Mengkonstruksi Fungsi Green-N Ok [PDF]

Citation preview

Iwan Sugiarto



MENGKONSTRUKSI FUNGSI GREEN PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE -n Intisari Dalam tulisan ini akan disajikan bagaimana mengkonstruksi fungsi Green Persamaan Diferensial Linier orde -n. Salah satu metodenya melalui metode variasi parameter.



Abstract In this paper , Green Function of nth order Linear Differential Equation is consructed by the method of variation of parameters. Diterima : 11 Maret 2002 Disetujui untuk dipublikasikan : 16 Maret 2002



I. Latar Belakang Tinjau persamaan diferensial linear orde - n :



( ) ( ) ( ) y n + a1( x ) y n −1 + a 2 ( x ) y n − 2 +...+ a n ( x ) y = h( x ) dengan fungsi h kontinu pada daerah definisinya. Fungsi Green untuk persamaan diferensial di atas dapat dicari sehingga dapat mudah menentukan solusi persamaan diferensial untuk fungsi h sebarang. Dalam tulisan ini, akan diperkenalkan mengkonstruksi fungsi



Green persamaan diferensial linear melalui metode variasi parameter.



II. Konsep Fungsi Green Pandang persamaan diferensial linear tak homogen orde - n :



( ) ( ) y n + a1( x ) y n −1 +L+ a n ( x ) y = h( x )



Fungsi G( x , t ) dikatakan fungsi Green untuk masalah nilai awal persamaan diferensial di atas jika memenuhi kondisi berikut ini :



1. G( x , t ) terdefinisi pada daerah R= I x I dari semua titik ( x , t ) dengan x dan t terletak dalam selang I.



22



2.



G ( x , t ),



… …….. ……….(1)



∂G ∂ 2 G ∂ nG , ,L , ∂x ∂x 2 ∂x n



merupakan fungsi yang kontinu pada R=IxI 3. Untuk setiap x0 dalam selang I dan fungsi



h ∈ C( I ) ,



fungsi



x y p ( x ) = ∫ G( x , t ) h( t ) dt adalah x0



INTEGRAL, vol. 7 no. 1, April 2002



solusi persamaan diferensial (1) yang



memenuhi



kondisi



awal



y p ( x0 ) = y p ' ( x0 ) = y p '' ( x0 ) =L= y p( n −1) ( x0 ) = 0



III. Konstruksi Fungsi Green Persamaan Diferensial Linier Orde -n Tinjau persamaan diferensial :



( ) ( ) y n + a1( x ) y n −1 +L+ an ( x ) y = h( x )



Solusi umum persamaan diferensial di atas adalah :



y = yh + y p dengan yh merupakan solusi umum persamaan diferensial homogennya dan y p salah satu solusi khususnya.



…….. …(2)



Misalkan y1( x ) , y2 ( x ) ,L , yn ( x ) solusi basis untuk persamaan diferensial homogennya maka



yh = c1 y1( x ) + c2 y2 ( x ) +L+ cn yn ( x ) dengan merupakan c1 , c2 ,L , cn



konstanta. Misalkan solusi khususnya :



y p = u1( x ) y1 + u2 ( x ) y2 +L+ un ( x ) yn



… …….(3)



dengan u1 ', u2 ',L , un ' ditentukan dari sistem persamaan terdiri dari n persamaan :



u1 ' y1 + u2 ' y2 +L+ un ' yn = 0 u ' y '+ u ' y '+L+ u ' y ' = 0 n n  1 1 2 2  M  u ' y ( n −1) + u ' y ( n −1) +L+ u ' y ( n −1) = h( x ) 2 2 n n  1 1



Dengan aturan Cramer, maka :



y1 y1 ' M y1( n −1)



uk ' =



dengan k = 1 , 2 , L , n



L L



y k −1 y k +1 0 y k −1 ' 0 y k +1 ' M M M L y k −1( n −1) h y k +1( n −1) L y1 y2 yn L y1 ' y2 ' yn ' M M M y1( n −1) y2 ( n −1) L yn ( n −1)



y2 y2 ' M y2 ( n −1)



[



]



L L



yn yn ' M L yn ( n −1)



… (4)



W y1( x ) , y2 ( x ) ,L , yn ( x ) merupakan determinan Wronsky dengan y1 y2 yn L y1 ' y2 ' L yn ' W y1( x ) , y2 ( x ) ,L , yn ( x ) = M M M y1( n −1) y2 ( n −1) L yn ( n −1)



Misalkan



[



]



INTEGRAL, vol. 7 no. 1, April 2002



23



Misalkan



Vk ( x )



pula



merupakan



determinan



yang



diperoleh



dari



0 0 W y1( x ) , y2 ( x ) ,L , yn ( x ) dengan menggantikan kolom ke- k dengan   M   1 y1 y2 y k −1 0 y k +1 yn L L y1 ' y2 ' L y k −1 ' 0 y k +1 ' L yn ' Jadi Vk ( x ) = M M M M M M y1( n −1) y2 ( n −1) L y k −1( n −1) 1 y k +1( n −1) L yn ( n −1) dengan k = 1 , 2 , L , n



[



]



Jadi persamaan (4) dapat ditulis :



uk ' =



y1 y1 ' M y1( n −1)



y2 y2 ' M y2 ( n −1)



L L



y k −1 0 y k +1 y k −1 ' 0 y k +1 ' M M M L y k −1( n −1) 1 y k +1( n −1) W y1( x ) , y2 ( x ) ,L , yn ( x )



[



]



Vk ( x ) ⋅ h( x ) W y1( x ) , y2 ( x ) ,L , yn ( x ) x Vk ( t ) ⋅ h( t ) uk = ∫ dt dengan k = 1 , 2 , L , n x0 W y1( t ) , y2 ( t ) ,L , yn ( t ) uk ' =



[



L L



yn yn ' ⋅h M L yn ( n −1)



]



[



]



… (5)



Dengan memasukkan (5) ke dalam (3) diperoleh :



x y ( x )V ( t ) +L+ y ( x )V ( t ) 1 n n yp = ∫ 1 ⋅ h( t ) dt ( ) ( ) ( ) L W y t , y t , , y t 1 2 n x0 x y p = ∫ G( x , t ) ⋅ h( t ) dt x0 y1( x )V1( t ) +L+ yn ( x )Vn ( t ) dengan G( x , t ) = W y1( t ) , y2 ( t ) ,L , yn ( t )



[



]



[



]



… (6)



Jadi solusi umum persamaan diferensial (2) adalah



x y = yh + ∫ G( x , t ) ⋅ h( t ) dt x0



24



INTEGRAL, vol. 7 no. 1, April 2002



x ∫ G( x , t ) ⋅ h( t ) dt solusi x0 persamaan diferensial (2) dan G( x , t )



bahwa G( x , t )



Jelas bahwa



yang Akan ditunjukkan didefinisikan oleh (6) merupakan fungsi Green untuk persamaan diferensial (2).



memenuhi



hal-hal



[



]



berikut



[



:



]



1. G( x , t ) terdefinisi ∀( x , t ) karena W y1( t ) , y2 ( t ) ,L , yn ( t ) ≠ 0 , ∀t ∈ x0 , x ∀( x , t ) kontinu karena 2. G( x , t ) V1( t ) ,V2 ( t ) ,L ,Vn ( t ) ,



y1( x ) , y2 ( x ) ,L , yn ( x ) kontinu ∀( x , t ) . V1( t ) ,V2 ( t ) ,L ,Vn ( t ) kontinu karena y1 , y2 ,L , yn dan turunan-turunannya kontinu sampai dengan orde ke ( n − 1) . ∂G kontinu ∀( x , t ) karena V1( t ) ,V2 ( t ) ,L ,Vn ( t ) , y1 ' ( x ) , y2 ' ( x ) ,L , yn ' ( x ) ∂x kontinu ∀( x , t ) . ∂ 2G ∀( x , t ) kontinu karena V1( t ) ,V2 ( t ) ,L ,Vn ( t ) , ∂x 2 y1 ' ' ( x ) , y2 '' ( x ) ,L , yn '' ( x ) kontinu ∀( x , t ) . M ∂ nG kontinu karena ∀( x , t ) V1( t ) ,V2 ( t ) ,L ,Vn ( t ) , n ∂x y1n ( x ) , y2 n ( x ) ,L , yn n ( x ) kontinu ∀( x , t ) . x ( ) 3. Dari konstruksi y p , terlihat bahwa y p x = ∫ G( x , t ) ⋅ h( t ) dt adalah solusi x0 persamaan diferensial (2).



x0 Jelas bahwa y p ( x0 ) = ∫ G( x , t ) ⋅ h( t ) dt = 0 x0 x ∂G y p ' ( x) = ∫ h( t ) dt + G( x , x )h( x ) ∂ x x0 Akan dibuktikan G( x , x ) = 0 , ∀x y1( x )V ( x ) + y ( x )V ( x ) +L+ y ( x )V ( x ) 1 2 2 n n G( x , x ) = =0 W y1( x ) , y2 ( x ) ,L , yn ( x )



[



INTEGRAL, vol. 7 no. 1, April 2002



… (7)



]



25



y1V1 + y 2V2 + L + y nVn = y1



0 0



y2 y2 '



M 1



M



y1



M



( n −1)



y2



0 L yn 0 L yn ' +L+ M M 1 L y n(n −1)



y1 y1 ' M



( n −1)



L yn



y2 y2 '



M



+ y2



( n −1)



y2



( n −1)



yn yn ' M



( n −1)



y1 y1 '



yn



L L



y1



L 0 L 0 M L 1



Untuk n ganjil maka y1V1 + y 2V2 + L + y nVn = y1



y2 y2 '



y3 y3 '



M



M



(n−2 )



(n − 2 )



y2



+ L + yn



y3 y1 y1 ' M



y1(n −2 )



=



y1 y1 y1 ' M



(n − 2 )



y1



y2 y2 y2 ' M



(n −2 )



y2



L L



yn yn ' M



− y2



(n − 2 )



L L



M



y3 y3 '



(n − 2 )



L yn y2 y2 ' M



y1 y1 ' y1



M



(n−2 )



y3



L L



yn yn ' M



(n − 2 )



L yn



y n −1 y n −1 ' M



y 2(n − 2 ) L y n(n−−1 2 ) L L L



yn yn yn ' M



(n −2 )



L yn



Menurut sifat determinan, karena ada dua baris yang terdiri dari elemen-elemen yang sama, maka y1V1 + y2V2 +L+ ynVn = 0 Untuk n genap, maka



26



INTEGRAL, vol. 7 no. 1, April 2002



y1V1 + y 2V2 + L + y nVn y3 L yn y1 y 3' L yn' y1' + y2 M M M ( ( n − 2) n − 2) ( n − 2) y3 L yn y1



y2 y 2' = − y1 M ( n − 2) y 2



y2 L y n −1 y 2' L y n −1' M M ( ( n − 2) n − 2) y2 L y n −1



y1 y1' − L − yn M ( n − 2) y 1



y1 y1 = − y1' M ( n − 2) y 1



y2 y2 y 2' M ( n − 2) y 2



y3 L yn y 3' L yn' M M ( n − 2) ( n − 2) y3 L yn



L L L



yn yn yn'



L y n(n − 2 )



Menurut sifat determinan, karena ada dua baris yang terdiri dari elemen-elemen yang sama, maka y1V1 + y2V2 +L+ ynVn = 0



[



]



Karena W y1( t ) , y2 ( t ) ,L , yn ( t ) ≠ 0 maka G( x , x ) = 0 . Akibatnya (7) menjadi :



x ∂G y p ' ( x) = ∫ h( t ) dt x0 ∂x x0 ∂G h( t ) dt = 0 y p ' ( x0 ) = ∫ x ∂ x0 x ∂ 2G ∂G ( x , x )h( x ) y p '' ( x ) = ∫ h( t ) dt + 2 x ∂ ∂ x x0 x0 2 ∂ G y p '' ( x0 ) = ∫ h( t ) dt + 0 = 0 2 x0 ∂x M x ∂ n −1G ∂ n− 2G ( ) n 1 − ( ) ( ) ( x , x )h( x ) yp x = ∫ h t dt + n − 1 n − 2 ∂x x0 ∂x x0 n −1 ∂ G y p ( n −1) ( x0 ) = ∫ h( t ) dt + 0 = 0 n −1 ∂ x x0 Contoh



:



Konstruksilah



fungsi



3 y ' ' '+5 y ''−2 y ' = r ( x ) ,



INTEGRAL, vol. 7 no. 1, April 2002



Green



dari



persamaan



diferensial



:



27



kemudian tentukan solusi umumnya ! Jawab : Persamaan diferensial homogen : 3 y ' ' '+5 y ''−2 y ' = 0 Persamaan karakteristik : 3m 3 + 5m 2 − 2m = 0



(



)



m 3m 2 + 5m − 2 = 0 m(3m − 1)(m + 2) = 0 Akar-akar karakteristik : m1 = 0 , m2 = −2 , m3 =



1 3



1x − 2 x + C3e 3 Solusi homogen : yh = C1 + C2 e  y (x ) = 1 y1' (x ) = 0 y1' ' ( x ) = 0 1  −2 x −2 x dengan  y 2 ( x ) = e y 2 ' ( x ) = −2e y 2 ' ' (x ) = 4e −2 x 1x 1x 1x  y3' (x ) = 13 e 3 y3' ' ( x ) = 19 e 3  y3 ( x ) = e 3 1



1t



e − 2t



e3



4e − 2 t



1 e 3t 3 1 1 e 3t 9



W [ y1 (t ), y 2 (t ), y3 (t )] = 0 − 2e −2t 0 =



0



e − 2t



V1( t ) = 0 − 2e − 2t 1



4e − 2 t



− 2e − 2 t 4e − 2 t



1



1



1 e 3t 3 1 1 e 3t 9



=−



1t e3 1 − 2t 1 e 3t = e 3 − 2e − 2t 1t 1 e3 9



14 − 53 t e 9



1 t 5 7 − t e3 1 = 3e 3 1 e 3t 3



1t 1 e3 1 3t 1t 1 0 e 1 t 1 3 3 3 V2 ( t ) = 0 0 e = 1t = − 3 e 3 1t 1 1 e3 1 9 3 0 1 e 9 1 0



1 e − 2t V3 ( t ) = 0 − 2e − 2t 0 4 e − 2t



0 − 2e − 2t 0= 4e − 2t 1



0 1



= −2 e − 2 t



Jadi fungsi Green :



28



INTEGRAL, vol. 7 no. 1, April 2002



G( x , t ) =



y1( x )V ( t ) + y ( x )V (t ) + y ( x )V (t ) 1 2 2 3 3 W [ y1(t ), y2 (t ), y3 (t )]



1   1x  − 5t  t  7 1 2 x − − 2t   1⋅ e 3 + e  − 3 e 3  + e 3 − 2e 3       



(



G( x , t ) =



)



5 14 − t e 3 9 1 3 3 − 2( x − t ) 9 ( x − t ) =− + e + e3 2 14 7 r( t ) h( t ) = 3 −



Solusi khususnya :



9 1 ( x −t )  r (t )  3 3 y p = ∫  − + e − 2 ( x −t ) + e 3 dt ⋅ 2 14 7 3   x x



0



x



3 1 ( x −t )   1 1 y p = ∫  − + e − 2 ( x −t ) + e 3  ⋅ r (t ) dt 2 14 7   x 0



Jadi solusi umumnya : x



1x 3 1 ( x −t )   1 1 y = C1 + C 2 e −2 x + C3 e 3 + ∫  − + e −2( x −t ) + e 3  ⋅ r (t ) dt 2 14 7   x 0



Contoh :



Konstruksilah



fungsi



Green



dari



1 x 3 y '''+2 x 2 y ''−2 xy ' = 1 + , x > 0 , x



persamaan



kemudian



diferensial:



tentukan



solusi



umumnya !



Penyelesaian : Persamaan diferensial Cauchy homogen : x 3 y ' ' '+2 x 2 y ''−2 xy ' = 0 Augmented equation : m( m − 1)( m − 2) + 2m( m − 1) − 2m = 0



m(( m − 1)( m − 2) + 2( m − 1) − 2) = 0



( m(m2 − m − 2) = 0



)



m m2 − 3m + 2 + 2m − 2 − 2 = 0



m( m + 1)( m − 2) = 0 m1 = 0 , m2 = −1 , m3 = 2 Solusi homogen : yh = C1 + C2 x −1 + C3 x 2



INTEGRAL, vol. 7 no. 1, April 2002



29



 y1( x ) = 1  dengan  y2 ( x ) = x −1  ( ) 2  y3 x = x



y1 ' ( x ) = 0 y2 ' ( x ) = − x − 2 y3 ' ( x ) = 2 x



1 t −1 W y1( t ) , y2 ( t ) , y3 ( t ) = 0 − t − 2 0 2t − 3



[



0 t −1 V1( t ) = 0 − t − 2 1 2t − 3



− t −2 2t − 3



y3 ' ' ( x ) = 2



t2 2t 2



]



=



y1 '' ( x ) = 0 y2 '' ( x ) = 2 x − 3



2t = −6t − 2 2



t2 t −1 2t = − t −2 2



t2 2t



= 2 +1= 3



1 0 t2 0 2t V2 ( t ) = 0 0 2t = = −2 t 1 2 0 1 2 1 t −1 V3 ( t ) = 0 − t − 2 0 2t − 3



0 − t −2 0= 2t − 3 1



0 1



= −t − 2



Jadi fungsi Green :



G( x , t ) = G( x , t ) =



y1( x )V ( t ) + y ( x )V (t ) + y ( x )V (t ) 1 2 2 3 3 W [ y1(t ), y2 (t ), y3 (t )]



(



1 ⋅ 3 + x −1 ( − 2t ) + x 2 − t − 2 − 6t − 2



)



1 1 1 = − t 2 + t 3 x −1 + x 2 2 3 6 1 1 h( t ) = + t3 t4



30



INTEGRAL, vol. 7 no. 1, April 2002



Dengan memilih x0 = 1 , maka solusi khususnya :



x 1 1 1   1 1 y p = ∫  − t 2 + t 3 x −1 + x 2  ⋅  +  dt  3 6   t3 t4  1 2 x 1 1 1 1 1 1  y p = ∫  − t −1 − t − 2 + x −1 + t −1 x −1 + x 2 t − 3 + x 2 t − 4  dt   2 3 3 6 6 1 2 1 1 −1 1 −1 1 −1 1 2 −2 1 2 −3 x − x t y p = − ln t + t + x t + x ln t − x t 2 2 3 3 12 18 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 − x −1 − − x −1 + y p = − ln x + x −1 + + x −1 ln x − x + x 2 2 3 3 12 18 2 3 12 18 1 5 2 1 1 1 y p = x −1 + x − ln x + x −1 ln x − 9 36 2 3 4 Jadi solusi umumnya :



1 −1 5 2 1 1 1 x + x − ln x + x −1 ln x − 9 36 2 3 4 1 1 y = A + Bx −1 + Cx 2 − ln x + x −1 ln x 2 3



y = C1 + C 2 x −1 + C 3 x 2 +



IV. PENUTUP Berdasarkan hasil pembahasan, maka diperoleh kesimpulan bahwa melalui metode variasi parameter kita dapat mengkonstruksi fungsi Green suatu persamaan diferensial linier orde -n. Tujuannya kita dapat menentukan solusi persamaan diferensialnya untuk fungsi h sebarang.



V. REFERENSI [1] Brauer, F., Nohel, J. A., Problems and Solutions in Ordinary Differential Equations, W. A. Benjamin, New York, 1968, 131136.



INTEGRAL, vol. 7 no. 1, April 2002



[2] Ostberg, D. R., Perkins, F. W., An Introduction to Linear Analysis, Addison - Wesley, Don Mills, 1966, 126 - 154. [3] Carrier, G. F., Pearson, C. E., Ordinary Differential Equations, SIAM, 1991, 64 - 68. VI. PENULIS Iwan Sugiarto adalah Dosen Tetap Jurusan Matematika, Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Katolik Parahyangan, Bandung.



31