai modal untuk sekumpulan pengamatan jika ada total: a. 10 pengamatan dan tidak ada dua nilai yang sama? B. 6 pengamatan dan semuanya sama? C. 6 pengamatan dan nilainya adalah 1, 2, 3, 3, 4, dan 4? Untuk Latihan 18–20, tentukan (a) rata-rata, (b) median, dan (c) modus. 18. Berikut adalah jumlah penggantian oli selama 7 hari terakhir di Jiffy Lube yang terletak di sudut Elm Street dan Pennsylvania Avenue. 41



15



39



54



31



15



33



19. Berikut adalah persentase perubahan laba bersih dari tahun lalu ke tahun ini untuk sampel 12 perusahaan konstruksi di Denver. 5



1



10



6



5



12



7



8



2



5



1



20. Berikut ini adalah usia 10 orang di video arcade di Southwyck Shop ping Mall pada pukul 10 pagi



12



8



17



6



11



14



8



17



10



8



11



Machine Translated by Google 68



bagian 3



21. Beberapa indikator pertumbuhan ekonomi jangka panjang di Amerika Serikat tercantum di bawah ini.



Indikator ekonomi



Indikator ekonomi



Perubahan Persen



Perubahan Persen



Inflasi



4,5%



GNP nyata



2,9%



Ekspor



4.7



Investasi (perumahan)



3.6



Impor



2.3



Investasi (non-hunian)



2.1



Pendapatan nyata sekali pakai



2.9



Produktivitas (total)



1.4



Konsumsi



2.7



Produktivitas (manufaktur)



5.2



A. Berapa persen perubahan median? B. Berapa persen perubahan modal? 22. Sally Reynolds menjual real estat di sepanjang pesisir California Utara. Di bawah ini adalah jumlah total komisi yang diperolehnya sejak tahun 2000. Carilah rata-rata, median, dan modus dari komisi yang diperolehnya selama 11 tahun.



Tahun



Jumlah (ribuan)



2000



$237,51



2001



233,80



2002



206,97



2003



248,14



2004



164,69



2005



292,16



2006



269,11



2007



225,57



2008



255,33



2009



202,67



2010



206,53



23. Kantor akuntan Rowatti dan Koppel berspesialisasi dalam pengembalian pajak penghasilan untuk wiraswasta profesional, seperti dokter, dokter gigi, arsitek, dan pengacara. Perusahaan mempekerjakan 11 akuntan yang menyiapkan pengembalian. Untuk tahun lalu, jumlah pengembalian yang disiapkan oleh masing-masing akuntan adalah:



58



75



31



58



46



65



71



60



45



58



80



Temukan rata-rata, median, dan modus untuk jumlah pengembalian yang disiapkan oleh masing-masing akuntan. Jika Anda hanya dapat melaporkan satu, ukuran lokasi mana yang akan Anda rekomendasikan untuk dilaporkan? 24. Permintaan video game yang disediakan oleh Mid-Tech Video Games Inc. telah meledak dalam beberapa tahun terakhir. Oleh karena itu, pemilik perlu mempekerjakan beberapa orang teknis baru untuk memenuhi permintaan. Mid-Tech memberi setiap pelamar tes khusus yang Dr. McGraw, perancang tes tersebut, meyakini hal itu terkait erat dengan kemampuan membuat video game. Untuk populasi umum, rata-rata tes ini adalah 100. Di bawah ini adalah skor tes untuk pelamar.



95



105



120



81



90



115



99



100



130



10



Presiden tertarik pada kualitas keseluruhan pelamar kerja berdasarkan tes ini. Hitung rata-rata dan skor median untuk sepuluh pelamar. Apa yang akan Anda laporkan kepada presiden? Apakah tampaknya pelamar lebih baik daripada populasi umum?



Machine Translated by Google Menggambarkan Data: Ukuran Numerik



69



3.8 Solusi Perangkat Lunak Kita dapat menggunakan paket perangkat lunak statistik untuk menemukan banyak ukuran lokasi.



Contoh Tabel 2-4 di halaman 30 menunjukkan keuntungan dari penjualan 180 kendaraan di Applewood Grup Otomatis. Tentukan mean dan median harga jual.



Larutan



Jumlah laba rata-rata, median, dan modal dilaporkan dalam keluaran Excel berikut (disorot dalam tangkapan layar). (Ingat: Petunjuk untuk membuat keluaran muncul di bagian Perintah Perangkat Lunak di akhir bab.) Ada 180 kendaraan dalam penelitian ini, jadi perhitungan dengan kalkulator akan membosankan dan rawan kesalahan.



Keuntungan rata-rata adalah $1.843,17 dan mediannya adalah $1.882,50. Kedua nilai ini terpisah kurang dari $40, jadi nilai mana pun masuk akal. Kita juga dapat melihat dari output Excel bahwa ada 180 kendaraan yang terjual dan keuntungan totalnya adalah $331.770,00. Kami akan menjelaskan arti dari kesalahan standar, standar deviasi, dan ukuran lain yang dilaporkan pada keluaran nanti di bab ini dan di bab selanjutnya. Apa yang bisa kita simpulkan? Keuntungan tipikal pada sebuah kendaraan adalah sekitar $1.850. Manajemen di Applewood mungkin menggunakan nilai ini untuk proyeksi pendapatan. Misalnya, jika dealer dapat meningkatkan jumlah penjualan dalam satu bulan dari 180 menjadi 200, hal ini akan menghasilkan perkiraan pendapatan tambahan sebesar $37.000, ditemukan sebesar 20($1.850).



3.9 Posisi Relatif Mean, Median, dan Modus Untuk distribusi berbentuk gundukan yang simetris, rata-rata, median, dan modus adalah sama.



Lihat histogram pada Bagan 3-2 di bagian atas halaman berikut. Ini adalah distribusi simetris, yang juga berbentuk gundukan. Distribusi ini memiliki bentuk yang sama di kedua sisi tengahnya. Jika poligon dilipat menjadi dua, kedua bagiannya akan identik. Untuk sebarang distribusi simetris, modus, median, dan rata-rata terletak di pusat dan selalu sama. Semuanya sama dengan 20 tahun di Bagan 3-2. Kita harus menunjukkan bahwa ada distribusi simetris yang tidak berbentuk gundukan.



Machine Translated by Google 70



bagian 3



Simetris (kemiringan nol)



y



Frekuensi



X



Rata-rata = 20



Bertahun-tahun



Median = 20 Modus = 20



BAGAN 3–2 Distribusi Simetris



tidak simetris.



y Miring ke kanan (miring positif) Frekuensi



Distribusi miring adalah



Jumlah tahun yang sesuai dengan titik tertinggi kurva adalah modus ( 20 tahun). Karena distribusinya simetris, mediannya sesuai dengan titik di mana distribusinya dipotong setengah (20 tahun). Jumlah total frekuensi yang mewakili banyak tahun diimbangi dengan jumlah total yang mewakili beberapa tahun, menghasilkan rata-rata aritmetika 20 tahun. Logikanya, salah satu dari ketiga ukuran tersebut akan sesuai untuk mewakili pusat distribusi. Jika distribusi tidak simetris, atau miring, hubungan antara ketiga ukuran tersebut berubah. Dalam distribusi miring positif, rata-rata aritmatika adalah yang terbesar dari tiga ukuran. Mengapa? Karena rata-rata dipengaruhi lebih dari median atau modus oleh beberapa nilai yang sangat tinggi. Median umumnya merupakan ukuran terbesar berikutnya dalam distribusi frekuensi miring positif. Modus adalah yang terkecil dari tiga ukuran. Jika distribusinya sangat miring, seperti pendapatan mingguan pada Bagan 3-3, rata-rata bukanlah ukuran yang baik untuk digunakan. Median dan modus akan lebih representatif.



X Penghasilan mingguan



Mode $300



Mediannya adalah $500



Berarti $700



BAGAN 3–3 Distribusi yang Miring Positif Sebaliknya, jika distribusi condong negatif, rata-ratanya adalah yang terendah dari ketiga ukuran tersebut. Rata-rata, tentu saja, dipengaruhi oleh beberapa pengamatan yang sangat rendah. Median lebih besar dari rata-rata aritmatika, dan nilai modal adalah yang terbesar dari tiga ukuran. Sekali lagi, jika distribusinya sangat miring, seperti itu



Machine Translated by Google



71



Menggambarkan Data: Ukuran Numerik



karena distribusi kekuatan tarik yang ditunjukkan pada Bagan 3-4, rata-rata tidak boleh digunakan untuk mewakili data.



y Miring ke kiri (miring negatif)



Frekuensi



X



Tarik Berarti



Kekuatan Modus



Rata-



2.600



rata 2.800



3.000



BAGAN 3–4 Distribusi Miring Negatif



Tinjauan Diri 3–4 Penjualan mingguan dari sampel toko peralatan elektronik Hi-Tec diatur ke dalam distribusi frekuensi. Rata-rata penjualan mingguan dihitung menjadi $105.900, median $105.000, dan modus $104.500. (a) Buat sketsa penjualan dalam bentuk poligon frekuensi yang dihaluskan. Perhatikan lokasi dari mean, median, dan modus pada sumbu X. (b) Apakah distribusinya simetris, miring positif, atau miring negatif? Menjelaskan.



Latihan 25. Tingkat pengangguran di negara bagian Alaska per bulan diberikan pada tabel di bawah ini:



Jan Feb Mar Apr Mei Jun Jul Agustus Sep Okt Nov Des 8.7 8.8



8.7



7.8



7.3



7.8



6.6



6.5



6.5



6.8



7.3



7.6



A. Apa rata-rata aritmatika dari tingkat pengangguran Alaska? B. Temukan median dan modus untuk tingkat pengangguran. C. Hitung rata-rata aritmatika dan median untuk bulan-bulan musim dingin (Des–Mar) saja. Apakah itu jauh berbeda? 26. Big Orange Trucking merancang sistem informasi untuk digunakan dalam komunikasi "di dalam kabin". Itu harus meringkas data dari delapan lokasi di seluruh wilayah untuk menggambarkan kondisi tipikal. Hitung ukuran yang tepat dari lokasi pusat untuk variabel arah angin, suhu, dan perkerasan.



Kota



Arah angin



Trotoar



Suhu



Anniston, AL



timur



89



pembersihan



Atlanta, GA



Barat laut



86



tahan lama



Augusta, GA



Barat daya



92



tahan lama



Birmingham, AL



Selatan



91



pembersihan



Jakson, MS



Barat daya



92



pembersihan



Meridian, MS



Selatan



92



Jejak



Monroe, LA



Barat daya



93



tahan lama



Tuscaloosa, AL



Barat daya



93



Jejak



Machine Translated by Google 72



bagian 3



3.10 Rata-rata Geometrik LO6 Hitung ratarata geometris.



Rata-rata geometrik berguna untuk menemukan rata-rata perubahan persentase, rasio, indeks, atau tingkat pertumbuhan dari waktu ke waktu. Ini memiliki aplikasi yang luas dalam bisnis dan ekonomi karena kita sering tertarik untuk menemukan persentase perubahan penjualan, gaji, atau angka ekonomi, seperti Produk Domestik Bruto, yang digabungkan atau dibangun satu sama lain. Rata-rata geometris dari himpunan n bilangan positif didefinisikan sebagai akar ke-n dari perkalian n nilai. Rumus untuk rata-rata geometris ditulis:



ARTI GEOMETRIS



Rata-rata geometris tidak pernah lebih besar dari rata-rata aritmatika.



GM



n 2(X1)(X2)



(xn)



[3–4]



Rata-rata geometrik akan selalu kurang dari atau sama dengan (tidak pernah lebih dari) rata-rata aritmatika. Juga, semua nilai data harus positif. Sebagai contoh rata-rata geometris, misalkan Anda menerima kenaikan gaji 5 persen tahun ini dan kenaikan 15 persen tahun depan. Rata-rata peningkatan persentase tahunan adalah 9.886, bukan 10.0. Mengapa demikian? Kita mulai dengan menghitung rata-rata geometrik. Ingat, misalnya, kenaikan gaji 5 persen adalah 105 persen. Kami akan menuliskannya sebagai 1,05.



GM 1(1.05)(1.15) 1.09886 Hal ini dapat dibuktikan dengan mengasumsikan bahwa penghasilan bulanan Anda adalah $3.000 untuk memulai dan Anda menerima dua kenaikan sebesar 5 persen dan 15 persen. Naikkan 1 $3.000 (.05) $150.00 Naikkan 2 472.50



$3.150 (.15) Total



$622,50



Total kenaikan gaji Anda adalah $622,50. Ini setara dengan: $3,000.00 (.09886) $296.58 $3,296.58 (.09886) 325.90 $622.48 adalah sekitar $622.50 Contoh berikut menunjukkan rata-rata geometrik beberapa persentase.



Contoh Pengembalian investasi yang diperoleh Atkins Construction Company untuk empat keberhasilan lima tahun adalah: 30 persen, 20 persen, 40 persen, dan 200 persen. Berapa rata-rata tingkat pengembalian investasi geometrik? Solusi Angka 1,3 mewakili pengembalian investasi 30 persen, yang merupakan investasi "asli" sebesar 1,0 ditambah "pengembalian" sebesar 0,3. Angka 0,6 mewakili kerugian 40 persen, yang merupakan investasi awal 1,0 dikurangi kerugian 0,4. Perhitungan ini mengasumsikan pengembalian total setiap periode diinvestasikan kembali atau menjadi dasar untuk periode berikutnya. Dengan kata lain, basis untuk periode kedua adalah 1,3 dan basis untuk periode ketiga adalah (1,3)(1,2) dan seterusnya. Maka tingkat pengembalian rata-rata geometris adalah 29,4 persen, ditemukan oleh GM



n 2(X1)(X2)



4



(xn)



2(1,3)(1,2)(0,6)(3,0)



4



22.808 1.294



Rata-rata geometrik adalah akar keempat dari 2,808. Jadi, rata-rata tingkat pengembalian (compound annual growth rate) adalah 29,4 persen. Perhatikan juga bahwa jika Anda menghitung rata-rata aritmatika [(30 20 40 200)4 52,5], Anda akan mendapatkan angka yang jauh lebih besar, yang akan melebih-lebihkan tingkat pengembalian yang sebenarnya!



Machine Translated by Google Menggambarkan Data: Ukuran Numerik



73



Aplikasi kedua dari rata-rata geometris adalah menemukan perubahan persentase ratarata selama periode waktu tertentu. Misalnya, jika Anda memperoleh $30.000 pada tahun 2000 dan $50.000 pada tahun 2010, berapa tingkat kenaikan tahunan Anda selama periode tersebut? Ini adalah 5,24 persen. Tingkat kenaikan ditentukan dari rumus berikut.



TINGKAT KENAIKAN



GM



LEMBUR



n BNilai Nilaipada pada awal akhir periode periode



1



[3–5]



Pada kotak di atas, n adalah jumlah periode. Sebuah contoh akan menunjukkan rincian menemukan rata-rata persentase kenaikan tahunan.



Contoh Selama dekade 1990-an, dan memasuki tahun 2000-an, Las Vegas, Nevada, adalah



kota dengan pertumbuhan tercepat di Amerika Serikat. Populasi meningkat dari 258.295 pada tahun 1990 menjadi 607.876 pada tahun 2009. Ini merupakan peningkatan 349.581 orang, atau peningkatan 135,3 persen selama periode tersebut. Populasi telah lebih dari dua kali lipat. Berapa rata-rata persentase kenaikan usia tahunan ?



Solusi Ada 19 tahun antara tahun 1990 dan 2009, jadi n 19. Maka rumus (3–5) untuk rata-rata geometrik yang diterapkan pada soal ini adalah:



Nilai di akhir periode GMB 19 _Nilai pada awal periode



607.876 1.0B 19 _258.295



1,0 1,0461 1,0 ,0461



Nilai 0,0461 menunjukkan bahwa rata-rata pertumbuhan tahunan selama periode tersebut adalah 4,61 persen. Dengan kata lain, populasi Las Vegas meningkat 4,61 persen per tahun dari 1990 hingga 2009.



Tinjauan Diri 3–5 1. Persentase peningkatan penjualan selama 4 tahun terakhir di Combs Cosmetics adalah: 4,91, 5,75, 8,12, dan 21,60. (a) Carilah persentase kenaikan rata-rata geometrik. (b) Carilah rata-rata aritmatika persen kenaikan. (c) Apakah rata-rata aritmatika sama dengan atau lebih besar dari rata-rata geometrik? 2. Produksi truk Cablos meningkat dari 23.000 unit pada tahun 2000 menjadi 120.520 pada tahun 2010. Temukan rata-rata geometris kenaikan persentase tahunan.



Latihan 27. Hitung rata-rata geometris dari persentase kenaikan berikut: 8, 12, 14, 26, dan 5. 28. Hitung rata-rata geometrik dari persen kenaikan berikut: 2, 8, 6, 4, 10, 6, 8, dan 4. 29. Di bawah ini adalah persentase peningkatan penjualan MG Corporation selama 5 tahun terakhir. Tentukan persentase kenaikan rata-rata geometrik dalam penjualan selama periode tersebut.



9.4



13.8



11.7



11.9



14.7



Machine Translated by Google 74



bagian 3



30. Pada tahun 1996, sebanyak 14.968.000 pembayar pajak di Amerika Serikat mengajukan pengembalian pajak pribadi mereka secara elektronik. Pada tahun 2009, jumlahnya meningkat menjadi 95.000.000. Berapa rata-rata geometris kenaikan tahunan untuk periode tersebut? 31. Indeks Harga Konsumen dilaporkan setiap bulan oleh Biro Statistik Tenaga Kerja AS. Ini melaporkan perubahan harga untuk sekeranjang pasar barang dari satu periode ke periode lainnya. Indeks tahun 2000 adalah 172,2. Pada tahun 2009, meningkat menjadi 214,5. Berapa rata-rata kenaikan tahunan geometrik untuk periode tersebut? 32. JetBlue Airways adalah maskapai penerbangan bertarif rendah Amerika yang berkantor pusat di New York City. Basis utamanya adalah Bandar Udara Internasional John F. Kennedy. Pendapatan JetBlue pada tahun 2002 adalah $635,2 juta. Pada tahun 2009, pendapatan meningkat menjadi $3.290,0 juta. Berapa rata-rata kenaikan tahunan geometrik untuk periode tersebut? 33. Pada tahun 1985, ada 340.213 pelanggan telepon seluler di Amerika Serikat. Pada tahun 2008, jumlah pelanggan ponsel meningkat menjadi 262.700.000. Berapa rata-rata geometris kenaikan tahunan untuk periode tersebut? 34. Informasi di bawah menunjukkan biaya kuliah selama satu tahun di perguruan tinggi negeri dan swasta pada tahun 1980-81 dan 2007-08. Berapa kenaikan rata-rata geometris tahunan untuk periode untuk kedua jenis perguruan tinggi tersebut? Bandingkan tingkat kenaikannya.



1980–81



2007–08



Publik



$2.550



$6.966



pesan



5.594



Jenis Perguruan Tinggi



13.424



3.11 Mengapa Mempelajari Dispersi? Statistik dalam Tindakan Amerika Serikat Layanan Pos Biasa berusaha menjadi lebih "user friendly" dalam beberapa tahun terakhir. Sebuah survei baru-baru ini menunjukkan bahwa pelanggan lebih tertarik konsistensi dalam waktu yang dibutuhkan untuk membuatnya



Ukuran lokasi, seperti rata-rata atau median, hanya menggambarkan pusat data. Ini berharga dari sudut pandang itu, tetapi tidak memberi tahu kami apa pun tentang penyebaran data. Misalnya, jika pemandu alam Anda memberi tahu Anda bahwa sungai di depan rata-rata memiliki kedalaman 3 kaki, apakah Anda ingin menyeberang dengan berjalan kaki tanpa informasi tambahan? Mungkin tidak. Anda pasti ingin mengetahui sesuatu tentang variasi secara mendalam. Apakah kedalaman maksimum sungai 3,25 kaki dan minimum 2,75 kaki? Jika itu masalahnya, Anda mungkin akan setuju untuk menyeberang. Bagaimana jika Anda mengetahui bahwa kedalaman sungai berkisar antara 0,50 kaki hingga 5,5 kaki? Keputusan Anda mungkin adalah untuk tidak menyeberang. Sebelum membuat keputusan untuk menyeberangi sungai, Anda memerlukan informasi tentang kedalaman tipikal dan penyebaran kedalaman sungai.



Nilai kecil untuk ukuran dispersi menunjukkan bahwa data dikelompokkan dengan erat, katakanlah, di sekitar rata-rata aritmatika. Oleh karena itu rata-rata dianggap mewakili data. Sebaliknya, ukuran dispersi yang besar menunjukkan bahwa rata-rata tidak dapat diandalkan. Lihat mungkin hanya Bagan 3-5. 100 karyawan Hammond Iron Works Inc. perusahaan fabrikasi baja, disusun dalam membutuhkan satu hari histogram untuk dikirim, atau mungkin butuh beberapa hari. berdasarkan jumlah tahun bekerja dengan perusahaan. Rata-ratanya adalah 4,9 tahun, namun sebaran datanya dari 6 bulan menjadi 16,8 tahun. Rata-rata 4,9 tahun tidak terlalu mewakili "Katakan saja padaku semua karyawan. berapa hari ke depan sebuah pengiriman. Dalam kondisi lama, surat lokal



aku harus mengirimkannya kartu ulang tahun untuk Ibu sehingga sampai di sana pada hari ulang tahunnya, tidak lebih awal, tidak terlambat," adalah keluhan umum. Tingkat konsistensi diukur dengan standar deviasi dari waktu pengiriman.



Alasan kedua mempelajari dispersi dalam sekumpulan data adalah untuk membandingkan penyebaran dalam dua atau lebih distribusi. Misalnya, monitor komputer LCD Vision Quest yang baru dipasang di Baton Rouge dan juga di Tucson. Output per jam rata-rata aritmatika di pabrik Baton Rouge dan pabrik Tucson adalah 50. Berdasarkan kedua rata-rata tersebut, Anda dapat menyimpulkan bahwa distribusi output per jam adalah identik. Catatan produksi selama 9 jam di dua pabrik, bagaimanapun, mengungkapkan bahwa kesimpulan ini tidak benar (lihat Bagan 3-6). Produksi Baton Rouge bervariasi dari 48 hingga 52 rakitan per jam. Produksi di pabrik Tucson lebih tidak menentu, berkisar antara 40 sampai 60 per jam. Oleh karena itu, output per jam untuk Baton Rouge dikelompokkan mendekati rata-rata 50; output per jam untuk Tucson lebih tersebar.



Machine Translated by Google 75



Menggambarkan Data: Ukuran Numerik



20



10



Karyawan



0 0



10



20



Bertahun-tahun



BAGAN 3–5 Histogram Tahun Kerja di Hammond Iron Works Inc.



Tongkat Merah



48 49 50 51 52 _ X



Ukuran dispersi dapat digunakan untuk mengevaluasi keandalan dua atau lebih ukuran lokasi.



Tucson



40 41 42 43 44 45 46 47



48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 _ X Produksi Harian



BAGAN 3–6 Produksi Monitor Komputer Setiap Jam di Pabrik Baton Rouge dan Tucson



3.12 Ukuran Dispersi LO7 Menjelaskan dan menerapkan ukuran dispersi.



Kami akan mempertimbangkan beberapa ukuran dispersi. Rentang didasarkan pada nilai terbesar dan terkecil dalam kumpulan data, yaitu hanya dua nilai yang dipertimbangkan. Penyimpangan ratarata, varians, dan standar deviasi menggunakan semua nilai dalam kumpulan data dan semuanya didasarkan pada penyimpangan dari rata-rata aritmatika.



draf Ukuran dispersi yang paling sederhana adalah jangkauan. Ini adalah perbedaan antara nilai terbesar dan terkecil dalam kumpulan data. Dalam bentuk persamaan:



Machine Translated by Google 76



bagian 3



draf



Range Nilai terbesar Nilai terkecil



[3–6]



Kisaran ini banyak digunakan dalam aplikasi Statistical Process Control (SPC) karena sangat mudah untuk dihitung dan dipahami.



Contoh Lihat Bagan 3-6 di halaman sebelumnya. Temukan kisaran jumlah komputer monitor yang diproduksi per jam untuk pabrik Baton Rouge dan Tucson. Tafsirkan kedua rentang tersebut.



Larutan



Kisaran produksi monitor komputer per jam di pabrik Baton Rouge adalah 4, ditemukan dengan selisih antara produksi per jam terbesar 52 dan terkecil 48. Kisaran produksi per jam untuk pabrik Tucson adalah 20 monitor komputer, ditemukan oleh 60 40. Oleh karena itu kami menyimpulkan bahwa (1) ada lebih sedikit dispersi dalam produksi per jam di pabrik Baton Rouge daripada di pabrik Tucson karena kisaran 4 monitor komputer kurang dari kisaran 20 monitor komputer, dan ( 2 ) produksi dikelompokkan lebih dekat di sekitar rata-rata 50 di pabrik Baton Rouge daripada di pabrik Tucson (karena kisaran 4 kurang dari kisaran 20). Dengan demikian, produksi rata-rata di pabrik Baton Rouge (50 monitor komputer) adalah ukuran lokasi yang lebih mewakili daripada rata-rata 50 monitor komputer untuk pabrik Tucson.



Berarti Deviasi Cacat dari rentang adalah bahwa hal itu didasarkan hanya pada dua nilai, tertinggi dan terendah; itu tidak mempertimbangkan semua nilai. Deviasi rata-rata tidak. Ini mengukur jumlah rata-rata di mana nilai-nilai dalam suatu populasi, atau sampel, berbeda dari rata-ratanya. Dari segi definisi:



MEAN DEVIATION Rata-rata aritmatika dari nilai absolut penyimpangan dari rata-rata aritmatika.



Dalam rumus, deviasi rata-rata, yang disebut MD, dihitung untuk sampel dengan:



PENYIMPANGAN BERARTI



MD



@XX @



[3–7]



N



dimana: X adalah nilai dari setiap observasi.



X adalah rata-rata aritmetika dari nilai-nilai. n adalah jumlah pengamatan dalam sampel. @ @ menunjukkan nilai absolut. Mengapa kita mengabaikan tanda-tanda penyimpangan dari rata-rata? Jika tidak, deviasi positif dan negatif dari rata-rata akan saling mengimbangi, dan deviasi rata-rata akan selalu nol. Ukuran (nol) seperti itu akan menjadi statistik yang tidak berguna.



Machine Translated by Google 77



Menggambarkan Data: Ukuran Numerik



Bagan di bawah menunjukkan jumlah cap puccino yang dijual di Starbucks di bandara Orange County dan pelabuhan udara Ontario, California, antara pukul 16.00 dan 17.00 untuk sampel lima hari bulan lalu.



Contoh



Tentukan rata-rata, median, rentang, dan simpangan ratarata untuk setiap lokasi. Mengomentari persamaan dan perbedaan dalam langkah-langkah ini.



Larutan



Rata-rata, median, dan jangkauan untuk setiap lokasi bandara dilaporkan di bawah ini sebagai bagian dari spreadsheet Excel.



Perhatikan bahwa ketiga ukuran tersebut persis sama. Apakah ini menunjukkan bahwa tidak ada perbedaan pada kedua kumpulan data tersebut? Kami mendapatkan gambaran yang lebih jelas jika kami menghitung penyimpangan rata-rata. Pertama, untuk Orange County:



MD



@ XX @ N



30 10 0 10 30 5



80 5



16



Machine Translated by Google 78



bagian 3



Deviasi rata-rata adalah 16 cappuccino. Artinya, jumlah cappucino yang terjual ratarata menyimpang sebanyak 16 cappucino dari rata-rata 50 cappucino. Berikut ini adalah rincian penentuan rata-rata deviasi untuk jumlah cappucino yang dijual di Bandara Ontario.



MD



@ XX @ N



30 1 0 1 30 5



62



12.4



5



Jadi mean, median, dan range cappucino yang dijual sama di kedua bandara tersebut, namun mean deviasinya berbeda. Deviasi rata-rata di Orange County adalah 16, tetapi 12,4 di Ontario. Mari interpretasikan dan bandingkan hasil pengukuran kami untuk dua lokasi bandara Starbucks. Rata-rata dan median kedua lokasi tersebut sama persis, terjual 50 cappucino. Ukuran lokasi ini menunjukkan kedua distribusi itu sama. Kisaran untuk kedua lokasi juga sama, 60. Namun, perlu diingat bahwa kisaran memberikan informasi yang terbatas tentang dispersi, karena hanya didasarkan pada dua pengamatan.



Keuntungan dari deviasi rata-rata.



Deviasi rata-rata tidak sama untuk kedua bandara. Penyimpangan rata-rata didasarkan pada perbedaan antara setiap pengamatan dan rata-rata aritmatika. Ini menunjukkan kedekatan atau pengelompokan data relatif terhadap rata-rata atau pusat distribusi. Bandingkan deviasi rata-rata untuk Orange County sebesar 16 dengan deviasi rata-rata untuk Ontario sebesar 12,4. Berdasarkan deviasi rata-rata, kami menyimpulkan bahwa penyebaran distribusi penjualan Starbucks Ontario lebih terkonsentrasi—yaitu mendekati rata-rata 50—daripada lokasi Orange County. Deviasi rata-rata memiliki dua keuntungan. Pertama, ia menggunakan semua nilai dalam perhitungan. Ingatlah bahwa rentang hanya menggunakan nilai tertinggi dan terendah. Kedua, mudah untuk dipahami—ini adalah jumlah rata-rata nilai yang menyimpang dari rata-rata. Namun, kelemahannya adalah penggunaan nilai absolut. Umumnya, nilai absolut sulit untuk dikerjakan dan dijelaskan, sehingga deviasi rata-rata tidak digunakan sesering ukuran dispersi lainnya, seperti deviasi standar.



Tinjauan Mandiri 3–6 Berat peti kemas yang dikirim ke Irlandia adalah (dalam ribuan pon): 95 103 105 110 104 105 112 90



(a) Berapa kisaran bobotnya? (b) Hitung berat rata-rata aritmatika. (c) Hitung simpangan rata-rata bobot.



Machine Translated by Google 79



Menggambarkan Data: Ukuran Numerik



Latihan Untuk Latihan 35-38, hitung (a) rentang, (b) rata-rata aritmatika, (c) simpangan rata-rata, dan (d) interpretasikan nilainilainya. 35. Ada lima perwakilan layanan pelanggan yang bertugas di Electronic Super Store selama obral akhir pekan lalu. Jumlah HDTV yang dijual perwakilan ini adalah: 5, 8, 4, 10, dan 3.



36. Departemen Statistik di Western State University menawarkan delapan bagian statistik dasar. Berikut adalah jumlah siswa yang terdaftar di bagian ini: 34, 46, 52, 29, 41, 38, 36, dan 28.



37. Pintu Otomatis Dave memasang pembuka pintu garasi otomatis. Daftar berikut menunjukkan jumlah menit yang diperlukan untuk memasang sampel 10 pembuka pintu: 28, 32, 24, 46, 44, 40, 54, 38, 32, dan 42.



38. Sampel dari delapan perusahaan di industri kedirgantaraan disurvei untuk laba atas investasi mereka tahun lalu. Hasilnya (dalam persen): 10.6, 12.6, 14.8, 18.2, 12.0, 14.8, 12.2, dan 15.6.



39. Sepuluh orang dewasa muda yang dipilih secara acak yang tinggal di California menilai rasa pizza sushi yang baru dikembangkan dengan topping tuna, nasi, dan rumput laut pada skala 1 sampai 50, dengan 1 menunjukkan bahwa mereka tidak menyukai rasanya dan 50 bahwa mereka tidak menyukai rasanya. telah melakukan. Peringkatnya adalah:



34



39



40



46



33



31



14



34



15



45



Dalam studi paralel, 10 orang dewasa muda yang dipilih secara acak di Iowa menilai rasa pizza yang sama. Peringkatnya adalah:



28



25



35



16



25



29



24



17



26



20



Sebagai peneliti pasar, bandingkan pasar potensial untuk pizza sushi. 40. Sampel file personel dari delapan karyawan di lokasi Gadai Acme Car Pet Cleaners Inc. mengungkapkan bahwa selama periode enam bulan terakhir mereka kehilangan jumlah hari berikut karena sakit:



2



0



6



3



10



4



1



2



Sampel delapan karyawan selama periode yang sama di lokasi Chickpee di Acme Carpets mengungkapkan bahwa mereka kehilangan beberapa hari berikutnya karena sakit.



20105010



Sebagai direktur hubungan manusia, bandingkan kedua lokasi tersebut. Apa yang akan Anda rekomendasikan?



Varians dan Standar Deviasi LO8 Hitung dan jelaskan varians dan standar deviasi.



Varians dan standar deviasi juga didasarkan pada penyimpangan dari rata-rata . Namun, alih-alih menggunakan nilai absolut dari deviasi, varians dan deviasi standar mengkuadratkan deviasi.



VARIANSI Rata-rata aritmatika dari deviasi kuadrat dari rata-rata.



Machine Translated by Google 80



bagian 3



Variansnya tidak negatif dan nol hanya jika semua pengamatannya sama. DEVIASI STANDAR Akar kuadrat dari varians. Varians dan standar deviasi didasarkan pada deviasi kuadrat dari rata-rata.



Varians Populasi Rumus untuk varians populasi dan varians sampel sedikit berbeda. Varians populasi dipertimbangkan terlebih dahulu. (Ingat bahwa populasi adalah totalitas dari semua pengamatan yang sedang dipelajari.) Variasi populasi ditemukan dengan:



VARIANSI POPULASI



2



)2



(X



[3–8]



N



di mana: 2 adalah varians populasi (adalah sigma huruf kecil Yunani). Itu dibaca sebagai "sigma kuadrat." X adalah nilai pengamatan dalam populasi. adalah rata-rata aritmatika dari populasi. N adalah jumlah pengamatan dalam populasi. Perhatikan proses menghitung varians. 1. Mulailah dengan mencari rata-rata. 2. Temukan perbedaan antara setiap pengamatan dan rata-rata, dan kuadratkan perbedaan.



3. Jumlahkan semua selisih kuadrat. 4. Bagilah jumlah selisih kuadrat dengan jumlah item dalam populasi. Jadi, Anda mungkin menganggap varian populasi sebagai rata-rata perbedaan kuadrat antara setiap nilai dan rata-rata. Untuk populasi yang nilainya mendekati rata-rata, variannya akan kecil. Untuk populasi yang nilainya tersebar dari rata-rata, variansi populasi akan besar. Varian mengatasi kelemahan dari range dengan menggunakan semua nilai dalam populasi, sedangkan range hanya menggunakan yang terbesar dan terkecil. Kami mengatasi masalah di mana (X ) 0 dengan mengkuadratkan perbedaan, alih-alih menggunakan nilai absolut. Mengkuadratkan perbedaan akan selalu menghasilkan nilai non-negatif.



Contoh Jumlah kutipan lalu lintas yang dikeluarkan tahun lalu per bulan di Beaufort County, South Carolina, dilaporkan di bawah ini.



Bulan Kutipan



Januari Februari Maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober November 44 Desember 17 22 19 18 28 34 45 39 38



34



10



Tentukan variansi populasi.



Larutan



Karena kami mempelajari semua kutipan selama satu tahun, datanya termasuk populasi. Untuk menentukan varians populasi, kami menggunakan rumus (3-8). Tabel di bawah ini merinci perhitungannya.



Machine Translated by Google



81



Menggambarkan Data: Ukuran Numerik



Kutipan ( )



X



X



Bulan



(X



)



Januari



19



10



100



Februari



17



12



144



Berbaris



22



7



49



April



18



11



121



Mungkin



28



1



1



Juni



34



5



25



Juli



45



16



256



Agustus



39



10



100



September



38



9



81



Oktober



44



15



225



November



34



5



25



Desember



10



19



361



348



0



1.488



Total



2



1. Kita mulai dengan menentukan rata-rata aritmetika dari populasi. Jumlah kutipan yang dikeluarkan untuk tahun ini adalah 348, jadi jumlah rata-rata yang dikeluarkan per bulan adalah 29. X



19 17 . . . 10



348



12



12



N



29



2. Selanjutnya kita cari selisih antara masing-masing observasi dengan rata-ratanya. Ini ditunjukkan di kolom ketiga tabel. Ingatlah bahwa di awal bab (halaman 61) kami menunjukkan bahwa jumlah perbedaan antara setiap nilai dan rata-rata adalah 0. Dari spreadsheet, jumlah perbedaan antara rata-rata dan jumlah kutipan setiap bulan adalah 0. 3. Langkah selanjutnya adalah menguadratkan selisih antara setiap nilai bulanan. Itu ditunjukkan di kolom keempat tabel. Dengan mengkuadratkan selisihnya, kami mengonversi nilai positif dan negatif menjadi tanda plus. Oleh karena itu, setiap perbedaan akan menjadi positif. 4. Selisih kuadrat dijumlahkan. Total kolom keempat adalah 1.488. Itulah istilah (X 5. ) 2. Terakhir, kita membagi selisih kuadrat dengan N, jumlah pengamatan di populasi. 2



©(X ) N



2



1488 12



124



Jadi, variasi populasi untuk jumlah sitasi adalah 124. Seperti rentang dan deviasi rata-rata, varians dapat digunakan untuk membandingkan dispersi dalam dua atau lebih rangkaian pengamatan. Misalnya, variansi jumlah kutipan yang diterbitkan di Beaufort County baru saja dihitung menjadi 124. Jika variansi jumlah kutipan yang diterbitkan di Marlboro County, Carolina Selatan, adalah 342,9, kami menyimpulkan bahwa (1) terdapat lebih sedikit dispersi dalam distribusi jumlah kutipan yang diterbitkan di Kabupaten Beaufort daripada di Kabupaten Marlboro (karena 124 kurang dari 342,9); dan (2) jumlah kutipan di Beaufort County lebih dekat di sekitar rata-rata 29 daripada jumlah kutipan yang dikeluarkan di Marlboro County. Jadi rata-rata jumlah kutipan yang dikeluarkan di Kabupaten Beaufort adalah ukuran lokasi yang lebih representatif daripada jumlah rata-rata kutipan di Kabupaten Marlboro.



Machine Translated by Google 82



bagian 3



Varians sulit diinterpretasikan



Deviasi Standar Populasi Rentang dan deviasi rata-rata mudah untuk ditafsirkan. Rentang adalah perbedaan antara nilai tinggi dan rendah dari sekumpulan data, dan deviasi rata-rata adalah rata-rata penyimpangan dari rata-rata. Namun, variannya sulit diinterpretasikan untuk satu set pengamatan. Selisih 124 untuk jumlah sitasi yang diterbitkan bukan dalam bentuk sitasi, tetapi kuadrat sitasi.



karena satuannya dikuadratkan.



Standar deviasi berada dalam satuan yang sama dengan data.



Ada jalan keluar dari kesulitan ini. Dengan mengambil akar kuadrat dari varians populasi, kita dapat mengubahnya menjadi satuan pengukuran yang sama dengan yang digunakan untuk data asli. Akar kuadrat dari 124 kutipan-kuadrat adalah 11,14 kutipan. Satuan sekarang hanyalah kutipan. Akar kuadrat dari varians populasi adalah standar deviasi populasi.



DEVIASI STANDAR POPULASI



)2 B (x



N



[3–9]



Tinjauan Diri 3–7 Kantor Price Waterhouse Coopers LLP di Philadelphia mempekerjakan lima peserta pelatihan akuntansi tahun ini. Gaji awal bulanan mereka adalah: $3.536; $3.173; $3.448; $3.121; dan $3.622. (a) Hitung rata-rata populasi. (b) Hitung variansi populasi. (c) Hitung simpangan baku populasi. (d) Kantor Pittsburgh mempekerjakan enam orang peserta pelatihan. Rata-rata gaji bulanan mereka adalah $3.550, dan standar deviasinya adalah $250. Bandingkan kedua kelompok tersebut.



Latihan 41. Pertimbangkan lima nilai populasi ini: 8, 3, 7, 3, dan 4. a. Tentukan rata-rata populasi. B. Tentukan variansnya. 42. Pertimbangkan enam nilai populasi ini: 13, 3, 8, 10, 8, dan 6. A. Tentukan rata-rata populasi. B. Tentukan variansnya. 43. Laporan tahunan dari Dennis Industries mengutip pendapatan utama per saham biasa selama 5 tahun terakhir: $2,68, $1,03, $2,26, $4,30, dan $3,58. Jika kita menganggap ini adalah nilai populasi, apa: a. Rata-rata aritmatika pendapatan utama per saham dari saham biasa? B. Perbedaannya? 44. Mengacu pada Latihan 43, laporan tahunan Dennis Industries juga memberikan imbal hasil ekuitas pemegang saham untuk periode lima tahun yang sama (dalam persen): 13,2, 5,0, 10,2, 17,5, dan 12,9. A. Apa pengembalian rata-rata aritmatika? B. Apa variansnya? 45. Kayu Lapis Inc. melaporkan pengembalian ekuitas pemegang saham ini selama 5 tahun terakhir: 4.3, 4.9, 7.2, 6.7, dan 11.6. Pertimbangkan ini sebagai nilai populasi. A. Hitung rentang, rata-rata aritmatika, varians, dan standar deviasi. B. Bandingkan laba atas ekuitas pemegang saham untuk Plywood Inc. dengan itu untuk Dennis Industri dikutip dalam Latihan 44. 46. Pendapatan tahunan lima wakil presiden TMV Industries adalah: $125.000; $128.000; $122.000; $133.000; dan $140.000. Anggap ini populasi. A. Berapa kisarannya? B. Berapa pendapatan ratarata aritmatika? C. Berapa varians populasinya? Deviasi standar? D. Pendapatan tahunan pejabat perusahaan lain yang mirip dengan TMV Industries juga dipelajari. Rata-ratanya adalah $129.000 dan standar deviasinya adalah $8.612. Bandingkan rata-rata dan dispersi di kedua perusahaan.



Machine Translated by Google 83



Menggambarkan Data: Ukuran Numerik



Kami Varians Sampel Rumus untuk rata-rata populasi adalah XN. Sayangnya, konversi baru saja mengubah simbol untuk rata-rata sampel; yaitu, X Xn. dari varians populasi ke varians sampel tidak secara langsung. Ini membutuhkan perubahan penyebut. Alih-alih mengganti n (jumlah dalam sampel) untuk N (jumlah dalam populasi), penyebutnya adalah n 1. Jadi, rumus varians sampelnya adalah:



VARIANS SAMPEL



(X X) n 1



s2



2



[3–10]



di mana: s2 adalah varians sampel. X adalah nilai dari setiap pengamatan dalam sampel. X adalah rata-rata sampel. n adalah jumlah pengamatan dalam sampel. Mengapa perubahan ini terjadi pada penyebutnya? Meskipun penggunaan n adalah logika X karena digunakan untuk mengestimasi cenderung meremehkan varians populasi, 1) dalam , 2. Penggunaan (n penyebut memberikan koreksi yang tepat untuk kecenderungan ini. Karena penggunaan utama statistik sampel seperti s2 adalah untuk memperkirakan parameter populasi seperti 2, (n 1) lebih disukai daripada n dalam menentukan varians sampel. Kami juga akan menggunakan konvensi ini saat menghitung standar deviasi sampel.



Contoh Upah per jam untuk sampel karyawan paruh waktu di Home Depot adalah: $12, $20, $16, $18, dan $19. Berapa varians sampelnya?



Larutan



Varians sampel dihitung dengan menggunakan rumus (3-10). X X



N



$85



$17



5



Upah Per Jam (X )



XX



(X



x)



$12



$5



25



20



3



9



16



1



1



18



1



1



19



2



4



$85



0



40



s2



(X X) n 1



2



2



40 51



10 dalam dolar kuadrat



Contoh Standar Deviasi Standar deviasi sampel digunakan sebagai estimator standar deviasi populasi. Seperti disebutkan sebelumnya, deviasi standar populasi adalah akar kuadrat dari varians populasi. Begitu juga dengan sampel



Machine Translated by Google 84



bagian 3



standar deviasi adalah akar kuadrat dari varians sampel. Simpangan baku sampel paling mudah ditentukan dengan: 2



SAMPEL STANDAR DEVIASI



S



A (XXno) 1



[3–11]



Contoh Variasi sampel dalam contoh sebelumnya yang melibatkan upah per jam dihitung menjadi 10. Berapa standar deviasi sampel?



Larutan



Simpangan baku sampel adalah $3,16, ditemukan oleh 110 . Perhatikan lagi bahwa varians sampel dalam bentuk dolar kuadrat, tetapi mengambil akar kuadrat dari 10 memberi kita $3,16, yang dalam satuan (dolar) yang sama dengan data asli.



3.13 Solusi Perangkat Lunak Pada halaman 69, kami menggunakan Excel untuk menentukan rata-rata dan median data Applewood Auto Group. Anda juga akan mencatat bahwa daftar standar deviasi sampel. Excel, seperti kebanyakan perangkat lunak statistik lainnya, menganggap data berasal dari sampel. Paket perangkat lunak lain yang akan kita gunakan dalam teks ini adalah Minitab. Paket ini menggunakan format spreadsheet, seperti Excel, tetapi menghasilkan informasi statistik yang lebih beragam. Berikut informasi laba atas penjualan 180 kendaraan bulan lalu di Applewood Auto Group.



Tinjauan Diri 3–8 Tahun-tahun pelayanan untuk sampel tujuh karyawan di kantor klaim Asuransi Pertanian Negara Bagian di Cleveland, Ohio, adalah: 4, 2, 5, 4, 5, 2, dan 6. Berapa varians sampel ? Hitung simpangan baku sampel.



Latihan Untuk Latihan 47–52, lakukan hal berikut: A. Hitung varians sampel. B. Tentukan standar deviasi sampel. 47. Pertimbangkan nilai-nilai ini sebagai sampel: 7, 2, 6, 2, dan 3. 48. Lima nilai berikut adalah sampelnya: 11, 6, 10, 6, dan 7.



Machine Translated by Google Menggambarkan Data: Ukuran Numerik



85



49. Pintu Otomatis Dave, mengacu pada Latihan 37, memasang pembuka pintu garasi otomatis. Berdasarkan sampel, berikut adalah waktu, dalam menit, yang diperlukan untuk memasang 10 pembuka pintu: 28, 32, 24, 46, 44, 40, 54, 38, 32, dan 42. 50. Sampel dari delapan perusahaan di industri kedirgantaraan, sebagaimana dimaksud dalam Latihan 38, disurvei mengenai laba atas investasi mereka tahun lalu. Hasilnya adalah: 10.6, 12.6, 14.8, 18.2, 12.0, 14.8, 12.2, dan 15.6.



Statistik dalam Tindakan



51. The Houston, Texas, Asosiasi Pemilik Motel melakukan survei mengenai tarif motel hari kerja di daerah tersebut. Di bawah ini tercantum tarif kamar untuk tamu kelas bisnis untuk sampel 10 motel.



Sebagian besar perguruan tinggi melaporkan "ukuran



$101 $97 $103 $110 $78 $87 $101 $80 $106 $88



kelas rata-rata". Informasi ini dapat



52. Organisasi pengawas konsumen prihatin dengan hutang kartu kredit. Sebuah survei terhadap 10 orang dewasa muda dengan hutang kartu kredit lebih dari $2.000 menunjukkan bahwa mereka membayar ratakarena ukuran kelas rata-rata dapat ditemukan dalam beberapa cara.bulan terhadap saldo mereka. Di bawah ini tercantum jumlah yang dibayarkan rata lebih dari $100 per Jika kita mencari jumlah setiap dewasa muda bulan lalu. menyesatkan



siswa di setiap kelas di universitas tertentu,



$110 $126 $103 $93 $99 $113 $87 $101 $109 $100



hasilnya adalah rata-rata jumlah siswa per kelas.



Jika kita menyusun daftar ukuran kelas untuk setiap siswa dan menemukan ukuran rata-rata kelas, kita mungkin menemukan rata-ratanya sangat berbeda. Sebuah sekolah menemukan rata-rata jumlah siswa di setiap kelasnya yang berjumlah 747 adalah 40. Tetapi ketika



3.14 Interpretasi dan Penggunaan Standar Deviasi Standar deviasi umumnya digunakan sebagai ukuran untuk membandingkan penyebaran dalam dua atau lebih rangkaian pengamatan. Misalnya, deviasi standar dari jumlah dwimingguan yang diinvestasikan dalam rencana pembagian keuntungan Dupree Paint Company dihitung menjadi $7,51. Misalkan karyawan ini berlokasi di Georgia. Jika standar deviasi untuk sekelompok karyawan di Texas adalah $10,47, dan rata-ratanya hampir sama, ini menunjukkan bahwa jumlah yang diinvestasikan oleh karyawan Georgia tidak tersebar sebanyak yang ada di Texas (karena $7,51 < $10,47). Karena jumlah yang diinvestasikan oleh karyawan Georgia dikelompokkan lebih dekat dengan rata-rata, rata-rata karyawan Georgia adalah ukuran yang lebih andal daripada rata-rata grup Texas.



ditemukan rata-rata dari daftar ukuran kelas setiap siswa, jumlahnya adalah 147. Mengapa disparitas? Karena jumlahnya sedikit



Teorema Chebyshev



Kami telah menekankan bahwa deviasi standar kecil untuk sekumpulan nilai menunjukkan bahwa



(lanjutan)



nilai-nilai ini terletak dekat dengan rata-rata. Sebaliknya, deviasi standar yang besar mengungkapkan bahwa pengamatan tersebar luas di sekitar rata-rata. Matematikawan Rusia PL Chebyshev (1821-1894) mengembangkan teorema yang memungkinkan kita untuk menentukan proporsi minimum dari nilai-nilai yang berada dalam jumlah standar deviasi rata-rata yang ditentukan. Misalnya, LO9 menurut teorema Chebyshev, setidaknya tiga dari empat nilai, atau 75 persen, harus berada di Menjelaskan Teorema antara rata-rata ditambah dua standar deviasi dan rata-rata dikurangi dua standar deviasi. Hubungan Chebyshev dan Aturan Empiris. ini berlaku terlepas dari bentuk distribusinya. Selanjutnya, setidaknya delapan dari sembilan nilai, atau 88,9 persen, akan berada di antara plus tiga standar deviasi dan minus tiga standar deviasi rata-rata. Setidaknya 24 dari 25 nilai, atau 96 persen, akan berada di antara plus dan minus lima standar deviasi rata-rata. Teorema Chebyshev menyatakan: TEOREMA CHEBYSHEV Untuk setiap rangkaian pengamatan (sampel atau populasi), proporsi nilai yang berada dalam k standar deviasi rata-rata adalah 1/ k2, di mana k adalah konstanta yang lebih besar dari 1. minimal 1



Machine Translated by Google 86



bagian 3



Contoh



Rata-rata aritmetika jumlah dua mingguan yang disumbangkan oleh karyawan Dupree Paint ke rencana bagi hasil perusahaan adalah $51,54, dan standar deviasinya adalah $7,51. Setidaknya berapa persentase kontribusi yang berada di dalam plus 3,5 standar deviasi dan minus 3,5 standar deviasi rata-rata?



Larutan



Sekitar 92 persen, ditemukan oleh



1



1 1 k2



1 1 (3.5)2



1 12.25



0,92



Aturan Empiris Aturan Empiris hanya berlaku untuk distribusi berbentuk lonceng yang simetris.



(lanjutan dari hal. 85) siswa di kecil kelas dan jumlah siswa yang lebih banyak di kelas yang lebih besar, yang memiliki efek



Teorema Chebyshev berkaitan dengan kumpulan nilai apa pun; artinya, distribusi nilai bisa berbentuk apa saja. Namun, untuk distribusi simetris berbentuk lonceng seperti pada Bagan 3-7, kita bisa lebih tepat dalam menjelaskan dispersi tentang rata-rata. Hubungan yang melibatkan standar deviasi dan rata-rata ini dijelaskan oleh Aturan Empiris, terkadang disebut Aturan Normal.



ATURAN EMPIRIS Untuk distribusi frekuensi berbentuk lonceng yang simetris, kirakira 68 persen pengamatan akan berada dalam plus dan minus satu standar deviasi ratarata; sekitar 95 persen pengamatan akan berada dalam plus dan minus dua standar deviasi rata-rata; dan hampir semua (99,7 persen) akan berada dalam plus dan minus tiga standar deviasi rata-rata.



meningkatkan ukuran kelas rata-rata ketika



dihitung ini jalan. Sebuah sekolah dapat mengurangi rata-rata ini



Hubungan ini digambarkan secara grafis dalam Bagan 3-7 untuk distribusi berbentuk lonceng dengan rata-rata 100 dan standar deviasi 10.



ukuran kelas untuk setiap siswa



penyok dengan mengurangi jumlah siswa di setiap kelas. Artinya, hentikan kelas kuliah mahasiswa baru yang besar.



70



80 90 100



110 120 130 68% 95% 99,7%



BAGAN 3–7 Kurva Simetris Berbentuk Lonceng yang Menunjukkan Hubungan antara Standar Deviasi dan Pengamatan



Telah dicatat bahwa jika distribusi simetris dan berbentuk lonceng, praktis semua pengamatan terletak di antara rata-rata plus dan minus tiga standar deviasi. Jadi, jika X 100 dan s 10, secara praktis semua pengamatan berada di antara 100 3(10) dan 100 3(10), atau 70 dan 130. Oleh karena itu, rentang perkiraannya adalah 60, ditemukan oleh 130 70.



Machine Translated by Google 87



Menggambarkan Data: Ukuran Numerik



Sebaliknya, jika kita mengetahui bahwa rentangnya adalah 60, kita dapat mengaproksimasi standar deviasi dengan membagi rentang tersebut dengan 6. Untuk ilustrasi ini: rentang 6 60 6 10, standar deviasi.



Contoh Contoh tarif sewa di Apartemen University Park mendekati distribusi simetris berbentuk lonceng. Rata-rata sampel adalah $500; standar deviasi adalah $20. Dengan menggunakan Aturan Empiris, jawablah pertanyaanpertanyaan berikut: 1. Sekitar 68 persen dari sewa bulanan antara dua jumlah berapa? 2. Sekitar 95 persen dari sewa bulanan antara dua jumlah berapa? 3. Hampir semua sewa bulanan antara dua jumlah berapa?



Larutan



1. Sekitar 68 persen adalah antara $480 dan $520, ditemukan oleh X 1s $500 1($20). 2. Sekitar 95 persen adalah antara $460 dan $540, ditemukan oleh X 2s $500 2($20). 3. Hampir semua (99,7 persen) adalah antara $440 dan $560, ditemukan oleh X 3s $500 3 ($20).



Tinjauan Diri 3–9 The Pitney Pipe Company adalah salah satu dari beberapa produsen pipa PVC dalam negeri. Departemen kontrol kualitas mengambil sampel 600 panjang 10 kaki. Pada titik 1 kaki dari ujung pipa, mereka mengukur diameter luar. Rata-ratanya adalah 14,0 inci dan standar deviasinya adalah 0,1 inci. (a) Jika bentuk distribusinya tidak diketahui, sekurang-kurangnya berapa persen pengamatannya akan berada di antara 13,85 inci dan 14,15 inci? (b) Jika kita mengasumsikan bahwa distribusi diameter simetris dan berbentuk lonceng, sekitar 95 persen dari pengamatan akan berada di antara dua nilai apa?



Latihan 53. Menurut teorema Chebyshev, setidaknya berapa persentase dari kumpulan pengamatan apa pun berada dalam 1,8 standar deviasi rata-rata? 54. Pendapatan rata-rata dari sekelompok sampel observasi adalah $500; standar deviasi adalah $40. Menurut teorema Chebyshev, paling tidak berapa persen pendapatan yang akan berada di antara $400 dan $600? 55. Distribusi bobot sampel 1.400 peti kemas adalah simetris dan berbentuk lonceng. Menurut Aturan Empiris, berapa persentase bobot yang akan terletak: ? A. Antara dan X 2s X 2s ? Di bawah? B. Antara dan XX 2s X 2s 56. menunjukkan Grafik berikut distribusi jumlahterdekat minuman ringan ukuran Biggie yang dijual di Wendy's selama 141 hari terakhir. Rata-rata jumlah minuman yang terjual per hari adalah 91,9 dan standar deviasinya adalah 4,67.



Statistik dalam Tindakan Joe Mauer dari Minnesota Twins terbatas



90



100 Penjualan



pukulan tertinggi (lanjutan)



Jika kita menggunakan Aturan Empiris, penjualan akan berada di antara dua nilai berapa pada 68 persen hari? Penjualan akan berada di antara dua nilai berapa pada 95 persen hari ini?



Machine Translated by Google 88



bagian 3



3.15 Mean dan Standar Deviasi rata-rata, pada 0,365, selama musim Major



dari Data yang Dikelompokkan



League Baseball 2009. Tony Gwynn memukul 0,394 dalam pemogokan musim yang dipersingkat 1994, dan Ted Williams mencapai 0,406 in 1941. Tidak ada yang memukul



lebih dari 0,400 sejak 1941. Rata-rata pukulan rata-



Dalam kebanyakan kasus, ukuran lokasi, seperti rata-rata, dan ukuran dispersi, seperti standar deviasi, ditentukan dengan menggunakan nilai individual. Paket perangkat lunak statistik memudahkan penghitungan nilai ini, bahkan untuk kumpulan data besar. Namun, terkadang kita hanya diberikan distribusi frekuensi dan ingin memperkirakan rata-rata atau standar deviasi. Dalam diskusi berikut, kami menunjukkan bagaimana kami dapat memperkirakan rata-rata dan standar deviasi dari data yang disusun dalam distribusi frekuensi. Kita harus menekankan bahwa rata-rata atau standar deviasi dari data yang dikelompokkan adalah perkiraan nilai aktual yang sesuai.



rata tetap konstan sekitar



.260 untuk lebih dari 100 tahun, tapi



Rata-Rata Aritmatika



standar deviasi menurun dari 0,049 menjadi .031. Ini menunjukkan lebih sedikit dispersi dalam rata-rata batting hari



Untuk mengaproksimasi rata-rata aritmetika dari data yang diorganisasikan ke dalam distribusi frekuensi, kita mulai dengan mengasumsikan pengamatan di setiap kelas diwakili oleh titik tengah kelas. Rata-rata sampel data yang diatur dalam distribusi frekuensi dihitung dengan:



ini dan membantu menjelaskan kurangnya pemukul 0,400 belakangan ini.



L10 Hitung rata-rata dan simpangan baku dari data yang dikelompokkan.



MEAN Aritmatika DATA KELOMPOK



fM



X



N



[3–12]



di mana: X adalah sebutan untuk rata-rata sampel. M adalah titik tengah dari setiap kelas. f adalah frekuensi di setiap kelas. fM adalah frekuensi di setiap kelas dikalikan titik tengah kelas. fM adalah jumlah dari produk-produk ini. n adalah jumlah total frekuensi.



Contoh Perhitungan rata-rata aritmatika data yang dikelompokkan ke dalam distribusi frekuensi bution akan ditampilkan berdasarkan data keuntungan Applewood Auto Group. Ingat di Bab 2, di Tabel 2-7 di halaman 33, kami membuat distribusi frekuensi untuk keuntungan kendaraan. Informasi ini diulangi di bawah ini. Tentukan keuntungan rata-rata aritmetika per kendaraan. Laba



Frekuensi



$200 hingga $600 600



8



hingga 1.000 1.000



11



hingga 1.400 1.400



23



hingga 1.800 1.800



38



hingga 2.200 2.200



45



hingga 2.600 2.600



32



hingga 3.000 3.000



19



hingga 3.400 Total



4 180



Machine Translated by Google 89



Menggambarkan Data: Ukuran Numerik



Larutan



Rata-rata harga jual kendaraan dapat diperkirakan dari data yang dikelompokkan ke dalam distribusi frekuensi. Untuk mencari taksiran rata-rata, asumsikan titik tengah setiap kelas mewakili nilai data di kelas tersebut. Ingatlah bahwa titik tengah suatu kelas berada di tengah-tengah antara batas kelas bawah dari dua kelas yang berurutan. Untuk mencari titik tengah kelas tertentu, kita menjumlahkan batas bawah dari dua kelas yang berurutan dan membaginya dengan 2. Jadi, titik tengah kelas pertama adalah $400, didapat dari ($200 $600)2. Kami menganggap nilai $400 mewakili delapan nilai di kelas itu. Dengan kata lain, kami menganggap jumlah dari delapan nilai di kelas ini adalah $3.200, ditemukan oleh 8($400). Kami melanjutkan proses mengalikan titik tengah kelas dengan frekuensi kelas untuk setiap kelas dan kemudian menjumlahkan hasilnya. Hasilnya dirangkum dalam Tabel 3-1.



TABEL 3–1 Keuntungan dari 180 Kendaraan yang Terjual Bulan Lalu di Applewood Auto Group Frekuensi ( ) F



Laba



8



$200 hingga $600 600



Titik tengah M ( )



fM



$400.800



$3.200



11



hingga 1.000 1.000



8.800



23



hingga 1.400 1.400



1.200



27.600



hingga 1.800 1.800



38



1.600



60.800



hingga 2.200 2.200



45



2.000



90.000



hingga 2.600 2.600



32



2.400



76.800



hingga 3.000 3.000



19



2.800



53.200



4



3.200



hingga 3.400 Total



12.800



180



$333.200



Memecahkan rata-rata aritmatika menggunakan rumus (3-12), kita mendapatkan:



©fM X N



$333,200 180



$1.851,11



Kami menyimpulkan bahwa keuntungan rata-rata per kendaraan adalah sekitar $1.851.



Deviasi Standar Untuk menghitung simpangan baku dari data yang dikelompokkan ke dalam distribusi frekuensi, kita perlu sedikit menyesuaikan rumus (3-11). Kami menimbang setiap perbedaan kuadrat dengan jumlah frekuensi di setiap kelas. Rumusnya adalah:



2



DEVIASI STANDAR, DATA KELOMPOK



di mana: s adalah simbol untuk standar deviasi sampel. M adalah titik tengah kelas. f adalah frekuensi kelas. n adalah jumlah pengamatan dalam sampel. X adalah sebutan untuk rata-rata sampel.



s B f(M X) no 1



[3–13]



Machine Translated by Google bagian 3



90



Contoh



Lihat distribusi frekuensi untuk data keuntungan Applewood Auto Group yang dilaporkan pada Tabel 3-1. Hitung standar deviasi dari harga jual kendaraan.



Larutan



Mengikuti praktik yang sama yang digunakan sebelumnya untuk menghitung rata-rata data yang dikelompokkan ke dalam distribusi frekuensi, f adalah frekuensi kelas, M titik tengah kelas, dan n jumlah observasi. Frekuensi F( ) Titik tengah M ( )



Laba



1.000 hingga 1.400 1.400 hingga 1.800 1.800 hingga 2.200 2.200 hingga 2.600 2.600 hingga 3.000 3.000 hingga 3.400



3.200



1.451



11 23 38 45 32 19 4



800



8.800



1.051



1.200



27.600



651



1.600



60.800



251



2.000



90.000



149



2.400



76.800



549



2.800



53.200



949



3.200



12.800



1.349



180



Total



MX (MXMX )( )2 )2 (



400



$200 hingga $600 600 hingga 1.000



fM



8



F



2.105.401 16.843.208 1.104.601 12.150.611 423.801,3.347.423 63.001 2.034,038 22.201 9.644.832 900.601 17.111.419 1.819.801,204 76.169.780



333.200



Untuk mencari standar deviasi:



Langkah 1: Kurangi rata-rata dari titik tengah kelas. Yaitu, temukan (M X) ($400 $1.851 $1.451) untuk kelas pertama, untuk kelas kedua ($800 $1.851 $1.051), dan seterusnya. Langkah 2: Kuadratkan perbedaan antara titik tengah kelas dan rata-rata. Untuk kelas pertama, akan menjadi ($400 $1.851)2 2.105.401 untuk kelas kedua ($800 $1.851)2 1.104.601, dan seterusnya. Langkah 3: Kalikan selisih kuadrat antara titik tengah kelas dan rata-rata dengan frekuensi kelas. Untuk kelas pertama, nilainya adalah 8($400 $1.851)2 16.843.208; untuk yang kedua, 11($800 $1.851)2 12.150.611, dan seterusnya. Langkah 4: Jumlahkan f(M X) 2 . Totalnya 76.169.920. Untuk mencari standar deviasi, kita masukkan nilai tersebut ke dalam rumus (3-13). 2



180 1 s B ©f(M BX)76.169.780 n1



652.33



Rata-rata dan simpangan baku yang dihitung dari data yang dikelompokkan ke dalam distribusi frekuensi biasanya mendekati nilai yang dihitung dari data mentah. Data yang dikelompokkan mengakibatkan hilangnya beberapa informasi. Untuk contoh laba kendaraan, laba rata-rata yang dilaporkan dalam keluaran Excel di halaman 69 adalah $1.843,17 dan standar deviasinya adalah $643,63. Nilai masing-masing yang diperkirakan dari data yang dikelompokkan ke dalam distribusi frekuensi adalah $1.851,11 dan $652,33. Selisih rataratanya adalah $7,94, atau sekitar 0,4 persen. Deviasi standar berbeda sebesar $8,70, atau 1,4 persen. Berdasarkan perbedaan persentase, perkiraan sangat dekat dengan nilai sebenarnya.



Tinjauan Diri 3–10 Pendapatan bersih sampel importir besar barang antik disusun dalam tabel berikut:



Penghasilan Bersih Jumlah



($ juta)



Importir



Pendapatan bersih



($ juta)



Jumlah Importir



2 hingga 6



1



14 hingga 18



3



6 hingga 10



4



18 hingga 22



2



10 hingga 14



10



Machine Translated by Google



91



Menggambarkan Data: Ukuran Numerik



(a) Apa nama meja itu? (b) Berdasarkan distribusi tersebut, berapa estimasi pendapatan bersih rata-rata aritmatika? (c) Berdasarkan distribusi tersebut, berapa estimasi standar deviasinya?



Latihan 57. Ketika kita menghitung rata-rata distribusi frekuensi, mengapa kita menyebutnya sebagai an



perkiraan rata-rata? 58. Tentukan mean dan standar deviasi dari distribusi frekuensi berikut.



Kelas



Frekuensi



0 hingga 5



2



5 hingga 10



7



10 hingga 15



12



15 hingga 20



6



20 hingga 25



3



59. Tentukan mean dan standar deviasi dari distribusi frekuensi berikut.



Kelas



Frekuensi



20 s/d 30 30



7



s/d 40 40 s/d



12



50 50 s/d 60



21



60 s/d 70



18 12



60. SCCoast, penyedia Internet di Tenggara, mengembangkan distribusi frekuensi berikut berdasarkan usia pengguna Internet. Cari rata-rata dan standar deviasinya.



Umur (tahun)



Frekuensi



10 s/d 20 20



3



s/d 30 30 s/d



7



40 40 s/d 50



18



50 s/d 60



20 12



61. IRS tertarik pada jumlah formulir pajak individu yang disiapkan oleh kantor akuntan kecil. IRS mengambil sampel secara acak dari 50 kantor akuntan publik dengan 10 atau lebih sedikit karyawan di wilayah Dallas-Fort Worth. Tabel frekuensi berikut melaporkan hasil penelitian. Perkirakan rata-rata dan standar deviasi.



Jumlah Klien



Frekuensi



20 s/d 30 30



1



s/d 40 40 s/d



15



50 50 s/d 60



22



60 s/d 70



8 4



Machine Translated by Google 92



bagian 3



62. Biaya iklan merupakan komponen signifikan dari harga pokok penjualan. Di bawah ini adalah distribusi frekuensi yang menunjukkan pengeluaran iklan untuk 60 perusahaan manufaktur yang berlokasi di Southwest. Perkirakan rata-rata dan standar deviasi biaya iklan.



Jumlah



Pengeluaran Iklan ($ juta) 25 s/d



Perusahaan



35 35 s/d



5



45 45 s/d



10



55 55 s/d



21



65 65 s/d 75



16 8



60



Total



3.16 Etika dan Hasil Pelaporan Dalam Bab 1, kita membahas pelaporan hasil statistik yang etis dan tidak bias. Saat Anda belajar tentang cara mengatur, meringkas, dan menginterpretasikan data menggunakan statistik, penting juga untuk memahami statistik sehingga Anda dapat menjadi konsumen informasi yang cerdas. Dalam bab ini, kita belajar bagaimana menghitung statistik deskriptif numerik. Secara khusus, kami menunjukkan cara menghitung dan menafsirkan ukuran lokasi untuk kumpulan data: rata-rata, median, dan modus. Kami juga membahas keuntungan dan kerugian untuk setiap statistik. Misalnya, jika pengembang real estat memberi tahu klien bahwa rata-rata rumah di subdivisi tertentu dijual seharga $150.000, kami berasumsi bahwa $150.000 adalah harga jual representatif untuk semua rumah. Tapi misalkan klien juga menanyakan berapa harga penjualan rata-rata, dan mediannya adalah $60.000. Mengapa pengembang hanya melaporkan harga rata-rata? Informasi ini sangat penting untuk pengambilan keputusan seseorang saat membeli rumah. Mengetahui kelebihan dan kekurangan rata-rata, median, dan modus adalah penting saat kita melaporkan statistik dan saat kita menggunakan informasi statistik untuk membuat keputusan. Kami juga belajar bagaimana menghitung ukuran dispersi: jangkauan, deviasi ratarata, dan standar deviasi. Masing-masing statistik ini juga memiliki kelebihan dan kekurangan. Ingatlah bahwa rentang memberikan informasi tentang penyebaran keseluruhan distribusi. Namun, itu tidak memberikan informasi apa pun tentang bagaimana data dikelompokkan atau dipusatkan di sekitar pusat distribusi. Ketika kita belajar lebih banyak tentang statistik, kita perlu ingat bahwa ketika kita menggunakan statistik kita harus mempertahankan sudut pandang yang independen dan berprinsip. Setiap laporan statistik memerlukan komunikasi yang objektif dan jujur tentang hasilnya.



Ringkasan bab I. Ukuran lokasi adalah nilai yang digunakan untuk menggambarkan pusat kumpulan data.



A. Rata-rata aritmatika adalah ukuran lokasi yang paling banyak dilaporkan. 1. Dihitung dengan menjumlahkan nilai observasi dan membaginya dengan jumlah observasi. A. Rumus untuk rata-rata populasi dari data yang tidak dikelompokkan atau mentah adalah X N



[3–1]



Machine Translated by Google 93



Menggambarkan Data: Ukuran Numerik



B. Rumus rata-rata sampel adalah ©X



X



[3–2]



N



C. Rumus rata-rata sampel dari data dalam distribusi frekuensi adalah ©fM



X



[3–12]



N



2. Karakteristik utama rata-rata aritmatika adalah: A. Setidaknya diperlukan skala interval pengukuran. B. Semua nilai data digunakan dalam perhitungan. C. Satu set data hanya memiliki satu rata-rata. Artinya, itu unik. D. Jumlah penyimpangan dari rata-rata sama dengan 0. B. Rata-rata tertimbang ditemukan dengan mengalikan setiap pengamatan dengan korespondensinya berat. 1. Rumus untuk menentukan rata-rata tertimbang adalah



Xw



wnXn



w1X1 w2X2 w3X3



wn



w1 w2 w3



[3–3]



2. Ini adalah kasus khusus dari rata-rata aritmatika. C. Median adalah nilai di tengah kumpulan data terurut.



1. Untuk mencari median, urutkan pengamatan dari yang terkecil ke yang terbesar dan identifikasikan nilai tengah.



2. Ciri utama median adalah: A. Setidaknya diperlukan skala pengukuran ordinal. B. Itu tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrim. C. Lima puluh persen dari pengamatan lebih besar dari median. D. Ini unik untuk satu set data. D. Modus adalah nilai yang paling sering muncul dalam sekumpulan data. 1. Modus dapat ditemukan untuk data tingkat nominal. 2. Satu set data dapat memiliki lebih dari satu mode.



E. Rata-rata geometrik adalah akar ke-n dari perkalian n nilai positif. 1. Rumus rata-rata geometri adalah GM



n 2(X1)(X2)(X3)



[3–4]



(xn)



2. Rata-rata geometrik juga digunakan untuk mencari laju perubahan dari satu periode ke periode lainnya lain.



GM



1 n BNilai Nilaidipada periode awalakhir periode



[3–5]



3. Rata-rata geometrik selalu sama dengan atau kurang dari rata-rata aritmatika. II. Dispersi adalah variasi atau penyebaran dalam suatu kumpulan data. A. Jangkauan adalah selisih antara nilai terbesar dan terkecil dalam suatu kumpulan data. 1. Rumus jangkauannya adalah Range Nilai terbesar Nilai terkecil



[3–6]



2. Karakteristik utama dari kisaran tersebut adalah: A. Hanya dua nilai yang digunakan dalam perhitungannya. B. Itu dipengaruhi oleh nilai ekstrim. C. Mudah dihitung dan dipahami. B. Deviasi absolut rata-rata adalah jumlah dari nilai absolut dari penyimpangan dari



rata-rata dibagi dengan jumlah pengamatan. 1. Rumus untuk menghitung simpangan mutlak rata-rata adalah MD



© 0X X 0 N



2. Ciri-ciri utama deviasi absolut rata-rata adalah: a. Itu tidak terlalu dipengaruhi oleh nilai besar atau kecil. B. Semua pengamatan digunakan dalam perhitungan. C. Nilai absolut agak sulit untuk dikerjakan.



[3–7]



Machine Translated by Google 94



bagian 3



C. Varian adalah rata-rata simpangan kuadrat dari rata-rata aritmatika. 1. Rumus variansi populasi adalah 2



©(X ) N



2



[3–8]



2. Rumus variansi sampel adalah s2



©(X X) n 1



2



[3–10]



3. Karakteristik utama varians adalah: A. Semua pengamatan digunakan dalam perhitungan. B. Itu tidak terlalu dipengaruhi oleh pengamatan ekstrim. C. Unit-unitnya agak sulit untuk dikerjakan; mereka adalah unit asli kuadrat. D. Standar deviasi adalah akar kuadrat dari varians. 1. Ciri-ciri utama standar deviasi adalah: a. Itu di unit yang sama dengan data asli. B. Ini adalah akar kuadrat dari jarak kuadrat rata-rata dari rata-rata. C. Tidak boleh negatif. D. Ini adalah ukuran dispersi yang paling banyak dilaporkan. 2. Rumus standar deviasi sampel adalah 2



[3–11]



no 1 s B ©(X X) 3. Rumus simpangan baku dari data yang dikelompokkan adalah 2



[3–13]



no 1 s B ©f(M X) AKU AKU AKU. Kami menginterpretasikan standar deviasi menggunakan dua ukuran.



A. Teorema Chebyshev menyatakan bahwa terlepas dari bentuk distribusi, setidaknya 1/ k2 pengamatan akan berada dalam k standar deviasi rata-rata, di mana 1 k lebih besar dari 1. B. Aturan Empiris menyatakan bahwa untuk distribusi berbentuk lonceng sekitar 68 persen nilai akan berada dalam satu standar deviasi rata-rata, 95 persen dalam dua, dan hampir semuanya dalam tiga.



Kunci Pengucapan SIMBOL



X



ARTI



PENGUCAPAN



Rata-rata populasi



Anda



Operasi penambahan



sigma



Menambahkan sekelompok nilai



X



Rata-rata sampel



sigma X X bar



Xw



Rata-rata tertimbang



X bar sub w



GM



Rata-rata geometris



GM



Menambahkan produk dari frekuensi dan titik tengah kelas



sigma f M



Varian populasi



sigma kuadrat



Deviasi standar populasi



sigma



fM 2



Latihan Bab 63. Kantor akuntan Crawford and Associates memiliki lima mitra senior. Kemarin mitra senior masingmasing melihat enam, empat, tiga, tujuh, dan lima klien. A. Hitung jumlah ratarata dan median klien yang dilihat oleh mitra. B. Apakah rata-rata sampel rata-rata atau rata-rata populasi? C. Verifikasi bahwa ( X ) 0.



Machine Translated by Google 95



Menggambarkan Data: Ukuran Numerik



64. Owens Orchards menjual apel dalam kantong besar menurut beratnya. Sampel tujuh kantong berisi apel dengan jumlah sebagai berikut: 23, 19, 26, 17, 21, 24, 22. a. Hitung rata-rata dan median jumlah apel dalam kantong. B. Verifikasi bahwa ©(X X) 0. 65. Sampel rumah tangga yang berlangganan United Bell Phone Company untuk layanan telepon rumah menunjukkan jumlah panggilan yang diterima per rumah tangga minggu lalu adalah sebagai berikut. Tentukan nilai mean dan median jumlah panggilan yang diterima.



52



43



30



38



30



42



34



46



32



18



41



5



12



46



39



37



66. Citizens Banking Company sedang mempelajari berapa kali ATM yang terletak di Supermarket Loblaws di kaki Market Street digunakan per hari. Berikut ini adalah berapa kali mesin digunakan setiap hari selama 30 hari terakhir. Tentukan rata-rata berapa kali mesin digunakan per hari.



83



64



84



76



84



54



75



59



70



63



80



84



73



68



52



65



90



52



61 77



95



36



78



61



59



84



95



47



87



60



67. Sebuah studi baru-baru ini tentang kebiasaan mencuci orang Amerika memasukkan waktu dalam hitungan menit dari siklus pencucian. Sebuah sampel dari 40 pengamatan berikut. Tentukan rata-rata dan median dari siklus pencucian biasa.



35



37



28



37



33



38



37



32



28



29



39



33



32



37



33



35



36



44



36



34



40



38



46



39



37



39



34



39



31



33



37



35



39



38



37



32



43



31



31



35



68. Trudy Green bekerja untuk True-Green Lawn Company. Tugasnya adalah meminta bisnis perawatan kebun melalui telepon. Tercantum di bawah ini adalah jumlah janji temu yang dibuatnya dalam setiap panggilan selama 25 jam terakhir. Berapa rata-rata aritmatika jumlah janji temu yang dia buat per jam? Berapa jumlah rata-rata janji temu per jam? Tulis laporan singkat yang meringkas temuan.



9526564472363 447844554833



69. Perusahaan Pagar Split-A-Rail menjual tiga jenis pagar kepada pemilik rumah di pinggiran kota Seattle, Washington. Grade A berharga $5,00 per kaki lari untuk dipasang, Kelas B berharga $6,50 per kaki lari, dan Kelas C, kualitas premium, berharga $8,00 per kaki lari. Ya, kemarin, Split-A-Rail memasang 270 kaki Grade A, 300 kaki Grade B, dan 100 kaki Grade C. Berapa rata-rata biaya per kaki pagar yang terpasang? 70. Rolland Poust adalah mahasiswa tahun kedua di College of Business di Scandia Tech. Semester lalu dia mengambil kursus statistik dan akuntansi, masing-masing 3 jam, dan mendapat nilai A di keduanya. Dia memperoleh B dalam kursus sejarah lima jam dan B dalam kursus sejarah jazz dua jam. Selain itu, dia mengambil kursus satu jam tentang peraturan bola basket sehingga dia bisa mendapatkan lisensinya untuk memimpin pertandingan bola basket sekolah menengah. Dia mendapat nilai A dalam kursus ini. Berapa IPK-nya pada semester tersebut? Asumsikan bahwa ia menerima 4 poin untuk A, 3 untuk B, dan seterusnya. Berapa ukuran lokasi yang baru saja Anda hitung? 71. Tabel di bawah menunjukkan persentase angkatan kerja yang menganggur dan ukuran angkatan kerja untuk tiga kabupaten di Northwest Ohio. Jon Elsas adalah Direktur Pembangunan Ekonomi Regional. Ia harus menyampaikan laporan ke beberapa perusahaan yang ada



Machine Translated by Google 96



bagian 3



mempertimbangkan lokasi di Northwest Ohio. Berapa tingkat pengangguran yang tepat untuk ditampilkan di seluruh wilayah?



daerah



Ukuran Tenaga Kerja



Persen Pengangguran



Kayu



4.5



Ottawa



3.0



10.400



10.2



150.600



Lucas



15.300



72. The American Diabetes Association merekomendasikan pembacaan glukosa darah kurang dari 130 untuk penderita diabetes tipe 2. Glukosa darah mengukur jumlah gula dalam darah. Di bawah ini adalah bacaan untuk bulan Februari untuk seseorang yang baru saja didiagnosis dengan diabetes tipe 2.



112



122



116



103



112



96



115



98



106



111



106



124



116



127



116



108



112



112



121



115



124



116



107



118



123



109



109



106



A. Apa pembacaan glukosa rata-rata aritmatika? B. Berapakah pembacaan glukosa median? C. Apa pembacaan glukosa modal? 73. Wilayah metropolitan Los Angeles–Long Beach, California, adalah wilayah yang diperkirakan akan menunjukkan peningkatan jumlah pekerjaan terbesar antara tahun 1989 dan 2010. Jumlah pekerjaan diperkirakan akan meningkat dari 5.164.900 menjadi 6.286.800. Berapa rata-rata geometris tingkat kenaikan tahunan yang diharapkan? 74. Sebuah artikel baru-baru ini menyarankan bahwa, jika Anda memperoleh $25.000 setahun hari ini dan tingkat inflasi berlanjut pada 3 persen per tahun, Anda harus menghasilkan $33.598 dalam 10 tahun untuk memiliki daya beli yang sama. Anda harus membelanjakan $44.771 jika tingkat inflasi melonjak menjadi 6 persen. Konfirmasikan bahwa pernyataan-pernyataan ini akurat dengan mencari tingkat kenaikan rata-rata geometris. 75. Usia sampel turis Kanada yang terbang dari Toronto ke Hong Kong adalah: 32, 21, 60, 47, 54, 17, 72, 55, 33, dan 41. a . Hitung jangkauannya. B. Hitung simpangan rata-rata. C. Hitung standar deviasi.



76. Berat (dalam pound) dari sampel lima kotak yang dikirimkan oleh UPS adalah: 12, 6, 7, 3, dan 10. a. Hitung jangkauannya. B. Hitung simpangan rata-rata. C. Hitung standar deviasi. 77. Pendaftaran dari 13 universitas negeri di negara bagian Ohio tercantum di bawah ini.



Kampus



Pendaftaran



Universitas Akron



25.942



Universitas Negeri Bowling Green



18.989



Universitas Negeri Pusat Universitas Cincinnati



1.820 36.415



Universitas Negeri Cleveland



15.664



Universitas Negeri Kent



34.056



Universitas Miami



17.161



Universitas Negeri Ohio



59.091



Universitas Ohio



20.437



Universitas Negeri Shawnee



4.300



Universitas Toledo



20.775



Universitas Negeri Wright



18.786



Universitas Negeri Youngstown



14.682



Machine Translated by Google 97



Menggambarkan Data: Ukuran Numerik



A. Ini sampel atau populasi? B. Apa yang dimaksud dengan pendaftaran? C. Berapa rata-rata pendaftaran? D. Berapa kisaran pendaftarannya? e. Hitung standar deviasi. 78. Masalah kesehatan menjadi perhatian para manajer, terutama ketika mereka menilai biaya asuransi kesehatan. Sebuah survei baru-baru ini terhadap 150 eksekutif di Elvers Industries, sebuah perusahaan asuransi dan keuangan besar yang berlokasi di Southwest, melaporkan jumlah pound yang membuat para eksekutif kelebihan berat badan. Hitung rata-rata dan standar deviasi.



Frekuensi



Berat badan berlebih 0 hingga 6



14



6 hingga 12



42



12 hingga 18



58



18 hingga 24



28



24 hingga 30



8



79. Program luar angkasa Apollo berlangsung dari tahun 1967 hingga 1972 dan mencakup 13 misi. Misi berlangsung mulai dari 7 jam hingga 301 jam. Durasi setiap penerbangan tercantum di bawah ini.



9



195



241



10



295



142



301



216



260



7



244



192



147



A. Jelaskan mengapa waktu penerbangan adalah populasi. B. Temukan mean dan median dari waktu penerbangan. C. Temukan jangkauan dan standar deviasi waktu penerbangan. 80. Creek Ratz adalah restoran yang sangat populer yang terletak di sepanjang pantai Florida utara. Mereka melayani berbagai makan malam steak dan makanan laut. Selama musim pantai musim panas, mereka tidak menerima reservasi atau menerima tempat duduk "menelepon dulu". Manajemen restoran memperhatikan waktu yang harus ditunggu pelanggan sebelum duduk untuk makan malam. Di bawah ini tercantum waktu tunggu, dalam hitungan menit, untuk 25 meja yang duduk Sabtu malam lalu.



28



39



23



67



37



28



56



40



28



50



51



45



44



65



61



27



24



61



34



44



64



25



24



27



29



A. Jelaskan mengapa waktu adalah populasi. B. Temukan rata-rata dan median waktu. C. Temukan jangkauan dan standar deviasi dari waktu. 81. Sampel dari 25 mahasiswa melaporkan jumlah dolar berikut dari biaya hiburan tahun lalu:



684



710 688 711



763



681



731



722 698 723 743 738 722 696 721 736



771 693 701 737 717 752 710 697



A. Tentukan mean, median, dan modus dari informasi tersebut. B. Berapa jangkauan dan standar deviasinya? C. Gunakan Aturan Empiris untuk menetapkan selang waktu yang mencakup sekitar 95 persen dari observasi.



685



Machine Translated by Google 98



bagian 3



82. Kentucky Derby diadakan pada hari Sabtu pertama di bulan Mei di Churchill Downs di Louisville, Kentucky. Lintasan balap adalah satu dan seperempat mil. Tabel berikut menunjukkan pemenang sejak 1990, margin kemenangan mereka, waktu kemenangan, dan hasil dari taruhan $2.



Margin Kemenangan Tahun



Pemenang



Waktu



(panjang)



Pembayaran pada a



Kemenangan (menit)



Taruhan Menang $2



1990



Tak terkekang



3.5



2.03333



1991



Pukul Emas



1.75



2,05000



10.80 4.80



1992



Lil E. Tee



1



2,05000



16.80



1993



Pahlawan Laut



2.5



2,04000



12.90



1994



Pergi Untuk Gin



2



2,06000



9.10



1995



Guntur Guntur



2.25



2,02000



24.50



1996



Gerinda



pose



2.01667



5.90



1997



Pesona Perak



kepala



2,04000



4.00



1998



Benar-benar Tenang



0,5



2.03667



8.40



1999



Karismatik



leher



2.05333



31.30



2000



Fusaichi Pegasus



1.5



2,02000



2.30



2001



Monarchos



4.75



1,99950



10.50



2002



Lambang Perang



4



2.01883



20.50



2003



Cide lucu



1.75



2.01983



12.80



2004



Cerdas Jones



2.75



2.06767



4.10



2005



Giacomo



0,5



2.04583



50.30



2006



Barbaro



6.5



2.02267



6.10



2007



Rasa Jalanan



2.25



2.03617



4.90



2008



Coklat Besar



4.75



2.03033



6.80



2009



Tambang Burung Itu



6.75



2.04433



103.20



2010



Penghemat Super



2.50



2.07417



18.00



A. Tentukan rata-rata dan median untuk variabel waktu menang dan hasil pada taruhan $2. B. Tentukan rentang dan simpangan baku dari variabel waktu dan hasil. C. Lihat margin kemenangan variabel. Apa tingkat pengukurannya? Apa yang saya yakin lokasi akan paling tepat? 83. Manajer Walmart Supercenter setempat sedang mempelajari jumlah barang yang dibeli oleh pelanggan pada malam hari. Di bawah ini adalah jumlah item untuk sampel 30 pelanggan.



15



8



6



9



9



4



18



10



10



12



12



4



7



8



12



10



10



11



9



13



5



6



11



14



5



6



6



5



13



5



A. Tentukan rata-rata dan median dari banyak item. B. Temukan jangkauan dan standar deviasi dari jumlah item. C. Mengatur jumlah item ke dalam distribusi frekuensi. Anda mungkin ingin meninjau pedoman di Bab 2 untuk menetapkan interval kelas dan jumlah kelas.



D. Temukan rata-rata dan standar deviasi dari data yang disusun dalam distribusi frekuensi. Bandingkan nilai-nilai ini dengan yang dihitung di bagian (a). Mengapa mereka berbeda? 84. Distribusi frekuensi berikut melaporkan biaya listrik untuk sampel 50 apartemen dua kamar tidur di Albuquerque, New Mexico, selama bulan Mei tahun lalu.



Machine Translated by Google 99



Menggambarkan Data: Ukuran Numerik



Biaya Listrik



Frekuensi



$80 s/d $100 100



3



s/d 120 120 s/d



8



140 140 s/d 160



12



160 s/d 180 180



16 7



s/d 200



4 50



Total



A. Perkirakan biaya rata-rata. B. Perkirakan standar deviasi. C. Gunakan Aturan Empiris untuk memperkirakan proporsi biaya dalam dua standar deviasi asi rata-rata. Apa batasan ini? 85. Bidwell Electronics Inc. baru-baru ini mensurvei sampel karyawan untuk menentukan seberapa jauh mereka tinggal dari kantor pusat perusahaan. Hasilnya ditunjukkan di bawah ini. Hitung rata-rata dan standar deviasi.



Jarak (mil) 0 s/d



Frekuensi



M



5 5 s/d 10



4



2.5



10 s/d 15



15



7,5



15 s/d 20 20



27



12,5



s/d 25



18



17,5



6



22,5



Latihan Kumpulan Data 86. Lihat data Real Estat, yang melaporkan informasi tentang rumah yang dijual di area Goodyear, Arizona, selama setahun terakhir. Membuat laporan harga jual rumah. Pastikan untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut dalam laporan Anda. A. Di sekitar nilai apa data cenderung mengelompok? Berapa harga jual rata-rata? Berapa harga jual ratarata? Apakah satu ukuran lebih mewakili harga jual tipikal daripada yang lain? B. Berapa kisaran harga jualnya? Berapa standar deviasinya? Sekitar 95 persen dari harga jual berada di antara dua nilai apa? 87. Lihat data Baseball 2009, yang melaporkan informasi tentang 30 Pangkalan Liga Utama tim bola untuk musim 2009. Lihat gaji tim variabel. A. Membuat laporan gaji tim. Pastikan untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut di laporan Anda. 1. Di sekitar nilai apa data cenderung mengelompok? Khususnya berapa rata-rata gaji tim? Berapa gaji ratarata tim? Apakah satu ukuran lebih mewakili gaji tim biasa daripada yang lain? 2. Berapa kisaran gaji tim? Berapa standar deviasinya? Tentang 95 persen dari gaji berada di antara dua nilai apa? B. Lihat informasi tentang gaji rata-rata untuk setiap tahun. Pada tahun 1989, rata-rata gaji pemain adalah $512.930. Pada tahun 2009, gaji rata-rata pemain meningkat menjadi $3.240.000. Berapa tingkat kenaikan selama periode tersebut? 88. Lihat data bus Buena School District. Menyusun laporan biaya pemeliharaan bulan lalu. Pastikan untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut dalam laporan Anda. A. Di sekitar nilai apa data cenderung mengelompok? Khususnya berapa rata-rata biaya sewa utama bulan lalu? Berapa biaya mediannya? Apakah satu ukuran lebih mewakili biaya tipikal daripada yang lain? B. Berapa kisaran biaya perawatannya? Berapa standar deviasinya? Tentang 95 persen biaya pemeliharaan berada di antara dua nilai berapa?