Modul Lingkaran [PDF]

Citation preview

Modul LINGKARAN



KATA PENGANTAR



Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas tersusunnya modul materi pembelajaran matematika untuk siswa SMP. Penulis berharap kiranya modul ini dapat bermanfaat sebagai acuan peningkatan proses pembelajaran dan hasil belajar siswa di SMP Negeri 1 Purwosari. Akhirnya semoga modul ini dapat memberikan manfaat kepada siswa untuk membantu kesulitan belajar matematika. Kritik dan saran dari rekan-rekan guru, senantiasa kami nantika demi penyempurnaan modul ini.



Pasuruan, Januari 2012 Penulis,



Noer Imamah NIP.19740919 200012 2 003



1



Modul LINGKARAN PENDAHULUAN



Matematika sebagai ilmu dari segala bidang ilmu pengetahuan, yang saat ini telah berkembang sangat pesat abik dari materi maupun kegunaannya, Karena hal inilah, maka diperlukan media pembelajaran untuk siswa agar memudahkan dalam belajar matematika. Salah satu media pembelajaran untuk siswa berupa modul, yang dapat membantu siswa dalam meningkatkan hasil belajar. Tanpa disadari ternyata kegiatan dalam kerja sama antar siswa dalam belajar kelompok tanpa bimbingan guru ( belajar mandiri ) dapat meningkatkan minat siswa belajar. Dengan langkah ini diharapakan siswa dapat mengatasi kesulitan dan hambatan dalam mempelajari matematika. Tujuan dari modul ini yaitu untuk melatih siswa belajar secara mandiri . Selain itu juga digunakan sebagai perbaikan pembelajaran bagi siswa yang tidak tuntas dalam belajar. Apabila siswa mengalami kesulitan dalam mempelajari modul ini, maka siswa dapat mencatat pada buku catatan untuk ditanyakan kepada guru pengajar pada waktu pertemuan berikutnya. Modul ini berjudul Lingkaran. Modul tersebut disusun dalam usaha meningkatkan penguasaan kompetensi dasar siswa , khususnya siswa dalam menghadapi ujian sekolah maupun ujian nasional.



2



Modul LINGKARAN



PETUNJUK BELAJAR



Dalam mempelajari modul ini dengan baik, supaya diperhatikan hal-hal sebagai berikut : 1. Keberhasilan belajar dengan modul tergnatung dari kedisiplinan dan ketekunan kalian dalam memahami langkah-langkah belajarnya. 2. Balajar dengan modul dapat dilakukan secara mandiri atau kelompok, baik didalam kelas atau diluar kelas. 3. Langkah-langkah yang perlu kalian ikuti secara berututan dalam mempelajari modul ini adalah sebagai berikut : a. Baca dan pahami benar-benar tujuan yang terdapat dalam modul ini, perhatikan materi pokoknya dan urain materinya. b. Bila dalam mempelajari materi operasi aljabar mengalami kesulitan, diskusikan dengan teman-teman yang lain. Dan bila belum terpecahkan tanyakan pada guru pengajar. c. Setelah memahami materi operasi aljabar, kajilah contoh soal. Apa bila sudah mengerti kerjakan tugas-tugas dalam pada buku tugas. d. Periksa hasil penyelesaian tugas tersebut malalui kunci jawaban yang tersedia. Apabila ada jawaban yang salah, maka pelajari materi opersi aljabar yang telah dipelajari berulangulang samapai mengerti. e. Bila sudah dapat menyelesiakan tugas pada modul ini dengan baik, kerjakan tes evaluasi. Bila dalam tes akhir modul dapat mencapai nilai 75, dapat mempelajari modul berikutnya. 4. Urutan kegiatan diatas harus ditaati, agar berhasil dalam mempelajari modul ini.



Selamat belajar, semoga berhasil.



3



Modul LINGKARAN



A. PENDAHULUAN Pada kesempatan ini akan dibahas materi pelajaran Lingkaran. Dengan mempelajari materi ini, dapat membantu menyelesaikan masalah kehidupana sehari-hari misalnya menghitung keliling maupun luas bangun datar berbentuk lingkaran yang memerlukan proses perhitungan yang rumit. Modul ini terdiri dari empat program pembelajaran, kegiatan dan waktu yang disediakan 14. jam pelajaran.



Program pembelajaran I Membedakan lingkaran dan bidang lingkaran serta dapat menyebutkan unsur-unsur dan bagian-bagian lingkaran pusat lingkaran, jari-jari, diameter, tali busur, juring dan tembereng, menentukan nilai panjang keliling dan luas bidang lingkaran dengan menggunakan rumus, menentukan hubungan sudut pusat, luas juring dan panjang busur, waktu yang disediakan 4 jam pelajaran.



Program pembelajaran II Menentukan hubunga sudut pusat dan sudut keliling jika menghadap busur yang sama, menentukan besar sudut keliling jika menghadap diameter, menentukan sudut segi empat tali busur dan sudut antara dua talibusur, sudut perpotongan di luar lingkaran, waktu yang disediakan 2 jam pelajaran.



Program pembelajaran III Menjelaskan pengertian garis singgung lingkaran, menggambar garis singgung lingkaran pada suatu titik, menggambar dua garis singgung lingkaran melalui sutu titik di luar lingkaran, menentukan kedudukan dua lingkaran, menghitung panjang garis singgung dari sebuah titik di luar lingkaran, waktu yang disediakan 2 jam pelajaran.



Program pembelajaran IV Melukis garis singgung persekutuhan luar dua lingkaran, menghitung panjang garis singgung persekutuhan luar dua lingkaran, melukis garis singgung persekutuhan dalam dua lingkaran, menghitung panjang garis singgung persekutuhan dalam dua lingkaran, waktu yang disediakan 2. jam pelajaran.



Program pembelajaran V Menerapkan Konsep garis singgung dalam kehidupan sehari-hari, lingkaran dalam dan lingkaran luar segitiga, waktu yang disediakan 2 jam pelajaran.



4



Modul LINGKARAN Setelah menyelesaikan kegitan diatas, dilanjutkan dengan mengikuti tes akhir modul waktu yang disediakan 2 x 40 menit atau 2 jam pelajaran.



B. PROGRAM PEMBELAJARAN



PROGRAM PEMBELAJARAN I Materi Kelas Waktu



: Lingkaran : VIII : 4 x 40menit



A. Kompetensi/Tujuan yang ingin dicapai Setelah mempelajari materi ini, diharapkan siswa mampu a. Membedakan lingkaran dan bidang lingkaran serta dapat menyebutkan unsur-unsur dan bagianbagian lingkaran pusat lingkaran, jari-jari, diameter, tali busur, juring dan tembereng. b. Menentukan nilai panjang keliling dan luas bidang lingkaran dengan menggunakan rumus. c. Menentukan hubungan sudut pusat, luas juring dan panjang busur



B. Pokok-pokok Materi a. Membedakan lingkaran dan bidang lingkaran serta dapat menyebutkan unsur-unsur dan bagianbagian lingkaran pusat lingkaran, jari-jari, diameter, tali busur, juring dan tembereng. b. Menentukan nilai panjang keliling dan luas bidang lingkaran dengan menggunakan rumus. c. Menentukan hubungan sudut pusat, luas juring dan panjang busur



C. Metode yang digunakan : Proses pembelajaran menggunakan metode ceramah, tanya jawab dan penugasan, penemuan.



D. PENDALAMAN MATERI A. LINGKARAN DAN UNSUR-UNSURNYA 1. Pengertian lingkaran Lingkaran adalah kurve tertutup sederhana yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Jarak yang sama tersebut disebut dengan jari-jari lingkaran dan titik tertentu disebut pusat lingkaran.



.



A



.



B



O D



C



5



Modul LINGKARAN



Garis lengkung yang tercetak tebal yang berbentuk lingkaran disebut keliling lingkaran, sedangkan daerah arsiran di dalamnya disebut biadang lingkaran atau luas lingkaran. Titik A, B, C dan D yang terletak pada kurva tertutup sederhana sedemikian sehingga OA = OB = OC = OD = jari-jari lingkarab ( r ) . titik O disebut pusat lingkaran. 2. Unsur-unsur linkaran busur



tembereng



.



tali



bu sur



.



juring



apotema



B



O A



D



C



a. Titik pusat Titik pusat lingkaran adalah titik yang terletak di tengah-tengah lingkaran. Pada gambar titik O merupakan titik pusat lingkaran, denagn demikian lingkaran tersebut dinamakan lingkaran O. b. Jari jari ( r ) Sepertiyang telah dijelaskan sebelumya, jari-jari adalah garis darititik pusat lingkaran ke lengkungan lingkaran. c. Diameter ( d ) Diameter adalah garis lurus yang menghubungkandua titik pada lengkunganlingkaran dan melalui titik pusat. d. Busur Dalam lingkaran, busur lingkaran merupakan garis lengkung yang terletak pada lengkungan lingkarandan menghubungkan dua titik sembarangdi lengkungan tersebut. e. Tali busur Tali busur lingkaran adalah garis lurus pada lingkaran yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran. f. Tembereng Tembereng adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh busur dan tali busur. g. Juring Juring lingkaran adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua buah jari-jari lingkaran dan sebuahbusur yang diapit oleh kedua jari-jari lingkaran tersebut. h. Apotema Pada sebuah lingkaran, apotema merupakan garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan tali busur lingkaran tersebut. Garis yang di bentuk bersifat tegak lurus debgan tali busur.



6



Modul LINGKARAN B. KELILING DAN LUAS LINGKARAN 1. Menentukan nilai π Nilai π adalah nilai perbandingan keliling lingkaran (k) dengan diameter (d) atau ditulis 𝐾 𝑑



dengan persamaan π =



Kegiatan siswa Dengan menggunakan mistar, ravia , ukurlah dengan cermat diameter (garis tengah) dan keliling bermacam-macam benda yang mempunyai bentuk lingkaran (paling sedikit 7 macam). Catatlah hasilnya pada table berikut. 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 NO BENDA Diameter ( cm ) Keliling Π =𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟 Lingkaran ( cm ) 1 2 3 4 5 6 7 Apakah nilai π yang kalian peroleh mendekati 3,14 ? Jika dalam suatu perhitungan hanya memerluka ketelitian sampai dua tempat decimal, pendekatan untuk  adalah 3,14. Pecahan bilangan



22 7



22 7



jika dinyatakan dalam pecahan desimal adalah 3,142857143. Jadi



dapat dipakai sebagai pendekatan untuk nilai.



2. Keliling Lingkaran 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔



Nilai 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟 akan memberikan nilai yang mendekati 3,14. Untuk nilai selanjutnya, nilai



𝑘𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟



disebut dengan konstanta (  dibaca: pi ).



Menurut penelitian yang cermat, ternyata nilai  = 3,13 1592 6535 8979324836……………. Jadi, nilia  hanyalah suatu pendekatan.



 = 3,14 atau



𝐾𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 ( 𝐾 )



22



Pada setiap lingkaran perbandinga 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟 ( 𝑑 )



7



menunjukkan bilangan yang sama atau tetap disebut .



𝐾𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 ( 𝐾 )



Karena 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟 ( 𝑑 ) =  sehingga K didapat k = d Karena panjang diameter adalah 2 X jari-jari atau d = 2r maka K = 2r. Jadi didapat keliling ( K ) lingkaran dengan diameter ( d ) atau jari-jari ( r ) adalah : 7



Modul LINGKARAN



Keliling Lingkaran :



K =d atau K = 2r



Keliling lingkaran sama dengan  dikalikan dengan diameter lingkaran atau 2 dikalikan dengan jari-jari lingkaran. Jika lingkaran berjari-jarir, dan diametr lingkaran d, maka keliling lingkaran adalah K = 2r = d. CONTOH : 1. Sebuah lingkaran memiliki panjang diameter 35 cm. Tentukan : a. Panjang jari-jari b. keliling lingkaran 2. Panjang jari-jari sebuah roda adalah 50 cm. Tentukanlah : a. Diameter ban sebuah roda tersebut b. keliling ben sepeda tersebut JAWAB: 1. Diketahui d = 35 cm a. D = 2r maka 35 cm = 2r r=



35 2



= 17,5, jadi panjang jari-jari adalah 17,5 cm



b. K = d maka K =



22 7



x 35 cm



= 22 x 5 cm = 110 cm. jadi keliling lingkaran adalah 110 cm 2. Diketahui r = 50 cm a. D = 2r maka d = 2 ( 50 ) = 100. jadi panjang diameternya adalah 100 cm b. K = d maka K = 3,14 x 100 cm = 314 cm. jadi panjang kelilingnya adalah 314 cm 3. Luas lingkaran



Siswa dapat membuktikan secara kontektual/nyata bahwa luas lingkaran sama dengan 1 2



Luas persegi panjang yang panjangnya sama dengan keliling lingkaran dan lebarnya sama dengan jari-jarinya. Langkah-langkah menemukan rumus luas lingkaran - Membuat dua lingkaran dengan jari-jari 12 cm - Lingkaran 1 dibagi menjadi 9 juring yang sama dengan menggunakan busur derajat sehingga sudut pusat sama dengan 400 - Lingkaran 2 diperlakukan sama dengan lingkaran 1 - Setengah lingkaran 1 dan setengan lingkaran 2 disatukan



8



Modul LINGKARAN - Setengah lingkaran 1 dan setengan lingkaran 2 dipotong sesuai dengan juring, kemudian ditata seperti gambar terlampir. - seperti gambar terlampir.



Jika kamu amati dengan teliti, susunan petongan-potongan juring tersebut menyerupai persegi panjang dengan ukuran panjang setengah keliling lingkaran dan lebar sehingga luas bengunan tersebut adalah : Luas persegi panjang = p x l 1



= 2 keliling x r =



1 2



= r



x (2r) x r 2



Luas daerah lingkaran: Luas sebuah lingkaran ( yang seterusnya disebut luas lingkaran ) sama dengan p dikalikan dengan kuadrat dari panjang jari-jari lingkaran itu. Jika lingkaran berjari-jari r, maka luas lingkaran itu, L = r2 CONTOH: 1. Luas sebuah lingkaran adalah 1.386 cm2. Tentukan : a. Jari-jari lingkaran Diketahui L = 1.386 cm2 22 xr2 2 22 r2 = x 1.386 7



L = r2 maka: 1.386 cm2 =



r2 = 22 x 63 9



Modul LINGKARAN r2 = 441 r = √441 r = 21 4. HUBUNGAN SUDUT PUSAT, PANJANG BUSUR, DAN LUAS JURING



P O



A



Dari gambar gambar disamping, terdapat hubungan :



Q



𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝐴𝑂𝐵 𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑃𝑂𝑄



=



𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝐴𝐵



=



𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝑃𝑄



𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑗𝑢𝑟𝑖𝑛𝑔 𝐴𝑂𝐵 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑗𝑢𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑃𝑂𝑄



B



Panjang busur AB =



𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝐴𝑂𝐵 3600



x Keliling lingkaran



O



Luas juring AOB A



B



=



𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝐴𝑂𝐵 3600



x luas lingkaran



Luas tembereng AB = Luas juring AOB - luas segitiga AOB



CONTOH : 1pada gambar disamping di ketahui ∠AOB = 600 dan ∠POQ = 800 . Jika panjang busur AB = 24 cm, Tentukan panjang busur PQ.



P



Jawab :



A



O 600



800



∠𝐴𝑂𝐵 Q



∠𝑃𝑂𝑄



=



𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝐴𝐵 𝑥







600 800



=



24 𝑥



 60 x = 80 . 24



B



x =



80 . 24 60



= 32 cm



Jadi panjang busur PQ adalah 32 cm



CONTOH :



A 900 O



Dari gambar disamping, jikaOA = 10 cm dan  = 3,14. Tentukan : a. Keliling lingkaran, d. panjang busur AB,



B



10



Modul LINGKARAN b. Luas lingkaran, c. Luas juring AOB,



e. luas segitiga AOB, dan f. luas tembereng AB!



JAWAB : Jari-jari = r = 10cm, p = 3,14, ∠ AOB = 900 a. Keliling lingkaran K = 2r = 2. 3,14 . 10 = 62,8 cm b. Luas lingkaran L = r2 = 3,14 . 10 .10 = 314 cm2 c. Luas juring APB = =



𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝐴𝑂𝐵 3602 902 x 314 3602



x luas lingkaran



= 78, 5 cm2 d. Panjang busur AB = =



𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝐴)𝐵 3602 900 x 62,8 3600



x keliling lingkaran



=15,7 cm



e. Luas segitiga AOB 1



= 2 AO . OB 1 2



= x 10 . 10 f.



= 50 cm2 Luas Tembereng AB = Luas juring AOB – Luas segitiga AOB = 78,5 – 50 = 28,5 cm2



11



Modul LINGKARAN



KEGIATAN SISWA C



1.



Pada gambar disamping di ketahui ∠ AOB = 1000 dan ∠ COD = 400. Jika panjang busur AB = 60 cm, tentukan panjang busur CD! Jawab: ………………………………………………………………… ……………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………



A D



0



40 1100 O



B



P



1c m



2. O



600



Q



3. O



14 cm 720



B



K



4. O



8 cm



L



Perhatikan gambar disamping! Tentukan panjang busur PQ pada gambar disamping! Jawab : ……………………………………………………………… ............................................................................................................. ……………………………………………………………………….



Pada gambar disamping, diketahui ∠ AOB = 720. A Jika panjang jari-jari 14cm. Tentukan juas jarring AOB! Jawab : …………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………..



Jika p = 3,14 dan ∠ KOL = 900 maka hitunglah luas daerah yang diarsir! Jawab : …………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….



J 5. O



B



A



Gambar disamping adalah lingkaran berjari-jari 14 cm. tentukan : a. keliling lingkaran e. Luas juring AOB b. panjang busur AB f. luas ∆ AOB c. luas lingkaran g. luas tembereng AB d. luas daerah yang diarsir



12



Modul LINGKARAN



PROGRAM PEMBELAJARAN II Materi Kelas Waktu



: Lingkaran : VIII : 2 x 40menit



A. Kompetensi/Tujuan yang ingin dicapai Setelah mempelajari materi ini, diharapkan siswa mampu - Menentukan hubungan sudut pusat dan sudut keliling jika menghadap busur yang sama - Menentukan besar sudut keliling jika menghadap diameter - Menentukan sudut segi empat tali busur dan sudut antara dua talibusur, sudut perpotongan di luar lingkaran



B. Pokok-pokok Materi - Sudut pusat dan sudut keliling jika menghadap busur yang sama - Besar sudut keliling jika menghadap diameter - Segi empat tali busur , sudut antara dua talibusur dan sudut perpotongan di luar lingkaran



C. Metode yang digunakan : Proses pembelajaran menggunakan metode ceramah, tanya jawab dan penugasan.



D. PENDALAMAN MATERI SUDUT PUSAT DAN SUDUT KELILING 1. Hubunga Sudut Pusat Dan Sudut Keliling Jika Menghadap Busur Yang Sama Untuk membahas sudut pusat dan sudut keliling, perhatikan gambar berikut. Perhatikan gambar ( i ) ! Titik O adalah pusat lingkaran. Sudut yang titik sudutnya adalah C titik pusat lingkaran dan kaki-kakinya adalah jari-jari lingkaran disebut sudut pusat. O CONTOH : ∠ AOB, ∠BOC, ∠ AOC Perhatikan gambar ( ii ) ! A (i) Sudut yang semua titiksudutnya adalah titik-titik pada keliling lingkaran disebut sudut keliling. CONTOH : ∠ KML, ∠ MKN



N



M



B



L K ( ii )



13



Modul LINGKARAN Perhatikan gambar disamping! ∠ AOB dinamakan sudut pusat ∠ ABC dinamakan sudut keliling ∠ AOB dan ∠ ABC Menghadap busur yang sama yaitu AB, Maka : Besar sudut pusat = 2 kali besar sudut keliling ∠ AOB = 2 ∠ ABC, atau



B



.



O



1



Besar sudut kuliling



= 2 kali besar sudut pusat 1



∠ ABC



= 2 ∠ AOB



C



CONTOH : Pada gambar disamping, besar ∠ ACB = 500 , hitunglah : a. Besar ∠ AOB b. besar ∠ BDA



B



.



C



O



= = =



1 x ∠ AOB (untuk 2 1 x ( 3600 – 1000 ) 2 1 x 2600 = 1300 2



D



A



JAWAB : ∠ AOB dan ∠ ACB menghadap busur yang sama ( busur AB ) maka a. Besar ∠ AOB = 2 x ∠ ACB = 2 x 500 = 1000



b. Besar ∠ BDA



A



sudut besar)



2. Besar Sudut Keliling Jika Menhhadap Diameter Dan Busur Yang Sama a. Besar setiap sudut keliling yang menghadap diameter adalah 900 ( siku-siku ). Perhatikan gambar disamping ! C AB merupakan diameter. Maka ∠ ABC = 900 B A



.



O



b. Besar sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah sama besar. ∠ ACB, ∠ ADB, dan ∠ AEB menghadap busur AB, maka: Besar ∠ ACB = besar ∠ ADB = besar ∠ AEB



D



C



. A



E



B



CONTOH: Pada gambar dibawah, PQ adalah garis tengah (diameter). Hitunglah ∠ Q! JAWAB : 14



Modul LINGKARAN R



P



3x0



.



O



2x0



Q



∠ P + ∠ Q + ∠ R = 1800 Besar ∠ R = 900 , sebab menghadap diameter. ∠ P + ∠ Q = 1800 - 900 3x + 2x = 900 5x = 900 X = 180 besar∠ Q = 2x = 2 . 180 = 360



Jadi, besar sudut Q adalah 360.



KEGIATAN SISWA



15



Modul LINGKARAN



1. ∠ PSR = 600. Carilah: a. Besar ∠ POR b. Besar ∠ PQR Jawab : ……………………………………………………… ……………………………………………………………….



S



.



O R Q



P



2. Perhatikan gambar disamping ! Jika ∠ AOC = 840, maka tentukan besar ∠ ABC ! Jawab : …………………………………………………………… …………………………………………………………………….



B



C



.



O



A



.



3. Diketahui ∠ 1500, tentukan besar ∠ 𝐴𝐶𝐵 ! Jawab : …………………………………………………………. …………………………………………………………………..



C



4. Diketahui ∠ OBA = 500, tentukan : a. Besar ∠ AOB b. Besar ∠ ACB ! Jawab : ………………………………………………………… …………………………………………………………………..



A



O A



B



.



C



O



B C B



5. Berdasarkan gambar disamping, tentukan besar ∠ BAD ! Jawab : ………………………………………………………… ………………………………………………………………….



.



0



56



O 720



D



A



16



Modul LINGKARAN SEGIEMPAT TALI BUSUR DAN SUDUT ANTARA DUA TALI D BUSUR 1. Segiempat tali busur Segi empat tali busur adalah suatu segiempat yang keempat titik sudutnya C O taerletak pada lingkaran, atau semua sisi-sisinya merupakan tali busur E lingkaran . A B Perhatikan gambar disamping ! ABCD adalah sebuah segiempat tali busur, karena sisi AB, BC, CD, dan AD merupakan tali busur lingkaran dengan titik pusat O. Sifat-sifat segiempat tali busur adalah sebagai berikut. a. Pada sebuah segiempat tali busur, jumlah dua sudut yang berhadapan adalah 1800. ∠ BAD + ∠ BCD = 1800 ∠ ADC + ∠ ABC = 1800 Pada segi empat tali busur tersebut berlaku: AE x CE = BE x DE AC x BD = (AB x CD) + (AD x BD) b. Jika tali busur dari segiempat tali busur sama panjang, akan terbentuk suatu persegi. c. Segiempt tali busur yang diagonalnya merupakan diameter lingkaran adalah persegi panjang. d. Segiempat tali busur yang salah satu diagonalnya merupakan diameter lingkaran disebut segiempat tali busur siku-siku.



.



2. Sudut antara dua tali busur a. Berpotongan didalam lingkaran Besar sudut yang dibentuk = jumlah sudut keliling yang menghadap busur yang terletak diantara kaki-kaki sudutnya. ∠ AEB =∠ CED = ∠ ACB + ∠ DBC



D B E



.



O



A C



Atau C



1



Besar sudut yang dibentuk = 2 jumlah sudut pusat yang menghadap busur D



yang terletak diantara kaki-kaki sudutnya.



E



1 2



∠ AEB = (∠ AOB + ∠ DOC)



.



O



A



CONTOH : Pada gambar diamping , diketahui ∠ AOB = 700 dan busur ∠ COD = 600 . tentukan besar ∠ AEB. JAWAB : ∠ AEB



=



1 2



B



C



B



.



E



(∠ AOB + ∠ DOC)



O



D



A



17



Modul LINGKARAN 1



= 2 (700 + 600)



= 650



b. Berpotongan di luar lingkaran ∠ AEC merupakan sudut keliling luar adalah sudut yang dibentuk oleh perpangjangan dua tali busur. besar ∠ AEC = selisih keliling yang menghadap busur yang terletak diantara kedua kaki sudutnya ∠ AEC = ∠ ACD - ∠ CAE



D C E B



A



Atau 1



Besar ∠ AEC = 2 selisih sudut pusat yang menghadap busur



D



1 2



∠ AEC = ( sudut pusat busur besar – sudut pusat sudut



C



.



yang terletak diantara kedua kaki sudutnya.



E



O



B



A



kecil ) 1 2



∠ AEC = (∠ AOD - ∠ BOC) CONTOH ∶ pada gambar disamping, diketahui ∠ POQ = 800 dan ∠ ROS = 400, tentukan ∠ PTQ ! JAWAB : ∠ PTQ



1 = 2 (∠ POQ - ∠ROS) 1 = 2 ( 800 - 400)



Q O



.



R T S



P



= 200



18



Modul LINGKARAN



KEGIATAN SISWA 1. Dari segiempat ABCD disamping diketahui ∠ ACD = 900 dan ∠ BAD = 1100, tentukan a. Besar ∠ DCB b. besar ∠ ABC Jawab : …………………………………………………………….. …………………………………………………………………….



A D



. B C



R



S 5x0



2. Dari gambar disamping , tentukan a. Nilai x b. besar ∠ Q c. besar ∠ S Jawab : ……………………………………………………………. ……………………………………………………………………..



. 800



3x0



P



3. Pada gambar disamping, jika PR = 15 cm dan QS = 12 cm, tentukan panjang PS! Jawab : …………………………………………………………… …………………………………………………………………….



Q



S



9 R .



8



O



Q 10



P



4. Pada gambar disamping tentukan besar ∠ PTR ! Jawab : ……………………………………………………………. ……………………………………………………………………..



R 1100



. O



S 400



T Q



P



5. Perhatikan gambar disamping ! Jika ∠ AOB = 950 dan ∠ DOC = 350 , maka tentukan besar ∠AEB ! Jawab : ……………………………………………………………… ……………………………………………………………………….



C D E



.



O



A B



19



Modul LINGKARAN



PROGRAM PEMBELAJARAN III Materi Kelas Waktu



: Lingkaran : VIII : 2 x 40 menit



A. Kompetensi/Tujuan yang ingin dicapai Setelah mempelajari materi ini, diharapkan siswa mampu a. Menjelaskan pengertian garis singgung lingkaran b. Menggambar garis singgung lingkaran pada suatu titik c. Menggambar dua garis singgung lingkaran melalui sutu titik di luar lingkaran d. Menentukan kedudukan dua lingkaran e. Menghitung panjang garis singgung dari sebuah titik di luar lingkaran



B. Pokok-pokok Materi a. b. c. d. e.



Menjelaskan pengertian garis singgung lingkaran Menggambar garis singgung lingkaran pada suatu titik Menggambar dua garis singgung lingkaran melalui sutu titik di luar lingkaran Menentukan kedudukan dua lingkaran Menghitung panjang garis singgung dari sebuah titik di luar lingkaran



C. Metode yang digunakan : Proses pembelajaran menggunakan metode ceramah, tanya jawab dan penugasan



D. PENDALAMAN MATERI A. GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN DUA LINGKARAN 1. Pengertian Garis Singgung Lingkaran Garis singgung lingkaran adalah suatu garis yang memotong lingkaran hanya pada sutu titik yaitu pada titik singgungnya dan tegak lurus dengan jari-jari atau diameter yang melalui titik singgungnya. M



O



N



P



Pada gambar di atas ! - Garis NM dan PN adalah garis singgung lingkaran 20



Modul LINGKARAN -



-



-



Garis OM dan OP adalah jari-jari lingkaran Garis MN⊥ OM sehingga ∠ OMN merupakan sudut siku-siku Dua garis singgung lingkaran ( garis MN dan PN ) yang melalui satu titik diluar lingkaran (titik N) memiliki panjang yang sama. Panjang MN = panjang PN Persegi panjang OMPN disebut sebagai laying-layang garis singgung lingkaran



2. Menggambar Garis Singgung Lingkaran Pada Suatu Titik Pada Lingkaran a. Lukis lingkaran P b. Tentukan sembarang titin pada lingkaran (misal S) c. Tarik garis PS dan perpanjang (missal sampai Q) d. Buat sembarang busur dengan pusat di S hingga memotong ruas garis PQ di dua tempat (missal di A dan B) e. Buat sembarang busur dengan pusat di A dan B sehingga berpotongan di C dan D



f.



Hubungkan C dan D maka ruas garis CD merupakan garis singgung lingkaran dititik S C Q B S P



A



D



3. Menggambar Dua Garis Singgung Melalui Satu Titik di Luar Lingkaran Gambar di bawah ini merupakan lukisan garis singgung lingkaranyang melalui satu titik di luar lingkaran. Langkah-langkah melukis sebagai berikut. a. Buat lingkaran, misalberpusat di O b. Ambil sembarang titik di luar lingkaran (missal di A) c. Hubungkan O dengan A d. Tentukan titik tengan OA (missal P) dengan jangka e. Buat busur yang berpusat di P hingga memotong lingkaran di Q dan R f. Hubungkan A dengan Q dan A dengan R maka didapat garis singgung lingkaran yang dimaksud. Q



P



O



R



A



21



Modul LINGKARAN



4.



Kedudukan Dua Lingkaran Keterangan gambar



Syarat



Hubungan kedudukan



MN > R + r



2 lingkaran tidak berpotongan



N



MN = R + r



2 lingkaran bersinggungan di luar



N



MN < R + r



2 lingkaran berpotongan



MN = R – r



2 lingkaran bersinggungan dalam



M



N



M



M



M



N



B. MENGHITUNG PANJANG GARIS SINGGUNG Untuk menghitung panjang garis Singgung dapat digunkan teorema Pythagoras, yaitu



M



O



N



(ON)2 = (MN)2 + (OM)2 P



MN =√𝑶𝑵 𝟐 − 𝑶𝑴𝟐 22



Modul LINGKARAN



Contoh soal M



Pada gambar disamping garis MN merupakan garis singgung lingkaran. Panjang ON = 10 cm dan jari O



N



jari OM = 6 cm. Hitunglah panjang garis singgung lingkaran MN!



Jawab: OM = 6 cm dan ON = 10 cm Menurut dalil Pythagoras MN2 = ON2 - OM2 MN2 = 102 - 62 = 100 - 36 MN =√64 = 8 cm Jadi, panjang garis singgung MN = 8 cm



23



Modul LINGKARAN



LEMBAR KERJA SISWA



Q



Kerjakan soal-soal di bawah ini! 1. Apa yang dimaksud : a. Garis singgung suatu lingkaran? b. Garis singgung suatu lingkaran tegak lurus dengan apa? c. Perhatikan gambar berikut -



A



O



P



Disebut apakah garis PQ? Garis apakah yang tegak lurus dengan PQ? Disebut aoakah titik A ?



2. Gambarlah garis singgung lingkaran pada suatu titik di lingkaran tersebut! Tulislah langkah-langkahnya!



3.



B



A



A



.P



B



B



A



.



O



B



A



Perhatikan gambar disamping! Berikan penjelasan tentang kemungkinan kedudukan dua lingkaran pada gambar di samping!



4. Pada gambar disamping PA = PB merupakan garis singgung. Panjang jari-jari OA = 5 cm dan OP = 13 cm. Hitunglah : a. Panjang garis singgung PA, dan b. Luas ∆ OPA! 5. Pada gambar no. 4 di atas, hitunglah : a. Luas laying-layang OAPB b. Panjang tali busur AB !



A



O



P



B



24



Modul LINGKARAN



PROGRAM PEMBELAJARAN IV Materi Kelas Waktu



: Lingkaran : VIII : 2 x 40 menit



A. Kompetensi/Tujuan yang ingin dicapai Setelah mempelajari materi ini, diharapkan siswa mampu a. Melukis garis singgung persekutuhan luar dua lingkaran b. Menghitung panjang garis singgung persekutuhan luar dua lingkaran c. Melukis garis singgung persekutuhan dalam dua lingkaran d. Menghitung panjang garis singgung persekutuhan dalam dua lingkaran



B. Pokok-pokok Materi a. Melukis garis singgung persekutuhan luar dua lingkaran b. Menghitung panjang garis singgung persekutuhan luar dua lingkaran c. Melukis garis singgung persekutuhan dalam dua lingkaran d. Menghitung panjang garis singgung persekutuhan



C. Metode yang digunakan : Proses pembelajaran menggunakan metode ceramah, tanya jawab dan penugasan



D. PENDALAMAN MATERI GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN DALAM DAN GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN LUAR DUA LINGKARAN 1. Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran Perhatikan gambar di samping! Pada gambar (i) garis g disebut garis singgung persekutuhan luar.



(i)



g



25



Modul LINGKARAN



g B



A



Pada gambar (ii) garis g dan L disebut garis–garis singgung persekutuan luar.



L



(ii)



a. Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar Langkah-langkah untuk melukis garis singgung persekutuan luar adalah sebagai berikut. 1) Buatlah lingkaran yang berpusat dititik O dengan panjang jari-jari sama dengan panjang jarijari lingkaran O dan P. 2) Buatlah garis pusat OP dengan cara menghubungkantitik O dengan titik P. 3) Tentukan titik tengah OP yaitu titik Qdengan cara membuat busur lingkaran yang berpusat di titik O dan P dengan Panjang jari-jari sama. 4) Buatlah lingkaran yang berpusat di titik Q dan berjari-jari QP sehingga memotong lingkaran (pada langkah 1) di titik R. 5) Hubungkan titik O dengan R dan titik P dengan R. 6) Perpanjang OR sampai memotong lingkaran O di titik S 7) Dari titik S buat garis sejajar PR sehingga diperoleh garis ini akan menyinggung lingkaran P di titik T. 8) Hubungkan titik S dengan T sehingga diperoleh garis ST. garis ST merupakan garis singgung persekutuan dua lingkaran. S R



T



O



P Q



b. Menghitung Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar Gambar di bawah ini menunjukkan lingkaran A berjari-jari r1 dan lingkaran B berjari-jari r2. Jika jarak pusat lingkaran A dan B diketahui.



C D r1 A



r2 B



maka panjang ruas garis singgung 26



Modul LINGKARAN persekutuan luar CD adalah : CD = √𝐴𝐵2 − (𝑟1 − 𝑟2 )2



Keterangan : CD : panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran AB : jarak antara kedua titik pusat lingkaran r1 : Jari-jari lingkaran A r2 : Jari-jari lingkaran B



Contoh soal :



C D



Pada gambar di samping, panjang AB = 17 cm. AC = 10 cm dan Panjang BD = 2 cm. Hitunglah panjang garis singgung persekutuan luar CD! Jawab :



r1



r2 B



A



AB = 17 cm, AC = r1 = 10 cm dan BD = r2 = 2 cm CD = √𝐴𝐵2 − (𝑟1 − 𝑟2 )2 CD = √ 172 − (10 − 2)2 = √172 − 82 = √225 = 15 cm Jadi panjang garis singgung persekutuan luar CD = 15 cm



2. Garis Singgung Persekutuan Dalam Perhatikan gambar berikut Perhatikan gambar (i), garis g disebut garis singgung persekutuan dalam. Pada gambar (ii), garis g dan L disebut Garis singgung persekutuan dalam.



g



.



m



. n (ii)



L



a. Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam 27



Modul LINGKARAN Misalkan kita akan melukis L pada gambar di bawah ini . Langkah-langkah untuk melukis adalah sebagai berikut ; 1) Buatlah lingkaran yang berpusat di titik O denganpanjang jari-jari sama dengan jumlah panjang jari jari lingkaran O dan P. 2) Buatlah garis pusat OP 3) Tentukan titik tengah OP yaitu titik Q 4) Buatlah lingkaran yang berpusat dititik Q dan berjari jari sehingga memotong lingkaran (pada langkah 1) di titik R. 5) Hubungkan titik O dengan R dan titik P dengan R 6) Garis OR memotong lingkaran O di titik S 7) Dari titik S buatlah garis sejajar PR sehingga garis ini akan menyinggung lingkaran P di titik T 8) Hubungkan titik S dengan T sehingga diperoleh garis ST Garis ST merupakan garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran



T O



P



Q



S R



b. Menghitung Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam P r1



T



A



B r2 Q



Selanjunya perhtikan gambar di atas! Gambar tersebut menunjukkan garis singgung persekutuan dalam PQ terhadap lingkaran A yang berjari-jari r1 dan lingkaran B yang berjari-jari r2. Jika jarak dari A ke B diketahui, maka panjang garis singgung persekutuan dalam PQ adalah : PQ = √𝐴𝐵2 − (𝑟1 + 𝑟2 )2 Keterangan : PQ : panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran AB : jarak antara kedua titik pusat lingkaran r1 : Jari-jari lingkaran A 28



Modul LINGKARAN r2



:



Jari-jari lingkaran B



Contoh soal. Pada gambar di samping, panjang AB = 10 cm. AP = 4 cm dan Panjang BQ = 2 cm. Hitunglah panjang garis singgung persekutuan dalam PQ!



P r1



T



A



B r2 Q



Jawab : AB = 10 cm, AP = r1 = 4 cm dan BQ = r2 = 2 cm CD = √𝐴𝐵2 − (𝑟1 + 𝑟2 )2 CD = √ 10 − (4 + 2)2 = √102 − 62 = √64 = 8 cm Jadi panjang garis singgung persekutuan dalam PQ = 8 cm



29



Modul LINGKARAN



KEGIATAN SISWA 1. Pada gambar tersebut jari-jari AD = 8 cm, panjang jari-jari BC = 3cm, jarak AB = 13 cm. tentukan panjang garis singgung persekutuan luar!



2. Dua lingkaran dengan Pusat P dan Q berjari-jari 7 cm dan 5 cm. Jika jarak PQ = 20 cm, tentukan panjang garis singgung persekutuan dalamnya! 3. Panjang jari-jari dua lingkaran masing-masing adalah 2 cm dan 10 cm. panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah 15 cm. tentukan jarak kedua titik pusat lingkaran itu! A



4. Perhatikan gambar di samping itu! Bila AP = 4 cm, OB = 2 cm, OP = 10 cm, Tentukan panjang AB!



Q



P B



5. Jarak antara dua pusat lingkaran 13 cm dan panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran 12 cm. apabila salah satu jari-jari lingkaran panjangnya 7 cm. tentukan panjang jari-jari lingkaran satunya!



30



Modul LINGKARAN



PROGRAM PEMBELAJARAN V Materi Kelas Waktu



: Lingkaran : VIII : 2 x 40 menit



A. Kompetensi/Tujuan yang ingin dicapai -



Setelah mempelajari materi ini, diharapkan siswa mampu Menerapkan Konsep garis singgung dalam kehidupan sehari-hari Lingkaran dalam dan lingkaran luar segitiga



B. Pokok-pokok Materi -



Menerapkan Konsep garis singgung luar kehidupan sehari-hari Menerapkan Konsep garis singgung dalam kehidupan sehari-hari



C. Metode yang digunakan : Proses pembelajaran menggunakan metode ceramah, tanya jawab dan penugasan



D. PENDALAMAN MATERI



Penerapan Garis Singgung 1. Panjang Sabuk Lilitan Minimal Yang Menghubungkan Dua Lingkaran Berjari-jari Sama Panjang. C



D



Untuk menghitung panjang sabuk lilitan minimal yang menghubungkan dua lingkaran berjari-jari sama panjang digunakan rumus :



r



r j



S = AB + CD + ∩ 𝑨𝑫 + ∩ 𝑩𝑪 A S = 2j + 2𝝅r Keterangan : S = Panjang sabuk lilitan minimal yang menghubungkan dua lingkaran r = jari-jari lingkaran j = jarak antara kedua pusat lingkaran Contoh soal :



.



.



B



31



Modul LINGKARAN Gambar di samping adalah penampung dari 2 buah pipa air berbentuk tabung dengan jari-jari 35 cm. Berapakah panjang tali minimal untuk mengikat 2 pipa air tersebut? Jawab : Jari-jari = 35 cm, 𝜋 =



D



22 7



.



Panjang minimal = AB + CD + ∩ 𝑨𝑫 + ∩ 𝑩𝑪 = (2 x AB) + Keliling lingkaran = (2 x 70) + (



22 7



M



x 70)



C



.



N



B



A



= 140 + 220 = 360 cm



2. Panjang Sabuk Lilitan Minimal Yang Menghubungkan Dua Lingkaran Berjari-jari Masing-masing R dan r, dengan R > r Untuk menghitung panjang sabuk lilitan minimal yang menghubungkan dua lingkaran berjari-jari masing-masing R dan r, dengan R > r digunakan rumus : R



S =



2√𝑗 2



− (𝑅 − 𝑟) + 2



𝑎0 3600



x r +



𝑏0 3600



x R



r b0



a0



Keterangan : R = Jari-jari lingkaran besar r = Jari-jari lingkaran kecil a = Sudut yang dibentuk oleh lingkaran yang berjari-jari r b = Sudut yang dibentuk oleh lingkaran yang berjari-jari R



LINGKARAN DALAM DAN LINGKARAN LUAR SEGITIGA C 1. Lingkaran Dalam Suatu Segitiga a. Pengertian Lingkaran Dalam Suatu Segitiga Perhatikan gambar disamping ini! Lingkaran Dalam Suatu Segitiga adalah lingkaran yang menyinggung bagian dalan segitiga tersebut. Pada gambar tersebut, lingkaran yang berpusat di O menyinggung bagian dalam ∆ 𝐴𝐵𝐶. Garis OE, OF, dan OD merupakan jari-jari lingkaran dalam. Titik pusat lingkaran dalam suatu segitiga adalah titik potong ketiga garis bagi sudut dalam segitiga tersebut.



E



F



rd



rd O



B



rd D A



32



Modul LINGKARAN



b. Menghitung jari-jari lingkaran dalam segitiga Jika panjang jari-jari lingkaran dalam tersebut adalah rd maka OE = OD = OF = rd



rd =



𝐿𝑢𝑎𝑠 ∆ ABC 1 (𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐴𝐶) 2



rd = √



atau



𝑠(𝑠−𝑎)(𝑠−𝑏)(𝑠−𝑐) 𝑠



Pada lingkaran dalam segitiga dapat diperoleh rumus sebagai berikut : CF = CE = s - c BE = BD = s - b AD = AF = s - a x keliling segitiga =



1 2



(a + b + c)



a, b, c = panjang sisi-sisi segitiga



Contoh soal : Pada segitiga ABC siku-siku di titik A, AB = 12 cm, BC = 13 cm dan AC = 5 cm. Tentukan : a. Luas ∆ ABC C b. Keliling ∆ ABC c. Panjang jari-jari lingkaran dalam ∆ ABC Jawab : 1 alas x tinggi 2 1 = 2 AB x AC 1 = 2 12 x 5 = 30



A



cm



1 2



5



Dengan s =



rd



12



cm



13 cm B



a. Luas ∆ ABC =



cm2



b. Keliling ∆ ABC = AB + BC + CA = 12 + 13 + 5 = 30 cm c. Panjang jari-jari lingkaran dalam ∆ ABC rd =



𝐿𝑢𝑎𝑠 ∆ ABC 1 (𝑘𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 ∆𝐴𝐵𝐶) 2



=



30 𝑐𝑚2 1 .30 𝑐𝑚 2



= 2 cm



2. Lingkaran Luar Segitiga a. Pengertan Lingkaran Luar Segitiga



C R



A



B



Perhatikan gambar di samping! Lingkaran luar suatu segitiga adalah lingkaran yang melalui ketiga titik sudut segitiga. Pada gambar tersebut, lingkaran yang berpusat di R melalui ketiga titik sudut ∆ ABC disebut Lingkaran luar segitiga. Garis RA,RB,RC merupakan jari-jari lingkaran luar. 33



Modul LINGKARAN



b. Menghitung jari-jari lingkaran luar segitiga Jika jari-jari lingkaran luar adalah rl maka RA = RB = RC = rl AB .BC . CA 4 𝑥 𝑙𝑢𝑎𝑠 ∆ 𝐴𝐵𝐶



rl =



atau rl =



a.b.c 4 √𝑠(𝑠−𝑎)(𝑠−𝑏)(𝑠−𝑐)



Keterangan : 1



S = 2 x keliling ∆ 𝐴𝐵𝐶 =



1 2



( a + b + c ), a, b, c = panjang sisi-sisi segitiga



Contoh soal : Panjang sisi suatu segitiga adalah 13 cm, 14 cm, dan 15 cm. Hitunglah panjang jari-jari lingkaran luar segitiga tersebut! Jawab: Misalkan a = 13 cm, b = 14 cm, c = 15 cm 1 2 1 2 1 2



S = x keliling ∆ 𝐴𝐵𝐶 = =



rl = = = =



( 13 + 14 + 15) ( 42 ) = 21



a.b.c 4 √𝑠(𝑠−𝑎)(𝑠−𝑏)(𝑠−𝑐) 13 . 14 .15 4 √21(21−13)(21−14)(21−15) 13 . 14 .15 13 .14 .15 4 √21 .8 .7 .6 13 .14 .15



=



4 √72 .32 . 24 .22



4 √7 .3 . 2 .22 .7 .2 .3 13 . 14 .15



=



4 .7 .3 .4



= 8,125 cm



34



Modul LINGKARAN



KEGIATAN SISWA 1. Panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 26 cm, 28 cm dan 38 cm. Hitunglah : a. Panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga b. Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga A



2. Perhatikan gambar di samping. Jika panjang AB = 8 cm, BC = 9 cm dan AC = 145 cm. tentukan : a. Luas ∆ ABC b. Keliling ∆ ABC c. Panjang jari-jari lingkaran dalam ∆ ABC 3. Panjang sisi-sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah 26 cm dan panjang salah satu sisi siku-sikunya 10 cm. tentukan : a. Panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga b. Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga



r



B



C



4. Panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 8 cm, 15 cm dan 17 cm. Hitunglah : c. Panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga d. Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga



35



Modul LINGKARAN



Uji Kompetensi Pilihlah salah satu jawaban yang benar !



1. Sebuah taman berbentuk persegi seperti dalam gambar. Ditengah-tengah dibuat kolam, dipinggiran kolam dan sekitarnya dioberi batu-batu kecil. Harga 1 m2 batu-batu tersebut Rp 22.500,00. Berapa biaya yang dibutuhkan untuk menutupi daerah sekitar kolam dengan batu-batu tersebut? 10 cm



kolam



10 cm



a. b. c. d.



Rp 967.500,00 Rp 2.250.000,00 Rp 1.766.250,00 Rp 1.282.500,00



Batu-batu kecil C



2. D 4 cm



9 cm E



B



6 cm



Panjang AE pada gambar di samping adalah . . . . . . a. 9 cm c. 10 cm b. 12,5 cm d. 13.5 cm



A



3. Roda sebuah sepeda menempuh jarak 110 m setelah berputar 50 kali. Jika 𝜋 =



22 7



jari-jari



roda sepeda adalah . . . . a. 21 cm b. 35 cm c. 42 cm d. 70 cm 4. Taman di bawah ini berbentuk lingkaran. Di sekeliling taman akan ditanam pohon palem dengan jarak antara pohon yang satu dengan pohon yang lain 2 m. Jika harga satu palem Rp 60.000,00, berapa rupiah unag yang diperlukan untuk membeli pohon palem? a. Rp 2.640.000,00 b. Rp 1.380.000,00 c. Rp 1.320.000,00 14m d. Rp 1.260.000,00



5. Keliling lingkaran pada gambar di samping 44 cm. Jika𝜋 = maka luas juring AOB adalah . . . . . . . a. 51,33 cm2 c. 77,00 cm2 2 b. 102,67 cm d. 205,33 cm2



22



B



7 0



O 120



A 36



Modul LINGKARAN



6. Perhatikan gambar di samping. Bila diketahui ∠APB + ∠𝐴𝑄𝐵 + ∠𝐴𝑅𝐵 = 1440 , maka besar ∠𝐴𝑂𝐵 adalah . . . . . . . . . a. 370 c. 720 b. 480 d. 960



A



B



O



R



P



Q



7. Diameter roda sepeda Anton 104 cm dengan ketebalan roda 3 cm. Jika jarak jeruji yang berurutan pada pelek roda itu adalah 7 cm, banyak jeruji roda itu adalah . . . . . . . . . . . . . 3 cm



a. 44 cm b. 66 cm



c. 55 cm d. 77 cm



8. Luas segitiga ABC = 6 cm2, sedangkan panjang jari-jari lingkaran dalamnya 1 cm. Panjang AB = 3 cm dan BC = 4 cm. Panjang jari-jari lingkaran luarnya adalah . . . . . . . a. 2,5 cm b. 6,5 cm c. 5,5 cm d. 8,6 cm



9. Perhatikan gambar di bawah ini. ABCD adalah segi empat tali busur lingkaran yang berpusat di O. Jika ∠𝐴 = 650 dan ∠𝐷 = A 720, besar ∠𝐴𝐵𝐹 + ∠𝐵𝐶𝐹 = a. 1300 b. 1350 c. 1370 d. 152,310 10. Perhatikan gambar berikut. PQ dan ST adalah dua tali busur lingkaran yang berpotongan dititik R di luar lingkaran. Jika ∠𝑃𝑂𝑆 = 1580, ∠𝑃𝑂𝑄 = 700 dan ∠ 𝑆𝑂𝑇 = 700. Besar ∠𝑃𝑅𝑆 = . ...... a. 800 b. 490 b. 480 d. 380



F B



.o D



E



D



P



Q



O



R S



T



11. Wawan berangkat sekolah naik sepeda, Jarak antara rumah dengan sekolahnya 5,522 km. Apabila diameter roda sepeda Wawan 70 cm, maka roda berputar sebanyak . . . . . kali dari rumah sampai sekolah. 37



Modul LINGKARAN



a. 2.570 b. 2.550 c. 2.520 12. Perhatikan gambar di samping! Taman Pak Budi berbentuk lingkaran. Jika daerah yang diarsir ditanami bunga mawar. Berapa luas yang ditanami bunga



d. 2.510



22



7 cm



mawar? (𝜋 = 7 ) a. 13 m2 b. 13,5 m2



c. 14 m2 d. 14,5 m2 B



13. Pada gambar di samping P adalah pusat lingkaran dan besar ∠𝐴𝑃𝐵 = 1200, Besar ∠𝐴𝐶𝐵 = ....... 0 0 a. 40 c. 90 0 b. 60 d. 1200



C P



A



14. Pada gambar di samping selisih besar sudut p dan q adalah . . . . . . a. 200 c. 600 b. 800 d. 1400



1000



1200



q



.



O



p



15. Dari gambar di samping, ∠ATD = 1160 dan besar ∠AOC = 920. Besar ∠BOD adalah . . . . . . . . . a. 240 c. 360 b. 280 d. 480



C



.



O



B T



D



A



16. Diketahui dua lingkaran yang jari-jarinya berturut-turut 6 cm dan 2 cm. Jika panjang garis singgung persekutuan luarnya 3 cm, maka jarak kedua pusat lingkaran itu adalah . . . . . . . a. √15 cm b. √25 cm c.√61 cm d. √73 cm 17. Diketahui dua buah lingkaran berpusat di A dan B, dengan panjang jari-jari masingmasing 7 cm dan 2 cm. Jika jarak AB = 13 cm, maka panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut adalah . . . . . . . a. 5 cm b. 6 cm c. 12 cm d. 15 cm 18. Dua buah lingkaran berjari-jari 10 cm dan 8 cm. Jarak kedua titik pusatnya 30 cm. Panjang garis singgung persekutuan dalamnya adalah . . . . . . . . . a. 23 cm b. 36 cm c. 40 cm d. 42 cm 38



Modul LINGKARAN



19. Suatu lingkaran berpusat di O, berjari-jari 14 cm. Luas juring POQ yang bersudut pusat 600 pada lingkaran tersebut adalah . . . . . . . . . . a. 14,7 cm2 b. 29,4 cm2 c. 102,7 cm2 d. 205,4 cm2 20. Tiga buah pipa paralon berdiameter 14 dm diikat menjadi satu dengan arah yang sama, maka panjang tali ikat minimal . . . . . . dm a. 42 b. 58,5 c. 84 d. 86 21. Perhatikan gambar di samping, jika OC = 7 cm, PB = 2 cm A 0 B OP = 10 cm dan ∠PAO = 60 maka panjang tali yang melingkari dua buah lingkaran tersebut adalah . . . . . P O a. 27,6 + 5√3 c. 30,3 + 10√3 D C b. 29,37 + 5√3 d. 33,5 + 10√3



22. M adalah pusat lingkaran yang panjang jari-jarinya 8 cm dan N adalah pusat lingkaran yang panjang jari-jarinya 3 cm. Jarak kedua pusat lingkaran 13 cm. Panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran adalah . . . . . . . . a. 11 cm b. 12 cm c. 14 cm d. 16 cm 23. Jika diameter roda sebuah roda sepeda motor 49 cm, berapa kalikah roda harus berputar untuk menempuh jarak 154.000 cm. a. 1.000 b. 3.080 c. 3.100 d. 3.140 24. Diketahui dua buah lingkaran yang berpusat di P dan Q dengan panjang jari-jari masingmasing 7 cm dan 2 cm. Jika jarak kedua pusat lingkaran 13 cm, maka panjang garis singing persekutuan luarnya adalah . . . . . . . a. 12 cm b. 10 cm c. 8 cm d. 7 cm 25.



Tiga pipa air yang masing-masing berdiameter 21 cm diikat erat jadi satu. Jika arah tali pengikat tegak lurus arah panjang pipa, berapa panjang tali yang melilit pipa-pipa tersebut? a. 129 cm c. 134 cm b. 131 cm d. 141 cm



39



Modul LINGKARAN



DAFTAR PUSTAKA



1. 2. 3. 4.



Sukino, Drs, 2007, Matematika SMP Kelas VIII, Erlangga, Jakarta Ponco Sujatmiko, 2005, Matematika Kreatif kelas 2, Tiga Sernagkai, Solo Husei Tampomas, 2006, Matematika Plus SMP Kelas VIII,Ghalia Indonesia Idris Harta, M.A., PH.D, Pembelajaran matematika Kelas VIII, Mediatama



40