Model Transportasi Metode MODI [PDF]

Citation preview

A1



A1



A2



A1



A3



A



A3



vj



A3 b1



T1



x120



50



T1



A2



bj2



T1



bj



120



T2



50



50



T2



x 120



x



x



200 200



80



x 30 150



200 200 100 100



80 10 130



X11



100



vv11==50 0



T3 X



100



T3 X



10090 X13



300 200



200 100 100 X130 22 150



X3021 X31



X12



T2



v2 = 100 150



300 X



90



T3 100



200 210X 33



150



210



120



170 50 160 u = 100 3



200 90 300 300



120 ui1==00 170 u32 = 200 150



200



300



aai j 120



100



vv33==50 0



100 150X32



a1



100



200



300 200 X23X 210



ai



450160



90



170 TUGAS



450160



90



450



METODE KUANTITATIF DALAM BISNIS



“METODE TRANSPORTASI”



Disusun oleh : Windy Khanya Wardhani



1701120522



Rita Adistira



1701120528



Virginia Septiani Putri



1701120521



Dini Mardiani



1701120514



Tahun Ajaran



1



2019/2020



BAB I



2



PENDAHULUAN Metode Transportasi adalah suatu metode yang digunakan untuk mengatur distribusi dari sumber – sumber yang menyediakan produk – produk yang sama di tempat- tempat yang membutuhkan secara optimal. Alokasi produk ini harus diatur sedemikian rupa karena terdapat perbedaan biaya transportasi (alokasi) dari suatu sumber ke beberapa tujuan yang berbeda – beda dan dari beberapa sumber ke suatu tujuan juga berbeda – beda. Metode transportasi tidak hanya digunakan dalam pendistribusian barang (komoditas) dari daerah sumber menuju daerah tujuan. Metode transportasi juga dapat digunakan dalam mengoptimalkan sistem produksi dan perencanaan produksi. Data yang dibutuhkan dalam metode transportasi adalah : 1. Level suplai setiap daerah sumber dan level permintaan pada setiap daerah tujuan untuk kasus pendistribusian barang, jumlah produksi dan jumlah permintaan (kapasitas inventor) pada kasus perencanaan produksi. 2. Biaya transportasi per unit komoditas dari setiap daerah sumber menuju berbagai daerah tujuan pada kasus pendistribusian, biaya produksi dan inventori per unit pada kasus perencanaan produksi. Ada tiga macam metode dalam metode transportasi: 1. Metode Stepping Stone 2. Metode Modi(ModifiedDistribution) 3. MetodeVAM (Vogel’sApproximationMethod)



Pada makalah ini hanya akan dibahas mengenai metode transportasi dengan metode Modi.



BAB II



3



PEMBAHASAN Metode “modi” merupakan singkatan dari “modified distribution method” sebenarnya sama dengan metode metode batu loncatan atau “stepping stone method” yang sudah dipergunakan untuk memecahkan persoalan transportasi. Metode modi memberikan cara yang lebih efisien di dalam menghitung Zij-Cij dari semua cell bukan basis. Nilai Zij-Cij disebut nilai yang menunjukkan besarnya jumlah penurunan biaya apabila ada satu satuan barang yang diangkut dari tempat asal i ke tempat tujuan j. Telah ditunjukkan sebelumnya bahwa dengan metode batu loncatan kita hitung nilai Zij-Cij dari semua cell bukan basis, dengan jalan membuat suatu jalan tertutup atau “closedpath yang disebut juga “loop”. Kemudian kita pilih cell dengan nilai Zij-Cij terbesar, cell ini yang akan masuk ke basis di dalam pemecahan selanjutnya. Di dalam metode MODI, perhitungan nilai Zij-Cij tidak menggunakan jalur tertutup. Untuk ilustrasi penggunaan metode MODI kita pergunakan tabel : Tabel 1 K



K1



K2



K3



L1



L2



L3



B L B1



P P1



(56)



B2



P2



(16)



(66)



B3 d



P3 d



72



(36) 102



c11 = 4, c12 =8, c13 =8 c21 = 16,c22 = 24 , c23 = 16



4



S 56 82



(41) 41



77 215



c31 = 8, c32 = 16, c33=24 Z(1) Di dalam tabel 1 kita beri tambahan 1 baris untuk menunjukkan nilai pada setiap kolom yaitu K1 , K2 ,K3 dan 1 kolom untuk menunjukkan nilai pada setiap baris yaitu B1, B2, B3 . Bi+Kj= Cij= besarnya biaya angkut per satuan barang kalau diangkut dari Pi ke LJ (i=j= 1,2,3) B1+ K1 =C = 4 , B2+ K1 = c21 = 16, B3+K2 = c32 = 16 dan seterusnya. Nilai Bidan Kj yang kita perhatikan hanya dari cell basis yang jumlahnya = m+n -1 = 3+3-1=5 m= banyaknya baris (tempat asal) dan n = banyaknya tempat tujuan. Dari tabel 1 dapat dilihat cell basis ialah : (1,1), (2,1), (2,2), (3,3). Dengan demikian dapat dibentuk 5 persamaan sebagai berikut: 1. B1 + K1 = c11 = 4 2. B2+ K1= c12=16 3. B2+K2 =c22=24 4. B3+K2=c32=16 5. B3+K3=c33 =24



Ternyata ada 6 nilai variabel dari persamaan tersebut, yaitu B1,B2,B3,K1,K2,K3. Kita tidak dapat memperoleh nilai dari 6 variabel tersebut sekaligus, karena hanya ada 5 persamaan. Maka dari itu salah satu variabel harus kita beri nol, misalnya B1=0. Bisa juga variabel lainnya yang diberi nilai nol. 1.



B1 =0 →B1+K1 =4→ 0+K1=4→K1=4



2.



B2+ 4= 16→B2=12



3.



12+K2=24→K2=12



4.



B3+12=16→B3=4



5.



4+K3=24→K3=20 (Nilai B dan K ini bisa 0,0).



Nilai-nilai B dan K ini, kemudian kita masukkan dalam tabel 1 di atas. K



5



K1=4



K2=12



K3=20



B L



L1



L2



L3



S



B1



P P1



(56)



4



12



56



B2



P2



(16)



(66)



16



82



B3



P3 d



0 72



(36) 102



(41) 41



77 215



TABEL 1a. Menunjukkan pemecahan dasar awal yang fisibel dengan semua nilai B dan K. Seperti yang sudah-sudah untuk menentukan cell yang mana yang harus masuk ke basis dalam pemecahan berikutnya harus dihitung terlebih dahulu indeks perbaikan atau” improvementindex”. Dengan menggunakan “stepping stone method” kita hitung z ij-cij akan tetapi dengan menggunakan metode modi caranya lain. Rumus indeks perbaikan menurut metode MODI : Bi+Kj-cij sebagai pengganti zij-cij Apabila semua nilai indeks perbaikan sudah 0 atau negatif (≤0), pemecahan sudah optimal, akan tetapi kalau masih ada yang positif (>0), pemecahan masih diteruskan sampai tercapai pemecahan yang optimal. B1+K2-c12 = 0+12-8= 4, B1+K3-c13 = 0+20-8 =12 B2+K3-c23 = 12+20-6=16, B3+K1-c31= 4+4-8=0 Cell yang mempunyai indeks perbaikan terbesar ialah cell (23). Jalur tertutup dari cell ini : c22-c32+c33-c23 X22=66, x33=41→ x’23=41, x’32=36+41=77, x’22=66-41=25. Jadi untuk menentukan nilai dalam setiap cell pada tabel berikutnya sama seperti dalam metode batu loncatan. Perbedaan antara metode MODI



6



dengan metode batu loncatan ialah hanya pada penentuan nilai zij-cij sebagai indek perbaikan. TABEL 2 K



K1= 4



K2=12



K3 =4



L1



L2



L3



S



B L B1=0



P P1



(56)



4



-4



56



B2=12



P2



(16)



(25)



(41 )



82



B3=4



P3



0



(77)



d



72



102



77 -16 41



Z(2) = 4(56)+ 16(16) +24(25) +16(41) +16(77) =224+256+600+656+1232=2968 Kita hitung Bi dan Kj dari setiap cell (11),(21),(22),(23),dan (32). 1.



B1+K1 = c11→ B1 =0 → K1=4



2.



B2+K1 =c21→ B2 +4 =16→B2=12



3.



B2+K2=c22→12+K2=24→K2=12



4.



B2+K3=c23→ 12+K3=16→K3=4



5.



B3+K2=c32→ B3+12 =16→B3=4



B1+K2-C12=0+12-8=4, B1+K3-C13 =0+4-8 =-4 B3+K1-C31=4+4-8=0,B3+K3-C33 =4+4-24=-16 Cell (12) mempunyai nilai indek perbaikan terbesar, dengan jalur tertutup: C11-c21+c22-c12→x11= 56, x22=25, x’12=x22=25,x’11=5625=31,x’21=16+25=41



7



21 5



TABEL.3 K B



K1=4



K2=12



K3=20



L1 (31)



L2 (25)



L3



B1=0



P P1



B2=12



P2



(41)



B3=8



P3 d



s



L



4 72



-4 -4



(77) 102



(41) -12 41



56 82 77 215



Z(3) = 4(31)+8(25)+16(41)+16(41)+16(77) = 124+200+656+656+1232=2868



1.



B1+K1 = c11→0+K1 =4 → K1=4



2.



B2+K1 =c21→ 0+K2 =8→K2=12



3.



B2+K2=c22→B2+4=16→K2=12



4.



B2+K3=c23→ 12+K3=16→K3=4



5.



B3+K2=c32→ B3+8 =16→B3=8



B1+K3-c12=0+4-8=-4, B2+K2-C22 =12+8-24 =-4 B3+K1-C31=8+4-8=4,B3+K3-c33 =8+4-24=--12 Cell (31) mempunyai indeks perbaikan terbesar dengan jalur tertutup : C11-c21+c32-c31 →x11= 31, x32=77, x’31=31, x’12=25+31=56,x’ 32=77-31=46 TABEL 4 K B



K1=4



K2=12



K3=20



L1 (31)



L2 (25)



L3



s



L B1=0



8



P P1



-4



56



B2=12



P2



B3=8



P3 d



(41) 4 72



-4 (77) 102



(41) -12 41



82 77 215



Z(4) = 8(56)+16(41)+16(41)+8(31)+16(46) = 448+656+656+248+736 =2744 1. B1+K2= c12→0+K2 =8 → K2=8 2. B2+K1 =c21→ B2+0 =16→B2=16 3. B2+K2=c23→16+K3=16→K3=0 4. B3+K1=c31→ 8+K1=8→K1=0 5. B3+K2=c32→ B3+8 =16→B3=8



B1+K1-c11=0+0-4=-4, B1+K3-c13 =0+0-8 =-8 B3+K1-C31=16+8-24=0,B3+K3-c33 =8+0-24= -16 Oleh karena semua nilai Bi+ Kj- cij≤ 0, maka sudah tercapai pemecahan optimal. Zmin =2744 tercapai kalau x12=56, x21=x23=41, x31=31 dan x32=8.



Contoh soal : Diketahui tabel transportasi sebagai berikut :



9



T1



T2



T3



a1



A1



X11



50



X12



100 X13



100



120



A2



X21



200 X22



300 X23



200



170



A3



X31



100 X32



200 X 33



300



160



150



210



b1



90



450



Tentukan: a) Ongkos awal dengan metode ongkos kolom terkecil (LeastCost) !



b) Jawab optimal dengan metode MODI ! JAWAB : a) Ongkos awal dengan metode ongkos kolom terkecil (LeastCost) :



T1



T2



T3



ai



A1



120



50



x



100



X



100



120



A2



x



200 200



80



300



90



200



170



A3



30



100 100



130



200



X



300



160



bj



150



210



90



Z awal = 50.120 + 300.80 + 200.90 + 100.30 + 200.130 = 77.000



10



450



b) Jawab dengan metode MODI : 1. Evaluasi dari variabel basis dengan memisalkan salah satu nilai dari u i



atau vj dengan sebarang bilangan bulat tertentu,misalkan : u1 = 0 (tidak harus u1 yang dimisalkan dan tidak harus nol bilangannya, sehingga dapat dihitung : C11 = u1 + v1 50 = 0 + v1 v1 = 50



C31 = u3 + v1 100 = u3 + 50 u3 = 50



C32 = u3 + v2 200 = 50 + v2 v2 = 150



C22 = u2 + v2 300 = u2 + 150 u2 = 150



C23 = u2 + v3 200 = 150 + v3 v3 = 50



11



T1



T2



T3



ai



aj



A1



120



50



x



100



X



100



120 u1 = 0



A2



x



200 200



80



300



90



200



170 u2 = 150



A3



30



100 100



130



200



X



300



160 u3 = 50



bj



150



vj



v1 = 50



210 v2 = 150



90



450



v3 = 50



2. Evaluasi dari variabel non basis dengan menghitung nilai dari zij– cij=



ui+ vj - cij, sehingga diperoleh : Z12 – c12 = u1 + v2 – c12 = 0 + 150 -100 = 50 Z13 – c13 = u1 + v3 – c13 = 0 + 50 -100 = -50 Z21 – c21 = u2 + v1 – c21 = 150 + 50 -200 =0 Z33 – c33 = u3 + v3 – c33 = 50 + 50 -300 = -200 3. Karena masih ada nilai dari zij– cijyang positif (zij– cij>0 ) maka tabel



belum optimal 4. Menentukan variabel yang masuk menjadi basis dengan memilih nilai



max { zij– cij} = 50 yaitu nilai dari Z12 – c12, maka x12 masuk menjadi basis



12



5. Menentukan variabel yang keluar dari basis dengan cara : a. buat loop yang melalui variabel yang baru masuk menjadi basis



(x12) : x11- x31 + x32 – x12 b. variabel yang keluar basis adalah : Min {x11, x32} = Min {120, 130} = 120, yang merupakan nilai dari x 11, maka x11 keluar basis. c. penyesuaian nilai variabel dalam basis : X11 = keluar basis, x31 = 30+120 = 150 X32 = 130-120 = 10, x12 = 120 (masuk jadi basis). Sehingga tabelnya berubah seperti berikut ini : Dengan memisalkan : u1 = 0



T1



T2



T3



ai



aj



A1



x



50



120



100



X



100



120 ui = 0



A2



x



200 200



80



300



90



200



170 u3 = 200



A3



150



100 100



10



200



X



300



160 u3 = 100



bj



150



vj



v1 = 0



Maka : C12 = u1 + v2 100 = 0 + v2 v2 = 100



C22 = u2 + v2



13



210 v2 = 100



90 v3 = 0



450



300 = u2 + 100 u2 = 200



C23 = u2 + v3 200 = 200 + v3 v3 = 0



C32 = u3+ v2 200 = u3 + 100 u3 = 100



C31 = u3 + v1 100 = 100 + v1 v1 = 0 (seperti terlihat pada tabel di atas) Total ongkosnya adalah : Z1=100.120 + 300.80 + 200.90 + 100.150 + 200.10 = 71.000 atau Z1 = zawal – (50 x 120) = 77000 – 6000 = 71.000



6. Evaluasi dari variabel non basis dengan menghitung nilai dari zij– cij =



ui + vj – cij, sehingga diperoleh : Z11- c11 = u1 + v1 – c11 = 0 + 0 – 50



14



= -50 Z13- c13 = u1 + v3 – c13 = 0 + 0 – 100 = -100 Z21- c21 = u2 + v1 – c21 = 2000 + 0 – 200 =0 Z33- c33 = u3 + v3– c33 = 100 + 0 – 300 = -200



7. Karena semua nilai dari zij “cij “d “0 maka tabel sudah optimal



(minimum) dengan total ongkos minimum 71.000



15



BAB III PENUTUP



A.



Simpulan Metode “modi” merupakan singkatan dari “modified distribution method”



sebenarnya sama dengan metode metode batu loncatan atau “stepping stone method” yang sudah dipergunakan untuk memecahkan persoalan transportasi . Metode modi memberikan cara yang lebih efisien di dalam menghitung Zij-Cij dari semua cell bukan basis. Nilai Zij-Cij disebut nilai yang menunjukkan besarnya jumlah penurunan biaya apabila ada satu satuan barang yang diangkut dari tempat asal i ke tempat tujuan j.



B. Saran Diharapkan kepada para pembaca untuk menyampaikan saran dan kritik yang membangun terhadap makalah ini, agar makalah ini dapat diperbaiki untuk memperbaiki kesalahan, dan agar ke depannya makalah ini dapat dijadikan pedoman atau referensi pembelajaran mata kuliah Program Linear.



16



DAFTAR PUSTAKA Basriati Sri,2011, Pemrograman Linear,Pekanbaru: Yayasan Pusaka Riau



Nufus Hayatun dan Erdawati Nurdin, 2016, Program Linear, Pekanbaru : Cahaya Firdaus



Siringoringo Hotniar,2005, Seri Teknik Riset Operasional Pemrograman Linear, Yogyakarta, Graha ilmu



-



17



18



Soal Metode Transportasi 1. Diketahui : Tabel Transportasi sebagai berikut:



Ditanyakan: Tentukan total biaya transportasi dengan penentuan awal (solusi awal) menggunakan: 6. Metode Sudut Barat Laut (North West Corner Rule) 7. Metode Biaya Terendah (Least Cost Rule) 8. Metode Aproksimasi Vogel (Vogel Approximation Method – VAM)



19



2. Diketahui : Tabel Transportasi Sebagai Berikut :



Ditanyakan : Tentukan total biaya transportasi dengan penentuan pemecahan awal (solusi awal) menggunakan : 6. Metode Sudut Barat Laut (North West Corner Rule) 7. Metode Biaya Terendah (Least Cost Rule) 8. Metode Aproksimasi Vogel (Vogel Approximation Method – VAM)



20