![Metode Dalil Tiga Momen PDF [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/metode-dalil-tiga-momen-pdf.jpg)
16 0 725 KB
Darmansyah Tjitradi, MT.
METODE DALIL TIGA MOMEN Dalil tiga momen ini sering pula disebut dengan Metode Clayperon. Berbeda dengan cara yang terdahulu (Metode Consistent Deformation atau Castigliano) dimana gaya redundant dicari terlebih dahulu, pada metode ini besaran momen didapatkan terlebih dahulu. Dengan metode ini kita meninjau 3 momen pada tiga buah titik berturut-turut. Penurunan rumus dalil 3 momen ini menggunakan Metode Momen Area. Tinjau struktur ABC yang dibebani gaya-gaya dan mempunyai perletakan yang tidak sama tinggi. C
A tAB
h2
h1 A’
tCB BA
A”
C’
BC B
C” LAB
LBC
Jika struktur ABC dipisahkan menjadi bentang AB dan BC, maka pada titik A bekerja gaya MAB, titik B momen MBA dan MBC serta MCB pada titik C. P3
P2
MAB A
q
P1 MBA
IAB LAB
B
MBC B
MCB IBC
C
LBC
Maka diagram momennya dapat dipisahkan menjadi 2 bagian, yaitu akibat beban luar dengan momen dititik ujung.
Metode Dalil Tiga Momen
1
Darmansyah Tjitradi, MT.
Diagram momen akibat beban luar.
I
A
IV
B
AAB
a1
B
C
ABC a2
Dimana: a1 a2 AAB ABC
= jarak titik berat luas diagram momen ketitik A = jarak titik berat luas diagram momen ketitik C = luas diagram momen bentang AB = luas diagram momen bentang BC
Diagram momen akibat bekerjanya momen dititik ujung: MB
MB
II
MA
V
MC VI
III B
A
C
B
1/3.LAB
1/3.LBC 2/3.LAB
2/3.LBC
Dengan azas kompatibilitas, maka:
BA BC ................................................................................................................................... (1) BA
A' A" h1 t AB LAB LAB
BC
C ' C" tCB h2 LBC LBC
h1 t AB tCB h2 ..................................................................................................................... (2) LAB LBC
Metode Dalil Tiga Momen
2
Darmansyah Tjitradi, MT. Dimana: tAB adalah besarnya simpangan antara 2 buah garis singgung antara titik A dan B terhadap titik A (Dalil Momen Area II). tCB adalah besarnya simpangan antara 2 buah garis singgung antara titik B dan C terhadap titik C (Dalil Momen Area II). tAB didapat dari superposisi tiga komponen, yaitu: beban kerja, MA dan MB. tCB didapat dari superposisi tiga komponen, yaitu: beban kerja, MB dan MC.
t AB
Luas I Luas II 2 Luas III 1 a1 LAB LAB EI AB EI AB 3 EI AB 3 1 1 M B LAB M A LAB 2 2 1 2 a1 LAB LAB EI AB EI AB 3 3
t AB
AAB EI AB
t AB
AAB M L2 M L2 a1 B AB A AB ..................................................................................... (3) EI AB 3EI AB 6 EI AB
tCB
Luas IV Luas V 2 Luas VI 1 a2 LBC LBC EIBC EIBC 3 EIBC 3 1 1 M B LBC M C LBC 2 2 1 2 a2 LBC LBC EI BC EI BC 3 3
tCB
ABC EI BC
t CB
ABC M L2 M L2 a 2 B BC C BC .................................................................................. (4) EI BC 3EI BC 6 EI BC
Persamaan (3) dan (4) dimasukkan ke persamaan (2), maka:
h1 t t h AB CB 2 LAB LAB LBC LBC
h1 1 LAB LAB
A a M L2 M L2 1 ABC a2 M B L2BC M C L2BC h2 AB 1 B AB A AB 3EI AB 6EI AB LBC EI BC 3EI BC 6EI BC LBC EI AB
A a M L M L h1 A a M L M L h AB 1 B AB A AB BC 2 B BC C BC 2 L AB EI AB L AB 3EI AB 6EI AB EI BC LBC 3EI BC 6EI BC LBC
Metode Dalil Tiga Momen
3
Darmansyah Tjitradi, MT. A a M A L AB M B L AB M B LBC M C LBC A a h h AB 1 BC 2 1 2 6EI AB 3EI AB 3EI BC 6EI BC EI AB L AB EI BC LBC L AB LBC A a M A L AB M B L AB M B LBC M C LBC A a h h AB 1 BC 2 1 2 6EI AB 3EI AB 3EI BC 6EI BC EI AB L AB EI BC LBC L AB LBC
MA
L h L L 6 ABC a2 LAB 6 AAB a1 h 2 M B AB BC M C BC 6 1 2 EI AB EI BC EI AB L AB EI BC LBC EI AB EI BC LAB LBC
atau L L h L L 6A AB a1 6A BC a 2 h MAB AB 2 MBA AB 2 MBC BC MCB BC 6 1 2 EI EI EI EI EI L EI L L L AB AB BC BC BC AB AB BC BC AB
Catatan: Persamaan ini diturunkan berdasarkan diagram momen positif oleh karena itu:
Jika momen yang dihasilkan positif maka arah momen ke diagram momen positif.
h1 dan h2 positif bila diukur kearah atas dari titik B.
Metode Dalil Tiga Momen
4
Darmansyah Tjitradi, MT. Contoh Soal 1: P
P
q
EI
EI A
D C
B L
Diketahui: P
1/2.L
1/4.L
1/2.L
1 qL 4
Hitung reaksi-reaksi perletakan balok menerus diatas? Penyelesaian: Pada perletakan terjepit dapat dianggap sebuah batang dengan perletakan sendi dengan harga I= ~. Jadi balok ABCD dapat diekivalenkan dengan balok Ao-A-B-C-D.
I=~
EI
EI A
Ao
D C
B L
Lo
P
P
q
1/2.L
1/4.L
1/2.L
Diagram momen untuk masing-masing bentang dengan kondisi 2 tumpuan (statis tertentu):
1 2 qL 8
Ao
A
1 PL 4
B
C
D
1 2 1 4P 2 1 qL L PL 8 8 L 2
Metode Dalil Tiga Momen
5
Darmansyah Tjitradi, MT. Bentang Ao-A:
I AoA ~ h1 h2 0
Bentang A-B:
AAB a1
2 1 1 PL L PL2 3 2 3
1 L 2
Bentang B-C:
ABC a2
1 1 1 PL L PL2 2 4 8
1 L 2
Tinjau bentang Ao-A-B: L L h L 6 A AoA a 1 6 A AB a 2 L h M AoA AoA 2 M A AoA AB M B AB 6 1 2 EI EI EI EI EI L EI L L L AB AoA AoA AB AB AB AB AoA Aoa AoA 2 PL 1 L 6 3 2 L AoA L AB L AB 6A AoA a 1 M B 2M A ~ EI EI ~ EI AB AB L AB AB
2M A M B PL ........................................................................................................................... (1)
Tinjau bentang A-B-C: L L L M A AB 2 M B AB BC EI AB EI AB EI BC
MC
L M C BC EI BC
h 6 A AB a 1 6 A BC a 2 h 6 1 2 EI AB L AB EI BC L BC L AB L BC
L M C BC EI BC
6 A AB a 1 6 A BC a 2 EI AB L AB EI BC L BC
PL 4
L L L M A AB 2 M B AB BC EI AB EI AB EI BC
MA 4MB
PL 3 PL PL 4 8
9 M A 4 M B PL ................................................................................................................. (2) 8
Metode Dalil Tiga Momen
6
Darmansyah Tjitradi, MT. Persamaan (1) dan (2) dibuat dalam format matriks:
2 1 MA 1 1 4 M 9 PL B 8 1
1 9 PL 8 M PL 4 1 1 23 56 A PL 9 MB 7 1 2 8 5 28 M 2 1 A MB 1 4
23
56
q
PL
5
28
P
PL
EI
EI A
P
1 PL 4
D C
B L
1/2.L
1/4.L
1/2.L
Reaksi Perletakan Balok Menerus:
Freebody AB: M B 0
V AB L M A M B 1 q L2 0 2 23 5 V AB L PL PL 2 PL 0 56 28 125 P V AB 56
MA 23
56
q
PL
MB 5
A
M
A
0
VBA L 1 q L2 M A M B 0 2 23 5 VBA L 2 PL PL PL 0 56 28 99 P VBA 56
Metode Dalil Tiga Momen
28
PL
B VBA
VAB L
7
Darmansyah Tjitradi, MT.
Freebody BC:
M
C
0
VBC L PL MB MC 0 2 VBC L PL 5 PL 1 PL 0 2 28 4 3P VBC 7
M
B
MB 5
28
VA VAB
C
½.L
½.L
125 P 56 99 3 123 P P P 56 7 56
VC VCB VCD
4 88 PP P 7 56
q
PL
5
28
PL
A
Metode Dalil Tiga Momen
1 PL 4
1/2.L
VB
P D
C
B L
125 P 56
P EI
EI
VA
VCB
VBC
VB VBA VBC
56
MC 1 PL 4
B
0
VCB L PL MB MC 0 2 5 1 VCB L PL PL PL 0 2 28 4 4P VCB 7
23
P
PL
123 P 56
1/2.L
VC
1/4.L
88 P 56
8
Darmansyah Tjitradi, MT.
Gambar Momen, Lintang, dan Normal
23 PL 56
11,50 PL 56
A
10 PL 56
2 PL 56
B
14 PL 56
D
C
Bidang Momen
125 P 56
A
24 P 56
24 P 56
P
C
B 99 P 56
32 P 56
P
D
32 P 56
Bidang Lintang
A
B
C
D
Bidang Normal
Metode Dalil Tiga Momen
9
Darmansyah Tjitradi, MT. Contoh Soal 2: q = 1,0 t/m 2EI
EI
B
A
C L = 6,0 m
L = 6,0 m
Hitunglah reaksi-reaksi perletakan dengan metode dalil 3 momen!
Penyelesaian: Untuk menyelesaikan persoalan ini struktur dapat dianggap sebagai berikut: q = 1,0 t/m I=~ Ao
B
2EI A
Lo
L = 6,0 m
EI C L = 6,0 m
Diagram momen untuk masing-masing bentang dengan kondisi 2 tumpuan (statis tertentu):
1 2 qL 8
1 2 qL 8
Ao
A
B AAB
C ABC
A BC 2 1 qL2 L 1 qL3 3 8 12
A AB 2 1 qL2 L 1 qL3 3 8 12
Metode Dalil Tiga Momen
10
Darmansyah Tjitradi, MT. Tinjau bentang Ao-A-B: L L h L 6 A AoA a 1 6 A AB a 2 L h M AoA AoA 2 M A AoA AB M B AB 6 1 2 EI AoA L AoA EI AB L AB EI AB EI AoA EI Aoa EI AB L AoA L AB
L L MAoA AoA 2 MA AoA ~ ~
1 1 6 qL3 L L 6 AAoA a1 12 L 2 6 0 MB 2EI 2 EI ~ 2 EI L L
1 6EI 1 MA MB qL2 ..................................................................................................... (1) 2 2 8 L
Tinjau bentang A-B-C: L L L M A AB 2 M B AB BC EI AB EI AB EI BC
L M C BC EI BC
h 6 A AB a 1 6 A BC a 2 h 6 1 2 EI AB L AB EI BC L BC L AB L BC
MC 0 L L L L MA MC 2 MB 2EI 2EI EI EI
1 1 1 1 6 qL3 L 6 qL3 L 12 2 12 2 6 L L 2EI L EI L
MA 6EI 3 3 MB 2 qL2 ............................................................................................... (2) 2 2 8 L
Karena titik B mengalami pergeseran maka perlu persamaan geser. Freebody AB:
MA 0 2
VBA L 1 q L MA MB 0 2 M MB 1 VBA A qL L 2
q = 1,0 t/m
MA A
MB B
VBA
VAB L = 6,0 m
Freebody BC:
MC 0 VBC L MB 1 q L2 0 2 M 1 VBC B qL L 2
Metode Dalil Tiga Momen
q = 1,0 t/m
MB B
MC = 0 C
VCA
VBC L = 6,0 m
11
Darmansyah Tjitradi, MT. Pada titik B:
VBA VBC 0 MA MB 1 M 1 qL B qL 0 L 2 L 2 MA 2MB qL2 ................................................................................................................... (3)
Dari persamaan (1) s.d. (3) disusun dalam bentuk matriks: MA
1 1 M B x qL2 2 8
MA 3 3 M B 2 x qL2 2 8
M A 2M B qL2 misal: x
6 EI L2
1,0 M A 0,125 1,0 0,5 0,5 3,0 2,0 M 0,375qL2 B 1,0 2,0 0 x 1,0
21 M A 4 2 21 qL2 1 6 2 15 qL M 7 , 50 , dimana: 4 B 8 9 9 x 51 9 12,75 16
x
6 EI L2
x L2 12,75 6 2 76,50 6EI 6EI EI
Metode Dalil Tiga Momen
12
Darmansyah Tjitradi, MT. Contoh Soal 3: Hitunglah reaksi-reaksi struktur dibawah ini dengan Metode dalil tiga momen, beban P = 5 ton bekerja pada titik D. P = 5 ton
D 1,5 m
3EI
B
A 4,0 m
5EI
6,0 m
3,0 m
C
Penyelesaian: Pv = 3 ton
I=~
B A
Ao
MBD = 6 tm Ph = 4 ton v
B’
C
h v
s
v
h
C” s
C’
v 4 h 3 5 s 3
Metode Dalil Tiga Momen
13
Darmansyah Tjitradi, MT. Karena pada batang tidak terdapat beban maka luas diagram momen tidak ada.
Tinjau bentang Ao-A-B: L L h L L 6 A AoA a 1 6 A AB a 2 h M AoA AoA 2 M AAo AoA 2 M AB AB M BA AB 6 1 2 EI EI EI EI EI L EI L L L AoA AoA AB AB AB AB AB AoA Aoa AoA
L L L L M AoA AoA 2 M AAo AoA 2 M AB 6 0 v M BA 3EI L 3EI ~ ~ 4 MAB 2 MBA EI ......................................................................................................... (1)
Tinjau bentang A-B-C: L L L M AB AB 2 M BA AB 2 M BC BC EI EI AB AB EI BC
L M CB BC EI BC
h 6 A AB a 1 6 A BC a 2 h 6 1 2 EI L EI L L L AB AB BC BC BC AB
MCB 0 L L Ls Ls v s M AB 2 M BA 2 M BC M CB 6 3EI 3EI 5EI 5EI L Ls 2 MAB 4 MBA 2 MBC 3EI ........................................................................................ (2)
Pada titik kumpul B: MBD = 6 tm MBA B MBC
MB 0 MBD MBA MBC 0
MBA MBC 6 ............................................................................................................... (3)
Metode Dalil Tiga Momen
14
Darmansyah Tjitradi, MT.
Freebody AB:
MB 0
VAB L MAB MBA 0 MAB MBA VAB 6
MAB
MBA
A
B VBA
VAB L = 6,0 m
MBC
Freebody BC:
MB 0
B
VCB Lh MBC 0 M VCB BC 3
C Lihat seluruh konstruksi:
V 0
Lh = 3 m
VCB
VAB VCB 3 0 MAB MBA MBC 3 0 6 3 MAB MBA 2 MBC 18 ............................................................................................ (4)
Dari persamaan (1) dan (2) didapat: 4 MAB 2 MBA EI ___ x 3 ............................................................................................ (1)
2 MAB 4 MBA 2 MBC 3EI ........................................................................................ (2) 14 MAB 10 MBA 2 MBC 0 ............................................................................................. (5)
Dari persamaan (3) s.d. (5) disusun dalam bentuk matriks:
MBA MBC 6 ............................................................................................................... (3) MAB MBA 2 MBC 18 ............................................................................................ (4) 14 MAB 10 MBA 2 MBC 0 ....................................................................................... (5)
Metode Dalil Tiga Momen
15
Darmansyah Tjitradi, MT.
1,0 1,0 MAB 6,0 0 1,0 1,0 2,0 M 18 BA 14 10 2,0 MBC 0
1,0 1,0 MAB 0 MBA 1,0 1,0 2,0 M 14 10 2,0 BC
1
6,0 18 0
MAB 18 12 3 6,0 2,0 1 18 4 tm 30 14 1 MBA 3 M 54 24 14 1 0 22 BC 3 4 5 MAB MBA 2 3 VAB ton 6 9 6
M 22 VCB BC ton 3 9 HA 4,0 ton P = 5 ton
D
MAB = 2 tm MBA = 4/3 tm HA = 4,0 ton
3EI
1,5 m
MBD = 6 tm B
MBC = 22/3 tm
A
VAB
4,0 m
5EI
5 ton 9
C 6,0 m
3,0 m
VCB
Metode Dalil Tiga Momen
22 ton 9
16
Darmansyah Tjitradi, MT. Contoh Soal 4: Balok ABC dengan kekakuan dan beban seperti tergambar dibawah ini. Analisalah reaksi balok tsb. dengan menggunakan Dalil 3 Momen, kemudian gambarkan bidang Momen, dan Lintangnya.
M = 10 tm EI
2 EI
C
B A 2,0 m
2,0 m
Penyelesaian: Untuk menyelesaikan persoalan ini struktur dapat dianggap sebagai berikut: EI A 2,0 m
C
I=~
2EI
Bo
B 2,0 m
Lo
Karena pada batang tidak terdapat beban maka luas digram momen tidak ada.
Tinjau bentang A-C-B: L L L L h 6 AAC a1 6 ACB a 2 h MA AC 2 MCA AC 2 MCB CB MB CB 6 1 2 EI AC LAC EI CB LCB EI AC EI AC EI CB EI CB LAC LCB
MA 0 2 2 2 2 MCA 2 MCB MB 6 EI 2EI 2EI 2 2
4 MCA 2 MCB MB 6 EI ............................................................................................ (1)
Tinjau bentang C-B-Bo:
L L L h L 6 ACB a1 6 ABBo a 2 h MCB CB 2 MB CB BBo MBo BBo 6 1 2 EI CB LCB EI BBo LBBo EI CB EI CB EI BBo EI BBo LCB LBBo
2 2 Lo Lo MCB MBo 6 0 2 MB 2EI 2EI ~ ~ 2
Metode Dalil Tiga Momen
17
Darmansyah Tjitradi, MT.
MCB 2 MB 3 EI ... x 2
2 MCB 4 MB 6 EI .......................................................................................... (2) Dari persamaan (1) dan (2) didapat:
4 MCA 2 MCB MB 6 EI ................................................................................ (1)
2 MCB 4 MB 6 EI .......................................................................................... (2) +
4 MCA 4 MCB 5 MB 0 ...................................................................................... (3) Pada titik kumpul C: M = 10 tm M = 10 tm MCA
C
MCB
MC 0 MCA MCB 10 0 MCA MCB 10 ............................................................................................................. (4)
Freebody AC:
MC 0 VAC 2 MCA 0 MCA VAC 2
Metode Dalil Tiga Momen
MCA A
C VCA
VAC 2,0 m
18
Darmansyah Tjitradi, MT. Freebody BC:
C
VBC 2 MCB MB 0
B VBC
VCB
M MB VBC CB 2
MB
MCB
MC 0
2,0 m
Lihat seluruh konstruksi:
V 0
VAC VBC 0 MCA MCB MB 0 2 2
MCA MCB MB 0 ............................................................................................... (5) Dari persamaan (3) s.d. (5) disusun dalam bentuk matriks:
4 MCA 4 MCB 5 MB 0 ................................................................................ (3)
MCA MCB 10 ....................................................................................................... (4) MCA MCB MB 0 ............................................................................................... (5) 4 4 5 MCA 0 1 1 0 M 10 CB 1 1 1 MB 0
MCA 4 4 5 MCB 1 1 0 M 1 1 1 B
1
0 10 0
5 1 1 MCA 18 2 18 0 5 MCB 118 12 5 18 10 5 M 1 0 4 0 0 B 9 9
Metode Dalil Tiga Momen
19
Darmansyah Tjitradi, MT. Reaksi Perletakan:
MCA 5 VAC 2,5 ton 2 2
V 0 VBC VAC 2,5 ton MB VAC 4 M 2,5 4 10 0 tm
Metode Dalil Tiga Momen
20
Darmansyah Tjitradi, MT.
Gambar Momen, Lintang, dan Normal M = 10 tm 5 tm
MB = 0
5 tm
EI
2 EI
C
B A 2,0 m
VA = 2,50 t
2,0 m
VB = 2,50 t
-5 tm
A
C
B
+5 tm
Bidang Momen A
C
-2,5 ton
B
-2,5 ton
Bidang Lintang A
C
B
Bidang Normal
Metode Dalil Tiga Momen
21
Darmansyah Tjitradi, MT. Contoh Soal 5:
Balok ABC dengan kekakuan dan beban seperti tergambar dibawah ini. Analisalah reaksi balok tsb. dengan menggunakan Dalil 3 Momen, kemudian gambarkan bidang Momen, dan Lintangnya. M = 10 tm 2EI
EI C B
A 2,0 m
2,0 m
Penyelesaian: Untuk menyelesaikan persoalan ini struktur dapat dianggap sebagai berikut: M = 10 tm 2EI A
Co
C
B 2,0 m
Io = ~
EI 2,0 m
Lo
Karena pada batang tidak terdapat beban maka luas diagram momen tidak ada (A =0) dan tidak terjadi perpindahan pada tumpuan (h1 = h2 = 0)
Tinjau bentang A-B-C: L L h L L 6 AAB a1 6 ABC a 2 h MA AB 2 MBA AB 2 MBC BC MC BC 6 1 2 EI AB LAB EI BC LBC EI AB EI AB EI BC EI BC LAB LBC
MA 0 2 2 2 2 M BA 2 M BC M C 0 2EI EI EI
2 M BA 4 M BC 2 M C 0 ................................................................................................... (1)
Metode Dalil Tiga Momen
22
Darmansyah Tjitradi, MT. Tinjau bentang B-C-Co: MCO = 0 L L L MBC BC 2 MC BC CCo EI BC EI BC EI CCo
L MCo CCo EI CCo
h 6 ABC a1 6 ACCo a 2 h 6 1 2 EI BC LBC EI CCo LCCo LBC Lo
2 2 L L M BC 2 M C o M Co o 0 EI EI ~ ~ 2 M BC 4 M C 0 ................................................................................................................. (2)
Pada titik kumpul B: M = 10 tm M = 10 tm MBA
MBC B
M
B
0
M BA M BC 10 0 M BA M BC 10 ................................................................................................................ (3)
Dari persamaan (1) s.d. (3) disusun dalam bentuk matriks:
2 M BA 4 M BC 2 M C 0 ................................................................................................... (1)
2 M BC 4 M C 0 ................................................................................................................. (2) M BA M BC 10 ................................................................................................................ (3) 2 4 2 M BA 0 0 2 4 M 0 BC 1 1 0 M C 10 1
M BA 2 4 2 0 M BC 0 2 4 0 M 1 1 0 10 C
3 0 1 1 M BA 5 10 5 6,0 1 1 2 0 4,0 tm M BC 5 10 5 M 1 10 2,0 3 1 C 10 10 5 Metode Dalil Tiga Momen
23
Darmansyah Tjitradi, MT. Reaksi Perletakan:
Freebody AB: MB 0
MBA A
VAB 2 M BA 0 M BA 6,0 VAB 3,0 ton 2 2 M BA 6,0 VBA 3,0 ton 2 2
VCB
2,0 m
Tumpuan A:
Tumpuan B:
B
B
C VCB
VBC 2,0 m VBA
M A 0 tm VA VAB 3,0 ton
V
MC
MBC
M BC M C 4 2 3,0 ton 2 2 3,0 ton
VBA
VAB
Freebody BC: MC 0 VBC 2 M BC M C 0
VBC
B
VBC
B
0
VB
VB VBA VBC 0 VB 3,0 3,0 0 ton
Tumpuan C: M C 2,0 tm ()
VC VCB 3,0 ton Lihat seluruh konstruksi:
M = 10 tm MC
V 0 V A VB VC 0
3,0 0 3,0 0 .... ok!
Metode Dalil Tiga Momen
VA
2,0 m
VB
VC 2,0 m
24
Darmansyah Tjitradi, MT.
Gambar Momen, Lintang, dan Normal
M = 10 tm
6,0 tm
4,0 tm
2,0 tm EI
2EI
C B
A
VC 3,0 ton
VB 0
VA 3,0 ton 2,0 m
2,0 m
6,0 tm
A
2,0 tm
B
C
-
4,0 tm
Bidang Momen 3,0 ton 3,0 ton
3,0 ton
A
B
3,0 ton
C
Bidang Lintang
A
B
C
Bidang Normal
Metode Dalil Tiga Momen
25
Darmansyah Tjitradi, MT. Contoh Soal 6:
B
C
EI
Data : Titik A : Jepit
4m
2EI
Titik C : Sendi
A
4m
Karena salah dalam pelaksanaan titik C mengalami penurunan sebesar 10 cm, analisislah gaya-gaya dalam portal diatas dengan Metode Dalil 3 Momen (misal: EI = 17280 kg.m2). Penyelesaian: Titik C mengalami penurunan sebesar 10 cm Pada perletakan terjepit dapat dianggap sebuah batang dengan perletakan sendi dengan harga I= ~. Jadi balok ABCD dapat diekivalenkan dengan portal Ao-A-B-C. B
4m
EI
C v =10 cm C’
2EI
A
I= ~
Ao 4m Metode Dalil Tiga Momen
26
Darmansyah Tjitradi, MT. Karena pada batang tidak terdapat beban maka luas digram momen tidak ada.
Tinjau bentang Ao-A-B: L L h L L 6 AAoA a1 6 AAB a 2 h MAoA AoA 2 MA AoA AB MB AB 6 1 2 EI AoA LAoA EI AB LAB EI AB EI AoA EI Aoa EI AB LAoA LAB
4 L L 4 M AoA AoA 2 M A AoA MB 0 2EI ~ ~ 2EI
4 MA 2 MB 0 .................................................................................................................. (1) Tinjau bentang A-B-C: L L h L L 6 AAB a1 6 ABC a 2 h MA AB 2 MB AB BC MC BC 6 1 2 EI AB LAB EI BC LBC EI AB EI AB EI BC EI BC LAB LBC
Titik C sendi, maka: MC 0 4 0,10 4 4 MA 0 6 0 2 MB 4 2EI 2EI EI
2 MA 12 MB 0,30 EI ................................................................................................. (2) 2 Persamaan (1) dan (2) dibuat dalam format matriks: 4 2 M A 0 2 12 M 0,30 EI B 2 M A 4 2 M B 2 12
1
0 0,30 EI 2
M A 1 12 2 1 0,30 0 0,30 EI EI 44 0,6 M B 44 2 4 2
Metode Dalil Tiga Momen
27
Darmansyah Tjitradi, MT. Jika EI = 17280 kg.m2, maka: M A 117,8184 kg.m M B 235,636 M BC Vc 4 235,636 Vc 4
Vc 58,9090 kg
M BA H A 4 M A 235,636 H A 4 117,8184 H A 88,3636 kg
VA VC
VA 58,9090 kg
M BC 235,636 kg.m
B
EI M BA 235,636 kg.m
4m
H C 88,3636 kg
C VC 58,9090 kg
2EI
A H A 88,3636 kg
M A 117,8184 kg.m
4m VA 58,9090 kg
Metode Dalil Tiga Momen
28
Darmansyah Tjitradi, MT.
Gambar Momen, Lintang, dan Normal - 235,636 kg.m
- 235,636 kg.m
B C
Bidang Momen A + 117,8184 kg.m + 58,9090 kg - 88,3636 kg
+ 58,9090 kg
B C
Bidang Lintang
- 88,3636 kg
A A - 88,3636 kg
- 58,9090 kg
- 88,3636 kg
B C
Bidang Normal
- 58,9090 kg
Metode Dalil Tiga Momen
A A
29
Darmansyah Tjitradi, MT. Contoh Soal 7:
B
C
EI
Data : Titik A : Jepit
4m
2EI
Titik C : Sendi
A
4m
Karena salah dalam pelaksanaan titik C mengalami translasi kekanan sebesar 10 cm, analisislah gaya-gaya dalam portal diatas dengan Metode Dalil 3 Momen (misal: EI = 17280 kg.m2).
Penyelesaian: Titik C mengalami translasi kekanan sebesar 10 cm Pada perletakan terjepit dapat dianggap sebuah batang dengan perletakan sendi dengan harga I= ~. Jadi portal ABC dapat diekivalenkan dengan portal Ao-A-B-C. h =10 cm h =10 cm B’
B
C
C’
EI 4m
2EI
A
I= ~
Ao 4m Metode Dalil Tiga Momen
30
Darmansyah Tjitradi, MT. Karena pada batang tidak terdapat beban maka luas diagram momen tidak ada. Tinjau bentang Ao-A-B: L L h L L 6 AAoA a1 6 AAB a 2 h MAoA AoA 2 MA AoA AB MB AB 6 1 2 EI AoA LAoA EI AB LAB EI AB EI AoA EI Aoa EI AB LAoA LAB
4 0,10 L L 4 M AoA AoA 2 M A AoA MB 6 0 2EI 4 ~ ~ 2EI
4 MA 2 MB 0,30 EI .................................................................................................. (1) 2
Tinjau bentang A-B-C: L L h L L 6 AAB a1 6 ABC a 2 h MA AB 2 MB AB BC MC BC 6 1 2 EI AB LAB EI BC LBC EI AB EI AB EI BC EI BC LAB LBC
Titik C sendi, maka: MC 0 4 4 4 0,10 MA 0 6 0 2 MB 2 EI 2 EI EI 4
2 MA 12 MB 0,30 EI ................................................................................................. (2) 2 Persamaan (1) dan (2) dibuat dalam format matriks: 0,30 4 2 M A 2 2 12 M 0,30 EI B 2 1 0,30 M A 4 2 2 0,30 EI M 2 12 B 2 0,30 M A 1 12 2 1 2,10 0,30 2 EI EI 44 0,9 M B 44 2 4 2
Metode Dalil Tiga Momen
31
Darmansyah Tjitradi, MT. Jika EI = 17280 kg.m2, maka: MA 824,7276 kg.m MB 353,4544 M BC Vc 4 353,4544 Vc 4
Vc 88,3636 kg
M BA H A 4 M A 353,4544 H A 4 824,7276 H A 294,5455 kg VA VC
VA 88,3636 kg
M BC 353,4544 kg.m
B
EI M BA 353,4544 kg.m
4m
C
HC 294,5455 kg
VC 88,3636 kg
2EI
A HA 294,5455 kg
MA 824,7276 kg.m
4m VA 88,3636 kg
Metode Dalil Tiga Momen
32
Darmansyah Tjitradi, MT.
Gambar Momen, Lintang, dan Normal
+ 353,4544 kg.m + 353,4544 kg.m
B C
Bidang Momen A
+ 294,5455 kg
B
- 824,7276 kg.m
- 88,3636 kg
- 88,3636 kg
C
Bidang Lintang
+ 294,5455 kg
A A + 294,5455 kg
+88,3636 kg
+ 294,5455 kg
B C
Bidang Normal +88,3636 kg
A
Metode Dalil Tiga Momen
33
Darmansyah Tjitradi, MT. Contoh Soal 8:
Sebuah konstruksi portal ABCD dengan tumpuan pada titik B adalah Sendi, dan titik A adalah Jepit. Karena salah dalam pelaksanaan titik A bergeser kekiri sebesar 10 mm. Hitunglah reaksi perletakan dan gambarkan gaya-gaya dalam struktur portal dengan Metode Dalil 3 Momen (EI = 17280 kg.m2). P = 2,0 ton
2EI
C
D
B 2EI
4m
A
4m
2m
Penyelesaian: Struktur portal di modifikasi menjadi 2 bagian, yaitu: 1. Portal akibat beban terpusat saja, titik A tidak bergeser. P = 2,0 ton
B
2E I
C
D 2EI
A
4m
4m
2m
2. Portal akibat pergeseran titik A kekiri sebesar 10 mm, beban luar tidak ada.
B
2E I
C
D 2EI
4m Metode Dalil Tiga Momen
A
4m
2m 34
Darmansyah Tjitradi, MT. 1. Portal akibat beban terpusat saja, titik A tidak bergeser. P = 2,0 ton 2E I
B
C
D 2EI
4m
A
4m
2m
Pada perletakan terjepit dapat dianggap sebuah batang dengan perletakan sendi dengan harga I= ~. Jadi portal ABCD dapat diekivalenkan dengan portal Ao-A-B-C-D. P = 2,0 ton
B
2E I
C
D 2EI
4m
A Lo
I= ~
4m
Metode Dalil Tiga Momen
Ao
2m
35
Darmansyah Tjitradi, MT. Karena pada batang tidak terdapat beban maka luas diagram momen tidak ada. Tinjau bentang B-D-A: MB = 0 (sendi), h1 = h2 = 0 (tidak mengalami deformasi) ABD = ADA = 0, a1 = a2 = 0 (tidak ada beban pada batang) L L L L h 6 ABD a1 6 ADA a 2 h MB BD 2 MDB BD 2 MDA DA MA DA 6 1 2 EI EI EI EI EI L EI L L L BD BD DA DA DA BD BD DA DA BD 4 4 4 2 M DB 2 M DA MA 0 2EI 2EI 2EI
2 MDB 2 MDA MA 0 ..................................................................................................... (1)
Tinjau bentang D-A-Ao: h1 = h2 = 0 (tidak mengalami deformasi) ADA = AAAO = 0, a1 = a2 = 0 (tidak ada beban pada batang) L LAAO L MDA DA 2 MA DA EI DA EI DA EI AAO
LAA O M AA O EI AA O LO 4 4 LO M DA 2 MA M AAO 0 ~ 2EI 2EI ~
h 6 AAAO a 2 h 6 ADA a1 6 1 2 EI DA LDA EI AAO LAAO LDA LAAO
M DA 2 M A 0 ...................................................................................................................... (2)
Pada titik kumpul D: MDB
D
4000 Kg.m
MDA
M
D
0
MDB MDA 4000 0
M DB M DA 4000 .................................................................................................. (3)
Metode Dalil Tiga Momen
36
Darmansyah Tjitradi, MT. Dari persamaan (1) s.d. (3) disusun dalam bentuk matriks: 2 2 1 MDB 0 0 1 2 M 0 DA 1 1 0 MA 4000 1
MDB 2 2 1 0 MDA 0 1 2 0 M 1 1 0 4000 A 3 0 MDB 2 1 12000 1 1 MDA 2 1 4 0 16000 kg.m 7 M 7 8000 1 4 2 A 4000
Metode Dalil Tiga Momen
37
Darmansyah Tjitradi, MT. 2. Portal akibat pergeseran titik A kekiri sebesar 10 mm, beban luar tidak ada.
2E I
B
C
D 2EI
4m
A
4m
2m
Pada perletakan terjepit dapat dianggap sebuah batang dengan perletakan sendi dengan harga I= ~. Jadi portal ABCD dapat diekivalenkan dengan portal Ao-A-B-C-D.
2E I
B
C
D 2EI
A’
0,01 m
4m
A Lo
I= ~
4m
Metode Dalil Tiga Momen
Ao
2m
38
Darmansyah Tjitradi, MT. Karena pada batang tidak terdapat beban maka luas diagram momen tidak ada. Tinjau bentang B-D-A: MB = 0 (sendi), ABD = ADA = 0, a1 = a2 = 0 (tidak ada beban pada batang) L L L h L 6 ABD a1 6 ADA a 2 h MB BD 2 MD BD DA MA DA 6 1 2 EI EI EI EI EI L EI L L L DA BD BD DA DA DA BD BD DA BD 4 0,01 4 4 2 MD MA 6 0 4 2EI 2EI 2EI
8 M D 2 M A 0,015 EI .................................................................................................. (1)
Tinjau bentang D-A-Ao: ADA = AAAO = 0, a1 = a2 = 0 (tidak ada beban pada batang) LAA h 6 ADA a1 6 AAAO a 2 h O M 6 1 2 AA O EI AA EI DA LDA EI AAO LAAO LDA LAAO O L 4 4 L 0,01 MD O M AAO O 6 0 2 MA ~ 2EI 2EI ~ 4
L LAAO L MD DA 2 MA DA EI DA EI AA EI DA O
2 M DA 4 M A 0,015 EI .................................................................................................... (2)
Persamaan (1) dan (2) dibuat dalam format matriks: 8 2 MD 0,015 2 4 M 0,015 EI A 1
MD 8 2 0,015 EI MA 2 4 0,015 MD 1 4 2 0,015 1 0,045 EI EI 14 0,075 MA 28 2 8 0,015
Jika EI = 17280 kg.m2, maka: MD 1 0,045 8640 0,045 17280 kg.m 7 0,075 MA 14 0,075
atau MDB 0,045 8640 M DA 0,045 kg.m 7 M 0,075 A
Metode Dalil Tiga Momen
39
Darmansyah Tjitradi, MT. Momen akibat beban luar: MDB 12000 1 MDA 16000 kg.m 7 M 8000 A
Momen akibat pergeseran titik A: MDB 0,045 8640 0,045 kg.m MDA 7 M A 0,075
Momen total akibat beban luar dan pergeseran tumpuan A: MDB 12000 0,045 12388,80 1769,8285714 1 8640 1 0,045 15611,20 2230,1714286 kg.m MDA 16000 7 7 7 M 8000 0,075 7352 1050,2857143 A
VB
MDB 1769,8285714 442,4571429 kg LDB 4
VA VB P
HA
1769,8285714 2000 2442,4571429 kg 4
MDA MA 15611,20 7352 22963,20 820,1142857 kg LDA LDA 28 28 28
HB HA 820,1142857 kg
1769,828 kg.m
4000 kg.m
P = 2,0 ton
HB = 820,114 kg 2EI B VB = 442,457 kg
C
D
2230,171 kg.m
2EI
4m
A HA = 820,114 kg MA = 1050,286 kg.m VA = 2442,457 kg 4m
Metode Dalil Tiga Momen
2m
40
Darmansyah Tjitradi, MT.
Gambar Momen, Lintang, dan Normal - 4000 kg.m - 1769,828 kg.m
B D
+2230,171 kg.m
C
Bidang Momen
A - 1050,286 kg.m
+ 2000 kg
B - 442,457 kg
+ 2000 kg
D
C - 820,114 kg
- 442,457 kg
Bidang Lintang A
+ 820,114 kg
- 820,114 kg
+ 820,114 kg
C B
D
- 2442,457 kg
A
- 2442,457 kg
Bidang Normal
Metode Dalil Tiga Momen
41
Darmansyah Tjitradi, MT. Contoh Soal 9:
Sebuah konstruksi portal ABC dengan tumpuan pada titik A adalah Jepit, dan titik C adalah Roll. Karena salah dalam pelaksanaan titik A mengalami penurunan sebesar 10 mm. Hitunglah reaksi perletakan dan gambarkan gaya-gaya dalam struktur portal dengan Metode Dalil 3 Momen (EI = 17280 kg.m2). B
EI C 2EI
4m
A
4m
Penyelesaian: Pada perletakan terjepit dapat dianggap sebuah batang dengan perletakan sendi dengan harga I= ~. Jadi portal ABC dapat diekivalenkan dengan portal Ao-A-B-C.
B
EI
0,01 m 2EI
C
B’
C 4m
A 0,01 m A’
I=~
Ao
Metode Dalil Tiga Momen
Lo
4m
42
Darmansyah Tjitradi, MT. Karena pada batang tidak terdapat beban maka luas diagram momen tidak ada. Tinjau bentang Ao-A-B: ABD = ADA = 0, a1 = a2 = 0 (tidak ada beban pada batang) L L h L L 6 AAoA a1 6 AAB a 2 h MAoA AoA 2 MA AoA AB MBA AB 6 1 2 EI AoA LAoA EI AB LAB EI AB EI AoA EI AoA EI AB LAoA LAB 4 L L 4 M AoA o 2 M A o M BA 6 0 ~ ~ 2 EI 2 EI 4
8 M A 4 M BA 3 EI 0 ............................................................................................... (1)
Tinjau bentang A-B-C: ADA = AAAO = 0, a1 = a2 = 0 (tidak ada beban pada batang) L L h L L 6 AAB a1 6 ABC a 2 h MA AB 2 MBA BA 2 MBC BC MC BC 6 1 2 EI EI EI EI EI L EI L L L AB AB BC BC BC AB BA BC BC AB 4 4 4 0,01 MA 2 M BA 2 M BC 0 6 4 2EI 2EI 2EI 4
4M A 8 M BA 16 M BC 3 EI 0,03 EI ........................................................................ (2)
Pada titik kumpul B: MBC
B
MBA
M
B
0
M BA M BC 0 .................................................................................................................. (3)
Metode Dalil Tiga Momen
43
Darmansyah Tjitradi, MT.
Freebody AB:
MB 0
HBA
HAB 4 MA MBA 0 HAB
B MBA
M MBA A 4
4,0 m
Kontrol seluruh konstruksi:
MA HAB
H 0
A
HAB 0 MA MBA 0 4 MA MBA 0 ...................................................................................................................... (4)
Persamaan (1) dan (4) dibuat dalam format matriks: 8 4 0 3 M A 0 4 8 16 3 M 0,03 BA EI 0 1 1 0 M BC 0 1 1 0 0 EI 0
MA 8 4 M 4 8 BA MBC 0 1 EI 1 1
1
0 3 0 16 3 0,03 EI 1 0 0 0 0 0 1
M A 8 4 0 3 0 0,00075 M 4 8 16 3 0,03 0,00075 BA EI EI M 0 1 1 0 0 0 , 00075 BC EI 1 1 0 0 0 0,003
Jika EI = 17280 kg.m2, maka: M A 0,00075 12,960 M 0,00075 12,960 BA 17280 M BC 0,00075 12,960 EI 0,003 51,840
Pergeseran akibat goyangan: EI 51,840 0,003 m
Metode Dalil Tiga Momen
44
Darmansyah Tjitradi, MT. = 0,003 m B
= 0,003 m EI
0,01 m
C C
B’
2EI
4m
A 0,01 m A’ 4m 12,96 kg.m B
EI
C
12,96 kg.m 2EI
VC = 3,24 kg
4m
HA = 0 A MA = 12,96 kg.m VA = 3,24 kg 4m M BC VC 4 VC
M BC 12,96 3,24 kg 4 4
VBC VC 3,24 kg
V 0
VA VC 3,24 kg
H 0 HA 0
Metode Dalil Tiga Momen
45
Darmansyah Tjitradi, MT.
Gambar Momen, Lintang, dan Normal + 12,96 kg.m + 12,96 kg.m
B
C
Bidang Momen
A + 12,96 kg.m
- 3,24 kg
B
- 3,24 kg
C
Bidang Lintang
A
+3,24 kg
B
C
Bidang Normal
A +3,24 kg
Metode Dalil Tiga Momen
46
Darmansyah Tjitradi, MT.
SOLUSI SOFTWARE GRASP VERSION 1.0
Satuan : Bidang Momen : Kg.m, Lintang : kg, Normal: kg Metode Dalil Tiga Momen
47
Darmansyah Tjitradi, MT.
Soal-soal latihan: Analisislah gaya-gaya dalam balok menerus dibawah dengan Dalil Tiga Momen!
Soal 1: P = 16 t
q = 4 t/m
EI
EI A
C
B 5m
1,5 m
1,5 m
Soal 2: P = 10 t
P = 7,5 t EI
EI A
EI
B 2m
q = 2 t/m
3m
D
C 1,0 m
2,0 m
4,0 m
Soal 3: M = 15 tm 4 EI
5 EI
4 EI C
B
A 4,0 m
D 4,0 m
5,0 m
Soal 4: P=5t
E 3,0 m
2 EI
2,5 EI C
B
A 4,0 m Metode Dalil Tiga Momen
2 EI
5,0 m
D 4,0 m 48
