Modul 1 Inversi Geofisika [PDF]

Citation preview

MODUL 1 FORMULASI PERMASALAHAN INVERSI



Tujuan Praktikum: a. Mampu menyelesaikan permasalahan inversi linear. b. Mampu mengaplikasikan inversi linear pada metode geofisika. Alat dan Bahan: a. Text Editor Visual Studio Code b. Python 3.6 c. Package : Numpy, Matplotlib



Langkah Pengerjaan 1. Problem 1 Inversi Model Garis Terdapat 10 pengukuran temperature (T) pada kedalaman yang berbeda (zi). Tentukan persamaan model garis untuk mencari hubungan antara temperatur (T) dan kedalaman (zi) dengan persamaan model matematika 𝑚1 + 𝑚2 𝑧𝑖 = 𝑇𝑖 Kemudian tentukan nilai m1dan m2! Keterangan: m1dan m2 adalah parameter model (unknown parameter) yang akan dicari konstantakonstantanya. Tabel 1 Data temperature bawah permukaan tanah terhadap kedalaman.



Solusi : Berdasarkan model tersebut, kita bias menyatakan temperature dan kedalaman masing-masing sebagai berikut: 𝑚1 𝑚1 𝑚1 𝑚1 𝑚1 𝑚1 𝑚1



+ + + + + + +



𝑚2𝑧1 𝑚2𝑧2 𝑚2𝑧3 𝑚2𝑧4 𝑚2𝑧5 𝑚2𝑧6 𝑚2𝑧7



= = = = = = =



𝑇1 𝑇2 𝑇3 𝑇4 𝑇5 𝑇6 𝑇7



𝑚1 + 𝑚2𝑧8 = 𝑇8 𝑚1 + 𝑚2𝑧9 = 𝑇9 𝑚1 + 𝑚2𝑧10 = 𝑇10 Semua persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam operasi matrik berikut ini:



Secara singkat ditulis: 𝐺𝑚 = 𝑑 Keterangan d adalah data yang dinyatakan dalam vector kolom, m adalah model parameter, juga dinyatakan dalam vector kolom, dan G disebut matrik kernel. Nilai m1 dan m2 diperoleh dari hasil vector kolom m? 𝐺 𝑇 𝐺𝑚 = 𝐺 𝑇 𝑑 T merupakan tanda transpos matrik. Selanjutnya, untuk mendapatkan elemen-elemen m, diperlukan langkah-langkah perhitungan berikut ini: 𝐺 𝑇 𝐺𝑚 = 𝐺𝑇𝑑 [𝐺 𝑇 𝐺]−1 𝐺 𝑇 𝐺𝑚 = [𝐺 𝑇 𝐺]−1 𝐺 𝑇 𝑑 𝑚 = [𝐺 𝑇 𝐺]−1 𝐺 𝑇 𝑑 Langkah pengerjaan program: a. Tentukan transpos dari matrik kernel, yaitu 𝐺 𝑇 b. Lakukan perkalian matriks 𝐺 𝑇 𝐺, dimana N = 10 atau sesuai dengan jumlah data observasi; sementara i = 1, 2, 3, ..., 10. c. Kemudian tentukan pula 𝐺 𝑇 𝑑 d. Dengan menggunakan hasil dari langkah 2 dan langkah 3, dapat dinyatakan persamaan sebagai 𝐺 𝑇 𝐺𝑚 = 𝐺 𝑇 𝑑 e. Berdasarkan data observasi pada Tabel 1, diperoleh 𝑚 = [𝐺 𝑇 𝐺]−1 𝐺 𝑇 𝑑 Secara lebih lengkap, source code python untuk melakukan inversi data observasi adalah sebagai berikut:



Hasil :



2. Problem 2 Menghitung Gravitasi di Planet X (Latihan) Seorang astronot tiba di suatu planet yang tidak dikenal. Setibanya disana, ia segera mengeluarkan kamera otomatis, lalu melakukan ekperimen kinematika yaitu dengan melempar batu vertical keatas. Hasil foto-foto yang terekam dalam kamera otomatis pada data ketinggian terhadap waktu (Tabel 2).



Pertanyaan Anda diminta untuk membantu proses pengolahan data sehingga diperoleh nilai konstanta gravitasi di planet tersebut dan kecepatan awal batu! Solusi Langkah awal dengan mengasumsi model matematika, yang digali dari konsep-konsep fisika, yang kira-kira paling cocok dengan situasi pengambilan data observasi. Salah satu konsep dari fisika yang bias diajukan adalah konsep tentang Gerak Lurus Berubah Beraturan (GLBB), yang formulasinya seperti ini 1 ℎ𝑜 + 𝑉𝑜𝑡 − 𝑔𝑡 2 = ℎ 2 Berdasarkan tabel data observasi, ketinggian pada saat t = 0 adalah 5 m. Itu artinya ho = 5 m. Sehingga model matematika (formulasi GLBB) dapat dimodifikasi sedikit menjadi 1 𝑉𝑜𝑡 − 𝑔𝑡 2 = ℎ − ℎ𝑜 2 Selanjut, didefinisikan m1 dan m2 sebagai berikut 1 𝑚1 = 𝑣𝑜 𝑚2 = − 𝑔 2 Sehingga persamaan model GLBB menjadi 𝑚1 𝑡𝑖 + 𝑚2 𝑡 2 𝑖 = ℎ𝑖 – 5 Dimana i menunjukkan data ke-i. Langkah berikutnya adalah menentukan nilai tiap-tiap elemen matrik kernel, yaitu dengan memasukan data observasi ke dalam model matematika. 𝑚1 𝑡1 + 𝑚2 𝑡 2 1 = ℎ1 − 5 𝑚1 𝑡2 + 𝑚2 𝑡 2 2 = ℎ2 − 5 𝑚1 𝑡3 + 𝑚2 𝑡 2 3 = ℎ3 − 5 …… = …



𝑚1 𝑡20 + 𝑚2 𝑡 2 20 = ℎ20 – 5 Semua persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam operasi matrik berikut ini:



Operasi matrik di atas memenuhi persamaan matrik 𝐺𝑚 = 𝑑 Seperti yang sudah dipelajari pada bab ini, penyelesaian masalah inverse dimulai dari proses manipulasi persamaan matrik sehingga perkalian antara GT dan G menghasilkan matriks bujur sangkar 𝐺 𝑇 𝐺𝑚 = 𝐺 𝑇 𝑑 Selanjutnya, untuk mendapatkan m1 dan m2, prosedur inverse dilakukan satu per-satu seperti langkah problem 1.



3. Problem 3 Aplikasi Regresi pada Analisa Data Seismik Refraksi (Tugas) Gambar 3.1 merupakan data survei seismik refraksi yang dilakukan dengan spasi geophone 10 m. Jika diketahui persamaan waktu tempuh direct wave dan gelombang refraksi sebagaiberikut: 𝑥



𝑇𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡 = 𝑉 .....................................................................................................................(3.1) 1



𝑇𝑟𝑒𝑓𝑟𝑎𝑐 = 𝑉



2𝑧 cos 𝑖𝑐 𝑉1



1



+ 𝑉 𝑥 .................................................................................................(3.2) 2



sin 𝑖𝑐 = 𝑉1 ........................................................................................................................(3.3) 2



Gambar 3.1. Pertanyaan Tentukan nilai kecepatan dan ketebalan lapisan pertama! (Kerjakan secara manual dan menggunakan bahasa pemrograman python, gunakan minimal 4 titik data baik itu dari gelombang refraksi maupun direct wave) Solusi Waktu tempuh dari direct wave dan gelombang refraksi di picking Menggunakan data hasil picking, kecepatan lapisan pertama 𝑉1ditentunkan menggunakan regresi linier (persamaan 3.1) Proses linearisasi dilakukan terhadap persamaan gelombang refraksi menjadi: 𝑇𝑟𝑒𝑓𝑟𝑎𝑐 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 ........................................................................................................(3.4) Dengan:



𝑎0 =



2𝑧 cos 𝑖𝑐 ....................................................................................................................(3.5) 𝑉1



1



𝑎1 = 𝑉 ............................................................................................................................(3.6) 2



Sistem persamaan dapat disusun menjadi: Berdasarkan linearisasi tersebut, kita bias menyusun system persamaan linear sebagai berikut: 𝑇1 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥1 𝑇2 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥2 𝑇3 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥3 𝑇4 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥4 Semua persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam operasi matrik (d = Gm) berikut ini:



Nilai kecepatan lapisan kedua (𝑉2 ) dapat dihitung dengan substitu dinilai 𝑎1 yang diperoleh pada persamaan 3.6 Besar sudut kritis dapat dihitung menggunakan persamaan 3.3. Nilai kedalaman dihitung menggunakan persamaan 3.5 dan nilai 𝑎0 yang diperoleh



4. Problem 4 Aplikasi Inversi pada Tomografi Seismik



Pertanyaan Tentukan nilai V1 dan V2 dengan menggunkan inversi linear, jika diketahui S1 (0, -250 m); S2 (0, -633 m); S3 (1000 m, 0); R1 (2000 m, -1000 m); R2 (0 m, 0 m); R1b setengah R1R2 dan waktu tempuh masing-masing 1.5AB s, 1.447 s dan 0.7AB s! (Kerjakan secara manual dan menggunakan bahasa pemrograman Python!) (AB = NIM akhir)



Solusi: a. Hitung panjang ray setiap kotak (kecepatan awal) 𝑙11 = √(𝑆1𝑅2)2 + (𝑅1𝑅2)2 𝑙21 = √(𝑆2𝑅2)2 + (𝑅1𝑅2)2 𝑙31 = √(𝑎𝑏)2 + (𝑅1𝑅𝑥)2 2 2 𝑅1𝑏 𝑙11 𝑙21 = = 𝑅1𝑅2 𝑙11 𝑙21 2 𝑙11 =



𝑅1𝑏 × 𝑙11 𝑅1𝑅2



1 2 𝑙11 = 𝑙11 − 𝑙11 2 𝑙21 =



𝑅1𝑏 × 𝑙21 𝑅1𝑅2



1 2 𝑙21 = 𝑙21 − 𝑙21 2 𝑙31 = 𝑙31



b. Menghitung model referensi



c. Mengitung waktu tempuh kalkulasi



d. Menghitung delay time



e. Membuat persamaan matriks tomografi



f.



Hitung V1 dan V2 menggunakan rumus