![Modul Matematika Kelas XII SMK K13 Rev 2018 - Compressed [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/modul-matematika-kelas-xii-smk-k13-rev-2018-compressed.jpg)
14 0 3 MB
Modul Bahan Ajar
SMK KELAS XII
AZAD YAMANI, S.Pd SMK Negeri 1 Situbondo 2019
Hanya untuk kalangan sendiri
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kepada Allah Subhanahu wa ta ’ala, karena atas berkah, rahmat, dan karunia-Nya, penyusunan modul Matematika untuk Siswa Kelas XII SMK dapat diselesaikan. Modul ini disusun sebagai salah satu bahan ajar dalam pelaksanaan kegiatan belajar mengajar mata pelajaran Matematika di SMK Negeri 1 Situbondo yang telah sesuai dengan Kurikulum 2013 Revisi 2018. Dalam modul ini disajikan materi pembelajaran matematika secara sederhana, efektif, dan mudah dimengerti yang disertai contoh dalam kehidupan. Simbol, tabel, diagram, dan grafik disajikan untuk mempermudah siswa dalam memahami materi yang sedang dipelajari. Buku ini juga dilengkapi contoh soal dan tugas-tugas di setiap subbab dan akhir bab. Sesuai dengan tujuan dalam pembelajaran Matematika, siswa diharapkan dapat memahami
konsep
matematika,
menjelaskan
keterkaitan
antar
konsep,
dan
mengaplikasikannya untuk memecahkan masalah. Siswa juga diharapkan mampu menggunakan penalaran, mengomunikasikan gagasan dengan berbagai perangkat matematika, serta memiliki sikap menghargai matematika dalam kehidupan. Akhirnya kami menyampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu penyelesaian modul ini.
Situbondo, 18 Juli 2019
Penyusun
DAFTAR ISI
HALAMAN COVER HALAMAN PENGESAHAN PERNYATAAN KEASLIAN MODUL SURAT PERNYATAAN KEPALA PERPUSTAKAAN KATA PENGANTAR DAFTAR ISI
BAB I DIMENSI TIGA .............................................................................................................................
1
1.1 Jarak Antar Titik .........................................................................................................................
2
1.1.1 Kegiatan Pendahuluan .................................................................................................
2
1.1.2 Kegiatan Inti .....................................................................................................................
2
1.1.3 Kegiatan Penutup ..........................................................................................................
6
Soal Latihan 1.1 ..........................................................................................................................
7
1.2 Jarak Antara Titik dan Garis ..................................................................................................
8
1.2.1 Kegiatan Pendahuluan .................................................................................................
8
1.2.2 Kegiatan Inti .....................................................................................................................
8
1.2.3 Kegiatan Penutup ..........................................................................................................
11
Soal Latihan 1.2 ..........................................................................................................................
12
1.3 Jarak Antara Titik dan Bidang ..............................................................................................
13
1.3.1 Kegiatan Pendahuluan .................................................................................................
13
1.3.2 Kegiatan Inti .....................................................................................................................
13
1.3.3 Kegiatan Penutup ..........................................................................................................
17
Soal Latihan 1.3 ..........................................................................................................................
18
Materi Pembelajaran Bab 1 ...........................................................................................................
19
Lembar Kerja Siswa Bab 1 .............................................................................................................
22
Uji Kompetensi Bab 1 ......................................................................................................................
26
BAB 2 STATISTIKA .................................................................................................................................
28
2.1 Penyajian Data .............................................................................................................................
30
2.1.1 Distribusi Frekuensi .....................................................................................................
30
2.1.2 Histogram, Poligon Frekuensi dan Ogive ...........................................................
34
Soal Latihan 2.1 ..........................................................................................................................
43
2.2 Ukuran Pemusatan Data dan Penyebaran Data Berkelompok ...............................
44
2.2.1 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok ................................................................
44
2.2.2 Ukuran Penyebaran Data Berkelompok ..............................................................
50
Materi Pembelajaran Bab 2 ...........................................................................................................
56
Lembar Kerja Siswa Bab 2 .............................................................................................................
60
BAB 3 PELUANG ......................................................................................................................................
80
3.1 Aturan Pencacahan, Permutasi dan Kombinasi ............................................................
81
3.1.1 Aturan Penjumlahan dan Perkalian .......................................................................
81
3.1.2 Permutasi dan Penerapannya ..................................................................................
86
3.1.3 Kombinasi dan Penerapannya .................................................................................
89
Soal Latihan 3.1 ..........................................................................................................................
91
3.2 Peluang Suatu Kejadian ...........................................................................................................
92
3.2.1 Percobaan dan Peluang Suatu Kejadian ..............................................................
92
3.2.2 Frekuensi Harapan ........................................................................................................
93
3.2.3 Kejadian Majemuk .........................................................................................................
94
Soal Latihan 3.2 ..........................................................................................................................
100
DAFTAR PUSTAKA
Euclid merupakan seorang matematikawan yang hidup sekitar tahun 300 SM di Alexandria dan sering disebut sebagai ”Bapak Geometri”. Dialah yang mengungkapkan bahwa: 1. titik adalah 0 dimensi, 2. garis adalah 1 dimensi yaitu garis itu sendiri, 3. persegi dan bangun datar lainnya adalah 2 dimensi yaitu panjang dan lebar, 4. bangun ruang adalah 3 dimensi yaitu panjang lebar tinggi, 5. tidak ada bangun geometri 4 dimensi.
DIMENSI TIGA
Dalam bukunya ”The Elements”, ia menyatakan 5 postulat yang menjadi landasan dari semua teorema yang ditemukannya. Postulat dan teorema yang beliau ungkapkan merupakan landasan teori tentang kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang yang hingga kini masih digunakan dengan hampir tanpa perubahan yang prinsip. Euclid menulis 13 jilid buku tentang geometri. Dalam buku-bukunya ia menyatakan aksioma (pernyataan pernyataan sederhana) dan membangun dalil tentang geometri berdasarkan aksioma-aksioma tersebut. Contoh dari aksioma Euclid adalah, ”Ada satu dan hanya satu garis lurus, di mana garis lurus tersebut melewati dua titik”. Buku-buku karangannya menjadi hasil karya penting dan menjadi acuan dalam pembelajaran Ilmu Geometri. Bagi Euclid, matematika itu penting sebagai bahan studi dan bukan sekedar alat untuk mencari nafkah. Ketika ia memberi kuliah geometri pada seorang raja, Raja tersebut bertanya, ”Tidak adakah cara yang lebih mudah bagi saya untuk mengerti dalam mempelajari geometri?”. Euclid menjawab, ”Bagi Raja tak ada jalan yang mudah untuk mengerti geometri. Setiap orang harus berpikir ke depan tentang dirinya apabila ia sedang belajar”. Sumber: Hosch, W.L. 2011. The Britannica Guide to Geometry. New York: Britannica Educational Publishing Beberapa hikmah yang mungkin bisa kita petik, adalah: 1. Ilmu bukanlah sekedar alat untuk mencari nafkah dalam memenuhi kebutuhan hidup, tetapi untuk mencari nafkah seseorang harus mempunyai ilmu. 2. Jalan pintas bukanlah suatu hal yang baik untuk seseorang yang memang benar-benar ingin belajar.
Diagram Alur Konsep
BAB I
DIMENSI TIGA Kompetensi Dasar : 3.1 Mendeskripsikan jarak dalam ruang (antar titik, titik ke garis, dan titik ke bidang). 4.1 Menentukan jarak dalam ruang (antar titik, titik ke garis,dan titik ke bidang).
Indikator Pencapaian Kompetensi : 1. Siswa mampu mengamati dan mendeskripsikan masalah jarak antartitik, jarak titik ke garis, dan titik ke bidang pada ruang ; 2. Siswa mampu mengamati dan menerapkan konsep jarak antartitik, titik ke garis, dan titik ke bidang untuk menyelesaikan masalah pada dimensi tiga, dan 3. Siswa mampu mengonstruksi rumus jarak dua titik dan jarak titik ke garis.
Istilah Penting
Tujuan Pembelajaran : Siswa mampu mendeskripsikan dan menentukan jarak dalam ruang yang meliputi jarak antartitik, jarak titik ke garis, dan titik ke bidang.
Titik Garis Jarak Ruang Diagonal Bidang
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
1
Subbab 1.1 Jarak Antar Titik
1.1.1 Kegiatan Pendahuluan Memberikan motivasi kepada siswa melalui biografi Eulid Awal pembelajaran, siswa diberikan pengantar tentang bangun ruang di sekitar kita dalam kehidupan sehari-hari Siswa diarahkan untuk mendapatkan gambaran tentang konsep jarak pada bendabenda tertentu
1.1.2 Kegiatan Inti
Perhatikan bangun ruang kubus berikut ini :
Pada bangun kubus ABCD.EFGH di atas terdapat garis EG, EC dan AC, yang masing-masing merupakan jarak antara titik E dan G, jarak antara titik E dan C dan jarak antara titik A dan C. Untuk memahami konsep jarak antara dua titik, maka perhatikanlah permasalahan berikut ini:
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
2
Masalah 1
Menentukan lintasan terpendek dari dua kota. Siswa mendata rute lintasan yang bisa dilalui dari kota A ke kota C. Berikut ini adalah gambar lintasan antar kota yang saling berdekatan :
Untuk menentukan dan membandingkan setiap rute yang memungkinkan bisa dilalui, maka menggunakan tabel sebagai berikut : No.
Kemungkinan Rute dari kota A ke kota C
Panjang Lintasan
1. 2. 3. 4. 5.
Berdasarkan tabel di atas, siswa dapat menentukan panjang lintasan terpendek dari beberapa kemungkinan rute lintasannya sebagai jarak antara kota A dan kota C.
Masalah 2
Menentukan jarak terpendek dari dua bangun geometri. Siswa mengamati 2 bangun geometri yaitu G1 dan G2 serta himpunan titiktitik diantara keduanya dengan gambar sebagai berikut :
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
3
Berdasarkan pengamatan gambar di atas, maka siswa memberikan kesimpulan bahwa : Jika AB adalah yang terpendek antara semua ruas garis penghubung titik-titik itu, maka panjang ruas garis AB disebut jarak antara bangun G1 dan G2.
Dari kegiatan mengamati di atas, siswa diminta untuk membuat pertanyaan. Salah satu contoh pertanyaan yang mungkin siswa tanyakan adalah ”Apa pengertian jarak antara dua titik?” Tuliskan pertanyaan-pertanyaan tersebut ke tempat berikut ini.
Untuk lebih memahami jarak antar titik, siswa diminta untuk mengisi tabel berikut ini. Siswa dapat mencari dan menggunakan informasi dari sumber lain untuk menyelesaikan pertanyaan pada tabel berikut ini : No.
Bangun Ruang
Pertanyaan
1.
a. Manakah yang merupakan jarak antara titik F dan G? b. Manakah yang merupakan jarak antara titik B dan D?
2.
a. Manakah yang merupakan jarak antara titik P dan N? b. Manakah yang merupakan jarak antara titik Q dan L?
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
Jawaban
4
No.
Bangun Ruang
Pertanyaan
3.
a. Manakah yang merupakan jarak antara titik E dan F? b. Manakah yang merupakan jarak antara titik B dan D?
4.
a. Manakah yang merupakan jarak antara titik T dan D? b. Manakah yang merupakan jarak antara titik B dan D?
Jawaban
Mengonstruksi Rumus Jarak Antar Titik
Radar (dalam bahasa Inggris merupakan singkatan dari Radio Detection and Ranging) adalah suatu sistem gelombang elektromagnetik yang berguna untuk mendeteksi, mengukur jarak dan membuat peta benda-benda seperti pesawat terbang, kapal laut, berbagai kendaraan bermotor dan informasi cuaca. Radar dapat mendeteksi posisi suatu benda melalui layar seperti berikut :
Misalnya pusat radar dinotasikan sebagai titik A ( x1 , y1 ) dan objek yang terdeteksi dinotasikan sebagai titik B ( x2 , y2 ).
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
5
Bagaimana menentukan rumus umum untuk menentukan jarak kedua titik tersebut? Perhatikan Gambar di bawah ini, dua titik dihubungkan dengan ruas garis, kemudian dibuat segitiga siku-siku seperti berikut.
Tentukan panjang BC dan AC. Dengan menggunakan teorema Pythagoras, hitunglah panjang AB.
1.1.3 Kegiatan Penutup
Dari kegiatan yang telah dilakukan di atas, siswa membuat kesimpulan tentang jarak antara dua titik dan bagaimana menentukannya. Siswa diminta untuk menukar kesimpulan tersebut dengan teman sebangku/kelompok lainnya. Secara santun, siswa saling berkomentar, menanggapi komentar, memberikan usul dan menyepakati ide-ide yang paling tepat. Siswa diminta untuk menuliskan kesimpulan yang telah didapatkan pada tempat berikut.
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
6
Soal Latihan 1.1 Jarak Antar Titik
Jawablah soal berikut disertai dengan langkah pengerjaannya! 1. Diketahui limas beraturan T.ABC dengan bidang alas berbentuk segitiga sama sisi. TA tegak lurus dengan bidang alas. Jika panjang AB = 4√2 cm dan TA = 4 cm, tentukan jarak antara titik T dan C ! 2. Perhatikan limas segi enam beraturan berikut.
Diketahui panjang AB = 10 cm dan TA = 13 cm. Titik O merupakan titik tengah garis BE. Tentukan jarak antara titik T dan O ! 3. Perhatikan bangun berikut ini.
Jika diketahui panjang AB = 5 cm, AE = BC = EF = 4 cm, maka tentukan: a. Jarak antara titik A dan C b. Jarak antara titik E dan C c. Jarak antara titik A dan G
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
7
Subbab 1.2 Jarak Antara Titik dan Garis
1.2.1 Kegiatan Pendahuluan Awal pembelajaran, siswa diberikan stimulus untuk mengingat kembali materi sebelumnya berkaitan dengan Jarak Antar Titik Siswa diarahkan untuk mendapatkan gambaran tentang konsep jarak antara titik dan garis
1.2.2 Kegiatan Inti
Siswa diminta untuk mengamati pada tabel tentang jarak titik ke garis yang disajikan di bawah ini : No. 1.
Bangun Ruang
Keterangan Dari gambar di samping, panjang ruas garis EA adalah jarak antara titik E dengan ruas garis AB. Panjang ruas garis BC merupakan jarak antara titik C dengan ruas garis AB.
2.
Dari gambar di samping, panjang ruas garis OR merupakan jarak antara titik R dengan ruas garis OP.
3.
Dari gambar di samping, panjang ruas garis DC merupakan jarak antara titik D dengan ruas garis BC. Panjang ruas garis AE merupakan jarak antara titik A dengan ruas garis EF.
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
8
Berdasarkan informasi dari tabel di atas, siswa diminta untuk menuliskan beberapa hal penting dalam kolom di bawah ini
Setelah siswa mendapatkan informasi dari tabel di atas, maka siswa diminta untuk menuliskan pertanyaan dari informasi tersebut pada kolom di bawah ini
Masalah 3
Tiga paku ditancapkan pada papan sehingga menjadi titik sudut segitiga siku-siku (lihat gambar a). Seutas tali diikatkan pada dua paku yang ditancapkan (lihat gambar b). Misal paku-paku tersebut digambarkan sebagai titik A, B, dan C seperti gambar c dengan AC = 6 cm, BC = 8 cm, dan AB = 10 cm.
Gambar a
Gambar b
Gambar c
Melalui eksperimen kecil, tentukan panjang tali minimal yang menghubungkan paku C (titik C) dengan tali yang terpasang pada paku A dan paku B (ruas garis AB). Apa syarat yang harus dipenuhi agar mendapatkan panjang tali minimal? Beri alasan untuk jawaban Anda.
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
9
Masalah 4
Diberikan kubus ABCD.EFGH sebagai berikut. Jika panjang rusuk kubus adalah 2 cm, berapakah jarak titik A ke diagonal bidang EB ?
Alternatif Penyelesaian : Jika titik E dan B dihubungkan dengan ruas garis, maka diperoleh,
Jarak titik A ke EB adalah panjang ruas garis AI dengan BI = BE. Mengapa ? Dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh AI = √ EB = √
+
−
.
= √2 + 2 = √2 ∙ 2 = 2√2 , sehingga
BI = BE = ∙ 2√2 = √2 AI = √
−
=
2 − √2
= √4 − 2 = √2
Jadi jarak titik A ke diagonal bidang EB adalah √2 cm.
Masalah 5
Diberikan segitiga siku-siku ABC seperti berikut. Misal AB = c, BC = a, AC = b dan CD = d. Garis CD merupakan garis tinggi. Bagaimana menentukan d, apabila a, b, dan c diketahui?
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
10
Alternatif Penyelesaian : Perhatikan segitiga siku-siku ABC. Luas ∆ABC = ∙
∙
= ∙
Selain itu, Luas ∆ABC = ∙
Sehingga diperoleh :
∙ ∙
= ∙ ∙
Luas ∆ABC = Luas ∆ABC 1 ∙ 2
1 ∙ ∙ 2
∙
=
∙
= ∙ =
∙
1.2.3 Kegiatan Penutup
Dari kegiatan yang telah dilakukan di atas, siswa membuat kesimpulan tentang jarak antara titik dengan garis dan bagaimana menentukannya. Siswa diminta untuk menukar kesimpulan tersebut dengan teman sebangku/kelompok lainnya. Secara santun, siswa saling berkomentar, menanggapi komentar, memberikan usul dan menyepakati ide-ide yang paling tepat. Siswa diminta untuk menuliskan kesimpulan yang telah didapatkan pada tempat berikut.
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
11
Soal Latihan 1.2 Jarak Antara Titik dengan Garis Jawablah soal berikut disertai dengan langkah pengerjaannya! 1. Diketahui limas beraturan T.ABCD, panjang rusuk AB = 3 cm dan TA = 6 cm. Tentukan jarak titik B dan rusuk TD. 2. Diketahui limas segi enam beraturan T.ABCDEF dengan panjang rusuk AB = 10 cm dan AT =13 cm. Tentukan jarak antara titik B dan rusuk TE. 3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang AB = 10 cm. Tentukan: a. jarak titik F ke garis AC b. jarak titik H ke garis DF 4. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. Titik M adalah titik tengah BC. Tentukan jarak M ke EG. 5. Perhatikan limas segi empat beraturan berikut.
Titik P dan Q berturut-turut adalah titik tengah rusuk AB dan AD. Jika panjang AB = TA = 12 cm, tentukan jarak antara titik T dan garis PQ!
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
12
Subbab 1.3 Jarak Antara Titik dan Bidang
1.3.1 Kegiatan Pendahuluan Awal pembelajaran, siswa diberikan stimulus untuk mengingat kembali materi sebelumnya berkaitan dengan materi jarak antar titik dan jarak antara titik dan garis Siswa diarahkan untuk mendapatkan gambaran tentang konsep jarak antara titik dan bidang
1.3.2 Kegiatan Inti
Siswa diminta untuk mengamati pada tabel tentang jarak titik ke bidang yang disajikan dalam tabel berikut : No. 1.
Bangun Ruang
Keterangan Panjang ruas garis BC merupakan jarak antara titik B dengan bidang DCGH. Panjang ruas garis CD merupakan jarak antara titik C dengan bidang ADHE.
2.
Panjang ruas garis KN merupakan jarak antara titik K dengan bidang MNRQ. Panjang ruas garis OP merupakan jarak antara titik O dengan bidang LMQP.
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
13
3.
Panjang ruas garis HE merupakan jarak antara titik H dengan bidang ABFE. Panjang ruas garis CG merupakan jarak antara titik C dengan bidang EFGH.
Masalah 6
Tiang penyangga dibuat untuk menyangga atap suatu gedung. Tiang penyangga ini menghubungkan suatu titik pada salah satu sisi gedung dan suatu titik pada bidang atap seperti ditunjukkan pada gambar berikut.
Pada gambar di atas, apabila dibuat gambar tampak samping diperoleh gambar seperti berikut.
Dari gambar di atas, cermati gambar kayu penyangga dan atap. Siswa diminta untuk menentukan kondisi atau syarat agar panjang kayu penyangga seminimal mungkin? Dari kegiatan mengamati di atas, siswa diminat untuk menulis istilah penting dari hasil pengamatannya.
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
14
Setelah siswa mendapatkan informasi dari tabel di atas, maka siswa diminta untuk menuliskan pertanyaan dari informasi tersebut pada kolom di bawah ini
Masalah 7
Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik A, F, G, dan D dihubungkan sehingga terbentuk bidang AFGD seperti gambar di bawah ini. Berapakah jarak titik B ke bidang AFGD?
Alternatif Penyelesaian : Untuk menentukan jarak titik B ke bidang AFGD dapat ditentukan dengan mencari panjang ruas garis yang tegak lurus dengan bidang AFGD dan melalui titik B.
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
15
BT tegak lurus dengan bidang AFGD, sehingga jarak titik B ke bidang AFGD adalah panjang ruas garis BT . Titik T adalah titik tengah diagonal bidang AF (mengapa?). Panjang AF adalah 4√2 cm, sehingga panjang AT adalah 2√2 cm. Karena BT tegak lurus bidang AFGD, maka segitiga ATB adalah segitiga siku-siku. Sehingga:
=√
−
=
4 − 2√2
= √16 − 8 = 2√2
Jadi jarak titik B ke bidang AFGD adalah 2√2 cm.
Masalah 8
Masalah 7 serupa dengan Masalah 8. Pada Masalah 8, siswa diberi limas T.ABCD dengan alas persegi dan siswa diminta untuk menentukan jarak titik O ke bidang TBC. Diberikan limas T.ABCD dengan alas persegi. Titik O adalah perpotongan diagonal AC dan BD. Jika AB = BC = CD = AD = 6 cm, TA = TB = TC = TD = 3√6 cm dan tinggi limas 6 cm, berapakah jarak antara titik O dengan bidang TBC?
Alternatif Penyelesaian : Perhatikan gambar berikut :
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
16
Untuk menentukan jarak titik O ke bidang TBC, dibuat ruas garis OP dengan OP sejajar AB, OP =
AB = 3 cm dan TO = 6 cm. Misal titik Q terletak pada bidang
TBC, titik Q terletak pada TP dengan TP terletak pada bidang TBC dan OQ tegak lurus TP . Jarak titik O ke bidang TBC adalah panjang ruas garis TP dengan OQ =
∙
Oleh karena TP = √ OQ =
∙
=
. √
+
=
√
= √6 + 3 = √36 + 9 = √45 = 3√5 , maka :
=
√5
Jadi, jarak titik O ke bidang TBC adalah
√5 cm.
1.3.3 Kegiatan Penutup
Dari kegiatan yang telah dilakukan di atas, siswa membuat kesimpulan tentang jarak antara titik dengan bidang dan bagaimana menentukannya. Siswa diminta untuk menukar kesimpulan tersebut dengan teman sebangku/kelompok lainnya. Secara santun, siswa saling berkomentar, menanggapi komentar, memberikan usul dan menyepakati ide-ide yang paling tepat. Siswa diminta untuk menuliskan kesimpulan yang telah didapatkan pada tempat berikut.
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
17
Soal Latihan 1.3 Jarak Antara Titik dengan Bidang Jawablah soal berikut disertai dengan langkah pengerjaannya! 1. Diketahui kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya a cm. Titik Q adalah titik tengah rusuk BF. Tentukan jarak titik H ke bidang ACQ. 2. Suatu kepanitiaan membuat papan nama dari kertas yang membentuk bangun seperti berikut.
Ternyata ABE membentuk segitiga sama sisi, panjang BF = 13 cm dan BC = 12 cm. Tentukan jarak antara titik A dan bidang BCFE! 3. Dari gambar di bawah, jika diketahui panjang AB = 8 cm, BC = 6 cm dan EC = 5√5 cm. Tentukan jarak antara titik B dengan bidang ACE !
4. Diketahui limas segitiga beraturan T.ABC . Panjang AB = 6 cm dan TA = 8 cm. Tentukan jarak antara titik T dengan bidang ABC. 5. Diketahui luas permukaan kubus ABCD.EFGH adalah 294 cm2. Tentukan: a. Jarak antara titik F ke bidang ADHE. b. Jarak antara titik B ke bidang ACH.
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
18
Dimensi tiga merupakan bangun dengan ukuran yang terdiri atas panjang, lebar, dan tinggi. Dimensi tiga juga sering disebut juga dengan bangun ruang. Hampir semua benda yang sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari di sekitar kita adalah Dimensi Tiga atau Bangun Ruang, misalnya adalah kamar tidur yang berbentuk balok, kotak makanan yang berbentuk kubus, kaleng susu yang berbentuk tabung dan lain sebagainya.
Gambar di atas adalah beberapa benda dalam bentuk dimensi tiga atau bangun ruang.
1.1. Jarak Antar Titik Melalui gambar di samping, kita dapat mendefisnikan bahwa jarak titik A ke B adalah panjang ruas garis yang menghubungkan titik A ke B. Jika titik A menuju titik B meliputi banyak rute/lintasan, maka jarak titik A ke B adalah jarak yang terpendek dari semua rute/lintasan yang ada.
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
19
1.2. Jarak Antara Titik dan Garis Melalui gambar di samping, kita dapat mendefisnikan bahwa jarak titik A ke garis g adalah panjang ruas garis yang daitarik dari titik A dan tegak lurus dengan garis g.
1.3. Jarak Antara Titik dan Bidang Melalui
gambar
di
samping,
kita
dapat
mendefisnikan bahwa jarak titik A ke bidang V adalah panjang ruas garis yang daitarik dari titik A dan tegak lurus dengan bidang V.
Dalam menentukan jarak antar titik, antara titik dan garis serta antara titik dan bidang, pada umumnya menggunakan konsep dasar dalil Phytagoras dan konsep kesebangunan. a.
Dalil Phytagoras Dalil Phytagoras hanya berlaku pada segitiga siku-siku saja. Perhatikan bangun segitiga siku-siku ABC berikut Dalil Phytagoras dari ∆ABC berikut adalah :
=
+
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
20
b. Konsep Kesebangunan
Konsep kesebangunan dari bangun segitiga di samping berlaku : =
=
=
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
21
LEMBAR KERJA SISWA Kelompok: 1. 2. 3. 4. JARAK TITIK KE TITIK, TITIK KE GARIS DAN TITIK KE BIDANG DALAM BANGUN RUANG Petunjuk : Lengkapi dan jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini! Jarak Titik ke Titik 1. Tentukan dua titik sebarang pada bidang , misalkan titik-titik tersebut adalah titik …. dan …. 2. Gambarlah beberapa garis/jalur yang menghubungkan kedua titik tersebut. 3. Garis/jalur manakah yang menurutmu mewakili jarak antara titik ….. dan titik …...? Mengapa? …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………
Jadi, apa yang dimaksud dengan jarak titik ke titik?
Untuk lebih memahami dan terampil dalam menghitung jarak titik ke titik. Perhatikan contoh berikut! Suatu kubus ABCD.EFGH mempunyai rusuk dengan panjang 6 cm. Tentukan: a. Jarak C ke D b. Jarak F ke H c. Jarak E ke C
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
22
Penyelesaian: a. Jarak C ke D sama dengan panjang ………….. kubus = …. cm b. Jarak F ke H sama dengan panjang ………………….……….. kubus, yaitu: FH = √
+
= √… . . + … . . = √… . . + … . . = √… . . = ….√… . . cm Jadi, jarak F ke H adalah …………. cm c. Jarak E ke C sama dengan panjang ………………………….... kubus, yaitu: Perhatikan ∆ !
+ = √… . . + … . . = √… . . + … . . = √… . . = ….√… . . cm
EC = √
Jadi, jarak E ke C adalah …………. cm
Jarak Titik ke Garis 1. Gambarlah garis g dan titik P pada bidang . Titik P terletak di luar garis g. 2. Tentukanlah kedudukan titik R, S, dan T pada garis g. Titik S dan T masing-masing terletak di ujung dan pangkal garis g, sedangkan titik R merupakan proyeksi titik P pada garis g. 3. Gambarlah garis yang melalui titik P dan titik R, titik P dan titik S, titik P dan titik T.
4. Garis manakah yang menurutmu mewakili jarak antara titik P dengan garis g? mengapa? ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ………………………………………………………
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
23
Jadi, apa yang dimaksud dengan jarak titik ke garis?
Untuk lebih memahami dan terampil dalam menghitung jarak titik ke garis. Perhatikan contoh berikut! Suatu kubus ABCD.EFGH mempunyai rusuk dengan panjang 6 cm. Titik P terletak ditengah-tengah rusuk CG. Tentukan: a. Jarak titik P ke garis FB b. Jarak titik B ke garis EG
Penyelesaian: a. Jarak titik P ke garis FB sama dengan panjang ruas garis ….. = …. cm b.
Jarak titik B ke garis EG Langkah-langkah: 1) Tentukan kedudukan titik B dan garis EG. 2) Tentukan titik O yang merupakan titik tengah garis EG. 3) Tariklah garis dari titik B yang melalui titik O. Maka jarak titik B ke garis EG adalah panjang ruas garis …… Perhatikan ∆ siku-siku di O, maka untuk mencari panjang ruas garis …… digunakan rumus pythagoras, yaitu: ….. = √… . . + … . .
= √… . . + … . . = √… . . + … . . = √… . . = …… cm Jadi, jarak titik B ke garis EG adalah …………. cm
Jarak Titik ke Bidang 1. Gambarlah titik P yang terletak di luar bidang . 2. Tentukanlah kedudukan titik A, B, dan C pada bidang α. Titik A dan C merupakan titik sebarang pada bidang α, sedangkan titik B merupakan proyeksi titik P pada bidang α.
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
24
3. Hubungkanlah garis yang melalui titik P dan A, titik P dan B, titik P dan C. 4. Garis manakah yang menurutmu mewakili jarak antara titik P dengan bidang α? Mengapa? ………. …………………………………………………..... ……………………………………………………. Jadi, apa yang dimaksud dengan jarak titik ke bidang?
Untuk lebih memahami dan terampil dalam menghitung jarak titik ke bidang. Perhatikan contoh berikut! Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk bidang alas AB = 8 cm dan panjang rusuk sisi TA = 9 cm. Tentukan jarak titik puncak T ke bidang alas ABCD! Penyelesaian: Langkah-langkah: 1) Gambarlah garis yang melalui titik T dan menembus bidang ABCD. 2) Tentukan titik potong dari diagonal sisi AC dan BD. Maka jarak titik T ke bidang ABCD adalah panjang ruas garis ………. 3) Tentukanlah segitiga siku-siku mana yang akan digunakan untuk mencari panjang ruas garis…… Kemudian cari nilai panjang ruas garis itu dengan menggunakan rumus Pythagoras seperti pada contoh-contoh sebelumnya. ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
25
Uji Kompetensi Bab 1 DIMENSI TIGA
Jawablah pertanyaan berikut disertai dengan langkah pengerjaannya! 1.
Perhatikan gambar berikut.
a. Dari Gambar (a), tentukan jarak dari titik A ke D. b. Dari Gambar (b), tentukan jarak titik P terhadap garis g. c. Dari Gambar (c), tentukan jarak titik P pada bidang-K.
2.
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 9 cm. Buat ilustrasi kubus tersebut. Tentukan langkah menentukan jarak titik F ke bidang BEG. Kemudian hitunglah jarak titik F ke bidang BEG.
3.
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a. Jika titik P terletak pada perpanjangan AB sehingga PB = 2a, dan titik Q pada perpanjangan FG sehingga QG = a. a. Buatlah ilustrasi dari masalah di atas. b. Tentukan PQ.
4.
Panjang setiap bidang empat beraturan T.ABC sama dengan 16 cm. Jika P pertengahan AT dan Q pertengahan BC, tentukan PQ.
5.
Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH. Tentukan jarak titik H ke DF.
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
26
6.
Dalam kubus ABCD.EFGH titik S adalah titik tengah sisi CD dan P adalah titik tengah diagonal ruang BH. Tentukan perbandingan volume limas P.BCS dan volum kubus ABCD.EFGH.
7.
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. S merupakan proyeksi titik C pada bidang AFH.Tentukan jarak titik A ke titik S.
8.
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk cm. P dan Q masingmasing merupakan titik tengah AB dan CD, sedangkan R merupakan titik potong EG dan FH. Tentukan jarak titik R ke bidang EPQH.
9.
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. P titik tengah EH. Tentukan jarak titik P ke garis CF.
10. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm. Tentukan jarak titik C dengan bidang BDG.
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
27
Ronald Aylmer Fisher lahir di London pada tanggal 17 Februari 1890. Fisher merupakan tokoh statistika yang menemukan banyak konsep baru dalam statistika, di antaranya adalah konsep “likelihood”, distribusi, dan variansi. Pada saat usia Fisher masih 14 tahun, ibunya meninggal karena sakit. Namun hal ini tidak mematahkan semangatnya dalam belajar. Dia memenangkan medali dalam kompetisi essay matematika yang diadakan sekolahnya dua tahun kemudian. Kejuaraan ini yang membawanya mendapatkan beasiswa ke Cambridge University untuk belajar matematika dan astronomi. Selain untuk belajar dua bidang tersebut, Fisher juga tertarik dalam biologi, khususnya bidang genetika. Kemudian dia menggabungkan ilmu statistika dan genetika dan menjadi peneliti dalam dalam bidang genetika yang dianalisa menggunakan ilmu statistika. Ketika terjadi peperangan di Inggris pada tahun 1914, Fisher ingin mendaftarkan dirinya ke dalam militer. Tes kesehatan yang dilaluinya untuk masuk militer memperlihatkan hasil yang bagus kecuali untuk penglihatannya dan akhirnya Fisher ditolak untuk masuk militer. Hal ini yang kemudian membawanya untuk menjadi guru Matematika dan Fisika di beberapa sekolah dan akhirnya menjadi peneliti terkenal dalam bidang statistika dan genetika. Sumber : http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/ Biographies/Fisher.html
STATISTIKA
Beberapa hikmah yang mungkin bisa kita petik, adalah: 1. Kekurangan fisik tidak mematahkan semangat untuk terus tetap berkarya dalam bidang yang diminati. 2. Kegagalan dalam suatu bidang bukan berarti kegagalan dalam bidang lainnya. Kegagalan merupakan langkah awal kesuksesan dalam bidang lainnya.
Diagram Alur Konsep
BAB 2
STATISTIKA Kompetensi Dasar : 3.2 Menentukan dan menganalisis ukuran pemusatan dan penyebaran data yang disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dan histogram. 4.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan penyajian data hasil pengukuran dan pencacahan dalam tabel distribusi frekuensi dan histogram.
Data
Penyajian
Pemusatan Data
Penyebaran Data
Tabel Distribusi Frekuensi
Rata-rata (Mean)
Simpangan Rata-rata
Grafik
Nilai Tengah (Median)
Ragam
Modus
Simpangan Baku
Tujuan Pembelajaran : Melalui aktivitas mengamati, mempertanyakan bahan amatannya, melakukan penyelidikan dan mengumpulkan informasi, mengasosiasi semua informasi yang diperoleh, dan mengomunikasikan hasilnya baik dalam kelompok dan klasikal, siswa mampu: 1. Menentukan ukuran pemusatan data yang disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dan histogram. 2. Menganalisis ukuran pemusatan data yang disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dan histogram. 3. Menentukan ukuran penyebaran data yang disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dan histogram. 4. Menganalisis ukuran penyebaran data yang disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dan histogram.
Poligon Frekuensi
Ogive
Distribusi Frekuensi
Histogram Ogive
Istilah Penting
Indikator Pencapaian Kompetensi : 1. Siswa mampu mengolah data mentah dan memaknai hasil yang diperoleh ; 2. Siswa mampu memaknai grafik dari suatu data yang berupa histogram, poligon frekuensi dan ogive, dan 3. Siswa mampu mengantisipasi kesalahan pengambilan kesimpulan dalam memaknai suatu grafik.
Histogram
Poligon Frekuensi
Rata-rata Median Modus Simpangan Rata-rata
Ragam Simpangan Baku
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
28
Pertumbuhan ekonomi 2018 merupakan yang tertinggi dalam lima tahun terakhir. Ekonomi Indonesia berdasarkan besaran Produk Domestik Bruto (PDB) 2018 atas dasar harga berlaku mencapai Rp 14.837,4 triliun. Sementara berdasarkan atas dasar harga konstan tumbuh 5,17% menjadi Rp 10.425,3 triliun dibanding 2017 sebesar Rp 9.912,7 triliun. Struktur perekonomian 2018 secara spasial masih didominasi oleh kelompok provinsi di Pulau Jawa dan Pulau Sumatera. Di mana provinsi di Pulau Jawa berkontribusi sebesar 58,48% terhadap PDB nasional, lalu diikuti Pulau Sumatera 21,58%, Pulau Kalimantan 8,2%. Kemudian Pulau Sulawesi berkontribusi 6,22%, Bali dan Nusa Tenggara 3,02% serta Maluku dan Papua 2,47%. Pertumbuhan ekonomi nasional tahun lalu merupakan yang tertinggi dalam lima tahun terakhir. Sementara pertumbuhan ekonomi Indonesia tertinggi dicapai pada 1968, yakni mencapai 10%. Seperti terlihat pada grafik di bawah ini ekonomi Indonesia juga pernah mengalami kontraksi (pertumbuhan negatif) sebanyak dua kali, yakni pada 1963 dan pada 1998 ketika terjadi krisis finansial.
https://databoks.katadata.co.id/datapublish/2019/02/06/ekonomi-indonesia-2018-tumbuh-517 -dibanding-tahun-sebelumnya
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
29
Subbab 2.1 Penyajian Data
2.1.1.Distribusi Frekuensi Seorang peneliti dalam setiap melakukan penelitiannya harus melakukan pengambilan dan pengumpulan data terlebih dahulu. Data yang didapatkan pasti memiliki jumlah frekuensi yang berbeda-beda tergantung populasi yang diamati. Jika jumlah frekuensi populasinya kecil, maka sangat mudah bagi peneliti untuk menyajikan data tersebut dan menarik kesimpulan-kesimpulannya. Namun jika jumlah frekuensi populasinya
besar, maka peneliti harus bisa mengorganisir data tersebut agar dapat
menarik kesimpulan dengan tepat. Salah satu cara pengorganisasian data yang dapat digunakan untuk mempermudah penarikan kesimpulan adalah menyajikan data mentah ke dalam distribusi frekuensi dan memvisualisasikan ke dalam bentuk grafik. Pada bagian ini akan dipaparkan mngenai pengolahan data ke dalam distribusi frekuensi untuk mendapatkan informasi yang berguna tenatng data tersebut.
Contoh Soal 2.1 Seorang peneliti melakukan observasi terhadap hasil ulangan Matematika Bab Statistika sebanyak 80 siswa. Data tersebut disajikan dalam bentuk sebagai berikut : 79
49
48
74
81
98
87
80
80
84
90
70
91
93
82
78
70
71
92
38
56
81
74
73
68
72
85
51
65
93
83
86
90
35
83
73
74
43
86
88
92
93
76
71
90
72
67
75
80
91
61
72
97
91
88
81
70
74
99
95
80
59
71
77
63
60
83
82
60
67
89
63
76
63
88
70
66
88
79
75
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
30
Dengan mengolah data di atas ke dalam distribusi frekuensi, peneliti dapat menyimpulkan bahwa nilai ulangan terkecil adalah 35 dan tertinggi adalah 99. Nilai 70 merupakan nilai yang paling banyak diperoleh oleh siswa, yaitu ada 4 orang, atau kita juga bisa mengatakan ada 4 siswa yang memperoleh nilai 70, tidak ada satu pun siswa yang mendapatkan nilai 36, atau hanya satu orang siswa yang mendapatkan nilai 35.
Contoh Soal 2.2 Data tinggi badan siswa SMP di sebuah sekolah dapat dilihat di bawah ini : 160
160
168
165
169
170
160
176
150
175
149
158
164
166
150
167
168
155
159
175
147
174
154
167
150
164
176
166
148
161
170
158
151
163
158
163
170
159
153
156
Informasi yang dapat diambil dari data di atas diantaranya adalah siswa yang memiliki badan paling tinggi adalah 176 cm, sedangkan yang paling pendek adalah 147 cm. Rata-rata siswa memiliki tinggi pada rentangan 147 – 151, 157 – 161, dan 167 – 171 yang masing-masing rentangan tersebut sebanyak 8 orang siswa. Kelompok siswa paling tinggi pada rentangan 172 – 176 sebanyak 5 orang siswa.
Contoh Soal 2.3 Dinas Pertanian beberapa kota melakukan survey terhadap hasil panen padi di setiap kecamatan dari beberapa kota tersebut pada tahun 2018 dengan hasil sebagai berikut : 60
50
60
75
60
55
80
60
50
90
50
65
70
80
70
40
50
60
45
45
40
45
60
70
70
80
90
80
75
60
50
45
40
50
60
80
60
60
70
40
75
70
80
70
60
50
60
70
85
85
60
50
45
50
60
70
70
80
90
85
60
80
60
50
70
60
70
60
80
60
75
60
50
50
60
65
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
31
Data tersebut mengungkapkan bahwa hasil panen padi terbesar adalah 90 ton/tahun sebanyak 3 kecamatan, sedangkan terendah adalah 40 ton/tahun sebanyak 4 kecamatan. Hasil panen padi terbanyak pada rentangan 54 – 60 ton/tahun sebanyak 22 kecamatan.
Berdasarkan hasil pengamatan ketiga contoh yang diberikan di atas, tulislah informasi-informasi atau istilah penting yang dapat Anda peroleh pada kotak yang disediakan berikut.
Setelah mengamati ketiga contoh di atas, buatlah minimal 3 pertanyaan mengenai data dan penarikan kesimpulan yang dilakukan pada ketiga contoh tersebut. Tuliskan pertanyaan Anda pada kotak yang sudah disediakan di bawah ini.
Sebuah pertanyaan yang mungkin bisa diajukan kepada siswa adalah bagaimana membuat distribusi frekuensi dan mendapatkan informasi tentang data melalui distribusi frekuensi. Melalui diskusi kelompok, siswa bersama guru dapat menjawab pertanyaan tersebut di atas melalui beberapa sumber seperti buku diktat atau internet. Berikut ini adalah beberapa contoh penyajian data distribusi frekuensi dalam bentuk tabel sesuai data-data di atas :
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
32
Tabel distribusi frekuensi Contoh Soal 2.1 Kelas
Batas Kelas
Frekuensi
31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100
30,5 – 40,5 40,5 – 50,5 50,5 – 60,5 60,5 – 70,5 70,5 – 80,5 80,5 – 90,5 90,5 – 100,5
2 3 5 13 24 21 12
Tabel distribusi frekuensi Contoh Soal 2.2 Kelas
Batas Kelas
Frekuensi
147 – 151 152 – 156 157 – 161 162 – 166 167 – 171 172 – 176
146,5 – 151,5 151,5 – 156,5 156,5 – 161,5 161,5 – 166,5 166,5 – 171,5 171,5 – 176,5
8 4 8 7 8 5
Tabel distribusi frekuensi Contoh Soal 2.3 Kelas
Batas Kelas
Frekuensi
40 – 46 47 – 53 54 – 60 61 – 67 68 – 74 75 – 81 82 – 88 89 – 95
39,5 – 46,5 46,5 – 53,5 53,5 – 60,5 60,5 – 67,5 67,5 – 74,5 74,5 – 81,5 81,5 – 88,5 88,5 – 95,5
9 12 22 2 12 13 3 3
Berdasarkan tabel distribusi frekuensi di atas, kita dapat memunculkan pertanyaan dari siswa yaitu bagaimanakah menyusun tabel distribusi frekuensi tersebut dan siswa dapat menarik kesimpulan-kesimpulan, diantaranya adalah panjang (rentangan) setiap kelas/kelompok selalu sama, sehingga akan memunculkan pertanyaan-pertanyaan yang baru dari siswa yaitu bagaimana menentukan panjang kelas dan mengapa di awal kelas dimulai dari nilai minimum dan di akhir kelas diakhiri dengan nilai maksimum. Tentunya semua pertanyaan tersebut saling berkaitan untuk memuat table distribusi frekuensi seperti di atas.
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
33
Sesuai dengan pertanyaan-pertanyaan tersebut di atas, maka guru bersama siswa membuat kesimpulan sementara tentang langkah-langkah pembuatan tabel distribusi frekuensi, kemudian dengan kesimpulan sementara tersebut siswa mencoba untuk membuat tabel distribusi frekuensi dengan data tersebut di atas namun dengan banyak kelas dan panjang kelas yang berbeda.
Dari kegiatan yang telah dilakukan di atas, siswa membuat kesimpulan tentang pembuatan tabel distribusi frekuensi. Siswa diminta untuk menukar kesimpulan tersebut dengan teman sebangku/kelompok lainnya. Secara santun, siswa saling berkomentar, menanggapi komentar, memberikan usul dan menyepakati ide-ide yang paling tepat. Siswa diminta untuk menuliskan kesimpulan yang telah didapatkan pada tempat berikut.
2.1.2.Histogram, Poligon Frekuensi, dan Ogive Setelah menyajikan data dalam bentuk tabel distribusi frekuensi, siswa dapat menyajikan data berkelompok tersebut dalam bentuk grafik dengan tujuan untuk menyajikan data dalam bentuk gambar. Secara umum penyajian data dalam bentuk grafik lebih mudah dipahami dan dianalisis oleh para pembacanya. Tiga macam grafik yang biasanya digunakan untuk menyajikan data berkelompok yaitu histogram,
poligon
frekuensi dan ogive.
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
34
Berikut ini akan disajikan beberapa contoh distribusi frekuensi yang disajikan dalam bantuk grafik berupa histogram, poligon frekuensi dan ogive.
Penyajian grafik contoh soal 2.1 Kelas
Batas Kelas
Frekuensi
31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100
30,5 – 40,5 40,5 – 50,5 50,5 – 60,5 60,5 – 70,5 70,5 – 80,5 80,5 – 90,5 90,5 – 100,5
2 3 5 13 24 21 12
Penyajian dalam bentuk grafiknya adalah sebagai berikut :
30
Histogram Hasil Ulangan Matematika Bab Statistika dari 80 Siswa
24
25
21
Frekuensi
20 15
13
12
10 5 5 2
3
0 35,5
45,5
55,5
65,5
75,5
85,5
95,5
Nilai Ulangan Matematika
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
35
Poligon Frekuensi Hasil Ulangan Matematika Bab Statistika dari 80 Siswa 30 25
Frekuensi
20 15 10 5 0 35,5
45,5
55,5
65,5
75,5
85,5
95,5
Nilai Ulangan Matematika
Ogive Hasil Ulangan Matematika Bab Statistika dari 80 Siswa 90
Frekuensi Kumulatif
80 70 60 50 40 30 20 10 0 30,5
40,5
50,5
60,5
70,5
80,5
90,5
100,5
Nilai Ulangan
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
36
Penyajian grafik contoh soal 2.2 Kelas
Batas Kelas
Frekuensi
147 – 151 152 – 156 157 – 161 162 – 166 167 – 171 172 – 176
146,5 – 151,5 151,5 – 156,5 156,5 – 161,5 161,5 – 166,5 166,5 – 171,5 171,5 – 176,5
8 4 8 7 8 5
Penyajian dalam bentuk grafiknya adalah sebagai berikut :
Histogram Tinggi Badan Siswa SMP dari 40 Siswa 9 8
8
8
8 7
7
Frekuensi
6 5
5 4
4 3 2 1 0 149
154
159 164 Tinggi Badan Siswa SMP
169
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
174
37
Poligon Frekuensi Tinggi Badan Siswa SMP dari 40 Siswa 9 8 7
Frekuensi
6 5 4 3 2 1 0 149
154
159
164
169
174
Tinggi Badan Siswa SMP
Ogive Tinggi Badan Siswa SMP dari 40 Siswa 45 40
Frekuensi Kumulatif
35 30 25 20 15 10 5 0 146,5
151,5
156,5
161,5
166,5
171,5
176,5
Tinggi Badan Siswa SMP
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
38
Penyajian grafik contoh soal 2.3 Kelas
Batas Kelas
Frekuensi
40 – 46 47 – 53 54 – 60 61 – 67 68 – 74 75 – 81 82 – 88 89 – 95
39,5 – 46,5 46,5 – 53,5 53,5 – 60,5 60,5 – 67,5 67,5 – 74,5 74,5 – 81,5 81,5 – 88,5 88,5 – 95,5
9 12 22 2 12 13 3 3
Penyajian dalam bentuk grafiknya adalah sebagai berikut :
Histogram Hasil Panen Padi di 76 Kecamatan Setiap Tahun 25 22
Frekuensi
20
15 12 10
12
13
9
5 2
3
3
85
92
0 43
50
57 64 71 78 Hasil Panen Padi dalam ton
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
39
Poligon Frekuensi Hasil Panen Padi di 76 Kecamatan Setiap Tahun 25
Frekuensi
20
15
10
5
0 43
50
57
64
71
78
85
92
Hasil Panen Padi dalam ton
Ogive Hasil Panen Padi di 76 Kecamatan Setiap Tahun 80 70
Frekuensi Kumulatif
60 50 40 30 20 10 0 39,5
46,5
53,5
60,5
67,5
74,5
81,5
88,5
95,5
Hasil Panen Padi dalam ton
Berdasarkan pengamatan grafik-grafik tersebut di atas, siswa diminta untuk menuliskan informasi-informasi yang bisa diperoleh dari data-data di atas pada kotak di bawah ini :
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
40
Melalui pengamatan grafik-grafik di atas, siswa diminta untuk membuat pertanyaan berkenaan dengan tabel distribusi frekuensi beserta histogram, poligon frekuensi dan ogive di atas pada kotak di bawah ini :
Data yang disajikan di atas dalam 2 bentuk penyajian yaitu dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dan dalam bentuk grafik dengan tujuan memberikan kemudahan kepada pembaca dalam memahami sebuah data. Melalui tabel distribusi frekuensi dan grafik dengan data yang sama, maka melalui grafik kita akan lebih mudah menarik kesimpulan seperti data yang paling banyak dan paling rendah serta perubahan data dari setiap kelas secara berkelanjutan. Sebagai contoh adalah penyajian histogram dari data hasil ulangan Matematika 80 siswa di atas. Kelas yang memiliki frekuensi terbanyak adalah pada batas kelas 70,5 – 80,5. Sementara itu yang menjadi pertanyaan adalah angka 75,5 pada sumbu x di tengah selang tersebut. Begitupula pada poligon frekuensi pada data yang sama di atas, juga terdapat angka yang sama dengan histogram pada sumbu x yaitu 35,5 , 45,5 , 55,5 , 65,5 , 75,5 , 85,5 dan 95,5. Selisih antara dua angka yang mewakili setiap kelas sama dengan
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
41
panjang kelasnya dan semua kelas juga sama. Jika kita perhatikan angka-angka pada sumbu x didapat dari 35,5 =
,
,
. Angka inilah yang disebut dengan titik tengah.
Dengan demikian kita dapat menyimpulkan bagaimana membuat histogram dan poligon frekuensi sebagaimana contoh di atas. Sementara itu, pada ogive sangat berbeda dengan histogram dan poligon frekuensi. Jika kita perhatikan gambar ogive pada data nilai ulangan Matematika di atas, maka yang menjadi pertanyaan kita adalah mengapa pada nilai sumbu x nya 60,5 mempunyai frekuensi 10 dan nilai 80,5 mempunyai frekuensi 47. Di lain pihak, pada tabel distribusi frekuensinya untuk kelas 60,5 – 70,5 mempunyai frekuensi 13, sedangkan pada kelas 80,5 – 90,5 mempunyai frekuensi 21. Melalui deskripsi di atas, maka tulislah langkah-langkah membuat histogram, poligon frekuensi dan ogive pada kotak yang disediakan di bawah ini.
Setelah melakukan kegiatan-kegiatan tersebut di atas, maka siswa menympulkan penyajian data dalam bentuk histogram, poligon frekuensi dan ogive pada kotak di bawah ini.
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
42
Soal Latihan 2.1 Histogram, Poligon Frekuensi dan Ogive
Jawablah soal berikut disertai dengan langkah pengerjaannya! 1.
Seorang peneliti mengadakan sebuah penelitian berat badan dari 35 orang. Data hasil peneltian tersebut (dalam kg) disajikan dalam data tunggal sebagai berikut : 48
32
46
27
43
46
25
41
40
58
16
36
21
42
47
55
60
58
46
44
63
66
28
56
50
21
56
55
25
74
43
37
51
53
39
Berdasarkan data tersebut di atas, maka : a. Buatlah tabel distribusi frekuensi berkelompok b. Buatlah histogram, poligon frekuensi dan ogive
2.
Diberikan data hasil ulangan harian Matematika dari 40 siswa sebagai berikut. 72
74
78
74
79
75
72
71
74
67
73
72
72
73
75
74
73
74
74
75
75
73
66
74
74
79
70
72
71
72
69
70
80
71
70
75
77
80
76
68
Berdasarkan data tersebut di atas, maka : a. Buatlah tabel distribusi frekuensi berkelompok b. Buatlah histogram, poligon frekuensi dan ogive
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
43
Subbab 2.2 Ukuran Pemusatan Data dan Penyebaran Data Berkelompok
2.2.1 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok
Pada pembelajaran di SMP, siswa sudah mempelajari tentang rata-rata, median dan modus pada data tunggal. Namun di SMK, data yang disajikan dalam bentuk tabel distribusi berkelompok. Berikut ini adalah beberapa contoh soal data berkelompok beserta ukuran pemusatan datanya :
Contoh Soal 2.4 Dari 26 siswa SMPN 03 Karangjati dijadikan sampel dalam penelitian oleh Dinas Kesehatan. Siswa yang sudah dipilih kemudian ditimbang berat badannya. Hasil timbangan berat badan disajikan dalam bentuk data berkelompok seperti berikut. Berat Badan (kg) 46 - 50 51 - 55 56 - 60 61 - 65 66 - 70 71 - 75 76 - 80 81 - 85 Jumlah
45,5 - 50,5 50,5 - 55,5 55,5 - 60,5 60,5 - 65,5 65,5 - 70,5 70,5 - 75,5 76,5 - 80,5 80,5 - 85,5
Frekuensi (fi) 3 2 4 5 6 4 1 1
-
26
Batas Kelas
Berdasarkan data di atas diperoleh nilai rata-rata 63,8 kg. Sementara itu, kelas Median nya terletak pada kelas keempat yaitu kelas 60,5 – 65,5 dengan mediannya 64,5 sedangkan kelas Modus terletak pada kelas kelima yitu kelas 65,5 – 70,5 dengan modusnya 67,2.
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
44
Contoh Soal 2.5 Pada sebuah perkampungan RT. 01 RW. 04 Lingkungan Krajan diadakan kegiatan lomba HUT RI yang diikuti sejumlah anak-anak dengan berbagai usia. Setelah seluruh peserta lomba didata dan dikelompokkan, maka didapatkan data berkelompok sebagai berikut : Usia Anak (tahun)
Batas Kelas
Frekuensi (fi)
2-4 5-7 8 - 10 11 - 13 14 - 16
1,5 - 4,5 4,5 - 7,5 7,5 - 10,5 10,5 - 13,5 13,5 - 16,5
2 6 11 4 1
Jumlah
-
24
Rata-rata usia peserta lomba tersebut berdasarkan data berkelompok di atas adalah 8,5 tahun. Selanjutnya kelas median dan modus terletak pada kelas yang sama yaitu kelas ketiga ( 7,5 – 10,5 ) dengan mediannya adalah 8,6 dan modusnya adalah 8,8.
Berdasarkan hasil pengamatan di atas, maka catatlah hasil pengamatan Anda melalui istilah-istilah penting berkenaan dengan ukuran pemusatan data berkelompok pada kotak di bawah ini.
Setelah mengamati contoh soal 2.4 dan contoh soal 2.5 di atas, tulislah beberapa pertanyaan berkenaan dengan rata-rata, median dan modus berdasarkan contoh soal di atas maupun berdasarkan pelajaran berkenaan dengan ukuran pemusatan data tunggal yang telah dipelajari pada jenjang sebelumnya, kemudian tulikan pertanyaan-pertanyaan tersebut pada kotak yang disediakan berikut. Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
45
Rata-rata yang dihitung dari sebuah data tunggal adalah hasil bagi antara jumlah seluruh datum dengan banyaknya datum. Namun jika data yang disajikan adalah data berkelompok, maka yang dilakukan untuk menentukan rata-ratanya adalah dengan menggunakan aproksimasi (penaksiran) atau pendekatan. Untuk memudahkan pemahaman tentang rata-rata untuk data berkelompok, maka berikut ini adalah contoh perhitungannya.
Contoh Soal 2.6 Suatu data kasar diperoleh dari 40 kali hasil pengukuran panjang sebuah papan (teliti sampai mm terdekat) adalah sebagai berikut : 138
164
150
132
144
125
149
157
146
158
140
147
136
148
152
144
168
126
138
176
163
119
154
165
146
173
142
147
135
153
140
135
162
145
135
142
150
150
145
128
Data tersebut di atas akan dikelompokkan menjadi 7 kelas, maka data tersebut menjadi: Hasil Pengukuran (dalam mm)
Batas Kelas
Titik Tengah
Frekuensi
119 - 127 128 - 136 137 - 145 146 - 154 155 - 163 164 - 172 173 - 181
118,5 - 127,5 127,5 - 136,5 136,5 - 145,5 145,5 - 154,5 154,5 - 163,5 163,5 - 172,5 172,5 - 181,5
123 132 141 150 159 168 177
3 6 10 11 5 3 2
Jumlah
-
-
40
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
46
Jika kita perhatikan data bekelompok di atas, pada kelas pertama 119 – 127 memiliki titik tengah 123 artinya datum yang ada berada di sekitar angka 123. Dengan menggunakan metode aproksimasi, maka jumlah datum pada kelas pertama adalah 369, sehingga jumlah seluruh datumnya adalah 5874. Oleh karena itu, rata-ratanya adalah 146,9. Bagaimanakah jika kita menghitung rata-rata dengan menggunakan data tunggal? Bagaimanakah perbandingan dengan hasil perhitungan rata-rata dari data berkelompok? Tuliskan pada kotak di bawah ini.
Begitupula dalam menentukan median dan modus juga menggunakan aproksimasi. Berdasarkan frekuensi setiap kelas, kita dapat menentukan kelas median dan kelas modusnya terlebih dahulu. Kelas median adalah kelas yang memiliki frekuensi tepat setengah dari jumlah frekuensi seluruhnya, sementara kelas modus adalah kelas yang memiliki jumlah frekuensi terbesar.
Untuk lebih memperjelas dalam menentukan ukuran pemusatan data berkelompok, maka kita perlu melakukan beberapa hal diantaranya sebagai berikut.
a. Rata-rata Pada contoh soal 2.4 di atas, kita akan menambahkan beberapa kolom pada tabel di bawah ini sesuai dengan konsep menentukan rata-rata dari data tersebut yaitu. Berat Badan (kg) 46 - 50 51 - 55 56 - 60 61 - 65 66 - 70 71 - 75 76 - 80 81 - 85 Jumlah
Batas Kelas
Titik Tengah ( xi )
Frekuensi ( fi ) 3 2 4 5 6 4 1 1
-
26
45,5 - 50,5 50,5 - 55,5 55,5 - 60,5 60,5 - 65,5 65,5 - 70,5 70,5 - 75,5 76,5 - 80,5 80,5 - 85,5 -
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
∙
47
Setelah mengisi tabel di atas secara lengkap, maka kita harus mampu menentukan rumus rata-rata dari data berkelompok berdasarkan yang sudah diketahui sebelumnya bahwa rata-rata dari data di atas adalah 63,8. Tulisakan rumus yang tepat tersebut pada kotak di bawah ini.
b. Median Untuk mengetahui cara menentukan median, maka lengkapilah tabel berikut ini sesuai dengan kolomnya berdasarkan contoh soal 2.4 di atas. Berat Badan (kg)
Batas Kelas
46 - 50 51 - 55 56 - 60 61 - 65 66 - 70 71 - 75 76 - 80 81 - 85
45,5 - 50,5 50,5 - 55,5 55,5 - 60,5 60,5 - 65,5 65,5 - 70,5 70,5 - 75,5 76,5 - 80,5 80,5 - 85,5
Jumlah
-
Batas Bawah ( Li )
Panjang Frekuensi Kelas ( fi ) (p)
0 3 5 9
5
3 2 4 5 6 4 1 1
-
26
-
60,5 5 76,5 -
Fi
−
-
−
+
-
Keterangan : Fi : jumlah frekuensi sebelum kelas ke-i n : jumlah frekuensi seluruhnya Telah diketahui sebelumnya bahwa median dari data di atas adalah 64,5. Berdasarkan tabel yang dilengkapi di atas, maka kita akan mengetahui bagaimana menentukan median dari sebuah data berkelompok dan dimanakah kelas mediannya. Tuliskan rumus median tersebut pada kotak yang disediakan berikut.
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
48
c. Modus Lengkapilah tabel beikut ini sesuai dengan permintaan kolomnya agar kita mengetahui bagaimana menentukan modus dari sebuah data berkelompok pada contoh soal 2.4 di atas. Berat Badan (kg)
Batas Kelas
46 - 50 51 - 55 56 - 60 61 - 65 66 - 70 71 - 75 76 - 80 81 - 85
45,5 - 50,5 50,5 - 55,5 55,5 - 60,5 60,5 - 65,5 65,5 - 70,5 70,5 - 75,5 76,5 - 80,5 80,5 - 85,5
Jumlah
-
Batas Bawah ( Li )
-
Panjang Frekuensi Kelas ( fi ) (p)
-
d1
3 2 4 5 6 4 1 1
0 -1 2 1
26
-
d2
+
+
2 3 0 0 -
-
Keterangan : d1 : selisih frekuensi kelas median dengan frekuensi kelas sebelumnya d2 : selisih frekuensi kelas median dengan frekuensi kelas sesudahnya Telah diketahui sebelumnya bahwa modus dari data di atas adalah 67,2. Berdasarkan tabel yang dilengkapi di atas, maka kita akan mengetahui bagaimana menentukan modus dari sebuah data berkelompok dan dimanakah kelas modusnya. Tuliskan rumus modus tersebut pada kotak yang disediakan berikut.
Setelah kita mengetahui rumus ukuran pemusatan data berkelompok, maka cobalah menentukan rata-rata, median dan modus untuk contoh soal 2.5.
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
49
Setelah melakukan kegiatan-kegiatan tersebut di atas, maka siswa menyimpulkan hal-hal yang berkaitan dengan ukuran pemusatan data berkelompok pada kotak di bawah ini.
2.2.2 Ukuran Penyebaran Data Berkelompok Di dalam memahami dan menyimpulkan sebuah data, tidaklah cukup kita hanya menngetahui rata-ratanya saja, namun kita perlu tahu penyebaran dari sebuah data. Tujuannya adalah agar kita mengetahui homogenitas atau heterogenitas sebuah data. Oleh karena itu, kita juga perlu mempelajari simpangan rata-rata, ragam dan simpangan baku yang merupakan ukuran penyebaran data.
Materi tentang simpangan rata-rata, ragam dan simpangan baku untuk data tunggal telah diberikan pada pembelajaran tingkat sebelumnya. Secara umum proses penentuan simpangan rata-rata, ragam dan simpangan baku untuk data tunggal sama dengan untuk data berkelompok. Berikut ini adalah beberapa contoh soal data distribusi berkelompok beserta ukuran penyebaran datanya.
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
50
Contoh Soal 2.7 Data yang disajikan berikut merupakan data banyaknya pasien di sebuah klinik berdasarkan usia pasien. Usia (tahun)
Batas Kelas
Frekuensi
1-5 6 - 10 11 - 15 16 - 20 21 - 25 26 - 30
0,5 – 5,5 5,5 – 10,5 10,5 – 15,5 15,5 – 20,5 20,5 – 25,5 25,5 – 30,5
2 3 5 7 4 4
Ukuran penyebaran data di atas didapat dengan simpangan rata-rata adalah 6,0 dan ragamnya adalah 56,25 serta simpangan bakunya adalah 7,5.
Contoh Soal 2.8 Berikut ini adalah data yang disajikan sebagai data hasil penjualan bensin dalam liter pada 34 kios bensin di 5 kecamatan yang berbeda. Penjualan Bensin (liter) 1 - 10 11 - 20 21 - 30 31 - 40 41 - 50 51 - 60 61 - 70
Batas Kelas
Frekuensi
0,5 – 10,5 10,5 – 20,5 20,5 – 30,5 30,5 – 40,5 40,5 – 50,5 50,5 – 60,5 60,5 – 70,5
2 4 5 10 8 4 1
Ukuran penyebaran data di atas didapat dengan simpangan rata-rata adalah 20,2 dan ragamnya adalah 218,2 serta simpangan bakunya adalah 14,8.
Setelah mengamati contoh soal 2.7 dan contoh soal 2.8 di atas, tulislah beberapa pertanyaan berkenaan dengan simpangan rata-rata, ragam dan simpangan baku berdasarkan
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
51
contoh soal di atas maupun berdasarkan pelajaran berkenaan dengan ukuran penyebaran data tunggal yang telah dipelajari pada jenjang sebelumnya, kemudian tulikan pertanyaanpertanyaan tersebut pada kotak yang disediakan berikut.
Contoh Soal 2.9 Berikut ini adalah data berat badan balita yang menghadiri Posyandu di sebuah RW pada Kelurahan Dawuhan. Berat Badan (kg)
Frekuensi
3-5 6-8 9 - 11 12 - 14 15 - 17 18 - 20
3 6 16 8 7 10
Dengan menggunakan pengetahuan sebelumnya tentang ukuran penyebaran data tunggal dan menentukan rata-rata untuk data berkelompok, maka tentukan dan tulislah rata-rata dari data di atas pada kotak di bawah ini.
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
52
Dalam menentukan ukuran penyebaran data berkelompok, tidak lepas dari rata-rata dari data tersebut dan nilai tengah dari setiap kelas pada sebuah data. Untuk lebih memahami ukuran penyebaran data berkelompok maka perhatikanlah pembahasan berikut.
a. Simpangan Rata-rata Dengan menggunakan data berkelompok pada contoh 2.9 di atas, lengkapilah tabel di bawah ini sesuai dengan kolomnya. Berat Badan (kg)
Frekuensi
3-5 6-8 9 - 11 12 - 14 15 - 17 18 - 20
3 6 16 8 7 10
Titik Tengah ( xi )
∙
|
− |
∙ |
− |
Jumlah Keterangan : : rata-rata Untuk mendapatkan simpangan rata-rata dari data tersebut, maka silahkan coba lakukan hal serupa dengan tabel di atas pada contoh soal 2.7 dan contoh soal 2.8 di atas. Kemudian tentukan rumus simpangan rata-rata agar hasilnya sesuai dengan yang sudah diketahui pada kedua contoh soal tersebut. Tuliskan dugaan rumus simpangan rata-rata pada kotak di bawah ini.
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
53
b. Ragam dan Simpangan Baku Kita telah mempelajari hubungan antara ragam dan simpangan baku yaitu jika S adalah simpangan baku, maka ragamnya adalah S2. Oleh karena itu, untuk menentukan ragam dan simpangan baku data berkelompok maka silahkan lengkapi tabel berikut ini. Berat Badan (kg)
Frekuensi
3-5 6-8 9 - 11 12 - 14 15 - 17 18 - 20
3 6 16 8 7 10
Titik Tengah ( xi )
∙
∙
Jumlah
Berdasarkan tabel di atas, maka ragam dapat ditentukan dengan rumus :
=
∑
.
− (∑ . ( − 1)
. )
Jika telah menentukan ragam dan simpangan baku data tersebut, maka cobalah untuk mencocokkan hasil ragam dan simpangan baku untuk contoh soal 2.7 dan 2.8 dan tulislah hasil perhitungannya pada kotak di bawah ini.
Setelah melakukan kegiatan-kegiatan tersebut di atas, maka siswa menyimpulkan hal-hal yang berkaitan dengan ukuran penyebaran data berkelompok pada kotak di bawah ini.
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
54
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
55
Statistik adalah nilai – nilai yang diperoleh dari sampel. Statistika adalah suatu ilmu yang mempelajari cara pengumpulan, pengolahan, penyajian , analisa data dan pengambilan kesimpulan dari sifat-sifat yang ada. Sampel adalah observasi yang dilakukan terhadap sebagian dari objek dengan tujuan memperoleh gambaran mengenai keseluruhan objek. Populasi adalah keseluruhan objek yang diteliti. Macam – macam data Data (datum) adalah sekumpulan bilangan atau keterangan yang dapat menerangkan sesuatu. Data ada 2 macam : 1. Data kuantitatif : data yang berbentuk bilangan Contoh : data tentang tinggi badan, penghasilan, dll. Data kuantitatif dibedakan menjadi 2 yaitu: a. Data Diskrit yaitu data yang diperoleh dari hasil menghitung. Contoh : Satu kg telur berisi 16 butir Banyaknya siswa SMK 2 Wonogiri tiap kelas adalah 32 orang Banyaknya mobil di area parkir berdasar jenisnya, misal: sedan 15 buah, pick-up 25 buah, minibus 30 buah. b. Data kontinu yaitu data yang diperoleh dengan mengukur atau menimbang dengan menggunakan alat. Contoh : Berat rata-rata telur ayam adalah 60 gram Diameter gear belakang sepeda motor adalah 49 mm Panjang pipa 155 cm 2. Data kualitatif : data yang tidak berhubungan dengan bilangan Contoh : jenis kelamin, status perkawinan, warna kulit, dll
Di dalam statistika ada beberapa materi yang perlu dipelajari diantaranya adalah penyajian data dalam tabel distribusi frekuensi, histogram, poligon frekuensi dan ogive, ukuran pemusatan data berkelompok dan ukuran penyebaran data berkelompok.
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
56
2.1 Penyajian Data A. Tabel Distribusi Frekuensi Berkelompok. Distribusi frekuensi merupakan pengorganisasian data mentah ke dalam bentuk tabel yang terdiri dari kelas-kelas dan frekuensinya. Dengan mengelompokkan data ke dalam kelas-kelas pada distribusi frekuensi memudahkan pengguna data untuk mendapatkan informasi yang berguna yang lebih banyak. Berikut ini merupakan langkah-langkah menyusun distribusi frekuensi dari sebuah data tunggal (aturan Sturgess) : 1. Menentukan jangkauan ( J )
=
−
Keterangan : : nilai datum terbesar : nilai datum terkecil
2. Menentukan banyak kelas ( k )
= 1 + 3,3 . log Keterangan : n
: jumlah frekuensi / banyak datum
3. Menentukan panjang kelas ( p )
=
B. Histogram, Poligon Frekuensi dan Ogive Histogram adalah grafik yang menampilkan dan menggunakan batang vertikal dengan tinggi tertentu yang menunjukkan frekuensi dari kelas yang diwakili. Informasi yang dibutuhkan untuk menggambarkan histogram adalah batas kelas dan frekuensinya. Sumbu x merupakan kelas dari distribusi frekuensi sedangkan sumbu y adalah frekuensinya. Poligon frekuensi adalah grafik yang menampilkan data menggunakan titiktitik yang menunjukkan frekuensi yang diletakkan tepat di titik tengah kelas masingmasing. Untuk menggambarkan poligon frekuensi hampir sama dengan histogram. Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
57
Frekuensi masing-masing kelas diwakili dengan tinggi titik pada titik tengah kelas tersebut. Langkah terakhir adalah menghubungkan titik-titik yang dihasilkan sebelumnya. Ogive merupakan grafik yang menunjukkan frekuensi kumulatif dari kelaskelas di distribusi frekuensi. Untuk mendapatkan ogive, langkah pertama adalah mendapatkan frekuensi kumulatif seetiap kelas. Sumbu x berisikan batas-batas setiap kelas dan sumbu y adalah frekuensi kumulatif. Plot setiap frekuensi kumulatif pada batas atas kelas, sehingga batas bawah kelas pertama mempunyai frekuensi 0. Langkah terakhir adalah menghubungkan titik-titik yang didapatakan sebelumnya.
2.2 Ukuran Pemusatan Data A. Rata-rata Rata-rata data tunggal didapatkan dengan membagi jumlah data dengan banyaknya data. Sementara untuk data berkelompok dapat menggunakan rumus :
̅=
∑ ∑
.
Keterangan :
̅
: Rata-rata : Frekuensi kelas ke-i : Nilai tengah kelas ke-i
B. Median Median merupakan nilai tengah dari sebuah data. Jika data yang disajikan dalam bentuk data berkelompok, maka menggunakan rumus :
=
1 − + 2
Keterangan : : : : : : :
Median Batas bawah kelas median Jumlah frekuensi Jumlah frekuensi sebelum kelas median Frekuensi kelas median Panjang kelas
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
58
C. Modus Modus merupakan nilai datum yang paling banyak muncul. Jika data yang disajikan dalam data berkelompok, maka rumus yang digunakan adalah :
=
+
+
Keterangan : : : : : :
Modus Batas bawah kelas modus Selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya Selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas setelahnya Panjang kelas
2.3 Ukuran Penyebaran Data A. Simpangan Rata-rata Simpangan rata-rata adalah ukuran penyebaran data yang mencerminkan penyebaran nilai terhadap rata-rata hitungnya. Simpangan rata-rata untuk data berkelompok dirumuskan dengan :
=
∑
. |
− ̅|
∑
Keterangan : : Simpangan rata-rata
̅
: Rata-rata : Frekuensi kelas ke-i : Nilai tengah kelas ke-i
B. Ragam dan Simpangan Baku Simpangan baku merupakan akar dari jumlah kuadrat simpangan nilai – nilainya dibagi oleh banyaknya data. Jika ragam ditulis dengan S2, maka simpangan baku ditulis dengan S. Ragam dan simpangan baku dapat dituliskan dengan rumus :
=
=
∑
.
− (∑ . ( − 1)
∑ =1 .
2
. )
− ∑ =1 . . ( − 1)
2
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
59
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
60
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
61
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
62
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
63
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
64
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
65
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
66
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
67
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
68
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
69
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
70
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
71
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
72
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
73
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
74
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
75
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
76
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
77
Uji Kompetensi Bab 2 Statistika
Jawablah pertanyaan berikut disertai dengan langkah pengerjaannya! 1.
Nilai ujian psikotest peserta seleksi pegawai di suatu BUMN diperlihatkan dalam tabel : Nilai Ujian
Frekuensi
4 5 6 7 8 9
4 2 6 8 18 12
Jika peserta yang dinyatakan lulus hanya peserta yang nilainya lebih besar sama dengan nilai rata-rata, maka banyak peserta yang lulus adalah...
2.
Di kelas XII IPA 1 terdapat 40 siswa. Nilai rata-rata ujian matematika mereka adalah 60. Jika dua yang paling rendah nilainya tidak diikutsertakan maka rata-ratanya adalah 61,5, maka nilai terendah di kelas tersebut adalah...
3.
Dalam suatu kelas diketahui rata-rata nilai matematika siswa putri 7,2 sedangkan rata-rata siswa putra 6,3 dan nilai rata-rata kelas itu adalah 6,6. Jika banyak siswa putri adalah 12 anak maka banyak siswa seluruhnya dalam kelas itu adalah...
4.
Dari sebuah tabel diketahui bahwa data memiliki interval kelas 5, jumlah semua frekuensi data sama dengan 100 dan jumlah frekuensi sebelum median sama dengan 20. Jika frekuensi kelas median sama dengan 10 dan tepi bawah kelas median adalah 39,5 maka median dari data tersebut adalah….
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
78
5.
Berikut ini merupakan nilai ujian matematika kelas XII IPA 2 Nilai Ujian
Frekuensi
51 - 60 61 - 70 71 - 80 81 - 90 91 - 100
5 10 k 8 12
Jika median dari data di atas adalah 78 maka nilai k adalah…. 6.
Diketahui data yang dinyatakan dalam tabel berikut : Nilai
Frekuensi
40 - 49 50 - 59 60 - 69 70 - 79 80 - 89
7 9 6 5 3
Median dari data tersebut adalah....
7.
Dari tabel data frekuensi kumulatif dengan interval kelas 5 diketahui modusnya berada pada rentang 51 – 60. Jika selisih antara frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya sama dengan 8 dan selisih antara frekuensi kelas modus dengan kelas sesudah sama dengan 4, maka modus dari data tersebut adalah….
8.
Perhatikan histogram berikut yang menyajikan data berat badan (dalam kg) 30 orang siswa. Modus data tersebut adalah...
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
79
Teori mengenai peluang ini didapat dari sebuah masalah perjudian yang dilakukan oleh ahli matematika dan fisika dari Italy. Gerolamo Cardano yang dilahirkan pada tahun 1501 bulan September hari ke 24. Semasa itu Cardano merupakan seorang penjudi. Di suatu sisi judi memberikan efek buruk tapi ini juga yang memicu semangat Cardano untuk mempelajari ilmu kemungkinan ini. Sebuah buku yang diterbitkan oleh Cardano pada tahun 1565 yang berjudul Liber de Ludo Aleae (Book on Games of Changes) . Cardano memberikan rinci tentang konsep dasar dari peluag berdasarkan sebuah masalah dalam perjudian. Namu buku tersebut tak pernah dipublikasikan hingga tahun 1662. Cardano sendiri pada akhirnya disebut sebagai pelopor peluang dan dijuluki sebagai ‘bapak probability’. Sebuah kutipan dari buku Cardano mendetailkan sebuah kejadian.Bila dilemparkan 3 dadu dalam waktu yang bersamaan sebanyak tiga kali, berapa besar kemungkinan mendapatkan mata dadu minimal (1,1) dalam satu kali lemparan. Pertanyaan selanjutnya bila dilemparkan 2 potong dadu secara bersamaan dalam tiga kali percobaan berapa kemungkinan didapat mata dadu (1,1) paling sedikit 2 kali.
PELUANG
Perkembangan selanjutnya, tahun 1654 seorang penjudi lain dengan nama Chevalier de Mere menemukan bagaimana berjalannya suatu sistem perjudian. Suatu saat de Mere kalah dalam suatu permainan judi. Akhirnya dia minta pertolongan Blaise Pascal untuk menganalisa sistem permainan tersebut. Dengan perhitungan Pascal menemukan bahwa kemungkinan de Mere kalah dalam perjudian tersebut 51%. Dari awal membantu teman, akhirnya membuat Pascal jatuh cinta pada masalah ini. Akhirnya bersama ahli matematika lain Pierre de Fermat, Blaise Pascal mendiskusikan pemecahan masalah ini.
Diagram Alur Konsep
BAB 3
PELUANG Kompetensi Dasar : 3.3 Menganalisis aturan pencacahan (aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi) melalui masalah kontekstual. 3.4 Mendeskripsikan dan menentukan peluang kejadian majemuk (peluang kejadian-kejadian saling bebas, saling lepas, dan kejadian bersyarat) dari suatu percobaan acak. 4.3 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan kaidah pencacahan. 4.4 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kejadian majemuk
Atutran Penjumlahan
Aturan Pencacaham
Aturan Perkalian Permutasi Kombinasi
Peluang
Kejadian Saling Lepas Kejadian Mejemuk
Kejadian Saling Bebas Kejadian Bersyarat
Tujuan Pembelajaran : Melalui aktivitas mengamati, mempertanyakan bahan amatannya, melakukan aktivitas untuk mengumpulkan informasi, mengasosiasi semua informasi yang diperoleh, dan mengomunikasikan hasilnya baik dalam kelompok dan klasikal, siswa mampu : 1. Menganalisis aturan pencacahan melalui masalah kontekstual. 2. Mendeskripsikan kejadian majemuk, peluang saling lepas, peluang saling bebas, peluang bersyarat. 3. Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan kaidah pencacahan. 4. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kejadian majemuk, peluang saling lepas, peluang saling bebas, peluang bersyarat. Indikator Pencapaian Kompetensi : 1. Siswa mampu mengamati dan menemukan konsep aturan penjumlahan dan perkalian melalui masalah kontekstual; 2. Siswa mampu mengamati dan menemukan konsep permutasi dan kombinasi melalui masalah kontekstual, dan 3. Siswa mampu Menerapkan konsep aturan penjumlahan, perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam menyelesaikan masalah sehari-hari.
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
80
Teori peluang adalah cabang matematika yang bersangkutan dengan peluang, analisis fenomena acak. Objek utama teori peluang adalah variabel acak, proses stokastik, dan kejadian: abstraksi matematis non-deterministik peristiwa atau kuantitas terukur yang dapat berupa kejadian tunggal atau berkembang dari waktu ke waktu dalam mode tampaknya acak. Jika koin individu melemparkan atau gulungan dadu dianggap peristiwa acak, maka jika berkali-kali mengulangi urutan kejadian acak akan menunjukkan pola-pola tertentu, yang dapat dipelajari dan diprediksi. Dua hasil matematis representatif menggambarkan pola tersebut adalah hukum bilangan besar dan teorema limit pusat. Sebagai dasar matematika untuk statistik, teori peluang adalah penting untuk kegiatan manusia banyak yang melibatkan analisis kuantitatif set besar data. Metode teori peluang juga berlaku untuk deskripsi sistem yang kompleks diberikan pengetahuan hanya sebagian dari negara mereka, seperti dalam mekanika statistik. Sebuah penemuan besar fisika abad kedua puluh adalah sifat peluang fenomena fisik pada skala atom, dijelaskan dalam mekanika kuantum.
Subbab 3.1 Aturan Pencacahan, Permutasi dan Kombinasi
3.1.1 Aturan Penjumlahan dan Perkalian Apabila kegiatan 1, kegiatan 2, kegiatan 3, ... , kegiatan m adalah kegiatan-kegiatan yang sepasang-sepasang saling lepas, dan misalkan kegiatan 1 terjadi dengan n1 cara, kegiatan 2 terjadi dengan n2 cara, kegiatan 3 terjadi dengan n3 cara, ... , dan kegiatan m terjadi dengan nm cara, maka kegiatan 1, kegiatan 2, kegiatan 3, ... , atau kegiatan m akan terjadi sebanyak n1 + n2 + n3 + ... + nm cara. Contohnya adalah :
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
81
Contoh Soal 3.1 Di rumahnya Wati terdapat 3 jenis sepeda berbeda, 2 jenis sepeda motor berbeda, dan 2 mobil yang berbeda. Jika Wati ingin berpergian, ada berapa cara Wati menggunakan kendaraan yang ada di rumahnya? Penyelesaian : Pada kasus ini, ada tiga pilihan kendaraan yaitu sepeda, sepeda motor, dan mobil. Wati tidak mungkin menggunakan sekaligus ketiga jenis kendaraan tersebut yang artinya Wati harus memilih salah satu jenis kendaraan saja. Sehingga kita bisa menggunakan aturan penjumlahan pada kasus ini. *). Menentukan banyak cara menggunakan kendaraan Total cara = 3 + 2 + 2 = 7 cara. Jadi, ada 7 cara pilihan kendaraan yang bisa digunakan oleh Wati.
Contoh Soal 3.2 Dari Kota A menuju kota D dapat melalui beberapa jalur pada gambar di bawah ini. Berapa banyak kemungkinan jalur yang dapat dilalui dari Kota A ke Kota D?
Penyelesaian : *). Untuk perjalanan dari kota A ke kota D bisa melalui kota B atau kota C. Beberapa jalur yang bisa ditempuh : Jalur Pertama : jalurnya A - B – D, A - B ada 4 jalan dan B - D ada 3 jalan, total jalur pertama = 4 x 3 = 12 jalan. Jalur Kedua : jalurnya A - C – D, A - C ada 3 jalan dan C - D ada 3 jalan, total jalur kedua = 3 x 3 = 9 jalan.
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
82
*). Keseluruhan jalur yang ditempuh adalah melalui jalur pertama atau jalur kedua sehingga bisa menggunakan aturan penjumlahan. Total jalur = jalur pertama + jalur kedua = 12 + 9 = 21 jalan. Jadi, banyak kemungkinan jalur yang ditempuh dari A ke D ada 21 jalur.
Apabila kegiatan 1, kegiatan 2, kegiatan 3, ... , kegiatan m adalah kegiatan-kegiatan yang sepasang-sepasang tidak saling lepas, dan misalkan kegiatan 1 terjadi dengan n1 cara, kegiatan 2 terjadi dengan n2 cara, kegiatan 3 terjadi dengan n3 cara, ... , dan kegiatan m terjadi dengan nm cara, maka kegiatan 1, kegiatan 2, kegiatan 3, ... , dan kegiatan m akan terjadi sebanyak n1 · n2 · n3 · ... · nm cara. Contohnya adalah :
Contoh Soal 3.3 Budi mempunyai 3 buah baju berwarna putih, cokelat, dan batik. Ia juga memiliki 2 buah celana warna hitam dan cokelat yang berbeda. Ada berapa pasang baju dan celana dapat dipakai dengan pasangan yang berbeda? Penyelesaian : *) Cara I : Mendaftarkan semua pasangan dengan diagram Berikut diagram kemungkinan pasangan baju dan celana.
Dari diagram di atas, banyaknya pasangan baju dan celana yang dapat digunakan oleh Budi sebanyak 6 pasang yaitu (baju putih, celana hitam), (baju putih, celana cokelat), (baju batik, celana hitam), (baju batik, celana cokelat), (baju cokelat, celana hitam), dan (baju cokelat, celana cokelat). *). Cara II : Menggunakan aturan perkalian. Pada soal ini kita akan menentukan banyaknya pasangan baju dan celana, artinya setiap pasangan harus memuat baju dan celana sehingga sekaligus kedua-duanya (baju dan celana) harus ada sehingga kita bisa menggunakan aturan perkalian secara langsung.
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
83
*). Unsur pertama adalah baju, ada 3 pilihan baju, sehingga k_1 = 3 . *). Unsur kedua adalah celana, ada 2 pilihan celana, sehingga k_2 = 2 . *). Total pasangan baju dan celanan : Total pasangan = k_1 x k_2 = 3 x 2 = 6 . Jadi, banyaknya pasangan baju dan celana ada 6 pasang berbeda.
Contoh Soal 3.4 Iwan memiliki 5 jenis baju yang berbeda, 2 jenis celana yang berbeda, 2 topi yang berbeda, 3 dasi yang berbeda, dan 4 pasang sepatu serta kaosnya. Tentukan ada berapa banyak cara Iwan menggunakan seragam sekolah jika semua jenis harus dipakai?
Penyelesaian : Total seragam yang mungkin terbentuk adalah 5 · 2 · 2 · 3 · 4 = 240 pilihan. Jadi, ada 240 pilihan seragam yang bisa dipakai oleh Iwan.
Contoh Soal 3.5 Untuk menuju kota C dari kota A harus melewati kota B. Dari kota A ke kota B melewati 4 jalur dan dari kota B ke kota C ada 3 jalur. Dengan berapa jalur Budi dapat pergi dari kota A ke kota C? Penyelesaian : *) Kita gunakan aturan perkalian karena jalur AB dan BC harus ditempuh semua, artinya ketiga jalur sekaligus dilewati untuk perjalanan dari kota A ke kota C. Total jalur = 4 x 3 = 12 jalur.
Contoh Soal 3.6 Seorang ingin membuatkan plat nomor kendaraan yang terdiri dari 4 angka yang dipilih dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5 dan dalam plat nomor itu tidak boleh ada angka yang sama. Berapa banyak plat nomor dapat dibuat?
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
84
Penyelesaian : *) Plat nomor tidak boleh ada angka yang berulang, artinya angka yang sudah dipakai tidak boleh dipakai lagi. Misalkan palat nomor 2113 tidak boleh karena angka 1 berulang. Contoh yang boleh adalah plat nomor 2134, 1234, 1235, dan lainnya. *) Misalkan kita buat 4 buah kotak kosong yaitu kotak (a), (b), (c) dan (d) sebab nomor kendaraan itu terdiri dari 4 angka. Berikut cara pengisian masing-masing kotak :
5
4
3
2
Pilihan angkanya adalah 1, 2, 3, 4, 5, artinya totalnya ada 5 pilihan angka. i)
Kotak (a), dapat diisi angka 1, 2, 3, 4, atau 5 sehingga ada 5 cara.
ii) Kotak (b), dapat diisi dengan 4 pilihan bilangan karena satu bilangan sudah dipakai untuk kotak (a). iii) Kotak (c), dapat diisi dengan 3 pilihan bilangan karena dua bilangan sudah dipakai untuk kotak (a) dan (b). iv) Kotak (d), dapat diisi dengan 2 pilihan bilangan karena tiga bilangan sudah dipakai untuk kotak (a), (b), dan (c). Sehingga gambar lengkap kotaknya adalah : Banyaknya plat nomor = 5 · 4 · 3 · 2 = 120 plat nomor. Jadi, banyaknya plat nomor yang bisa dibuat adalah 120 plat nomor.
Contoh Soal 3.7 Seorang ingin membuatkan plat nomor kendaraan yang terdiri dari 4 angka yang dipilih dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5 dan dalam plat nomor itu boleh ada angka yang sama. Berapa banyak plat nomor dapat dibuat?
Penyelesaian : Soal ini sebenarnya mirip dengan soal nomor (4), hanya saja syaratnya yang dibedakan sedikit. Plat nomor boleh ada angka yang sama, artinya angka yang sudah dipakai boleh dipakai lagi. *) Kita buat 4 kotak karena plat nomor terdiri dari 4 angka saja. Pilihan angkarnya adalah 1, 2, 3, 4, 5, artinya totalnya ada 5 pilihan angka. Cara pengisian setiap kotak :
5
5
5
5
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
85
i) Kotak I, dapat diisi angka 1, 2, 3, 4, atau 5 sehingga ada 5 cara. ii) Kotak II, dapat diisi dengan 5 pilihan angka juga karena angka yang sudah dipakai pada kotak I bisa dipakai lagi pada kotak II. Begitu juga dengan kotak III dan kotak IV ada 5 pilihan angka masing-masing. Banyaknya plat nomor = 5 · 5 · 5 · 5 = 625 plat nomor. Jadi, banyaknya plat nomor yang bisa dibuat adalah 625 plat nomor.
3.1.2 Permutasi dan Penerapannya A. Notasi Faktorial Untuk suatu n bilangan asli, n! (dibaca n faktorial) didefinisikan sebagai : 1. n! = n · ( n – 1 ) · ( n – 2 ) · ( n – 3 ) · ... · 3 · 2 · 1 2. 0! = 1
Contoh : 1. 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 2. 3! + 4! = 3 · 2 · 1 + 4 · 3 · 2 · 1 = 6 + 24 = 30 3. 3! · 4! = ( 3 · 2 · 1 ) · ( 4 · 3 · 2 · 1 ) = 6 · 24 = 144 4.
! !
=
. . . . . .
= 5 · 4 = 20
B. Permutasi Permutasi adalah susunan objek-objek dengan memperlihatkan urutan tertentu. 1. Permutasi n objek berbeda yang setiap kali diambil seluruhnya (nPn) nPn
= n! atau
= n!
Contoh: Diketahui 3 abjad pertama yaitu A, B dan C. Berapa banyak susunan yang mungkin dari 3 huruf yang berbeda itu ? Jawab: 3P3
= 3! = 3.2.1 = 6 cara
Contoh: Diketahui 4 siswa : Ary, Ani, Ali dan Asih akan ditempatkan pada 4 buah kursi. Ada berapa cara untuk menempatkan siswa itu pada kursi yang berbeda ?
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
86
Jawab: I 4
II
III
IV
3
2
1
Kursi I dapat diisi oleh salah satu siswa dalam 4 cara. Kursi II dapat diisi oleh salah satu siswa dalam 3 cara. Kursi III dapat diisi oleh salah satu siswa dalam 2 cara. Kursi IV dapat diisi oleh salah satu siswa dalam 1 cara. Sehingga dengan prinsip dasar probabilitas, keempat kursi dapat ditempati oleh keempat siswa dengan : 4 x 3 x 2 x 1 = 24 cara. Atau : nPn
= 4P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24 cara.
2. Permutasi n objek berbeda yang setiap kali diambil sebagian (nPr) Banyak permutasi n objek yang diambil r objek (0 < r < n) dinotasikan nPr atau P(n, r)
atau Prn (dibaca Permutasi r dari n) adalah : nPr
= n(n – 1)(n – 2) … (n – r + 1) atau nPr
=
Contoh: Berapa banyak permutasi yang terdiri atas 2 huruf yang berbeda dari 4 huruf : A, I, U, dan E. Jawab: 4P2
=
4! 4! 4.3.2.1 = 4.3 = 12 cara ( 4 2)! 2! 2 .1
Ke-12 permutasi itu adalah : A
I
I : AI U : AU E : AE A : IA U : IU E : IE
U
E
A : UA I : UI E : UE A : EA I : EI U : EU
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
87
3. Permutasi n objek yang tidak semua berbeda Banyaknya cara menyusun unsur dalam suatu baris, jika ada p unsur yang sama dari satu jenis, q unsur dari jenis lain, dan seterusnya adalah : P=
Contoh: Berapa carakah 5 huruf dari kata CUACA dapat disusun dalam suatu baris ! Jawab: Unsur-unsur yang sama : huruf C ada 2, huruf A ada 2. P=
5! 5.4.3.2.1 = 30 2!.2! 2.1.2.1
Jadi susunan yang mungkin ada 30 buah.
4. Permutasi Siklis Banyaknya cara menyusun n objek berlainan dalam suatu lingkaran, dengan memandang susunan yang searah putaran jarum jam dan berlawanan arah putaran jarum jam adalah : Ps(n) =
Contoh: Terdapat berapa carakah empat anak A, B, C, D yang duduk melingkar dapat disusun dalam lingkaran ? Jawab: Cara I Ambil seorang anak untuk diletakkan pada posisi yang tetap, kemudian menyusun tiga anak yang lain dalam tempat yang berbeda, maka cara ini dapat dilakukan dalam : 3! = 3 . 2 . 1 = 6 cara.
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
88
Cara II Perhatikan gambar ! 1
2
4
3 Jika keempat anak itu diletakkan pada posisi 1, 2, 3 dan 4 bergantian searah putaran jarum jam dalam sebuah lingkaran, maka mereka tetap membentuk susunan yang sama. Karena itu, penyusunannya harus menempatkan seorang anak kepada posisi yang tetap dan menggerak-gerakkan posisi tiga anak yang lain. Menyusunnya seperti berikut: CD (ABCD) B DC (ABDC) BD (ACBD) A C DB (ACDB) BC (ADBC) D CB (ADCB) Jadi banyaknya susunan melingkar = (4 – 1)! = 3! = 6 cara
3.1.3 Kombinasi dan Penerapannya Kombinasi adalah susunan dari unsur-unsur yang berbeda tanpa memperhatikan urutan unsur-unsur itu. Kombinasi dari n objek yang diambil r objek dinotasikan nCr atau n C(n, r) atau Crn atau adalah : r nCr
=
Melalui contoh berikut ini, dapat dibedakan antara permutasi dan kombinasi. Pengambilan 3 huruf dari 4 huruf yang ada (A, B, C, D). Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
89
Kombinasi (4C3) : ABC, ABD, ACD, BCD Permutasi (4P3) : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA ABD, ADB, BAD, BDA, DAB, DBA ACD, ADC, CAD, CDA, DAC, DCA BCD, BDC, CBD, CDB, DBC, DCB P3 3!
4
Jadi, 4C3 . 3! = 4P3 atau 4C3 = Sehingga kita peroleh: nCr =
n
Pr n! = r! r!( n r )!
Contoh: Ada berapa cara dapat dilakukan jika 5 pemain bola basket diambil dari tim yang terdiri 12 pemain untuk berpartisipasi dalam pertandingan persahabatan ? Jawab: 12C5
=
12! 12! 12.11.10.9.8.7! = 792 5!(12 5)! 5!.7! 5.4.3.2.1.7!
Jadi, banyaknya cara memilih 5 pemain dari 12 pemain ada 792 cara.
Contoh: Ada berapa cara 2 bola merah, 3 bola biru, dan 4 bola putih dapat dipilih dari suatu kotak yang berisi 4 bola merah, 6 bola biru, dan 5 bola putih ? Jawab: 2 bola merah dapat dipilih dari 4 bola dalam 4C2 cara. 3 bola biru dapat dipilih dari 6 bola dalam 6C3 cara. 4 bola putih dapat dipilih dari 5 bola dalam 5C4 cara. Dengan prinsip perkalian, banyaknya cara memilih bola yang diminta : 4C2
x 6C3 x 5C4 =
4! 6! 5! x x 2!.2! 3!.3! 4!.1!
=
4.3.2! 6.5.4.3! 5.4! x x 2.1.2! 3.2.1.3! 4!.1
= 6 x 20 x 5 = 600 cara.
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
90
Soal Latihan 3.1 Aturan Pencacahan, Permutasi dan Kombinasi
Jawablah soal berikut disertai dengan langkah pengerjaannya! 1.
Dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 akan dibentuk suatu bilangan dengan syarat setiap bilangan tidak boleh ada angka yang sama. a. Tentukan banyaknya bilangan yang terdiri atas 4 angka dan habis dibagi 2 ! b. Tentukan banyaknya bilangan yang terdiri atas 3 angka dan merupakan bilangan ganjil!
2.
Dari angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 5 akan dibentuk suatu bilangan dengan syarat bahwa setiap bilangan tidak terdapat angka yang sama. Berapakah banyaknya bilangan yang dapat dibentuk jika diberikan ketentuan sebagai berikut ! a. terdiri atas 4 angka. b. terdiri atas 3 angka dan kelipatan 2. c. bilangan itu kurang dari 500.
3.
Tentukan nilai n jika P(n + 2, n) = 60 !
4.
Sebanyak 8 orang akan duduk melingkar dalam acara rapat. Ada berapa cara mereka duduk melingkar jika ada 2 orang harus duduk berdampingan ?
5.
Hitunglah permutasi dari kata-kata berikut ! a. SATUAN
6.
b. GEGANA
Hitunglah hasil kombinasi berikut ! a. C(6, 2)
b. C(8, 3) . C(6, 2)
7.
Tentukan nilai n jika C(n, n – 2) = 10 !
8.
Tentukan nilai n jika C(n + 2, n – 1) = 35 !
9.
Seorang pemborong menyediakan 5 macam warna cat untuk mengecat dinding rumah. Jika tiap bidang tembok dicat dengan campuran 2 macam warna, maka berapa banyak kombinasi warna yang dapat dipilih untuk mengecat bidang tembok tersebut ?
10. Seorang manajer perkebunan akan meneliti jenis, bentuk, dan cara aplikasi pupuk nitrogen (N) pada suatu jenis tanaman. Jenis pupuk yang tersedia adalah Urea, Za, dan Kyang masing-masing dalam bentuk tablet dan butiran. Penggunaan pupuk dapat dilakukan dengan cara disebarkan, dilingkarkan pada pangkal tanaman atau dipalirkan di antara dua baris tanaman. Hitunglah berapa banyak percobaan yang dibutuhkan !
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
91
Subbab 3.2 Peluang Suatu Kejadian
3.2.1 Percobaan dan Peluang Suatu Kejadian Setiap proses yang menghasilkan suatu kejadian disebut percobaan. Misalnya kita melemparkan sebuah dadu sebanyak satu kali, maka hasil yang keluar adalah angka 1, 2, 3, 4, 5 atau 6. Semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan disebut ruang sampel, biasanya dinyatakan dengan S, dan setiap hasil dalam ruang sampel disebut titik sampel. Banyaknya anggota dalam S dinyatakan dengan n(S). Peluang suatu kejadian mempunyai nilai 0 P 1, artinya : jika P = 0 maka kejadian dari suatu peristiwa adalah mustahil atau tidak pernah terjadi, dan jika P = 1 maka suatu peristiwa pasti terjadi. Misalnya, dari percobaan pelemparan sebuah dadu, maka S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan n(S) = 6. Jika dalam pelemparan dadu tersebut muncul angka {2}, maka bilangan itu disebut kejadian. Jadi, kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Jika ruang sampel S mempunyai anggota yang berhingga banyaknya dan setiap titik sampel mempunyai kesempatan untuk muncul yang sama, dan A suatu kejadian munculnya percobaan tersebut, maka peluang kejadian A dinyatakan dengan :
P(A) = Keterangan : P(A) = Peluang muncul A n(A) = banyaknya kejadian A n(S) = banyaknya kemungkinan kejadian S
Contoh: Sebuah mata uang logam dilempar satu kali. Berapa peluang munculnya “Angka” ? Jawab: Ruang sampel S = {A, G} maka n(S) = 2. Kejadian A = {A}, maka n(A) = 1 Jadi, P(A) =
1 n( A) = 2 n( S )
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
92
Contoh: Sebuah dadu mata enam dilempar satu kali. Berapa peluang munculnya mata dadu ganjil ? Jawab: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S) = 6 A = {1, 3, 5} n(A) = 3 Jadi, P(A) =
3 1 n( A) = = 6 2 n( S )
Contoh: Dalam setumpuk kartu bridge (remi) diambil satu kartu secara random (acak). Tentukan peluang yang terambil adalah kartu As ! Jawab: Banyaknya kartu bridge adalah 52, berarti n(S) = 52 n(As) = 4 Jadi, P(As) =
4 1 n( As ) = = 52 13 n( S )
3.2.2 Frekuensi Harapan Frekuensi harapan suatu kejadian pada suatu percbaan adalah hasil kali peluang dengan frekuensi percobaan A, dinyatakan dengan rumus :
Fh(A) = P(A) x n
Contoh: Sebuah dadu mata enam dilantunkan sebanyak 360 kali. Berapakah frekuensi harapan munculnya mata dadu prima ? Jawab: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S) = 6 A = {2, 3, 5} n(A) = 3 P(A) =
3 1 n( A) = = 6 2 n( S )
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
93
Jadi, Fh(A) = P(A) x n =
1 X 360 2
= 180 kali.
Contoh: Berapakah frekuensi harapan muncul mata kurang dari 5 dalam pelantunan dadu mata enam sebanyak 36 kali ? Jawab: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S) = 6 A = {1, 2, 3, 4} n(A) = 4 P(A) =
4 2 n( A) = = 6 3 n( S )
Jadi, Fh(A) = P(A) x n =
2 X 36 3
= 24 kali.
3.2.3 Kejadian Majemuk A. Kejadian yang Saling Lepas Dua kejadian disebut saling lepas jika irisan dari dua kejadian itu merupakan himpunan kosong. Himpunan A dan B dikatakan dua kejadian yang saling lepas, sebab A B = . Berdasarkan teori himpunan : P (A B) = P(A) + P(B) – P(A B) Karena P(A B) = 0, maka : P (A B) = P(A) + P(B)
Contoh: Sebuah dadu bermata enam dilantunkan satu kali. Berapa peluang munculnya mata dadu ganjil atau mata dadu genap ?
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
94
Jawab: A = {1, 3, 5} n(A) =
3 1 = 6 2
B = {2, 4, 6} n(B) =
3 1 = 6 2
AB= P (A B) = P(A) + P(B) =
1 1 + =1 2 2
Contoh: Dua dadu mata enam dilempar bersama-sama. Berapa peluang muncul dua mata dadu yang jumlahnya 3 atau 10 ? Jawab: 2 dadu dilempar n(S) = 36 A = jumlah mata dadu 3 = {(1,2),(2,1)} n(A) = 2 B = jumlah mata dadu 10 = {(4,6),(5,5),(6,4)} n(B) = 3 AB= P (A B) = P(A) + P(B) =
2 3 5 36 36 36
B. Kejadian yang Saling Bebas Jika dua keping mata uang yang homogen dilantunkan bersama-sama, maka kejadian yang mungkin adalah : S = {(G1,G2), (G1,A2), (A1,G2), (A1,A2)} n(s) = 4. Pada kejadian mata uang pertama muncul G1 dan mata uang kedua muncul G2, maka 1 1 P(G1) = dan P(G2) = . Kejadian G1 dan G2 adalah dua kejadian yang saling bebas. 2 2 1 1 1 P(G1,G2) = P(G1G2) = P(G1) x P(G2) = x = . Secara umum, jika A 2 2 4 dan B merupakan dua kejadian yang saling bebas maka peluang kejadian A dan B adalah :
P(A B) = P(A) x P(B)
Contoh:
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
95
Dua buah dadu bermata enam, yang terdiri atas warna merah dan putih, dittos bersama-sama satu kali. Berapa peluang munculnya mata lebih dari 4 untuk dadu merah dan kurang dari 3 untuk dadu putih ? Jawab: Jika A kejadian muncul mata > 4, maka n(A) = 2 P(A) =
2 1 6 3
Jika B kejadian muncul mata < 3, maka n(B) = 2 P(B) =
2 1 6 3
Jadi, P(A B) = P(A) x P(B) =
1 1 1 x 3 3 9
Contoh: Dalam sebuah kantong terdapat sepuluh kelereng yang terdiri dari 6 kelereng merah dan 4 kelereng putih, diambil dua kelereng. Berapa peluang terambilnya kedua-duanya kelereng putih ? Jawab: Jika A kejadian terambilnya kelereng putih pada pengambilan pertama maka P(A) =
4 . 10
Jika B kejadian terambilnya kelereng putih pada pengambilan kedua maka P(B) =
3 . 9
Jadi, P(A B) = P(A) x P(B) =
4 3 12 2 x = 10 9 90 15
Contoh: Dari setumpuk kartu bridge, diambil satu kartu secara berturut-turut sebanyak dua kali. Tentukan peluang bahwa yang terambil pertama As dan yang terambil berikutnya King !
Jawab:
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
96
n(S) = 52 n(As) = 4 P(As) =
4 n( As ) = 52 n( S )
4 n( K ) = 51 n( S )
n(K) = 4 P(K) =
Jadi, P(As K) = P(As) x P(K) =
4 4 16 4 x = 52 51 2652 663
C. Kejadian Bersyarat Jika A dan B adalah dua kejadian dalam ruang sampel S dan P(A) 0, maka peluang bersyarat dari B yang diberikan A didefinisikan sebagai : P(BA) =
atau P(A B) = P(A). P(BA)
P(BA) dibaca peluang kejadian B jika kejadian A sudah terjadi.
Contoh: Sebuah dadu dilempar . Tentukan peluang bahwa pelemparan itu akan menghasilkan angka kurang dari 4, jika : a. tidak ada syarat lain diberikan b. pelemparan menghasilkan titik dadu yang berangka ganjil Jawab: a. Misal A adalah peristiwa munculnya angka kurang dari 4, maka: A = {1, 2, 3} P(1) = P(2) = P(3) =
1 6
P(A) = P(1) + P(2) + P(3) =
3 1 = 6 2
b. Misal B adalah peristiwa munculnya angka dadu yang ganjil, maka:
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
97
B = {1, 3, 5} 1 6
P(1) = P(3) = P(5) =
P(A) = P(1) + P(3) + P(5) =
3 1 = 6 2
A B = {1, 3} P (A B) = P(1) + P(3) = Sehingga : P(BA) =
2 1 6 3
P(A B ) = P(A)
1 3 1 2
2 3
Contoh: Misalkan terdapat setumpuk kartu bridge sebanyak 52 buah. Seseorang mengambil dua kartu secara acak dari tumpukkan itu. Berapa peluang terambilnya kartu itu keduaduanya adalah “As” jika kartu pertama setelah diambil : a. dikembalikan b. tidak dikembalikan Jawab: a. A = kejadian terambilnya satu kartu As pada pengambilan pertama = {As, As, As, As} n(A) = 4 P(A) =
4 52
BA = kejadian terambilnya satu kartu As pada pengambilan kedua setelah pengambilan pertama kartunya dikembalikan. n(BA) = 4 P(BA) =
4 52
Jadi, P(A B) = P(A). P(BA) =
4 4 16 1 . = 52 52 2704 169
b. A = kejadian terambilnya satu kartu As pada pengambilan pertama n(A) = 4 P(A) =
4 52
BA = kejadian terambilnya satu kartu As pada pengambilan kedua setelah pengambilan pertama kartunya tidak dikembalikan. n(BA) = 3 P(BA) =
3 51
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
98
jadi, P(A B) = P(A). P(BA) =
4 3 12 1 . = 52 51 2652 221
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
99
Soal Latihan 3.2 Peluang Suatu Kejadian
1.
Sebuah mata uang logam dan dadu dilantunkan bersama-sama satu kali, tentukan hasil berikut ! a. n(S)
2.
b. P(A, bilangan ganjil)
c. P(G, bilangan ganjil)
Dalam sebuah kotak terdapat 4 bola hijau, 6 bola merah, dan 2 bola kuning. Diambil 2 bola secara acak. Tentukan peluangnya jika yang terambil bola dengan ketentuan berikut! a. Keduanya merah b. Hujau dan merah
3.
Dua buah dadu dilempar bersama-sama, tentukan peluang munculnya kejadian berikut ! a. Mata dadu berjumlah genap. b. Mata dadu berjumlah prima. c. Mata dadu berjumlah genap atau berjumlah prima.
4.
Pelemparan dua buah dadu dilakukan sebanyak 720 kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya mata dadu berjumlah 6 atau prima !
5.
Sebuah kantong berisi kelereng dengan dua buah berwarna merah dan tiga buah berwarna hijau. Dengan cara acak diambil dua kelereng. Tentukan peluang terambilnya kelereng dengan ketentuan berikut ! a. Merah dan hijau. b. Merah dan merah. c. Hijau dan hijau.
6.
Berdasarkan pengalamannya, seorang peternak pembibit mencatat bahwa dari 100 butir telur itik yang ditetaskan 25 butir diantaranya tidak menetas. Dari telur yang menetas diperoleh itik jantan dan itik betina dengan perbandingan 2 : 3. Hitunglah kebutuhan minimum telur untuk memenuhi pesanan 1.500 ekor bibit itik betina !
Modul Bahan Ajar Matematika Kelas XII SMK Kurikulum 2013 Revisi 2018
100
DAFTAR PUSTAKA
As’ari, Abdur Rahman, dkk. 2018. Buku Siswa Matematika Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK
Edisi Revisi 2018. Jakarta : Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. As’ari, Abdur Rahman, dkk. 2018. Buku Guru Matematika Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK
Edisi Revisi 2018. Jakarta : Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. https://idschool.net/sma/pengertian-permutasi-kombinasi-dan-perbedaannya/
https://www.konsep-matematika.com/2016/01/aturan-perkalian-aturanpenjumlahan-dan-faktorial.html
http://ernayuliani17.blogspot.com/2012/08/peluang-yang-dikenal-juga-sebagai.html
https://statistikceria.blogspot.com/2012/01/teori-peluang.html
https://id.wikipedia.org/wiki/Teori_peluang
https://www.konsep-matematika.com/2015/10/statistika-ukuran-penyebarandata.html
https://blog.ruangguru.com/matematika-kelas-12-statistika-deskriptif-dalam-databerinterval
https://www.pelajaran.co.id/2016/14/statistika-ukuran-penyebaran-data-rumus-dancontoh-soal-jangkauan-simpangan-ragam.html
http://www.nafiun.com/2014/06/penyajian-data-statistik-dalam-bentuk-dalambentuk-tabel-diagram-batang-garis-lingkaran-tabel-distribusi-frekuensi-relatifkumulatif-histogram-poligon-frekuensi-ogive-contoh-soal.html
