Persamaan Linear Satu Variabel Berpangkat Dua [PDF]

Citation preview

PERSAMAAN LINIER SATU VARIABEL BERPANGKAT DUA Persamaan linier dua variabel pangkat dua adalah kalimat terbuka yang dihubungkan tanda sama dengan ( = ) dan hanya mempunyai satu variable serta variabel berpangkat tertinggi 2. Bentuk umum persamaan linier satu variable pangkat 2 adalah ax2 + bx+c = 0, a≠0. Contoh : 



2𝑋 2 − 5X − 3 = 0







𝑥 2 − 3𝑥 = 0



 Cara- cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat a. Memfaktorkan untuk bentuk ax2 + bx + c = 0), maka kalian harus menentukan dua buah bilangan yang jumlahnya b dan hasil kalinya c b. Melengkapkan kuadrat sempurna ialah mengubah suatu bentuk kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna. Misalnya x2 – 2x diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna x2 – 2x + 1 = (x - 1) c. Menggunakan rumus kuadrat ( Rumus ABC )  𝑥=



−𝑏±√𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎



Dengan 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ≥



Nilai diskriminan ( D )  Jika 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0 maka persamaan kuadrat tidak memiliki penyelesaian  Jika 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0 maka persamaan kuadrat memiliki satu penyelesaian  Jika 𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0 maka persamaan kuadrat memiliki dua penyelesaian 



Menyusun Persamaan Kuadrat Untuk akar-akar sebuah persamaan yang telah diketahui. (x - x1) (x – x2) = 0



 Memakai faktor :  Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar Diperoleh dari penjumlahan dan perkalian rumus abc x1 + x2 = -b + √ b2 – 4ac + - b - √ b2 – 4ac 2a



2a



= -2b 2a −𝑏



=



𝑎



x1 x x2 = -b + √ b2 – 4ac x - b - √ b2 – 4ac 2a



2a



= b2 – (b2 – 4 ac) 4a2 = 4ac 4a2 =



𝑐 𝑎



x2 – (x1 + x2) x + x1.x2 = 0



Sehingga dapat dinyatakan



Contoh 1 : ☺



Bagaimana merubah persamaan 2x2 = 3x - 8 ke dalam bentuk umum??? Penyelesaian : 2x2 = 3x – 8



2x2 - 3x = 3x-3x -8 (kedua ruas dikurangi 3x)



2x2 – 3x = -8



2x2 - 3x + 8 = -8 + 8 (kedua ruas ditambah 8)



2x2 – 3x + 8 = 0



Jadi a = 2, b = - 3 dan c = 8



Contoh 2 : Cara memfaktorkan Contoh soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat di bawah ini dengan pemfaktoran; a.



x 2  8 x  15  0



b. x 2  6 x  0 c.



x3



60 x 1



Penyelesaian: a.



x 2  8 x  15



=0



( x  3)( x  5) = 0 ( x  3) = 0



atau



( x  5) = 0



x =3



atau



x =5



Jadi, HP = {3, 5} b. x 2  6 x = 0 x( x  6) = 0



x = 0 atau



( x  6) = 0



x = 6 Jadi, HP = {  6 , 0}



c.



x3



60 kalikan kedua ruas dengan ( x  1) x 1



 ( x  1)( x  3)  60  x 2  2 x  63  0  ( x  7)( x  9)  0  ( x  7) = 0 atau ( x  9) = 0



x = 7 atau Jadi, HP = {  9 , 7}



x = 9



Contoh 3 Cara Melengkapakan Kuadrat  Menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x2 + 2x – 15 = 0 ! Jawab



:



x2 + 2x – 15 = 0 x2 + 2x = 15



Agar x2 + 2x menjadii bentuk kuadrat sempurna, harus ditambah dengan kuadrat dari setengah koefisien x + (½ x 2)2 = 12 = 1 Dengan menambahkan 1 pada kedua ruas, diperoleh : x2 + 2x + 1 = 15 + 1



(x + 1)2 = 16



x + 1 = ± √16



x+1= ±4



x + 1 = 4 atau x + 1 = -4



x = 4 - 1 atau x = -4 -1



x = 3 atau x = -5



Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3, -5}  Selesaikan persamaan 2 x 2  8 x  1  0 dengan melengkapkan kuadrat. Penyelesaian: 2 x 2  8x  1  0



 2 x 2  8 x  1  2( x 2  4 x)  1  x 2  4 x   12  x 2  4 x  (2) 2  (2) 2  12  ( x  2) 2 



7 2



 x2



7 2



tiap ruas ditambah dengan ( 12 b)2



Jadi, x  2 



7 2



atau



x  2 



7 2



Contoh 4 Menggunakan rumus kuadrat ( rumus ABC )  Menentukan himpunan penyelesaian persamaan x2 + 4x – 12 = 0



a =1 b = 4 c = -12 penyelesaian x1,2 = - b ± √b2 – 4ac 2a x1,2 = - 4 ± √42 – 4 x 1x (-12) 2x1 x1,2 = - 4 ± √16 + 48 2 x1,2 = - 4 ± √64 2 x1,2 = - 4 ± 8 2 x1,2 = - 4 + 8



atau



2 x1 = 2



x1,2 = - 4 - 8 2



atau



x2 = -6



jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-6, 2}  Bagaimana menetukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 5??? Cara 1 :



x1 = 2 dan x2 = 5



Maka (x-x1) (x-x2) = 0



(x-2) (x-5) = 0



x2 – 7x + 10 = 0



Jadi persamaan kuadratnya x2 – 7x + 10 = 0



Cara 2 :



x1 = 2 dan x2 = 5



Maka x2 – (x1+x2)x + x1.x2 = 0 Dengan (x1 + x2) = 2 + 5 = 7 x1. x2 = 2.5 = 10 Jadi persamaan kuadratnya x2 – 7x + 10 = 0  penerapan Persamaan Kuadrat Luas sebidang tanah berbentuk persegi panjang, yaitu 4.320 m 2. Jika panjang tanah itu 12m lebih panjang daripada lebarnya, berapakah panjang dan lebar tanah tersebut? Penyelesaian : Misalnya panjang tanah x meter dan lebar 4 meter maka Y = ( x- 12) meter Luas tanah = x . y 4.320 4.320



=x.y = x . (x-12)



x2 – 12x – 4320 = 0 (x- 72) (x + 60) = 0 x - 72 = 0 atau x + 60 = 0 x



= 72 atau x = - 60



karena panjang tanah harus positif, nilai yang memenuhi adalah x = 72. Untuk x = 72 maka y = x – 12 = 72 – 12 = 60 Jadi, panjang tanah adalah 72 meter dan lebar tanah adalah 60 meter.



LATIHAN SOAL 1. Persamaan kuadrat x2 – 5x + 6 = 0 mempunyai akar – akar x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar – akarnya x1 – 3 dan x2 – 3 adalah …. a. x2 – 2x = 0 b. x2 – 2x + 30 = 0 c. x2 + x = 0 d. x2 + x – 30 = 0 e. x2 + x + 30 = 0 2. Diketahui sebidang tanah berbentuk persegi panjang luasnya 72 m 2. Jika panjangnya tiga kali lebarnya, maka panjang diagonal bidang tersebut adalah …m. a. 2 6 b. 6 6 c. 4 15 d. 4 30 e. 6 15 3. Pak Musa mempunyai kebun berbentuk persegi panjang dengan luas 192 m 2. Selisih panjang dan lebarnya adalah 4 m. Apabila disekeliling kebun dibuat jalan dengan lebar 2 m, maka luas jalan tersebut adalah …m 2. a. 96 b. 128 c. 144 d. 156 e. 168 4. Keliling segitiga ABC pada gambar adalah 8 cm. Panjang sisi AB = … cm.



a. 4 2 b. 4 –



2



c. 8 – 2 2 d. 4 – 2 2 e. 8 – 4 2 5. Kawat sepanjang 120 m akan dibuat kerangka seperti pada gambar. Agar luasnya maksimum, panjang kerangka (p) tersebut adalah … m.



a. 16 b. 18 c. 20 d. 22 e. 24



6. Diketahui akar – akar persamaan kuadrat 2x2 – 4x + 1 = 0 adalah  dan  . Persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya  dan 



 



adalah ….



a. x2 – 6x + 1 = 0 b. x2 + 6x + 1 = 0 c. x2 – 3x + 1 = 0 d. x2 + 6x – 1 = 0 e. x2 – 8x – 1 = 0 7. Persamaan 2x2 + qx + (q – 1) = 0 mempunyai akar – akar x1 dan x2. Jika x12 + x22 = 4, maka nilai q = …. a. – 6 dan 2 b. – 6 dan – 2 c. – 4 dan 4



d. – 3 dan 5 e. – 2 dan 6 8. Jika nilai diskriminan persamaan kuadrat 2x2 – 9x + c = 0 adalah 121, maka c = …. a. – 8 b. – 5 c. 2 d. 5 e. 8 9. Persamaan (1 – m)x2 + ( 8 – 2m )x + 12 = 0 mempunyai akar kembar, maka nilai m = …. a. – 2 b.







3 2



c. 0 d.



3 2



e. 2 10. Jika x1 dan x2 adalah akar – akar persamaan kuadrat x2 + x – p = 0, p kostanta positif, maka a.



2



b.



1 2 p



c.



2



d.



1 p



e.



2



x1 x2



dan



x2 x1



= ….



1 p



1 p



1 p



11. Persamaan kuadrat x2 + (m – 2)x + 9 = 0 mempunyai akar – akar nyata. Nilai m yang memenuhi adalah …. a. m  – 4 atau m  8 b. m  – 8 atau m  4 c. m  – 4 atau m  10



d. – 4  m  8 e. – 8  m  4 12. Peramaan kuadrat mx2 + ( m – 5 )x – 20 = 0, akar – akarnya saling berlawanan. Nilai m = …. a. 4 b. 5 c. 6 d. 8 e. 12 13. Jika x1 dan x2 adalah akar – akar persamaan kuadrat x2 + px + 1 = 0, maka persamaan kuadrat yang akar - akarnya



2 2  x1 x2



dan x1 + x2 adalah ….



a. x2 – 2p2x + 3p = 0 b. x2 + 2px + 3p2 = 0 c. x2 + 3px + 2p2 = 0 d. x2 – 3px + p2 = 0 e. x2 + p2x + p = 0 14. Akar – akar persamaan 2x2 + 2px – q2 = 0 adalah p dan q. Jika p – q = 6 maka nilai pq = …. a. 6 b. – 2 c. – 4 d. – 6 e. – 8



15. Perhatikan gambar !



a. x2 + 2x + 3= 0 b. x2 – 2x – 3 = 0 c. – x2 + 2x – 3 = 0 d. – x2 – 2x + 3 = 0 e. – x2 + 2x + 3 = 0 16. Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum –2 untuk x = 3 dan untuk x = 0 nilai fungsi 16. Fungsi kuadrat itu adalah …. a. f(x) = 2x2 – 12x + 16 b. f(x) = x2 + 6x + 8 c. f(x) = 2x2 – 12x – 16 d. f(x) = 2x2 + 12x + 16 e. f(x) = x2 – 6x + 8 17. Nilai maksimum dari fungsi f(x) = –2x2 + (k+5)x + 1 – 2k adalah 5. Nilai x yang memenuhi adalah …. a. 5 b. 6 c. 7 d. 8 e. 9 Absis titk balik grafik fungsi f(x) = px2 + ( p – 3 )x + 2 adalah p. Nilai p = …. f. – 3



g.







3 2



h. – 1 i.



2 3



j.



3



18. Akar–akar persamaan kuadrat 3x2 – 4x + 2 = 0 adalah  dan . Nilai dari ( + )2 – 2 =…. a.



10 9



b. 1 c.



4 9



d.



1 3



e. 0 19. Persamaan kuadrat 2x2 – 4x + 1 = 0, akar–akarnya  dan . Nilai dari ( + )2 – 2 adalah … a. 2



d. 9



b. 3



e. 17



c. 5 20. Tetukan nilai akar akar dari persamaan kuadrat 2x 2 – 7x + 6 = 0,…