MODUL 3. Persamaan Non LInear [PDF]

Citation preview

MODUL 3 PERSAMAAN NON LINIER



BAB I. PENDAHULUAN 1.1. Tujuan Praktikum a.



Mahasiswa memahami metode penyelesaian persamaan tak linier



b.



Membuat program untuk menyelesaikan persamaan tak linier



c.



Menyelesaikan masalah-masalah menyangkut Teknik Kimia dengan menggunakan persamaan tak linier



1.2. Batasan Masalah Batasan masalah pada praktikum ini yaitu menyelesaikan persamaan non linier dengan menggunakan penyelesaian numerik. Selain itu membahas bentuk komputasi persamaan linear pada metode polinomial pada suatu angka reaksi aplikasi teknik kimia. 1.3. Dasar Teori 1.3.1. Pengerttian Non-Linear Sistem persamaan non linear adalah kumpulan dari dua atau lebih persamaan persamaan non linear. Berikut ini beberapa contoh persamaan non linier: Tabel 3.1 Persamaan Non Linier



Penyelesaian persamaan non linier adalah penentuan akar-akar persamaan non linier. Akar sebuah persamaan f(x) =0 adalah nilai-nilai x yang menyebabkan nilai f(x)=0. Dengan kata lain akar persamaan f(x) adalah titik potong antara kurva f(x) dan sumbu X. Dalam aplikasinya di bidang teknik kimia, persamaan tak linier memiliki peranan yang sangat penting. Tabel 3.2 Aplikasi Persamaan Tak Linier dalam Bidang Teknik Kimia



1.3.2. Jenis Persamaan Non-Linear A. Persamaan kuadrat Persamaan kuadrat merupakan suatu persamaan polinomial berorde 2. Bentuk umum persamaan kuadrat yaitu y = ax2 + bx + c dengan a ≠ 0 dan a merupakan koefisien dari x2, b merupakan koefisien dari x, sedangkan c adalah koefisien konstanta atau biasa disebut juga suku bebas. Persamaan ax2 + bx + c = 0 dapat diselesaikan dengan cara menentukan nilai pengganti x yang memenuhi persamaan tersebut. Nilai pengganti tersebut mengubah kalimat terbuka (persamaan kuadrat) menjadi sebuah pernyataan yang bernilai benar. Penyelesaian dari persamaan kuadrat disebut akar-akar persamaan kuadrat. Ada beberapa cara untuk menyelesaikan (menemukan akarakar) dari persamaan kuadrat di antaranya dengan cara berikut:



a. Memfaktorkan b. Melengkapkan kuadrat sempurna c. Menggunakan rumus abc Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 mempunyai akar-akar persamaan



Nilai b2 – 4ac disebut diskriminan (D). D = b2 – 4ac dapat membedakan jenisjenis akar persamaan kuadrat satu dengan yang lain: 1. D > 0, persamaanax2 + bx + c = 0 mempunyai dua akar real dan berbeda. 2. D = 0, persamaan ax2+ bx + c = 0 mempunyai dua akar yang kembar dan real. 3. D < 0, persamaan ax2+ bx + c = 0 mempunyai dua akar yang imaginer (tidak mempunyai persamaan akar real).



B. Polinomial Polinomial atau disebut juga suku banyak, adalah pernyataan matematika yang melibatkan jumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien. Secara sederhana, polinomial adalah suatu bentuk matematika yang memuat variabel berpangkat. Polinomial sendiri berasal dari 2 kata, yaitu poli yang berarti banyak, dan nomial yang berarti nilai. Sebuah polinomial terlihat seperti ini:



Sebuah polinomial bisa memiliki: a. Variabel (merupakan nilai yang dapat berubah, seperti x, y, z dalam sebuah persamaan; boleh memiliki lebih dari 1 variabel) b. Koefisien (merupakan konstanta yang mendampingi variabel)



c. Konstanta (sebuah nilai tetap dan tidak berubah) d. Eksponen atau pangkat merupakan pangkat dari variabel; bisa juga disebut sebagai derajat sebuah polinomial Ada juga syarat-syarat sehingga suatu persamaan dapat dikatakan sebagai ‘polinomial’, yaitu berikut ini: a. Variabel tidak boleh memiliki pangkat pecahan atau negatif b. Variabel tidak boleh masuk dalam suatu persamaan trigonometri Sebagai contoh:



C. Persamaan Transenden FUNGSI : Suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara suatu variabel dengan variabel lain. Bentuk : Dimana: y = dependent variabel a = konstanta b = koefisian variabel x x = independent variabel Jenis – jenis fungsi : Persamaan Logaritmik Persamaan logaritma adalah suatu persamaan yang peubahnya merupakan merupakan numerus atau bilangan pokok logaritma.



Contoh : Tentukan semua x yang memenuhi persamaan 2log x = 3 Jawab : Dari definisi logaritma kita dapatkan 2



log x = 3 ⟺ 23= x



Jadi x = 23 Dengan cara lain kita dapat mengubah ruas kanan menjadi bentuk logaritma dengan bilangan pokok yang sama dengan bilangan pokok ruas kiri yaitu: 2



log x = 3 ⟺ 2log x = 2log 23



Dari cara pertama diperoleh x = 23. Sehingga kita sesuaikan dengan bentuk terakhir kita dapat menghapus tanda logaritma. 1.3.3. Penyelesaian Persamaan Non-Linear A. Analitik 1. Metode abc 𝑥1 , 𝑥2 =



−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎



2. Metode faktorisasi 𝑥 2 − 4𝑥 + 4 = 0 (𝑥 − 2)(𝑥 − 2) = 0 B. Numeris 1.



Metode Biseksi Ide awal metode ini adalah metode table, dimana area dibagi menjadi N



bagian. Hanya saja metode biseksi ini membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang.Hal ini dilakukan berulang- ulang hingga diperoleh akar persamaan. Untuk menggunakan metode biseksi, terlebih dahulu ditentukan batas bawah (a) dan batas atas (b).Kemudian dihitung nilai tengah :



x=



𝑎+𝑏 2



Dari nilai x ini perlu dilakukan pengecekan keberadaan akar. Secara matematik, suatu range terdapat akar persamaan bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau dituliskan : f(a) . f(b) < 0. Setelah diketahui dibagian mana terdapat akar, maka batas bawah dan batas atas di perbaharui sesuai dengan range dari bagian yang mempunyai akar. 2.



Regula Falsi Metode regula falsi adalah metode pencarian akar persamaan dengan



memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas range. Seperti halnya metode biseksi, metode ini bekerja secara iterasi dengan melakukan update range.Titik pendekatan yang digunakan oleh metode regula-falsi adalah : X= 3.



𝑓(𝑏)𝑎−𝑓(𝑎)𝑏 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)



Metode Newton-Raphson Metode newton raphson adalah metode pendekatan yang menggunakan satu



titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien pada titik tersebut. x







xold







𝑓(𝑥



𝑥𝑛𝑒𝑤 = 𝑥𝑜𝑙𝑑 − 𝑓′ (𝑥𝑜𝑙𝑑



)



𝑛𝑒𝑤 )



Iterasi dihentikan ketika



4.







xold ≈ xnew







f(xold) ≈ 0



Secant Metode secant merupakan perbaikan dari metode regula-falsi dan newton



raphson dimana kemiringan dua titik dinyatakan sacara diskrit, dengan mengambil bentuk garis lurus yang melalui satu titik. Dalam bidang teknik sering didapatkan persamaan non linear : f(x) = 0. Ingin dicari harga x yang memenuhi persamaan tersebut. Ada beberapa cara numeris yang dapat digunakan. Di sini akan dibahas cara Newton Rhapson.



Mula – mula diramal suatu harga x, (misal xold), yang kira – kira dapat memenuhi. Berdasarkan harga tersebut dicari harga x yang lebih baik, yaitu x new, yang didapatkan dengan persamaan : 𝑥𝑛𝑒𝑤 = 𝑥𝑜𝑙𝑑 −



𝑓(𝑥𝑜𝑙𝑑 ) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ (3.1) 𝑓 ′ (𝑥𝑛𝑒𝑤 )



Selanjutnya harga xnew menjadi xold untuk mencari xnew berikutnya. Demikian seterusnya hingga diperoleh harga x yang cukup baik. Hal ini ditandai dengan harga xnew mendekati xold atau harga : f(xnew) ≈ 0.



BAB II HASIL PERCOBAAN DAN PEMBAHASAN 2.1 Hasil Pengamatan Percobaan yang dilakukan pada praktikum kali ini yaitu menyelesaikan persamaan non linier yang ada pada bidang teknik kimia. Seperti yang dijelaskan sebelumnya bahwa persamaan tak linier dapat diselesaikan dengan metode numerik seperti metode Bisection, metode Newton-Raphson dan lain sebagainya maka pada percobaan ini akan dilakukan penyelesaian persamaan non linier berikut. Seperti pada contoh untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat x2+4x+3=0, dengan metode penyetengahan interval, pada MatLab diselesaikan dengan cara menuliskan perintah pada M-file seperti yang terlihat pada M-file kuadrat berikut:



Selanjutnya dituliskan perintah pada Command Window sebagai berikut: >>biseksi(‘kuadrat’,-2,1,1e-6) Hasil yang ditampilkan pada Command Window ans =



-1.0000 >> biseksi('kuadrat',-2,-4,1e-6) ans = -3.0000 Dari perhitungan menggunakan Metode Bisection diperoleh akar-akar dari persamaan kuadrat diatas yaitu [-1,3]. Persamaan kuadrat ini juga dapat diselesaikan dengan Metode Newton-Raphson dengan hasil yang sama. Persamaan tak linier tunggal dapat dilakukan dengan menggunakan subrutin fzero pada Matlab. Fzero merupakan salah satu subrutin roots yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan linier tunggal. Penulisan fzero di Matlab Command window: X =fzero(‘fungsi’,x0) Contoh penggunaan fzero yang dilakukan: x2+4x+3 = 0 Penulisan perintah pada Command window yaitu: >> fzero('x^2+4*x+3',0) Tampilan yang muncul di Command window : ans = -1 Kemudian untuk keteraturan dan kemudahan panggilan maka didefinisikan fungsi pada m-file: %kuadrat.m function y = kuadrat(x) y = x^2+4*x+3



Gambar 1. Penulisan Fungsi pada M-File



Kemudian dilakukan pemanggilan fungsi dari Matlab dengan cara mengetikkan perintah berikut di Command window >> x = fzero('kuadrat',0).



Gambar 2. Fzero Akan tetapi seperti yang dilihat pada gambar terjadi error pada line 2 column 20 pada M-file sehingga tidak dapat dilakukan pemanggilan fungsi dari Matlab. Hal ini terjadi dikarenakan ada kesalahan pada penulisan fungsi tersebut. Selain subrutin fzero juga terdapat subrutin roots yang akan dicoba pada kasus 3 berikut ini: Kasus 3 Aplikasi subrutin roots Tekanan uap n-butana pada temperatur 350 K adalah 9.4573 bar. Hitunglah volume molar uap jenuh dan cair jenuh n-butana pada kondisi tersebut dengan menggunakan persamaan gas Van der Waals. (R=8.314j/mol.K ;Tc=425.1 K; Pc=37.96 bar) Persamaan Van der Waals 𝑅𝑇



𝑎



𝑃 = 𝑉−𝑏 − 𝑉 2



27 𝑅 2 𝑇𝑐2



𝑎 = 64



𝑃𝑐



dan



1 𝑅𝑇𝑐



𝑏=8



𝑃𝑐



Kemudian dilakukan transformasi persamaan ke dalam bentuk umum persamaan polinomial



Selanjutnya dilakukan penulisan perintah pada Command window % kasus3.m clear clc % Masukan kondisi operasi P = input('masukan tekanan, Pa = '); T = input('masukan temperatur, K = '); R = 8314 ; %J/(kmol.K) Pc = 37.96e5; %Pa Tc = 425.1; %K % Hitung konstanta a & b a = (27/64)*R^2*Tc^2/Pc; b = (1/8)*R*Tc/Pc; % Definisikan koefisien polinomial VdW=[P, -(P*b + R*T), a, -a*b]; vol = roots(VdW) %liter/mol



Gambar 3. Script Kasus 3



Gambar 4. Hasil Penyelesaian Kasus 3 Dari hasil eksekusi pada Command Window, dimasukkan tekanan dan temperatur yang diketahui maka didapat volume molar uap jenuh dan cair jenuh n-butana pada kondisi tersebut yaitu 2,6669; 0,3354; 0,1910.



Kasus 4 Aplikasi Subrutin fzero Kasus berikutnya yaitu penyelesaian dengan subrutin f-zero. Diketahui persamaan kapasitas panas sebagai berikut:



Langkah pertama penyelesaian yaitu membuat fungsi yang akan dinolkan. Persamaan kapasitas panas di transformasikan dalam bentuk polynomial kemudian dinyatakan dalam fungsi f. Selanjutnya yaitu membuat program pengeksekusi dimana dalam program ini fungsi f dipanggil dan dinyatakan dalam Cp seperti pada gambar 5. Selanjutnya eksekusi kasus pada command window dimana harga Kapasitas panas yang dimasukan adalah 1 Kj/kg, maka akan didapatkan hasil T= 189.7597 seperti pada gambar 6.



Gambar 5. Skript Kasus 4



Gambar 6. Penyelesaian Kasus 4 Penyelesaian persamaan tak linier tunggal dengan subrutin MatLab juga dilakukan seperti pada tugas 4 berikut ini:



Hitunglah volume molar uap jenuh dan cair jenuh n-butana pada kondisi itu. Penyelesaian yang dilakukan menggunakan subrutin roots dengan membuat Mfile berisi perintah berikut: % tugas4.m clear clc % Masukan kondisi operasi



P = input('masukan tekanan, Pa = '); T = input('masukan temperatur, K = '); R = 8314 ; %J/(kmol.K) Pc = 37.96e5; %Pa Tc = 425.1; %K w=0.1931; % Hitung konstanta a & b a = 0.4278*R^2*Tc^2/Pc; b = 0.0867*R*Tc/Pc; c=[1+s(1-sqrt(T)/(Tc))^-2]; s=0.48508+1.55171*w-0.15613*w^2; A=c*a*P/R^2*T^2; B=b*P/R*T; Z=P*V/R*T; % Definisikan koefisien polinomial VdW=[Z^3-Z^2+(A-B-B^2)*Z-A*B]; vol = roots(VdW) %liter/mol Setelah M-file tadi disave, lalu klik run maka hasil eksekusi akan meminta kita untuk menginput data tekanan dalam satuan Pa dan temperatur dalam satuan Kelvin. Data tekanan dan temperatur yang dimasukkan sesuai dengan soal yaitu untuk T = 350 K dan P diubah dari 9.4573 bar menjadi Pa = 945730. Tugas 5. Menyelesaikan sistem persamaan tak linier dengan menggunakan subrutin MATLAB Suatu reaksi elementer



AB+C berlangsung dalam sebuah reaktor tangki



berpengaduk kontinu. Laju umpan murni A, 12 mol/s pada temperatur 25C. Reaksi bersifat eksotermik, untuk itu digunakan air pendingin bertemperatur 50C untuk menyerap kalor yang dibebaskan reaksi. Asumsi konstanta kapasitas panas sama baik di sisi reaktan maupun produk, neraca energi untuk sistem ini dirumuskan sebagai berikut:



FA0 = laju molar umpan, mol/s. X = konversi ∆HR = Kalor reaksi, J/(mol.K) CP,A = kapasitas panas A, J/(mol.K) T = temperatur reaktor, C T0 = temperatur referensi, 25 C Ta = temperatur air pendingin, C U = koefisien pindah panas total, W/(m2.K) A = luas pindah panas, m2 Untuk reaksi orde pertama konversi dirumuskan sebagai berikut:



Dengan τ adalah waktu tinggal dalam sekon, dan k adalah laju reaksi spesifik dalam s-1 dihitung dengan menggunakan persamaan Arrhenius: 𝑘 = 650exp[−



3800 ] 𝑇 + 273



Hitunglah harga temperatur reaktor dan konversinya! Penyelesaian Ditulis perintah pada M-file %kasus 5 %masukkan kondisi operasi FAO = 12; %satuan= mol/s Cpa = 4500; %satuan=J/mol.K



HR = -1500*10^3; %satuan=J/mol TO = 25; %satuan=C Ta = 50; %satuan=C t = 10; %satuan=s UA = 700*FAO %satuan=W/mol.K i = input('masukkan tebakan awal T,='); %mencari temperatur reaktor T = fzero(@(T)fungsi_reaktor(FAO,Cpa,T,TO,UA,Ta,HR,t),i) %satuan=C %mencai nilai Konversi A X = ((t*(650*exp(-3800/(T+273))))/(1+(t*(650*exp(-3800/(T+273))))))*100 %satuan=% Hasil pada Command window dimasukkan tebakan awal dan akan keluar nilai T dan X dengan tebakan awal = 273 maka didapat hasil T= 279.2507 dan X= 86.9736.



BAB. III PENUTUP 3.1 Kesimpulan 3.1. Kesimpulan Berdasarkan percobaan yang telah dilakukan didapat simpulan bahwa Matlab dapat menyelesaikan persamaan tak linier seperti persamaan tak linier, persamaan polynomial, persamaan trasenden dan persamaan logaritmik yang sering dijumpai pada masalah teknik kimia seperti menentukan volume molar suatu larutan dalam keadaan tertentu. 3.2. Saran Saran yang dapat diberikan yaitu pada penulisan suatu fungsi sebaiknya dilakukan ketelitian karena bahasa Matlab cukup sensitif sehingga kesalahan titik koma atau huruf besar saja sangat mempengaruhi hasil yang ditampilkan di Command window.



DAFTAR PUSTAKA Achmad Basuki, Nana Ramadijanti, 2002, ”Pratikum Metode Numerik sebagai Algoritma komputasi Progra, Diploma IV”, modul ajar metode numerik,PENS. Anonim, 2008, http://diyarkholisoh.files.wordpress.com/2008/12/optimasinumerik-doc-dy.pdf, Diakses pada tanggal 20 Desember 2019. Ardi Pujiyanta, 2007, ”Komputasi Numerik dengan Mathlab”,Graha ilmu. Karmana. A, 2009. “Transendens”, http://aguskarmana.blogspot.com/2009/04/transenden.html, Diakses pada 20 Desember 2019. Yanto,



2010, http://yantokmatematika.blogspot.com/2010/09/persamaanlogaritma.html, Diakses pada 20 Desember 2019.