Metode Pias Kaidah Segi Empat [PDF]

Citation preview

METODE PIAS KAIDAH SEGI EMPAT Erlinda Taufik Hidayat Yudhistia Chandra Pramesti Wiko Agung Prasetyo



REQUIREMENTS Perhatian !!! Anda harus telah menguasai Integral Tentu dan Integral Tak Tentu sebagai syarat utama sebelum memahami dan melanjutkan materi ini



INTEGRASI NUMERIK



Kaidah Metode Integrasi Numerik terbagi atas 3 macam, yaitu: Metode Pias, Newton-Cotes dan Kuadratur Gauss.



INTEGRASI NUMERIK Di dalam Kalkulus, terdapat dua hal penting yaitu integral dan turunan. Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik



Salah satu alat atau cara yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) adalah dengan menggunakan Metode Pias Kaidah Segi Empat



Tahukah Anda Apa itu Metode Pias ?



METODE PIAS Metode pias adalah daerah integrasi dibagi atas sejumlah pias (strip) yang berbentuk segi empat. Luas daerah integrasi dihampiri dengan luas seluruh pias.



Kaidah integrasi numerik yang dapat diturunkan dengan metode pias adalah: 1. Kaidah segi empat (rectangle rule) 2. Kaidah trapesium (trapezoidal rule) 3. Kaidah titik tengah (midpoint rule)



Presentasi kali ini akan membahas salah satu Metode Integrasi Numerik, yaitu Metode Pias Segi Empat



METODE PIAS KAIDAH SEGI EMPAT



Pandang sebuah pias berbentuk empat persegi panjang dari x = x0 sampai x = x1 berikut.



Luas satu pias adalah (tinggi pias = f(x0)).



atau (bila tinggi pias = f(x1))



Perhitungan nilai Metode Pias Kaidah Segi Empat dapat menggunakan Metode Integral Riemann atau sering disebut dengan Jumlah Riemann.



Tahukah Anda Apa itu Metode Integral Riemann ?



METODE INTEGRAL RIEMANN (1) 1.Luasan yang dibatasi y= f(x) dan sumbu x 2.Luasan dibagi menjadi n bagian pada range x=[a,b] 3.Kemudian dihitung Li : luas setiap persegi panjang dimana Li=f (xi)



METODE INTEGRAL RIEMANN (2) Luas keseluruhan adalah jumlah Li dan dituliskan:



●



Li = L0+L1+L2+...+Ln = f (x0) Δx0 + f (x1) Δx1 + f (x2) Δx2 +...+ f (xn) Δxn = Dimana Δx0 = Δx1 = Δx2 = Δx3 = h



●



Sehingga didapat



●



METODE INTEGRAL RIEMANN (3) Misalkan f : [a,b] --> R kontinu kecuali di sejumlah terhingga titik dan terbatas. Bagi selang [a,b] atas n selang bagian (tak perlu sama panjang), sebutlah titik titik pembaginya. a = x0 < x1 < x2 < ... < xn-1 < xn = b



METODE INTEGRAL RIEMANN (4) Himpunan titik-titik tersebut disebut sebagai partisi dari [a, b]. Untuk i=1,..., n, tulis Δxi = xi – xi-1 = lebar selang bagian ke-i)



METODE INTEGRAL RIEMANN (5) Dari tiap selang bagian, pilih titik ti . Є . [xi-1, xi], sembarang. Lalu bentuk penjumlahan berikut dengan indeks i berjalan dari 1 hingga n. Bentuk ini dikenal sebagai Jumlah Riemann untuk f terhadap partisi P={a=xo, x1, ..., xn-1, xn=b} dan titik-titik ti



METODE INTEGRAL RIEMANN (6) Contoh Misalkan f(x) = x2, x є [0,1], P={0, 1/3, 3/4, 1} dan t1=1/3, t2=1/2, t3=7/8 Maka Jumlah Riemann untuk f terhadap partisi P dan titik-titik ti adalah...



Jawab Rumus umum Jumlah Riemann adalah dimana f (ti) = f (x) = x2. Sehingga, dapat disimpulkan bahwa Jumlah Riemann untuk f terhadap partisi P dan titik-titik ti adalah R p=f (t i) Δx i. Dimana Δxi = xi – xi-1 L i = L 0+L 1+L 2+...+L n = f (x0) Δx0 + f (x1) Δx1 + f (x2) Δx2 +...+ f (xn) Δxn



Rp=f (1/3)2 . 1/3 + f (1/2)2 . (3/4 - 1/3) + f (7/8)2 . (1- 3/4) =((1/9) (1/3)) + ((1/4) (5/12)) + ((49/64) (1/4)) =1/27 + 5/48 + 49/256 = 0,33261 = 0,333



Secara kalkulus:



●



Terdapat kesalahan,



●



e = | 0,33333–0,33261 | = 0,00072



METODE INTEGRAL RIEMANN (7) Contoh Hitung luas yang dibatasi y = x2 dan sumbu x untuk range x = [0,1]



Jawab Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel



=0.1(0+0.01+0.04+0.09+0.16+0.25+0.36+ 0.49+0.64+0.81+1) =(0.1)(3.85) = 0.385



Secara kalkulus :



●



Terdapat kesalahan,



●



e = |0,385-0,333| = 0,052



ALGORITMA METODE INTEGRAL RIEMANN 1.Definisikan fungsi f (x) 2.Tentukan batas bawah dan atas 3.Tentukan jumlah pembagi area n 4.Hitung