Modul Kebebasan Linear [PDF]

Citation preview

ALJABAR LINEAR (KEBEBASAN LINEAR)



ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd



UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA 2011



IDENTITAS MAHASISWA



NAMA



:



NIM



:



KELAS



:



KELOMPOK :



2



PENDAHULUAN Modul ini disusun untuk membantu mahasiswa dalam mempelajari materi sub ruang. Dengan modul ini diharapkan: a.



Mahasiswa mampu menjelaskan pengertian kombinasi linear



b.



Mahasiswa mampu menjelaskan definisi kebebasan linear



c.



Mahasiswa dapat memberikan contoh himpunan yang bebas linear dan himpunan yang tidak bebas linear



d.



Mahasiswa dapat memahami dan membuktikan teorema kebebasan linear



e.



Mahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan dengan menggunakan teorema kebebasan linear



Modul ini terdiri dari peta konsep, materi prasyarat, dan dua kegiatan belajar. Kegiatan belajar 1 memuat materi yang terkait dengan definisi dari sub ruang. Kegiatan belajar 2 memuat materi tentang teorema sub ruang. Pada masingmasing kegiatan belajar, Anda diberi kesempatan untuk melakukan diskusi dengan kelompok Anda untuk menyelesaikan permasalahan yang sudah diberikan. Hasil diskusi Anda, tuliskan pada lembar jawaban yang sudah disediakan. Anda diharapkan mempelajari modul ini dengan baik, kemudian jika ada kesulitan dalam mempelajarinya coba tanyakan pada dosen pengampu. Selamat Belajar !



3



PETA KONSEP KEBEBASAN LINEAR



KOMBINASI LINEAR



MERENTANG



Sebuah vector 𝑤 dinamakan kombinasi linear dari vector-vektor 𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 , … , 𝒗𝒓 jika vector tersebut dapat diungkapkan dalam bentuk



(Jika setiap vector di V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear)



𝑤 = 𝑘1 𝑣1 + 𝑘2 𝑣2 + ⋯ + 𝑘𝑟 𝑣𝑟 Dimana 𝑘1 , 𝑘2 , … , 𝑘𝑟 adalah skalar



KEBEBASAN LINEAR Jika 𝑆 = 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑟 adalah himpunan vector, maka persamaan vector 𝑘1 𝑣1 + 𝑘2 𝑣2 + ⋯ + 𝑘𝑟 𝑣𝑟 = 0 Mempunyai paling sedikit satu pemecahan, yakni 𝑘1 = 0,



𝑘2 = 0, … , 𝑘𝑟 = 0



Jika ini adalah satu-satunya pemecahan, maka S dinamakan himpunan bebas linear. Jika ada pemecahan lain, maka S dinamakan himpunan tak bebas linear



TEOREMA 1.2 Himpunan S dengan dua vector atau lebih adalah a. Tak bebas linear jika dan hanya jika paling tdk salah satu vector di S dpt dinyatakan kombinasi linear dari vector di S yang lain b. Bebas linear jika dan hanya jika tdk ada vector S yang dpt dinyatakan sbg kombinasi linear dari vector S lainnya



4



PRASYARAT KOMBINASI LINEAR



Definisi:



Sebuah vector 𝑤 dinamakan kombinasi linear dari vector-vektor 𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 , … , 𝒗𝒓 jika vector tersebut dapat diungkapkan dalam bentuk 𝑤 = 𝑘1 𝑣1 + 𝑘2 𝑣2 + ⋯ + 𝑘𝑟 𝑣𝑟 Dimana 𝑘1 , 𝑘2 , … , 𝑘𝑟 adalah skalar



Misalkan



=



,



,



dan



=



, ,0 di



3



. Tentukanlah mana yang merupakan



kombinasi linear yang dapat dibentuk dari kedua vector tersebut ! a.



=



, ,



b.



=



, ,



c.



=



, ,



d.



= 0,0,0



5



Lembar Jawaban



6



KEGIATAN BELAJAR 1



Definisi Kebebasan Linear Jika 𝑆 = 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑟 adalah himpunan vector, maka persamaan vector 𝑘1 𝑣1 + 𝑘2 𝑣2 + ⋯ + 𝑘𝑟 𝑣𝑟 = 0 Mempunyai paling sedikit satu pemecahan, yakni 𝑘1 = 0,



𝑘2 = 0, … , 𝑘𝑟 = 0



Jika ini adalah satu-satunya pemecahan, maka S dinamakan himpunan bebas linear. Jika ada pemecahan lain, maka S dinamakan himpunan tak bebas linear



Setelah melakukan diskusi dengan kelompok Anda, selesaikan, permasalahan berikut! Tuliskan hasil diskusi Anda pada lembar jawaban yang sudah disediakan! (waktu 15 menit) 1. Misalkan himpunan vektor-vektor



=



1, 2, 3



. Pilihlah 3 buah vector



untuk menjadi anggota dari himpunan tersebut, kemudian cek apakah himpunan yang kalian buat tersebut merupakan himpunan bebas linear atau himpunan tak bebas linear? 2. Dari hasil nomor 1, coba diskusikan apa hubungan antara kebebasan linear dengan pemecahan trivial?



7



Lembar Jawaban



8



KEGIATAN BELAJAR 2



Istilah tak bebas linear menyarankan bahwa vektor-vektor tersebut “saling bergantung” dengan cara tertentu. Teorema berikut menunjukkan bahwa kasus tersebut merupakan satu kenyataan



TEOREMA 1.2 Himpunan S dengan dua vector atau lebih adalah c. Tak bebas linear jika dan hanya jika paling tdk salah satu vector di S dpt dinyatakan kombinasi linear dari vector di S yang lain d. Bebas linear jika dan hanya jika tdk ada vector S yang dpt dinyatakan sbg kombinasi linear dari vector S lainnya



Diskusikan dengan kelompok Anda permasalahan berikut! 1. Tunjukkan dan periksa bentuk tak bebas linear dari vector berikut ! (waktu 15 menit) a.



,



b.



, , ,



c.



, , , 0, , ,



, ,



, , , ,



, ,



, 0, ,0, , , ,



, ,



2. Buktikan teorema 1.2 bagian a tersebut ! (waktu 20 menit)



Catatan : Untuk bagian b, Anda selesaikan di rumah sebagai tugas Individu



9



Lembar Jawaban



10