Modul - Menentukan Modus [PDF]

Citation preview

STATISTIKA I



STATISTIK DATA (Menentukan Modus) Oleh : Saptana Surahmat



Seorang kolektor batu akik menginformasikan bahwa kebanyakan koleksinya merupakan batu lokal yang diperoleh dari berbagai tempat di Indonesia. Menyimak apa yang diutarakan oleh kolektor batu akik di atas merupakan bukti bahwa beberapa konsep statistika sering kita gunakan dalam berkomunikasi. Kata “kebanyakan” dapat diartikan bahwa dari sekian banyak fakta, satu atau beberapa fakta muncul dengan jumlah kumunculan (frekuensi) yang lebih banyak dibanding dengan fakta lainnya. Konsep ini dalam statistika dinamakan modus. Dalam modul ini akan dibahas secara lebih mendalam tentang konsep tersebut, baik untuk data tunggal maupun data berkelompok.



Modus dari Data Tunggal Sesuai dengan pengertian modus yang menyatakan bahwa modul adalah datum yang paling sering muncul (angka frekuensinya paling tinggi), maka untuk menentukan modus dari data tunggal tidaklah sulit, yaitu tinggal membandingkan banyak kemunculan suatu datum terhadap datum lain. Bila semua datum yang nilainya berbeda memiliki jumlah kemunculan sama, maka pada data tersebut tidak terdapat modus. Sebagai contoh, pada data : 2 3 5 3 2 5 3 2 5 Banyak kemunculan datum 2, 3 dan 5 sama, yakni 3 kali. Dengan demikian, pada data di atas tidak terdapat modus. Selain itu, data dapat memiliki satu atau lebih modus. Data yang hanya memiliki satu modus disebut Unimodus, yang memiliki tepat dua modus disebut Bimodus dan yang memiliki lebih dari dua modus disebut Multimodus.



MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA WAJIB



1



STATISTIKA I Contoh 1. Tentukan modus dari data 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7 ! Penyelesaian : Dari susunan data di atas tampak datum yang paling banyak muncul adalah 5. Jadi Modus dari data di atas adalah 5 Contoh 2. Tentukan modus dari data 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9 ! Penyelesaian : Dari susunan data di atas tampak tidak ada satu datum pun yang muncul lebih banyak dari yang lain. Oleh sebab itu, data di atas dikatakan tidak mempunyai modus. Contoh 3. Tentukan modus dari data 12, 12, 14, 15, 16, 15, 15, 16, 17, 16, 18, 18, 18, 20 ! Penyelesaian : Susunan data pada soal di atas diubah ke bentuk tabel, sbb. : Nilai



12



14



15



16



17



18



20



Frekuensi



2



1



3



3



2



3



1



Datum yang memiliki frekuensi tertinggi adalah 15, 16 dan 18. Dengan demikian modus dari data di atas adalah 15, 16 dan 18.



Modus dari Data Berkelompok Pada data yang telah disusun dalam bentuk berkelompok, modus tidak dapat ditentukan secara langsung hanya dengan mengamati jumlah kemunculannya. Modus data sudah membaur ke dalam kelas-kelas yang ada. Untuk menentukannya, perlu dilakukan analisis sebagai berikut: Misal data yang ingin kita tentukan modusnya tersaji dalam bentuk histogram seperti tampak pada gambar 1.



Gambar 1 MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA WAJIB



2



STATISTIKA I Modus pada data berkelompok diperkirakan berada pada kelas dengan nilai frekuensi paling tinggi. Pada gambar 1 tampak kelas yang memiliki nilai frekuensi tertinggi adalah kelas dengan tepi bawah = Tb3. Untuk selanjutnya kelas ini disebut sebagai kelas modus. Sekanjutnya, posisi modus ditentukan dengan cara menarik dua garis miring AE dan CD. Dari titik potong tersebut ditarik garis ke sumbu horisontal secara tegak lurus. Titik potong garis ini dengan sumbu horisontal menunjukan posisi modus dari data. Nilanya dapat ditentukan dengan menghitung besar :



Mo = Tb 3 + FB Dari gambar tampak bahwa ∆ ABC dan ∆ DBE sebangun. Kondisi ini dapat digunakan untuk menentukan nilai FB , yaitu dengan cara : FB AC



=



BG DE



⇔ FB ⋅ DE = AC ⋅ BG



(



⇔ FB ⋅ DE = AC FG − FB



)



⇔ FB ⋅ DE = AC ⋅ FG − AC ⋅ FB ⇔ FB ⋅ DE + AC ⋅ FB = AC ⋅ FG



)



(



⇔ FB DE + AC =AC ⋅ FG ⇔ FB =



AC ⋅ FG = DE + AC



 AC    ⋅ FG  DE + AC   



Dengan memperhatikan gambar 1, tampak bahwa panjang FG sama dengan panjang interval kelas modus. Karena itu, jika FG = p, AC = d1 dan DE = d2, maka nilai FB menjadi :  d1  FB =   p  d1 + d2 



Dengan demikian rumus menghitung nilai modus menjadi :  d1  Mo = Tb +   p  d1 + d2 



Dimana Mo menyatakan nilai modus, Tb menyatakan nilai tepi bawah kelas modus, d1 menyatakan nilai selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelum kelas modus, d2 menyatakan nilai selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudah kelas modus, dan p menyatakan nilai panjang kelas. Contoh 4. Dari data berkelompok yang disusun dalam bentuk tabel distribusi frekuensi diperkirakan posisi modus berada di kelas dengan interval 89 – 93 dan besar frekuensi 24. Frekuensi kelas sebelum dan sesudah kelas ini masing-masing besarnya adalah 18 dan 12. Hitunglah nilai modus dari data tersebut ! Penyelesaian : MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA WAJIB



3



STATISTIKA I Dari uraian soal diperoleh : Tepi bawah kelas modus : Tb = 88,5 Panjang kelas modus : p = 5 Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya : d1 = 24 – 18 = 6 Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya : d2 = 24 – 12 = 12 Berdasarkan fakta di atas, nilai modus dapat ditentukan, yakni sebesar :  6  Mo = 88,5 +   5 = 88,5 + 1,67 = 90,17  6 + 12 



Contoh 5. Hasil pengukuran tinggi badan 50 orang siswa sebuah sekolah disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi berikut. Hasil pengukuran



Frekuensi (f)



140 – 143



5



144 – 147



7



148 – 151



5



152 – 155



7



156 – 159



10



160 – 163



7



164 – 167



9



Tentukan modus dari data tersebut ! Penyelesaian : Dari tabel distribusi frekuensi disamping ini, diperioleh :



Hasil pengukuran



Frekuensi (f)



140 – 143



5



Frekuensi paling tinggi berada di kelas ke-5. Karena itu kelas ini disebut sebagai kelas modus.



144 – 147



7



Tepi bawah kelas modus adalah : Tb = 155,5



148 – 151



5



152 – 155



7



Lebar kelas : p = 4



156 – 159



10



160 – 163



7



164 – 167



9



 3  Mo = 155,5 +   4 = 155,5 + 2 = 157,5  3+3



50



Jadi modus dari data ini adalah 157,5.



Jumlah



d1 = 10 – 7 = 3. d2 = 10 – 7 = 3



MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA WAJIB



4



STATISTIKA I



Soal Latihan 1.



Tentukan modus dari data berikut : a. 8, 9 , 12, 14, 5, 12, 9, 3, 9, 10, 5, 3 b. 4, 4, 7, 8, 5, 10, 5, 3, 6, 9, 5, 11, 7 c.



d.



2.



2



3



4



5



frekuensi



5



8



6



3



Nilai



4



5



6



7



8



frekuensi



6



7



6



7



6



Tentukan modus dari data berikut : a.



3.



Data



Lama (detik)



Frekuensi



Jarak (km)



Frekuensi



1 – 20



3



1–5



4



21 – 40



12



6 – 10



7



41 – 60



25



11 – 15



15



61 – 80



16



16 – 20



3



81 - 100



4



21 – 25



1



b.



Diagram batang dibawah ini adalah grafik yang dibuat berdasarkan data tentang banyaknya perangko yang dikoleksi oleh sekelompok anak.



Hitunglah modus dari data tersebut ! 4.



Berdasarkan histogram berikut, tentukan modus dari data yang disajikan !



MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA WAJIB



5



STATISTIKA I



MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA WAJIB



6