Metnum Metode Sapuan Ganda [PDF]

Citation preview

METODE SAPUAN GANDA Oleh : Abdul Muiz., S.Pd., M.Pd., KONSEP UMUM: Perhatikan sistem persamaan berikut ! b1x1 + c1x2 a2x1 + b2x2 + c2x3 + a3x2 + b3x3 + c3x4 + a4x3 + b4x4



= d1 = d2 = d3 = d4



............................................................................(persamaan 01) ............................................................................................................................... (persamaan 02) ............................................................................................................................... (persamaan 03) ............................................................................................................................... (persamaan 04)



Jika kita perhatikan matriks diatas, maka terlihat matriks tersebut berbentu tridiagonal. Salah satu cara untuk menyelesaikan matriks tridiagonal adalah dengan menggunakan metode sapuan ganda. Berikut adalah konsep umum tentang metode sapuan ganda : 1. Tentukan nilai x1 dengan menggunakan persamaan 01 c d x1   1 x 2  1 b1 b1 ............................................................................(persamaan 05) Selanjutnya persamaan 05, disederhanakan sebagai berikut : c d P1   1 Q1  1 b1 b1 x1 = P1x2 + Q1, dengan dan .............................................(persamaan 06) 2. Hitunglah nilai x2 dengan mensubstitusikan x1 (persamaan 05) terhadap persamaan 02  c1 d    x 2  1  b1   b1 a2  a 2 c1 a d    x 2  2 1  b1 b1  



+ b2x2



+ c2x3 = d2



+ b2x2



+ c2x3 = d2







 a c   2 1 x 2  b 2 x 2  b1  



a 2 d1 b1 +







 a c   2 1  b 2  b1  



a 2 d1 b1 x2



 



c2    a 2c1   b2  b1 







  x2 =



+



 



+ c2x3 = d2







+ c2x3 = d2 d2  



x3 +



a 2 d1 b1



a2c1  b2 b1 .............................................(persamaan 07)



Selanjutnya persamaan 07, disederhanakan sebagai berikut : a d d2  2 1 c2 b1  a2c1 a2c1   b2   b2 b1 b1 x2 = P2x3 +Q2, dengan P2 = dan Q2 = ......................(persamaan 08) Apabila kita lanjutkan perhitungan di atas, maka akan diperoleh pola sebagai berikut ! xi  1 = Pi  1 xi + Qi  1



....................................................................................(persamaan 9)



3. Hitunglah nilai xi dengan mensubstitusikan persamaan 9 ke persamaan ke-i, yaitu: aixi  1 + bixi + cixi + 1 = di



aixi  1 + bixi + cixi + 1 = di ai (Pi  1 xi + Qi  1) + bixi + cixi + 1 = di (aiPi  1 + bi) xi = ci xi + 1 +(di – aiQi  1) d i  a iQ i 1 ci xi   x i 1  a iPi 1  b i a iPi 1  b i .......................................................................................(persamaan 10) Selanjutnya persamaan 10 disederhanakan sebagai berikut ! di  a iQ i 1 ci Pi   Qi  a iPi 1  b i a iPi 1  b i x i  Pi x i  1  Q i , dengan



dan



........................................(persamaan 11)



4. Simpulan : Jika terdapat suatu sistem persamaan berbentuk Matriks Tridiagonal, maka salah satu penyelesaiaannya dengan menggunakan Metode Sapuan Ganda. Adapun bentuk umum penyelesaiaanya adalah sebagai berikut: b1x1 + c1x2 = d1 ..............................................................................................(persamaan 01) a2x1 + b2x2 + c2x3 = d2 .............................................................................................................................................................. (persamaan 02) + a3x2 + b3x3 + c3x4 = d3 .............................................................................................................................................................. (persamaan 03) + a4x3 + b4x4 = d4 .............................................................................................................................................................. (persamaan 04) Himpunan penyelesaiaanya adalah : ci Pi   a iPi 1  b i x i  Pi x i  1  Q i , dengan



Qi  dan



di  a iQ i 1 a iPi 1  b i ........................................(persamaan 11)



CONTOH SOAL Selesaikanlah sistem persamaan berikut dengan menggunakan Metode Sapuan Ganda ! 2x1 + 3x2



= 18 ..............................................................................................(persamaan 01)



5x1  2x2 + 3x3



= 22 ............................................................................................................................................................. (persamaan 02)



+ 3x2  2x3 + 3x4 = 20 ............................................................................................................................................................. (persamaan 03) + 4x3  2x4 = 8 ................................................................................................................................................................ (persamaan 04) Penyelesaian: a. Menghitung koefisien Pi dan Qi (i = 1, 2, 3,4) 1) Untuk i = 1, maka P0 = 0; Q0 = 0 dan d1 = 18 a1 = 0; b1 = 2 dan c1 = 3 Sehingga diperoleh: ci  a iPi  1  b i P1 =



c1  a1P0  b1 P1 =







3



0 0   2



P1 = P1 = 1,5 2) 3) Untuk i = 2, maka P1 = 1,5; Q1 = 9 dan d2 = 22



di  a iQ i 1 a iPi  1  b i Q1 = d1  a1Q 0 a1P0  b1



Q1 =



18  0 0  0 0   2



Q1 = Q1 = 9



4) a2 = 5; b2 = 2 dan c2 = 3 5) Sehingga diperoleh: ci  a iPi  1  b i 6) P2 =







c2 a 2P1  b 2



7) P2 =



 8) 9) 14) 15) 16) 17) 18)



3



a iPi  1  b i 10) Q2 = d 2  a 2 Q1 a 2P1  b 2



11) Q2 =



5  1,5    2



P2 = P2 = 0,3158



c3  a 3P2  b 3 20) P3 =



3  3 0,3158    2 P3 = P3 = 2,8501



d i  a i Q i 1 a iPi 1  b i 23) Q3 = d 3  a 3Q 2 a 3P2  b 3



24) Q3 =



c4  a 4 P3  b 4 32) P4 =



0  4 2,8501    2  33) P4 = 34) P4 = 0 39) b. Menghitung nilai xi (i = 1, 2, 3, 4) 40) 1) Untuk i = 4, maka P4 = 0; Q4 = 5,9998 dan x5 = 0 2) Sehingga diperoleh: xi = Pi xi+1 + Qi 3) x4 = P4x5 + Q4 4) 5) x4 = 0 (0) + 5,9998 6) x4 = 5,9998 7) 8) Untuk i = 3, maka P3 = 2,8501; Q3 = 12,1002 9) Sehingga diperoleh:



20  3 2,4211 3 0,3158    2



25) Q3 = 26) Q3 = 12,1002



Untuk i = 4, maka P3 = 2,8501; Q3 = 12,1002 dan d4 = 8 a4 = 4, b4 = 2 dan c4 = 0 Sehingga diperoleh: ci  a iPi  1  b i



31) P4 =



22  5 9  5  1,5     2



12) Q2 = 13) Q2 = 2,4211



Untuk i = 3, maka P2 = 0,3158; Q2 = 2,4211 dan d3 = 20 a3 = 3, b3 = 2 dan c3 = 3 Sehingga diperoleh: ci  a iPi  1  b i



19) P3 =



21) 22) 27) 28) 29) 30)



di  a iQ i 1



d i  a i Q i 1 a iPi 1  b i 35) Q4 = d4  a 4Q3 a 4 P3  b 4



36) Q4 =



8  4  12,1002 4 2,8501    2 



37) Q4 = 38) Q4 = 5,9998



xi = Pi xi+1 + Qi x3 = P3x4 + Q3 12) x3 = 2,8501 (5,9998) + (12,1002) 13) x3 = 4,9998 14) 15) Untuk i = 2, maka P2 = 0,3158; Q2 = 2,4211 16) Sehingga diperoleh: xi = Pi xi+1 + Qi 17) x2 = P2x4 + Q2 18) 10) 11)



19) 20) 21) 22) 23)



x2 = 0,3158 (4,9998) + (2,4211) x2 = 4,0000 Untuk i = 1, maka P1 = 1,5; Q1 = 9 Sehingga diperoleh:



xi x1 26) x1 27) x1 24) 25)



= Pi xi+1 + Qi = P1x2 + Q1 = 1,5 (4,0000) + (9) = 3,0000



28) c. Simpulan 29) 30)Jadi, Nilai x1, x2, x3 dan x4 yang memenuhi sistem persamaan berikut dengan menggunakan Metode Sapuan Ganda adalah 3, 4, 5, dan 6. 31) 2x1



+ 3x2



.......................................................................................................................................................................................................



=



18



.......................................................................................................................................................................................................



=



22



(persamaan 01) 32) 5x1



 2x2 + 3x3



(persamaan 02) 33)



+ 3x2  2x3........................................................................................................................................................................................ + 3x4



=



20



+ 4x3.........................................................................................................................................................................................  2x4



=



8



(persamaan 03) 34) (persamaan 04) 35) 36)