Modul KD 3.1 Eksponensial Dan Logaritma [PDF]

Citation preview

- - | EKSPONENSIAL DAN LOGARITMA| - A. Target Kompetensi Ananda mampu: 1. menjelaskan sifat-sifat dasar eksponen 2. menjelaskan bentuk umum fungsi eksponen 3. menjelaskan grafik fungsi eksponen 4. menjelaskan macam-macam bentuk persamaan eksponen 5. menggunakan sifat-sifat fungsi ekponen dalam penyelesaian bentuk persamaan eksponen 6. menjelaskan macam-macam bentuk pertidaksamaan eksponen 7. menggunakan sifat-sifat fungsi ekponen dalam penyelesaian bentuk pertidaksamaan eksponen 8. menjelaskan sifat-sifat dasar logaritma 9. menjelaskan bentuk umum fungsi logaritma 10. menjelaskan grafik fungsi logaritma 11. menjelaskan macam-macam bentuk persamaan logaritma 12. menggunakan sifat-sifat fungsi logaritma dalam penyelesaian bentuk persamaan logaritma 13. menjelaskan macam-macam bentuk pertidaksamaan logaritma 14. menggunakan sifat-sifat fungsi logaritma dalam penyelesaian bentuk pertidaksamaan logaritma B. Ringkasan Materi 1. EKSPONENSIAL 1. Sifat-sifat Eksponensial Jika a dan b bilangan real, p dan q bilangan rasional maka berlaku hubungan sebagai berikut : 1 1. a p xaq  a p  q 7. a p   p a p



a :a  a p



q



pq



2. 3.



(a p )q  a pq



4.



(ab) p  a p .b p



8. a  a p p p p 9. ab  a . b q



10.



 ap  a     p  b b  1 a  p  p a  0 a



p



a  b



q



p p



a b



p



5. 6. 2.



11. a 0  1



Fungsi Eksponen Bentuk perpangkatan yang pangkatnya merupakan suatu fungsi disebut fungsi eksponen. Fungsi eksponen banyak manfaatnya dalam kehidupan. misalnya dalam peluruhan radioaktif, pertumbuhan tanaman, perhitungan bunga tabungan di Bank dan sebagainya.



𝑓 ∶ 𝑥 → 𝑎 𝑥 atau 𝑦 = 𝑓 (𝑥) = 𝑎 𝑥



Bentuk umum fungsi eksponen:



𝑎 = Basis atau Bilangan pokok



Matematika peminatan-X/Eksponensial dan Logaritma



𝑎 > 0 𝑑𝑎𝑛 𝑎≠𝐼



3.



Persamaan Eksponen Persamaan eksponen adalah persamaan yang pangkatnya mengandung variabel dan tidak menutup kemungkinan bilangan dasar juga mengandung variabel. Untuk a > 0, a  1; b > 0, b  1, maka berlaku: Persamaan eksponen



a. 𝒂𝒇(𝒙) = 𝒂𝒏 b. 𝒂𝒇(𝒙) = 𝟏 c. 𝒂𝒇(𝒙) = 𝒂𝒈(𝒙)



Teorema maka maka



maka



𝑓(𝑥) = 𝑛 𝑓(𝑥) = 0 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)



d. 𝒂𝒇(𝒙) = 𝒃𝒇(𝒙)



a. Persamaan Eksponen Berbentuk Teorema: Jika 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛 , dengan 𝑎 > 0 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 1, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑛 b. Persamaan Eksponen Berbentuk Teorema: Jika 𝑎 𝑓(𝑥) = 1, dengan 𝑎 > 0 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 1, 𝑚𝑎𝑘𝑎 c. Persamaan Eksponen Berbentuk Teorema:Jika 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑔(𝑥) , dengan dengan 𝑎 > 0 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 1, 𝑚𝑎𝑘𝑎 d. Persamaan Eksponen Berbentuk Teorema:Jika𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑓(𝑥) , dengan 𝑎 > 0 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 1, 𝑏 > 0, 𝑑𝑎𝑛 𝑏 ≠ 1, 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 𝑏, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓(𝑥) = 0 e. Persamaan Eksponen Berbentuk {ℎ(𝑥)} 𝑓(𝑥) = {ℎ(𝑥)} 𝑔(𝑥) Teorema: Jika: {ℎ(𝑥)} 𝑓(𝑥) = {ℎ(𝑥)} 𝑔(𝑥) , maka kemungkinannya adalah: 1. ℎ(𝑥) = 0 asalkan 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) keduanya positif (𝑓(𝑥) > 0 𝑑𝑎𝑛 𝑔(𝑥) > 0) 2. ℎ(𝑥) = 1 3. ℎ(𝑥) = −1, asalkan 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) keduanya ganjil atau keduanya genap ((−1) 𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥) = 1) 4. 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) asalkan ℎ(𝑥) ≠ 0 𝑑𝑎𝑛 ℎ(𝑥) ≠ 1 f. Persamaan Eksponen Berbentuk {ℎ(𝑥)} 𝑓(𝑥0 = 1 Teorema: Jika {ℎ(𝑥)} 𝑓(𝑥0 = 1, maka kemungkinannya adalah: 1. 𝑓(𝑥) = 0 , ℎ(𝑥) ≠ 0 2. ℎ(𝑥) = 1 𝑝 3. ℎ(𝑥) = 1, 𝑓(𝑥) = ± 𝑞 Dengan p dan q adalah bilangan asli yang tidak dapat saling membagi ( tidak mempunyai faktor persekutuan), dan p adalah bilangan genap. g. Persamaan Eksponen Berbentuk 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑔(𝑥) Teorema: Jika 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑔(𝑥) , dengan 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 1, maka 𝑓(𝑥) log 𝑎 = 𝑔(𝑥) log 𝑏 h. Persamaan Eksponen Berbentuk 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏 Teorema: Matematika peminatan-X/Eksponensial dan Logaritma



𝑙𝑜𝑔𝑏



Jika 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏, dengan 𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 1 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 = 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑏 i. Persamaan Eksponen Berbentuk 𝐴{𝑎 𝑓(𝑥) }2 + 𝐵{𝑎 𝑓(𝑥) } +C = 0 Untuk menyelesaikan persamaan eksponen berbentuk 𝐴{𝑎 𝑓(𝑥) }2 + 𝐵{𝑎 𝑓(𝑥) } +C = 0 adalah sebagai berikut: Misalkan 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑦 maka persamaan semula ekuivalen dengan persamaan: 𝐴𝑦 2 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 Dengan menyelesaikan persamaan kuadrat dalam y, maka maksimal akan di dapat dua akar real dan minimalnya tidak satupun akar real. Akar real yang di terima adalah akar real yang positif. Selanjutnya akar-akar itu disubtitusikan ke persamaan 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑦, sehingga kita memperoleh akar-akar persamaan yang diminta. Untuk a > 0, a  1; b > 0, b  1, maka berlaku 1. Jika af(x) = ap, maka f(x) = p 2. Jika af(x) = ag(x), maka f(x) = g(x) 3. Jika af(x) = bf(x), maka f(x) = 0 4. Jika {h(x)}f(x) = {h(x)}g(x), maka a) f(x) = g(x) b) h(x) = 1 c) h(x) = 0 untuk f(x) > 0 dan g(x) > 0 d) h(x) = – 1 untuk f(x) dan g(x) keduanya ganjil atau keduanya genap



   Ba  C  0 , maka dapat diselesaikan secara persamaan kuadrat



Jika A a f ( x )



2



f (x)



4. Pertidaksamaan Eksponen 5. 2. LOGARITMA



menentukan penyelesaian fungsi eksponensial dan fungsi logaritma menggunakan masalah kontekstual, serta keberkaitanannya Persamaan eksponensial Persamaan Eksponen 𝒂𝒇(𝒙) = 𝒃𝒇(𝒙) Syarat: 𝒂 > 0 𝑑𝑎𝑛 𝒂 ≠ 1, 𝑏 > 0, maka : 𝒇(𝒙) = 𝟎 𝑑𝑎𝑛 𝒃 ≠ 1, 𝑑𝑎𝑛 𝒂 ≠ 𝒃 (pangkatnya sama) Contoh soal; Carilah himpunan penyelesaian dari setiap persamaan berikut! Matematika peminatan-X/Eksponensial dan Logaritma



2



2



b. 5𝑥 +𝑥−42 = 4𝑥 +𝑥−42 Jawab: 𝑥 2 + 𝑥 − 42 = 0 (𝑥 + 7)(𝑥 − 6) = 0 (𝑥 + 7) = 0 atau (𝑥 − 6) = 0 𝑥 = −7 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥=6 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-7,6}



a. 52𝑥−6 = 32𝑥−6 Jawab: 52𝑥−6 = 32𝑥−6 2𝑥 − 6 = 0 𝑥=3 himpunan penyelesaiannya adalah {3}



Latihan Carilah himpunan penyelesaian dari setiap persamaan dibawah ini!



1. 33x-12 = 53x-12 2. 7x²-5x+6 = 8x²-5x+6 3. 7𝑥 2−3𝑥−10 = 11𝑥 2−3𝑥−10



C. Contoh Soal 1. Sederhanakanlah bentuk-bentuk eksponensial di bawah ini dan nyatakan hasilnya dalam eksponen positif.



a.



1



2𝑝5 (−3𝑞)2



b.



3 1 2𝑞 𝑝 3



− 𝑝 43 2



− 𝑝 3



√𝑝



2. Tentukan nilai 𝑥 dan 𝑦 yang memenuhi sistem persamaan 32𝑥+𝑦−2 = 92𝑥+2𝑦−5 5𝑥−𝑦+4 = 125𝑥−𝑦+2 3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 32−𝑥 + 3𝑥−1 = 4  KUNCI JAWABAN 1. a.



2𝑝5 (−3𝑞)2 3 1 2𝑞 𝑝 3



=



1



2𝑝5 (9𝑞2 ) b.



3 1 2𝑞 𝑝 3 3



= 18 × 3𝑝5−2 𝑞 2−1



7



= 54𝑝2 𝑞 Matematika peminatan-X/Eksponensial dan Logaritma



− 𝑝 43 2 − 𝑝 3



1



2



1



− √𝑝 = 𝑝 4 × 𝑝3 × 𝑝3



1 2 1



= 𝑝−4+3+3



3



= 𝑝4



2. Perhatikan persamaan pertama 32𝑥+𝑦−2 = 92𝑥+2𝑦−5 ↔ 32𝑥+𝑦−2 = (32 )2𝑥+2𝑦−5 ↔ 32𝑥+𝑦−2 = 34𝑥+4𝑦−10 ↔ 2𝑥 + 𝑦 − 2 = 𝑥 + 4𝑦 − 10 ↔ 2𝑥 + 3𝑦 = 8 ……………………………………………(1) Lalu perhatikan persamaan ke dua yaitu, 5𝑥−𝑦+4 = 125𝑥−𝑦+2 5𝑥−𝑦+4 = 125𝑥−𝑦+2 ↔ 5𝑥−𝑦+4 = (53 )𝑥−𝑦+2 ↔ 𝑥 − 𝑦 + 4 = 3𝑥 − 3𝑦 + 6 ↔ 2𝑥 − 2𝑦 = 2 ……………………………………………(2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh: 2𝑥 + 3𝑦 = 8 2𝑥 − 2𝑦 = 2 − 5𝑦 = 10 ↔𝑦=2 Substitusi nilai 𝑦 = 2 ke persamaan (1) sehingga diperoleh: 2𝑥 + 3𝑦 = 8 2𝑥 + 3(2) = 8 2𝑥 = 8 − 6 2𝑥 = 2 𝑥=1 Jadi, diperoleh nilai 𝑥 = 1 dan nilai 𝑦 = 2 32



3. Persamaan 32−𝑥 + 3𝑥−1 = 4 dapat diubah ke dalam bentuk 3𝑥 + Misalkan 𝑦 = 3𝑥 . Persamaan ini akan menjadi



9 𝑦



𝑦



+3=4



Jika ke-2 ruas dikalikan 3𝑦 maka persamaan akan menjadi 27 + 𝑦 2 = 12𝑦 ↔ 𝑦 2 − 12𝑦 + 27 = 0 ↔ (𝑦 − 3)(𝑦 − 9) = 0 Matematika peminatan-X/Eksponensial dan Logaritma



3𝑥 3



=4



Dengan demikian diperoleh 𝑦 = 3 atau 𝑦 = 9 a. Untuk 𝑦 = 3 maka 3𝑥 = 3 ↔ 3𝑥 = 31 ↔ 𝑥 = 1 b. Untuk 𝑦 = 9 maka 3𝑥 = 9 ↔ 3𝑥 = 32 ↔ 𝑥 = 2 Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah {1,2}. PERTEMUAN 2 SOAL 1. Lia menabung sebesar 𝑅𝑝 500.000,00 di suatu bank selama 5 tahun dengan bunga majemuk sebesar 10% per tahun. Pada setiap akhir tahun bunga pada tahun yang bersangkutan ditambahkan dengan uang yang tersimpan sehingga seluruhnya menjadi modal awal tahun berikutnya. Berapa uang Lia pada akhir tahun ke-5? 2. Pada pukul 05.00 pagi massa suatu zat radioaktif adalah 0,5 𝑘𝑔. Apabila diketahui laju peluruhanzat radioaktif tersebut 2% setiap jam, hitunglah sisa zat radioaktif pada pukul 09.00 pagi! KUNCI JAWABAN 1. Diketahui: Uang Lia yang ditabung (𝑀0 ) = 𝑅𝑝 500.000,00 Bunga majemuk (𝑖) = 10% = 0,1 Waktu penyimpanan( 𝑡) = 5 tahun Ditanyakan: Uang Lia pada akhir tahun ke-5 (𝑀𝑡 )= ……….? Penyelesaian: Bunga yang diberikan oleh bank adalah bunga majemuk maka uang Lia pada akhir tahun ke-𝑡 tumbuh secara eksponensial dengan besar 𝑀𝑡 = 𝑀0 (1 + 𝑖)𝑡 𝑀5 = 500.000(1 + 0,1)5 𝑀5 = 500.000(1,1)5 𝑀5 = 500.000(1,61051) Matematika peminatan-X/Eksponensial dan Logaritma



= 805.255 Jadi, besarnya uang Lia pada akhir tahun ke-5 adalah Rp 805.255,00 2. Diketahui: Massa suatu zat radioaktif( 𝑝0 ) = 0,5 𝑘𝑔 Laju peluruhan zat radioaktif (𝑝) = 2% Waktu peluruhan (𝑡) = 09.00 − 05.00 = 04.00 Ditanyakan: sisa zat radioaktif pada pukul 09.00 pagi 𝑝𝑡 =………….? Penyelesaian: 𝑝𝑡 = 𝑝0 (1 − 𝑝)𝑡 𝑝0 = 0,5 𝑘𝑔



𝑡 = 09.00 − 05.00 = 4 𝑗𝑎𝑚



𝑝 = 0,02 Dengan demikian : 𝑝𝑡 = 𝑝0 (1 − 𝑝)𝑡 𝑝𝑡 = 0,5(1 − 0,02)4 = 0,5(0,98)4 = 0,4612 𝑘𝑔 Jadi, sisa zat radioaktif tersebut setelah 4 jam adalah 0,4612 𝑘𝑔



D. Latihan 1.



1



𝟒



𝟏



𝟑



Diketahui a = 8, b = 16 dan c = 4. Maka nilai dari 𝐚− 𝟑 𝐛 𝟒 𝐜 − 𝟐 adalah …



Matematika peminatan-X/Eksponensial dan Logaritma



A. B.



1



C. 1 D. 4 E. 256



256 1 4



2. Penyelesaian persamaan √𝟖𝐱



𝟐 −𝟒𝐱+𝟑



A. - 17 B. - 1 3. Penyelesaian persamaan 𝟒𝐱



𝟐 − 𝟒𝐱+𝟏



A. – 11 B. – 10



𝟏



= 𝟑𝟐𝐱−𝟏 adalah p dan q dengan p > q. Nilai p + 6q = ... C. 4 E. 19 D. 6



= 𝟖 𝐱+𝟒 adalah a dan b. Nilai ab = ... C. – 5 E. 5,5 D. 5



4. Akar–akar persamaan 2.34x– 20.32x + 18 = 0 adalah x1 dan x2. Nilai x1 + x2 = …. A. 0 C. 2 E. 4 B. 1 D. 3 5. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan A. x < –14 B. x < –15 x 6. Nilai x yang memenuhi 3



A. B.



2



𝐿𝑜𝑔 2 8− 2𝐿𝑜𝑔 2



2𝐿𝑜𝑔



A. 10 B. 8



√8 − 2𝐿𝑜𝑔 √2



1 64 3 x  adalah …. 8 2 x 218 x 36



C. x < –16 D. x < -17 2



3 x  4



1 2 }



x2



adalah .... D. { x | -2 < x < 3 } E. { x | -3 < x < 5 }



x  1x 7 x 10  2 x  3x 7 x 10 2



15. Jika anggota himpunan penyelesaian dari persamaan



dijumlahkan, maka hasilnya adalah .... A. 7 C. -4 B. 4 D. 7 16. Nilai x yang memenuhi persamaan



A. 1 B. 10



2



E. -11



𝑥 log 5𝑥 5𝑥 log 5𝑥



= 25 adalah …



C. 100 D. 1000



E. 10000



17. Nilai x yang memenuhi persamaan Log x + 2Log 2x + 3Log 3x = 14Log 2 + 3 Log 3 adalah



… C. 4√3 D. 6



A. 3√2 B. 2√3



E. 6√2



18. Jumlah akar-akar persamaan 2(4x) – 5(2x) + 2 = 0 adalah …



A. -2 B. -1 19. Jika



C. 0 D. 1



2



𝐿𝑜𝑔



1



= 𝑎



3 2



dan 16𝐿𝑜𝑔 𝑏 = 5, maka nilai 3𝐿𝑜𝑔



A. 40 B. 20 20. Himpunan penyelesaian



C.



(𝑥 2 )𝑥



21. Apabila 2𝐿𝑜𝑔 3 = 𝑎 dan 1+𝑎𝑏



B.



1+𝑎+𝑏 1+𝑎𝑏 1+𝑎𝑏+𝑏



=



1 𝑏3



=⋯



40



E. −40



3



D. −



A. {1} B. {2}



A.



E. 2



40



3 4𝑥− 𝑥2 (𝑥)



adalah …



C. {1,2} D. {0, 2}



E. {0, 1, 2}



3



𝐿𝑜𝑔 7 = 2𝑏 maka 42𝐿𝑜𝑔 98 = ⋯ 1+4𝑎𝑏 C. 1+𝑎+2𝑎𝑏 1+𝑎+𝑏 D. 𝑎+1



E.



𝑎 1+𝑎+𝑏



Perhatikan gambar di bawah ini !



Matematika peminatan-X/Eksponensial dan Logaritma



Berdasarkan gambar disamping maka dapat disimpulkan bahwa … A. b < a < 1 B. a < b < 1 C. 1 < b < a D. 1 < a < b



22. Perhatikan gambar di bawah ini !



Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut adalah…. A. f(x) = 2x B. f(x) = 2x + 1 C. f(x) = 3x + 1 D. f(x) = 3x – 2 E. f(x) = 32x – 2



Y



3 2 1 X –2 –1



0



1



2



3



23. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah …



A. B. C. D. E.



{x | –3 < x < 3 {x | – < x < } {x | x < –3 atau x < 3 {x | x < – atau x < } {x | –3 < x < – atau < x < 3}



24. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 32x + 1 + 9 – 28 3x > 0, x ∈ R adalah…



A. B. C. D. E.



x > –1 atau x > 2 x < –1 atau x < 2 x < 1 atau x > 2 x < –1 atau x > 2 x > –1 atau x < –2 1



1



25. Nilai x yang memenuhi persamaan 2 log( x 2  3)  2 log x  1 adalah … A. x = –1 atau x = 3 B. x = 1 atau x = –3 C. x = 1 atau x = 3 D. x = 1 saja E. x = 3 saja



Matematika peminatan-X/Eksponensial dan Logaritma



1. E.



Matematika Peminatan-X/ Eksponensial dan Logaritma