Metode Gauss Jordan [PDF]

Citation preview

Metode Gauss Jordan Eliminasi Gauss Penjelasan Eliminasi Gauss adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi. Dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut. Kelebihan dan Kekurangan Metode ini digunakan dalam analisis numerik untuk meminimalkan mengisi selama eliminasi, dengan beberapa tahap Keuntungan : – menentukan apakah sistem konsisten – menghilangkan kebutuhan untuk menulis ulang variabel setiap langka – ebih mudah untuk memecahkan kelemahan : – memiliki masalah akurasi saat pembulatan desimal Contoh Soal : Diketahui persamaan linear x + 2y + z = 6 x + 3y + 2z = 9 2x + y + 2z = 12 Tentukan Nilai x, y dan z Jawab: Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks: 1 2 1 6 1 3 2 9 2 1 2 12 Operasikan Matriks nya: 1 2 1 6 0 1 1 3 2 1 2 1 Baris ke-2 dikurangi baris ke-1



1 2 1 6 0 1 1 3 0 -3 0 0



Baris ke-3 dikurangi 2 kali baris ke-1



1 1 1 6 0 1 1 3 0 0 3 9



Baris ke-3 ditambah 3 kali baris ke-2



1 2 1 6 0 1 1 3 0 0 1 3



Baris ke-3 dibagi dengan 3



Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu x + 2y + z = 6 y+z=3 z=3



Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan: y+z=3 y+3=3 y=0 x + 2y + z = 6 x+0+3=6 x=3 Jadi nilai dari x = 3 , y = 0 ,dan z = 3 Eliminasi Gauss-Jordan Penjelasan Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier adalah metode eliminasi Gauss-Jordan. Metode ini diberi nama Gauss-Jordan untuk menghormati CarlFriedrich Gauss dan Wilhelm Jordan. Metode ini sebenarnya adalah modifikasi dari metode eliminasi Gauss, yang dijelaskan oleh Jordan di tahun 1887. Metode Gauss-Jordan ini menghasilkan matriks dengan bentuk baris eselon yang tereduksi(reduced row echelon form), sementara eliminasi Gauss hanya menghasilkan matriks sampai padabentuk baris eselon (row echelon form). Selain untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, metode eliminasi Gauss-Jordan ini dapat Metode Eliminasi Gauss : metode yang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkanatau mengurangi jumlah variable sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable yang bebas. Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana lagi. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Metode ini digunakan untuk mencari invers dari sebuah matriks. Prosedur umum untuk metode eliminasi Gauss-Jordan ini adalah 1. Ubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi. 2. Lakukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi (A|b) untuk mengubah matriks A menjadi da