Metode Leap Frog [PDF]

Citation preview

1. Persamaan Pembangun Persamaan adveksi 1 dimensi yang digunakan: ∂F ∂t



=-u



∂F ∂t



Dimnaa F nebggambarkan konsentrasi suatu zat terlarut , u kecepatan, t waktu, dan x adalah arah sumbu horizontal. 1.1 Metode Leap Frog Berdasarkan persamaan adveksi 1 dimensi, dapat diselesaikan dengan pendekatan beda hingga. Dalam metode Leap-Frog, apabila indeks n untuk waktu, i untuk ruang, dan u konstan, persamaan adveksi 1 dimensi dapat didiskritisasi menjadi: 𝐹𝑖𝑛+1 − 𝐹𝑖𝑛−1 ∆t



=-u



𝐹𝑖𝑛+1 − 𝐹𝑖𝑛−1 = - u 𝐹𝑖𝑛+1 = 𝐹𝑖𝑛−1 − 𝑢 𝐹𝑖𝑛+1 = 𝐹𝑖𝑛−1 − 𝑢



∆t ∆x



∆t ∆x



∆t ∆x



𝑛 𝑛 𝐹𝑖+1 − 𝐹𝑖−1



∆x 𝑛 𝑛 (𝐹𝑖+1 − 𝐹𝑖−1 ) 𝑛 𝑛 (𝐹𝑖+1 − 𝐹𝑖−1 )



𝑛 𝐹𝑖+1 +𝑢



∆t ∆x



𝑛 𝐹𝑖−1



Pada n = 0; 𝑛 𝑛 𝐹𝑖𝑛+1 − 𝐹𝑖𝑛 𝐹𝑖+1 − 𝐹𝑖−1 = −𝑢 ∆t 2∆x 0 0 𝐹𝑖1 − 𝐹𝑖0 𝐹𝑖+1 − 𝐹𝑖−1 = −𝑢 ∆t 2∆x u∆t 0 u∆t 0 𝐹𝑖1 = 𝐹𝑖−1 + 𝐹𝑖0 − 𝐹 2∆x 2∆x 𝑖+1 u∆t 0 u∆t 0 𝐹𝑖1 = 𝐹𝑖0 − ( 𝐹𝑖+1 + 𝐹 ) 2∆x 2∆x 𝑖−1 u∆t 0 0 𝐹𝑖1 = 𝐹𝑖0 − (𝐹𝑖+1 + 𝐹𝑖−1 ) 2∆x



1.2. Metode Upstream Pada metode ini digunakan pendekatan beda maju untuk turunan terhadap waktu sedangkan untuk turunan ruang dilakukan dengan melihat arah kecepatan u. jika u > 0 turunan terhadap ruang menggunakan pendekatan beda mundur. Sebaliknya, jika u < 0



maka digunakan pendekatan beda maju. Persamaan adveksi 1 dimensi, dapat didiskritisasi menjadi: Jika u > 0 𝑛 𝐹𝑖𝑛+1 − 𝐹𝑖𝑛 𝐹𝑖𝑛 − 𝐹𝑖−1 = −𝑢 ∆t ∆x



𝐹𝑖𝑛+1 − 𝐹𝑖𝑛 = − 𝐹𝑖𝑛+1 = 𝐹𝑖𝑛 − 𝐹𝑖𝑛+1 = (1−



u∆t ∆x



u∆t ∆x



𝑛 (𝐹𝑖𝑛 + 𝐹𝑖−1 )



𝑛 (𝐹𝑖𝑛 + 𝐹𝑖−1 )



u∆t )𝐹𝑖𝑛 ∆x



+



u∆t ∆x



𝑛 𝐹𝑖−1 )



Jika u< 0 𝑛 𝐹𝑖𝑛+1 − 𝐹𝑖𝑛 𝐹𝑖+1 − 𝐹𝑖𝑛 = −𝑢 ∆t ∆x 𝑢∆t 𝑛 𝐹𝑖𝑛+1 − 𝐹𝑖𝑛 = − (𝐹𝑖+1 − 𝐹𝑖𝑛 ) ∆x 𝑢∆t 𝑛 𝐹𝑖𝑛+1 = 𝐹𝑖𝑛 − (𝐹𝑖+1 − 𝐹𝑖𝑛 ) ∆x 𝑢∆t 𝑢∆t 𝑛 𝐹𝑖𝑛+1 = (1 − ) 𝐹𝑖𝑛 − 𝐹 ∆x ∆x 𝑖+1



1.3. Metode Crank-Nicholson Metode ini menggunakan beda maju untuk turunan terhadap waktu dan beda pusat untuk turunan terhadap ruang, namun dnegan rata rata terhadap waktu. Persamaan adveksi 1 dimensi dapat didiskritisasi menjadi: 𝑛+1 𝑛+1 𝑛 𝑛 𝐹𝑖𝑛+1 − 𝐹𝑖𝑛 1 𝐹𝑖+1 − 𝐹𝑖−1 𝐹𝑖+1 𝐹𝑖−1 = − (𝑢 +𝑢 ) ∆t 2 2∆x ∆x 𝑛+1 𝑛+1 𝑛 𝑛 −𝜆 𝐹𝑖−1 + 𝐹𝑖𝑛+1 + 𝜆 𝐹𝑖+1 = 𝜆 𝐹𝑖−1 + 𝐹𝑖𝑛 − 𝜆𝐹𝑖+1



2. Diagram Alir 2.1. Metode Leap-Frog START A l,dx,dt,u1,t,ktr



f(n,i)



nmax=l/dt imax=l/dx lamda2=(u1*dt)/dx lamda1=(u1*dt)/(2*dx)



END



i=1:imax



F(1,i)=0



n=1:nmax-1



F(n+1,1)=ktr



n>=



N O



YE S i=2:imax-1



f(n+1,i)=f(n-1,i)-(lamda2*(f(n,i+1)-f(n,i-1)))



F(n+1,imax)=f(n+1,imax-1)



A



i=2:imax-1



f(n+1,i)=f(n-1,i)-(lamda2*(f(n,i+1)-f(n,i-1)))



2.2 Metode Upstream



A



START



l,dx,dt,u1,t,ktr



nmax=l/dt imax=l/dx lamda2=(u1*dt)/dx



F(n,i)



END



i=1:im ax F(1,i)=0



u1>0



n=2:nmax1



n=2:nmax1



F(n,1)=ktr



F(n,imax)=k tr



i=2:imax-1



i=2:imax-1



f(n+1,i)=f(n,1)-(lamda1*(f(n,i)-f(n,i-1)))



f(n+1,i)=f(n,1)-(lamda1*(f(n,i)-f(n,i-1)))



F(n+1,imax)=f(n+1,imax-1)



F(n+1,imax)=f(n+1,imax-1)



F(nmax,1)=ktr



F(nmax,imax)=ktr



A



2.3 Metode Crank-Nicholson



3. Analisis



3.1 Leap-frog a. Analisis 1 



Input parameter: panjang kanal (L)=2000, lebar grid (Δx)=100, langkah waktu (Δt)=2.0, kecepatan (u)=0.5, lama simulasi (t)=200, dan konsentrasi sumber (TKr)=100



b. Analisis 2 



Input parameter: panjang kanal (L)=200, lebar grid (Δx)=20, langkah waktu (Δt)=2.0, kecepatan (u)=0.5, lama simulasi (t)=200, dan konsentrasi sumber (TKr)=100



c. Analisis 3 



Input parameter: panjang kanal (L)=200, lebar grid (Δx)=20, langkah waktu (Δt)=2.0, kecepatan (u)=0.5, lama simulasi (t)=200, dan konsentrasi sumber (TKr)=100



d. Poin analisis : metode leap frog memiliki syarat kestabilan yang harus dipenuhi yaitu nilai lamda harus lebih kecil atau sama dengan 1,0. Dapat dilihat pada grafik hasil simulasi,bahwa masih terdapat penyebaran polutan di sisi grid lain.



3.2 Upstream a. Analisis 1 



Input parameter: panjang kanal (L)=2000, lebar grid (Δx)=100, langkah waktu (Δt)=2.0, kecepatan (u)=0.5, lama simulasi (t)=200, dan konsentrasi sumber (TKr)=100



b. Analisis 2 



Input parameter: panjang kanal (L)=200, lebar grid (Δx)=20, langkah waktu (Δt)=2.0, kecepatan (u)=0.5, lama simulasi (t)=200, dan konsentrasi sumber (TKr)=100



c. Analisis 3







Input parameter: panjang kanal (L)=200, lebar grid (Δx)=20, langkah waktu (Δt)=2.0, kecepatan (u)=0.5, lama simulasi (t)=200, dan konsentrasi sumber (TKr)=100



d. Poin analisis : dalam simulasi menggunakan metode upstream memiliki pendekatan yang berbeda untuk arah kecepatan yang berbeda. Berbeda dengan metode Leap-frog sehingga perembesan ke arah sebaliknya dari arah kecepatan persebaran polutan tidak terjadi. metode upstream menggunakan pedekatan beda maju dan mundur secara terpisah.



3.3 Crank Nicholson a. Analisis 1 



Input parameter: panjang kanal (L)=2000, lebar grid (Δx)=100, langkah waktu (Δt)=2.0, kecepatan (u)=0.5, lama simulasi (t)=200, dan konsentrasi sumber (TKr)=100



b. Analisis 2 



Input parameter: panjang kanal (L)=200, lebar grid (Δx)=20, langkah waktu (Δt)=2.0, kecepatan (u)=0.5, lama simulasi (t)=200, dan konsentrasi sumber (TKr)=100



c. Analisis 3 



Input parameter: panjang kanal (L)=200, lebar grid (Δx)=20, langkah waktu (Δt)=2.0, kecepatan (u)=0.5, lama simulasi (t)=200, dan konsentrasi sumber (TKr)=100



d. Poin analisis: diantara 2 metode sebelumnya, metode ini paling stabil karena analisis program akan mengakibatkan nilai total konsentrasi polutan berkurang terhadap waktu. Kalaupun ada nilai pertambahan konsentrasi polutan, tidak sebesar metode lain. Ini karena metode Crank Nicholson menghilangkan ketergantungan terhadap syarat kestabilan, metode ini menggunakan metode implisit dimana turunan kedua fungsi turunan kedua fungsi didekati dengan harga harga rata-rata pada langkah ke n+1 dan ke n.



4. Kesimpulan



1. Metode eksplisit leap-frog merupakan metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan adveksi 1 dimensi dengan pendekatan beda pusat untuk turunan waktu dan ruang. Metode ini merupakan metode pendekatan numerik yang paling tidak stabil karena saat simulasi terdapat penyebaran polutan di sisi lain yang tidak masuk akal dengan kondisi real. 2. Metode eksplisit Upstream memiliki pendekatan yang berbeda untuk arah kecepatan yang berbeda. Dalam metode ini simulasi tidak akan menyebabkan perembesan polutan kearah sebaliknya seperti pada metode Leap-frog, namun akumulasi polutan akan lebih besar seiring waktu dari konsentrasi awal polutan. 3. Metode implisit Crank Nicholson merupakan metode yang paling stabil. Metode ini melengkapi kelemahan dari metode eksplisit yaitu adanya syarat batas yang haarus dipenuhi. Metode ini menggunakan beda maju dan beda pusat untuk turunan terhadap waktu dan turunan terhadap ruang.



Referensi Muliddin. (2005). Penuntun Praktikum Pemodelan Oseanografi. Kendari: Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.