Modul Sistem Persamaan Linear Satu Variabel 5 [PDF]

Citation preview

MODUL SISTEM PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL A. KOMPETENSI DASAR 3.6 Menjelaskan persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel dan penyelesaiannya. 4.6 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel. B. TUJUAN PEMBELAJARAN 1. Mengidentifikasi bentuk system persamaan linier satu variabel 2.



Membuat model matematika sistem persamaan linier satu variabel



3.



Menentukan nilai variabel pada sistem persamaan linier satu variabel



C. POKOK MATERI 1. Materi Prasyarat 2. Sistem Persamaan Linear Satu Variabel D. URAIAN MATERI 1. Materi Prasyarat Sebelum mempelajari tentang sistem persamaan linear satu variabel marilah kita mengingat kembali materi tentang aljabar yang telah kita pelajari di bab sebelumnya. Di bab aljabar kita telah mempelajari mengenai koefisien, variabel, konstanta dan suku. Dimana hal tersebut sangat berhubungan erat dengan sistem persamaan linear satu variabel yang akan kita pelajari. Perhatikan ilustrasi berikut.



2 x2 +3 xy +4 Keterangan:



2 x2 , 3 xy , dan 4 adalah suku x dan y adalah variabel 2 dan 3 adalah koefisien dari variabel 4 adalah konstanta 2. Sistem Persamaan Linear Satu Variabel A. Kalimat tertutup dan kalimat terbuka 1. Kalimat Tertutup Kalimat tertutup adalah Sebuah kalimat yang sudah dapat dinyatakan nilai kebenarannya (bernilai benar atau salah). Maksudnya kalimat tersebut mengandung maksud yang benar atau juga bisa kalimat yang mengandung maksud salah. Kalimat tertutup disebut juga pernyataan. 1



Contoh: 



“Jakarta itu ibukota Indonesia” yang bernilai benar,







“10.000 + 10.000 = 50.000” yang bernilai salah.



2. Kalimat Terbuka Kalimat terbuka adalah sebuah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya, karena ada unsur yang belum diketahuinya. Unsur yang belum diketahui tersebut disebut variabel. Contohnya yaitu 2x +1 = 11. Kalimat tersebut belum dapat ditentukan kebenarannya karena kita belum tahu berapa nilai x nya. x inilah dinamakan variabel. Contoh: 



9–x=5



B. Persamaan Linear Satu Variabel Persamaan Linear Satu Variabel (SPLSV) adalah kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan (=) dan hanya mempunyai satu variabel berpangkat satu. Bentuk umum persamaan linier satu variabel adalah ax + b = 0, dengan a dan b bilangan bulat bukan nol. Perhatikan masalah berikut: Sherly membeli pensil sebanyak 20 buah. Sesampai dirumah, adiknya meminta beberapa pensil, ternyata pensilnya sisa 17 buah, berapa pensil yang diminta adiknya ? Pembahasan pada masalah 1: Jika banyak pensil yang diminta oleh adik Sherly dimisalkan x buah, maka diperoleh kalimat : 20 – x = 17. 



Pada kalimat “20 – x = 17” terdapat x sebagai variabel.







Pada kalimat “20 – x = 17” terdapat satu variabel yaitu x







20 – x = 17 merupakan kalimat terbuka, karena nilai x belum diketahui.







Pada kalimat 20 – x = 17 mengunakan tanda hubung ” = ”







Pada kalimat 20 – x = 17 pangkat tertinggi dari variabelnya adalah satu.



Kalimat terbuka yang menggunakan tanda hubung ” = ” disebut persamaan. Jika pangkat tertinggi dari variabel suatu persamaan adalah satu maka persamaan itu disebut persamaan linear. Persamaan linear yang hanya memuat satu variabel disebut persamaan linear satu variabel ( PLSV ). Maka 20 – x = 17 merupakan salah satu contoh PLSV. Kemudian kita akan menghitung berapa kemungkinan pensil yang di minta oleh adiknya, persamaan atau kalimat matematika yang kita peroleh yaitu 20 – x = 17 



Jika x diganti dengan 5, maka kalimat itu menjadi : 20 – 5 = 17. dan bernilai salah



2







Jika x diganti dengan 3, maka kalimat itu menjadi : 20 – 3 = 17. dan bernilai benar



Penggnti x supaya 20 – x = 17menjadi benar adalah 3. Pengganti dari variabel ( peubah ) sehingga persaman menjadi benar disebut Penyelesaian persamaan, sedangkan himpunan yang memuat semua penyelesaian disebut himpunan penyelesaian C. Membuat Model Matematika (Persamaan) Sistem Persamaan Linear Satu Variabel Perhatikan contoh berikut ini. 1. Jumlah suatu bilangan m dan 8 adalah 10 m + 8 = 10 Jadi, model matematika (persamaan) adalah m + 8 = 10 2. Selisih suatu bilangan y dan 10 adalah 15 y + 10 = 15 Jadi, model matematika (persamaan) adalah y + 10 = 15 3. Hasil kali bilangan g dan 5 sama dengan 20 5g = 20 Jadi, model matematika (persamaan) adalah y + 10 = 15 4. Untuk membeli buku, Ida dan Ayu mengumpulkan uang jajan mereka. Uang yang dimiliki Ida yaitu Rp 10.000. Setelah dikumpulkan jumlah uang mereka sebesar Rp25.000. tuliskan model matematika atau persamaan yang digunakan untuk menentukan uang Ayu. Pembahasan: Kalimat :



Ida dan Ayu mengumpulkan uang jajan mereka Uang yang Ditambah Uang yang Sama



dimiliki Ida *Dimisalkan uang milik Ayu = m



dimiliki Ayu



Jadi persamaan yang diperoleh yaitu Rp 10.000 + m = Rp 25.000 D. Menentukan Bentuk Setara Dari Persamaan Linear Satu Variabel Perhatikan persamaan berikut. 3x + 3 = 6 3x + 4 = 7 3x



=3



6x + 6 = 12 x+1=2 Himpunan penyelesaian dari 3x + 3 = 6 adalah 1, nilai x = 1 Himpunan penyelesaian dari 3x + 4 = 7adalah 1, nilai x = 1 3



dengan



jumlah uang mereka



Himpunan penyelesaian dari 3x



= 3 adalah 1, nilai x = 1



Himpunan penyelesaian dari 6x + 6 = 12 adalah 1, nilai x = 1 Himpunan penyelesaian dari x + 1 = 2 adalah 1, nilai x = 1 Dari kelima persamaan diatas memiliki himpunan penyelesaian yang sama yaitu 1, maka kelima persamaan diatas dikatakan persamaan setara (ekuivalen). Perhatikan ilustrasi dibawah ini untuk persamaan 1-5:



Persamaan 1, persamaan awal = menyatakan x kg = menyatakan 1 kg



3x + 3



6



Anggap sisi kiri timbangan beratnya (3x + 3) kg dan sisi kanan 6 kg, dan sedua sisi setimbang. Persamaan = 3x + 3 = 6



Persamaan 2, kedua sisi ditambah 1, kedua sisi timbangan tetap setimbang.



3x + 4



7



Dari Ilustrasi diatas diperoleh: Jika kedua ruas suatu persamaan ditambah dengan bilangan yang sama, maka persamaan yang diperoleh setara ( ekuivalen ) dengan persamaan semula. 3x + 3 = 6



(Persamaan awal)



3x + 3 + 1 = 6 + 1



(kedua ruas ditambah 1)



3x + 4 = 7 Jadi, 3x + 3 = 6 setara dengan 3x + 4 = 7



Persamaan 3, kedua sisi di kurangi 3, kedua sisi timbangan tetap setimbang.



3x



3



4



Dari Ilustrasi diatas diperoleh: Jika kedua ruas suatu persamaan dikurangi dengan bilangan yang sama, maka persamaan yang diperoleh setara ( ekuivalen ) dengan persamaan semula. 3x + 3 = 6



(Persamaan awal)



3x + 3 – 3 = 6 – 3



(kedua ruas dikurangi 3)



3x = 3 Jadi, 3x + 3 = 6 setara dengan 3x = 3



Persamaan 4, kedua sisi dikali 2, kedua sisi timbangan tetap setimbang.



6x + 6



12



Dari Ilustrasi diatas diperoleh: Jika kedua ruas suatu persamaan dikali dengan bilangan yang sama, maka persamaan yang diperoleh setara ( ekuivalen ) dengan persamaan semula. 3x + 3 = 6



(Persamaan awal)



(3x + 3) x 2 = 6 x 2



(kedua ruas dikali 2)



6x + 6 = 12 Jadi, 3x + 3 = 6 setara dengan 6x + 6 = 12



Persamaan 5, kedua sisi dibagi 3, kedua sisi timbangan tetap setimbang.



x+1



2



Dari Ilustrasi diatas diperoleh: Jika kedua ruas suatu persamaan dibagi dengan bilangan yang sama, maka persamaan yang diperoleh setara ( ekuivalen ) dengan persamaan semula. 3x + 3 = 6



(Persamaan awal)



(3x + 3) : 3 = 6 : 3



(kedua ruas dibagi 3)



x+1=2 5



Jadi, 3x + 3 = 6 setara dengan x + 1 = 2 Catatan : Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan angka yang sama bertujuan agar pada persamaan terdapat variabel atau konstanta saja. Untuk menyelesaikan persamaan kita harus mendapat persamaan yang setara dalam bentuk yang sederhana. Untuk mendapatkan hal itu, usahakan agar variabel terletak pada satu ruas saja (biasanya ruas kiri), sedangkan bilangan tanpa variabel (konstanta) terletak di ruas lain (biasanya ruas kanan). Contoh 1:



5 a – 6=4



(Persamaan awal)



5 a – 6 +6=4+ 6



(Kedua ruas ditambah 6)



5 a=10 5 a 10 = 5 5



(Kedua ruas dibagi 5)



a=2 Himpunan Penyelesaian adalah {2} Contoh 2:



4 z+3=15 – 2 z



(Persamaan awal)



4 z+3−3=15−3−2 z



(Kedua ruas dikurang 3)



4 z=12−2 z 4 z+2 z=12−2 z +2 z



(Kedua ruang ditambah 2z)



6 z=12 6 z 12 = 6 6



(Kedua ruas dibagi 6)



z=2 Himpunan Penyelesaian adalah {2}



E. Menentukan Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel Penyelesaian persamaan linear satu variabel berarti kita menghitung nilai variabel agar persamaan bernilai benar. Untuk menentukan penyelesaian persamaan linear satu variabel, kita gunakan aturan persamaan yang setara, yaitu kedua ruas ditambah, dikurangi, dikalikan, atau dibagi dengan bilangan yang sama. Perhatikan contoh berikut



6



Contoh 1 4x + 5 = 13 4x + 5 – 5 = 13 – 5 4x



(Kedua ruas dikurangi dengan 5)



=8



4x 8 = 4 4 x



(Kedua ruas dibagi dengan 4) =2



Jadi, nilai x atau himpunan penyelesaian adalah {2} Contoh 2: 12 – 3m = 24 12 – 12 – 3m = 24 – 12



(Kedua ruas dikurangi dengan 12)



−3 m=12 −3 m 12 = −3 −3



(Kedua ruas dibagi dengan −3)



m=−4 Jadi, nilai m atau himpunan penyelesaian adalah {−4} Contoh 3:



3 k +5=6 k – 4 3 k +5 – 5=6 k – 4 – 5



(Kedua ruas dikurangi dengan 5)



3 k =6 k – 9 3 k – 6 k=−9



(Kedua ruas dikurangi dengan −6 k )



−3 k =−9 −3 k −9 = −3 −3



(Kedua ruang dibagi dengan −3)



k =3 Jadi, nilai k atau himpunan penyelesaian adalah {3} Contoh 4:



2(5 x +4)=5(3 x – 4)+3 10 x+ 8=15 x−20+3



(Hukum distributive perkalian)



10 x+ 8=15 x−17 7



10 x+ 8−8=15 x−17−8



(Kedua ruas dikurangi dengan 8)



10 x=15 x−25 10 x−15 x=15 x−15 x −25



(Kedua ruang dikurangi dengan −15 x )



−5 x=−25 −5 k −25 = −5 −5



(Kedua ruas dibagi dengan −5)



k =5 Jadi, nilai k atau himpunan penyelesaian adalah {5} Contoh Soal Cerita dan Pembahasan: 1. Eddy membeli 3 buku tulis dan sebuah pensil. Diketahui harga pensil adalah Rp 2.000 dan total belanja Rp 11.000. Hitunglah harga sebuah buku yang dibeli Eddy? Diketahui: 3 Buku = 3x Pensil = Rp 2.000 Total = Rp 11.000 Penyelesaian: Dari informasi yang ada ditemukan satu variabel buku yaitu x yang akan dicari. Sehingga dapat digunakan sistem persamaan linear satu variabel pada permasalahan di atas. 3 Buku + Pensil = Total 3x + Rp 2.000 = Rp 11.000 3x + Rp 2.000 - Rp 2.000 = Rp 11.000 - Rp 2.000 3x = Rp 9.000 ( 3 x ) : 3=Rp 9.000:3 x = Rp 3.000 Buku = Rp 3.000 2. Umur ibu 3 kali umur anaknya. Selisih umur mereka adalah 30 tahun. Berapakah umur anak dan ibunya ? Penyelesaian : Diketahui : Umur ibu tiga kali umur anakanya Misal: umur anaknya x tahun,  Maka : umur ibunya = 3x tahun.  Selisih umur mereka 30 tahun, jadi persamaannya adalah 3x – x  = 30      2x = 30     x = 15 Jadi, umur anaknya 15 tahun dan ibunya (3 x 15) tahun = 45 tahun.



8



3. Jumlah dua bilangan asli genap berurutan adalah 30. Jika bilangan pertama adalah p. Tentukan nilai dari p dan bilangan kedua! Penyelesaian: Bilangan genap berurutan itu selisihnya adalah 2, sehingga: Bilangan pertama = a Bilangan kedua = bilangan pertama + 2 = a + 2 Jumlah kedua bilangan = bilangan pertama + bilangan kedua = a + ( a + 2 ) = 30 2a + 2 = 20 Sekarang kita menghitung a dari 2a + 2 = 30 2a + 2 = 30 2a + 2 – 2 = 30 – 2 2a = 28



2 a 28 = 2 2 a = 14 Jadi bilangan pertama atau nilai dari a adalah 14



9